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专题13　带电粒子(体)在交变场和叠加场中的运动
学习目标　1. 会求解带电粒子在多类型交变电、磁场中的运动问题.2. 会求解带电粒子(体)在各类电场、磁场、重力场叠加空间的运动问题．
活动一 解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题
1 如图甲所示，M、N为竖直放置且彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示(垂直于纸面向里为正).有一束正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场．已知正离子的质量为m、电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力．
甲 乙
(1) 求磁感应强度B0的大小；
(2) 要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，求正离子射入磁场时的速度v0的可能值．
1. 解决带电粒子在交变磁场中的运动问题，关键是追踪磁场的变化，准确画出带电粒子运动轨迹，根据题目要求、条件，列出重要的关系式，或检验、分析、求解，直至问题解决．
2. 交变电、磁场中n解类问题的解题要点：(1) 分析带电粒子在交变场中的运动时，首先必须明确粒子运动的周期与磁场变化的周期之间的关系，正确作出粒子在磁场中随磁场变化的运动轨迹图，然后灵活运用粒子做圆周运动的规律进行解答．(2) 要注意对题目中隐含条件的挖掘，分析不确定因素，善于发现可能的n解关系．
2 如图甲所示，两块金属板 AB、CD 平行正对放置，金属板长 L＝0.4 m，板间距离 d＝0.2 m，极板 CD 接地，AB 板上的电势 φ 随时间 t 的变化规律如图乙所示．金属板外有一区域足够大的匀强磁场，磁感应强度B0＝1×10-3 T，方向垂直于纸面向外．现有质子流以 v0＝1×105 m/s 的速度连续射入电场中(质子紧贴着 AB 板射入且初速度方向与之平行)，质子的比荷 ＝108 C/kg，在每个质子通过电场的极短时间内，电场可视为恒定电场，不考虑质子与极板的碰撞，MN 为经过 B、D 点的虚线，求：
(1) t＝0.05 s 时刻出发的质子射出电场时离 B 点的距离 x;
(2) 在磁场中运动的所有质子到 MN 的最大距离 H;
(3) 在CD右侧放置一足够大的质子收集板，收集板初始紧贴着MN，若将其向下缓慢平行移动，在不同位置，质子打到收集板的范围长度不一，该长度的最大值 lmax.
甲 乙
带电粒子在交变电场中运动时往往包含极值问题，应综合分析带电粒子的运动过程，画出运动轨迹，并运用物理规律、结合几何知识列方程求解．
在分析粒子在交变电场、磁场中的运动时，要注意粒子的运动周期、电场周期、磁场周期的关系，关键要明确粒子在不同时间段内、不同区域内的受力特性，对粒子的运动情景、运动性质作出判断．带电粒子在交变电磁场中运动仍遵循牛顿运动定律、运动的合成与分解、动能定理、能量守恒定律等力学规律，所以此类问题的研究方法与质点动力学相同．这类问题的基本思路是：
即时训练1 [2026宿迁检测]如图甲所示，xOy平面内存在着变化电场和变化磁场，变化规律如图乙、丙所示，磁感应强度的正方向为垂直于纸面向里、电场强度的正方向为＋y方向．t＝0时刻，一电荷量为＋q、质量为m的粒子从坐标原点O以初速v0沿＋x方向入射(不计粒子重力).B-t图中B0＝，Et图中E0＝.求：
(1) 粒子在磁场中运动时的轨道半径的大小；
(2) 3t0时刻粒子的坐标；
(3) 0～5t0时间段内粒子轨迹纵坐标的最大值．
甲 乙
丙
活动二 解决带电粒子(体)在叠加场中运动的问题
重力场、电场和磁场的比较：
力的特点 功和能的特点
重力场 大小：G＝mg 方向：竖直向下 重力做功与路径无关； 重力做功改变物体的重力势能
电场 大小：F＝qE 方向：正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反 电场力做功与路径无关，W＝qU＝qEd； 电场力做功改变电势能
磁场 大小：F＝qvB(v⊥B) 方向：可用左手定则判断 洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能
带电粒子(体)在叠加场中运动的分析思路：
3 [2026无锡南菁中学期中]如图所示的空间，匀强电场的方向竖直向下，场强为E，匀强磁场的方向水平向外，磁感应强度为B，有两个带电小球A和B都能在垂直于磁场方向的同一竖直平面内做匀速圆周运动(两小球间的库仑力可忽略)，运动轨迹如图中所示，已知两个带电小球A和B的质量关系为mA＝3mB，轨道半径为RA＝3RB，则下列说法正确的是(　　)
A. 小球A、B均带正电
B. 小球A带负电、B带正电
C. 小球A、B的周期比为2∶1
D. 小球A、B的速度比为3∶1
4 [2026南通月考]如图所示，空间存在水平向左的匀强电场和垂直于纸面向外的匀强磁场，质量为m、电荷量为q的微粒以速度v与水平方向成θ角从O点进入叠加场区，且沿直线运动到A点，已知重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A. 微粒可能带正电
B. 微粒从O到A的运动可能是匀变速运动
C. 电场强度大小为
D. 磁感应强度大小为
带电体在电场、磁场、重力场的叠加场中无约束运动的情境
(1) 若带电体所受合外力为零，将处于__________________状态．只要做直线运动(速度与磁场不平行)，带电体一定是匀速直线运动，因为若速度变化，洛伦兹力(方向垂直于速度)会变化，合力就会变化，合力与速度就不在一直线上，带电体就会做曲线运动．
(2) 若带电体所受的重力与电场力大小相等、方向相反，仅在洛伦兹力的作用下，将在垂直于匀强磁场的平面内做____________运动．
(3) 若带电体所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，将做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线．
5 [2023江苏卷]霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型．xOy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射．入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等．不计重力及电子间相互作用．
(1) 求电场强度的大小E；
(2) 若电子入射速度为 ，求运动到速度为 时位置的纵坐标y1；
(3) 若电子入射速度在0带电粒子在电场(重力场)、磁场叠加场中，若所受电场力(重力)和洛伦兹力不平衡，则做摆线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题．另外，也可以用配速法或正则动量解决此类问题．配速法其实就是给物体配一个速度v，使得这个速度所产生的洛伦兹力与题目中的重力或者电场力(视情况而定)抵消，对应的，还会出现一个与v等大反向的速度v′，此时等效为只受到一个洛伦兹力，而不再是重力或者电场力加上洛伦兹力，从而降低分析难度．动量定理是矢量表达式，可以在某一方向上进行分解使用，一般称为正则动量．感兴趣的学生可以用这两种方法分析本例题．
即时训练2 [2026南通如皋期中]如图所示，xOy坐标平面在竖直面内，空间有垂直于xOy平面的匀强磁场．一带正电小球从O点由静止释放，运动轨迹如图所示，下列说法中正确的是(　　)
A. 小球的运动轨迹为圆弧
B. 磁场方向垂直于纸面向外
C. 小球在O、A点的合力大小相等
D. 小球在A点时位置机械能最大
即时训练3 [2025南京二十九中检测]如图所示，在竖直面内建立坐标系xOy，水平x轴下方存在水平向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B0.质量为m、电荷量为＋q的带电小球在O点静止释放，小球的运动曲线如图所示，重力加速度为g.
(1) 若曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，求小球运动到任意位置P(x，y)处的速率v及小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym；
(2) 若磁场为非匀强磁场，方向水平向里，磁感应强度大小随y方向均匀增大，关系为B＝.(B0和d已知)求小球在运动过程中第一次下降的最大速度．
专题13　带电粒子(体)在交变场和叠加场中的运动
【活动一】
例 1
(1) 设磁场方向垂直于纸面向里时为正，正离子射入磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有
B0qv0＝m，
粒子运动的周期T0＝，
联立两式得磁感应强度B0＝.
(2) 正离子从O′孔垂直于N板射出磁场时，运动轨迹如图所示，在两板之间正离子只运动一个周期T0时，有r＝，
在两板之间正离子运动n个周期即nT0时，有
r＝(n＝1，2，3，…)，
解得v0＝(n＝1，2，3，…).
例 2
(1) t ＝ 0.05 s时，板间电势差U ＝ 50 V，质子在板间运动时，平行金属板方向做匀速运动，垂直金属板方向做初速度为 0 的匀加速运动，整体可看作一个类平抛运动．
由a＝＝2.5×1010 m/s2，L＝v0t，x＝at2，
解得x＝0.2 m，粒子恰好从D点飞出．
(2) 设任意时刻从电场中射出的质子，速度方向和轨迹如图甲所示，由几何关系得v＝，H＝R(1＋cos θ)，
根据牛顿第二定律B0qv＝，
联立解得H＝·，
此函数为随θ变化的函数，所以θ最小时，H最大．
θ最小为 45°，对应着从 D 点飞出的质子，
代入数据解得H＝(1＋)m.
甲
(3) 从 B 点射出的质子，其轨迹圆半径为
RB＝＝1 m，
从 D 点射出的质子，其轨迹圆半径为
RD＝＝ m，
质子在磁场中运动轨迹，及收集板收集质子的可能长度如图乙所示，由图可知，收集板收集质子的可能长度为两轨迹间所夹部分的长度．FG下方，因左侧轨迹会再次向上运动，部分点无法到达，且右侧轨迹开始向左运动，所以收集板收集质子的可能长度会开始减小，最大长度应为FG，
lmax＝RD(1＋cos 45°)－(RB－d)＝(＋0.2)m.
乙
即时训练1 (1) 粒子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有qv0B＝m，
解得r＝.
(2) 粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝＝t0，
在t0～2t0时间内，粒子所受合力为电场力，根据牛顿第二定律有qE0＝ma，
解得a＝，
粒子在电场中做类平抛运动，
则有x＝v0t0，y＝at＝v0t0，
在2t0～3t0时间内，粒子完成了一个完整的圆周运动，即3t0时刻粒子的坐标为(v0t0，v0t0).
(3) 结合上述，作出粒子的运动轨迹，如图所示，
根据轨迹图可知y1＝2y＝v0t0，y2＝2r＝v0t0，
0～5t0时间段内粒子轨迹纵坐标的最大值
ymax＝y1＋y2＝v0t0＋v0t0.
【活动二】
例 3
D　因为两小球在复合场中都能做匀速圆周运动，均满足mg＝qE，所受电场力均向上，两小球均带负电，A、B错误；由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，联立可得v＝＝·R，可得，小球A、B的速度比为 ＝＝，由周期公式T＝＝，故小球A、B的周期比为 ＝，C错误，D正确．
例 4
D　因为带电微粒在磁场中受到洛伦兹力与速度有关，如果带电微粒在电场、磁场、重力场复合的场中做直线运动，则一定是匀速直线运动；由于微粒做匀速运动，所以重力、电场力、洛伦兹力三力平衡，若微粒带正电，电场力向左，洛伦兹力垂直于OA直线斜向右下方，则电场力、洛伦兹力和重力不能平衡，如图甲所示，故微粒带负电，故A、B错误；若微粒带负电，符合题意，受力如图乙所示，由图根据受力平衡可知qvB cos θ＝mg，qvB sin θ＝qE，可解得B＝，E＝，故D正确，C错误．
甲 乙
总结提升：(1) 静止或匀速直线运动　(2) 匀速圆周
例 5
(1) 由题意知，入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动，则有Ee＝ev0B，
解得E＝v0B.
(2) 电子在竖直向下的匀强电场和垂直于坐标平面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹力不做功，且由于电子入射速度为 ，则电子受到的电场力大于洛伦兹力，则电子向上偏转，根据动能定理有eEy1＝m(v0)2－m(v0)2，
解得y1＝.
(3) 若电子以v入射时，设电子能达到的最高点位置的纵坐标为y，则根据动能定理有eEy＝mv－mv2，
由于电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，则在最高点有F合＝evmB－eE，
在最低点有F合＝eE－evB，
联立有vm＝－v，y＝，
要让电子达纵坐标y2＝ 位置，即y ≥ y2，
解得v≤v0，
则若电子入射速度在0即时训练2 C　小球释放后，除了受到重力外，开始阶段还受到向右侧的洛伦兹力的作用，只有重力做功，机械能守恒，D错误；小球带正电，由小球运动轨迹可知磁场方向垂直于纸面向里，B错误；小球初速度为0，如图所示，可以将这个初速度分解为向右的速度v1和向左的速度v2，则两者大小关系为v1＝ v2，设小球质量为m、带电荷量为q，磁场强度为B，且使v1满足qv1B ＝ mg，则根据前述分析可知，小球的运动可看作是v1引起的向右的匀速直线运动和v2引起的一开始向左的逆时针匀速圆周运动的两个分运动的合运动，很显然，小球的轨迹不是圆弧，而是摆线，A错误；且小球运动至最低点A时速度为向右的v2和v1的矢量和，即2v1，洛伦兹力大小为2mg、方向竖直向上，在A点所受合力大小也为mg，C正确．
即时训练3 (1) 洛伦兹力不做功，由动能定理得
mgy＝mv2，
解得v＝，
设在最大距离ym处的速度为vm，根据圆周运动有
qvmB0－mg＝，
根据几何关系可知R＝2ym，
结合vm＝，
解得ym＝.
(2) 由能量守恒定律，得mgy0＝mv，
洛伦兹力在水平方向的冲量
I洛＝∑qvyBΔt＝∑qyΔy＝q·y2＝，
由动量定理，得mv0＝，
联立解得最大速度v0＝.(共40张PPT)
第十章
磁场
专题13　带电粒子(体)在交变场和叠加场中的运动
内容索引
学习目标
核心体系
活动方案
学 习 目 标
1．会求解带电粒子在多类型交变电、磁场中的运动问题. 2．会求解带电粒子(体)在各类电场、磁场、重力场叠加空间的运动问题．
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题
如图甲所示，M、N为竖直放置且彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示(垂直于纸面向里为正)．有一束正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场．已知正离子的质量为m、电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力．
1
甲
乙
(1) 求磁感应强度B0的大小；
(2) 要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，求正离子射入磁场时的速度v0的可能值．
1. 解决带电粒子在交变磁场中的运动问题，关键是追踪磁场的变化，准确画出带电粒子运动轨迹，根据题目要求、条件，列出重要的关系式，或检验、分析、求解，直至问题解决．
2. 交变电、磁场中n解类问题的解题要点：(1) 分析带电粒子在交变场中的运动时，首先必须明确粒子运动的周期与磁场变化的周期之间的关系，正确作出粒子在磁场中随磁场变化的运动轨迹图，然后灵活运用粒子做圆周运动的规律进行解答．(2) 要注意对题目中隐含条件的挖掘，分析不确定因素，善于发现可能的n解关系．
2
甲
乙
(1) t＝0.05 s 时刻出发的质子射出电场时离 B 点的距离 x;
(2) 在磁场中运动的所有质子到 MN 的最大距离 H;
(3) 在CD右侧放置一足够大的质子收集板，收集板初始紧贴着MN，若将其向下缓慢平行移动，在不同位置，质子打到收集板的范围长度不一，该长度的最大值lmax.
甲
乙
带电粒子在交变电场中运动时往往包含极值问题，应综合分析带电粒子的运动过程，画出运动轨迹，并运用物理规律、结合几何知识列方程求解．
在分析粒子在交变电场、磁场中的运动时，要注意粒子的运动周期、电场周期、磁场周期的关系，关键要明确粒子在不同时间段内、不同区域内的受力特性，对粒子的运动情景、运动性质作出判断．带电粒子在交变电磁场中运动仍遵循牛顿运动定律、运动的合成与分解、动能定理、能量守恒定律等力学规律，所以此类问题的研究方法与质点动力学相同．这类问题的基本思路是：
1
甲
乙
丙
(1) 粒子在磁场中运动时的轨道半径的大小；
(2) 3t0时刻粒子的坐标；
(3) 0～5t0时间段内粒子轨迹纵坐标的最大值．
活动二　解决带电粒子(体)在叠加场中运动的问题
重力场、电场和磁场的比较：
力的特点 功和能的特点
重力场 大小：G＝mg 方向：竖直向下 重力做功与路径无关；
重力做功改变物体的重力势能
电场 大小：F＝qE 方向：正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反 电场力做功与路径无关，W＝qU＝qEd；
电场力做功改变电势能
磁场 大小：F＝qvB(v⊥B) 方向：可用左手定则判断 洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能
带电粒子(体)在叠加场中运动的分析思路：
[2026无锡南菁中学期中]如图所示的空间，匀强电场的方向竖直向下，场强为E，匀强磁场的方向水平向外，磁感应强度为B，有两个带电小球A和B都能在垂直于磁场方向的同一竖直平面内做匀速圆周运动(两小球间的库仑力可忽略)，运动轨迹如图中所示，已知两个带电小球A和B的质量关系为mA＝3mB，轨道半径为RA＝3RB，则下列说法正确的是(　 　)
A．小球A、B均带正电
B．小球A带负电、B带正电
C．小球A、B的周期比为2∶1
D．小球A、B的速度比为3∶1
3
D
[2026南通月考]如图所示，空间存在水平向左的匀强电场和垂直于纸面向外的匀强磁场，质量为m、电荷量为q的微粒以速度v与水平方向成θ角从O点进入叠加场区，且沿直线运动到A点，已知重力加速度为g，下列说法正确的是(　 　)
A．微粒可能带正电
B．微粒从O到A的运动可能是匀变速运动
4
D
甲
乙
带电体在电场、磁场、重力场的叠加场中无约束运动的情境
(1) 若带电体所受合外力为零，将处于______________________状态．只要做直线运动(速度与磁场不平行)，带电体一定是匀速直线运动，因为若速度变化，洛伦兹力(方向垂直于速度)会变化，合力就会变化，合力与速度就不在一直线上，带电体就会做曲线运动．
(2) 若带电体所受的重力与电场力大小相等、方向相反，仅在洛伦兹力的作用下，将在垂直于匀强磁场的平面内做____________运动．
(3) 若带电体所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，将做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线．
静止或匀速直线运动
匀速圆周
[2023江苏卷]霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型．xOy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射．入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等．不计重力及电子间相互作用．
5
(1) 求电场强度的大小E；
【答案】 (1) 由题意知，入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动，则有Ee＝ev0B，
解得E＝v0B.
带电粒子在电场(重力场)、磁场叠加场中，若所受电场力(重力)和洛伦兹力不平衡，则做摆线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题．另外，也可以用配速法或正则动量解决此类问题．配速法其实就是给物体配一个速度v，使得这个速度所产生的洛伦兹力与题目中的重力或者电场力(视情况而定)抵消，对应的，还会出现一个与v等大反向的速度v′，此时等效为只受到一个洛伦兹力，而不再是重力或者电场力加上洛伦兹力，从而降低分析难度．动量定理是矢量表达式，可以在某一方向上进行分解使用，一般称为正则动量．感兴趣的学生可以用这两种方法分析本例题．
　　　　[2026南通如皋期中]如图所示，xOy坐标平面在竖直面内，空间有垂直于xOy平面的匀强磁场．一带正电小球从O点由静止释放，运动轨迹如图所示，下列说法中正确的是(　 　)
A．小球的运动轨迹为圆弧
B．磁场方向垂直于纸面向外
C．小球在O、A点的合力大小相等
D．小球在A点时位置机械能最大
2
C
【解析】 小球释放后，除了受到重力外，开始阶段还受到向右侧的洛伦兹力的作用，只有重力做功，机械能守恒，D错误；小球带正电，由小球运动轨迹可知磁场方向垂直于纸面向里，B错误；小球初速度为0，如图所示，可以将这个初速度分解为向右的速度v1和向左的速度v2，则两者大小关系为v1＝v2，设小球质量为m、带电荷量为q，磁场强度为B，且使v1满足qv1B＝mg，则根据前述分析可知，小球的运动可看作是v1引起的向右的匀速直线运动和v2引起的一开始向左的逆时针匀速圆周运动的两个分运动的合运动，很显然，小球的轨
迹不是圆弧，而是摆线，A错误；且小球运动至
最低点A时速度为向右的v2和v1的矢量和，即2v1，
洛伦兹力大小为2mg、方向竖直向上，在A点所受
合力大小也为mg，C正确．
　　　　[2025南京二十九中检测]如图所示，在竖直面内建立坐标系xOy，水平x轴下方存在水平向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B0.质量为m、电荷量为＋q的带电小球在O点静止释放，小球的运动曲线如图所示，重力加速度为g.
3
(1) 若曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，求小球运动到任意位置P(x，y)处的速率v及小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym；
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