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几何综合题（三角形、四边形和圆） 高频考点冲刺练
2026年初中数学中考复习备考
1．如图，在中，，为边上一点，连接．
(1)如图1，若，过作交其延长线于点，，，求线段的长．
(2)如图2，若，延长至点，连接使，连接，点为线段上一点，连接，取中点，连接，若，猜想与之间的数量关系，并证明．
(3)如图3，若，，将绕点逆时针旋转得线段，连接，在直线上取一点，连接，当最小时，将沿所在直线翻折到所在平面内，得，连接，当最小时，请直接写出的面积．
2．【问题探究】
(1)如图，在中，，点是边上的动点，连接，则的最小值为___________；
(2)如图，在中，，点是延长线上一点，于点，求的长；
【问题解决】
(3)如图，矩形是某校实践活动基地，现要对该实践活动基地重新扩建规划，首先延长至点，使得，在边上找一点建一口水井，沿修一条水渠，再从向修一条小路，使得于点，再沿分别修小路，在四边形内种植果树．已知，求种植果树面积的最小值（即四边形面积的最小值）．（水井的大小和水渠、小路的宽度均忽略不计）
3．综合与探究
问题情境：在中，，，点是直线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．
观察发现：
(1)如图1，当点是的中点时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由．
独立思考：
(2)如图2，当点在线段上时，连接，过点作于点，过点作于点，猜想线段与的数量关系，并说明理由．
拓展延伸：
(3)连接，过点作于点，连接．若，，请直接写出线段的长．
4．综合与实践
【情境】要将任意三角形铁板切割成两个面积相同的三角形铁板，需找到合适的切割线．
【模型】如图1，在中，作边上的中线，切割线分成的两个三角形和的面积相等．
【操作】（1）请在图1中，用尺规作图作出切割线，使，切割线交于点．交于点（保留作图痕迹，不写作法）
【探究】（2）结合【操作】的作图，请判断与的数量关系，说明理由：
【拓展】（3）如图2，在中，，点，点分别为，的中点．若，垂足为点，求的值．
【应用】（4）如图3，在中，，点为的中点，点为的中点，与交于点，连接．已知，当最大时，直接写出的长．
5．如图，在菱形中，，，点为边上一个动点（不与点、重合），边关于对称的线段为，连接．
(1)当平分时，求的度数为______；
(2)延长，交射线于点，当时，求的长；
(3)在（1）的条件下，连接交于点，作交的延长线于点，连接．试探究是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
6．如图，直线与轴，轴分别交于点、，以为边向右作矩形，，
(1)如图1，当时，直接写出点的坐标；
(2)如图2，连接，将沿翻折，点的对应点为点，若点在轴上，
①延长交轴于点，求证：四边形为平行四边形；
②求直线的解析式；
(3)连接，求的取值范围．
7．如图，在正方形中，点E，F分别是边上的动点（不包含端点），于点G，于点M，．
(1)如图1，求证：．
(2)如图2，过点E作分别交于点H，N．
①求证：四边形为正方形；
②求证：；
③若，请直接写出的取值范围．
8．如图，已知正方形的边长为，E为边上一点，连接．以为边向外侧作正方形，连接．
(1)如图1，当E为中点时，求的长；
(2)如图2，连接，交于点O，与交于点H，延长交于点P．
①请写出的度数，并说明理由；
②当时，求正方形的面积．
9．如图，正方形内接于，点在上，连接，交于点，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)探究之间的等量关系．
10．已知：四边形是内接四边形，是的直径，、相交于点，点在上，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，，点在上，交于点，，，求的半径．
11．已知内接于，圆心O在的内部，于点D，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点G为的中点，连接，过点C作于点F，交于点E，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点H，连接，若平分，，，求的面积．
12．问题提出
(1)如图①，在中，，，求面积的最大值______．
问题探究
(2)如图②，点是上任意一点，点在外，已知，，是等边三角形，求的面积最大值；
问题解决
(3)如图③，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在上方作，使，连接，求的面积最大值．
参考答案
1．(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）设，则，利用勾股定理求出，，然后利用等面积法求解；
（2）如图，延长到点H，使，连接，，，证明出，得到，，然后证明四边形是平行四边形，过点H作交延长线于点I，再证明，得到，然后证明出点A，C，B，E四点共圆，得到，最后证明出是等边三角形，进而求解即可；
（3）首先证明出，得到，点E在射线上运动，当时，的长度最小，过点B作交的延长线于点M，然后证明出，得到，，求出，得到点Q在以E为圆心，为半径的圆上运动，在上取点N，使，连接，，证明出，得到，，判断出当点Q在线段上时，取得最小值，即的长度，如图，过点C作于点J，过点Q作于点K，过点B作于点R，然后利用勾股定理和相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵，
设，则，
∵，，
∴，即，
解得，
∴，，
∵，
∴，即，
∴；
（2）解：，证明如下：
如图，延长到点H，使，连接，，，
∴，
∵，，
∴，是等边三角形，
∴，
∵点是的中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
如图，过点H作交延长线于点I，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴点A，C，B，E四点共圆，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
（3）解：如图，将绕点C逆时针旋转到，
∴是等边三角形，，
∵将绕点逆时针旋转得线段，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点E在射线上运动，
∴如图，当时，的长度最小，
∴，
∵，是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
如图，过点B作交的延长线于点M，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
由折叠得，，
∴点Q在以E为圆心，为半径的圆上运动，
如图，在上取点N，使，连接，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当点Q在线段上时，取得最小值，即的长度，如图，过点C作于点J，过点Q作于点K，过点B作于点R，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴设，则，
∴在中，，
∴，
解得或（舍去），
∴
∴的面积．
2．(1)
(2)
(3)
【分析】（）根据垂线段最短，确定时最小，再利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，由求出的最小值为；
（）先由已知条件求出各边长度，再证明与相似，最后根据相似三角形对应边成比例，计算出的长度；
（）将四边形的面积拆分为与的面积之和，先由矩形边长算出的面积，将求四边形面积最小值转化为求面积最小值；再把面积表示为点到的距离的函数，结合点的运动轨迹(以中点为圆心的圆)，利用垂线段最短求出点到的最小距离，最终算出四边形的最小面积．
【详解】（1）解：根据垂线段最短，当时，取得最小值，如图：
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴；
（2）解：，
，则．
，
．
，
，
，
．
（3）解：连接，则．
四边形是矩形，，
，
，
，
，
要求四边形面积的最小值，只需求出面积的最小值．
过点作于点，
则，
只需求出点到的距离的最小值．
以的中点为圆心，为半径作，
，即，
点在上方的上运动．
过点作于点交于点，连接．
，
当点移动到点的位置时，点与点重合，此时点到的距离最小，最小值为的长．
是的中点，
，
．
在和中，，
，
，即，
，
，
，
故种植果树面积的最小值为．
3．(1)正方形，见解析
(2)，见解析
(3)或
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一，得，，根据旋转得，证得四边形为平行四边形，再根据一组临边相等且一个内角为，即可求证．
（2）连接，可知和为等腰直角三角形，根据手拉手的全等三角形模型，可证，得到，再根据三角形的中位线，即可求解．
（3）根据题意，可分为点F在左侧和右侧两种情况，连接，作，可知和为等腰直角三角形，根据手拉手的全等三角形模型，可证，得到，根据和利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，即可证为等边三角形，根据角度变换得到，解直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：四边形为正方形，理由如下，
，，点是的中点，
，，
根据旋转可知，
，，
四边形为平行四边形，
，
四边形为正方形．
（2）解：关系为，理由如下，
如图，连接，
根据旋转可知，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
又，
点F为的中点，
是的中位线，
，
．
（3）解：当点F在右侧时，如图，连接，作，
根据旋转可知，
，
，
，
又，
，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
；
当点F在左侧时，如图，连接，作，
根据旋转可知，
，
，
，
又，
，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的长度为或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形的中位线，直角三角形斜边上点的中线，掌握手拉手的全等三角形模型是解题的关键．
4．（1）见解析；（2），理由见解析；（3）；（4）
【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，连接交于点，则是的中线，和的面积相等；
（2）连接，则是的中位线，再证明即可得出结果；
（3）连接，则是的中位线，再证明，从而可得，再证明，设，则，求出，由勾股定理可得，，最后由正弦的定义即可得出结果；
（4）由直角三角形的性质可得，由（3）得，求出
，由点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，得出点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，由图形并结合切线的性质可得，当时，最大，此时，，最后再由勾股定理计算即可得出结果．
【详解】解：（1）如图：线段，点即为所求，
（2），理由如下：
如图，连接，
∵为边上的中线，为边上的中线，
∴，，
∴为的中位线，
∴，，
∴，
∴,
∴；
（3）如图，连接，
∵点、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（4）∵在中，，点为的中点，，
∴，
由（3）得：，
∴，
∵，，
∴点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，
点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，
如图，由图形并结合切线的性质可得，当时，最大，此时，，
∴，
即当最大时，的长为．
5．(1)
(2)
(3)为定值
【分析】（1）根据轴对称的性质和角平分线的性质可得，则；
（2）过点作的垂线，交的延长线于点，连接，设，根据菱形的性质可得，，利用三角函数可计算出，，使用勾股定理可得．由轴对称的性质可得，，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出，进而得到．由两角相等可判定，计算得，因此；
（3）取的中点，连接，由轴对称的性质可得点为的中点，则是的中位线，因此，，进一步可得．容易得到，从而判断、、、四点共圆，则，因此，为定值．
【详解】（1）解：由轴对称的性质可知，，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点，连接，设，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
在中，，，
∴，
由勾股定理可得，，
由轴对称的性质可得，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
（3）解：如图，取的中点，连接，
由（1）可知，，
∴，，
∵由关于对称得到，
∴垂直平分，
∴点为的中点，，，
∵点为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵于点，
∴，
∵，
∴、、、四点共圆，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为定值．
6．(1)点C的坐标为
(2)①证明见解析；②直线函数表达式为或．
(3)
【分析】（1）过点作轴，交轴于点，由三角函数求解出的值，易得的值，证明，可得，求出，，由此可得点的坐标；
（2）①根据翻折和矩形的性质，证明，由角度等量代换，可证出，结合，可证出四边形为平行四边形；②由面积相等的性质，求出的长度，证明，得出，，可得点的坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可；
（3）同（1）中的过程，用表示出点的坐标，可得，根据方程根的判别式，可得出的取值范围，最终得出的取值范围．
【详解】（1）解：过点作轴，交轴于点，如下图所示：
当时，，
解得，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
即，
解得，，
∴点的坐标为．
（2）解：①令交于点，如下图所示：
在矩形中，
∵翻折的性质，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
即，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
②∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，或，
∴点坐标为或点坐标为，
令直线函数表达式为，
将点、代入 ，
得，解得，
∴直线函数表达式为．
将点、代入 ，
得，解得，
∴直线函数表达式为．
∴直线函数表达式为或．
（3）解：由图可知，直线中，y随x的增大而减小，
∴即，
当时，，
∴点坐标为，
由勾股定理得，
∵，
∴，
由（1）得，
∴，
即，
解得，，
∴点的坐标为，
∴，
化简得，
∵，
∴，
假设的值为，
即，
即，
该关于的方程有解，
即，
得，
解出，
∴，
∴，
∴．
7．(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②证明见解析；③
【分析】（1）根据正方形的性质及垂直的性质得到，根据等角的补角相等得到，根据即可证明；
（2）①根据，得到，根据正方形的性质得到，根据得到，进而得到，即可证明四边形为正方形；
②延长交于点K，根据正方形的性质得到，，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，进而得到，证明，得到，即可证明；
③取中点O，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，延长交于P，则四边形是矩形，得到，，根据正方形的性质得到，进而得到，证明，得到，可知，根据得到，即可得到的取值范围．
【详解】（1）解：∵正方形，
∴
∵
∴
∵
∴
在和中，
∴；
（2）①证明：∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∵四边形为正方形，
∴
∵，
∴，
∴．
∴四边形为正方形；
②证明：延长交于点K，
∵四边形为正方形，
∴．
又∵四边形为正方形，
∴．
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
③解：取中点O，连接，
∵
∴
延长交于P，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴
∴
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
8．(1)
(2)①，理由见解析；②5
【分析】（1）延长交于点M，证明出四边形是矩形，然后结合E为中点求出，，然后利用勾股定理求解；
（2）①如图，连接，设与交于点I，得到，是等腰直角三角形，推出，，证明出，得到，然后利用三角形内角和定理即可求出；
②如图，连接，设，则，证明出，表示出，然后证明出，表示出，然后进一步得到，，最后利用勾股定理求出，进而求解即可．
【详解】（1）解：如图，延长交于点M，
∵正方形的边长为，
∴，
∵正方形，
∴四边形是矩形，
∵E为中点，
∴，，，
∴，
∴；
（2）解：①，理由如下：
如图，连接，设与交于点I，
∵四边形，是正方形，
∴，是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②如图，连接，
设，则
∵四边形是正方形
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴点A，B，C，P四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
由①得，，
∴，即，
∴，
∵在中，，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴正方形的面积．
9．(1)证明见解析
(2)
(3)，见解析
【分析】（1）根据正方形的性质得到，则，再由圆周角定理得到，然后结合公共角即可 ；
（2）先证明，结合，则可设，那么，由，求出，由（1）知，则，连接，则，确定是的直径，再由弧长公式求解即可；
（3）延长到点H，使得，连接，先证明，则，可得，则由勾股定理得到，再等量代换求证即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴
∴
∴
∵
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，是对角线，
∴
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴
设，
∴
∵
∴，
∴，
∴，
由（1）知
∴
连接，则
∵正方形内接于，
∴是的直径，
∵
∴
∴的长为；
（3）解：，理由如下：
延长到点H，使得，连接，
∵，
∴，
∵正方形中，，
又∵
∴
∴
∵正方形中，，
∴
∴
∴
∴．
10．(1)见解析
(2)见解析
(3)10
【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等可以证明，再由等角的余角相等可以证明，最后用外角的性质即可求证；
（2）由同弧所对的圆周角相等可以证明，再由外角的性质证明即可；
（3）作于，点在上，使得，证明，利用相似三角形的性质求出的值．延长交于点，连接，作交于点，证明四点共圆，得到，求出，从而求出的值．作于点，通过求出关于的一元一次方程，求解即可．
【详解】（1）证明：设，
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
即．
（2）证明：由（1）得，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴．
∵
，
∴，
∴．
（3）解：如图，作于，点在上，使得，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，．
如图，延长交于点，连接，作交于点，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴四点共圆，
由（1）得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴在中，，
∴，
∴．
如图，作于点，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，解得，
∴
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，外角的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，掌握圆的相关性质是解题关键．
11．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）方法一：连接，过点O作于点L，由题意易得，，则有，然后问题可求证；方法二：连接，由题意易得．设，则．则有，然后可得，进而问题可求证；
（2）方法一：延长交圆O于点Q，延长交圆O于点R，连接、、、、．设，，由题意易得，然后可得，进而问题可求证；方法二：过点O作于点S，连接、．然后通过证明，，进而根据全等三角形的性质可进行求证；方法三：过点O作于点N，延长交圆O于点M连接．设，则，，然后可得，进而可得四边形为矩形，则问题可求证；
（3）延长交圆O于点R，连接、、、、、．设，则，，，，然后可得，则有，，进而问题可求解．
【详解】（1）证明：方法一：连接，过点O作于点L，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
方法二：连接，
∵，
∴．
设，则．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
（2）证明：方法一：延长交圆O于点Q，延长交圆O于点R，连接、、、、．
设，，
∵，，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∵，，
∴．
又∵，
∴，
∴．
方法二：过点O作于点S，连接、．
∵，，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，在半径上，
∴．
又∵，，，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∵，，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
方法三：过点O作于点N，延长交圆O于点M连接．
∵，
∴．
设，则，，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∵，在半径上，
∴．
又∵，，
∴四边形为矩形，
∴．
∵，
∴．
（3）解：延长交圆O于点R，连接、、、、、．
设，则，，，，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，，
∴．
设，则，
在和中，，
∴，解得：，
∴，，，，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∵，，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
过点O作交的延长线于点P，交的延长线于点T，
∴．
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴．
又∵，，
∴，
∴．
又∵，，
∴．
又∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，．
∵，，
∴．
12．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，三角形的面积，圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）作出的外接圆，连接，，当的边上的高经过点O时，面积最大，如图，过点O作，并延长交圆于点，连接，，得出为等边三角形，则，，求出，则由三角形面积公式可得出答案；
（2）如图所示，以为边作等边，连接，可证，可得，点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上其在点的上方时，的面积的最大值，根据等边三角形，含角的直角三角形的性质可求出，的值，根据三角形的面积即可求解．
（3）如图，作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，推出点在半径为的上，由此即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
【详解】（1）解：作出的外接圆，连接，，当的边上的高经过点O时，面积最大，
如图，过点O作，并延长交圆于点，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
即面积的最大值.
（2）解：如图所示，以为边作等边，连接，

∵是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，且，，
∴，
∴，
∴点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上且在点的上方时，的面积取得最大值，
∴在中，，，，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
（3）解：∵，，
∴，，
如图，连接，作，使得，，则，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即（定长），
∵点是定点，是定长，
∴点在半径为的上，
过点作，交于点，则当点D在点的上方时，的面积取得最大值，
∵，
∴，
∴．
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