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福建宁德市霞浦县2025-2026学年第二学期阶段性训练八年级数学试题
一、单选题
1．下列四个以航天为主题的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若，且，则a的值可能是（ ）
A． B．0 C． D．
3．下列因式分解正确的是（　　　）
A． B．
C． D．
4．将点向左平移1个单位长度得到点，那么点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形
6．下列生活现象中属于平移的是（ ）．
A．坐在秋千上人的运动 B．升降式电梯的运动
C．时钟上的秒针在不停地转动 D．教室开门时门的运动
7．如图，在等腰三角形中，于点，于点．若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，求证：，当用反证法证明时，第一步应假设（　　）
A． B． C． D．
9．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动．各组展示作图痕迹如下，其中是的角平分线，判断正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④
10．用表示不超过的最大整数，如，正整数小于，并满足等式，这样的正整数的个数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
二、填空题
11．因式分解：_________．
12．用不等式表示“a的5倍与3的差是正数”是_________．
13．正五边形外角和的度数是_____．
14．如图，中，是的垂直平分线，如果，的周长为，则的周长为______．

15．如图直线（）经过点，则不等式的解集是_________．
16．如图，在中，平分，过点作，垂足为点，为的中点，连接，，若，则图中两个阴影部分面积之差的最大值是______．
三、解答题
17．因式分解：．
18．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
19．已知：如图，点C，E在线段上，．求证：．
20．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，已知点C的坐标为．
(1)画出以点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转后得到的；
(2)画出关于原点O对称的．
21．我县享有“画本霞浦，千鲜之城”的美称，吸引了大量游客，某商铺销售A款和B款两种特色海鲜礼品．已知若卖出A款1件和B款3件特色海鲜礼品，总销售额为460元；若卖出A款2件和B款1件特色海鲜礼品，总销售额为420元．
(1)求每件A款和B款特色海鲜礼品售价各是多少元；
(2)某游客准备用2000元，购买A款和B款两种特色海鲜礼品共15件，则该旅客最多可以买到多少件A款特色海鲜礼品？
22．在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式——利用函数图象研究其性质———运用函数解决问题”的学习过程．同时，我们也学习了绝对值的意义：
【尝试】
探究函数的图象与性质．
此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整．
(1)列表：
根据下表格中的信息可得_______．
x … 0 1 2 3 4 …
y … 2 0 b 0 …
(2)请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象．
【解决问题】
(3)结合画出的函数图象，解决问题：
①写出函数的一条性质____________：
②求关于x的不等式的解集．
23．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（x，y均为自然数．）
(1)指导教师将学生的发现过程进行整理，部分信息如下（n为正整数）；
N 奇数 4的倍数
表示结果 … …
一般结论 _____________
按上表规律，完成下列问题：
①（_________）（________）；
②______________________；
(2)若x，y均为奇数，设，其中k，m均为自然数，试说明：整数为4的倍数；
(3)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…，这些形如（n为正整数）的正整数N不能表示为（x，y均为自然数）．请判断兴趣小组猜测是否正确．若正确，请给出证明；若不正确，请举出反例．
24．【模型定义】
它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手．
【模型探究】
(1)如图1，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接，易证，则的度数为________；
(2)如图2，点P是等腰直角中内部一点，，且，以为直角边构造等腰直角，点C为直角顶点，则求的度数及的长；
(3)如图3，若，则求的长．
参考答案
1．C
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
B、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
C、是中心对称图形，符合题意，选项正确；
D、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
故选：C．
2．A
【详解】解：∵，且，
∴，
∴选项中满足题意．
3．B
【详解】解：A、ax+ay=a(x+y)，故选项计算错误；
B、3a+3b=3(a+b)，选项计算正确；
C、，选项计算错误；
D、不能进行因式分解，选项计算错误；
故选：B．
4．B
【详解】解：∵点向左平移1个单位长度得到点，
根据平移规律，左移横坐标减，纵坐标不变，
∴的横坐标为，纵坐标仍为，
∴点的坐标为．
5．D
【详解】解：该三角形第三个内角的度数为，
最大的内角为，
∴这个三角形为锐角三角形，
∵这个三角形有两个内角相等，
∴这个三角形一定是等腰三角形．
6．B
【详解】解：A、C、D均不属于平移；只有B属于平移．
7．D
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵于点E，
∴在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴．
8．B
【详解】解：假设结论不成立，则成立．
9．C
【详解】解：图①，由作图得，是的平分线，符合题意；
图②，由作图得，是的垂直平分线，不符合题意；
图③，由作图得，
∴
∴
由作图得，
∴
∴
∴是的平分线，符合题意；
图④，由作图得，，垂直平分
∴是的平分线，符合题意．
综上所述，判断正确的是①③④．
10．A
【详解】解：若，，有一个不是整数，
则或者或者，
∴，
∴，，都是整数，即n是2，3，6的公倍数，且，
∴n的值为6，12，18，24，......，共有9个．
11．
【详解】解：．
12．
【详解】解：“a的5倍与3的差是正数”表示为：．
13．
【详解】解：正五边形外角和的度数是．
14．
【详解】解：垂直平分，
根据线段垂直平分线的性质可得，，
又的周长，
的周长．
故答案为：．
15．
【详解】解：根据题意可知，直线，且经过点，
∵，
∴，
由图象可知，当时，；
∴不等式的解集为．
16．
【详解】解：延长交延长线于点，设交于点，如图，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，，
∴，
∵
，
∵，
∴当时，的面积最大，最大面积为，
∴图中两个阴影部分面积之差的最大值为．
17．
【详解】解：

．
18．，见解析
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
在数轴上表示不等式组的解集如图所示．
∴不等式组的解集为．
19．见解析
【详解】证明：，
，

，
与中，
，
，
．
20．(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：如图所示，即为所求作的三角形；
（2）解：∵，
∴，
如图所示，即为所求作的三角形．
21．(1)每件A款特色海鲜礼品的售价是160元，每件B款特色海鲜礼品的售价是100元
(2)最多可以买8件A款特色海鲜礼品
【详解】（1）解：设每件A款特色海鲜礼品的售价是x元，每件B款特色海鲜礼品的售价是y元，
根据题意得：
解得：
答：每件A款特色海鲜礼品的售价是160元，每件B款特色海鲜礼品的售价是100元；
（2）解：设旅客最多可以买m件A款特色海鲜礼品，和件B款特色海鲜礼品，
根据题意得：，
解得：，
∴m为非负整数，m最多为8．
答：旅客最多可以买8件A款特色海鲜礼品．
22．(1)
(2)见解析
(3)①当时，y随x增大而减小（答案不唯一）；②
【详解】（1）解：把代入得，，
∴．
（2）解：如图所示即为所求；
（3）解：①由函数图象可得，当时，y随x增大而减小，当时，随x增大而增大．
②在中，当时，，当时，，
联立，解得；
联立，解得；
如图，
∴由函数图象可得，不等式的解集为：；
23．(1)①8，6；②
(2)见解析
(3)兴趣小组猜测正确，证明见解析
【详解】（1）解：①由规律可得，；
②由规律可得，．
（2）解：若x，y均为奇数，设，其中k，m均为自然数，
则
，
∵k，m均为自然数，
∴、为整数，
∴整数为4的倍数．
（3）证明：兴趣小组猜测正确．理由如下：
假设，其中x，y均为自然数．
分下列三种情形分析：
①若x，y均为偶数，设，其中k，m均为自然数，
则，为4的倍数．
这与不是4的倍数相矛盾，故x，y不可能均为偶数；
②若x，y均为奇数，由（2）知，为4的倍数．
这与不是4的倍数相矛盾，故x，y不可能均为奇数；
③若x，y一个是奇数一个是偶数，则为奇数．
这与是偶数相矛盾，故x，y不可能一个是奇数另一个是偶数．
综上，形如（n为正整数）的正整数N不能表示为．
24．(1)
(2)；
(3)
【详解】（1）解：∵和均为等边三角形，
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴．，
∵为等边三角形，
∴．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴．
∴．
∴．
（2）解：如图，连接，

∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点P，点B，点D共线，
∵，
∴．
（3）解：过点A作，且，连接，如图所示：

则是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵，即，
在和中，
，
∴，
∴．

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