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5月下旬之解直角三角形—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．某校在教学楼顶安装可调节角度的光伏板，用于绿色发电.如图，长为2米的光伏板AB斜靠在竖直于地面的支架 BC上，倾斜角为α.为提高发电效率，将底端A 沿CA方向移动到点 A'，顶端 B向下滑动到点 B'，此时倾斜角为β，则顶端下降的垂直高度BB'为（　　)
A．（2sinβ-2sinα)米 B．（2sinα-2sinβ)米
C．（2cosβ-2cosα)米 D．（2cosα-2cosβ)米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；拥抱模型（交叉模型）
【解析】【解答】解：由题意得：AB=A'B'=2米，
在 中，
(米)，
在 中，
(米)，
米，
∴顶端下降的垂直高度BB'为 米，
故答案为：B.
【分析】根据题意可得：AB=A'B'=2米，然后分别在 C和 中，利用锐角三角函数的定义求出BC和B'C的长，从而进行计算即可解答.
2．如图，在△ABC中，CA=CB，，∠ABC=α，将△ABC绕点B逆时针旋转2α，得到△A'BC'，连结CC'，当C，C'、A'三点共线时，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】弧长的计算；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，CA=CB，
∴∠BAC=∠ABC=α，
∴∠ACB=180°-2α．
∵将△ABC绕点B逆时针旋转2α得到△A'BC'，
∴BC=BC'，，∠A'C'B=∠ACB=180°-2α，旋转角∠CBC'=2α．
∵BC=BC'，
∴△BCC'为等腰三角形，底角．
∵C，C'，A'三点共线，
∴∠BC'C+∠A'C'B=180°，即(90°-α)+(180°-2α)=180°，解得α=30°，
∴旋转角∠CBC'=2α=60°．
设CD交AB于D，
∵CA=CB，
∴D为AB中点，．
在Rt△BCD中，，即，解得BC=4，
∴的半径r=BC=4，圆心角n=60°，根据弧长公式，得．
故答案为：B.
【分析】先利用等腰三角形性质，得到∠ACB=180°-2α；再根据旋转的性质和等腰三角形底角公式求出∠BC'C=90°-α；接着利用C，C'，A'三点共线的条件，建立方程(90°-α)+(180°-2α)=180°，解得α=30°，从而得到圆心角∠CBC'=60°；然后在Rt△BCD中，利用，解得半径BC=4；最后代入弧长公式，计算得弧长为 ．
二、填空题
3．如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是，测得这栋楼的底部B处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是36米；那么这栋楼的高度是　 　米（精确到0.01米）．（参考数据：，，，）
【答案】89.28
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；背靠背模型
【解析】【解答】解：作，由题意，米，
在中，米，
在中，米，
∴；
故这栋楼的高度是89.28米；
故答案为：89.28．
【分析】过点A作AD⊥BC，在Rt△ADC中，由正切函数的定义及∠CAD的正切函数值可求出CD，在Rt△ADB中， 由正切函数的定义及∠BAD的正切函数值可求出BD的长，最后根据BC=BD+CD可得答案.
4．如图，一卫星运行到地球表面 P 点的正上方A 点时，可观测到地球表面一个最远的点 Q.已知地球半径约为6400km，在Rt△AOQ中，测得 sinα=0.8，则卫星到地面高度AP 约为　 　km.
【答案】1600
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：在 中，
∴卫星到地面高度AP约为1600km，
故答案为： 1600.
【分析】在 中，利用锐角三角函数的定义求出OA的长，然后进行计算即可解答.
5．如图①，是我国传统中式建筑中较为常见的支摘窗，具有古朴的外观和实用的功能，窗户的上窗扇可绕窗顶的转轴向上推开，形成一个倾斜的角度，当关闭窗户时窗扇的边与窗户重合，AB=BC=50cm.如图②，当窗户推开角度∠B=α（sinα=0.8），则支撑窗扇的杆子AC长为　 　cm.
【答案】20
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，过A点作AD⊥BC于点D，
∵在Rt△ABD中， ∠ADB=90°， ∠B =α(sinα=0.8)， AB=50cm，
∴AD=AB·sinα=50×0.8=40(cm)，
，
∵BC=50cm，
∴CD=BC-BD=20(cm)，
m)，
故答案为：
【分析】根据题意，作AD⊥BC，在Rt△ABD中求出AD，利用勾股定理求BD，则得到CD长，利用勾股定理即可求出AC长.
6．如图，钝角三角形ABC绕点A 逆时针旋转得到△AB'C'，点 C'在直线BC上， 已知 则AC的长为　 　.
【答案】
【知识点】旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长交于点H，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴ 在中，，
∴ 设，则，
∵，，
∴，，
∵绕点旋转得到，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∴ 设，
∵，
∴，即，
∴，
∴ 在中，由勾股定理得，
∴，
∴ 代入得，
∴整理，得，
∴ 解得或，
∴ 当时，，不合题意，舍去，
∴，
∴，，
∴ 在中，．
故答案为： .
【分析】延长交于点H，根据正切的定义设，，则，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例求出y与x的关系式，在中根据勾股定理求出x的值，然后在中根据勾股定理解答即可.
三、解答题
7．先化简，再求值：，其中x＝tan60°．
【答案】解：原式 ，
，
当x＝tan60°时，
原式（）（2）＝﹣5﹣3．
【知识点】求特殊角的三角函数值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先通分计算，然后运用分式的除法法则进一步化简，最后计算特殊角的三角函数值，代入即可.
8．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先分别计算零指数幂，负整数指数幂，化简二次根式和特殊角的三角函数值，然后再进行加减运算即可.
9．图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点．顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺按要求作图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中画出的边上的中线．
（2）在图②中的边上确定一点，使．
（3）在图③中的边上确定一点，使．
【答案】（1）解：如图①，即为所求．
（2）解：如图②，取格点，使，且，连接交于点，
则点即为所求．
（3）如图③，取格点，，使，且，连接交于点，
则，
则，
即，
则点即为所求．
【知识点】解直角三角形；三角形的中线
【解析】【分析】（1）三角形的中线是连接顶点和对边中点的线段；
（2）取格点，使，且，连接，与的交点即为点．
（3）取格点，，使，且，连接交于点，则点即为所求．
（1）解：如图①，即为所求．
（2）解：如图②，取格点，使，且，连接交于点，
则点即为所求．
（3）如图③，取格点，，使，且，连接交于点，
则，
则，
即，
则点即为所求．
10．如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，点E，点F分别是AC、BC的中点，连结EF、BE，过点A作AD∥BE交FE的延长线于点D.
（1）求证：四边形ABED为平行四边形.
（2）若，求线段AD的长.
【答案】（1）证明：∵点E，点F分别是AC、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，
∴DE∥AB，
∵AD∥BE，
∴四边形ABED为平行四边形
（2）解：∵EF是△ABC的中位线，且EF=1，
∴AB=2EF=2．
在Rt△ABC中，，代入AB=2，得，解得AC=6．
∵E是AC中点，
∴．
在Rt△ABE中，由勾股定理，得.
∵四边形ABED是平行四边形，
∴
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）先利用三角形中位线定理证明EF∥AB，从而得到DE∥AB，再结合已知的AD∥BE，根据平行四边形的判定定理即可证明；
（2）先由中位线性质求出AB=2，再根据 若 求出AC=6，进而得到AE=3，在Rt△ABE中用勾股定理算出，最后利用平行四边形对边相等的性质，得出．
11． 如图，在矩形ABCD中，点E在边 BC上，以E为圆心，BE长为半径画弧交边 CD于点F，连结BF交线段AE于点 P，恰有AB=AP，连结EF.
（1）判断AE与EF的位置关系，并说明理由.
（2）若 求PE的长.
【答案】（1）解：AE⊥EF.
理由如下：
因为AB=AP，
所以∠ABP=∠APB=∠EPF，
因为BE=EF，
所以∠EBF=∠BFE.
又因为∠ABP+∠EBF=90°，
所以∠EPF+∠BFE=90°.
因为∠AEF=180°-∠EPF-∠BFE=180°-90°=90°.
所以AE⊥EF.
（2）解：因为 AE⊥EF， tan∠BFE=
所以
设PE=x，则BE=EF=3x，
在 Rt△ABE中，由 得
解得 (舍去)，
所以PE=x=1.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及对顶角相等可得，，即可得到，根据三角形内角和定理求出，证明结论即可；
（2）根据正切的定义得到，设，则，在中根据勾股定理求出x的值解答即可．
12．
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E.
①若求BC的长；
②试探究是否为定值.如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.
（2）如图2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF=2∠CBG，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥AC，交CB的延长线于点E.记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BDE的面积为求cos∠CBD的值.
【答案】（1）解：①∵CD平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
②∵，
∴．
由①可得，
∴．
∴．
∴是定值，定值为1
（2）解：过点D作DH⊥EC于点H，DM⊥AF于点M，
∵DC平分∠BCF，
∴HD=DM，
∴，
∵CD平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴
∵，
∴．
∵
∴，
又∵，
∴，
设，则．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴（取正值）
如图，过点D作于H．
∵，
∴．
∴
【知识点】三角形外角的概念及性质；相似三角形的判定；角平分线的概念；求余弦值；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）①根据角平分线的定义和平行线的性质得到，进而根据两角对应相等得到，再根据对应边成比例解答即可；
②根据平行线可得，由①可得，然后求差解答即可；
（2）过点D作DH⊥EC于点H，DM⊥AF于点M，利用角平分线的性质可证得HD=DM，利用三角形的面积公式可证得，再证明，利用平行线的性质可推出，利用等边对等角可证得CE=DE，据此可得到；利用平行可证得△BDE∽△BAC，利用相似三角形的性质及三角形的面积公式可推出，将两个式子相乘，可推出，结合已知条件可得到BC与CE的比值，设，则；利用平行可证得，利用相似三角形的性质可表示出CD的长，过点D作于H，利用等腰三角形三线合一的性质可表示出BH的长，然后利用余弦的定义可求出cos∠CBD的值.
1 / 15月下旬之解直角三角形—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．某校在教学楼顶安装可调节角度的光伏板，用于绿色发电.如图，长为2米的光伏板AB斜靠在竖直于地面的支架 BC上，倾斜角为α.为提高发电效率，将底端A 沿CA方向移动到点 A'，顶端 B向下滑动到点 B'，此时倾斜角为β，则顶端下降的垂直高度BB'为（　　)
A．（2sinβ-2sinα)米 B．（2sinα-2sinβ)米
C．（2cosβ-2cosα)米 D．（2cosα-2cosβ)米
2．如图，在△ABC中，CA=CB，，∠ABC=α，将△ABC绕点B逆时针旋转2α，得到△A'BC'，连结CC'，当C，C'、A'三点共线时，则的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
3．如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是，测得这栋楼的底部B处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是36米；那么这栋楼的高度是　 　米（精确到0.01米）．（参考数据：，，，）
4．如图，一卫星运行到地球表面 P 点的正上方A 点时，可观测到地球表面一个最远的点 Q.已知地球半径约为6400km，在Rt△AOQ中，测得 sinα=0.8，则卫星到地面高度AP 约为　 　km.
5．如图①，是我国传统中式建筑中较为常见的支摘窗，具有古朴的外观和实用的功能，窗户的上窗扇可绕窗顶的转轴向上推开，形成一个倾斜的角度，当关闭窗户时窗扇的边与窗户重合，AB=BC=50cm.如图②，当窗户推开角度∠B=α（sinα=0.8），则支撑窗扇的杆子AC长为　 　cm.
6．如图，钝角三角形ABC绕点A 逆时针旋转得到△AB'C'，点 C'在直线BC上， 已知 则AC的长为　 　.
三、解答题
7．先化简，再求值：，其中x＝tan60°．
8．计算：．
9．图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点．顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺按要求作图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中画出的边上的中线．
（2）在图②中的边上确定一点，使．
（3）在图③中的边上确定一点，使．
10．如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，点E，点F分别是AC、BC的中点，连结EF、BE，过点A作AD∥BE交FE的延长线于点D.
（1）求证：四边形ABED为平行四边形.
（2）若，求线段AD的长.
11． 如图，在矩形ABCD中，点E在边 BC上，以E为圆心，BE长为半径画弧交边 CD于点F，连结BF交线段AE于点 P，恰有AB=AP，连结EF.
（1）判断AE与EF的位置关系，并说明理由.
（2）若 求PE的长.
12．
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E.
①若求BC的长；
②试探究是否为定值.如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.
（2）如图2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF=2∠CBG，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥AC，交CB的延长线于点E.记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BDE的面积为求cos∠CBD的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；拥抱模型（交叉模型）
【解析】【解答】解：由题意得：AB=A'B'=2米，
在 中，
(米)，
在 中，
(米)，
米，
∴顶端下降的垂直高度BB'为 米，
故答案为：B.
【分析】根据题意可得：AB=A'B'=2米，然后分别在 C和 中，利用锐角三角函数的定义求出BC和B'C的长，从而进行计算即可解答.
2．【答案】B
【知识点】弧长的计算；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，CA=CB，
∴∠BAC=∠ABC=α，
∴∠ACB=180°-2α．
∵将△ABC绕点B逆时针旋转2α得到△A'BC'，
∴BC=BC'，，∠A'C'B=∠ACB=180°-2α，旋转角∠CBC'=2α．
∵BC=BC'，
∴△BCC'为等腰三角形，底角．
∵C，C'，A'三点共线，
∴∠BC'C+∠A'C'B=180°，即(90°-α)+(180°-2α)=180°，解得α=30°，
∴旋转角∠CBC'=2α=60°．
设CD交AB于D，
∵CA=CB，
∴D为AB中点，．
在Rt△BCD中，，即，解得BC=4，
∴的半径r=BC=4，圆心角n=60°，根据弧长公式，得．
故答案为：B.
【分析】先利用等腰三角形性质，得到∠ACB=180°-2α；再根据旋转的性质和等腰三角形底角公式求出∠BC'C=90°-α；接着利用C，C'，A'三点共线的条件，建立方程(90°-α)+(180°-2α)=180°，解得α=30°，从而得到圆心角∠CBC'=60°；然后在Rt△BCD中，利用，解得半径BC=4；最后代入弧长公式，计算得弧长为 ．
3．【答案】89.28
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；背靠背模型
【解析】【解答】解：作，由题意，米，
在中，米，
在中，米，
∴；
故这栋楼的高度是89.28米；
故答案为：89.28．
【分析】过点A作AD⊥BC，在Rt△ADC中，由正切函数的定义及∠CAD的正切函数值可求出CD，在Rt△ADB中， 由正切函数的定义及∠BAD的正切函数值可求出BD的长，最后根据BC=BD+CD可得答案.
4．【答案】1600
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：在 中，
∴卫星到地面高度AP约为1600km，
故答案为： 1600.
【分析】在 中，利用锐角三角函数的定义求出OA的长，然后进行计算即可解答.
5．【答案】20
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，过A点作AD⊥BC于点D，
∵在Rt△ABD中， ∠ADB=90°， ∠B =α(sinα=0.8)， AB=50cm，
∴AD=AB·sinα=50×0.8=40(cm)，
，
∵BC=50cm，
∴CD=BC-BD=20(cm)，
m)，
故答案为：
【分析】根据题意，作AD⊥BC，在Rt△ABD中求出AD，利用勾股定理求BD，则得到CD长，利用勾股定理即可求出AC长.
6．【答案】
【知识点】旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长交于点H，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴ 在中，，
∴ 设，则，
∵，，
∴，，
∵绕点旋转得到，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∴ 设，
∵，
∴，即，
∴，
∴ 在中，由勾股定理得，
∴，
∴ 代入得，
∴整理，得，
∴ 解得或，
∴ 当时，，不合题意，舍去，
∴，
∴，，
∴ 在中，．
故答案为： .
【分析】延长交于点H，根据正切的定义设，，则，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例求出y与x的关系式，在中根据勾股定理求出x的值，然后在中根据勾股定理解答即可.
7．【答案】解：原式 ，
，
当x＝tan60°时，
原式（）（2）＝﹣5﹣3．
【知识点】求特殊角的三角函数值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先通分计算，然后运用分式的除法法则进一步化简，最后计算特殊角的三角函数值，代入即可.
8．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先分别计算零指数幂，负整数指数幂，化简二次根式和特殊角的三角函数值，然后再进行加减运算即可.
9．【答案】（1）解：如图①，即为所求．
（2）解：如图②，取格点，使，且，连接交于点，
则点即为所求．
（3）如图③，取格点，，使，且，连接交于点，
则，
则，
即，
则点即为所求．
【知识点】解直角三角形；三角形的中线
【解析】【分析】（1）三角形的中线是连接顶点和对边中点的线段；
（2）取格点，使，且，连接，与的交点即为点．
（3）取格点，，使，且，连接交于点，则点即为所求．
（1）解：如图①，即为所求．
（2）解：如图②，取格点，使，且，连接交于点，
则点即为所求．
（3）如图③，取格点，，使，且，连接交于点，
则，
则，
即，
则点即为所求．
10．【答案】（1）证明：∵点E，点F分别是AC、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，
∴DE∥AB，
∵AD∥BE，
∴四边形ABED为平行四边形
（2）解：∵EF是△ABC的中位线，且EF=1，
∴AB=2EF=2．
在Rt△ABC中，，代入AB=2，得，解得AC=6．
∵E是AC中点，
∴．
在Rt△ABE中，由勾股定理，得.
∵四边形ABED是平行四边形，
∴
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）先利用三角形中位线定理证明EF∥AB，从而得到DE∥AB，再结合已知的AD∥BE，根据平行四边形的判定定理即可证明；
（2）先由中位线性质求出AB=2，再根据 若 求出AC=6，进而得到AE=3，在Rt△ABE中用勾股定理算出，最后利用平行四边形对边相等的性质，得出．
11．【答案】（1）解：AE⊥EF.
理由如下：
因为AB=AP，
所以∠ABP=∠APB=∠EPF，
因为BE=EF，
所以∠EBF=∠BFE.
又因为∠ABP+∠EBF=90°，
所以∠EPF+∠BFE=90°.
因为∠AEF=180°-∠EPF-∠BFE=180°-90°=90°.
所以AE⊥EF.
（2）解：因为 AE⊥EF， tan∠BFE=
所以
设PE=x，则BE=EF=3x，
在 Rt△ABE中，由 得
解得 (舍去)，
所以PE=x=1.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及对顶角相等可得，，即可得到，根据三角形内角和定理求出，证明结论即可；
（2）根据正切的定义得到，设，则，在中根据勾股定理求出x的值解答即可．
12．【答案】（1）解：①∵CD平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
②∵，
∴．
由①可得，
∴．
∴．
∴是定值，定值为1
（2）解：过点D作DH⊥EC于点H，DM⊥AF于点M，
∵DC平分∠BCF，
∴HD=DM，
∴，
∵CD平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴
∵，
∴．
∵
∴，
又∵，
∴，
设，则．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴（取正值）
如图，过点D作于H．
∵，
∴．
∴
【知识点】三角形外角的概念及性质；相似三角形的判定；角平分线的概念；求余弦值；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）①根据角平分线的定义和平行线的性质得到，进而根据两角对应相等得到，再根据对应边成比例解答即可；
②根据平行线可得，由①可得，然后求差解答即可；
（2）过点D作DH⊥EC于点H，DM⊥AF于点M，利用角平分线的性质可证得HD=DM，利用三角形的面积公式可证得，再证明，利用平行线的性质可推出，利用等边对等角可证得CE=DE，据此可得到；利用平行可证得△BDE∽△BAC，利用相似三角形的性质及三角形的面积公式可推出，将两个式子相乘，可推出，结合已知条件可得到BC与CE的比值，设，则；利用平行可证得，利用相似三角形的性质可表示出CD的长，过点D作于H，利用等腰三角形三线合一的性质可表示出BH的长，然后利用余弦的定义可求出cos∠CBD的值.
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