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11.3 一元一次不等式组 重点题型归纳 强化练
2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）七年级下册
一、一元一次不等式组的解集
1．不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．不等式组的解集是__________．
4．解不等式组:
5．解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
二、求一元一次不等式组的整数解
6． 不等式组的所有整数解是( )．
A．、 B．、
C．0、 D．、、
7．不等式组的整数解的和为（　　）
A．1 B．0 C．29 D．30
8．不等式组的所有整数解为_________．
9．求不等式组的整数解．
10．解不等式组：，并写出它的所有整数解．
三、列不等式组
11．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
12．野生兰草适宜生长在温度为的山区．已知海拔每升高，气温下降5℃，现测得某地区的气温为24℃，海拔为．设野生兰草在海拔高度为的山区较适宜，则所列下面不等式组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（　　）
A． B．
C． D．
14．新情景：（地方特色）利用以下素材解决问题．
素材1 “中国第一水乡”周庄，不仅有小桥流水的古韵，更藏着许多手工制作、传承百年的江南特色小吃，如袜底酥、青团、万三蹄等特色小吃，其中，万三蹄因明代富商沈万三而得名．
素材2 周庄古镇内某商店销售万三蹄，成本价是15元/个，分为线上，线下两种方式，都是整个出售，其中，线上1个和线下2个的售价共100元，线上2个和线下1个的售价共95元，五一小长假即将到来，预计今年5月1号到5号这五天的线上销售个数不多于1002个，两种方式的总销售个数达到4000个，总销售金额不多于135000元．
(1)求万三蹄线上，线下的售价分别是每个多少元．
(2)预计今年五一小长假万三蹄的线上销售个数可能有多少个？
(3)若万三蹄线上售价上涨m元/个，线下售价不变，则预计今年五一小长假这五天销售总利润是定值，请直接写出m的值．
四、一元一次不等式组的解集求参数
15．若关于的不等式组的解集是，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
16．定义新运算：，若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围_____．
17．若关于x的不等式有且只有3个整数解，则a的取值范围是______．
18．已知不等式组的解集为，则的值为______．
19．若关于x的不等式组．
（1）当不等式组的解集为，则m的值为______；
（2）当不等式组的所有整数解的和是12，则m的取值范围是______．
五、不等式组和方程组结合的问题
20．已知实数满足，，则下列判断错误的是（ ）
A． B．
C． D．
21．若方程组的解满足，则k的取值范围是_____________．
22．已知关于x，y的方程组的解x，y满足．
(1)求a的取值范围；
(2)已知，求b的取值范围．
23．已知关于x，y的二元一次方程组
(1)若，求的取值范围；
(2)若x，y都是负数，求的取值范围．
24．阅读材料，回答问题：
我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组成一种组合，当一元一次方程的解正好在一元一次不等式的解集里时，我们把这个方程的解叫“集内点”，当一元一次方程的解不在一元一次不等式的解集里时，我们把这个方程的解叫“集外点”．
(1)请直接判断下列组合中方程的解是_____（填“集内点”或“集外点”）；
(2)若关于x的组合中方程的解是“集内点”，求a的取值范围．
参考答案
题号 1 2 6 7 11 12 13 15 20
答案 C A A B C D A C D
1．C
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键．
先求出每一个不等式的解集，再取解集的公共部分即可．
解：，
由①得：，
由②得：,
∴原不等式组的解集为：，
故选：C．
2．A
本题考查了解一元一次不等式组，把解集表示在数轴上；分别解两个不等式，将它们的解集表示在同一数轴上即可求解；带等于号的用实心点，不带等于号的用空心点．
解不等式①得：，
解不等式②得．
因此不等式的解集为，
故选A．
3．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集即可．
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
故答案为：．
4．
本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分. 不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
解：
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为．
5．，见解析
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
故原不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：
6．A
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可得解．
解：解得：x>-2，
解得：x≤，
∴其解集为-2所以整数解是-1，0；
故选A．
本题主要考查了解一元一次不等组，能求出不等式组的解集，是解此题的关键．
7．B
先求出不等式组的解集，在取值范围内可以找到整数解，进而求其和．
解：
由①式，解得：，
由②式，解得，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的整数解为，，，
∴其和为0．
故选：B．
本题考查解一元一次不等式组，求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
8．，
本题考查的知识点是 不等式组的整数解，解题关键是熟练掌握不等式组的解．
根据不等式性质对该不等式组求解，得出解集后，取整数解即可．
解：，
，
，
整数解为，．
故答案为：，．
9．该不等式组的整数解是，．
本题考查的知识点是解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握不等式组的解法．
求不等式组的解集，遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．解完不等式组，再从不等式组的解集中找出适合条件的整数即可．
解：由①得：，
得；
由②得：，
得；
不等式组的解集是．
故该不等式组的整数解是，．
10．，，0，1．
本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的的所有整数解即可．
解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得：，
∴该不等式组的解集为．
∴该不等式组的整数解为：，0，1．
11．C
本题考查一元一次不等式组的实际应用，理解不超过为小于等于，不少于为大于等于是解题关键．设购买篮球个，则购买排球个，再结合题意列出不等式组即可．
解：设购买篮球个，则购买排球个，
由购买资金不超过3600元，可列，
由购买篮球的数量不少于排球数量的一半，可列，
即可列不等式组为．
故选C．
12．D
先计算目标海拔相对已知海拔的升高量，再根据气温变化规律得到目标海拔处的气温，最后结合适宜温度范围列出不等式组即可．
解：∵野生兰草适宜温度为，已知海拔处气温为，目标海拔为，
∴目标海拔相对已知海拔的升高量为，
∵海拔每升高，气温下降，
∴总下降气温为，因此处的气温为，
根据适宜温度范围可得不等式．
13．A
由“张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完”可建立不等式组．
解：设张力平均每天读x页，则李永平均每天读页
由“张力读了一周（7天）还没读完”可得：
由“李永不到一周就已读完” 可得：
故：
故选：A．
本题考查列一元一次不等式组．正确理解题意是解题关键．
14．(1)线上30元/个，线下35元/个
(2)1000、1001、1002个
(3)
（1）设线上售价x元/个，线下售价y元/个，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设线上销售a个，线下销售个，根据题意列出不等式组即可求解；
（3）根据题意列出代数式，然后化简即可．
（1）解：设线上售价x元/个，线下售价y元/个
根据题意得：，
解得：，
∴线上30元/个，线下35元/个；
（2）解：设线上销售a个，线下销售个，
根据题意得：，
解得：，
∵a为整数，
∴，
∴线上销售个数可能有个或个或个；
（3）解：根据题意得：利润，
∵预计今年五一小长假这五天销售总利润是定值，
∴，
解得：．
15．C
先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据已知解集对应端点，建立关于的方程，求出的值后即可计算．
解：解不等式组，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式组的解集是，
∴，解得，
∴．
16．
根据新运算定义化简不等式组，得到不等式组的解集后，再根据整数解的个数确定参数的取值范围即可．
解：为正数，，
对于，
，即，
，
由得，解得，
对于，
，即，
，
由得，解得．
因此不等式组的解集为．
不等式组恰有三个整数解，三个整数解为，
，
不等式两边同时加，得．
17．
先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再根据不等式组有且只有3个整数解，确定的取值范围．
解：
解不等式①得：，
解不等式②得： ，
不等式组的解集为 ；
不等式组有且只有3个整数解，
3个整数解为，可得：，
不等式两边同乘得：，
移项得：，
系数化为得：．
18．4
根据不等式组的解集求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可得解．
解：解不等式组得，
∵不等式组的解集为
∴，
∴，
∴．
19． 或
（1）首先解出不等式组的解集，然后比较求解即可；
（2）根据不等式组的所有整数解的和是12，再由或求解即可．
解：（1）解不等式组得，
∵不等式组的解集为，
∴
∴；
（2）∵不等式组的解集为，
∵不等式组的所有整数解的和是12，
∴为，或
∴，或
∴，或．
20．D
先利用已知等式用表示，代入不等式求出的范围，再依次推导各选项中代数式的范围，找出错误判断．
解：∵
∴
∵ ，
∴
∴，因此选项A判断正确．
∴ ，
∴，
∴，因此选项B判断正确．
∵ ，
由得 ，
∴ ，因此选项C判断正确．
∵，
由 得 ，
即 ，不符合选项D给出的范围，因此选项D判断错误．
21．
观察方程的特征，可以把两个方程相减后，用含k的式子表示出，再代入到求解k的取值范围即可．
解：
①②得：，
∴，
∵
∴
解得：
22．(1)
(2)
（1）先推导出，得到，解得，即可解答；
（2）先推导出，得到，解得，即可解答．
（1）解：，
，得
，
由，得
，
解得；
（2）解：由，得，
，
，
解得．
23．(1)
(2)
（1）①②得，即，根据，列出不等式，解不等式，即可求解；
（2）解二元一次方程组得出，根据x，y都是负数，列出不等式组，求不等式组的解集，即可求解．
（1）解：，
由①②得，所以，
因为，所以，解得；
（2）解：，
解得，
因为x，y都是负数，
所以，
解得．
24．(1)集外点
(2)
本题先分别求解组合中的一元一次方程和一元一次不等式，再根据题干中“集内点”“集外点”的定义进行判断或求解参数的取值范围，用到的知识点为一元一次方程和一元一次不等式的求解方法．
（1）解：解方程，
移项得，
系数化为1得，
解不等式，
移项得，
系数化为1得，
不在的解集内，
方程的解是集外点．
（2）解：解方程，
移项得，
系数化为1得，
解不等式，
两边同乘2得，
移项合并同类项得，
系数化为1得，
方程的解是“集内点”，
满足，即，
的取值范围是．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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