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5月下旬之数与式—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．下列各式：①a2 a3＝a5；②（﹣3ab3）2＝9a2b6；③；④1；⑤x2+2x2＝3x2，其中正确的有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】我们按顺序分析每个式子：① a2 a3＝a5：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，正确；
② (-3ab3)2＝9a2b6 ：根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，(-3)2=9，a2.(b3)2=b6，正确；
③ ：根据公式，应有。由于，所以其绝对值应为，原式错误；
④ ：根据零指数幂法则，a°=1(a≠0)。计算，所以底数。底数为0时，00无意义，原式错误；
⑤x2+2x2=3x2：直接合并同类项，正确。综上，正确的式子有①、②、⑤，共3个。
故答案为：B。
【分析】 题目给出了五个独立的数学式子，要求判断哪些是正确的。我们需要逐一运用对应的运算法则进行检验：①同底数幂相乘；②积的乘方；③二次根式的化简与算术平方根的非负性；④零指数幂的底数条件；⑤合并同类项。任何一步法则应用错误或忽略隐含条件（如非负性、底数不为0）都可能导致判断失误。
2．瑞安特产马蹄笋闻名浙南.某农户采挖一批马蹄笋，质量为 240千克，若每筐多装 2千克，则所用筐数比原来少 4筐.设原来每筐装x千克，可列出方程（　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原来每筐装x千克，由题意得，
故答案为：A.
【分析】设原来每筐装x千克，根据“ 质量为240千克，若每筐多装2千克，则所用筐数比原来少4筐 ”列分式方程解答即可.
3．若关于x的一元二次方程(x+1)(x-3)=m的两根为： ，下列判断正确的是(　　)
A． B．m应满足m>-4
C．当m>0时，x1＞-1，x2>3 D．当m<0时，
【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；判断是否为一元二次方程的根；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：对于选项A：把，代入原方程得左边为0，
所以仅当时成立，并非任意情况，
∴A选项错误，不符合题意；
对于选项B：先把化简得，
由题意得，方程有两个不相等的实数根（因），
∴令，
即，
解得，
所以B选项正确，符合题意；
对于选项C：令，这是开口向上的抛物线，与轴交于，顶点为．
当时，直线与抛物线交于两点，其横坐标满足（如时，根为和），而不是，
∴C选项错误，不符合题意；
对于选项D：由C知，抛物线的顶点为，
所以当时，直线与抛物线没有交点，所以方程没有实数根，仅当时，才符合，
∴D选项错误，不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据一元二次方程的解的定义判断A；化为一般式利用根的判别式判断B；利用二次函数与一元二次方程的关系判断C，D选项解答即可．
4．“九宫图”传说源于远古时代洛河中的神龟背甲图案，故又称“龟背图”．数学中的“九宫图”指一个3×3的方格，要求其每行、每列及每条对角线上的三个数字之和均相等．如图所示为一个不完整的“九宫图”，则x-y的值为(　　)
A．- 8 B．- 6 C．- 2 D．6
【答案】D
【知识点】用代数式表示和差倍分的数量关系；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：设正中间的数字为a，则-2+a+x=4+a+y，
解得x-y=6，
故答案为：D.
【分析】设正中间的数字为a，根据两对角线上数字之和相等列等式，整理解答即可.
5．下列图形都是用同样大小的●按一定规律组成的，其中第①个图形中共有3个●，第②个图形中共有8个●，第③个图形中共有15个●，…，则第⑧个图形中●的个数为（　　）
A．63 B．64 C．80 D．81
【答案】C
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】由图可知，图①中有3个黑点，图②有8个黑点，图③有15个黑点，观察规律3=22-1，8=32-1，15=42-1，则第n个图形中黑点的个数为(n+1)2-1，
当n=8时，(8+1)2-1=80.
故答案为：C。
【分析】 题目给出了前三个图形中黑点的具体数量（3， 8， 15）。我们需要从这些数据中找出隐藏的规律，并用一个含有序号n的代数式来表示第n个图形的黑点数，代入n=8即可求解。
二、填空题
6．已知a，b为有理数，如果规定一种新运算：　 　 ．
【答案】﹣16
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】根据新定义的运算规则，
，
故答案为：-16.
【分析】本题是定义新运算题型，核心是先根据给定的运算规则 ，将代入规则计算即可。
7． 魏晋时期刘徽在《九章算术注》中提到了一种求二次根式近似值的方法：对于正整数k，若 (其中a为正整数，整数r≠0)，则当|r|最小时， 用该方法计算 的近似值为　 　.(结果保留两位小数)
【答案】9.85
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意得，．
，．
将表示为，此时．
若取，则，．
因此取，，
代入近似公式，得：
．
故答案为：9.85.
【分析】仿照题干给出的近似计算方法计算解答即可．
8．【数学阅读】17世纪数学家莱布尼茨发现π可以用级数表达：
【数学应用】应用莱布尼茨π的级数表达公式，估算：当n=4时，π的近似值为　 　．(结果保留一位小数)
【答案】2.9
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
∴，
故答案为：2.9.
【分析】将n=4代入公式中，然后按照公式的规律进行计算，最后将结果保留一位小数.
9．若x1，x2是关于x的方程 的两个实数根，且 （k是整数)，则称方程 =0为“偶根方程”.若 是“偶根方程”，则常数m可以是　 　.（写出一个符合条件的值即可)
【答案】(答案不唯一)
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：因为x1，x2是方程x2+3x-m=0的两个实数根，
所以由韦达定理可得x1+x2=-3，x1x2=-m。
由于x1+x2=-3<0，可知两根同负或一正一负且负数的绝对值较大，分两种情况讨论：
1.若两根x1，x2均为负数，则|x1|=-x1，|x2|=-x2，
所以|x1|+|x2|=-(x1+x2)=3。根据”偶根方程“定义，3=2k，但3不是2的整数倍，此情况不成立；
2.若两根一正一负且负数绝对值大，则x1+x2=x1-x2。
根据根与系数的关系，。
由定义得，两边平方得9+4m=4k2，即。
因为m为实数且方程有实数根，所以判别式△=32+4m≥0，即。
取k=2(k为整数)，代入得。
因此，常数m可以为（答案不唯一，取k=1时，k=3时等均符合条件）。
故答案为：(答案不唯一).
【分析】根据"偶根方程"的定义，方程x2+3x-m=0的两个实数根x1，x2需满足x1+x2=2k(k为整数)。利用韦达定理得到根与系数的关系，结合根的符号分类讨论，代入条件求解m即可。
10．【探究活动】如图，计算末位为5的两位数的平方时，只需将十位上数字n与n+1相乘，再乘以100，然后加上25即可.
【应用体验】已知（ 则n=　 　.
【答案】7
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：
整理得：
解得： (舍去)
故答案为：7.
【分析】根据已知易得： 然后进行计算即可解答.
三、解答题
11． 已知实数a，b满足
（1）求 ab的值.
（2）阅读如图材料，求 的值.
【答案】（1）解：因为
所以
即
所以 ab=-1.
（2）解：因为
所以 3，
所以
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】(1) 利用完全平方公式变形解答即可；
(2) 类比材料中的推导方法，得到，然后整体代入计算即可.
12．丢番图曾提出这样一个问题：将一给定的平方数，分为两个正有理数的平方和.例如给定的平方数为16.
设其中一个正有理数的平方为x2，则另一个正有理数的平方为
令 其中m为整数.
取m=2，则
于是
解得 (舍去)，
所以
即
（1）上面的解决过程中，为何将 舍去 请说明理由.
（2）请你将平方数9分为两个正有理数的平方和.
【答案】（1）解： 由题知，
当x=0时，
则不满足正有理数的平方为正数这一条件，
所以 舍去；
（2）解：由题知，
设其中一个正有理数的平方为 则另一个正有理数的平方为
令 其中m为整数，
取m=2，则
于是
解得 (舍去)，
所以
所以

【知识点】完全平方公式及运用；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据所给解题过程，说明理由即可；
（2）结合所给求解方法进行计算即可.
13．【发现】
数学兴趣小组活动中，小明发现：偶数的平方能被4整除．
证明过程如下：整数m为偶数时，设m=2n(其中n为整数)，
因为n2是整数，
所以m2能被4整除．
【类比】
探究奇数的平方被4除所得余数的情况．
小明通过举例发现：
（1）奇数的平方被4除余数为　 　．
（2）证明过程如下：整数m为奇数时，设m=2n+1(其中n为整数)，……
请补全证明过程．
（3）【应用】
小红求得某一个整系数一元二次方程判别式的值等于2026．判断小红的计算结果是否正确 若正确，请写出一个符合条件的一元二次方程；若不正确，请说明理由．(注：整系数一元二次方程是指关于x的方程 其中a，b，c均为整数，且a≠0)
【答案】（1）1
（2）证明：整数m为奇数时，设m=2n+1(其中n为整数)，
∵n为整数，
为整数，
被4除余1；
（3）小红计算结果不正确，理由：
∵整系数一元二次方程是指关于x的方程( c=0，其中a，b，c均为整数，且a≠0，
当b为偶数时， 能被4整除，4ac也能被4整除；
当b为奇数时， 能被4整除余1，4ac能被4整除，即 被4除余1；
即2026被4除余2，不符合上述情况，
∴小红计算结果不正确.
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；完全平方公式及运用；因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：
…，
∴奇数的平方被4除余数为1，
故答案为：1；
【分析】(1)举例得出结论；
(2)设m=2n+1(其中n为整数)，则 然后得出结论；
(3)根据 分b为偶数和b为奇数，由(1)、(2)得出结论.
14．考拉兹猜想(又称3n+1猜想)是近代数学中最著名的未解猜想之一，由德国数学家考拉兹提出，其内容是：任意正整数 n，若是偶数就除以2，若是奇数就乘3加1，重复操作，最终都会得到1.例如，当n=10时，分步进行考拉兹运算：
第1步： 10÷2=5；第2步： 5×3+1=16；第3步： 16÷2=8；第4步： 8÷2=4；第5步： 4÷2=2；第6步： 2÷2=1
（1）若从某正整数 n出发，第一步考拉兹运算得到16，求所有满足条件的正整数 n；
（2）小杭同学说：若3n+1(n为任意正整数)已被证明符合考拉兹猜想，则2m(m为任意正整数)一定也符合考拉兹猜想.
∵2m为偶数
∴2m÷2=m
若 m为奇数，则下一步考拉兹运算后为3m+1；
若m为偶数，则下一步考拉兹运算继续除以2，多次运算，直至出现奇数p，则下一步考拉兹运算得到3p+1；
∴2m可以多次考拉兹运算为3n+1的形式；
∴2m一定也符合考拉兹猜想.
若3n+1(n为任意正整数)已被证明符合考拉兹猜想，请继续证明4k+1(k为任意正整数)一定也符合考拉兹猜想.
【答案】（1）解：当 n为偶数时： n÷2=16 ，
∴n=32；
当 n为奇数时： 3n+1=16 ，
∴n=5；
∴n=5或32 ；
（2）解：∵k为任意正整数
∴4k+1为奇数
则4k+1下一步考拉兹运算结果为3(4k+1)+1=12k+4=4(3k+1)
∵4(3k+1)为偶数，
则下一步考拉兹运算结果为2(3k+1)
∵2(3k+1)为偶数，
则下一步考拉兹运算结果为3k+1
∴4k+1可以经过多次考拉兹运算化为3n+1 的形式
则4k+1一定也符合考拉兹猜想
【知识点】整式的混合运算；一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）分n为偶数和n为奇数两种情况，列方程求出n的值解答即可；
（2）仿照题目所给证明过程解答即可．
15． 【阅读理解】
我国南宋时期数学家秦九韶著有《数书九章》，书中记载了“三斜求积术”，即根据三角形的三边长求面积的方法.如果将三角形的三边长分别记为a，b，c，那么三角形的面积
【推导验证】
已知：如图，在△ABC中，记AB=c， BC=a， AC=b.
求证：△ABC的面积
证明：过点A作AD⊥BC于点D，
设CD=x，则BD=a-x，
……
（1）请你继续完成上述推导.
（2）【尝试应用】
已知△ABC的三边长分别为 ， 2， ，请用“三斜求积术”求△ABC的面积.
【答案】（1）证明：过点A作于点D，
设，则，
∴，
，
，
，
解得，
∴，
∴
．

（2）解：假设 代入，得
【知识点】二次根式的实际应用；三角形的面积；勾股定理；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）先解方程求出，即可得到，然后根据三角形面积公式计算即可；
（2）假设， ，，代入（1）中的结论计算即可．
16．跟华罗庚学猜数：
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．
华罗庚（1910-1985）
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试：
①∵，，又∵，∴，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9．
③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空：
①它的立方根是 位数；
②它的立方根的个位数字是 ；
③19683的立方根是 ．
（2）求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写）
【答案】（1）①两；②7；③27
（2）解：∵，，
又∵，
∴，
∴能确定110592的立方根是个两位数．
∵110592的个位数是2，
又∵，
∴能确定110592的立方根的个位数是8．
若划去110592后面的三位592得到数110，
而，
则，
可得，
由此确定110592的立方根的十位数是4，
因此110592的立方根是48．
【知识点】无理数的估值；开立方（求立方根）
【解析】【解答】（1）解：①，，
又，
，
能确定19683的立方根是个两位数，
故答案为：两；
②∵19683的个位数是3，
又，
能确定19683的立方根的个位数是7，
故答案为：7；
③如果划去19683后面的三位683得到数19，
而，则，可得，
由此能确定19683的立方根的十位数是2，
因此19683的立方根是27．
故答案为：27；
【分析】（1）仿照例题，进行推理得结论；
（2）通过题干给出的例子，首先通过分析数的范围来确定立方根的位数，再根据立方数的个位数字特征确定立方根的个位数字，最后通过比较立方数的大小确定立方根的十位数字.
（1）解：①，，
又，
，
能确定19683的立方根是个两位数．
②∵19683的个位数是3，
又，
能确定19683的立方根的个位数是7，
③如果划去19683后面的三位683得到数19，
而，则，可得，
由此能确定19683的立方根的十位数是2，
因此19683的立方根是27．
（2）解：∵，，
又∵，
∴，
∴能确定110592的立方根是个两位数．
∵110592的个位数是2，
又∵，
∴能确定110592的立方根的个位数是8．
若划去110592后面的三位592得到数110，
而，
则，
可得，
由此确定110592的立方根的十位数是4，
因此110592的立方根是48．
1 / 15月下旬之数与式—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．下列各式：①a2 a3＝a5；②（﹣3ab3）2＝9a2b6；③；④1；⑤x2+2x2＝3x2，其中正确的有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．瑞安特产马蹄笋闻名浙南.某农户采挖一批马蹄笋，质量为 240千克，若每筐多装 2千克，则所用筐数比原来少 4筐.设原来每筐装x千克，可列出方程（　　)
A． B．
C． D．
3．若关于x的一元二次方程(x+1)(x-3)=m的两根为： ，下列判断正确的是(　　)
A． B．m应满足m>-4
C．当m>0时，x1＞-1，x2>3 D．当m<0时，
4．“九宫图”传说源于远古时代洛河中的神龟背甲图案，故又称“龟背图”．数学中的“九宫图”指一个3×3的方格，要求其每行、每列及每条对角线上的三个数字之和均相等．如图所示为一个不完整的“九宫图”，则x-y的值为(　　)
A．- 8 B．- 6 C．- 2 D．6
5．下列图形都是用同样大小的●按一定规律组成的，其中第①个图形中共有3个●，第②个图形中共有8个●，第③个图形中共有15个●，…，则第⑧个图形中●的个数为（　　）
A．63 B．64 C．80 D．81
二、填空题
6．已知a，b为有理数，如果规定一种新运算：　 　 ．
7． 魏晋时期刘徽在《九章算术注》中提到了一种求二次根式近似值的方法：对于正整数k，若 (其中a为正整数，整数r≠0)，则当|r|最小时， 用该方法计算 的近似值为　 　.(结果保留两位小数)
8．【数学阅读】17世纪数学家莱布尼茨发现π可以用级数表达：
【数学应用】应用莱布尼茨π的级数表达公式，估算：当n=4时，π的近似值为　 　．(结果保留一位小数)
9．若x1，x2是关于x的方程 的两个实数根，且 （k是整数)，则称方程 =0为“偶根方程”.若 是“偶根方程”，则常数m可以是　 　.（写出一个符合条件的值即可)
10．【探究活动】如图，计算末位为5的两位数的平方时，只需将十位上数字n与n+1相乘，再乘以100，然后加上25即可.
【应用体验】已知（ 则n=　 　.
三、解答题
11． 已知实数a，b满足
（1）求 ab的值.
（2）阅读如图材料，求 的值.
12．丢番图曾提出这样一个问题：将一给定的平方数，分为两个正有理数的平方和.例如给定的平方数为16.
设其中一个正有理数的平方为x2，则另一个正有理数的平方为
令 其中m为整数.
取m=2，则
于是
解得 (舍去)，
所以
即
（1）上面的解决过程中，为何将 舍去 请说明理由.
（2）请你将平方数9分为两个正有理数的平方和.
13．【发现】
数学兴趣小组活动中，小明发现：偶数的平方能被4整除．
证明过程如下：整数m为偶数时，设m=2n(其中n为整数)，
因为n2是整数，
所以m2能被4整除．
【类比】
探究奇数的平方被4除所得余数的情况．
小明通过举例发现：
（1）奇数的平方被4除余数为　 　．
（2）证明过程如下：整数m为奇数时，设m=2n+1(其中n为整数)，……
请补全证明过程．
（3）【应用】
小红求得某一个整系数一元二次方程判别式的值等于2026．判断小红的计算结果是否正确 若正确，请写出一个符合条件的一元二次方程；若不正确，请说明理由．(注：整系数一元二次方程是指关于x的方程 其中a，b，c均为整数，且a≠0)
14．考拉兹猜想(又称3n+1猜想)是近代数学中最著名的未解猜想之一，由德国数学家考拉兹提出，其内容是：任意正整数 n，若是偶数就除以2，若是奇数就乘3加1，重复操作，最终都会得到1.例如，当n=10时，分步进行考拉兹运算：
第1步： 10÷2=5；第2步： 5×3+1=16；第3步： 16÷2=8；第4步： 8÷2=4；第5步： 4÷2=2；第6步： 2÷2=1
（1）若从某正整数 n出发，第一步考拉兹运算得到16，求所有满足条件的正整数 n；
（2）小杭同学说：若3n+1(n为任意正整数)已被证明符合考拉兹猜想，则2m(m为任意正整数)一定也符合考拉兹猜想.
∵2m为偶数
∴2m÷2=m
若 m为奇数，则下一步考拉兹运算后为3m+1；
若m为偶数，则下一步考拉兹运算继续除以2，多次运算，直至出现奇数p，则下一步考拉兹运算得到3p+1；
∴2m可以多次考拉兹运算为3n+1的形式；
∴2m一定也符合考拉兹猜想.
若3n+1(n为任意正整数)已被证明符合考拉兹猜想，请继续证明4k+1(k为任意正整数)一定也符合考拉兹猜想.
15． 【阅读理解】
我国南宋时期数学家秦九韶著有《数书九章》，书中记载了“三斜求积术”，即根据三角形的三边长求面积的方法.如果将三角形的三边长分别记为a，b，c，那么三角形的面积
【推导验证】
已知：如图，在△ABC中，记AB=c， BC=a， AC=b.
求证：△ABC的面积
证明：过点A作AD⊥BC于点D，
设CD=x，则BD=a-x，
……
（1）请你继续完成上述推导.
（2）【尝试应用】
已知△ABC的三边长分别为 ， 2， ，请用“三斜求积术”求△ABC的面积.
16．跟华罗庚学猜数：
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．
华罗庚（1910-1985）
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试：
①∵，，又∵，∴，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9．
③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空：
①它的立方根是 位数；
②它的立方根的个位数字是 ；
③19683的立方根是 ．
（2）求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】我们按顺序分析每个式子：① a2 a3＝a5：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，正确；
② (-3ab3)2＝9a2b6 ：根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，(-3)2=9，a2.(b3)2=b6，正确；
③ ：根据公式，应有。由于，所以其绝对值应为，原式错误；
④ ：根据零指数幂法则，a°=1(a≠0)。计算，所以底数。底数为0时，00无意义，原式错误；
⑤x2+2x2=3x2：直接合并同类项，正确。综上，正确的式子有①、②、⑤，共3个。
故答案为：B。
【分析】 题目给出了五个独立的数学式子，要求判断哪些是正确的。我们需要逐一运用对应的运算法则进行检验：①同底数幂相乘；②积的乘方；③二次根式的化简与算术平方根的非负性；④零指数幂的底数条件；⑤合并同类项。任何一步法则应用错误或忽略隐含条件（如非负性、底数不为0）都可能导致判断失误。
2．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原来每筐装x千克，由题意得，
故答案为：A.
【分析】设原来每筐装x千克，根据“ 质量为240千克，若每筐多装2千克，则所用筐数比原来少4筐 ”列分式方程解答即可.
3．【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；判断是否为一元二次方程的根；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：对于选项A：把，代入原方程得左边为0，
所以仅当时成立，并非任意情况，
∴A选项错误，不符合题意；
对于选项B：先把化简得，
由题意得，方程有两个不相等的实数根（因），
∴令，
即，
解得，
所以B选项正确，符合题意；
对于选项C：令，这是开口向上的抛物线，与轴交于，顶点为．
当时，直线与抛物线交于两点，其横坐标满足（如时，根为和），而不是，
∴C选项错误，不符合题意；
对于选项D：由C知，抛物线的顶点为，
所以当时，直线与抛物线没有交点，所以方程没有实数根，仅当时，才符合，
∴D选项错误，不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据一元二次方程的解的定义判断A；化为一般式利用根的判别式判断B；利用二次函数与一元二次方程的关系判断C，D选项解答即可．
4．【答案】D
【知识点】用代数式表示和差倍分的数量关系；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：设正中间的数字为a，则-2+a+x=4+a+y，
解得x-y=6，
故答案为：D.
【分析】设正中间的数字为a，根据两对角线上数字之和相等列等式，整理解答即可.
5．【答案】C
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】由图可知，图①中有3个黑点，图②有8个黑点，图③有15个黑点，观察规律3=22-1，8=32-1，15=42-1，则第n个图形中黑点的个数为(n+1)2-1，
当n=8时，(8+1)2-1=80.
故答案为：C。
【分析】 题目给出了前三个图形中黑点的具体数量（3， 8， 15）。我们需要从这些数据中找出隐藏的规律，并用一个含有序号n的代数式来表示第n个图形的黑点数，代入n=8即可求解。
6．【答案】﹣16
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】根据新定义的运算规则，
，
故答案为：-16.
【分析】本题是定义新运算题型，核心是先根据给定的运算规则 ，将代入规则计算即可。
7．【答案】9.85
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意得，．
，．
将表示为，此时．
若取，则，．
因此取，，
代入近似公式，得：
．
故答案为：9.85.
【分析】仿照题干给出的近似计算方法计算解答即可．
8．【答案】2.9
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
∴，
故答案为：2.9.
【分析】将n=4代入公式中，然后按照公式的规律进行计算，最后将结果保留一位小数.
9．【答案】(答案不唯一)
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：因为x1，x2是方程x2+3x-m=0的两个实数根，
所以由韦达定理可得x1+x2=-3，x1x2=-m。
由于x1+x2=-3<0，可知两根同负或一正一负且负数的绝对值较大，分两种情况讨论：
1.若两根x1，x2均为负数，则|x1|=-x1，|x2|=-x2，
所以|x1|+|x2|=-(x1+x2)=3。根据”偶根方程“定义，3=2k，但3不是2的整数倍，此情况不成立；
2.若两根一正一负且负数绝对值大，则x1+x2=x1-x2。
根据根与系数的关系，。
由定义得，两边平方得9+4m=4k2，即。
因为m为实数且方程有实数根，所以判别式△=32+4m≥0，即。
取k=2(k为整数)，代入得。
因此，常数m可以为（答案不唯一，取k=1时，k=3时等均符合条件）。
故答案为：(答案不唯一).
【分析】根据"偶根方程"的定义，方程x2+3x-m=0的两个实数根x1，x2需满足x1+x2=2k(k为整数)。利用韦达定理得到根与系数的关系，结合根的符号分类讨论，代入条件求解m即可。
10．【答案】7
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：
整理得：
解得： (舍去)
故答案为：7.
【分析】根据已知易得： 然后进行计算即可解答.
11．【答案】（1）解：因为
所以
即
所以 ab=-1.
（2）解：因为
所以 3，
所以
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】(1) 利用完全平方公式变形解答即可；
(2) 类比材料中的推导方法，得到，然后整体代入计算即可.
12．【答案】（1）解： 由题知，
当x=0时，
则不满足正有理数的平方为正数这一条件，
所以 舍去；
（2）解：由题知，
设其中一个正有理数的平方为 则另一个正有理数的平方为
令 其中m为整数，
取m=2，则
于是
解得 (舍去)，
所以
所以

【知识点】完全平方公式及运用；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据所给解题过程，说明理由即可；
（2）结合所给求解方法进行计算即可.
13．【答案】（1）1
（2）证明：整数m为奇数时，设m=2n+1(其中n为整数)，
∵n为整数，
为整数，
被4除余1；
（3）小红计算结果不正确，理由：
∵整系数一元二次方程是指关于x的方程( c=0，其中a，b，c均为整数，且a≠0，
当b为偶数时， 能被4整除，4ac也能被4整除；
当b为奇数时， 能被4整除余1，4ac能被4整除，即 被4除余1；
即2026被4除余2，不符合上述情况，
∴小红计算结果不正确.
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；完全平方公式及运用；因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：
…，
∴奇数的平方被4除余数为1，
故答案为：1；
【分析】(1)举例得出结论；
(2)设m=2n+1(其中n为整数)，则 然后得出结论；
(3)根据 分b为偶数和b为奇数，由(1)、(2)得出结论.
14．【答案】（1）解：当 n为偶数时： n÷2=16 ，
∴n=32；
当 n为奇数时： 3n+1=16 ，
∴n=5；
∴n=5或32 ；
（2）解：∵k为任意正整数
∴4k+1为奇数
则4k+1下一步考拉兹运算结果为3(4k+1)+1=12k+4=4(3k+1)
∵4(3k+1)为偶数，
则下一步考拉兹运算结果为2(3k+1)
∵2(3k+1)为偶数，
则下一步考拉兹运算结果为3k+1
∴4k+1可以经过多次考拉兹运算化为3n+1 的形式
则4k+1一定也符合考拉兹猜想
【知识点】整式的混合运算；一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）分n为偶数和n为奇数两种情况，列方程求出n的值解答即可；
（2）仿照题目所给证明过程解答即可．
15．【答案】（1）证明：过点A作于点D，
设，则，
∴，
，
，
，
解得，
∴，
∴
．

（2）解：假设 代入，得
【知识点】二次根式的实际应用；三角形的面积；勾股定理；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）先解方程求出，即可得到，然后根据三角形面积公式计算即可；
（2）假设， ，，代入（1）中的结论计算即可．
16．【答案】（1）①两；②7；③27
（2）解：∵，，
又∵，
∴，
∴能确定110592的立方根是个两位数．
∵110592的个位数是2，
又∵，
∴能确定110592的立方根的个位数是8．
若划去110592后面的三位592得到数110，
而，
则，
可得，
由此确定110592的立方根的十位数是4，
因此110592的立方根是48．
【知识点】无理数的估值；开立方（求立方根）
【解析】【解答】（1）解：①，，
又，
，
能确定19683的立方根是个两位数，
故答案为：两；
②∵19683的个位数是3，
又，
能确定19683的立方根的个位数是7，
故答案为：7；
③如果划去19683后面的三位683得到数19，
而，则，可得，
由此能确定19683的立方根的十位数是2，
因此19683的立方根是27．
故答案为：27；
【分析】（1）仿照例题，进行推理得结论；
（2）通过题干给出的例子，首先通过分析数的范围来确定立方根的位数，再根据立方数的个位数字特征确定立方根的个位数字，最后通过比较立方数的大小确定立方根的十位数字.
（1）解：①，，
又，
，
能确定19683的立方根是个两位数．
②∵19683的个位数是3，
又，
能确定19683的立方根的个位数是7，
③如果划去19683后面的三位683得到数19，
而，则，可得，
由此能确定19683的立方根的十位数是2，
因此19683的立方根是27．
（2）解：∵，，
又∵，
∴，
∴能确定110592的立方根是个两位数．
∵110592的个位数是2，
又∵，
∴能确定110592的立方根的个位数是8．
若划去110592后面的三位592得到数110，
而，
则，
可得，
由此确定110592的立方根的十位数是4，
因此110592的立方根是48．
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