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四川省泸州市叙永县第一中学校2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、单选题（共36分）
1．下列各图中，轴对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列二次根式中，为最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列各式运算结果为的是（　　）
A． B． C． D．
4．甲，乙，丙三个人进行排球垫球测试，他们的平均成绩相同，方差分别是：，成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．三个都一样
5．如图，，的平分线与交于点．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．1.5
7．小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（　　）
A．小明家到体育馆的距离为
B．小明在体育馆锻炼的时间为
C．小明家到书店的距离为
D．小明从书店到家步行的时间为
8．估计的值在（　　）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
9．下列命题中，正确的是（　　）
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
10．一次函数与正比例函数（k为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
11．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的边长为（　　）
A． B． C． D．
12．图1是一个可调节平板支架，其结构示意图如图2所示，已知平板宽度为，支架脚的长度为，，保持此时的形状不变，当平分时，点到的距离是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共12分）
13．要使二次根式有意义，则x的满足的条件是　 　．
14．分解因式　 　．
15．直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为　 　．
16．如图，在等腰三角形中，，点E，F在等腰三角形的内部，连接，使，且平分．若，，则　 　 ．
三、解答题（每题6分，共18分）
17．计算：．
18．计算：
19．化简：．
四、解答题（每题7分，共14分）
20．如图，在菱形中，分别是边上的点，且．
求证：．
21．如图是某校八年级学生为灾区捐款情况抽样调查的条形统计图和扇形统计图．
（1）该样本的容量为　　　　　　；
（2）本次抽样调查获取的样本数据的平均数为　　　　　　，众数为　　　　　　，中位数为　　　　　　；
（3）若该校八年级有学生800人，请估计八年级的捐款总数为多少元？
五、解答题（每题8分，共16分）
22．已知，如图，在四边形ABCD中，，，，，．
（1）求的度数；
（2）求四边形的面积．
23．如图，与关于对称，且满足．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）过点A作于点E，交 于点F，若，求的长及四边形的面积．
六、解答题（每题12分，共24分）
24．已知菱形的边长为10，，以点B为坐标原点，以为x轴正方向建立直角坐标系，如图所示．
（1）求点A的坐标；
（2）求菱形的对角线的解析式；
（3）若点Q是上一定点，且，点P从点A出发，以每秒2个单位长度向终点C运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，最小？
25．如图，边长为5的正方形 的顶点在坐标原点处，点分别在轴、轴的正半轴上，点是边上的点（不与点重合），且与正方形外角平分线交于点．
（1）求证：；
（2）若点坐标为时，①在轴上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
②在平面内是否存在点，使四边形为正方形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义可知，B、C、D中的图都不是轴对称图形，只有A中的图是轴对称图形，
故选：A．
【分析】
根据轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形即可.
2．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故不符合题意；
D、是最简二次根式，
故选：D．
【分析】
依据最简二次根式的定义：“被开方数不含分母，同时被开方数中所有因数（因式）的指数都小于2”，逐一对选项进行判断即可得到结果.
3．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】A.，故选项正确，符合题意；
B.，故选项错误，不符合题意；
C.，故选项错误，不符合题意；
D.，故选项错误，不符合题意；
故选：A
【分析】
分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法法则计算各选项结果，判断是否为结果.
4．【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵0.62＞0.53＞0.45，
∴成绩最稳定的是乙.
故答案为：B.
【分析】根据方差越大，数据的波动越大，成绩越不稳定，据此一一判断得出答案.
5．【答案】C
【知识点】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【分析】根据平行线的性质得，，根据角平分线的定义可得，最后根据平角定义可得∠CDE=180°-∠CDB．
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵O是中点，E是中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形性质可得，则，再根据角平分线定义可得，则，即，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可知：小明家到体育馆的距离为；故选项A错误；
小明在体育馆锻炼的时间为；故选项B错误；
小明家到书店的距离为；故选项C正确；
小明从书店到家步行的时间为；故选项D错误；
故选C．
【分析】
理解横纵坐标的实际意义（横轴为时间，纵轴为离家距离）及图象中每一段所代表的运动状态（上升代表距离，水平代表停留，下降代表靠近）即可.
8．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
；
∵，
∴，
∴
∴，
即在4到5之间．
故答案为：B．
【分析】
，再根据二次根式的乘法法则：进行化简，再通过比较被开方数与完全平方数的大小，利用算术平方根的性质估算的范围，进而确定整个式子的取值范围，由此可得出答案．
9．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【解答】 解：A：一组邻边相等的四边形不一定是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A错误；
B：对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B错误；
C：等腰梯形一组对边平行，另一组对边相等，不为平行四边形，故C错误；
D：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，说法正确，故D正确；
故答案为：D．
【分析】利用菱形的判定定理可对A、B作出判断；利用平行四边形的判定定理可对C、D作出判断.
10．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴与平行，且与轴交于负半轴，故只有B选项符合题意.
故答案为：B．
【分析】正比例函数y=kx是一次函数y=kx-k2的特殊形式（常数为0），它们的斜率k相同，故两条直线平行；由于k≠0，故-k2＜0，即一次函数y=kx-k2交y轴的负半轴，据此判断可得答案.
11．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】由题意得：大正方形的面积为，
又小正方形边长为，，
，
，
，
．
故小正方形边长为．
故选B．
【分析】
根据"赵爽弦图"中各部分面积之间的数量关系，即大正方形的面积等于四个全等三角形的面积与中间小正方形面积之和.
12．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；角平分线的应用
【解析】【解答】解：过点B分别作，垂足分别为D，E，如图所示：
∵平板宽度为，支架脚的长度为，，
∴，
∴，
∵，
∵平分，，
∴，
点到的距离是，
故选：D．
【分析】
利用角平分线的性质将点B到CD的距离，转化为点B到AC的距离，再利用等面积法求解即可.
13．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵根据二次根式有意义得：，
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
14．【答案】．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
利用平方差公式对式子进行因式分解即可.
15．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象得：两条直线的交点坐标为，
∵当时，直线在直线的下方，
∴不等式的解集为．
故答案为：．
【分析】此题考查一次函数与一元一次不等式，解题关键在于掌握两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，要使，只需看： 的图像何时在： 图像的下方即可.
16．【答案】8
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：延长交于点G，延长交于点D，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∵，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：8．
【分析】
通过作辅助线延长交于点G，延长交于点D，构造出等边三角形和直角三角形，从而利用线段间的数量关系求出AB的长.
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得：（π-2024）0=1；由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得：
（）-1=5，由算术平方根的定义可得=4，然后根据有理数的加减混合运算法则计算即可求解．
18．【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先利用二次根式的乘除运算化简二次根式，再合并同类二次根式.
19．【答案】解：原式=
=
=.
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先将小括号里的式子进行通分，并把除式进行因式分解，后把除法变成乘法后进行约分化简即可.
20．【答案】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先根据菱形的四边相等得到AB=BC，再由线段的和差关系及等量减去等量差相等得出BE=BF，进而利用SAS判断出△ABF≌△CBE，由全等三角形的对应边相等得AF=CE.
21．【答案】（1）50
（2）元；10元；10元
（3）解：（元），
答：八年级捐款总数为7600元．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：由统计图可得，本次调查的总人数为：
（人），
∴样本容量为50；
（2）
解：捐款为15元的人数为：（人），
∴本次抽样调查获取的样本数据的平均数为：
（元），
∵捐款10元的人数最多，
∴众数为10元，
将50个学生捐款的数值从小到大进行排序，排在第25、26的都是10元，则中位数是10元．
（3）
解：（元），
答：八年级捐款总数为7600元．
【分析】
（1）本次调查的总人数可以通过捐款5元的人数除以捐款5元人数对应的百分比计算得到，计算结果就是该调查的样本容量；
（2）结合所得数据，依据众数、中位数的定义，以及平均数的计算公式，即可求解对应结果；
（3）先得到本次抽样调查中人均捐款的平均数，再用该平均数乘以八年级总人数800，即可估计出八年级全体学生的捐款总额.
（1）解：由统计图可得，本次调查的总人数为：
（人），
∴样本容量为50；
（2）解：捐款为15元的人数为：（人），
∴本次抽样调查获取的样本数据的平均数为：
（元），
∵捐款10元的人数最多，
∴众数为10元，
将50个学生捐款的数值从小到大进行排序，排在第25、26的都是10元，则中位数是10元．
（3）解：（元），
答：八年级捐款总数为7600元．
22．【答案】（1） 解： 如图，连接，
∵，，，
∴
∵，
∴
∴；
（2）解：∵，，
∴四边形的面积.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）通过连接对角线AC，将四边形分割为两个三角形，首先在直角三角形ABC利用勾股定理求出AC的长，然后在三角形ADC中，利用利用三边长度关系，通过勾股定理的逆定理求出度数即可；
（2）利用割补法，将四边形ABCD的面积转化为两个直角三角形的面积之和进行计算.
（1）如图，连接，
∵，，，
∴
∵，
∴
∴；
（2）∵，，
∴四边形的面积.
23．【答案】（1）证明：∵与关于对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：连接，如图所示：
∵与关于对称，
∴，
∵，，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴四边形的面积为：．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；轴对称的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】
（1）利用轴对称性质得到对应边相等、对应角相等，结合平行线的性质（内错角）推导出等腰三角形，进而证明四条边相等，判定为菱形；
（2）利用轴对称性质得到AF=CF，在直角三角形中利用勾股定理求出CE；设未知数表示菱形的边长，再次利用勾股定理建立方程求出边长，最后根据菱形面积公式求解.
（1）证明：∵与关于对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）连接，如图所示：
∵与关于对称，
∴，
∵，，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴四边形的面积为：．
24．【答案】（1）解：过A作轴于E，
∵菱形的边长为10，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴A的坐标为；

（2）解：由（1）知，
设对角线的解析式，
则，
解得，
∴；

（3）解：连接，交于，
∵菱形，
∴B、D关于对称，
∴，
∴，
当D、P、Q三点共线，即P于重合时，最小，
∵，，，A的坐标为，
∴，
∵，
∴，
设解析式为，
∴，
解得，
∴，
联立方程组，
解得，
∴，
∴，
∴运动时间为秒．

【知识点】勾股定理；菱形的性质；一次函数中的动态几何问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】
（1）通过作辅助线构造直角三角形，利用菱形性质和勾股定理求点A坐标即可；
（2）确定对角线端点左边，利用待定系数法求解即可；
（3）连接，交于，利用菱形的轴对称性可得，当D、P、Q三点共线，即P于重合时，最小，利用待定系数法求出解析式，然后与的解析式联立方程组求出的坐标，最后利用两点间距离公式求解即可．
（1）解：过A作轴于E，
∵菱形的边长为10，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴A的坐标为；
（2）解：由（1）知，
设对角线的解析式，
则，
解得，
∴；
（3）解：连接，交于，
∵菱形，
∴B、D关于对称，
∴，
∴，
当D、P、Q三点共线，即P于重合时，最小，
∵，，，A的坐标为，
∴，
∵，
∴，
设解析式为，
∴，
解得，
∴，
联立方程组，
解得，
∴，
∴，
∴运动时间为秒．
25．【答案】证明：在上截取，连结，
∵是正方形，
∴，
，
∴．
又，
．
，
∴．
，
，
．
∵AG平分 ，
，
，
∴，
∴，
∴；
（2）①存在点使四边形为平行四边形，
过作交于，则点即为所求，
∵是正方形，
∴．
∵四边形为平行四边形，
．
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在轴上存在点，使四边形的平行四边形；
②存在，.
【知识点】平行四边形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；四边形的综合；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（2）②存在点Q使四边形为正方形．
过点C作EP的平行线，过点P作CE的平行线，两平行线的交点即为所求Q点，过点Q作交CB与点K，
∵四边形是正方形，
∴ ，
．
又，
．
，
，
，
，
（此时K与点B重合），
，
．
【分析】
（1）通过作辅助线，利用正方形的性质，角平分线和等量代换可证明，则可证明；
（2）过作交于，则点即为所求，利用平行四边形和正方形的性质证明，则有，进而可求出，从而可确定M的坐标；
（3）过点C作EP的平行线，过点P作CE的平行线，两平行线的交点即为所求Q点，过点Q作交CB与点K， 利用正方形的性质证明，则有进而可求，从而可确定Q的坐标
1 / 1四川省泸州市叙永县第一中学校2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、单选题（共36分）
1．下列各图中，轴对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义可知，B、C、D中的图都不是轴对称图形，只有A中的图是轴对称图形，
故选：A．
【分析】
根据轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形即可.
2．下列二次根式中，为最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故不符合题意；
D、是最简二次根式，
故选：D．
【分析】
依据最简二次根式的定义：“被开方数不含分母，同时被开方数中所有因数（因式）的指数都小于2”，逐一对选项进行判断即可得到结果.
3．下列各式运算结果为的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】A.，故选项正确，符合题意；
B.，故选项错误，不符合题意；
C.，故选项错误，不符合题意；
D.，故选项错误，不符合题意；
故选：A
【分析】
分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法法则计算各选项结果，判断是否为结果.
4．甲，乙，丙三个人进行排球垫球测试，他们的平均成绩相同，方差分别是：，成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．三个都一样
【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵0.62＞0.53＞0.45，
∴成绩最稳定的是乙.
故答案为：B.
【分析】根据方差越大，数据的波动越大，成绩越不稳定，据此一一判断得出答案.
5．如图，，的平分线与交于点．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【分析】根据平行线的性质得，，根据角平分线的定义可得，最后根据平角定义可得∠CDE=180°-∠CDB．
6．如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．1.5
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵O是中点，E是中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形性质可得，则，再根据角平分线定义可得，则，即，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
7．小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（　　）
A．小明家到体育馆的距离为
B．小明在体育馆锻炼的时间为
C．小明家到书店的距离为
D．小明从书店到家步行的时间为
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可知：小明家到体育馆的距离为；故选项A错误；
小明在体育馆锻炼的时间为；故选项B错误；
小明家到书店的距离为；故选项C正确；
小明从书店到家步行的时间为；故选项D错误；
故选C．
【分析】
理解横纵坐标的实际意义（横轴为时间，纵轴为离家距离）及图象中每一段所代表的运动状态（上升代表距离，水平代表停留，下降代表靠近）即可.
8．估计的值在（　　）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
；
∵，
∴，
∴
∴，
即在4到5之间．
故答案为：B．
【分析】
，再根据二次根式的乘法法则：进行化简，再通过比较被开方数与完全平方数的大小，利用算术平方根的性质估算的范围，进而确定整个式子的取值范围，由此可得出答案．
9．下列命题中，正确的是（　　）
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【解答】 解：A：一组邻边相等的四边形不一定是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A错误；
B：对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B错误；
C：等腰梯形一组对边平行，另一组对边相等，不为平行四边形，故C错误；
D：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，说法正确，故D正确；
故答案为：D．
【分析】利用菱形的判定定理可对A、B作出判断；利用平行四边形的判定定理可对C、D作出判断.
10．一次函数与正比例函数（k为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴与平行，且与轴交于负半轴，故只有B选项符合题意.
故答案为：B．
【分析】正比例函数y=kx是一次函数y=kx-k2的特殊形式（常数为0），它们的斜率k相同，故两条直线平行；由于k≠0，故-k2＜0，即一次函数y=kx-k2交y轴的负半轴，据此判断可得答案.
11．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的边长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】由题意得：大正方形的面积为，
又小正方形边长为，，
，
，
，
．
故小正方形边长为．
故选B．
【分析】
根据"赵爽弦图"中各部分面积之间的数量关系，即大正方形的面积等于四个全等三角形的面积与中间小正方形面积之和.
12．图1是一个可调节平板支架，其结构示意图如图2所示，已知平板宽度为，支架脚的长度为，，保持此时的形状不变，当平分时，点到的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；角平分线的应用
【解析】【解答】解：过点B分别作，垂足分别为D，E，如图所示：
∵平板宽度为，支架脚的长度为，，
∴，
∴，
∵，
∵平分，，
∴，
点到的距离是，
故选：D．
【分析】
利用角平分线的性质将点B到CD的距离，转化为点B到AC的距离，再利用等面积法求解即可.
二、填空题（共12分）
13．要使二次根式有意义，则x的满足的条件是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵根据二次根式有意义得：，
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
14．分解因式　 　．
【答案】．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
利用平方差公式对式子进行因式分解即可.
15．直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象得：两条直线的交点坐标为，
∵当时，直线在直线的下方，
∴不等式的解集为．
故答案为：．
【分析】此题考查一次函数与一元一次不等式，解题关键在于掌握两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，要使，只需看： 的图像何时在： 图像的下方即可.
16．如图，在等腰三角形中，，点E，F在等腰三角形的内部，连接，使，且平分．若，，则　 　 ．
【答案】8
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：延长交于点G，延长交于点D，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∵，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：8．
【分析】
通过作辅助线延长交于点G，延长交于点D，构造出等边三角形和直角三角形，从而利用线段间的数量关系求出AB的长.
三、解答题（每题6分，共18分）
17．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得：（π-2024）0=1；由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得：
（）-1=5，由算术平方根的定义可得=4，然后根据有理数的加减混合运算法则计算即可求解．
18．计算：
【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先利用二次根式的乘除运算化简二次根式，再合并同类二次根式.
19．化简：．
【答案】解：原式=
=
=.
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先将小括号里的式子进行通分，并把除式进行因式分解，后把除法变成乘法后进行约分化简即可.
四、解答题（每题7分，共14分）
20．如图，在菱形中，分别是边上的点，且．
求证：．
【答案】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先根据菱形的四边相等得到AB=BC，再由线段的和差关系及等量减去等量差相等得出BE=BF，进而利用SAS判断出△ABF≌△CBE，由全等三角形的对应边相等得AF=CE.
21．如图是某校八年级学生为灾区捐款情况抽样调查的条形统计图和扇形统计图．
（1）该样本的容量为　　　　　　；
（2）本次抽样调查获取的样本数据的平均数为　　　　　　，众数为　　　　　　，中位数为　　　　　　；
（3）若该校八年级有学生800人，请估计八年级的捐款总数为多少元？
【答案】（1）50
（2）元；10元；10元
（3）解：（元），
答：八年级捐款总数为7600元．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：由统计图可得，本次调查的总人数为：
（人），
∴样本容量为50；
（2）
解：捐款为15元的人数为：（人），
∴本次抽样调查获取的样本数据的平均数为：
（元），
∵捐款10元的人数最多，
∴众数为10元，
将50个学生捐款的数值从小到大进行排序，排在第25、26的都是10元，则中位数是10元．
（3）
解：（元），
答：八年级捐款总数为7600元．
【分析】
（1）本次调查的总人数可以通过捐款5元的人数除以捐款5元人数对应的百分比计算得到，计算结果就是该调查的样本容量；
（2）结合所得数据，依据众数、中位数的定义，以及平均数的计算公式，即可求解对应结果；
（3）先得到本次抽样调查中人均捐款的平均数，再用该平均数乘以八年级总人数800，即可估计出八年级全体学生的捐款总额.
（1）解：由统计图可得，本次调查的总人数为：
（人），
∴样本容量为50；
（2）解：捐款为15元的人数为：（人），
∴本次抽样调查获取的样本数据的平均数为：
（元），
∵捐款10元的人数最多，
∴众数为10元，
将50个学生捐款的数值从小到大进行排序，排在第25、26的都是10元，则中位数是10元．
（3）解：（元），
答：八年级捐款总数为7600元．
五、解答题（每题8分，共16分）
22．已知，如图，在四边形ABCD中，，，，，．
（1）求的度数；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1） 解： 如图，连接，
∵，，，
∴
∵，
∴
∴；
（2）解：∵，，
∴四边形的面积.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）通过连接对角线AC，将四边形分割为两个三角形，首先在直角三角形ABC利用勾股定理求出AC的长，然后在三角形ADC中，利用利用三边长度关系，通过勾股定理的逆定理求出度数即可；
（2）利用割补法，将四边形ABCD的面积转化为两个直角三角形的面积之和进行计算.
（1）如图，连接，
∵，，，
∴
∵，
∴
∴；
（2）∵，，
∴四边形的面积.
23．如图，与关于对称，且满足．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）过点A作于点E，交 于点F，若，求的长及四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵与关于对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：连接，如图所示：
∵与关于对称，
∴，
∵，，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴四边形的面积为：．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；轴对称的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】
（1）利用轴对称性质得到对应边相等、对应角相等，结合平行线的性质（内错角）推导出等腰三角形，进而证明四条边相等，判定为菱形；
（2）利用轴对称性质得到AF=CF，在直角三角形中利用勾股定理求出CE；设未知数表示菱形的边长，再次利用勾股定理建立方程求出边长，最后根据菱形面积公式求解.
（1）证明：∵与关于对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）连接，如图所示：
∵与关于对称，
∴，
∵，，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴四边形的面积为：．
六、解答题（每题12分，共24分）
24．已知菱形的边长为10，，以点B为坐标原点，以为x轴正方向建立直角坐标系，如图所示．
（1）求点A的坐标；
（2）求菱形的对角线的解析式；
（3）若点Q是上一定点，且，点P从点A出发，以每秒2个单位长度向终点C运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，最小？
【答案】（1）解：过A作轴于E，
∵菱形的边长为10，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴A的坐标为；

（2）解：由（1）知，
设对角线的解析式，
则，
解得，
∴；

（3）解：连接，交于，
∵菱形，
∴B、D关于对称，
∴，
∴，
当D、P、Q三点共线，即P于重合时，最小，
∵，，，A的坐标为，
∴，
∵，
∴，
设解析式为，
∴，
解得，
∴，
联立方程组，
解得，
∴，
∴，
∴运动时间为秒．

【知识点】勾股定理；菱形的性质；一次函数中的动态几何问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】
（1）通过作辅助线构造直角三角形，利用菱形性质和勾股定理求点A坐标即可；
（2）确定对角线端点左边，利用待定系数法求解即可；
（3）连接，交于，利用菱形的轴对称性可得，当D、P、Q三点共线，即P于重合时，最小，利用待定系数法求出解析式，然后与的解析式联立方程组求出的坐标，最后利用两点间距离公式求解即可．
（1）解：过A作轴于E，
∵菱形的边长为10，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴A的坐标为；
（2）解：由（1）知，
设对角线的解析式，
则，
解得，
∴；
（3）解：连接，交于，
∵菱形，
∴B、D关于对称，
∴，
∴，
当D、P、Q三点共线，即P于重合时，最小，
∵，，，A的坐标为，
∴，
∵，
∴，
设解析式为，
∴，
解得，
∴，
联立方程组，
解得，
∴，
∴，
∴运动时间为秒．
25．如图，边长为5的正方形 的顶点在坐标原点处，点分别在轴、轴的正半轴上，点是边上的点（不与点重合），且与正方形外角平分线交于点．
（1）求证：；
（2）若点坐标为时，①在轴上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
②在平面内是否存在点，使四边形为正方形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，说明理由．
【答案】证明：在上截取，连结，
∵是正方形，
∴，
，
∴．
又，
．
，
∴．
，
，
．
∵AG平分 ，
，
，
∴，
∴，
∴；
（2）①存在点使四边形为平行四边形，
过作交于，则点即为所求，
∵是正方形，
∴．
∵四边形为平行四边形，
．
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在轴上存在点，使四边形的平行四边形；
②存在，.
【知识点】平行四边形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；四边形的综合；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（2）②存在点Q使四边形为正方形．
过点C作EP的平行线，过点P作CE的平行线，两平行线的交点即为所求Q点，过点Q作交CB与点K，
∵四边形是正方形，
∴ ，
．
又，
．
，
，
，
，
（此时K与点B重合），
，
．
【分析】
（1）通过作辅助线，利用正方形的性质，角平分线和等量代换可证明，则可证明；
（2）过作交于，则点即为所求，利用平行四边形和正方形的性质证明，则有，进而可求出，从而可确定M的坐标；
（3）过点C作EP的平行线，过点P作CE的平行线，两平行线的交点即为所求Q点，过点Q作交CB与点K， 利用正方形的性质证明，则有进而可求，从而可确定Q的坐标
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