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23.4 实际问题与一次函数 第2课时（分配方案问题） 跟踪练
2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　）
A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米
2．某游泳馆新推出了甲、乙两种消费卡，设游泳次数为时两种消费卡所需费用分别为，元，，与的函数图象如图所示，当游泳次数为30次时选择哪种消费卡更合算（ ）
A．甲种更合算 B．乙种更合算 C．两种一样合算 D．无法确定
3．某公司话费收费有套餐（月租元，通话费每分钟元）和套餐（月租元，通话费每分钟元）两种，当，两种套餐收费一样时，月通话时间为（　　）
A．100分钟 B．200分钟 C．300分钟 D．400分钟
4．小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示：
甲种货车 乙种货车
载货量（吨/辆） 25 20
租金（元/辆） 2000 1800
请问：李老板最少要花掉租金（ ）．
A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元
5．某市体育馆将举办明星足球赛，为此体育馆推出两种团体购票方案（设购票张数为张，购票总价为元）．方案一：购票总价由图中的折线所表示的函数关系确定；方案二：提供元赞助后，每张票的票价为元．则两种方案购票总价相同时，的值为（ ）
A． B． C． D．
6．某通讯公司推出三种上网月收费方式．这三种收费方式每月所收的费用y（元）与上网时间x（时）的函数关系如图所示，下列判断错误的是（ ）
A．每月上网不足25时，选择A方式最省钱
B．每月上网时间为30时，选择B方式最省钱
C．每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长
D．每月上网时间超过70时，选择C方式最省钱
二、填空题
7．本年度某单位常有集体外出学习活动，因此准备与出租车公司签订租车协议．现有甲、乙两家出租车公司供选择．设每月行驶千米，应付给甲公司元，应付给乙公司元，、分别与之间的函数关系如图所示，若这个单位估计每月需要行驶的路程为3500千米，那么为了省钱，这个单位应租__________公司．
8．某通讯公司推出了①②两种收费方式，收费y1，y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，若使用资费①更加划算，通讯时间x(分钟)的取值范围是_______．
9．小静准备到甲或乙商场购买一些商品，两商场同种商品的标价相同，而各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买满一定数额a元后，再购买的商品按原价的收费；在乙商场累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的收费．若累计购物x元，当时，在甲商场需付钱数，当时，在乙商场需付钱数为．下列说法：①；②当累计购物大于50元时，选择乙商场一定优惠些；③当累计购物超过150元时，选择甲商场一定优惠些；④．其中正确的说法是________（填序号）
10．单位组织职工观看某场足球比赛，球票的原价为每张100元．在购买门票时，体育场给出了两种不同的团体购票方案．方案一：单位赞助10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元；方案二：不交赞助费，当购买票数不超过100张时，按原价收费，超过100张时，超出部分每张80元，设某单位购票x张，总费用为y元．
（1）若该单位采用方案一购票，则y与x之间的函数关系式为______；
（2）若该单位采用方案二购票，则当时，y与x之间的函数关系式为_____，当时，y与x之间的函数关系式为_____；
（3）若甲、乙两单位共购买了本场足球赛门票700张（每个单位都至少购买了10张），共付费58000元，且甲单位付费较多，则甲单位采用方案______（填“一”或“二”）购票_______张，乙单位采用方案____（填“一”或“二”）购票______张．
11．A城有种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，则W关于x的函数关系式为_______________．
三、解答题
12．某体育馆在暑假期间推出“全民健身”优惠活动，设置两种套餐：
套餐一：按照运动次数收费；
套餐二：先交会员费，再将每次运动收费打折．
设运动次数为x，所需费用为y元，y与x之间的函数关系图象如图．
(1)分别求出套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式；
(2)去体育馆健身多少次时，两种套餐费用一样 费用是多少
(3)小马准备去该体育馆办理套餐，请你利用函数知识帮助小马选择哪种套餐划算 请说明理由．
13．某公司拟采购一批车辆，现面临传统燃油（汽油）车与氢能源车两种选型方案．该公司对两种车型在购置及整个生命周期使用过程中的费用进行了系统性分析：若总费用只受购车费用和行驶过程中燃料使用费用影响，其他因素忽略不计（即总费用=购车费用+行驶过程中燃料使用费用），调研信息如下：
设车辆行驶路程为（单位：万公里），总费用为（单位：万元）
①下表是调研中的两组数据：
车辆类型 传统燃油车 氢能源车
行驶路程（万公里） 10 10
总费用 23 28
②两类车型各自的总费用与行驶路程的函数关系的图象如图所示，两函数图象交于点，且与轴分别交于点，点．
结合上述调研信息，回答问题：
(1)传统燃油车购车费用是___________万元；
(2)根据车辆行驶路程的变化，怎样选择车型使总费用较低．
14．中国书法是中华优秀传统文化的重要组成部分，书法教育对培养学生的书写能力、审美能力和文化品质具有重要作用．张叔叔计划为母校捐赠一批毛笔和宣纸，打算从甲、乙两家物流公司中选择一家进行运输，甲物流公司的收费标准是12元/千克；乙物流公司的收费标准是：5千克以内（无论几千克）共收费80元，超过5千克的部分，每增加1千克，收费增加10元．设张叔叔要运输的这批毛笔和宣纸共千克，甲物流公司的总运输费用为元，乙物流公司的总运输费用为元．
(1)分别求出与之间的函数关系式；
(2)张叔叔选择哪家物流公司比较划算？（不计其他费用）
15．游泳自古以来深受大家的喜爱，伟大领袖毛主席畅游长江时，写下了“才饮长沙水，又食武昌鱼．万里长江横渡，极目楚天舒．不管风吹浪打，胜似闲庭信步，今日得宽馀”的千古名篇．暑期将至，某游泳俱乐部推出暑期游泳活动，活动方案如下：
方案一：不办理会员金卡，每次按原价收费；
方案二：办理会员金卡，每次游泳按原价的五折收费．
设游泳次，按照方案一所需费用为元；按照方案二，所需费用为元，其函数图象如图所示．
(1)求直线的解析式；
(2)求直线的解析式及点的坐标，并说明点的实际含义；
(3)小明暑假准备到该游泳俱乐部学习游泳，请你帮助小明设计一个最优惠的方案．
16．暑假期间，小刚一家准备乘坐高铁前往青岛旅游，计划第二天到甲、乙两个租车公司租用新能源汽车去中山公园看樱花．甲公司：按日收取固定租金元，另外再按租车时间计费；乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租金是元．设租车时间为小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，其关系如图所示．

根据以上信息，解决下列问题：
(1)请直接写出，关于的表达式 ；
(2)当租车时间为多少小时时，两个公司所需费用相同；
(3)根据（2）的计算结果，结合图象，请你帮助小明直接写出选择怎样的出游方案更合理．
17．国庆节期间，小明和家人乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用一辆新能源汽车自驾出游，两家公司的租赁信息如下：
甲公司：按日收取固定租金84元，另外再按每小时租费20元计费（不足一小时按一小时计费）
乙公司：无固定租金，三小时以内每小时的租费40元，超过三小时，超过部分以每小时的租费32元计费（不足一小时按一小时计费）．
根据以上信息，解决下列问题：
(1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出，关于x的函数关系式；
(2)请你帮助小明通过计算说明选择哪家租车公司出游比较合算．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C B C B D B
1．C
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案．
【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，
A方案：一共需要花费：，
B方案∶ 一共需要花费：，
若选择A方案，，解得：，
若选择B方案，得，
由于，则选择B方案是最优租车方案，
故选：C．
2．B
【分析】根据一次函数的图象，哪个函数图象在上面，哪个就大，直接得出答案即可．
【详解】解：利用图象，当游泳次数大于10次时，
在上面，即＞，
∴当游泳次数为30次时，选择乙种方式省钱．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用以及利用函数图象比较函数大小，利用数形结合得出是解题关键．
3．C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据套餐的收费为月租加上话费，套餐的收费为话费列式，再根据两种收费相同列出方程，求解即可．
【详解】解：设通话时间为分钟，则套餐的收费为元，套餐的收费方式为元．
依题意，，
解得：，
故选：C．
4．B
【分析】设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，用x将y表示出来，进行判断即可．
【详解】解：设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，根据题意得：
，
∵，
∴，
∴当时，y最小，最小值为：
（元），
即李老板最少要花掉租金16000元，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，列出一次函数的解析式是解题的关键．
5．D
【分析】分别求出方案一中的OA和AB表示的解析式以及方案二的解析式，再进行比较即可得到结论．
【详解】解：在方案一中，设OA表示的解析式为，且
解得，
表示的解析式为：；
设表示的解析式为，
又，
解得，，
表示的解析式为：；
方案二的解析式为：；
当时，
故的图象与的图象无交点，
当时，，
所以，当时，两种方案购票总价相同．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，运用待定系数法求一次函数关系式是解答本题的关键．
6．B
【分析】本题主要考查一次函数的应用．ACD：根据图象可以直接判断；B：求出25小时之后A方式的函数关系式，令求出x的值与30进行比较，数形结合即可判断．
【详解】 解：A、由函数图象知，每月上网不足25小时，选择A方式最省钱．故A项正确．
B、设25小时之后A方式的函数关系式为，
由题意可得，解得，
∴函数关系式为，
令，解得，
∴当每月上网时间为30小时，选择方式最省钱．故B项错误．
C、由函数图象知，每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长．故C项正确．
D、由函数图象知，每月上网时间超过70小时，选择C方式最省钱．故D项正确．
故选：B．
7．甲
【分析】由题意可知x=3500>1500，此时观察图像，则此时甲省钱．
【详解】根据图象可知当x>1500时，，此时甲省钱．
∵x=3500>1500，此时，
∴此时甲省钱．
故答案为：甲．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，根据两个一次函数的交点判断出与的大小是解答本题的关键．
8．x＞300
【分析】根据题意首先将已知点的坐标代入一次函数的解析式求得k值，然后确定两函数图象的交点坐标，从而确定x的取值范围.
【详解】解：由题设可得不等式kx＋30＜x.
∵y1＝kx＋30经过点(500，80)，
∴k＝，
∴y1＝x＋30，y2＝x，解得：x＝300，y＝60.
∴两直线的交点坐标为(300，60)，
∴当x＞300时不等式kx＋30＜x中x成立，
故答案为：x＞300.
【点睛】本题考查的是用一次函数解决实际问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．
9．①③④
【分析】根据题中已知条件，求出，然后和相比较，从而得出正确结论．
【详解】①、，正确，符合题意；
②、当累计购物大于50时上没封顶，选择乙商场一定优惠显然不对，不符合题意；
③、当时，即，解之得．所以当累计购物超150元时，选择甲商场一定优惠些，符合题意；
④、根据题意，所以，符合题意；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，不等式等知识点，灵活的与方程或不等式联系起来是解决此问题的关键．
10． 一 500 二 200
【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可；
（2）根据题意列出函数关系式即可；
（3）根据函数关系式和题目给出的数量关系判断计算即可．
【详解】解：（1）该单位采用方案一购票，则y与x之间的函数关系式为：；
故答案为：；
（2）该单位采用方案二购票，则当时，y与x之间的函数关系式为；
当x＞100时，y与x之间的函数关系式为y＝80（x－100）+100×10000=80x+2000；
故答案为：，
（3）若两单位都采用方案一，则总票款应为，矛盾．
若两单位都采用方案二，则至少一个单位购票超过100张，若是一个超过100张另一个不超过100张，设购票较少的买了x张，
则有，
解得，与已知矛盾；
若两个单位购票都超过100张，则总票款应为，矛盾．
故只能是一个单位采用方案一，另一个单位采用方案二．
此时设采用方案一的购票x张，若采用方案二的购票不超过100张，则有，
解得，但此时，矛盾；
若采用方案二的购票超过100张，则有，
解得，此时，符合题意，
再由甲单位付费较多可知采用方案一的是甲，采用方案二的是乙．
故答案为：一、500，二、200．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题关键是根据题意列出函数关系式，运用函数知识解决问题．
11．
【分析】因为A城运往C乡x台农机，则A城运往D乡（30﹣x）台农机，B城运往C乡（34﹣x）台农机，B城运往D乡[40﹣（34﹣x）]台农机，就可以得到关系式．
【详解】解：由题意得：因为A城运往C乡x台农机，则A城运往D乡（30﹣x）台农机，B城运往C乡（34﹣x）台农机，B城运往D乡[40﹣（34﹣x）]台农机
W＝250x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240[40﹣（34﹣x）]
＝140x+12540，
故答案为：W＝140x+12540．
【点睛】本题考查一次函数的应用，属于一般的应用题，解答本题的关键是根据题意得出y与x的函数关系式．
12．(1)套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式分别为：，；
(2)去体育馆健身10次时，两种套餐费用一样，费用为200元；
(3)见详解
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是待定系数法求一次函数表达式．
（1）设套餐一函数表达式为，设套餐二函数表达式为，根据图像，分别代入即可作答；
（2）根据图像，套餐一和套餐二的交点处，两种套餐费用一样，即，进而计算即可；
（3）分类讨论：当，，时，分别算出对应的健身的次数，再进行作答即可．
【详解】（1）解：设选择套餐一时，y关于x的函数表达式为，
由题意，得，
解得，
∴，
设选择套餐二时，y关于x的函数表达式为，
把点和点分别代入，
即，
解得，
∴，
∴套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式分别为：，；
（2）解：根据题意，当时，两种套餐费用一样，
即：，
解得，
此时，
∴去体育馆健身10次时，两种套餐费用一样，费用为200元；
（3）解：由（2）得当时，解得，
即去体育馆健身10次时，两种套餐费用一样，费用为200元；
当时，
解得，
即去体育馆健身超过10次时，选择套餐二；
当时，
即去体育馆健身小于10次时，选择套餐一．
13．(1)
(2)当时，选传统燃油车总费用较低；当时，两种车总费用一样；当时，选氢能源车总费用较低
【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法，一次函数图象的性质是关键．
（1）根据两类车型各自的总费用与行驶路程的函数关系的图象，
（2）运用待定系数法算出各自总费用与行驶路程的函数解析式，，当两种车总费用相等时，即，得到行驶路程，结合图形判定即可求解．
【详解】（1）解：，即当时，传统燃油车的总费用为万元，氢能源车的总费用为万元，
∴传统燃油车购车费用是万元；
（2）解：设传统燃油车总费用与行驶路程的解析式为，
把代入得，，
解得，，
∴传统燃油车总费用与行驶路程的解析式为，
同理，设氢能源车总费用与行驶路程的解析式为，
把代入得，，
解得，，
∴氢能源车总费用与行驶路程的解析式为，
当时，，
解得，，
∴当时，选传统燃油车总费用较低；
当时，两种车总费用一样；
当时，选氢能源车总费用较低．
14．(1)，
(2)当时，张叔叔选择乙物流公司比较划算；当时，张叔叔选择两家物流公司的费用相同；当时，张叔叔选择甲物流公司比较划算
【分析】本题考查了一次函数的方案问题，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先分别理解甲、乙物流公司的收费标准，再分别列式化简，即可作答．
（2）依题意，进行分类讨论，然后列式算出所对应的的值或者的范围，即可作答．
【详解】（1）解：∵设张叔叔要运输的这批毛笔和宣纸共千克，甲物流公司的收费标准是12元/千克
∴，
∵乙物流公司的收费标准是：5千克以内（无论几千克）共收费80元，超过5千克的部分，每增加1千克，收费增加10元．
∴
（2）解：当时，，
解得，
当时，，
解得，
当时，，
解得．
当时，张叔叔选择乙物流公司比较划算；
当时，张叔叔选择两家物流公司的费用相同；
当时，张叔叔选择甲物流公司比较划算．
15．(1)
(2)，点的坐标为，点的实际含义为：游泳20次的时候方案一与方案二的费用相同，均为400元
(3)见解析
【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先设直线的解析式为，再把代入进行计算，即可作答．
（2）理解题意，得每次游泳的原价为（元），设直线的解析式为，故．因为点为直线的交点，则，得点的坐标为，点的实际含义为：游泳20次的时候方案一与方案二的费用相同，均为400元．
（3）结合（2），则当游泳次数大于20时，，选择方案二更优惠；当游泳次数小于20时，，选择方案一更优惠，即可作答．
【详解】（1）解：设直线的解析式为．
由图可知的图象经过．
解得
．
（2）解：由可知，金卡会员每次游泳的费用为10元．
办理会员金卡后，每次游泳按原价的五折收费，
每次游泳的原价为（元）
设直线的解析式为，
．
点为直线的交点，
此时，
即．
解得．
此时．
点的坐标为．
点的实际含义为：游泳20次的时候方案一与方案二的费用相同，均为400元．
（3）解：由（2）得游泳20次的时候，方案一与方案二的费用相同，此时选择方案一与方案二都可以；
当游泳次数大于20时，，选择方案二更优惠；
当游泳次数小于20时，，选择方案一更优惠．
16．(1)；
(2)租车时间为小时，两个公司所需费用相同
(3)见解析
【分析】本题考查一次函数的运用，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求解函数解析式，即可．
（1）设，，把，代入即可，把代入，即可；
（2）当，求出，即可；
（3）分类讨论：当，解出；当，解出；，解出，进行讨论，即可．
【详解】（1）解：设，，
∴把，代入，
∴，
解得：，
∴；
把代入，
∴，
∴，
故答案为：，．
（2）解：由函数图象可知，当时，两个公司所需费用相同，
∴，
解得：；
当租车时间为小时，两个公司所需费用相同．
（3）解：当，
∴当租车时间为小时，两个公司所需费用相同；
当，，
∴当租车时间为小时，甲公司所需费用较高，选择乙公司比较划算；
当，，
∴当租车时间为小时，乙公司所需费用较高，选择甲公司比较划算．
17．(1)，
(2)当租车时间为5小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于5小时，选择乙公司合算；当租车时间大于5小时，选择甲公司合算
【分析】此题考查了一次函数的综合运用，解题关键是用待定系数法求出一次函数的解析式．
（1）根据两家公司的费用计算方法求解即可；
（2）结合两个一次函数解析式，分为三种情况：，，，分别求出对应x的值可判断哪个方案合算．
【详解】（1）解：根据题意，，
当时，，
∴，；
（2）解：时，，选择乙公司比较合算，
时，，选择乙公司比较合算，
时，，选择乙公司比较合算；
当时，
当时，，
解得，
此时选择甲乙公司一样合算；
当时，且，
解得，
此时选择乙公司合算；
当时，，
解得，
此时选择甲公司合算；
∴当租车时间为5小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于5小时，选择乙公司合算；当租车时间大于5小时，选择甲公司合算．
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