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江苏泰州中学2025-2026学年第二学期期中考试
高二数学试题
一、单选题
1．已知，那么（ ）
A．5 B．9 C．10 D．11
2．若随机变量，且，则（ ）
A．0.15 B．0.25 C．0.35 D．0.45
3．已知空间向量，若，则（　　）
A．-2 B．-3 C．2 D．3
4．今年贺岁片，《飞驰人生3》，《惊蛰无声》，《镖人》，《》票房前四，小明和他的同学一行五人决定去看这四部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有（ ）
A．种 B．60种 C．120种 D．种
5．空间内有三点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（ ）
A．0.5 B．0.75 C．0.65 D．0.625
7．已知，则下列描述正确的是 （ ）
A． B．除以5所得的余数是1
C． D．
8．正方体的棱长为5，点M在棱AB上，且，点P是正方体下底面ABCD内（含边界）的动点，且动点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为25，则动点P到B点的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若则（ ）
A． B． C． D．
10．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，下列选项正确的是（ ）
A．第10行所有数字的和为1024 B．
C．第9行所有数字的平方和等于 D．若第行第个数记为，则
11．在四棱锥中，底面是正方形，，，，为棱上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．点到平面的距离为2
B．若为棱的中点，则过A，D，P的平面截此四棱锥的截面面积为6
C．四棱锥外接球的表面积为
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题
12．某学习小组由6名男生和4名女生组成，从中依次随机抽取2人参加知识竞赛，则在第一次抽到男生的条件下，第二次抽到女生的概率等于______.
13．在平行六面体中，已知，，，，则的长度为________.
14．设展开式为，则________.
四、解答题
15．在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．
(1)证明展开式中没有常数项；
(2)求展开式中所有的有理项．
16．有2名男生、3名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)全体排成一排，女生必须站在一起；
(2)全体排成一排，男生互不相邻；
(3)全体排成一排，5人中的甲不站最左边，乙不站最右边．
17．据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长透择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生）
(1)若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？
(2)从这8名戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的期望与方差；
(3)若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从A市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望和方差.
18．如图，在四棱台中，已知，.
(1)证明：平面；
(2)若四棱台的体积为，求二面角的余弦值.
19．某学校有甲 乙 丙三名保安，每天由其中一人管理停车场，相邻两天管理停车场的人不相同.若某天是甲管理停车场，则下一天有的概率是乙管理停车场；若某天是乙管理停车场，则下一天有的概率是丙管理停车场；若某天是丙管理停车场，则下一天有的概率是甲管理停车场.已知今年第1天管理停车场的是甲.
(1)求第4天是甲管理停车场的概率；
(2)求第天是甲管理停车场的概率；
(3)设今年甲 乙 丙管理停车场的天数分别为，判断的大小关系.（给出结论即可，不需要说明理由）
参考答案
1．C
2．B
3．D
4．A
5．B
6．D
7．B
8．B
9．BC
10．ACD
11．ABD
12．
13．
14．
15．（1）由第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列得
解得（舍去）或
的展开式的通式为
令，得
故展开式中没有常数项；
（2）令，则，
，
展开式中的有理项为和
16．（1）先将女生捆绑共：种排列方法；
再与另外2名男生一共看成3个元素全排列：种排列方法；
分步用乘法：共种．
（2）先对女生进行全排列：种；
再将男生插空，4个空放2名男生：种；
分步用乘法：共种．
（3）法一：对甲的位置进行分类：
第一类：甲在最右边：1种情况；其他无特殊要求种；
共种；
第二类：甲不在最右边且不在最左边，共3个位置可以选；
乙不在最右边，除去甲已选的位置，也有3个位置可以选；
其余3人全排列：种；
分步用乘法：共种；
综上，分类用加法：共种．
法二（间接法）：
全体排成一排：种；
其中甲站最左边：种；
乙站最右边：种；
其中甲站最左边且乙站最右边：种；
故共有种．
17．（1）根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件A，则，
“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件，则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件，则，
故所求的概率为： ，
所以从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是；
（2）依题意，佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生，故从中抽3人，男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2，
其中：；
；
.
所以男生人数的分布列为：
所以，
，
（3）由已知可得：
则：，
所以佩戴角膜塑形镜的人数的期望是，方差是.
18．（1）在四边形中，，
，，，
又平面，
平面而平面，.
又平面平面；
（2），
，
如图建系，
，
，设平面的一个法向量，
，取，则，
平面的一个法向量，设二面角的平面角为，
显然为锐角，.
19．（1）由题意可知：前4天管理停车场的顺序为“甲乙丙甲”或“甲丙乙甲”，
所以.
（2）设事件表示“第天甲管理停车场”，事件表示“第天乙管理停车场”，事件表示“第天丙管理停车场”，
可知，
记，则，
由题意可知：，
当时，，
即，整理得，
可得，且，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，故，
所以第天是甲管理停车场的概率为.
（3）由题意可知：当时，，
，
可得，
两式相减得：，
且，可知，即，
综上所述：对任意恒成立，可知；
令的前n项和为，则或，
可得，
可知，
又因为，
则；
综上所述：.

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