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浙江省台州市天台县2026年5月初中毕业生学业考试调研测试卷数学试题卷（二模）
1．与-2026和为0的数是(　　)
A．2026 B．0 C．- 2026 D．
2．“方胜”是以两个菱形压角相叠而构成的几何图形或纹样，既寓意“双合同心”，又暗含“优胜、佳美”之意.一铜胎画珐琅山水图方胜盖盒如图放置，其主视图为(　　)
A． B．
C． D．
3．灵巧手是人形机器人的重要部件.有关部门预测，2035 年全球灵巧手市场容量预计为743.8万只，对应的市场规模约967亿元.其中数据“967亿”用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
4．测试五位同学的“一分钟跳绳”个数时，得到五个各不相同的数据.在统计时，出现了一处错误：将最低成绩85个写成了58个，则下列统计量中不受影响的是(　　)
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差
5．数学课上，老师要求将一个含22.5°角的直角三角形，用尺规作图将其分割成两个等腰三角形.甲，乙两人的作法分别如下图所示，则(　　)
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．两人都错 D．两人都对
6．古籍《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干 ”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布，它们的总价恰好相等；只知道每尺罗布比每尺绫布便宜36 文钱.问绫布和罗布每尺各多少钱 设绫布每尺价格为x文，罗布每尺价格为y文，则可列方程组为 (　　)
A． B． C． D．
7．如图，将矩形ABCD划分成四个全等的矩形.若要使每一个矩形与原矩形相似，则 的值为(　　)
A． B． C． D．
8．化学有机物及其结构式见下表，若结构式中的C(碳原子)的个数记为x，H(氢原子)的个数记为y，则由结构式可知y与x满足的关系式是 (　　)
名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷
结构式
A． B．y=4x C． D．y=2x+2
9． 如图，AB切⊙O于点B，OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O 于点D，连接CD，设∠OCD=x，则∠A的度数为 (　　)
A．x B．90°-2x C． D．45°-x
10． 如图1，在△ABC中，AC=BC， ∠C=90°. D是AB上一点， CD 的中垂线交△ABC的边于点E，F.记AD=x，四边形 CEDF面积为y，利用数学软件画出y关于x的函数图象如图2所示，其中一个最高点 M坐标为(m，t)，一个最低点N坐标为(n，8)，下列选项正确的是 (　　)
A．m=2.5 B．
C． D．点 在该函数图象上
11．计算： -(-3)= 　 　 .
12．解分式方程： 得x=　 　.
13．如图为花式九球的标准球组排列(1-9号球共9颗，按菱形摆放)，其中 1号和9号球位置固定，剩余7颗球位置随机摆放，则5号球与1号和9号都相邻的概率是　 　.
14．如图，一卫星运行到地球表面 P 点的正上方A 点时，可观测到地球表面一个最远的点 Q.已知地球半径约为6400km，在Rt△AOQ中，测得 sinα=0.8，则卫星到地面高度AP 约为　 　km.
15．【数学阅读】17世纪数学家莱布尼茨发现π可以用级数表达：
【数学应用】应用莱布尼茨π的级数表达公式，估算：当n=4时，π的近似值为　 　．(结果保留一位小数)
16．如图，在矩形ABCD中， E为AD中点，以AE为半径，在矩形外作半圆，连接BE，并延长交半圆于点 F，连接AF，CF， DF，则tan∠DCF=　 　.
17．先化简，再求值：，其中．
18．解不等式组：
19．课堂上，屏幕上呈现一题：
已知：如图，在四边形ABCD中， AB=AD， ▲ .
求证： BC=CD.
请在空格处添加条件并证明.
你支持 ▲ (填“小明”或“小丽”)的观点，并写出相应的证明过程.
20．为了解校数学节数学知识竞赛笔试情况，调查小组随机抽查了部分参赛同学的成绩，频数表和频数直方图尚未完工，正在整理与制作中.
组别(分) 频数 频率
60≤x<70 30 10%
70≤x<80 90 30%
80≤x<90 60 a
90≤x≤100 b c
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）小明发现表中剩余三个数据无需统计，可直接计算得出，请你填出这三个数据： A=　 　 ，b=　 　， c=　 　.
（2）请继续完成频数直方图.
（3）如果全校有3000人，请估计分数不低于 80分的人数.
21．丢番图曾提出这样一个问题：将一给定的平方数，分为两个正有理数的平方和.例如给定的平方数为16.
设其中一个正有理数的平方为x2，则另一个正有理数的平方为
令 其中m为整数.
取m=2，则
于是
解得 (舍去)，
所以
即
（1）上面的解决过程中，为何将 舍去 请说明理由.
（2）请你将平方数9分为两个正有理数的平方和.
22．如图，四边形ABCD 内接于以对角线 BD为直径的圆， AC=BC， 过点C与AD平行的直线交 BD于点E，交AB于点 F.
（1）求证： BE=DE.
（2）若AB=6， BC=5，求△ACD的面积.
23．已知抛物线.
（1）求该抛物线与x轴的交点.
（2） 点A(t， y1) 和B (t，y2) 分别在抛物线. 和 上(t>0).
①当a<0时，两抛物线有交点(s，y3)，且0②若恒成立，请直接写出a的取值范围.
24．如图1，在菱形ABCD中，对角线. P 是射线AD上一点，连接 BP，△BPQ与△BPA关于 BP对称.
（1） 求AB的长.
（2）当BQ⊥AB时， 求证： PQ∥AC.
（3）如图2，当直线PQ与AC相交时，记交点为E.
①当点P在边AD上，且PQ⊥AB时，求AP的长.
②连接BE，当BE取得最小值时，求AE的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：与-2026的和为0的数是2026.
故选： A.
【分析】根据相反数的定义，一个数与-2026的和为0，则该数是-2026的相反数.
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，可得选项C的图形.
故选： C.
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：“967亿”用科学记数法表示为，
故答案为：A.
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中 10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数.
4．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；常用统计量的选择；标准差
【解析】【解答】解：因为中位数是将数据按照大小顺序重新排列，代表了这组数据值大小的“中点”，不受极端值影响，所以将 最低成绩85个写成了58个，计算结果不受影响的是中位数，
故选： B.
【分析】根据中位数的定义解答可得.
5．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰直角三角形；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图甲，
由作图痕迹可知，AD=AC，
为等腰直角三角形，
为等腰三角形，
∴甲作法正确；
如图乙，
由作图痕迹可知，直线EF为线段BC的垂直平分线，
∴点E为BC的中点，
∴AE为. 斜边上的中线，
和 为等腰三角形，
∴乙作法正确.
综上所述，两人都对.
故选： D.
【分析】由图甲的作图痕迹可知，AD=AC，可得 为等腰直角三角形， 则 即 可知 为等腰三角形；由图乙作图痕迹可知，直线EF为线段BC的垂直平分线，则点E为BC的中点，可知AE为 斜边上的中线，可得 则 和 为等腰三角形.
6．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
故选：A.
【分析】根据“7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布恰好一样贵”和“每尺罗布比绫布便宜36文”列出方程组即可.
7．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵四个矩形全等，每一个矩形与原矩形相似，
故选： B.
【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可.
8．【答案】D
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：根据题意，绘制如下表格：
碳原子个数x (个) 1 2 3 4
氢原子个数y(个) 4 6 8 10
根据表格，x增加1，y增加2，
则y=4+2(x-1)=2x+2，
∴C与H满足的关系式是y=2x+2.
故选： D.
【分析】根据结构式，列表格反映x和y的对应关系，再根据变量的变化规律写出y与x的函数关系式即可.
9．【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∴AB⊥OB，
∴∠ABO=90°，
∵BD∥OA交⊙O于点D， ∠OCD=x，
∴∠CDB=∠OCD=x，
∵OA交⊙O于点C，且∠COB=2∠CDB=2x，
∴∠A=90°-∠COB=90°-2x，
故选： B.
【分析】由AB切⊙O于点B，证明∠ABO=90°，由BD∥OA交⊙O于点D，得∠CDB=∠OCD=x，因为OA交⊙O于点C，且∠COB=2∠CDB=2x，所以∠A=90°-2x，于是得到问题的答案.
10．【答案】C
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；动点问题的函数图象；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵△ABC是轴对称图形，
∴当点D在AB的中点处时，四边形CEDF的面积最小，如图所示，则CEDF是正方形，
∴CD=EF，
∴，
解得CD=4，
∴n=，AB=8，
故B选项错误；
当点F与点B重合时，四边形CEDF的面积最大，
这时，AD=DE=CE，BC=BD，
∵AB=8，
∴BC=，
∴，，
故A错误，C正确；
如图，当x=3时，点F在BC边上，过点E，F作EM⊥AB，FN⊥AB于点N，
设AM=EM=x，则AE=，，
∴AD=3-x，
在Rt△DEM中，EM2+DM2=DE2，即，
解得，
∴，
又∵∠DEM+∠EDM=∠FDN+∠EDM=90°，
∴∠DEM=∠FDN，
∴tan∠MED=tan∠FDN，即，，
又∵NF=BN，BD=5，
∴，
∴，
故D错误，
故答案为：C.
【分析】当点D在AB的中点处时，四边形CEDF的面积最小，根据正方形的面积公式求出CD长，即可得到AB长，判断A选项；点F与点B重合时，四边形CEDF的面积最大，求出AD长和四边形的面积判断A和C选项；当x=3时，点F在BC边上，过点E，F作EM⊥AB，FN⊥AB于点N，设AM=EM=x，根据勾股定理求出AE长，再利用正切的定义求出FN的长，求出y的值判断D选项解答即可.
11．【答案】6
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：-(-3)=3+3=6，
故答案为：6.
【分析】先运算算术平方根，然后运算加减解答即可.
12．【答案】9
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：2x=3(x-3)，
解得：x=9，
检验：把x=9代入得：x(x-3)≠0，
∴分式方程的解为x=9.
故答案为：9.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：将1号和9号球中间的两个位置分别记为x，y.列表如下：
(x，y) 2 3 4 5 6 7 8
2 (2，3) (2，4) (2，5) (2，6) (2，7) (2，8)
3 (3，2) (3，4) (3，5) (3，6) (3，7) (3，8)
4 (4，2) (4，3) (4，5) (4，6) (4，7) (4，8)
5 (5，2) (5，3) (5，4) (5，6) (5，7) (5，8)
6 (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，7) (6，8)
7 (7，2) (7，3) (7，4) (7，5) (7，6) (7，8)
8 (8，2) (8，3) (8，4) (8，5) (8，6) (8，7)
共有42种等可能的结果，其中5号球与1号和9号都相邻的结果有： (2，5)， (3，5)， (4，5)， (5，2)， (5，3)， (5，4)， (5，6)， (5，7)， (5，8)， (6，5)， (7，5)，(8，5)，共12种，
∴5号球与1号和9号都相邻的概率为
故答案为：
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及5号球与1号和9号都相邻的结果数，再利用概率公式可得出答案.
14．【答案】1600
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：在 中，
∴卫星到地面高度AP约为1600km，
故答案为： 1600.
【分析】在 中，利用锐角三角函数的定义求出OA的长，然后进行计算即可解答.
15．【答案】2.9
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
∴，
故答案为：2.9.
【分析】将n=4代入公式中，然后按照公式的规律进行计算，最后将结果保留一位小数.
16．【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；直角三角形的判定；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过点F作. 交BC于点N，交AD于点M，如图所示：
∴设AB=2a，则AD=3a，
∵点E为AD中点，
依题意得：EF=EA=1.5a，
∵四边形ABCD是矩形，
AD=3a，
∴△ABE是直角三角形，
在Rt△ABE中， 由勾股定理得： BE=
∵FN∥AB
∴△FME-△BAE，
∴FM= 1.2a， EM = 0.9a，
∴AM=AE+EM=1.5a+0.9a=2.4a，
∵FN∥AB， AD∥BC，
∴四边形ABNM是平行四边形，
又∴∠BAD=90°，
∴平行四边形ABNM是矩形，
∴BN=AM=2.4a， MN=AB=2a，∠FNB=90°，
∴CN=BC﹣BN=3a﹣2.4a=0.6a， FN=FM+MN=1.2a+2a=3.2a，
是直角三角形，
在 中，
故答案为：
【分析】过点F作FN//AB交BC于点N，交AD于点M，设AB=2a，则AD =3a依题意得EF=EA=1.5a，AD//BC，AB//CD， BC= AD = 3a，在Rt△ABE中， 由勾股定理得BE =2.5a， 证明△FME和△BAE相似，由相似三角形性质得证明四边形ABNM是矩形得BN=AM=2.4a，MN=AB=2a， ∠FNB=90°， 进而得CN=BC﹣BN=0.6a， FN=FM+MN=3.2a，证明△FNC是直角三角形，然后在Rt△FNC中，由正切函数的定义得 再证明∠DCF=∠CFN，继而可得tan∠DCF的值.
17．【答案】解：
=a2-1+a2+1
=（a2+a2）+（1-1）
=，
当时，原式=6
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据平方差公式进行计算后合并同类项，再代入求值即可得出答案．
18．【答案】解：
解①得： x>1，
解②得： x≤2，
解得不等组的解为1【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
19．【答案】解：支持小丽，理由如下：
当添加∠B=∠D时，
在△ABC和△ADC中， AB=AD， AC=AC， ∠B=∠D，不符合全等三角形的判定条件，
因此不能判定△ABC和△ADC全等，就得不出BC=CD的结论，
当添加∠B=∠D=90°时，证明如下：
∵∠B=∠D=90°
∴△ABC和△ADC都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，
∴BC=CD.
故答案为：小丽.
【知识点】三角形全等的判定；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】支持小丽，当添加 时，因此不能判定 和 全等，就得不出BC=CD的结论，当添加∠ 时，可得 和 都是直角三角形，进而依据“HL”可判定 和 全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论.
20．【答案】（1）20%；120；40%
（2）解：部分同学参赛成绩频数直方图

（3）解：3000×(20%+40%)=1800(人)
答：分数不低于 80分的人数大约为1800人.
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解： (1)总人数 (人)，
b=300-30-90-60=120(人)，
故答案为： 20%， 120， 40%；
【分析】(1)先由已知频数和频率求出总人数，再用频数除以总人数求a，用总人数减去其他组频数求b，最后用b除以总人数求c；
(2)根据计算出的80≤x<90和90≤x≤100两组的频数，在直方图对应位置画出高度分别为60和120的直条，完成图表；
(3)先算出样本中分数不低于80分的频率，再用全校总人数乘以该频率，以此估计全校分数不低于80分的人数.
21．【答案】（1）解： 由题知，
当x=0时，
则不满足正有理数的平方为正数这一条件，
所以 舍去；
（2）解：由题知，
设其中一个正有理数的平方为 则另一个正有理数的平方为
令 其中m为整数，
取m=2，则
于是
解得 (舍去)，
所以
所以

【知识点】完全平方公式及运用；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据所给解题过程，说明理由即可；
（2）结合所给求解方法进行计算即可.
22．【答案】（1）证明：∵ BD为该圆的直径，
∴∠BAD=90°.
∵CF∥AD，
∴∠BFE=∠BAD=90°，即CF⊥AB.
∵AC = BC，
∴BF=AF.
又∵CF∥AD，
∴BE = DE；
（2）解： ∵ AB=6，
在Rt△BCF中，
∵ BE = DE且BD为圆的直径，
∴点E为该圆的圆心.
令该圆的半径为r，则EC= BE =r，
在 中，
解得
连接DF，

【知识点】三角形的面积；垂径定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据题意，得出. 再结合.AC=BC及 得出点F为AB中点，据此得出点E为BD中点即可；
(2)根据题意，求出该圆的半径，据此得出AD的长，连接DF，将的面积转化为的面积即可解决问题.
23．【答案】（1）解：令y=0，则
解得
所以与x轴交点坐标为(0， 0)， (4， 0).
（2）解：①0所以有 解得
因为a<0，所以
②
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：⑵②若a<0，显然不成立，
若a>0，求抛物线交点，列方程得
解
若要y1>0时应无交点，
即 无解或小于0，即
故答案为：
【分析】（1）令y=0，求出x的值，即可得到抛物线与x轴交点的坐标即可；
（2）①当0②当a<0时不成立；a>0时，解方程求出x的值，然后根据y1>0求出a的取值范围即可.
24．【答案】（1）解：因为四边形ABCD是菱形，
所以AB = AD， ∠DAB=60°。
所以△ABD是等边三角形。
所以AB=BD。
又因为菱形的对角线互相垂直且平分，
所以
已知 则
在Rt△ABO中， ∠BAO =30°，
所以AB=2BO。
设BO=x，则AB=2x，
根据勾股定理.
可得
解得x =1或x =-1(边长不能为负舍去)，
所以AB=2x=2。
（2）因为△BPQ与△BPA关于BP对称，
所以∠BQP =∠BAP =60°， ∠QBP =∠ABP，
已知BQ⊥AB，则∠ABQ =90°，
所以 45°。
因为四边形ABCD是菱形，
所以AC平分∠DAB，
则
在△ABP中， ∠APB=180°-∠BAP-∠ABP=180°-60°-45°=75°。
因为△BPQ与△BPA关于BP对称，
所以∠BPQ =∠BPA=75°。
则∠APQ=∠BPQ+∠BPA=75°+75°=150°。
所以∠BAC+∠APQ=30°+150°=180°，
所以PQ//AC。
（3）解：①如图2，当PQ⊥AB时，
在 Rt△BQM中， BQ=2， ∠Q=60°
所以
所以
②由于∠Q为定角，BQ为定长，所以BE⊥PQ时，BE最小，有两种情况，如图3，4所示，
在Rt△BEQ中， 又OB=1，所以
所以
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—含30°角直角三角形；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到△ABD是等边三角形，然后设BO=x，根据勾股定理求出x的值解答即可；
（2）根据对称性得到∠BQP =∠BAP =60°， ∠QBP =∠ABP，然后根据菱形的性质和角平分线的定义求出∠BAC=30°，然后根据三角形的内角和定理得到∠APB=75°，进而求出∠APQ=150°，再根据同旁内角互补，两直线平行证明结论即可；
（3）①根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出BM长，即可求出AM长解答即可；
②由题可知∠Q为定角，BQ为定长，所以BE⊥PQ时，BE最小，然后根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出OB长，然后根据线段的和差解答即可.
1 / 1浙江省台州市天台县2026年5月初中毕业生学业考试调研测试卷数学试题卷（二模）
1．与-2026和为0的数是(　　)
A．2026 B．0 C．- 2026 D．
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：与-2026的和为0的数是2026.
故选： A.
【分析】根据相反数的定义，一个数与-2026的和为0，则该数是-2026的相反数.
2．“方胜”是以两个菱形压角相叠而构成的几何图形或纹样，既寓意“双合同心”，又暗含“优胜、佳美”之意.一铜胎画珐琅山水图方胜盖盒如图放置，其主视图为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，可得选项C的图形.
故选： C.
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.
3．灵巧手是人形机器人的重要部件.有关部门预测，2035 年全球灵巧手市场容量预计为743.8万只，对应的市场规模约967亿元.其中数据“967亿”用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：“967亿”用科学记数法表示为，
故答案为：A.
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中 10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数.
4．测试五位同学的“一分钟跳绳”个数时，得到五个各不相同的数据.在统计时，出现了一处错误：将最低成绩85个写成了58个，则下列统计量中不受影响的是(　　)
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；常用统计量的选择；标准差
【解析】【解答】解：因为中位数是将数据按照大小顺序重新排列，代表了这组数据值大小的“中点”，不受极端值影响，所以将 最低成绩85个写成了58个，计算结果不受影响的是中位数，
故选： B.
【分析】根据中位数的定义解答可得.
5．数学课上，老师要求将一个含22.5°角的直角三角形，用尺规作图将其分割成两个等腰三角形.甲，乙两人的作法分别如下图所示，则(　　)
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．两人都错 D．两人都对
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰直角三角形；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图甲，
由作图痕迹可知，AD=AC，
为等腰直角三角形，
为等腰三角形，
∴甲作法正确；
如图乙，
由作图痕迹可知，直线EF为线段BC的垂直平分线，
∴点E为BC的中点，
∴AE为. 斜边上的中线，
和 为等腰三角形，
∴乙作法正确.
综上所述，两人都对.
故选： D.
【分析】由图甲的作图痕迹可知，AD=AC，可得 为等腰直角三角形， 则 即 可知 为等腰三角形；由图乙作图痕迹可知，直线EF为线段BC的垂直平分线，则点E为BC的中点，可知AE为 斜边上的中线，可得 则 和 为等腰三角形.
6．古籍《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干 ”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布，它们的总价恰好相等；只知道每尺罗布比每尺绫布便宜36 文钱.问绫布和罗布每尺各多少钱 设绫布每尺价格为x文，罗布每尺价格为y文，则可列方程组为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
故选：A.
【分析】根据“7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布恰好一样贵”和“每尺罗布比绫布便宜36文”列出方程组即可.
7．如图，将矩形ABCD划分成四个全等的矩形.若要使每一个矩形与原矩形相似，则 的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵四个矩形全等，每一个矩形与原矩形相似，
故选： B.
【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可.
8．化学有机物及其结构式见下表，若结构式中的C(碳原子)的个数记为x，H(氢原子)的个数记为y，则由结构式可知y与x满足的关系式是 (　　)
名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷
结构式
A． B．y=4x C． D．y=2x+2
【答案】D
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：根据题意，绘制如下表格：
碳原子个数x (个) 1 2 3 4
氢原子个数y(个) 4 6 8 10
根据表格，x增加1，y增加2，
则y=4+2(x-1)=2x+2，
∴C与H满足的关系式是y=2x+2.
故选： D.
【分析】根据结构式，列表格反映x和y的对应关系，再根据变量的变化规律写出y与x的函数关系式即可.
9． 如图，AB切⊙O于点B，OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O 于点D，连接CD，设∠OCD=x，则∠A的度数为 (　　)
A．x B．90°-2x C． D．45°-x
【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∴AB⊥OB，
∴∠ABO=90°，
∵BD∥OA交⊙O于点D， ∠OCD=x，
∴∠CDB=∠OCD=x，
∵OA交⊙O于点C，且∠COB=2∠CDB=2x，
∴∠A=90°-∠COB=90°-2x，
故选： B.
【分析】由AB切⊙O于点B，证明∠ABO=90°，由BD∥OA交⊙O于点D，得∠CDB=∠OCD=x，因为OA交⊙O于点C，且∠COB=2∠CDB=2x，所以∠A=90°-2x，于是得到问题的答案.
10． 如图1，在△ABC中，AC=BC， ∠C=90°. D是AB上一点， CD 的中垂线交△ABC的边于点E，F.记AD=x，四边形 CEDF面积为y，利用数学软件画出y关于x的函数图象如图2所示，其中一个最高点 M坐标为(m，t)，一个最低点N坐标为(n，8)，下列选项正确的是 (　　)
A．m=2.5 B．
C． D．点 在该函数图象上
【答案】C
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；动点问题的函数图象；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵△ABC是轴对称图形，
∴当点D在AB的中点处时，四边形CEDF的面积最小，如图所示，则CEDF是正方形，
∴CD=EF，
∴，
解得CD=4，
∴n=，AB=8，
故B选项错误；
当点F与点B重合时，四边形CEDF的面积最大，
这时，AD=DE=CE，BC=BD，
∵AB=8，
∴BC=，
∴，，
故A错误，C正确；
如图，当x=3时，点F在BC边上，过点E，F作EM⊥AB，FN⊥AB于点N，
设AM=EM=x，则AE=，，
∴AD=3-x，
在Rt△DEM中，EM2+DM2=DE2，即，
解得，
∴，
又∵∠DEM+∠EDM=∠FDN+∠EDM=90°，
∴∠DEM=∠FDN，
∴tan∠MED=tan∠FDN，即，，
又∵NF=BN，BD=5，
∴，
∴，
故D错误，
故答案为：C.
【分析】当点D在AB的中点处时，四边形CEDF的面积最小，根据正方形的面积公式求出CD长，即可得到AB长，判断A选项；点F与点B重合时，四边形CEDF的面积最大，求出AD长和四边形的面积判断A和C选项；当x=3时，点F在BC边上，过点E，F作EM⊥AB，FN⊥AB于点N，设AM=EM=x，根据勾股定理求出AE长，再利用正切的定义求出FN的长，求出y的值判断D选项解答即可.
11．计算： -(-3)= 　 　 .
【答案】6
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：-(-3)=3+3=6，
故答案为：6.
【分析】先运算算术平方根，然后运算加减解答即可.
12．解分式方程： 得x=　 　.
【答案】9
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：2x=3(x-3)，
解得：x=9，
检验：把x=9代入得：x(x-3)≠0，
∴分式方程的解为x=9.
故答案为：9.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
13．如图为花式九球的标准球组排列(1-9号球共9颗，按菱形摆放)，其中 1号和9号球位置固定，剩余7颗球位置随机摆放，则5号球与1号和9号都相邻的概率是　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：将1号和9号球中间的两个位置分别记为x，y.列表如下：
(x，y) 2 3 4 5 6 7 8
2 (2，3) (2，4) (2，5) (2，6) (2，7) (2，8)
3 (3，2) (3，4) (3，5) (3，6) (3，7) (3，8)
4 (4，2) (4，3) (4，5) (4，6) (4，7) (4，8)
5 (5，2) (5，3) (5，4) (5，6) (5，7) (5，8)
6 (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，7) (6，8)
7 (7，2) (7，3) (7，4) (7，5) (7，6) (7，8)
8 (8，2) (8，3) (8，4) (8，5) (8，6) (8，7)
共有42种等可能的结果，其中5号球与1号和9号都相邻的结果有： (2，5)， (3，5)， (4，5)， (5，2)， (5，3)， (5，4)， (5，6)， (5，7)， (5，8)， (6，5)， (7，5)，(8，5)，共12种，
∴5号球与1号和9号都相邻的概率为
故答案为：
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及5号球与1号和9号都相邻的结果数，再利用概率公式可得出答案.
14．如图，一卫星运行到地球表面 P 点的正上方A 点时，可观测到地球表面一个最远的点 Q.已知地球半径约为6400km，在Rt△AOQ中，测得 sinα=0.8，则卫星到地面高度AP 约为　 　km.
【答案】1600
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：在 中，
∴卫星到地面高度AP约为1600km，
故答案为： 1600.
【分析】在 中，利用锐角三角函数的定义求出OA的长，然后进行计算即可解答.
15．【数学阅读】17世纪数学家莱布尼茨发现π可以用级数表达：
【数学应用】应用莱布尼茨π的级数表达公式，估算：当n=4时，π的近似值为　 　．(结果保留一位小数)
【答案】2.9
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
∴，
故答案为：2.9.
【分析】将n=4代入公式中，然后按照公式的规律进行计算，最后将结果保留一位小数.
16．如图，在矩形ABCD中， E为AD中点，以AE为半径，在矩形外作半圆，连接BE，并延长交半圆于点 F，连接AF，CF， DF，则tan∠DCF=　 　.
【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；直角三角形的判定；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过点F作. 交BC于点N，交AD于点M，如图所示：
∴设AB=2a，则AD=3a，
∵点E为AD中点，
依题意得：EF=EA=1.5a，
∵四边形ABCD是矩形，
AD=3a，
∴△ABE是直角三角形，
在Rt△ABE中， 由勾股定理得： BE=
∵FN∥AB
∴△FME-△BAE，
∴FM= 1.2a， EM = 0.9a，
∴AM=AE+EM=1.5a+0.9a=2.4a，
∵FN∥AB， AD∥BC，
∴四边形ABNM是平行四边形，
又∴∠BAD=90°，
∴平行四边形ABNM是矩形，
∴BN=AM=2.4a， MN=AB=2a，∠FNB=90°，
∴CN=BC﹣BN=3a﹣2.4a=0.6a， FN=FM+MN=1.2a+2a=3.2a，
是直角三角形，
在 中，
故答案为：
【分析】过点F作FN//AB交BC于点N，交AD于点M，设AB=2a，则AD =3a依题意得EF=EA=1.5a，AD//BC，AB//CD， BC= AD = 3a，在Rt△ABE中， 由勾股定理得BE =2.5a， 证明△FME和△BAE相似，由相似三角形性质得证明四边形ABNM是矩形得BN=AM=2.4a，MN=AB=2a， ∠FNB=90°， 进而得CN=BC﹣BN=0.6a， FN=FM+MN=3.2a，证明△FNC是直角三角形，然后在Rt△FNC中，由正切函数的定义得 再证明∠DCF=∠CFN，继而可得tan∠DCF的值.
17．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
=a2-1+a2+1
=（a2+a2）+（1-1）
=，
当时，原式=6
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据平方差公式进行计算后合并同类项，再代入求值即可得出答案．
18．解不等式组：
【答案】解：
解①得： x>1，
解②得： x≤2，
解得不等组的解为1【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
19．课堂上，屏幕上呈现一题：
已知：如图，在四边形ABCD中， AB=AD， ▲ .
求证： BC=CD.
请在空格处添加条件并证明.
你支持 ▲ (填“小明”或“小丽”)的观点，并写出相应的证明过程.
【答案】解：支持小丽，理由如下：
当添加∠B=∠D时，
在△ABC和△ADC中， AB=AD， AC=AC， ∠B=∠D，不符合全等三角形的判定条件，
因此不能判定△ABC和△ADC全等，就得不出BC=CD的结论，
当添加∠B=∠D=90°时，证明如下：
∵∠B=∠D=90°
∴△ABC和△ADC都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，
∴BC=CD.
故答案为：小丽.
【知识点】三角形全等的判定；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】支持小丽，当添加 时，因此不能判定 和 全等，就得不出BC=CD的结论，当添加∠ 时，可得 和 都是直角三角形，进而依据“HL”可判定 和 全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论.
20．为了解校数学节数学知识竞赛笔试情况，调查小组随机抽查了部分参赛同学的成绩，频数表和频数直方图尚未完工，正在整理与制作中.
组别(分) 频数 频率
60≤x<70 30 10%
70≤x<80 90 30%
80≤x<90 60 a
90≤x≤100 b c
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）小明发现表中剩余三个数据无需统计，可直接计算得出，请你填出这三个数据： A=　 　 ，b=　 　， c=　 　.
（2）请继续完成频数直方图.
（3）如果全校有3000人，请估计分数不低于 80分的人数.
【答案】（1）20%；120；40%
（2）解：部分同学参赛成绩频数直方图

（3）解：3000×(20%+40%)=1800(人)
答：分数不低于 80分的人数大约为1800人.
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解： (1)总人数 (人)，
b=300-30-90-60=120(人)，
故答案为： 20%， 120， 40%；
【分析】(1)先由已知频数和频率求出总人数，再用频数除以总人数求a，用总人数减去其他组频数求b，最后用b除以总人数求c；
(2)根据计算出的80≤x<90和90≤x≤100两组的频数，在直方图对应位置画出高度分别为60和120的直条，完成图表；
(3)先算出样本中分数不低于80分的频率，再用全校总人数乘以该频率，以此估计全校分数不低于80分的人数.
21．丢番图曾提出这样一个问题：将一给定的平方数，分为两个正有理数的平方和.例如给定的平方数为16.
设其中一个正有理数的平方为x2，则另一个正有理数的平方为
令 其中m为整数.
取m=2，则
于是
解得 (舍去)，
所以
即
（1）上面的解决过程中，为何将 舍去 请说明理由.
（2）请你将平方数9分为两个正有理数的平方和.
【答案】（1）解： 由题知，
当x=0时，
则不满足正有理数的平方为正数这一条件，
所以 舍去；
（2）解：由题知，
设其中一个正有理数的平方为 则另一个正有理数的平方为
令 其中m为整数，
取m=2，则
于是
解得 (舍去)，
所以
所以

【知识点】完全平方公式及运用；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据所给解题过程，说明理由即可；
（2）结合所给求解方法进行计算即可.
22．如图，四边形ABCD 内接于以对角线 BD为直径的圆， AC=BC， 过点C与AD平行的直线交 BD于点E，交AB于点 F.
（1）求证： BE=DE.
（2）若AB=6， BC=5，求△ACD的面积.
【答案】（1）证明：∵ BD为该圆的直径，
∴∠BAD=90°.
∵CF∥AD，
∴∠BFE=∠BAD=90°，即CF⊥AB.
∵AC = BC，
∴BF=AF.
又∵CF∥AD，
∴BE = DE；
（2）解： ∵ AB=6，
在Rt△BCF中，
∵ BE = DE且BD为圆的直径，
∴点E为该圆的圆心.
令该圆的半径为r，则EC= BE =r，
在 中，
解得
连接DF，

【知识点】三角形的面积；垂径定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据题意，得出. 再结合.AC=BC及 得出点F为AB中点，据此得出点E为BD中点即可；
(2)根据题意，求出该圆的半径，据此得出AD的长，连接DF，将的面积转化为的面积即可解决问题.
23．已知抛物线.
（1）求该抛物线与x轴的交点.
（2） 点A(t， y1) 和B (t，y2) 分别在抛物线. 和 上(t>0).
①当a<0时，两抛物线有交点(s，y3)，且0②若恒成立，请直接写出a的取值范围.
【答案】（1）解：令y=0，则
解得
所以与x轴交点坐标为(0， 0)， (4， 0).
（2）解：①0所以有 解得
因为a<0，所以
②
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：⑵②若a<0，显然不成立，
若a>0，求抛物线交点，列方程得
解
若要y1>0时应无交点，
即 无解或小于0，即
故答案为：
【分析】（1）令y=0，求出x的值，即可得到抛物线与x轴交点的坐标即可；
（2）①当0②当a<0时不成立；a>0时，解方程求出x的值，然后根据y1>0求出a的取值范围即可.
24．如图1，在菱形ABCD中，对角线. P 是射线AD上一点，连接 BP，△BPQ与△BPA关于 BP对称.
（1） 求AB的长.
（2）当BQ⊥AB时， 求证： PQ∥AC.
（3）如图2，当直线PQ与AC相交时，记交点为E.
①当点P在边AD上，且PQ⊥AB时，求AP的长.
②连接BE，当BE取得最小值时，求AE的长.
【答案】（1）解：因为四边形ABCD是菱形，
所以AB = AD， ∠DAB=60°。
所以△ABD是等边三角形。
所以AB=BD。
又因为菱形的对角线互相垂直且平分，
所以
已知 则
在Rt△ABO中， ∠BAO =30°，
所以AB=2BO。
设BO=x，则AB=2x，
根据勾股定理.
可得
解得x =1或x =-1(边长不能为负舍去)，
所以AB=2x=2。
（2）因为△BPQ与△BPA关于BP对称，
所以∠BQP =∠BAP =60°， ∠QBP =∠ABP，
已知BQ⊥AB，则∠ABQ =90°，
所以 45°。
因为四边形ABCD是菱形，
所以AC平分∠DAB，
则
在△ABP中， ∠APB=180°-∠BAP-∠ABP=180°-60°-45°=75°。
因为△BPQ与△BPA关于BP对称，
所以∠BPQ =∠BPA=75°。
则∠APQ=∠BPQ+∠BPA=75°+75°=150°。
所以∠BAC+∠APQ=30°+150°=180°，
所以PQ//AC。
（3）解：①如图2，当PQ⊥AB时，
在 Rt△BQM中， BQ=2， ∠Q=60°
所以
所以
②由于∠Q为定角，BQ为定长，所以BE⊥PQ时，BE最小，有两种情况，如图3，4所示，
在Rt△BEQ中， 又OB=1，所以
所以
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—含30°角直角三角形；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到△ABD是等边三角形，然后设BO=x，根据勾股定理求出x的值解答即可；
（2）根据对称性得到∠BQP =∠BAP =60°， ∠QBP =∠ABP，然后根据菱形的性质和角平分线的定义求出∠BAC=30°，然后根据三角形的内角和定理得到∠APB=75°，进而求出∠APQ=150°，再根据同旁内角互补，两直线平行证明结论即可；
（3）①根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出BM长，即可求出AM长解答即可；
②由题可知∠Q为定角，BQ为定长，所以BE⊥PQ时，BE最小，然后根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出OB长，然后根据线段的和差解答即可.
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