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23.4 实际问题与一次函数 第3课时（最大利润问题） 跟踪练
2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个（），则小东应付货款（元）与篮球个数（个）的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
2．元旦期间，某商场搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在本商场一次性购物超过100元者，超过100元的部分按9折优惠”．在此活动中，李明到该商场为单位一次性购买单价为60元的办公用品x(x＞2)件，则应付款y(元)与商品件数x(件)之间的关系式是( )
A．y＝54x B．y＝54x＋10
C．y＝54x－90 D．y＝54x＋45
3．某公司市场营销部的个人收入（元）与其每月的销售量（万件）成一次函数关系，其图象如图所示，营销人员没有销售时（最低工资）的收入是（ ）
A．2000元 B．3000元 C．3500元 D．4000元
4．某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表：
售价x（元/千克） 50 60 70 80 …
销售量y（千克） 250 240 230 220 …
①y与x之间的函数关系式为；
②当售价为72元时，月销售利润为7296元；
③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元；
④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元；
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是（　　）
A．第20天的日销售利润是750元 B．第30天的日销售量为150件
C．第24天的日销售量为200件 D．第30天的日销售利润是750元
二、填空题
6．某商店销售每台型电脑的利润为100元，销售每台型电脑的利润为150元，该商店计划一次购进，两种型号的电脑共100台，设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元，则与的函数关系式______________
7．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间的关系如下表．
x（元件） 15 18 20 22 …
y（件） 250 220 200 180 …
按照这样的规律可得，日销售利润w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式是________．
8．我市各单位为同学们的返校复学采取了一系列举措．复课返校后，为了拉开学生锻炼的间距，某学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子，原来购进根跳绳和个毽子共需元；购进根跳绳和个毽子共需元．学校计划购进跳绳和毽子两种器材共个，由于受疫情影响，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七五折出售，学校要求跳绳的数量不少于毽子数量的倍，跳绳的数量不多于根，则最少费用是______ 元．
9．小石的妈妈需要购买盒子存放升的食物，且要求每个盒子要装满．现有两种型号的盒子，单个盒子的容量和价格如下表．
型号
单个盒子容量（升）
单价（元）
（1）写出一种购买方案，可以为______；
（2）恰逢五一假期，型号盒子正在做促销活动，即购买三个及三个以上可一次性返现金元，则购买盒子所需要的最少费用为______元．
10．甲地组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种物资共100吨到乙地．每辆汽车可装运物资的运载量和每吨所需运费如下表．
物资种类 食品 药品 生活用品
每辆汽车运载量/吨 6 5 4
每吨所需运费/元 120 160 100
如果20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满，每种物资至少装运1辆车，那么总运费最少的车辆安排方案为：装运食品、药品、生活用品的汽车辆数依次是_______，此时总运费为____元．
11．某京郊民宿有二人间、三人间、四人间三种客房供游客住宿，某旅游团有25位女士游客准备同时住这三种客房共8间，如果每间客房都要住满，请写出一种住宿方案__________；如果二人间、三人间、四人间三种客房的收费标准分别为300元/间、360元/间、400元/间，则最优惠的住宿方案是_________．
12．某公司新产品上市天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是__________元．
三、解答题
13．为提升训练质量，某羽毛球俱乐部计划采购某品牌羽毛球训练器材．经市场调查了解到该品牌羽毛球拍每副120元，羽毛球每筒40元，某体育用品商场抓住机遇推出促销活动，提供了两种优惠方案：
方案一：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球；
方案二：羽毛球拍和羽毛球全部按定价打八折．
若该羽毛球俱乐部需采购球拍100副，羽毛球x筒．方案一、二所需付款金额分别为元、元．
(1)求， 与之间的函数表达式；
(2)当时，通过计算比较这两种方案哪种更划算．
14．年春节假日期间，万余名游客欢聚云台山，新春喜乐会年味足．焦作某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃，以飨游客．已知购买1千克A种食材和2千克B种食材共需元，购买2千克A种食材和1千克B种食材共需元．
(1)求A，B两种食材的单价；
(2)该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
15．某工厂生产某种产品，每件产品成本价25元，出厂价为50元．在生产过程中，每件产品产生立方米污水，工厂有两种方案对污水进行处理．
方案1：自行处理，达标排放．每处理1立方米所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元．
方案2：污水纳入污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．
问：
(1)设工厂每月生产x件产品，每月利润为y元，分别求出依方案1和方案2处理污水时，y与x的函数关系式．
(2)设工厂每月生产量为6000件产品时，你采用何种方案才能使企业利润最大，请通过计算加以说明．
(3)随着工厂生产量的不同，启用何种方案才能使企业的利润最大．
16．某扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行盆景的培植和销售，在第一期培植销售完成后，统计发现，若盆种盆景和盆种盆景共获利润元；如果盆种盆景和盆种盆景共获利润元．
(1)每盆种盆景、种盆景的利润各是多少元？
(2)为更好服务于农户，扶贫小组决定进行二期盆景培植，培植种、种盆景的总数量盆，若要求第二期种盆景的数量不多于盆，当种、种盆景各多少盆时，总利润最高，最高利润是多少？
17．某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为8元件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图像，图中的折线表示日销售量（件）与销售时间（天）之间的函数关系．已知线段表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．
(1)第24天的日销售量是__________件，日销售利润是__________元；
(2)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
(3)试销售期间，日销售最大利润是多少元？
18．今年，土瓜冲村在云南备受瞩目，这个位于曲靖市马龙区通泉街道杨官田社区的村落，因打造乡村旅居示范点，在乡村振兴之路上的卓越表现而备受赞誉．我市某村走访了土瓜冲村，学习、了解土瓜冲村的发展模式，并决定充分利用乡村资源，结合先进理念，平衡群众、集体和企业的利益，从而推动文旅产业的新发展，助力乡村振兴．经过深入的调查研究，该村决定利用当地盛产的甲、乙两种原料开发、两种商品．
如何设计合理的生产方案
素材一 为科学决策，他们试生产、两种商品共100千克进行深入研究，已知现有甲种原料270千克，乙种原料254千克．
素材二 生产1千克商品，1千克商品所需要的甲、乙两种原料及生产成本如表所示： 甲种原料（单位：千克）乙种原料（单位：千克）生产成本（单位：元）A商品32100B商品23180
设生产种商品千克，生产、两种商品共100千克的总成本为元（为整数）．
根据以上素材，完成下列两个任务的解答
任务一 （1）请你利用不等式的相关知识说明有多少种生产方案；
任务二 （2）求与的函数解析式，并求出当取何值时，应如何安排生产方案才能使总成本最小？最小成本为多少元？
参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 C B B C A
1．C
【分析】根据已知表示出买x个篮球的总钱数以及优惠后价格，进而得出等式即可．
【详解】解：∵凡在该商店一次性购物超过 100元者，超过100元的部分按九折优惠，
∴小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球x个（x＞2），
则小东应付货款y（元）与篮球个数x（个）的函数关系式是：
y=（70x-100）×0.9+100=63x+10（x＞2），
故选：C．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据已知得出货款与篮球个数的等式是解题关键．
2．B
【分析】根据已知表示出买x件办公用品的总钱数以及优惠后价格，进而得出等式即可；
【详解】∵凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠，
∴李明到该商场为单位一次性买单价为60元的办公用品，x（x＞2）件，
则李明应付贷款y（元）与办公用品件数x（件）的函数关系式是：
．
故答案选B．
【点睛】本题主要考查了根据实际问题列一次函数关系式，准确找到等量关系是解题的关键．
3．B
【分析】由图象是一条直线可知收入与销售量是一次函数关系，又由图象上的两点（1，8000）和（2，13000），利用待定系数法确定函数关系，再求销售量为0时的函数值即可．
【详解】解：设销售收入y（元）与销售量x（万件）的关系为y=kx+b，
由题意得，
解得，
∴y=5000x+3000，
∴当x=0时，y=3000，
即营销人员没有销售时的收入是3000元．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的应用．由图象过两点利用待定系数法即可确定函数关系式，没有销售即销售量为0，求对应的函数值，把图象与题意结合起来考虑．
4．C
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，可设与之间的函数关系式为，再把将、代入，联立方程组，并解出，得出与之间的函数关系式，即可判断选项①；再根据一次函数的性质，得出当时，月销售量为千克，然后算出月销售利润，即可判断选项②；设月销售利润为，根据月销售利润等于每千克的利润乘以数量，得出，再根据题意，得出月销售量不超过千克，再根据一次函数，得出售价，然后代入，计算即可判断选项③；再根据二次函数的性质，即可判断选项④，综合即可得出答案．
【详解】解：设y与x之间的函数关系式为,
把代入到中得：，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为,故①正确；
当时，，则此时利润为元，故②正确；
设月销售利润为元，
∴，
∵每月购进这种海鲜的总进价不超过元，
∴（千克），即月销售量不超过千克，
∴当时，即，
解得：，
∴（元），故③错误；
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，即最高利润为元，故④正确．
∴正确的有3个，
故选：C。
5．A
【分析】根据函数图象信息，逐项分析解题即可．
【详解】解：当0≤t≤24时，设y＝kt+b，
，
解得，，
即当0≤t≤24时，，
当t＝20时，，
则第20天的日销售利润约为183×5＝915（元），故选项A错误；
第30天的日销售量为150件，故选项B正确；
第24天的日销售量为200件，故选项C正确；
第30天的日销售利润是150×5＝750（元），故选项D正确；
故选：A．
【点睛】本题考查函数图象、一次函数的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
6．
【分析】根据“总利润=A型电脑每台利润×A电脑数量+B型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式．
【详解】解：根据题意，
y=100x+150（100-x）=-50x+15000；
故答案为：
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是根据总利润与销售数量的数量关系列出关系式．
7．
【分析】本题考查了二次函数的求解，理解题意是解决本题的关键．
根据表中数据确定销售量y与销售单价x成一次函数关系，再利用利润公式建立w与x的二次函数关系即可．
【详解】解：由表可知，销售量y与销售单价x满足一次函数关系，设，
将点和代入，
得，
解得，
∴，
∴日销售利润销售收入总成本
．
故答案为：．
8．
【分析】设打折前跳绳的单价为元，毽子的单价为元，根据“打折前，购进根跳绳和个毽子共需元；购进根跳绳和个毽子共需元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出跳绳及毽子的单价，设购买跳绳根，则购买个，根据“购进跳绳的数量不少于毽子数量的倍，且跳绳的数量不多于根”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，设购买跳绳和毽子的总费用为元，利用总价单价数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】解：设打折前跳绳的单价为元，毽子的单价为元，
根据题意得：，
解得：，
打折前跳绳的单价为元，毽子的单价为元．
设购买跳绳根，则购买毽子个，
根据题意得：，
解得：．
设购买跳绳和毽子的总费用为元，则，
即，
，
随的增大而增大，
又，且为正整数，
当时，取得最小值，最小值，
最少费用是元．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式是解题的关键．
9． 购买方案为个型号，个型号（答案不唯一）
【分析】（1）设购买型号为个，购买型号为个，根据题意列二元一次方程即可解答；
（2）设购买型号的盒子个，则购买型号的盒子个数为个，并设购买盒子所需要的费用为元，根据题意列一次函数即可解答．
【详解】解：（1）∵小石的妈妈需要购买盒子存放升的食物，
∴设购买型号为个，购买型号为个，
∴，
∴，，
∴购买方案为个型号，个型号；
故答案为：购买方案为个型号，个型号；
（2）设购买型号的盒子个，则购买型号的盒子个数为个，并设购买盒子所需要的费用为元，
第一种情况：没有接受型号盒子促销活动的一次性返现金元，
即当时，
，
∴一次函数的解析式为，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，有最小值，
∴购买盒子所需要的最少费用为；
第二种情况：有接受型号盒子促销活动的一次性返现金元，
即当时，
，
∴一次函数的解析式为,
∵，
∴随的增大而增大，
∴当，有最小值，
∴购买盒子所需要的最少费用为，
∵，
∴购买盒子所需要的最少费用为，
故答案为．
【点睛】本题考查了一次函数与实际问题，二元一次方程与实际问题，掌握一次函数的性质是解题的关键．
10．
【分析】设辆汽车装运食品，辆汽车装运药品，则装运生活用品的车辆数为，
根据三种物资共100吨列出等式，求出，再根据每种物资至少装运1辆车，求出的取值范围，最后列出总费用与的函数关系式，利用函数的性质即可解决问题．
【详解】解：设辆汽车装运食品，辆汽车装运药品，则装运生活用品的车辆数为，
由题意，得：，
∴．
∴．
∵每种物资至少装运1辆车，
∴．
解得：，
设总费用为，则
，
∵，
∴随的增大而减小．
∵，且为整数，
∴当时，总费最少，最少费用为元．
此时．
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，用两个未知数表示出运送生活用品的车辆数是列出方程的关键，也是解决本题的突破点，利用一次函数的增减性求出最小值是本题的难点．
11． 二人间2间，三人间3间，四人间3间（答案不唯一）； 二人间3间，三人间1间，四人间4间．
【分析】设二人间、三人间分别需要间，间，则四人间需要间，则，整理得：，再利用方程的非负整数解可得答案；设住宿总费用为：元，而，则，再利用一次函数的性质解答即可．
【详解】解：设二人间、三人间分别需要间，间，则四人间需要间，则
，
整理得：，
∵，，都为非负整数，
∴当时，，，
∴可行的住宿方案为：二人间2间，三人间3间，四人间3间；
设住宿总费用为：元，而，则
，
∵，
∴当最大，有最小值，
∵，，，都为非负整数，
∴时最大，
此时，；
∴最佳住宿方案为：二人间3间，三人间1间，四人间4间．
故答案为：二人间2间，三人间3间，四人间3间（答案不唯一）；二人间3间，三人间1间，四人间4间．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的整数解的应用，一次函数的应用，理解题意，构建方程与一次函数是解本题的关键．
12．1800
【分析】从图1和图2中可知，当t=30时，日销售量达到最大，每件产品的销售利润也达到最大，所以由日销售利润=销售量×每件产品销售利润即可求解．
【详解】由图1知，当天数t=30时，市场日销售量达到最大60件；
从图2知，当天数t=30时，每件产品销售利润达到最大30元，
所以当天数t=30时，市场的日销售利润最大，最大利润为60×30=1800元，
故答案为：1800
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，也考查了学生的观察能力、理解能力和解决实际问题的能力，仔细审题，利用数形结合法理解题目已知信息是解答的关键．
13．(1)，
(2)方案一更划算，理由见解析
【分析】本题主要考查了函数关系式，求函数值，根据题意列出代数式是解题的关键．
（1）根据两种不同的优惠方案列出函数关系式即可；
（2）把分别代入（1）中函数关系式，然后进行比较即可．
【详解】（1）解：，
（2）解：当时，，
，
方案一更划算．
14．(1)元；元
(2)A种购买千克，B种购买千克；元
【分析】本题考查了销售、利润问题(二元一次方程组的应用)，最大利润问题(一次函数的实际应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
（1）设A种食材的单价为元/千克，B种食材的单价为元/千克，根据题中的等量关系列出方程组求解；
（2）设A种食材购买千克，则B种食材购买千克，总费用为元，列出一次函数关系式，再根据一次函数的增减性求出最值．
【详解】（1）解：设A种食材的单价为元/千克，B种食材的单价为元/千克．
根据题意，得，
解得，
A种食材的单价是每千克元，B种食材的单价是每千克元．
（2）解：设A种食材购买千克，则B种食材购买千克，总费用为元．
根据题意，得．
，
．
，
随的增大而增大．
当时，有最小值为：（元）．
A种食材购买千克，B种食材购买千克时，总费用最少，为元．
15．(1)方案1：；方案2：
(2)工厂采用方案1时利润最大，见解析
(3)见解析
【分析】本题考查一次函数的应用和方案设计问题．
（1）每件产品出厂价为50，共x件，则总收入为：，成本费为，产生的污水总量为，按方案一处理污水应花费：，按方案二处理应花费：．根据利润=总收入-总支出即可得到y与x的关系；
（2）根据（1）中得到的x与y的关系，将代入，比较y的大小即可得采用哪种方案工厂利润最多．
（3）根据（1）中得到的x与y的关系，列不等式即可求解.
【详解】（1）按方案1处理污水时，．
按方案2处理污水时，；
（2）当时，；
．
因为，
所以工厂采用方案1时所获利润更大．
（3）当时，解得，即当每月生产量超过5000件时，工厂采用方案1时利润更多；
当时，解得，即当每月生产量等于5000件时，工厂采用任意一种方案的利润相同；
当时，解得，即当每月生产量小于5000件时，工厂采用方案2时利润更多．
16．(1)每盆种盆景的利润为元、种盆景的利润是元
(2)当种盆、种盆景盆时，总利润最高，最高利润是元
【分析】本题考查了一次函数的应用和二元一次方程的应用，找到等量关系和掌握一次函数的性质是解题的关键．
（1）根据“盆种盆景和盆种盆景共获利润元；如果盆种盆景和盆种盆景共获利润元”列方程组求解；
（2）先根据“、的利润和等于总利润”列出函数表达式，再根据函数的性质求解．
【详解】（1）解：设每盆种盆景的利润为元、种盆景的利润是元，
由题意得：
解得：，
答：每盆种盆景的利润为元、种盆景的利润是元；
（2）设利润为元，种盆景盆，
则，
，
随的增大而增大，
，
当时，取最大值，最大值为：元，
答：当种盆、种盆景盆时，总利润最高，最高利润是元．
17．(1)330，660
(2)
(3)720
【分析】（1）先确定第24天处于段，利用段“时间每增加1天，日销售量减少5件”的规律计算日销售量，再结合“利润（售价成本价）日销售量”求日销售利润；
（2）分段和段分别求函数关系式：段为正比例函数，通过图像上已知点求解析式；段为一次函数，利用待定系数法求解析式，再确定两段的取值范围；
（3）根据“利润（售价成本价）日销售量”，结合日销售量的最大值（由段函数性质确定）计算最大利润．
【详解】（1）解：由线段中时间每增加1天，日销售量减少5件，观察图像，当时，（即第22天日销售量为340件），
第24天与第22天间隔天，因此日销售量减少件，
所以第24天的日销售量为件；
已知产品成本价为6元/件，售价为8元/件，每件利润为元，
日销售利润 每件利润 日销售量，即元．
故答案为：330，660；
（2）解：段为过原点的正比例函数，设其解析式为，
由图像可知，当时，，代入得，解得，
段的函数关系式为；
段为一次函数，设其解析式为，
由（1）知，当时，，
将代入，得，
解得，，
段的函数关系式为，
解方程组得，，
综上，；
（3）解：日销售利润 每件利润 日销售量，其中售价成本价 元（定值），因此日销售量最大时，利润最大，
段函数中，，随增大而增大；段函数中，，随增大而减小，
因此，日销售量的最大值出现在段的终点（即时），
当时，代入段函数，得件，
日销售最大利润 元，
【点睛】本题考查了函数的概念及应用，一次函数和正比例函数，函数图像的理解，函数的最大值和最小值，数学建模思想，关键在于理解分段函数的分界点及各段函数的变化规律，通过函数性质确定最值．
18．（1）有种生产方案（2）安排生产种商品70千克，生产B种商品千克，才能使总成本最小,最小成本为元．
【分析】本题考查了不等式组的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据生产、两种商品共100千克进行深入研究，已知现有甲种原料270千克，乙种原料254千克，进行列出不等式，再解得，进行分析，即可作答．
（2）先理解题意，根据、两种商品的生产成本进行列式化简得，结合一次函数的性质以及进行分析，即可作答．
【详解】解：（1）∵设生产种商品千克，生产、两种商品共100千克
∴生产B种商品千克
则，
解得，
∵为整数，
∴（种）
∴有种生产方案；
（2）依题意，
由（1）得，且为整数，
∵，
∴在中，随着的增大而减小
故当时，，则有最小值，
即，
，
∴安排生产种商品70千克，生产B种商品千克，才能使总成本最小,最小成本为元．
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