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浙江省台州市路桥区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A.，被开方数含分母，需化简为，不是最简二次根式，不符合题意；
B.，被开方数3无平方因子且不含分母，符合最简二次根式定义，符合题意；
C.，可化简为整数，不是最简二次根式，不符合题意；
D.，含平方因子4，可进一步化简，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据最简二次根式的定义“被开方数不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不含分母”，逐项判断解答即可．
2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．6，8，10 B．5，7，9 C．4，6，8 D．3，5，7
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.，，和为，等于，该三边能组成直角三角形，符合题意；
B.，不等于，该三边不能组成直角三角形，不符合题意；
C.，不等于，该三边不能组成直角三角形，不符合题意；
D.，不等于，该三边不能组成直角三角形，不符合题意；
故选：A．
【分析】
勾股定理的逆定理，若三条线段满足较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形．
3．在直线上的点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】选项A：将代入方程，得，与3不符，故不符合题意．
选项B：将代入方程，得，与1不符，故不符合题意．
选项C：将代入方程，得，与点的y坐标一致，故符合题意．
选项D：将代入方程，得，与1不符，故不符合题意．
综上，正确答案为C．
故选：C．
【分析】
一次函数图象上的点坐标特征，将各选项中的x值代入直线解析式中验证对应的y值是否一致即可．
4．在平行四边形中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在平行四边形中，对角相等，即，
故选：D．
【分析】
平行四边形的对角相等．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：选项A：二次根式相加需被开方数相同才能合并，与无法合并，结果应为，故错误，不符合题意；
选项B：合并同类项：，不等于3，故错误，不符合题意；
选项C：二次根式相乘法则：，故，故错误，不符合题意；
选项D：二次根式相除法则：，故，正确，符合题意；
故选：D．
【分析】
A、只有同类二次根式才可以合并，合并时参照合并同类项的法则；
B、同类二次根式的加减参照合并同类项法则进行；
C、算术平方根的积等于积的算术平方根；
D、算术平方根的商等于商的算术平方根．
6．如图是以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积分别是15，22，则正方形A的边长为（ ）
A． B．7 C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：由正方形的面积公式结合勾股定理可得，，
正方形A的边长为，
故选：A．
【分析】
由勾股定理知正方形A的面积为7，即正方形A的边长为．
7．已知一组数据：6，7，7，8，如果再添加一个数据7，得到一组新的数据，与原数据相比，发生变化的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：原数据：6、7、7、8，
平均数：，
中位数：排序后中间两数的平均数为，
众数：出现次数最多的数为7，
方差：；
新数据：6、7、7、7、8，
平均数：（不变），
中位数：排序后中间数为7（不变），
众数：出现次数最多的数为7（不变），
方差：（变小）；
因此，方差发生变化，
故选：D．
【分析】
A、平均数指一组所有数据和与数据个数的商，由于原数据的平均值是7，则添加数据7后平均值不变；
B、中位数是指一组数据按照从小到大的顺序排列后，最中间的一个或最中间两个数据的平均值，原数据的中位数是7，则添加7后中位数不变；
C、众数是一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个也可能是多个，原数据的众数是7，则添加7后众数不变；
D、方差指一数据中所有数据与平均值差的完全平方和的平均数，原数据的方差是0.5，但添加7后方差为0.4，故只有方差发生改变．
8．如图，在菱形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，连接．若，，则菱形的面积为（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
【答案】A
【知识点】菱形的性质；平行四边形的面积；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，
，
，
，
菱形的面积，
故选：A．
【分析】
由于菱形的对角线互相垂直平分，即OE为直角三角形AEC斜边AC上的中线，即AC等于OE的2倍，再利用菱形的面积公式即对角线乘积的一半求解即可．
9．已知，，三点均在直线为常数，，上，且，则下列判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：已知直线为，其中，，故直线从左向右上升，且与y轴交于负半轴，三点，对应，
A、若，则，，但可能为正也可能为负，导致符号不确定，乘积未必正，不符合题意；
B、若，则和同号，但可能跨过交点，导致符号与相反，乘积未必正，不符合题意；
C、若，则，。因，故也为负数，此时，和中，和均为负数，加上，故，即和均为负数，乘积，选项C正确，符合题意；
D、若，则，但可能正或负（取决于是否超过），乘积未必正，不符合题意；
故选：C．
【分析】
对于一次函数，当时y随x的增大而增大，由于且，则当时必然存在，则，但的符号无法确定，故符号也不确定，则的符号无法确定；
同理，当时，有两种可能，即当时，而当时，的符号都无法确定，故的符号无法确定；
当时，必然存在，则，则；
当时，则，但的符号无法确定，故的符号无法确定．
10．如图，在中，，点D在上，过点D、A分别作、的平行线交于点E，连接，设，，当为定值时，无论m、n的值如何变化，下列代数式的值不变的是（ ）
A．mn B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过A作于H，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
设，，
，，
定值，
故选：B
【分析】
由平行四边形的判定和性质可得AE＝CD，则等于，由于等腰三角形三线合一，则可过点A作底边BC的高AH，则BH＝CH，则可转化为CH与DH的平方差，再由勾股定理可得CH与DH的平方差等于AC与AD的平方差，由于已知是定值，即是定值．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围为　 　．
【答案】x≥5
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使二次根式x 5在实数范围内有意义，必须x 5≥0，
解得：x≥5，
故答案为：x≥5．
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，进行求解即可。
12．已知中，，，，则　 　.
【答案】10
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】根据勾股定理，得：
故答案为10
【分析】
直接应用勾股定理即可.
13．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，销售量如表：根据表中的数据，可建议鞋店进货时，多进尺码为　 　的女鞋．
尺码 22 23 24 25
销售量/双 1 5 12 6 3 2 1
【答案】23
【知识点】众数
【解析】【解答】解：观察数据可知，23出现的次数最多，故鞋店多进一些同一尺码的鞋，该尺码为，
故答案为：．
【分析】
由题意知求本组数据的众数，即一组数据中出现次数最多的数据．
14．如图，一次函数的图象经过，则当时，x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：观察图形，可知：当时，
故答案为：
【分析】
观察函数图象知直线呈下降趋势，则当时，
15．公元3世纪，我国数学家刘徽就能利用公式得到二次根式的近似值．其中，a取最大的正整数，r取正整数，则利用公式估算　 　．
【答案】
【知识点】无理数的估值；有理数的加减混合运算的实际应用；求算术平方根
【解析】【解答】解：，
，，
，
故答案为：
【分析】
由题意可把17写成，再根据公式计算即可．
16．如图，已知，，F是的中点，连接，若，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过F作于H，
，
，
是的中点，
，
是的中位线，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
【分析】
由于直角三角形中30度的角所对的直角等于斜边的一半，因此可过点F作AC的垂线段FH，则FH等于AF的一半等于1，再利用勾股定理可得AH的长，由于F是AE中点且，则FH是三角形ACE的中位线，即DC＝2FH＝2，再由全等三角形的性质可得EC＝BC，AC＝DC，再利用线段的和差关系可得CH的长，则EC即BC的长可得．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【分析】
（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）直接利用平方差公式计算．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．如图，四边形是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，．求证：四边形是矩形．
【答案】证明：在中，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为矩形．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】
首先由∠ACB=∠DBC，利用等角对等边，可以得到OB=OC；又因为四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得OA=OCAC，OB＝ODBD，结合OB=OC即可推出AC=BD；最后根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定平行四边形ABCD是矩形.
19．如图是一架秋千的示意图，当它静止时，踏板离地的高；将踏板往前推，当时，踏板离地的高，此时秋千的绳索是笔直的，求的长．
【答案】解：根据题意得：，四边形是矩形，∴，
设的长为，则，
∵，，
，
，
，
，
，
，
即：的长为
【知识点】矩形的性质；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】
先由矩形的判定与性质得CD＝BE＝1.5，则由线段的和差关系可得AC＝0.9，又OB＝OA，则可设OB的长为x，则OC可用含x的代数式表示，再在直角三角形OBC中应用勾股定理即可
20．近几年，为提高全民身体素质，全国各地举办“村跑”、“村运”、“村”等健身体育赛事活动，活动层出不穷．某乡镇举办篮球投篮比赛，以下是该乡镇某村甲、乙两位篮球运动员在相同条件下各投篮10组（每组投篮10次），每组的命中数如图所示．
平均数 方差 中位数
甲 7 1 a
乙 b
（1）在表中，______，______；
（2）该村要在甲、乙两位篮球运动员中选一人参赛，你认为选谁参加，并说明理由．
【答案】（1）7，7
（2）解：选甲参加，理由如下：
因为，甲、乙的平均数一样，而甲的方差小，成绩比乙更稳定.
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）解：甲的成绩按照从小到大的顺序排列如下：5、6、6、7、7、7、8、8、8、8，
第5、6两个数都是7，
所以，中位数是7；
乙：平均数，
故答案为：7，7；
【分析】
（1）中位数是指把一组数据按照从小到大的顺序排列后，最中间的一个数据或最中间两个数据的平均值；平均数直接利用公式计算即可；
（2）方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越大数据波动越大，即数据不稳定，反之方差越小数据波动越小，即数据更稳定，由于甲乙两人的平均值相同，但甲的方差小，故应选择甲．
（1）解：甲的成绩按照从小到大的顺序排列如下：5、6、6、7、7、7、8、8、8、8，
第5、6两个数都是7，
所以，中位数是7；
乙：平均数，
故答案为：7，7；
（2）解：选甲参加，理由如下：
因为，甲、乙的平均数一样，而甲的方差小，成绩比乙更稳定（答案合理即可）
21．世界上大部分国家都使用摄氏温度，也有一部分国家仍然使用华氏温度，华氏温度单位：会随着摄氏温度单位：的变化而变化．已知两种温度之间的关系如表．
摄氏温度（） 0 10 20 30 40 50
华氏温度（） 32 50 68 86 104 122
（1）根据表格中的数据，选择合适的函数模型，写出华氏温度y关于摄氏温度x的函数解析式；
（2）当华氏温度为时，求所对应的摄氏温度．
【答案】（1）解：由表格可知，摄氏温度升高，华氏温度升高，
是x的一次函数，
设y与x的函数解析式为、b为常数，且，
将，和，分别代入，
得，
解得，
与x的函数解析式为；
（2）解：当时，得，
解得，
当华氏温度为时，所对应的摄氏温度为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
（1）观察表格知，摄氏度每增加10度，华氏度增加18度，即y是x的一次函数，再利用待定系数法求出其函数解析式即可；
（2）利用直线上点的坐标特征令时可得关于x的方程并求解即可．
（1）解：由表格可知，摄氏温度升高，华氏温度升高，
是x的一次函数，
设y与x的函数解析式为、b为常数，且，
将，和，分别代入，
得，
解得，
与x的函数解析式为；
（2）解：当时，得，
解得，
当华氏温度为时，所对应的摄氏温度为．
22．如图，在四边形中，E是的中点，交于点F，，连接
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：是的中点，
，
，
是的中位线，
，
，
，
四边形为平行四边形，
；
（2）解：由知，是的中位线，四边形为平行四边形，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：

【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】
先利用三角形中位线定理可得，再结合已知，则可判定四边形为平行四边形即可；
先由中位线定理可得AD＝2，再由平行四边形的性质可得CF＝AD＝2，再应用勾股定理即可．
（1）证明：是的中点，
，
，
是的中位线，
，
，
，
四边形为平行四边形，
；
（2）解：由知，是的中位线，四边形为平行四边形，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：
23．阅读素材，完成下列任务．
如何购买才能使分拣速度最快
背景 随着技术的快速发展，越来越多的行业借助人工智能来提高工作效率，某快递公司准备购买甲、乙两种不同型号的人工智能机器人帮忙分拣快递．
素材1 甲、乙两种机器人的单价分别为3万/台和2万/台．
素材2 甲种机器人开到最大功率时，分拣速度件/时与工作时间小时的函数关系如图所示．
素材3 经厂家介绍，为了延长机器人的使用寿命，可以适当降低功率，使机器人以固定的速度分拣快递．已知降低功率后，甲种机器人以素材2中的速度a工作，乙种机器人以600件/时的速度工作．
解决问题
任务1 若甲种机器人开到最大功率工作，当时，求分拣速度v与工作时间t的函数关系式；
任务2 求素材2的图象中a的值；
任务3 该快递公司计划用不超过10万元的钱购买4台甲、乙两种机器人，当甲、乙两种机器人都降低功率工作时，如何购买才能使分拣速度最快？
【答案】解：任务1：当时，设分拣速度v与工作时间t的函数关系式为、b为常数，且，
将坐标和分别代入，
得，
解得，
当时，分拣速度v与工作时间t的函数关系式为；
任务2：当时，，
；
任务3：设购买甲种机器人x台，则购买乙种机器人台，
根据题意，得，
解得，
设4台甲、乙两种机器人总的分拣速度为y件/小时，则，
，
随x的增大而增大，
，
当时y值最大，台
答：当购买甲种机器人、乙种机器人各2台才能使分拣速度最快．
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【分析】
任务1：观察函数图象可得直线经过点和，则可利用待定系数法求出当时对应的函数解析式即可；
任务2：由直线上点的坐标特征可令时，求出对应v的值，即a的值即可；
任务3：设购买甲种机器人x台，则购买乙种机器人台，则由不等关系可得关于x的一元一次不等式并求解可得x的取值范围，再设4台甲、乙两种机器人总的分拣速度为y件/小时，则可得y是关于x的一次函数，且一次项系数为正，即y随x的增大而增大，故当x＝2时y有最大值．
24．【基础巩固】如图1，在正方形中，点E在的延长线上，连接，过点D作交的延长线于点．求证：．
【尝试应用】如图2，在菱形中，点E在的延长线上，连接，以点D为顶点作，交的延长线于点．求证：．
【拓展提升】如图3，在矩形中，，点E在边上，点F在的延长线上，连接、、，过点C作，以点E为顶点作，交于点G，过点E作于点．
（1）若，求的长；
（2）若，求的值．
【答案】【基础巩固】 ：
证明：四边形是正方形，
，，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
【尝试应用】 ：
证明：如图，以点D为圆心为半径画圆弧交于点F，连接，
则，
，
四边形是菱形，
，，，
，，
∵，
∴，
∴
在和中，
，
∴
∴；
【拓展提升】 ：
（1），
设，，
根据勾股定理，，
根据题意可知，、分别是底边、上的高．
，
；
（2）如图，分别延长EM交GC的延长线于点N、延长AD交CG延长线于点K，连接EC，再设AB＝5m，则AD＝12m.
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则
，
，即，
，即，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质；旋转全等模型
【解析】【分析】
【基础巩固】
由于四边形ABCD是正方形，且，则可利用旋转全等模型证明≌即可；
【尝试应用】
如图，以点D为圆心DC长为半径画弧交BG于点F，连接DF，则由等边对等角可得结合等角的补角相等，再由菱形的性质可得，再由平行线的性质结合已知可导角，即由旋转全等模型可得，即；
【拓展提升】
（1）由于，可设，则，由勾股定理可得，再由等面积法即可求出的长度；
（2）如图，延长EM交GC的延长线于N、延长AD交CG的延长线于K，连接EC，先由矩形的性质可得结合平行四边形的判定与性质可DK＝BC、CK＝BD，再分别设AB＝5m、DE＝x，则由勾股定理可得CK＝BD＝13m，EK＝12m+x；再由三角形的内角和结合已知可得，再由平行线的性质结合矩形的性质可得，再由已知EF＝EG可利用AAS证明，则EN＝EA＝12m-x，再利用等面积法可得关于x的方程并求解得DE的长即可．
1 / 1浙江省台州市路桥区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．6，8，10 B．5，7，9 C．4，6，8 D．3，5，7
3．在直线上的点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
4．在平行四边形中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图是以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积分别是15，22，则正方形A的边长为（ ）
A． B．7 C． D．
7．已知一组数据：6，7，7，8，如果再添加一个数据7，得到一组新的数据，与原数据相比，发生变化的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．如图，在菱形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，连接．若，，则菱形的面积为（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
9．已知，，三点均在直线为常数，，上，且，则下列判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．如图，在中，，点D在上，过点D、A分别作、的平行线交于点E，连接，设，，当为定值时，无论m、n的值如何变化，下列代数式的值不变的是（ ）
A．mn B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围为　 　．
12．已知中，，，，则　 　.
13．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，销售量如表：根据表中的数据，可建议鞋店进货时，多进尺码为　 　的女鞋．
尺码 22 23 24 25
销售量/双 1 5 12 6 3 2 1
14．如图，一次函数的图象经过，则当时，x的取值范围是　 　．
15．公元3世纪，我国数学家刘徽就能利用公式得到二次根式的近似值．其中，a取最大的正整数，r取正整数，则利用公式估算　 　．
16．如图，已知，，F是的中点，连接，若，，则的长为　 　．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．计算：
（1）；
（2）．
18．如图，四边形是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，．求证：四边形是矩形．
19．如图是一架秋千的示意图，当它静止时，踏板离地的高；将踏板往前推，当时，踏板离地的高，此时秋千的绳索是笔直的，求的长．
20．近几年，为提高全民身体素质，全国各地举办“村跑”、“村运”、“村”等健身体育赛事活动，活动层出不穷．某乡镇举办篮球投篮比赛，以下是该乡镇某村甲、乙两位篮球运动员在相同条件下各投篮10组（每组投篮10次），每组的命中数如图所示．
平均数 方差 中位数
甲 7 1 a
乙 b
（1）在表中，______，______；
（2）该村要在甲、乙两位篮球运动员中选一人参赛，你认为选谁参加，并说明理由．
21．世界上大部分国家都使用摄氏温度，也有一部分国家仍然使用华氏温度，华氏温度单位：会随着摄氏温度单位：的变化而变化．已知两种温度之间的关系如表．
摄氏温度（） 0 10 20 30 40 50
华氏温度（） 32 50 68 86 104 122
（1）根据表格中的数据，选择合适的函数模型，写出华氏温度y关于摄氏温度x的函数解析式；
（2）当华氏温度为时，求所对应的摄氏温度．
22．如图，在四边形中，E是的中点，交于点F，，连接
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
23．阅读素材，完成下列任务．
如何购买才能使分拣速度最快
背景 随着技术的快速发展，越来越多的行业借助人工智能来提高工作效率，某快递公司准备购买甲、乙两种不同型号的人工智能机器人帮忙分拣快递．
素材1 甲、乙两种机器人的单价分别为3万/台和2万/台．
素材2 甲种机器人开到最大功率时，分拣速度件/时与工作时间小时的函数关系如图所示．
素材3 经厂家介绍，为了延长机器人的使用寿命，可以适当降低功率，使机器人以固定的速度分拣快递．已知降低功率后，甲种机器人以素材2中的速度a工作，乙种机器人以600件/时的速度工作．
解决问题
任务1 若甲种机器人开到最大功率工作，当时，求分拣速度v与工作时间t的函数关系式；
任务2 求素材2的图象中a的值；
任务3 该快递公司计划用不超过10万元的钱购买4台甲、乙两种机器人，当甲、乙两种机器人都降低功率工作时，如何购买才能使分拣速度最快？
24．【基础巩固】如图1，在正方形中，点E在的延长线上，连接，过点D作交的延长线于点．求证：．
【尝试应用】如图2，在菱形中，点E在的延长线上，连接，以点D为顶点作，交的延长线于点．求证：．
【拓展提升】如图3，在矩形中，，点E在边上，点F在的延长线上，连接、、，过点C作，以点E为顶点作，交于点G，过点E作于点．
（1）若，求的长；
（2）若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A.，被开方数含分母，需化简为，不是最简二次根式，不符合题意；
B.，被开方数3无平方因子且不含分母，符合最简二次根式定义，符合题意；
C.，可化简为整数，不是最简二次根式，不符合题意；
D.，含平方因子4，可进一步化简，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据最简二次根式的定义“被开方数不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不含分母”，逐项判断解答即可．
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.，，和为，等于，该三边能组成直角三角形，符合题意；
B.，不等于，该三边不能组成直角三角形，不符合题意；
C.，不等于，该三边不能组成直角三角形，不符合题意；
D.，不等于，该三边不能组成直角三角形，不符合题意；
故选：A．
【分析】
勾股定理的逆定理，若三条线段满足较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形．
3．【答案】C
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】选项A：将代入方程，得，与3不符，故不符合题意．
选项B：将代入方程，得，与1不符，故不符合题意．
选项C：将代入方程，得，与点的y坐标一致，故符合题意．
选项D：将代入方程，得，与1不符，故不符合题意．
综上，正确答案为C．
故选：C．
【分析】
一次函数图象上的点坐标特征，将各选项中的x值代入直线解析式中验证对应的y值是否一致即可．
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在平行四边形中，对角相等，即，
故选：D．
【分析】
平行四边形的对角相等．
5．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：选项A：二次根式相加需被开方数相同才能合并，与无法合并，结果应为，故错误，不符合题意；
选项B：合并同类项：，不等于3，故错误，不符合题意；
选项C：二次根式相乘法则：，故，故错误，不符合题意；
选项D：二次根式相除法则：，故，正确，符合题意；
故选：D．
【分析】
A、只有同类二次根式才可以合并，合并时参照合并同类项的法则；
B、同类二次根式的加减参照合并同类项法则进行；
C、算术平方根的积等于积的算术平方根；
D、算术平方根的商等于商的算术平方根．
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：由正方形的面积公式结合勾股定理可得，，
正方形A的边长为，
故选：A．
【分析】
由勾股定理知正方形A的面积为7，即正方形A的边长为．
7．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：原数据：6、7、7、8，
平均数：，
中位数：排序后中间两数的平均数为，
众数：出现次数最多的数为7，
方差：；
新数据：6、7、7、7、8，
平均数：（不变），
中位数：排序后中间数为7（不变），
众数：出现次数最多的数为7（不变），
方差：（变小）；
因此，方差发生变化，
故选：D．
【分析】
A、平均数指一组所有数据和与数据个数的商，由于原数据的平均值是7，则添加数据7后平均值不变；
B、中位数是指一组数据按照从小到大的顺序排列后，最中间的一个或最中间两个数据的平均值，原数据的中位数是7，则添加7后中位数不变；
C、众数是一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个也可能是多个，原数据的众数是7，则添加7后众数不变；
D、方差指一数据中所有数据与平均值差的完全平方和的平均数，原数据的方差是0.5，但添加7后方差为0.4，故只有方差发生改变．
8．【答案】A
【知识点】菱形的性质；平行四边形的面积；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，
，
，
，
菱形的面积，
故选：A．
【分析】
由于菱形的对角线互相垂直平分，即OE为直角三角形AEC斜边AC上的中线，即AC等于OE的2倍，再利用菱形的面积公式即对角线乘积的一半求解即可．
9．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：已知直线为，其中，，故直线从左向右上升，且与y轴交于负半轴，三点，对应，
A、若，则，，但可能为正也可能为负，导致符号不确定，乘积未必正，不符合题意；
B、若，则和同号，但可能跨过交点，导致符号与相反，乘积未必正，不符合题意；
C、若，则，。因，故也为负数，此时，和中，和均为负数，加上，故，即和均为负数，乘积，选项C正确，符合题意；
D、若，则，但可能正或负（取决于是否超过），乘积未必正，不符合题意；
故选：C．
【分析】
对于一次函数，当时y随x的增大而增大，由于且，则当时必然存在，则，但的符号无法确定，故符号也不确定，则的符号无法确定；
同理，当时，有两种可能，即当时，而当时，的符号都无法确定，故的符号无法确定；
当时，必然存在，则，则；
当时，则，但的符号无法确定，故的符号无法确定．
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过A作于H，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
设，，
，，
定值，
故选：B
【分析】
由平行四边形的判定和性质可得AE＝CD，则等于，由于等腰三角形三线合一，则可过点A作底边BC的高AH，则BH＝CH，则可转化为CH与DH的平方差，再由勾股定理可得CH与DH的平方差等于AC与AD的平方差，由于已知是定值，即是定值．
11．【答案】x≥5
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使二次根式x 5在实数范围内有意义，必须x 5≥0，
解得：x≥5，
故答案为：x≥5．
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，进行求解即可。
12．【答案】10
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】根据勾股定理，得：
故答案为10
【分析】
直接应用勾股定理即可.
13．【答案】23
【知识点】众数
【解析】【解答】解：观察数据可知，23出现的次数最多，故鞋店多进一些同一尺码的鞋，该尺码为，
故答案为：．
【分析】
由题意知求本组数据的众数，即一组数据中出现次数最多的数据．
14．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：观察图形，可知：当时，
故答案为：
【分析】
观察函数图象知直线呈下降趋势，则当时，
15．【答案】
【知识点】无理数的估值；有理数的加减混合运算的实际应用；求算术平方根
【解析】【解答】解：，
，，
，
故答案为：
【分析】
由题意可把17写成，再根据公式计算即可．
16．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过F作于H，
，
，
是的中点，
，
是的中位线，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
【分析】
由于直角三角形中30度的角所对的直角等于斜边的一半，因此可过点F作AC的垂线段FH，则FH等于AF的一半等于1，再利用勾股定理可得AH的长，由于F是AE中点且，则FH是三角形ACE的中位线，即DC＝2FH＝2，再由全等三角形的性质可得EC＝BC，AC＝DC，再利用线段的和差关系可得CH的长，则EC即BC的长可得．
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【分析】
（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）直接利用平方差公式计算．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】证明：在中，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为矩形．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】
首先由∠ACB=∠DBC，利用等角对等边，可以得到OB=OC；又因为四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得OA=OCAC，OB＝ODBD，结合OB=OC即可推出AC=BD；最后根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定平行四边形ABCD是矩形.
19．【答案】解：根据题意得：，四边形是矩形，∴，
设的长为，则，
∵，，
，
，
，
，
，
，
即：的长为
【知识点】矩形的性质；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】
先由矩形的判定与性质得CD＝BE＝1.5，则由线段的和差关系可得AC＝0.9，又OB＝OA，则可设OB的长为x，则OC可用含x的代数式表示，再在直角三角形OBC中应用勾股定理即可
20．【答案】（1）7，7
（2）解：选甲参加，理由如下：
因为，甲、乙的平均数一样，而甲的方差小，成绩比乙更稳定.
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）解：甲的成绩按照从小到大的顺序排列如下：5、6、6、7、7、7、8、8、8、8，
第5、6两个数都是7，
所以，中位数是7；
乙：平均数，
故答案为：7，7；
【分析】
（1）中位数是指把一组数据按照从小到大的顺序排列后，最中间的一个数据或最中间两个数据的平均值；平均数直接利用公式计算即可；
（2）方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越大数据波动越大，即数据不稳定，反之方差越小数据波动越小，即数据更稳定，由于甲乙两人的平均值相同，但甲的方差小，故应选择甲．
（1）解：甲的成绩按照从小到大的顺序排列如下：5、6、6、7、7、7、8、8、8、8，
第5、6两个数都是7，
所以，中位数是7；
乙：平均数，
故答案为：7，7；
（2）解：选甲参加，理由如下：
因为，甲、乙的平均数一样，而甲的方差小，成绩比乙更稳定（答案合理即可）
21．【答案】（1）解：由表格可知，摄氏温度升高，华氏温度升高，
是x的一次函数，
设y与x的函数解析式为、b为常数，且，
将，和，分别代入，
得，
解得，
与x的函数解析式为；
（2）解：当时，得，
解得，
当华氏温度为时，所对应的摄氏温度为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
（1）观察表格知，摄氏度每增加10度，华氏度增加18度，即y是x的一次函数，再利用待定系数法求出其函数解析式即可；
（2）利用直线上点的坐标特征令时可得关于x的方程并求解即可．
（1）解：由表格可知，摄氏温度升高，华氏温度升高，
是x的一次函数，
设y与x的函数解析式为、b为常数，且，
将，和，分别代入，
得，
解得，
与x的函数解析式为；
（2）解：当时，得，
解得，
当华氏温度为时，所对应的摄氏温度为．
22．【答案】（1）证明：是的中点，
，
，
是的中位线，
，
，
，
四边形为平行四边形，
；
（2）解：由知，是的中位线，四边形为平行四边形，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：

【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】
先利用三角形中位线定理可得，再结合已知，则可判定四边形为平行四边形即可；
先由中位线定理可得AD＝2，再由平行四边形的性质可得CF＝AD＝2，再应用勾股定理即可．
（1）证明：是的中点，
，
，
是的中位线，
，
，
，
四边形为平行四边形，
；
（2）解：由知，是的中位线，四边形为平行四边形，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：
23．【答案】解：任务1：当时，设分拣速度v与工作时间t的函数关系式为、b为常数，且，
将坐标和分别代入，
得，
解得，
当时，分拣速度v与工作时间t的函数关系式为；
任务2：当时，，
；
任务3：设购买甲种机器人x台，则购买乙种机器人台，
根据题意，得，
解得，
设4台甲、乙两种机器人总的分拣速度为y件/小时，则，
，
随x的增大而增大，
，
当时y值最大，台
答：当购买甲种机器人、乙种机器人各2台才能使分拣速度最快．
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【分析】
任务1：观察函数图象可得直线经过点和，则可利用待定系数法求出当时对应的函数解析式即可；
任务2：由直线上点的坐标特征可令时，求出对应v的值，即a的值即可；
任务3：设购买甲种机器人x台，则购买乙种机器人台，则由不等关系可得关于x的一元一次不等式并求解可得x的取值范围，再设4台甲、乙两种机器人总的分拣速度为y件/小时，则可得y是关于x的一次函数，且一次项系数为正，即y随x的增大而增大，故当x＝2时y有最大值．
24．【答案】【基础巩固】 ：
证明：四边形是正方形，
，，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
【尝试应用】 ：
证明：如图，以点D为圆心为半径画圆弧交于点F，连接，
则，
，
四边形是菱形，
，，，
，，
∵，
∴，
∴
在和中，
，
∴
∴；
【拓展提升】 ：
（1），
设，，
根据勾股定理，，
根据题意可知，、分别是底边、上的高．
，
；
（2）如图，分别延长EM交GC的延长线于点N、延长AD交CG延长线于点K，连接EC，再设AB＝5m，则AD＝12m.
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则
，
，即，
，即，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质；旋转全等模型
【解析】【分析】
【基础巩固】
由于四边形ABCD是正方形，且，则可利用旋转全等模型证明≌即可；
【尝试应用】
如图，以点D为圆心DC长为半径画弧交BG于点F，连接DF，则由等边对等角可得结合等角的补角相等，再由菱形的性质可得，再由平行线的性质结合已知可导角，即由旋转全等模型可得，即；
【拓展提升】
（1）由于，可设，则，由勾股定理可得，再由等面积法即可求出的长度；
（2）如图，延长EM交GC的延长线于N、延长AD交CG的延长线于K，连接EC，先由矩形的性质可得结合平行四边形的判定与性质可DK＝BC、CK＝BD，再分别设AB＝5m、DE＝x，则由勾股定理可得CK＝BD＝13m，EK＝12m+x；再由三角形的内角和结合已知可得，再由平行线的性质结合矩形的性质可得，再由已知EF＝EG可利用AAS证明，则EN＝EA＝12m-x，再利用等面积法可得关于x的方程并求解得DE的长即可．
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