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河南省顶级名校2026届高三年级5月押题导向卷（一）
数　学
（120分钟 150 分）
单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知为纯虚数，其中为虚数单位，则实数（　　）
A． B．2 C．1 D．
3．设非零向量，，则“或”，是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（　　）
A． B．
C． D．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于的是（　　）
A．至少有1个深度贫困村 B．有1个或2个深度贫困村
C．有2个或3个深度贫困村 D．恰有2个深度贫困村
7．若曲线上存在两点到直线的距离为3，则的取值范围为（　　）
A．， B．， C． D．，
8．已知对，恒成立，则的最小值为（　 ）
A．4 B．6 C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．设为坐标原点，若对于区域中任意两点，都有则称为“凸集”，则下列不等式所表示的区域中，是凸集的是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．是偶函数
C．在上单调递增
D．有且仅有2个零点
11．如图1，在长方形中，是边上一点，且，，．将△沿着翻折至△，连接，，得到如图2所示的四棱锥，则下列结论正确的是（　　）
A．四棱锥体积的最大值为
B．在翻折的过程中，与始终不垂直
C．当平面平面时，三棱锥的外接球的表面积为
D．若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．等比数列的前项和为已知，，成等差数列，则的公比为 　　．
13．已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M为双曲线E右支上一点，点N在x轴上，满足，若，则双曲线E的离心率为 　　．
14．已知实数，满足，则的最大值是 　　．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）某市近6年的新能源汽车保有量数据如下表
年份代号x 1 2 3 4 5 6
保有量y（万辆） 1 1.8 2.7 4 5.9 9.2
（1）从这6年中任意选取2年，在已知至少有1年的新能源汽车保有量大于3万辆的前提下，求这2年的新能源汽车保有量全都大于3万辆的概率；
（2）用函数模型对变量x，y的关系进行拟合，根据表中数据求出y关于x的回归方程（参数d的估计值精确到0.01）．
参考数据：，，，；
设，，
参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
16．（15分）如图，在等腰中，，，D为边AB上的一动点，连接CD，作，垂足为E，且E在线段CD上（不包括端点C，D）．
若，求AD的长度；
求的取值范围．
17．（15分）已知为圆上一动点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，连接并延长至点，使得，点的轨迹记为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）若过右焦点的直线与曲线交于不同的，两点，且，当，时，求直线在轴上的截距的取值范围．
18．（17分）如图，四棱锥中，平面，，
，．
（1）求证：；
（2）若为△的重心，
求与平面所成角的正弦值；
若交平面于，求的值．
19．（17分）已知函数定义域为，，若对任意，存在，当时，都有．则称为在上的“点”．
（1）设函数求在上的最大“点”；
（2）判断函数，在上是否存在“点”，并说明理由；
（3）若函数在上不存在“点”，求的取值范围.
河南省顶级名校2026届高三年级5月押题导向卷（一）数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B A C B B D B ABD BD ACD
12． 　　13. 14.
解：（1）保有量大于3万辆的年份有第4，5，6年，共3年，
保有量不大于3万辆的年份有第1，2，3年，共3年，
设至少有1年保有量大于3万辆为事件，2年保有量全都大于3万辆为事件，
事件的对立事件为2年都不大于3万辆，总选法有，
两年都不大于3万辆的选法为，所以，--------------------------------2分
两年都大于3万辆的选法为，所以，------------------------------------4分
则.--------------------------------------------------------------------------6分
（2）已知模型，两边取对数得，
令，则，即转化为线性回归方程，-----------------------7分
其中，由题意得，
则，---------------------------------------9分
，-------------------------11分
因为，所以，则.---------------------------13分
16．解：（1）在中，，，
由正弦定理可得，，---------------------------------------------------2分
∴.--------------------------------------------5分
（2）不妨设，则，，，
在中，由正弦定理得，------------------------------8分
则，--------------------11分
由于，得，∴，
∴，---------------------------------------------------------------13分
∴.-------------------------------------------------------------------------------15分
17．解：（1）设，，，则，，，
由题意知，所以，得，，，所以
因为，得，故曲线的方程为．------------------------5分
（2）设直线，，，，，联立方程组，
消去得，所以①，，--------------7分
由得③，
由①③可得，，，-------------------------------------10分
代入②化简得，，
即，---------------------------------------------------12分
由，得，即，---------------------------------------13分
解得，即，------------------------------------------14分
从而直线在轴上的截距为．----------------------15分
18．解：（1）在中，，，
．----------------------------------------------------------------------------------------------1分
平面，平面--------------------------------------------------2分
，平面，平面平面-------------------------4分
平面--------------------------------------------------------------------------5分
（2）（i）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，，，.
，，，，，
，，----------------------------------6分
为的重心，，，-------------7分
设平面的法向量为，
则，，，
取，则，即，---------------------------------------------------9分
，， ，
设与平面所成的角为，则，
故与平面所成角的正弦值为；------------------------------------------------------11分
（ii）由（i）知，，，设，则，
，----------------------------13分
由（i）知，平面的法向量为，则，即，
则，解得，即.----------------------------------------17分
19．解：（1），，
由对勾函数性质，当时，严格单调递增，在上严格单调递减，
当时，若，恒有，
所以在上的最大“点”为；----------------------------------------------4分
（2）不存在“点”，理由如下：
，令得，------------------------------------------------5分
当，单调递减，当，单调递增，
，
所以是在上的最大值，-----------------------------7分
对任意，都有，在上不存在“点”----------------------------9分
（3）由函数在上不存在"点"，
得在上恒成立，-----------------------------------------------------------10分
求导得，令，
求导得，
当时，恒成立，函数在上单调递减，
则，
因此函数在上单调递减，，符合要求；--------------------------------12分
当时，令，则，
①当，即时，，即在上单调递增，则，函数在上单调递增，，不符合要求；----------------------------------13分
②当，即时，恒成立，函数在上单调递减，则
，函数在上单调递减，此时，符合要求；14分
③当，即时，若，若，
函数在上单调递减，在上单调递增，而，
若，则在上恒成立，在上单调递减，此时，
若，则存在，使得，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则要恒成立，只需，解得，-----------------------------15分
由，得，
由，得，
即当时，符合要求，所以的取值范围是.----------17分
答案第1页，共2页
试卷第2页，共4页

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