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第十一章
电磁感应
专题14　电磁感应中的电路和图像问题
内容索引
学习目标
核心体系
活动方案
学 习 目 标
1．理解电磁感应中的电路问题分析方法，能求解与电路相关的电磁感应综合问题.2．理解电磁感应中的图像问题分析方法，能求解与图像相关的电磁感应综合问题．
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　分析电磁感应中的电路问题
[2025南通一模]电动汽车刹车时利用储能装置储蓄能量，其原理如图所示，矩形金属框部分处于匀强磁场中，磁场方向垂直于金属框平面向里，磁感应强度大小为B，金属框的电阻为r，ab边长为L，刹车过程中ab边垂直切割磁感线，某时刻ab边相对磁场的速度大小为v，金属框中的电流为I.此时刻
1
(1) 判断ab边中电流的方向，并求出感应电动势大小E；
(2) 求储能装置两端的电压U和金属框的输出电功率P.
【答案】 (1) 由右手定则得ab中的电流方向b→a，
E＝BLv.
(2) 由闭合电路欧姆定律U＝E－Ir，
解得U＝BLv－Ir，
P＝UI，
解得P＝BILv－I2r.
解决电磁感应中的电路问题的一般思路
　　　 [2023江苏卷]如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，OC导体棒的O端位于圆心，棒的中点A位于磁场区域的边缘．现使导体棒绕O点在纸面内逆时针转动．O、A、C点电势分别为φO、φA、φC，则(　 　)
A．φO>φC
B．φC>φA
C．φO＝φA
D．φO－φA＝φA－φC
1
A
【解析】 由图可看出OA导体棒转动切割磁感线，则根据右手定则可知φO>φA，其中导体棒AC段不在磁场中，不切割磁感线，电流为0，则φC＝φA，A正确，B、C错误；根据以上分析可知φO－φA>0，φA－φC＝0，则φO－φA>φA－φC，D错误．
求解电磁感应中的电路问题时务必要认准电源及其正负极：切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的线圈相当于电源；电源的正负极可用右手定则或楞次定律判定，因为在内电路中电流由负极到正极．
[2025苏州张家港调研]如图所示，固定平行导轨间有磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向里的匀强磁场，导轨间距为L且足够长，左端接阻值为R的定值电阻，一金属棒垂直放在导轨上．现将金属棒以O点为轴沿顺时针方向以角速度ω转过60°，金属棒始终与导轨接触良好，金属棒与导轨的电阻均不计．求：
(1) 金属棒转动过程中产生感应电动势的最大值；
(2) 转动过程中通过定值电阻R的电荷量是多少．
2
总电阻
　　　　在如图甲所示的电路中，螺线管匝数n＝1 500匝，横截面积S＝20 cm2.螺线管导线电阻r＝1.0 Ω，R1＝4.0 Ω，R2＝5.0 Ω，C＝30 μF.在一段时间内，穿过螺线管的磁场的磁感应强度B按如图乙所示的规律变化．求：
(1) 螺线管中产生的感应电动势；
(2) 闭合S，电路中的电流稳定后，电阻R1的电功率；
(3) S断开后，流经R2的电荷量．
2
甲
乙
(3) S断开后流经R2的电荷量即为S闭合时电容器极板上所带的电荷量Q；
S闭合时，电容器两端的电压
U＝IR2＝0.12×5.0 V＝0.6 V，
流经R2的电荷量
Q＝CU＝30×10－6×0.6 C＝1.8×10－5　C．
1. 电磁感应常见电路问题分类．
(1) 确定等效电源的正负极、感应电流的方向、电势高低、电容器极板的带电性质等问题．
(2) 求解电路中的总电阻、路端电压、电功率、电荷量等问题．
2. 电磁感应中电路知识关系图．
活动二　分析电磁感应中的图像问题
弄清初始条件、正负方向的对应变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁场的转折点等是解决电磁感应中的图像问题的关键．
一、根据电磁感应过程选或画图像(画图像)
[2025南京期末]在边长为L的等边三角形abc区域内存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，一边长也为L的等边三角形导线框def，在纸面上以某一速度向右匀速运动，底边ef始终与磁场的底边界bc在同一直线上，如图所示．取顺时针方向为电流的正方向，则在线框通过磁场的过程中，线框中感应电流随时间变化的图像可能是(　 　)
3
A
B
C
D
B
解决电磁感应中的图像问题的一般步骤
(1) 明确图像的种类，即是B－t图还是Φ－t图，或者E－t图、I－t图等；
(2) 分析电磁感应的具体过程；
(3) 用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系；
(4) 结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出函数关系式；
(5) 根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等；
(6) 画图像或判断图像正误．
　　　　如图所示，在水平面(纸面)内有三根相同的均匀金属棒ab、ac和MN，其中ab、ac在a点接触，构成“V”形导轨．空间存在垂直于纸面的匀强磁场．用力使MN向右匀速运动，从图示位置开始计时，运动中MN始终与∠bac的平分线垂直且和导轨保持良好接触．下列关于回路中电流i与时间t的关系图线，可能正确的是(　 　)
3
A
1. 试推导出回路中的热功率P随时间t变化的关系式，并画出图像．
【答案】 回路中热功率P＝I2R，回路中电流I为定值，R∝t, 可得P∝t，图像如图甲所示．
甲
2. 试推导出回路中产生的焦耳热Q随时间t变化的关系式，并画出图像．
二、根据图像分析判断电磁感应过程或求相应物理量(用图像)
一硬质金属圆环固定在纸面内，圆心O在有界匀强磁场的边界MN上，磁场与纸面垂直时磁场的方向如图甲所示，磁感应强度B随时间t的变化关系如图乙所示，则圆环所受安培力F与时间t的关系图像可能正确的是(　 　)
4
甲
乙
A
B
C
D
C
【解析】 由于通过圆环的磁通量变化率为定值，故圆环中的电动势、电流的大小和方向不变，圆环在磁场中的有效长度不变，根据F＝BIl∝B，故F－t的图像与B－t图像类似．故C正确．
分析电磁感应中的图像问题常用方法
(1) 排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化快慢(均匀变化还是非均匀变化)，特别是分析物理量的正负，以排除错误的选项．
(2) 函数法：根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断．
(1) 在前t0时间内线圈中产生的电动势；
(2) t0的数值．
4
甲
乙
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学习目标　1. 理解电磁感应中的电路问题分析方法，能求解与电路相关的电磁感应综合问题．2. 理解电磁感应中的图像问题分析方法，能求解与图像相关的电磁感应综合问题．
活动一 分析电磁感应中的电路问题
1 [2025南通一模]电动汽车刹车时利用储能装置储蓄能量，其原理如图所示，矩形金属框部分处于匀强磁场中，磁场方向垂直于金属框平面向里，磁感应强度大小为B，金属框的电阻为r，ab边长为L，刹车过程中ab边垂直切割磁感线，某时刻ab边相对磁场的速度大小为v，金属框中的电流为I.此时刻
(1) 判断ab边中电流的方向，并求出感应电动势大小E；
(2) 求储能装置两端的电压U和金属框的输出电功率P.
解决电磁感应中的电路问题的一般思路
即时训练1 [2023江苏卷]如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，OC导体棒的O端位于圆心，棒的中点A位于磁场区域的边缘．现使导体棒绕O点在纸面内逆时针转动．O、A、C点电势分别为φO、φA、φC，则(　　)
A. φO>φC
B. φC>φA
C. φO＝φA
D. φO－φA＝φA－φC
求解电磁感应中的电路问题时务必要认准电源及其正负极：切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的线圈相当于电源；电源的正负极可用右手定则或楞次定律判定，因为在内电路中电流由负极到正极．
2 [2025苏州张家港调研]如图所示，固定平行导轨间有磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向里的匀强磁场，导轨间距为L且足够长，左端接阻值为R的定值电阻，一金属棒垂直放在导轨上．现将金属棒以O点为轴沿顺时针方向以角速度ω转过60°，金属棒始终与导轨接触良好，金属棒与导轨的电阻均不计．求：
(1) 金属棒转动过程中产生感应电动势的最大值；
(2) 转动过程中通过定值电阻R的电荷量是多少．
求解电荷量的方法：根据电磁感应的平均感应电动势求解电路中通过的电荷量q＝________＝Δt＝________，即由磁通量变化大小与电路的________及线圈匝数决定，与磁通量的变化时间无关．
即时训练2 在如图甲所示的电路中，螺线管匝数n＝1 500匝，横截面积S＝20 cm2.螺线管导线电阻r＝1.0 Ω，R1＝4.0 Ω，R2＝5.0 Ω，C＝30 μF.在一段时间内，穿过螺线管的磁场的磁感应强度B按如图乙所示的规律变化．求：
(1) 螺线管中产生的感应电动势；
(2) 闭合S，电路中的电流稳定后，电阻R1的电功率；
(3) S断开后，流经R2的电荷量．
甲 乙
　　　
1. 电磁感应常见电路问题分类．
(1) 确定等效电源的正负极、感应电流的方向、电势高低、电容器极板的带电性质等问题．
(2) 求解电路中的总电阻、路端电压、电功率、电荷量等问题．
2. 电磁感应中电路知识关系图．
活动二 分析电磁感应中的图像问题
弄清初始条件、正负方向的对应变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁场的转折点等是解决电磁感应中的图像问题的关键．
一、 根据电磁感应过程选或画图像(画图像)
3 [2025南京期末]在边长为L的等边三角形abc区域内存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，一边长也为L的等边三角形导线框def，在纸面上以某一速度向右匀速运动，底边ef始终与磁场的底边界bc在同一直线上，如图所示．取顺时针方向为电流的正方向，则在线框通过磁场的过程中，线框中感应电流随时间变化的图像可能是(　　)
　　
A B C D
解决电磁感应中的图像问题的一般步骤
(1) 明确图像的种类，即是B-t图还是Φ-t图，或者E-t图、I-t图等；
(2) 分析电磁感应的具体过程；
(3) 用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系；
(4) 结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出函数关系式；
(5) 根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等；
(6) 画图像或判断图像正误．
即时训练3 如图所示，在水平面(纸面)内有三根相同的均匀金属棒ab、ac和MN，其中ab、ac在a点接触，构成“V”形导轨．空间存在垂直于纸面的匀强磁场．用力使MN向右匀速运动，从图示位置开始计时，运动中MN始终与∠bac的平分线垂直且和导轨保持良好接触．下列关于回路中电流i与时间t的关系图线，可能正确的是(　　)
A B C D
1. 试推导出回路中的热功率P随时间t变化的关系式，并画出图像．
2. 试推导出回路中产生的焦耳热Q随时间t变化的关系式，并画出图像．
二、 根据图像分析判断电磁感应过程或求相应物理量(用图像)
4 一硬质金属圆环固定在纸面内，圆心O在有界匀强磁场的边界MN上，磁场与纸面垂直时磁场的方向如图甲所示，磁感应强度B随时间t的变化关系如图乙所示，则圆环所受安培力F与时间t的关系图像可能正确的是(　　)
甲 乙
A B C D
分析电磁感应中的图像问题常用方法
(1) 排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化快慢(均匀变化还是非均匀变化)，特别是分析物理量的正负，以排除错误的选项．
(2) 函数法：根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断．
即时训练4 [2025苏州星海实验高级中学期中]如图甲所示，轻质细绳吊着一质量为m＝0.32 kg、边长为L＝0.8 m、匝数n＝10的正方形线圈，总电阻为r＝1 Ω，边长为 的正方形磁场区域对称分布在线圈下边的两侧，磁场方向垂直于纸面向里，大小随时间变化如图乙所示，从t＝0开始经t0时间细线开始松弛，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1) 在前t0时间内线圈中产生的电动势；
(2) t0的数值．
甲 乙
第十一章　电磁感应
专题14　电磁感应中的电路和图像问题
【活动一】
例 1
(1) 由右手定则得ab中的电流方向b→a，
E＝BLv.
(2) 由闭合电路欧姆定律U＝E－Ir，
解得U＝BLv－Ir，
P＝UI，
解得P＝BILv－I2r.
即时训练1 A　由图可看出OA导体棒转动切割磁感线，则根据右手定则可知φO>φA，其中导体棒AC段不在磁场中，不切割磁感线，电流为0，则φC＝φA，A正确，B、C错误；根据以上分析可知φO－φA>0，φA－φC＝0，则φO－φA>φA－φC，D错误．
例 2
(1) 当金属棒顺时针转过60°时，金属棒中产生的感应电动势最大，Em＝B·2L·＝2BωL2.
(2) 由q＝Δt，＝，＝，
可得q＝＝，
解得q＝.
总结提升：Δt　　总电阻
即时训练2 (1) 根据法拉第电磁感应定律有
E＝＝n·S，
代入数据解得E＝1.2 V.
(2) 根据闭合电路欧姆定律有
I＝＝ A＝0.12 A，
电阻R1的电功率P＝I2R1＝5.76×10-2 W.
(3) S断开后流经R2的电荷量即为S闭合时电容器极板上所带的电荷量Q；
S闭合时，电容器两端的电压
U＝IR2＝0.12×5.0 V＝0.6 V，
流经R2的电荷量
Q＝CU＝30×10-6×0.6 C＝1.8×10-5 C.
【活动二】
例 3
B　线框进入磁场后，切割磁场的有效长度为L＝，切割磁场产生的感应电动势为E＝BLv＝，所以感应电流为I＝，从开始进入磁场到d与a重合之前，电流与t是成正比的，由楞次定律判得线框中的电流方向是顺时针的，此后线框切割磁场的有效长度均匀减小，电流随时间变化仍然是线性关系，由楞次定律判得线框中的电流方向是逆时针的，综合以上分析可得B正确，A、C、D错误．
即时训练3 A　设金属棒MN向右匀速运动的速度为v，金属棒电阻率为ρ，金属棒截面积为S，∠bac＝2θ.在t时刻MN产生的感应电动势为 E＝2Bv2t tan θ，回路中电阻为R＝ρ，由I＝ 可得I＝，故A正确．
思维拓展：1 回路中热功率P＝I2R，回路中电流I为定值，R∝t, 可得P∝t，图像如图甲所示．
甲
2 P-t图线与t轴所围面积表示回路中产生的焦耳热Q，则Q＝Pt∝t2.图像如图乙、丙所示．
乙 丙
例 4
C　由于通过圆环的磁通量变化率为定值，故圆环中的电动势、电流的大小和方向不变，圆环在磁场中的有效长度不变，根据F＝BIl∝B，故Ft的图像与Bt图像类似．故C正确．
即时训练4 (1) 由法拉第电磁感应定律得
E＝n＝n＝10××0.5 V＝0.4 V．
(2) 分析线圈受力可知，当细线松弛时有
F安＝nB0I＝mg，
又I＝＝0.4 A，
由图像知B0＝1＋0.5t0，
联立解得t0＝2 s.

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