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浙江省台州市临海市2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中只有一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．下列二次根式属于最简二次根式的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意
B、是最简二次根式，符合题意；
C、被开方数4是完全平方数，可化简为整数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【分析】
最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、因为，所以不能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、因为，所以不能构成直角三角形，故B不符合题意；
C、因为，所以能构成直角三角形，故C符合题意；
D、因为，所以不能构成直角三角形，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】
根据勾股定理的逆定理：先应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断，逐一判断即可解答．
3．直线y=x+2与y轴的交点坐标是（　　）
A．(0，2) B．(2，0) C．(-2，0) D．(0，-2)
【答案】A
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】令直线y=x+2中x=0
解得y=2
∴直线与y轴的交点坐标为(0，2)
故选A．
【分析】
由直线上点的坐标特征令x=0即可求出直线与y轴的交点坐标．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故选项错误；
B、与不是同类二次根式，不能直接合并，所以，故选项错误；
C、，故选项错误；
D、，故选项正确．
故选：D．
【分析】
A、任意实数的平方都是非负数；
B、只有同类二次根式才可以合并；
C、同类二次根式的加减，可参照合并同类项的方法进行；
D、算术平方根的和等于积的算术平方根．
5．下表记录了甲、乙、丙、丁四位选手各次射击成绩的数据信息．
选手 甲 乙 丙 丁
平均数
方差
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　）．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：四位选手中，甲、乙、丙的平均数均为环，丁的平均数为环，成绩较差，
排除丁，
甲、乙、丙的平均数相同，甲的方差最小，乙的方差为，丙的方差为，
方差越小，发挥越稳定，
选择甲．
故选：A．
【分析】
平均数是衡量一组数据集中趋势的量，平均数越大数据越集中；方差是衡量一组数据离散程度的量，方差越小数据越稳定；由于甲乙丙丁四位同学中丁的平均值最小，可先排除丁，又因为甲乙丙三名同学中甲的方差最小，说明甲的成绩最稳定，故可排除乙和丙．
6．下列各命题中，真命题为（　　）
A．平行四边形的对角线互相平分 B．菱形的对角线相等
C．矩形的对角线互相垂直 D．对角线相等的四边形是矩形
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A选项：平行四边形的对角线互相平分，这是平行四边形的性质定理，正确；
B选项：菱形的对角线互相垂直且平分，但长度不一定相等，故错误；
C选项：矩形的对角线相等且互相平分，但不互相垂直，故错误；
D选项：对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形，需满足“对角线相等的平行四边形”才是矩形，故错误．
故选：A．
【分析】
由题设可推导出结论的命题叫真命题，则平行四边形的对角线互相平分是真命题；由于菱形的对角线互相垂直平分，故B选项是假命题；由于矩形的对角线互相平分且相等，故C选项是假命题；由于对角线相等的平行四边形是矩形，故选项D是假命题．
7．下列图象中，不能表示是的函数的是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的概念；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】根据函数的概念，可知对于自变量的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应；
D选项，当取值时，有不止一个值与之对应，故D不能表示是的函数．
故选：D．
【分析】
函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量．
8．如图，在菱形中，点为对角线上一点，且，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：在菱形中，，
，
在菱形中，为对角线，，则，
在中，，，则，
故选：B．
【分析】
由于菱形是平行四边形，则由邻角互补可得的值，又菱形的一条对角线平分一组对角，则可得的值，再由等边对等角结合三角形的内角和定理即可．
9．一次函数（为常数，）部分自变量的值与函数值的对应关系如下表，则这个函数的图象可能是（　　）．
… …
… …
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：从表中可以看出，自变量每增加个单位，函数值减小，
∴这个函数的图象可能是C，
故选：C．
【分析】
观察表格y随x的增大而减小，即直线呈下降趋势，故可排除A和B，又x每加1则y减小2，即直线在竖直方向上倾斜度较小，故可排除D．
10．如图，在中，，是的中点，在边上．若，则的长为（　　）．
A．3 B． C． D．4
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取的中点记作F，连接，如图，
因为在中，，，
所以有勾股定理可得，，
因为点D，F分别为的中点，
所以，且，
所以，
因为，
所以，
所以为等腰三角形，
所以，
又因为点F为的中点，
所以，
所以．
故选：D ．
【分析】
由于点D为AC中点，则可取AB中点F并连接DF，则DF为三角形ABC的中位线，即，再由三角形的内角和定理结合已知可得，即FD＝FE，再由勾股定理和中位线定理可分别得AB、DF的长，则AF、EF长可得，再利用线段和差关系计算即可．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围为　 　
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵x-3≥0
∴解得，x≥3
故答案为：x≥3.
【分析】因为二次根式具有非负性，根号下的式子要想有意义，需要大于等于0.
12．把直线向下平移1个单位长度，所得直线的解析式是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：把直线向下平移1个单位长度，所得直线的解析式是．
故答案为：．
【分析】
平面直角坐标系中函数图象的平移规律，“左加右减，上加下减” ．
13．某公司招聘职员，竞聘者需参加计算机、语言表达和写作能力三项测试．竞聘成绩按照如下标准计算：计算机成绩占50%，语言表达成绩占30%，写作能力成绩占20%．李丽的三项成绩依次是70分，90分，80分，则李丽的竞聘成绩是 　 　分．
【答案】78
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意得：
（分）；
故答案为78．
【分析】根据加权平均数的定义求解即可.
14．直角三角形斜边上高和中线分别是5和6，则它的面积是　 　．
【答案】30
【知识点】三角形的面积；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，
直角三角形斜边上的中线是6，
斜边长为：，
它的面积，
故答案为：30．
【分析】
先利用直角三角形的相关性质计算出斜边的长度，再结合三角形的面积公式求解即可.
15．已知关于的不等式（k，b为常数，）的解集是，下列结论：①；②；③直线可能与轴交于点；④不等式的解集是，其中结论正确的序号有　 　．
【答案】①②③
【知识点】解一元一次不等式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：，
移项得：，
解集是，不等式符号改变了，
，故①正确；
，
，故②正确；
由题意知，当时，的函数值大于4，
又，y随x的增大而减小，
直线可能与轴交于点，故③正确；
解，得：，
，
即，故④错误；
综上可知，正确的有①②③，
故答案为：①②③．
【分析】
由不等式的解集为可知一次函数中y随x的减小而增大，则；又因为，则；因为y随x的增大而减小，则当时可能存在；解不等式得．
16．如图，矩形纸片中，，点在边上．将沿翻折得到，若，则的长度为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵在矩形中，，，，
∴在中，．
延长至点G，使得，连接，
设，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴由折叠可得，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
延长CB到点G，使BG＝BE，连接AG，则由矩形的性质可利用SAS证明，即有；再由轴对称的性质可得，设，则由邻补角结合已知可得，由直角三角形两锐角互余可得，，再利用角的和差关系可得，再由等角对等边可得CG＝CA，再利用勾股定理求出CA的长，最后再利用线段的和差关系求出BG即可．
三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分）
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】
（1）由于算术平方根的商等于商的算术平方根，直接利用多项式除单项式的除法运算法则去括号即可；
（2）先利用多项式乘多项式的运算法则去括号，再分别合并同类二次根式并进行有理数的加减运算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．如图，在平行四边形中，，，，平分交于点．
（1）求的度数；
（2）求的长度．
【答案】（1）解：四边形是平行四边形，
∴，
，
平分，
．
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
∴
，
，
∵在中，，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】
（1）先由平行四边形的邻角互补可得的度数，再利用角平分线的概念即可；
（2）由平行四边形的对边平行可得，再利用角平分线的概念可得，再由等角对等边可得DE＝DA，再由平行四边形的对边相等可得DC＝AB，再利用线段和差关系即可．
（1）解：四边形是平行四边形，
∴，
，
平分，
．
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
∴
，
，
∵在中，，
．
19．如图，函数（为常数，）的图象与函数的图象交于点．
（1）求k，m的值；
（2）将函数图象上的一点先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后恰好落在函数的图象上，求点的坐标．
【答案】（1）解：点在直线上
点在直线上
答：；
（2）解：设点B的坐标为，则两次平移后得到的点的坐标为
解得：
答：点B的坐标为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】
（1）由直线上点的坐标特征先将代入可得m的值，再将A点坐标代入即可求出k的值；
（2）由直线上点的坐标特征可设点坐标为，则由点的平移变化规律可得点两次后得到的点的坐标，再利用直线上点的坐标特征把该坐标代入到直线的解析式中得关于a的一元一次方程并求解即可．
（1）将代入，
得，
将代入，
得，
解得；
（2）已知点在函数图象上，设点坐标为，
则点平移后得到的点坐标为，
将点代入，
得，
解得，
所以点坐标为．
20．第十四届国际数学教育大会（）于年在上海举办，其大会标识（如图）的中心图案是赵爽弦图（如图），该图由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成．连接，，若，．
（1）求线段的长度；
（2）判断是否为直角三角形，并说明理由．
【答案】（1）解：四个直角三角形全等，
，，
，
在中，；
（2）解：不是直角三角形，
理由如下：
如下图所示，连接、，
在中，，，
，
在中，，，
，
由可知，
，
，
不是直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
由三角形全等和正方形的性质可知，，即，再利用勾股定理可求即可；
同上先利用勾股定理可以得，，再结合，再利用勾股定理的逆定理进行验证即可．
（1）解：四个直角三角形全等，
，，
，
在中，；
（2）解：不是直角三角形，
理由如下：
如下图所示，连接、，
在中，，，
，
在中，，，
，
由可知，
，
，
不是直角三角形．
21．某校组织七、八年级学生参加了“国防安全知识”测试，已知七、八年级各有100人，现从两个年级分别随机抽取10名学生，他们的测试成绩（单位：分）统计如下：
七年级：86 94 79 84 71 88 76 83 91 88
八年级：91 81 93 85 90 96 78 90 90 45
数据分析如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 88 44.4
八年级 83.9 90 194.9
根据以上信息，回答下列问题：
（1）______，_____；
（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校七年级测试成绩达到“优秀”的学生人数：
（3）你认为哪个年级的测试成绩更好，请至少写出一条理由．
【答案】（1）85，90
（2）解：由七年级成绩不低于85分为“优秀”的学生有5，则估计该校七年级测试成绩达到“优秀”的学生人数人．
答：该校七年级测试成绩达到“优秀”的学生人数为50人．
（3）答： 我认为八年级的测试成绩更好，理由如下：
由两个年级平均分接近，七年级中位数为85，八年级中位数为90，则，八年级的测试成绩更好．
【知识点】中位数；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，88，88，91，94，故该组数据的中位数为，
八年级10名学生的成绩中90分的最多，有3人，所以众数．
故答案为：85，90．
【分析】
（1）中位数指把一组数据按照从小到大的顺序排列后，最中间的一个（数据总数为奇数）或最中间两个数据的平均值（数据总数为偶数）；众数指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个也可能是多个；
（2）用样本估计总体，即先求出七年级优秀学生的占比，再乘以七年级总人数即可；
（3）方差是衡量一组数据离散程度的量，方差越小说明数据越稳定；平均数、中位数、众数都是衡量一组数据集中趋势的量，由于七、八年级的平均值比较接近，但七年级的中位数明显较小，故八年级的成绩相对更优秀；当然也可从众数或方差的角度进行比较，能说明理由就行，答案不唯一．
（1）解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，88，88，91，94，故该组数据的中位数为，
八年级10名学生的成绩中90分的最多，有3人，所以众数．
故答案为：85，90．
（2）解：由七年级成绩不低于85分为“优秀”的学生有5，则估计该校七年级测试成绩达到“优秀”的学生人数人．
答：该校七年级测试成绩达到“优秀”的学生人数为50人．
（3）解：我认为八年级的测试成绩更好，理由如下：
由两个年级平均分接近，七年级中位数为85，八年级中位数为90，则，八年级的测试成绩更好．
22．如图，矩形中，，分别以点和点为圆心，大于同样长为半径作弧，两弧相交于两点，连接分别交于点，连接．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）求菱形的面积．
【答案】（1）（1）证明：∵四边形是矩形，
，
，
由作图可得，垂直平分，
，
，
，
，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵垂直平分，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
∴菱形的面积为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】
（1）由基本尺规作图知EF垂直平分AC，则OA＝OC，再利用平行四边形的性质可证明，则OE＝OF，即四边形AECF的对角线互相垂直平分，即该四边形为菱形；
（2）由线段垂直平分线的性质可得AE＝CE，则设CE＝x，则AE、BE均可用含x的代数式表示，再应用勾股定理求出x即CE的长，再利用平行四边形面积公式计算即可．
（1）（1）证明：∵四边形是矩形，
，
，
由作图可得，垂直平分，
，
，
，
，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵垂直平分，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
∴菱形的面积为．
23．小明和爸爸周末前往游泳馆进行游泳训练，他们都在长为的笔直泳道进行匀速往返游泳．起点和终点分别为泳道两端，两人同时从起点出发，到达终点后，立即转身游向起点，到达起点后，又立即转身游向终点……已知爸爸游泳的速度大于小明游泳的速度．训练过程中，父子间的距离和游泳时间的部分图象如图所示：
（1）爸爸的速度为_______，小明的速度为______；点代表的实际意义是：______：
（2）求线段的函数解析式；
（3）在15分钟内，两人一共相遇_______次．
【答案】（1）1；；经过秒，小明和爸爸第一次相遇
（2）解：由（1）知点B坐标为，点C处为小明第一次到达终点，所需时间为：，
此时两人之间距离为：，
∴点C坐标为，
设段函解析式为，
将代入得：，
解得：，
∴段函解析式为；
（3）16
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】
（1）
解：由图象可知，爸爸用游了，此时小亮在爸爸后面，即小亮用游了，
∴爸爸的速度为，小亮的速度为，
，
∴点B表示：经过，小明和爸爸第一次相遇；
（3）
解：由（1）可知，两人每经过即可相遇一次，
，
在15分钟内，两人一共相遇16次；
【分析】
（1）观察图象知，当爸爸第一次游到泳道对岸时小明距离他10米，即爸爸50秒游了50米，而小明50秒游了40米，则两人的速度可得；由于点B的纵坐标为0，即两个第一次相遇，此时爸爸与小明共同游了2个50米，速度和为1.8米每秒，则时间为秒，即点B的坐标代表的实际意义为第秒时两人第一次相遇；
（2）观察图象知点C的实际意义为小明到达泳道对岸时父子两人之间的距离，可先求出此时点C的横坐标即所需时间，再求点C的纵坐标即爸爸离泳道对岸的距离，再利用用待定系数法求出直线的解析式即可；
（3）由于两人每经过相遇一次，可先把15分钟化为900秒，再直接应用有理数的除法运算并对商进行取整即可．
（1）解：由图象可知，爸爸用游了，此时小亮在爸爸后面，即小亮用游了，
∴爸爸的速度为，小亮的速度为，
，
∴点B表示：经过，小明和爸爸第一次相遇；
（2）解：由（1）知点B坐标为，
点C处为小明第一次到达终点，所需时间为：，
此时两人之间距离为：，
∴点C坐标为，
设段函解析式为，
将代入得：，
解得：，
∴段函解析式为；
（3）解：由（1）可知，两人每经过即可相遇一次，
，
在15分钟内，两人一共相遇16次；
24．如图1，正方形中，点在边上，连接，过点作交延长线于点．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，过点作于点，连接．
①求证：；
②设长为，长为，求的面积（用含，的代数式表示）．
【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，
，
四边形为平行四边形，
；
（2）① 证明：如图，连接，
由（1）得四边形为平行四边形，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
（SAS），
，，
，
，即为等腰直角三角形，
，
，
；
②解：设，则，
四边形是正方形，
，由①得，
在中，，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【分析】（1）由正方形的性质可得AD平行EF，再结合已知AF平行DE，则可证四边形ADEF是平行四边形即可；
（2）①如图，连接PF，由正方形和平行四边形的性质可得AB＝AD＝FE，，再由直角三角形两锐角互余可得，则，由手拉手模型可得，即，再利用勾股定理即可；
②设，，则，再由正方形的性质结合勾股定理可得，由①知，再由勾股定理得，再利用完全平方公式求出即可．
（1）四边形是正方形，
，
，
四边形为平行四边形，
；
（2）①如图，连接，
由（1）得四边形为平行四边形，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
（SAS），
，，
，
，即为等腰直角三角形，
，
，
；
②设，则，
四边形是正方形，
，由①得，
在中，，
．
1 / 1浙江省台州市临海市2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中只有一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．下列二次根式属于最简二次根式的是（　　）．
A． B． C． D．
2．以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
3．直线y=x+2与y轴的交点坐标是（　　）
A．(0，2) B．(2，0) C．(-2，0) D．(0，-2)
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．下表记录了甲、乙、丙、丁四位选手各次射击成绩的数据信息．
选手 甲 乙 丙 丁
平均数
方差
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　）．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．下列各命题中，真命题为（　　）
A．平行四边形的对角线互相平分 B．菱形的对角线相等
C．矩形的对角线互相垂直 D．对角线相等的四边形是矩形
7．下列图象中，不能表示是的函数的是（　　）．
A． B．
C． D．
8．如图，在菱形中，点为对角线上一点，且，若，则（　　）
A． B． C． D．
9．一次函数（为常数，）部分自变量的值与函数值的对应关系如下表，则这个函数的图象可能是（　　）．
… …
… …
A． B．
C． D．
10．如图，在中，，是的中点，在边上．若，则的长为（　　）．
A．3 B． C． D．4
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围为　 　
12．把直线向下平移1个单位长度，所得直线的解析式是　 　．
13．某公司招聘职员，竞聘者需参加计算机、语言表达和写作能力三项测试．竞聘成绩按照如下标准计算：计算机成绩占50%，语言表达成绩占30%，写作能力成绩占20%．李丽的三项成绩依次是70分，90分，80分，则李丽的竞聘成绩是 　 　分．
14．直角三角形斜边上高和中线分别是5和6，则它的面积是　 　．
15．已知关于的不等式（k，b为常数，）的解集是，下列结论：①；②；③直线可能与轴交于点；④不等式的解集是，其中结论正确的序号有　 　．
16．如图，矩形纸片中，，点在边上．将沿翻折得到，若，则的长度为　 　．
三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．如图，在平行四边形中，，，，平分交于点．
（1）求的度数；
（2）求的长度．
19．如图，函数（为常数，）的图象与函数的图象交于点．
（1）求k，m的值；
（2）将函数图象上的一点先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后恰好落在函数的图象上，求点的坐标．
20．第十四届国际数学教育大会（）于年在上海举办，其大会标识（如图）的中心图案是赵爽弦图（如图），该图由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成．连接，，若，．
（1）求线段的长度；
（2）判断是否为直角三角形，并说明理由．
21．某校组织七、八年级学生参加了“国防安全知识”测试，已知七、八年级各有100人，现从两个年级分别随机抽取10名学生，他们的测试成绩（单位：分）统计如下：
七年级：86 94 79 84 71 88 76 83 91 88
八年级：91 81 93 85 90 96 78 90 90 45
数据分析如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 88 44.4
八年级 83.9 90 194.9
根据以上信息，回答下列问题：
（1）______，_____；
（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校七年级测试成绩达到“优秀”的学生人数：
（3）你认为哪个年级的测试成绩更好，请至少写出一条理由．
22．如图，矩形中，，分别以点和点为圆心，大于同样长为半径作弧，两弧相交于两点，连接分别交于点，连接．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）求菱形的面积．
23．小明和爸爸周末前往游泳馆进行游泳训练，他们都在长为的笔直泳道进行匀速往返游泳．起点和终点分别为泳道两端，两人同时从起点出发，到达终点后，立即转身游向起点，到达起点后，又立即转身游向终点……已知爸爸游泳的速度大于小明游泳的速度．训练过程中，父子间的距离和游泳时间的部分图象如图所示：
（1）爸爸的速度为_______，小明的速度为______；点代表的实际意义是：______：
（2）求线段的函数解析式；
（3）在15分钟内，两人一共相遇_______次．
24．如图1，正方形中，点在边上，连接，过点作交延长线于点．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，过点作于点，连接．
①求证：；
②设长为，长为，求的面积（用含，的代数式表示）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意
B、是最简二次根式，符合题意；
C、被开方数4是完全平方数，可化简为整数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【分析】
最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、因为，所以不能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、因为，所以不能构成直角三角形，故B不符合题意；
C、因为，所以能构成直角三角形，故C符合题意；
D、因为，所以不能构成直角三角形，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】
根据勾股定理的逆定理：先应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断，逐一判断即可解答．
3．【答案】A
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】令直线y=x+2中x=0
解得y=2
∴直线与y轴的交点坐标为(0，2)
故选A．
【分析】
由直线上点的坐标特征令x=0即可求出直线与y轴的交点坐标．
4．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故选项错误；
B、与不是同类二次根式，不能直接合并，所以，故选项错误；
C、，故选项错误；
D、，故选项正确．
故选：D．
【分析】
A、任意实数的平方都是非负数；
B、只有同类二次根式才可以合并；
C、同类二次根式的加减，可参照合并同类项的方法进行；
D、算术平方根的和等于积的算术平方根．
5．【答案】A
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：四位选手中，甲、乙、丙的平均数均为环，丁的平均数为环，成绩较差，
排除丁，
甲、乙、丙的平均数相同，甲的方差最小，乙的方差为，丙的方差为，
方差越小，发挥越稳定，
选择甲．
故选：A．
【分析】
平均数是衡量一组数据集中趋势的量，平均数越大数据越集中；方差是衡量一组数据离散程度的量，方差越小数据越稳定；由于甲乙丙丁四位同学中丁的平均值最小，可先排除丁，又因为甲乙丙三名同学中甲的方差最小，说明甲的成绩最稳定，故可排除乙和丙．
6．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A选项：平行四边形的对角线互相平分，这是平行四边形的性质定理，正确；
B选项：菱形的对角线互相垂直且平分，但长度不一定相等，故错误；
C选项：矩形的对角线相等且互相平分，但不互相垂直，故错误；
D选项：对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形，需满足“对角线相等的平行四边形”才是矩形，故错误．
故选：A．
【分析】
由题设可推导出结论的命题叫真命题，则平行四边形的对角线互相平分是真命题；由于菱形的对角线互相垂直平分，故B选项是假命题；由于矩形的对角线互相平分且相等，故C选项是假命题；由于对角线相等的平行四边形是矩形，故选项D是假命题．
7．【答案】D
【知识点】函数的概念；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】根据函数的概念，可知对于自变量的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应；
D选项，当取值时，有不止一个值与之对应，故D不能表示是的函数．
故选：D．
【分析】
函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量．
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：在菱形中，，
，
在菱形中，为对角线，，则，
在中，，，则，
故选：B．
【分析】
由于菱形是平行四边形，则由邻角互补可得的值，又菱形的一条对角线平分一组对角，则可得的值，再由等边对等角结合三角形的内角和定理即可．
9．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：从表中可以看出，自变量每增加个单位，函数值减小，
∴这个函数的图象可能是C，
故选：C．
【分析】
观察表格y随x的增大而减小，即直线呈下降趋势，故可排除A和B，又x每加1则y减小2，即直线在竖直方向上倾斜度较小，故可排除D．
10．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取的中点记作F，连接，如图，
因为在中，，，
所以有勾股定理可得，，
因为点D，F分别为的中点，
所以，且，
所以，
因为，
所以，
所以为等腰三角形，
所以，
又因为点F为的中点，
所以，
所以．
故选：D ．
【分析】
由于点D为AC中点，则可取AB中点F并连接DF，则DF为三角形ABC的中位线，即，再由三角形的内角和定理结合已知可得，即FD＝FE，再由勾股定理和中位线定理可分别得AB、DF的长，则AF、EF长可得，再利用线段和差关系计算即可．
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵x-3≥0
∴解得，x≥3
故答案为：x≥3.
【分析】因为二次根式具有非负性，根号下的式子要想有意义，需要大于等于0.
12．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：把直线向下平移1个单位长度，所得直线的解析式是．
故答案为：．
【分析】
平面直角坐标系中函数图象的平移规律，“左加右减，上加下减” ．
13．【答案】78
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意得：
（分）；
故答案为78．
【分析】根据加权平均数的定义求解即可.
14．【答案】30
【知识点】三角形的面积；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，
直角三角形斜边上的中线是6，
斜边长为：，
它的面积，
故答案为：30．
【分析】
先利用直角三角形的相关性质计算出斜边的长度，再结合三角形的面积公式求解即可.
15．【答案】①②③
【知识点】解一元一次不等式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：，
移项得：，
解集是，不等式符号改变了，
，故①正确；
，
，故②正确；
由题意知，当时，的函数值大于4，
又，y随x的增大而减小，
直线可能与轴交于点，故③正确；
解，得：，
，
即，故④错误；
综上可知，正确的有①②③，
故答案为：①②③．
【分析】
由不等式的解集为可知一次函数中y随x的减小而增大，则；又因为，则；因为y随x的增大而减小，则当时可能存在；解不等式得．
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵在矩形中，，，，
∴在中，．
延长至点G，使得，连接，
设，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴由折叠可得，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
延长CB到点G，使BG＝BE，连接AG，则由矩形的性质可利用SAS证明，即有；再由轴对称的性质可得，设，则由邻补角结合已知可得，由直角三角形两锐角互余可得，，再利用角的和差关系可得，再由等角对等边可得CG＝CA，再利用勾股定理求出CA的长，最后再利用线段的和差关系求出BG即可．
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】
（1）由于算术平方根的商等于商的算术平方根，直接利用多项式除单项式的除法运算法则去括号即可；
（2）先利用多项式乘多项式的运算法则去括号，再分别合并同类二次根式并进行有理数的加减运算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：四边形是平行四边形，
∴，
，
平分，
．
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
∴
，
，
∵在中，，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】
（1）先由平行四边形的邻角互补可得的度数，再利用角平分线的概念即可；
（2）由平行四边形的对边平行可得，再利用角平分线的概念可得，再由等角对等边可得DE＝DA，再由平行四边形的对边相等可得DC＝AB，再利用线段和差关系即可．
（1）解：四边形是平行四边形，
∴，
，
平分，
．
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
∴
，
，
∵在中，，
．
19．【答案】（1）解：点在直线上
点在直线上
答：；
（2）解：设点B的坐标为，则两次平移后得到的点的坐标为
解得：
答：点B的坐标为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】
（1）由直线上点的坐标特征先将代入可得m的值，再将A点坐标代入即可求出k的值；
（2）由直线上点的坐标特征可设点坐标为，则由点的平移变化规律可得点两次后得到的点的坐标，再利用直线上点的坐标特征把该坐标代入到直线的解析式中得关于a的一元一次方程并求解即可．
（1）将代入，
得，
将代入，
得，
解得；
（2）已知点在函数图象上，设点坐标为，
则点平移后得到的点坐标为，
将点代入，
得，
解得，
所以点坐标为．
20．【答案】（1）解：四个直角三角形全等，
，，
，
在中，；
（2）解：不是直角三角形，
理由如下：
如下图所示，连接、，
在中，，，
，
在中，，，
，
由可知，
，
，
不是直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
由三角形全等和正方形的性质可知，，即，再利用勾股定理可求即可；
同上先利用勾股定理可以得，，再结合，再利用勾股定理的逆定理进行验证即可．
（1）解：四个直角三角形全等，
，，
，
在中，；
（2）解：不是直角三角形，
理由如下：
如下图所示，连接、，
在中，，，
，
在中，，，
，
由可知，
，
，
不是直角三角形．
21．【答案】（1）85，90
（2）解：由七年级成绩不低于85分为“优秀”的学生有5，则估计该校七年级测试成绩达到“优秀”的学生人数人．
答：该校七年级测试成绩达到“优秀”的学生人数为50人．
（3）答： 我认为八年级的测试成绩更好，理由如下：
由两个年级平均分接近，七年级中位数为85，八年级中位数为90，则，八年级的测试成绩更好．
【知识点】中位数；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，88，88，91，94，故该组数据的中位数为，
八年级10名学生的成绩中90分的最多，有3人，所以众数．
故答案为：85，90．
【分析】
（1）中位数指把一组数据按照从小到大的顺序排列后，最中间的一个（数据总数为奇数）或最中间两个数据的平均值（数据总数为偶数）；众数指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个也可能是多个；
（2）用样本估计总体，即先求出七年级优秀学生的占比，再乘以七年级总人数即可；
（3）方差是衡量一组数据离散程度的量，方差越小说明数据越稳定；平均数、中位数、众数都是衡量一组数据集中趋势的量，由于七、八年级的平均值比较接近，但七年级的中位数明显较小，故八年级的成绩相对更优秀；当然也可从众数或方差的角度进行比较，能说明理由就行，答案不唯一．
（1）解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，88，88，91，94，故该组数据的中位数为，
八年级10名学生的成绩中90分的最多，有3人，所以众数．
故答案为：85，90．
（2）解：由七年级成绩不低于85分为“优秀”的学生有5，则估计该校七年级测试成绩达到“优秀”的学生人数人．
答：该校七年级测试成绩达到“优秀”的学生人数为50人．
（3）解：我认为八年级的测试成绩更好，理由如下：
由两个年级平均分接近，七年级中位数为85，八年级中位数为90，则，八年级的测试成绩更好．
22．【答案】（1）（1）证明：∵四边形是矩形，
，
，
由作图可得，垂直平分，
，
，
，
，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵垂直平分，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
∴菱形的面积为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】
（1）由基本尺规作图知EF垂直平分AC，则OA＝OC，再利用平行四边形的性质可证明，则OE＝OF，即四边形AECF的对角线互相垂直平分，即该四边形为菱形；
（2）由线段垂直平分线的性质可得AE＝CE，则设CE＝x，则AE、BE均可用含x的代数式表示，再应用勾股定理求出x即CE的长，再利用平行四边形面积公式计算即可．
（1）（1）证明：∵四边形是矩形，
，
，
由作图可得，垂直平分，
，
，
，
，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵垂直平分，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
∴菱形的面积为．
23．【答案】（1）1；；经过秒，小明和爸爸第一次相遇
（2）解：由（1）知点B坐标为，点C处为小明第一次到达终点，所需时间为：，
此时两人之间距离为：，
∴点C坐标为，
设段函解析式为，
将代入得：，
解得：，
∴段函解析式为；
（3）16
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】
（1）
解：由图象可知，爸爸用游了，此时小亮在爸爸后面，即小亮用游了，
∴爸爸的速度为，小亮的速度为，
，
∴点B表示：经过，小明和爸爸第一次相遇；
（3）
解：由（1）可知，两人每经过即可相遇一次，
，
在15分钟内，两人一共相遇16次；
【分析】
（1）观察图象知，当爸爸第一次游到泳道对岸时小明距离他10米，即爸爸50秒游了50米，而小明50秒游了40米，则两人的速度可得；由于点B的纵坐标为0，即两个第一次相遇，此时爸爸与小明共同游了2个50米，速度和为1.8米每秒，则时间为秒，即点B的坐标代表的实际意义为第秒时两人第一次相遇；
（2）观察图象知点C的实际意义为小明到达泳道对岸时父子两人之间的距离，可先求出此时点C的横坐标即所需时间，再求点C的纵坐标即爸爸离泳道对岸的距离，再利用用待定系数法求出直线的解析式即可；
（3）由于两人每经过相遇一次，可先把15分钟化为900秒，再直接应用有理数的除法运算并对商进行取整即可．
（1）解：由图象可知，爸爸用游了，此时小亮在爸爸后面，即小亮用游了，
∴爸爸的速度为，小亮的速度为，
，
∴点B表示：经过，小明和爸爸第一次相遇；
（2）解：由（1）知点B坐标为，
点C处为小明第一次到达终点，所需时间为：，
此时两人之间距离为：，
∴点C坐标为，
设段函解析式为，
将代入得：，
解得：，
∴段函解析式为；
（3）解：由（1）可知，两人每经过即可相遇一次，
，
在15分钟内，两人一共相遇16次；
24．【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，
，
四边形为平行四边形，
；
（2）① 证明：如图，连接，
由（1）得四边形为平行四边形，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
（SAS），
，，
，
，即为等腰直角三角形，
，
，
；
②解：设，则，
四边形是正方形，
，由①得，
在中，，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【分析】（1）由正方形的性质可得AD平行EF，再结合已知AF平行DE，则可证四边形ADEF是平行四边形即可；
（2）①如图，连接PF，由正方形和平行四边形的性质可得AB＝AD＝FE，，再由直角三角形两锐角互余可得，则，由手拉手模型可得，即，再利用勾股定理即可；
②设，，则，再由正方形的性质结合勾股定理可得，由①知，再由勾股定理得，再利用完全平方公式求出即可．
（1）四边形是正方形，
，
，
四边形为平行四边形，
；
（2）①如图，连接，
由（1）得四边形为平行四边形，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
（SAS），
，，
，
，即为等腰直角三角形，
，
，
；
②设，则，
四边形是正方形，
，由①得，
在中，，
．
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