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23.4 实际问题与一次函数 第2课时（分配方案问题） 同步练
2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　）
A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米
2．某游泳馆新推出了甲、乙两种消费卡，设游泳次数为时两种消费卡所需费用分别为，元，，与的函数图象如图所示，当游泳次数为30次时选择哪种消费卡更合算（ ）
A．甲种更合算 B．乙种更合算 C．两种一样合算 D．无法确定
3．某公司话费收费有套餐（月租元，通话费每分钟元）和套餐（月租元，通话费每分钟元）两种，当，两种套餐收费一样时，月通话时间为（　　）
A．100分钟 B．200分钟 C．300分钟 D．400分钟
4．小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示：
甲种货车 乙种货车
载货量（吨/辆） 25 20
租金（元/辆） 2000 1800
请问：李老板最少要花掉租金（ ）．
A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元
5．某市体育馆将举办明星足球赛，为此体育馆推出两种团体购票方案（设购票张数为张，购票总价为元）．方案一：购票总价由图中的折线所表示的函数关系确定；方案二：提供元赞助后，每张票的票价为元．则两种方案购票总价相同时，的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．本年度某单位常有集体外出学习活动，因此准备与出租车公司签订租车协议．现有甲、乙两家出租车公司供选择．设每月行驶千米，应付给甲公司元，应付给乙公司元，、分别与之间的函数关系如图所示，若这个单位估计每月需要行驶的路程为3500千米，那么为了省钱，这个单位应租__________公司．
7．某通讯公司推出了①②两种收费方式，收费y1，y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，若使用资费①更加划算，通讯时间x(分钟)的取值范围是_______．
8．小静准备到甲或乙商场购买一些商品，两商场同种商品的标价相同，而各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买满一定数额a元后，再购买的商品按原价的收费；在乙商场累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的收费．若累计购物x元，当时，在甲商场需付钱数，当时，在乙商场需付钱数为．下列说法：①；②当累计购物大于50元时，选择乙商场一定优惠些；③当累计购物超过150元时，选择甲商场一定优惠些；④．其中正确的说法是________（填序号）
9．单位组织职工观看某场足球比赛，球票的原价为每张100元．在购买门票时，体育场给出了两种不同的团体购票方案．方案一：单位赞助10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元；方案二：不交赞助费，当购买票数不超过100张时，按原价收费，超过100张时，超出部分每张80元，设某单位购票x张，总费用为y元．
（1）若该单位采用方案一购票，则y与x之间的函数关系式为______；
（2）若该单位采用方案二购票，则当时，y与x之间的函数关系式为_____，当时，y与x之间的函数关系式为_____；
（3）若甲、乙两单位共购买了本场足球赛门票700张（每个单位都至少购买了10张），共付费58000元，且甲单位付费较多，则甲单位采用方案______（填“一”或“二”）购票_______张，乙单位采用方案____（填“一”或“二”）购票______张．
10．A城有种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，则W关于x的函数关系式为_______________．
11．“双11”当天，重庆顺风快递公司出动所有车辆分上午、下午两批往成都送件，该公司共有甲、乙、丙三种车型，其中甲型车数量占公司车辆总数的，乙型车辆是丙型车数量的2倍，上午安排甲车数量的，乙车数量的，丙车数量的进行运输，且上午甲、乙、丙三种车型每辆载货量分别为15吨，10吨，20吨，则上午刚好运完当天全部快件重量的；下午安排剩下的所有车辆运输完当天剩下的所有快件，且下午甲、乙、丙三种车型每辆载货量分别不得超过20吨，12吨，16吨，下午乙型车实际载货量为下午甲型车每辆实际载货量的．已知同种货车每辆的实际载货量相等，甲、乙、丙三种车型每辆车下午的运输成本分别为50元/吨，90元/吨，60元/吨．则下午运输时，一辆甲种车、一辆乙种车、一辆丙种车总的运输成本最少为_____元．
三、解答题
12．随着西昌葡萄种植面积不断扩大，现新推广甲、乙两种葡萄苗，已知乙种葡萄苗比甲种葡萄苗每株贵3元，且用100元钱购买甲种葡萄苗的株数与用160元钱购买乙种葡萄苗的株数刚好相同．
(1)求甲、乙两种葡萄苗每株的价格；
(2)小颖家计划购买甲、乙两种葡萄苗共1000株，调查统计发现，甲、乙两种葡萄苗的成活率分别为90%、95%，要使这批葡萄苗的成活率不低于92%，且使购买葡萄苗的费用最低，应如何选购葡萄苗？最低费用是多少？
13．某小区为了绿化环境，分两次购买，两种树苗，第一次购买种树苗棵，种树苗棵，共花费元；第二次购买种树苗棵，种树苗棵，共花费元．（两次购买的，两种树苗各自的单价均不变）
(1)，两种树苗每棵的单价分别是多少元？
(2)若购买，两种树苗共棵，总费用为元，购买种树苗棵，种树苗的数量不超过种树苗数量的倍．求与的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．
14．某学习平台为提高学生的积极性，推出学习积分，所得积分可兑换礼品．某品牌的笔记本每本需要60积分，书签每枚需要10积分．现积分超市推出以下两种活动：
活动一：按兑换物品所需的积分打八折扣除积分：
活动二：兑换一本笔记本送两枚书签．
李同学想用积分兑换这种笔记本5本，书签x枚（）．
(1)请你分别求出活动一、活动二兑换所需的积分y，y与书签x（枚）之间的函数关系式；
(2)若只能选择一种兑换活动，请你通过计算帮助李同学判断选择哪种活动更优惠．
15．为响应“要在学生中弘扬劳动精神”的号召，某校劳动基地准备投入一笔资金用于购进甲、乙两种劳动工具．已知购进甲种劳动工具20件和乙种劳动工具10件共需1400元，甲种劳动工具的单价是乙种劳动工具单价的3倍．
(1)求甲、乙两种劳动工具的单价各是多少元．
(2)该劳动基地计划购进甲、乙两种劳动工具共60件，投入资金不超过2400元．设购进乙种劳动工具件，若，则有几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少？
16．2025年4月23日是第30个世界读书日．为了感受阅读的幸福，体味生命的真谛，分享读书的乐趣，某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园” “阅读·梦飞翔”主题活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书．七年级订购《骆驼祥子》12套和《昆虫记》6套，总费用为810元；八年级订购《骆驼祥子》9套和《昆虫记》7套，总费用为795元．
(1)求《骆驼祥子》和《昆虫记》每套各是多少元？
(2)学校准备再购买《骆驼祥子》和《昆虫记》共26套，总费用不超过1230元，购买《骆驼祥子》的数量不超过《昆虫记》的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出该方案所需的费用．
17．某超市销售着一种牛奶草莓，为了推广这种草莓，该超市做出两种促销方案，两种方案下购买这种草莓的费用（元）与购买量（千克）之间的函数关系图象如图所示．
(1)分别求出两种方案下与之间的函数关系式；
(2)请直接写出图中线段的长，并说明它的实际意义；
(3)如果顾客购买21千克这种草莓，选择哪种方案更省钱？结合图象说明理由．
18．某学校计划购买若干台电脑，现从甲、乙两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示：
商 场 优惠条件
甲商场 第一台按原价收费，其余每台优惠
乙商场 每台优
(1)分别写出甲、乙两商场的收费元与所买电脑台数之间的关系式；
(2)什么情况下到甲商场购买更优惠？
参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 C B C B D
1．C
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案．
【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，
A方案：一共需要花费：，
B方案∶ 一共需要花费：，
若选择A方案，，解得：，
若选择B方案，得，
由于，则选择B方案是最优租车方案，
故选：C．
2．B
【分析】根据一次函数的图象，哪个函数图象在上面，哪个就大，直接得出答案即可．
【详解】解：利用图象，当游泳次数大于10次时，
在上面，即＞，
∴当游泳次数为30次时，选择乙种方式省钱．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用以及利用函数图象比较函数大小，利用数形结合得出是解题关键．
3．C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据套餐的收费为月租加上话费，套餐的收费为话费列式，再根据两种收费相同列出方程，求解即可．
【详解】解：设通话时间为分钟，则套餐的收费为元，套餐的收费方式为元．
依题意，，
解得：，
故选：C．
4．B
【分析】设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，用x将y表示出来，进行判断即可．
【详解】解：设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，根据题意得：
，
∵，
∴，
∴当时，y最小，最小值为：
（元），
即李老板最少要花掉租金16000元，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，列出一次函数的解析式是解题的关键．
5．D
【分析】分别求出方案一中的OA和AB表示的解析式以及方案二的解析式，再进行比较即可得到结论．
【详解】解：在方案一中，设OA表示的解析式为，且
解得，
表示的解析式为：；
设表示的解析式为，
又，
解得，，
表示的解析式为：；
方案二的解析式为：；
当时，
故的图象与的图象无交点，
当时，，
所以，当时，两种方案购票总价相同．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，运用待定系数法求一次函数关系式是解答本题的关键．
6．甲
【分析】由题意可知x=3500>1500，此时观察图像，则此时甲省钱．
【详解】根据图象可知当x>1500时，，此时甲省钱．
∵x=3500>1500，此时，
∴此时甲省钱．
故答案为：甲．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，根据两个一次函数的交点判断出与的大小是解答本题的关键．
7．x＞300
【分析】根据题意首先将已知点的坐标代入一次函数的解析式求得k值，然后确定两函数图象的交点坐标，从而确定x的取值范围.
【详解】解：由题设可得不等式kx＋30＜x.
∵y1＝kx＋30经过点(500，80)，
∴k＝，
∴y1＝x＋30，y2＝x，解得：x＝300，y＝60.
∴两直线的交点坐标为(300，60)，
∴当x＞300时不等式kx＋30＜x中x成立，
故答案为：x＞300.
【点睛】本题考查的是用一次函数解决实际问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．
8．①③④
【分析】根据题中已知条件，求出，然后和相比较，从而得出正确结论．
【详解】①、，正确，符合题意；
②、当累计购物大于50时上没封顶，选择乙商场一定优惠显然不对，不符合题意；
③、当时，即，解之得．所以当累计购物超150元时，选择甲商场一定优惠些，符合题意；
④、根据题意，所以，符合题意；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，不等式等知识点，灵活的与方程或不等式联系起来是解决此问题的关键．
9． 一 500 二 200
【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可；
（2）根据题意列出函数关系式即可；
（3）根据函数关系式和题目给出的数量关系判断计算即可．
【详解】解：（1）该单位采用方案一购票，则y与x之间的函数关系式为：；
故答案为：；
（2）该单位采用方案二购票，则当时，y与x之间的函数关系式为；
当x＞100时，y与x之间的函数关系式为y＝80（x－100）+100×10000=80x+2000；
故答案为：，
（3）若两单位都采用方案一，则总票款应为，矛盾．
若两单位都采用方案二，则至少一个单位购票超过100张，若是一个超过100张另一个不超过100张，设购票较少的买了x张，
则有，
解得，与已知矛盾；
若两个单位购票都超过100张，则总票款应为，矛盾．
故只能是一个单位采用方案一，另一个单位采用方案二．
此时设采用方案一的购票x张，若采用方案二的购票不超过100张，则有，
解得，但此时，矛盾；
若采用方案二的购票超过100张，则有，
解得，此时，符合题意，
再由甲单位付费较多可知采用方案一的是甲，采用方案二的是乙．
故答案为：一、500，二、200．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题关键是根据题意列出函数关系式，运用函数知识解决问题．
10．
【分析】因为A城运往C乡x台农机，则A城运往D乡（30﹣x）台农机，B城运往C乡（34﹣x）台农机，B城运往D乡[40﹣（34﹣x）]台农机，就可以得到关系式．
【详解】解：由题意得：因为A城运往C乡x台农机，则A城运往D乡（30﹣x）台农机，B城运往C乡（34﹣x）台农机，B城运往D乡[40﹣（34﹣x）]台农机
W＝250x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240[40﹣（34﹣x）]
＝140x+12540，
故答案为：W＝140x+12540．
【点睛】本题考查一次函数的应用，属于一般的应用题，解答本题的关键是根据题意得出y与x的函数关系式．
11．2700.
【分析】设重庆顺风快递公司总共有x辆车，用表示各型车的数量，上午运输快递重量，下午快递重量，设下午甲型车每辆实际载货量为y吨，丙型车每辆实际载货量为z吨，则乙型车每辆实际载货量y吨，根据题意列出y的不等式组，求得y的取值范围，再用y的代数式表示：下午运输时，一辆甲种车、一辆乙种车、一辆丙种车总的运输成本，最后根据一次函数的性质求最小值．
【详解】解：设重庆顺风快递公司总共有x辆车，则甲型车有x辆，乙型车有x＝x辆，丙型车有x＝x辆，根据题意得，
上午运货总量为：15×x+10××x+20×＝x（吨），
全天运货总量为：＝14x（吨），
下午运货总量为：14x （1﹣）＝x（吨），
设下午甲型车每辆实际载货量为y吨，丙型车每辆实际载货量为z吨，则乙型车每辆实际载货量y吨，根据题意得，
xy+xy+xz＝x，
化简得，4y+z＝84，
∴z＝84﹣4y，
∵下午甲、乙、丙三种车型每辆载货量分别不得超过20吨，12吨，16吨
∴，
∴17≤y≤18，
∴下午运输时，一辆甲种车、一辆乙种车、一辆丙种车总的运输成本为：
w＝50y+90×y+60（84﹣4y）＝﹣130y+5040，
∵﹣130＜0，
∴w随y的增大而减小，
∴当y＝18时，w有最小值为：﹣130×18+5040＝2700（元），
故答案为：2700．
【点睛】本题考查了不等式组和一次函数的实际应用问题，掌握解不等式组的方法、一次函数的性质是解题的关键．
12．(1)甲种葡萄苗每株的价格为5元，乙种葡萄苗每株的价格为8元
(2)购买甲种葡萄苗600株，乙种葡萄苗400株时费用最低，最低费用是6200元
【分析】（1）设甲种葡萄苗每株的价格为x元，则乙种葡萄苗每株的价格为元，根据题目中的等量关系列分式方程，求解即可；
（2）设甲种葡萄苗购买b株，则乙种葡萄苗购买株，根据总成活率不低于92%列不等式，求出b的取值范围，列出总费用W与b的函数关系式，即可求解．
【详解】（1）解：设甲种葡萄苗每株的价格为x元，则乙种葡萄苗每株的价格为元，
由题意得，
解得：，
经检验是原方程组的解．
所以甲种葡萄苗每株的价格为5元，
乙种葡萄苗每株的价格为元．
答：甲种葡萄苗每株的价格为5元，乙种葡萄苗每株的价格为8元；
（2）解：设甲种葡萄苗购买b株，则乙种葡萄苗购买株，购买的总费用为W元，
由题意，，
解得，
由题意，，
∴，
∴W随b的增大而减小，
∴时，元．
答：购买甲种葡萄苗600株，乙种葡萄苗400株时费用最低，最低费用是6200元．
【点睛】本题考查分式方程、一元一次不等式、一次函数的实际应用，根据已知等量关系正确列方程是解题关键，注意分式方程求解后要进行检验．
13．(1)种树苗每棵的价格元，种树苗每棵的价格元
(2)，购进种树苗的数量为棵、种棵，费用最省；最省费用是元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用及其性质、不等式的解法及应用．解题的关键在于准确建立方程组求解树苗单价，利用一次函数模型结合实际问题中的约束条件，确定变量的合理取值范围，进而通过分析函数的单调性找到使总费用最小的购买方案．
（1）设种树苗每棵的价格元，种树苗每棵的价格元，根据两次购买的总费用建立方程组，解方程组即可求出单价；
（2）根据题意，设购买A种树苗t棵，则B种树苗为棵．由条件“B的数量不超过A的2倍”得，解得t的范围，总费用W由两种树苗的单价和数量计算得出，再结合一次函数的单调性确定最省费用的方案．
【详解】（1）解：设种树苗每棵的价格元，种树苗每棵的价格元，根据题意得：
，
解得，
答：种树苗每棵的价格元，种树苗每棵的价格元；
（2）设种树苗的数量为棵，则种树苗的数量为棵，
种树苗的数量不超过种树苗数量的倍，
，
解得：，
是正整数，
，
设购买树苗总费用为，
，
随的增大而增大，
当时，元．
答：购进种树苗的数量为棵、种棵，费用最省；最省费用是元．
14．(1)活动一：；活动二：
(2)当时，选择活动一更优惠；当枚时，两种活动所需积分相等；当枚时，选择活动二更优惠
【分析】本题考查一次函数的应用，写出函数关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
（1）分别根据两种活动情况计算即可；
（2）比较两个函数值的大小即可．
【详解】（1）解：活动一：y与x之间的函数关系数式为，
活动二：y与x之间的函数关系数式为．
（2）解：当时，解得，
当时，解得，
当时，解得，
∴当时，选择活动一更优惠；当枚时，两种活动所需积分相等；当枚时，选择活动二更优惠．
15．(1)甲种劳动工具的单价为60元，乙种劳动工具的单价为20元
(2)共有3种购买方案．
方案1：购进甲种劳动工具30件、乙种劳动工具30件；
方案2：购进甲种劳动工具29件、乙种劳动工具31件；
方案3：购进甲种劳动工具28件、乙种劳动工具32件．
方案3需要的资金最少
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，找到等量关系是解答本题的关键．
（1）设甲种劳动工具的单价为元，乙种劳动工具的单价为元，根据题意列出方程即可；
（2）由题意，得，得到，有3种方案，设投入资金为元，由题意得，即可求得．
【详解】（1）解：设甲种劳动工具的单价为元，乙种劳动工具的单价为元，
由题意，得，
解得，
答：甲种劳动工具的单价为60元，乙种劳动工具的单价为20元；
（2）解：由题意，得，
解得，
，
，
又为整数，
可以取30，31，32，
共有3种购买方案，
方案1：购进甲种劳动工具30件、乙种劳动工具30件；
方案2：购进甲种劳动工具29件、乙种劳动工具31件；
方案3：购进甲种劳动工具28件、乙种劳动工具32件，
设投入资金为元，由题意得，
即，
，
随的增大而减小，
当时，，
方案3需要的资金最少．
16．(1)《骆驼祥子》单价为30元，《昆虫记》单价为75元
(2)《骆驼祥子》19套，《昆虫记》7套，费用为1095元
【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式组和一次函数的应用，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式，是解题的关键．
（1）设《骆驼祥子》每套x元，《昆虫记》每套y元，根据《骆驼祥子》12套和《昆虫记》6套，总费用为810元；八年级订购《骆驼祥子》9套和《昆虫记》7套，总费用为795元，列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设学校购买《骆驼祥子》m套，则购买《昆虫记》套，由题列出一元一次不等式组，解出未知数范围，设所需费用为W元，则，根据一次函数性质求出结果即可．
【详解】（1）解：设《骆驼祥子》每套x元，《昆虫记》每套y元，
根据题意，得：
解得，
答：《骆驼祥子》单价为30元，《昆虫记》单价为75元．
（2）解：设学校购买《骆驼祥子》m套，则购买《昆虫记》套，
根据题意得，
解得．
设所需费用为W元，则，
∵，
∴W随m的增大而减小，
∴当时，W有最小值为（元）
此时，（套）．
答：学校购买《骆驼祥子》19套，《昆虫记》7套，所需费用最小为1095元．
17．(1)方案一的函数关系式为：；方案二的函数关系式为：当,和当,
(2)，当购买千克的草莓时，方案一需要元钱，方案二需要元钱．
(3)方案二，理由见详解．
【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，明确定题意，读懂图象，利用一次函数的性质来求解．方案二是分段函数．
（1）分别找出方案一和方案二经过的点，用待定系数求解；
（2）根据图象来求解；
（3）将代入解析式计算求解，结合图象来进行说明．
【详解】（1）解：根据题意可知，方案一经过和的一条直线，
设方案一的直线为，
则，
，
方案一函数关系式为：．
方案二经过和为一条直线，过点后向上的直线经过，
当时，设方案二的直线为，
则，
，
方案二函数关系式为：，
当时,直线的解析式为，
则，
解得，
过点后向上的直线的解析式为．
即方案二的函数关系式为：当,和当,
（2）解：由图象可知：
．
当购买千克的草莓时，方案一需要元钱，方案二需要元钱．
（3）解：如果顾客购买21千克这种草莓，方案二更省钱些．
理由：
方案一需要的钱是（元），
方案二需要的钱是（元），
所以方案二更省钱．
由图象可知，过交点后的方案二的图象比方案一图象低，所以方案二比方案一更省钱些．
18．(1)，
(2)当购买电脑大于台时，在甲商场购买比较优惠．
【分析】本题考查一次函数的知识，解题的关键是理解题意，根据题意，利用函数的思想解决问题，即可．
（1）根据题意，列出相应的函数关系式，即可；
（2）根据（1）中的函数关系式，列出相应的不等式，即可．
【详解】（1）甲商场的收费元与所买电脑台数之间的关系式是：；
乙商场的收费元与所买电脑台数之间的关系式是：．
（2）当时，，解得：；
当时，，解得：；
当时，，解得：；
答：当购买电脑大于台时，在甲商场购买比较优惠．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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