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23.3 一次函数与方程（组）、不等式第3课时（ 一次函数与二元一次方程组） 跟踪练 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，直线与交于一点，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
3．用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（ ）．
A． B．
C． D．
4．如图直线与直线都经过点，则方程组，的解是（ ）
A． B． C． D．
5．直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．8
6．在平面直角坐标系中，将直线：沿轴向左平移3个单位得到直线，直线分别与轴、轴交于点、，则的面积为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
二、填空题
7．直线与相交于点，则方程组的解为______．
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则关于，的方程组的解为_____．
9．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是__．
10．一次函数和的图象上一部分点的坐标见表：则方程组的解为_____，_____．
2 1 0
0 3 6 9
6 3 0
11．如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，点在该函数的图象上，连接OC，则的面积为_______．
12．如图，一次函数的图象经过两点，与x轴交于点C，则的面积为______．
三、解答题
13．图中所给的直线是一次函数的图象．
(1)请直接在所给的平面直角坐标系中画出一次函数的图象；
(2)求出两条直线的交点的坐标，并在图中标出点的位置；
(3)根据图象，当时，直接写出的取值范围．
14．如图，已知直线经过点直线与该直线交于点C
(1)求直线的表达式；
(2)求点C的坐标．
15．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点轴的负半轴上有一点．
(1)求点的坐标．
(2)过点作轴的垂线（垂线位于点的左侧），分别交正比例函数的图象和一次函数的图象于点，连接．
①线段的长为___________（用含的代数式表示）．
②若，求的面积．
16．如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点．
(1)分别求出这两个函数的解析式；
(2)连接，求的面积；
(3)根据图象，直接写出不等式组的解集．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B C A D A A
1．B
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握两直线的交点坐标即这两条直线组成的方程组的解是解题关键．
将点代入，求出其横坐标，则横坐标为所求方程组中的值，纵坐标为方程组中的值．
【详解】解：在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点，
，
∴，
∴
则关于、的方程组的解为．
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握一次函数与方程组的关系．根据两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组成方程组的解即可直接得到答案．
【详解】解：由图可知，直线与交点，
方程组的解是，
故选：C．
3．A
【分析】利用待定系数法求出两个一次函数的解析式即可得．
【详解】解：设其中一个一次函数的解析式为，
将点代入得：，解得，
则这个一次函数的解析式为，
同理可得：另一个一次函数的解析式为，
则所解的二元一次方程组为，
故选：A．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
4．D
【分析】根据方程组的解即为直线与直线的交点坐标进行求解即可．
【详解】解：∵直线与直线都经过点
∴方程组的解是：．
故选择：D．
【点睛】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，题目比较典型，但是比较容易出错，正确理解“方程组的解即为直线与直线的交点坐标”是解题的关键．
5．A
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的图象与坐标轴的关系可知待求的三角形为直角三角形，利用一次函数图象与坐标轴的交点可求出直角三角形的两直角边，从而很容易求得面积．
【详解】解：当时，，
当时，，
直线与x轴、y轴分别交于，
直线与两坐标轴围成的三角形的面积为：
．
故选：A．
6．A
【分析】本题主要考查一次函数图象的平移及性质，熟练掌握一次函数的平移是解题的关键；由题意易得的解析式为，然后分别得出直线与x轴、y轴的交点坐标，进而问题可求解．
【详解】解：由直线：沿轴向左平移3个单位得到直线，可知：的解析式为，
∴令时，则，解得：；
令时，则，
∴，
∴，
∴；
故选A．
7．/
【分析】本题考查二元一次方程组与一次函数的关系，熟练掌握方程组的解为两直线的交点坐标是解题的关键．
根据方程组的解即为两直线交点的坐标，求出交点坐标即可．
【详解】解：点在直线上，
则将代入得，解得，
因此交点坐标为，
即方程组的解为，
故答案为．
8．
【分析】本题主要考查了一次函数图象与二元一次方程组的解，方程组的解即为两个一次函数图象的交点坐标．
【详解】解：将方程组 变形得：，
因此方程组的解就是函数与图象的交点坐标，
由图象可知，两直线交于点，
故方程组的解为：．
故答案为：．
9．
【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，即可进行解答．
【详解】解：把代入得：，
∴，
∵点P为一次函数与的图象交点，
∴方程组的解是；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握两个一次函数的交点的横坐标和纵坐标的值等于对应二元一次方程组的解．
10． 1 3
【分析】利用表中的对应值得到时，，则可判断一次函数的图象和的图象的交点坐标为，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【详解】解：由表中数据得到时，，
所以一次函数的图象和的图象的交点坐标为，
所以方程组的解为，．
故答案为：1，3．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
11．15
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积的计算．
将点代入一次函数解析式中，求出；对于一次函数解析式，令，求出的值，得到的长度；根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：将点代入，得到：，
令，则，解得：，
∴，
则的面积为：.
故答案为：.
12．
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，根据点，的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式是解题的关键．
根据点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，代入求出与之对应的值，进而可得出点的坐标及的长，再利用三角形的面积公式即可求出的面积．
【详解】解：将，代入，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为．
当时，
解得：，
∴点的坐标为，，
∴．
故答案为：．
13．(1)见解析
(2)，图见解析
(3)
【分析】根据题意画出函数的图象即可；
解方程组即可得到结论；
根据函数的图象即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示；
（2）解
得，，
，
点的位置如图所示；
（3）由图象知，当时，
的取值范围为．
【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，直接利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
14．(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）解两个函数解析式组成方程组即可求解．
【详解】（1）解：直线经过点
得，
解得：，
直线的表达式为；
（2）解：联立，
解得：，
故点C的坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，及求两条直线的交点问题，本题的关键是求两条直线的交点，转化为解两个函数解析式组成方程组．
15．(1)
(2)①；②28
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理：
（1）联立函数解析式，进行求解即可；
（2）①分别求出的坐标，再根据两点间的距离公式求出线段的长即可；②过点作轴于点，勾股定理求出的长，根据，求出的值，进而求出的长，利用面积公式进行求解即可．
【详解】（1）解：联立函数解析式，得方程组，解得，
点的坐标为．
（2）解：①由题意，可知：的横坐标均为，
当时，，
∴；
故答案为：；
②如图，过点作轴于点．
由（1），可得．
在中，由勾股定理，得．
，
．
，
，解得，
∴点，
，
∴．
16．(1)直线为，直线；
(2)3；
(3)．
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行问题，解题时要能利用数形结合是关键．
（1）先将点分别代入直线和直线，求出的值，再代入即可；
（2）先求出直线和直线与轴和轴的交点，在根据三角形面积公式求解即可；
（3）依据题意得，不等式组的解集是直线在直线的下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围，从而结合函数图象即可得解．
【详解】（1）解：∵直线和直线相交于点，
∴将代入直线中，得，即，
将代入直线中，得，即，
∴直线为，直线．
（2）解：连接，
∵直线与轴和轴相交于点和点，
∴当时，解得，即点，，
当时，得，解得，即点，，
∵直线与轴相交于点，
∴当时，得，解得，即点，，
∴，
∴．
（3）解：法一：
依据题意得，不等式组的解集是直线在直线下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围，
∵，
∴结合函数图象可得，．
法二：
∵，
∴，
得，
由①得，
，
，
，
由②得，
，
，
综上，．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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