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河北石家庄市张家口市部分学校2025-2026学年高二下学期5月期中测试数学试题
一、单选题
1．下面给出四个随机变量：
①1天内的温度；
②一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数；
③从10张已编号的卡片（1号到10号）中任取一张，被取出卡片的号码；
④一个沿直线运动的质点，它在该直线上的位置为．
其中是离散型随机变量的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．李老师要从3幅不同的油画、2幅不同的国画和2幅不同的水彩画中各选取1幅布置自己的名师工作室，则不同的布置方案有（ ）
A．12种 B．10种 C．7种 D．5种
3．若的展开式中各二项式系数和为64，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．若，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．已知随机变量的分布列如下表所示，则（ ）
0 1 2
0.3 0.3
A．0.3 B．0.6 C．0.9 D．1
6．袋子中有大小、质地相同的4个球，其中标号为的球有2个，标号为a，b的球各有1个．从袋中任取2个球，已知有一个球标号为，则另外一个球标号也为的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．64
8．已知函数在处取得极大值，则（ ）
A．1 B．7 C．21 D．7或21
二、多选题
9．若点在曲线上，且曲线在点处的切线的倾斜角为，则可以取（ ）
A． B． C． D．
10．已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（ ）
A． B． C． D．
11．蔚县（非遗与古堡文化）、阳原县（人类起源与考古）、怀来县（生态与湿地）是张家口地区的三大文化研学地．现有甲、乙、丙、丁位同学计划利用假期研学，每人从这三个地点中随机选择一个前往，且每个地点至少有一人前往．设事件为“甲同学前往蔚县（非遗与古堡文化）研学”，事件为“乙同学前往阳原县（人类起源与考古）研学”．则（ ）
A．事件发生有12种方案 B．
C．事件发生有4种方案 D．
三、填空题
12．函数的单调递减区间为______．
13．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，从上到下第行（行号从1开始）的所有数字之和为，若去除杨辉三角中所有值为1的项后，将剩余项按原顺序依次排列构成数列，，则______．
14．为研究不同性别学生对“豆包”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解豆包”，“学生为女生”，据统计，将样本的频率视为概率，则______．
四、解答题
15．某学校从6名男教师，5名女教师中选出4名参加支教活动．
(1)求共有多少种不同的选法？（用数字作答）
(2)从中选出4名教师，并安排到4个不同的学校，每个学校安排1名教师，那么有多少种不同的安排方法？（用数字作答）
16．中国机器人产业已形成完整的产业链体系，2025年人形机器人市场规模突破85亿元，占全球市场规模50%以上，工业机器人国内市场占有率首次突破50%，产业正从“拼硬件”向“拼智能”转型，进入规模化量产与场景化应用的关键阶段．某机器人商店出售的机器人中，甲品牌占50%，合格率为98%；乙品牌占30%，合格率为95%；丙品牌占20%，合格率为95%，在该商店随机买一台机器人．
(1)求该机器人是甲品牌合格品的概率；
(2)求该机器人是合格品的概率．
17．在的展开式中，第5项为常数项．
(1)求的值，并求该展开式中二项式系数最大的项（结果的系数用数字表示）；
(2)若在展开式中任取3项，其中无理项的个数为，求的分布列和数学期望．
18．已知函数，．
(1)求的极值点；
(2)若在区间内单调递减，求的取值范围；
(3)若，比较与1的大小．（其中）
19．某学校田径队有甲、乙等10名运动员，现将这10人随机平均分成A，B两组进行集训，分组后两组人员固定．每天训练前，两组分别从本组队员中随机选出一人担任组长．
(1)求甲、乙两人都在组的概率；
(2)求甲在两天内至少担任一次组长的概率；
(3)记为这两组在连续两天中至少担任一次组长的总人数，求的概率分布列和数学期望．
参考答案
1．B
【详解】离散型随机变量是指其可能取到的值可以一一列举出来的随机变量.
对于①，一天内的温度可以取某一区间内的任意数，不能一一列举出来，故①不是离散型随机变量；
对于②，一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数可以是等，这些值可以一一列举出来，故②是离散型随机变量；
对于③，从10张已编号的卡片（1号到10号）中任取一张，被取出卡片的号码可以是，这些值可以一一列举出来，故③是离散型随机变量；
对于④，一个沿直线运动的质点，它在该直线上的位置可以取直线上的任意一点，不能一一列举出来，故④不是离散型随机变量.
综上，②③是离散型随机变量.
2．A
【详解】根据分步乘法计数原理，共有种不同的布置方案.
3．B
【详解】由题意得，解得．
4．D
【详解】因为，解得或（舍去），则．
5．B
【详解】由，解得，
，
.
6．A
【详解】记取出的2个球中，至少一个标号为为事件，2个球标号都为为事件，
则，，
．
7．C
【详解】因为，所以的展开式的通项公式为，
所以．
8．B
【详解】由题意有，
令，解得或，
当，此时在R上单调递增，无极值，不满足题意；
当，，，
则在和上单调递增，在上单调递减，从而为极大值点，
但此时与矛盾；
当，，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，所以为极大值点，可得．因此，．
9．AC
【详解】设，则，
所以在点处的切线斜率，
则，又，所以得，
对照选项，只有选项AC符合题意．
10．ABC
【详解】根据题意，随机变量的分布列为，
则，解得，故A正确；
，故B正确；
则，故C正确；
，故D错误．
11．ABD
【详解】事件为“甲同学前往蔚县（非遗与古堡文化）研学”，此时其余3名同学的分配需保证阳原县和怀来县都有人前往，一类是从其余3人中任选1人与甲同往蔚县，其余2人在阳原县和怀来县一人一地排列，第二类是其余3人，选出2人合成一组，与剩下的1人在阳原县和怀来县排列，共有种，故A正确；
由题可知，总基本事件数为，所以，故B正确；
事件AB：当甲同学前往蔚县研学，乙同学前往阳原县研学时，有两种情况，
①怀来县有两位同学研学，即丙丁，只有1种情况；
②蔚县或阳原县有两位同学研学，在丙丁2人中先选1人去怀来县，另1人去蔚县或阳原县，共有种情况；
所以事件共有种情况，故C错误；
同理可得，因为，所以，故D正确．
12．
【详解】因为，，故，
令得，解得，
故的单调递减区间为．
13．21
【详解】将数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…变成以下数阵：
第1行 2
第2行 3 3
第3行 4 6 4
第4行5 10 10 5
… …
则因为，所以在该数阵第6行的第2个位置，故．
14．/0.6
【详解】已知，抽取男生和女生各50名，所以．
根据条件概率公式，可得．
根据条件概率公式，可得．
15．(1)
(2)
【详解】（1）从6名男教师，5名女教师中选出4名教师的选法种数为；
（2）从6名男教师，5名女教师中选出4名教师，再将选出的教师安排到4个学校，每个学校安排1名教师的安排种数为．
16．(1)
(2)
【详解】（1）用表示机器人是甲品牌，用表示机器人是合格品，
则，
所以该机器人是甲品牌合格品的概率
（2）用表示机器人是乙品牌，用表示机器人是丙品牌，结合（1）得
．
17．(1)，
(2)分布列见解析，
【详解】（1）的展开式的通项为，
因为第5项为常数项，所以当时，有，解得，
所以该展开式共有9项，二项式系数最大的项为第5项，；
（2）由（1）知展开式的通项为 ，
由，可得，
即展开式中有理项的个数为3，无理项的个数为6，
故随机变量的可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
的分布列为
0 1 2 3
因此．
18．(1)为的极大值点，为的极小值点
(2)
(3)
【详解】（1）的定义域为，
，
因为，所以，由，可得或，
由，可得，因此在和上单调递增，在区间上单调递减；
故为的极大值点，为的极小值点．
（2）由（1）得在上单调递减，
要想在内单调递减，则，
即，解得，又，则的取值范围为．
（3）由（1）知，，
①当即时，又，则，
即在上单调递减，则，所以；
②当时，即，
当时，；当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以在上的最大值为与中的较大者，
而，，
，即，所以；
综上，当且时，.
19．(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【详解】（1）10名运动员分成A，B两组共有种不同方法．
记事件为“甲、乙两人都在组”，则事件共有种不同方法，
所以.
（2）甲每天担任组长的概率为，记事件为“甲在两天内至少担任一次组长”，
则．
（3）根据题意可得的可能取值为2，3，4，
第一天选组长：
A组从5人中选1人有种，组从5人中选1人有种，总选法为种，
第二天选组长：
组从5人中选1人有种，组从5人中选1人有种，总选法为种，
对于任一小组，两天选出同一名组长的概率为，
选出不同组长的概率为.
的含义：两天的组长完全相同，即组两天选同一个人，组两天也选同一个人，
所以，
的含义：组两天选同一人，组两天选不同的人或组两天选同一人，组两天选不同的人，
所以，
的含义：两天的组长完全不重复，总人数为4，即组两天选不同的人，组两天也选不同的人，
所以，
所以的分布列为
2 3 4
则．

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