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第十一章
电磁感应
专题15　电磁感应中的动力学和能量问题
内容索引
学习目标
核心体系
活动方案
学 习 目 标
1．能求解电磁感应中平衡类、非平衡类力电综合题与动态分析类问题.2．能用能量观点分析电磁感应中功、能、热的相关问题．
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　分析电磁感应中的动力学问题
导体的两种运动状态：(1) 导体的平衡状态——静止状态或匀速直线运动状态．处理方法：根据平衡条件列式分析．(2) 导体的非平衡状态——加速度不为零．处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析．
一、“单棒＋电阻”模型
[2025无锡期末]如图所示，MN和PQ是两根相互平行、竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计．ab是一根与导轨垂直而始终与导轨接触良好的金属杆，金属杆具有一定的质量和电阻．开始时，将开关S断开，让杆ab由静止开始自由下落，过段时间后，再将S闭合．从S刚闭合开始，金属杆可能(　 　)
A．做加速度不变的减速运动
B．做加速度变大的减速运动
C．做加速度变大的加速运动
D．做加速度变小的加速运动
1
D
【解析】 闭合开关时，金属杆在下滑过程中，受到重力和安培力作用，若重力与安培力大小相等，金属杆的合力为零，做匀速直线运动；闭合开关时，若安培力小于重力，则金属杆的合力向下，加速度向下，做加速运动，随着速度增大，金属杆产生的感应电动势增大，感应电流增大，金属杆受到的安培力增大，则合力减小，加速度减小，金属杆做加速度逐渐减小的加速运动；闭合开关时，若安培力大于重力，则金属杆的合力向上，加速度向上，做减速运动．随着速度减小，金属杆产生的感应电动势减小，感应电流减小，金属杆受到的安培力减小，则合力减小，加速度减小，则金属杆做加速度逐渐减小的减速运动，故A、B、C错误，D正确．
分析电磁感应中动力学问题的一般思路
抓住力学对象和电学对象间的桥梁——感应电流I、切割速度v，再用上面的“四步法”分析电磁感应中的动力学问题．
二、“单棒＋电源”模型
[2025苏北四市一模]如图所示，足够长水平导轨处于竖直向下的匀强磁场中，导体棒垂直于导轨静置．开关S闭合后，导体棒沿导轨无摩擦运动，不计导轨电阻，关于该棒的速度v、加速度a、通过的电流i及穿过回路中的磁通量Φ随时间t变化的图像，可能正确的是(　 　)
2
A
B
C
D
B
[2026南京阶段练习]如图所示，一足够长光滑的倾斜金属轨道处在与轨道平面垂直的匀强磁场中，轨道上端连接一电容器，不计轨道的电阻．现将与轨道垂直的导体棒由静止释放，其下滑过程中的速度和加速度随时间变化的图像可能正确的是(　 　)
3
A
B
C
D
C
“单棒＋电容器”模型
棒的初速度为零，拉力F恒定(棒和水平导轨电阻忽略不计，摩擦力不计)．
如图所示，运动过程分析：棒做加速运动，持续对电容器充电，则存在充电电流，
活动二　分析电磁感应中的能量问题
[2025苏州模拟预测]如图所示，在水平面上固定一光滑导线框，在水平外力作用下金属棒ab沿导线框以速度v向右做匀速运动．线框放在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面．金属棒ab的质量为m、长度为L(与导线框等宽)、阻值为R，导线框左端电阻阻值为2R，其余电阻不计．
(1) 求金属棒两端电压大小Uab；
(2) 某时刻撤去外力，经过一段时间，金
属棒速度变为0.5v，求这段时间内金属棒中产
生的焦耳热Q；
4
1. 分析电磁感应中能量问题的一般思路．
(1) 分析回路，分清电源和外电路．
(2) 分析清楚有哪些力做功，明确有哪些形式的能量发生了转化．
例如：①有摩擦力做功，必有内能(热)产生；②若只有电能与机械能参与转化，则机械能的减少量等于产生的电能；③外力克服安培力做功，必然有其他形式的能转化为电能，并且克服安培力做多少功，就产生多少电能；④有安培力做正功，必有电能转化为其他形式的能.
(3) 列有关能量的关系式分析求解．
2. 焦耳热的计算方法．
(2) 如果感应电路中电流变化，可用以下方法分析：
①利用动能定理，求出克服安培力做的功，产生的焦耳热等于克服安培力做的功，即Q＝W安．
②利用能量守恒，即感应电流产生的焦耳热等于其他形式能量的减少，即Q＝ΔE其他．
必须做好三个分析：
(1) 受力分析：分阶段(进磁场前、进入过程、在磁场内、出磁场过程)分析线圈或导体棒的受力情况．
(2) 运动分析：分析线圈或导体棒在各阶段的运动情况，判断其运动性质．
(3) 功能关系分析：分析各阶段各种力的做功情况、能量转化情况．
　　　　[2025江苏卷]圆筒式磁力耦合器由内转子、外转子两部分组成．工作原理如图甲所示．内、外转子可绕中心轴OO′转动．外转子半径为r1，由四个相同的单匝线圈紧密围成，每个线圈的电阻均为R，直边的长度均为L，与轴线平行．内转子半径为r2，由四个形状相同的永磁体组成，磁体产生径向磁场，线圈处的磁感应强度大小均为B.外转子始终以角速度ω0匀速转动，某时刻线圈abcd的直边ab与cd处的磁场方向如图乙所示．
1
甲
乙
(1) 若内转子固定，求ab边产生感应电动势的大小E；
(2) 若内转子固定，求外转子转动一周，线圈abcd产生的焦耳热Q；
(3) 若内转子不固定，外转子带动内转子匀速转动，此时线圈中感应电流为I，求线圈abcd中电流的周期T.
【答案】 (1) 根据题意可知，ab转动时的线速度为v＝ω0r1，
由感应电动势E＝BLv得ab产生的感应电动势为
E1＝BLv＝BLω0r1.
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学习目标　1. 能求解电磁感应中平衡类、非平衡类力电综合题与动态分析类问题.2. 能用能量观点分析电磁感应中功、能、热的相关问题．
活动一 分析电磁感应中的动力学问题
导体的两种运动状态：(1) 导体的平衡状态——静止状态或匀速直线运动状态．处理方法：根据平衡条件列式分析．(2) 导体的非平衡状态——加速度不为零．处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析．
一、 “单棒＋电阻”模型
1 [2025无锡期末]如图所示，MN和PQ是两根相互平行、竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计．ab是一根与导轨垂直而始终与导轨接触良好的金属杆，金属杆具有一定的质量和电阻．开始时，将开关S断开，让杆ab由静止开始自由下落，过段时间后，再将S闭合．从S刚闭合开始，金属杆可能(　　)
A. 做加速度不变的减速运动
B. 做加速度变大的减速运动
C. 做加速度变大的加速运动
D. 做加速度变小的加速运动
分析电磁感应中动力学问题的一般思路
抓住力学对象和电学对象间的桥梁——感应电流I、切割速度v，再用上面的“四步法”分析电磁感应中的动力学问题．
二、 “单棒＋电源”模型
2 [2025苏北四市一模]如图所示，足够长水平导轨处于竖直向下的匀强磁场中，导体棒垂直于导轨静置．开关S闭合后，导体棒沿导轨无摩擦运动，不计导轨电阻，关于该棒的速度v、加速度a、通过的电流i及穿过回路中的磁通量Φ随时间t变化的图像，可能正确的是(　　)
A B C D
3 [2026南京阶段练习]如图所示，一足够长光滑的倾斜金属轨道处在与轨道平面垂直的匀强磁场中，轨道上端连接一电容器，不计轨道的电阻．现将与轨道垂直的导体棒由静止释放，其下滑过程中的速度和加速度随时间变化的图像可能正确的是(　　)
A B C D
“单棒＋电容器”模型
棒的初速度为零，拉力F恒定(棒和水平导轨电阻忽略不计，摩擦力不计).
如图所示，运动过程分析：棒做加速运动，持续对电容器充电，则存在充电电流，
由F－BIl＝ma，I＝，ΔQ＝CΔU，ΔU＝ΔE＝BlΔv，
联立可得F－＝ma，其中 ＝a，
则可得a＝，
所以棒做加速度恒定的匀加速直线运动．
功能关系：WF＝mv2＋E电．
活动二 分析电磁感应中的能量问题
4 [2025苏州模拟预测]如图所示，在水平面上固定一光滑导线框，在水平外力作用下金属棒ab沿导线框以速度v向右做匀速运动．线框放在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面．金属棒ab的质量为m、长度为L(与导线框等宽)、阻值为R，导线框左端电阻阻值为2R，其余电阻不计．
(1) 求金属棒两端电压大小Uab；
(2) 某时刻撤去外力，经过一段时间，金属棒速度变为0.5v，求这段时间内金属棒中产生的焦耳热Q；
1. 分析电磁感应中能量问题的一般思路．
(1) 分析回路，分清电源和外电路．
(2) 分析清楚有哪些力做功，明确有哪些形式的能量发生了转化．
例如：①有摩擦力做功，必有内能(热)产生；②若只有电能与机械能参与转化，则机械能的减少量等于产生的电能；③外力克服安培力做功，必然有其他形式的能转化为电能，并且克服安培力做多少功，就产生多少电能；④有安培力做正功，必有电能转化为其他形式的能.
(3) 列有关能量的关系式分析求解．
2. 焦耳热的计算方法．
(1) 电阻产生的焦耳热等于电流通过电阻做的功，即 Q＝IRt.
(2) 如果感应电路中电流变化，可用以下方法分析：
①利用动能定理，求出克服安培力做的功，产生的焦耳热等于克服安培力做的功，即Q＝W安．
②利用能量守恒，即感应电流产生的焦耳热等于其他形式能量的减少，即Q＝ΔE其他．
必须做好三个分析：
(1) 受力分析：分阶段（进磁场前、进入过程、在磁场内、出磁场过程）分析线圈或导体棒的受力情况．
(2) 运动分析：分析线圈或导体棒在各阶段的运动情况，判断其运动性质．
(3) 功能关系分析：分析各阶段各种力的做功情况、能量转化情况．
即时训练1 [2025江苏卷]圆筒式磁力耦合器由内转子、外转子两部分组成．工作原理如图甲所示．内、外转子可绕中心轴OO′转动．外转子半径为r1，由四个相同的单匝线圈紧密围成，每个线圈的电阻均为R，直边的长度均为L，与轴线平行．内转子半径为r2，由四个形状相同的永磁体组成，磁体产生径向磁场，线圈处的磁感应强度大小均为B.外转子始终以角速度ω0匀速转动，某时刻线圈abcd的直边ab与cd处的磁场方向如图乙所示．
(1) 若内转子固定，求ab边产生感应电动势的大小E；
(2) 若内转子固定，求外转子转动一周，线圈abcd产生的焦耳热Q；
(3) 若内转子不固定，外转子带动内转子匀速转动，此时线圈中感应电流为I，求线圈abcd中电流的周期T.
甲
乙
专题15　电磁感应中的动力学和能量问题
【活动一】
例 1
D　闭合开关时，金属杆在下滑过程中，受到重力和安培力作用，若重力与安培力大小相等，金属杆的合力为零，做匀速直线运动；闭合开关时，若安培力小于重力，则金属杆的合力向下，加速度向下，做加速运动，随着速度增大，金属杆产生的感应电动势增大，感应电流增大，金属杆受到的安培力增大，则合力减小，加速度减小，金属杆做加速度逐渐减小的加速运动；闭合开关时，若安培力大于重力，则金属杆的合力向上，加速度向上，做减速运动．随着速度减小，金属杆产生的感应电动势减小，感应电流减小，金属杆受到的安培力减小，则合力减小，加速度减小，则金属杆做加速度逐渐减小的减速运动，故A、B、C错误，D正确．
例 2
B　设导轨间距离为L，电路中总电阻为R，电路中的电流为i＝，根据牛顿第二定律可得F＝BiL＝ma，则导体棒的加速度大小为a＝，随着速度增大，加速度减小，导体棒最终做匀速运动，A错误；a-t图像的斜率为＝·＝－a，加速度a减小，则a-t图像的斜率也在减小，B正确；由法拉第电磁感应定律有＝BLv，导体棒的速度不是均匀变化，电动势变化不均匀，电流不是线性变化，磁通量不是均匀增大，故C、D错误．
例 3
C　设导轨倾角为θ，导轨间距离为L，导体棒下滑时的加速度满足ma＝mg sin θ－BIL，设时间Δt内速度增加量为Δv，电容器电荷量的增加量为ΔQ，电势差增加量为ΔU，电流为I，则I＝＝，因为ΔU＝BLΔv，a＝，联立解得a＝，由上式可知运动过程中导体棒做加速度不变的匀加速直线运动．C正确．
【活动二】
例 4
(1) 此时金属棒切割磁感线产生的电动势E＝BLv，
回路中的电流I＝，
则棒两端电压大小Uab＝I·2R＝.
(2) 这段时间内，系统能量守恒，整个电路的发热量为
Q总＝mv2－m(0.5v)2＝mv2，
棒中发热量Q＝Q总＝mv2.
即时训练1 (1) 根据题意可知，ab转动时的线速度为v＝ω0r1，
由感应电动势E＝BLv得ab产生的感应电动势为
E1＝BLv＝BLω0r1.
(2) 由图可知，若内转子固定，外转子转动过程中，ab、cd均切割磁感线，且产生的感应电流方向相反，则转动过程中感应电动势为E2＝2BLv＝2BLω0r1，
感应电流为I＝，
转子转动的周期为T＝，
则abcd转一圈产生的热量Q＝I2RT＝.
(3) 由图可知，外转子转动 T电流方向改变，大小不变，若内转子不固定，跟着外转子一起转，且abcd中的电流为I，则感应电动势为E′＝IR，
设内、外转子的速率差为Δv，
对线圈：感应电动势为E′＝2BLΔv，
解得Δv＝，
电流改变方向的时间为t＝＝，
则电流周期为T＝2t＝.

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