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5月下旬之函数—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．已知抛物线 (k为常数) ，点 P(m， s) ， Q(m+2， s) ， N(2， t)在抛物线上，且满足sA．m>2 B．m<2 C．m>-2 D．m<-2
2．已知函数 (c，k为常数)的部分图象如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．ck<0 B．ck>0 C．c-k<0 D．c-k>0
3． 如图，在平面直角坐标系中，A(-2，-3)，B(3， 7)， 点P是线段AB上(含端点) 的一点，将点B绕着点 P逆时针旋转 90°得到点 M，若点 M在反比例函数 的图像上，则k的最小值为(　　)
A．-24 B．-27 C．-28 D．-30
4．化学有机物及其结构式见下表，若结构式中的C(碳原子)的个数记为x，H(氢原子)的个数记为y，则由结构式可知y与x满足的关系式是 (　　)
名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷
结构式
A． B．y=4x C． D．y=2x+2
5． 在平面直角坐标系xOy中，点A(-2， 4)， B(3， 9)，由线段AB与抛物线的一段 组成的图形C，如图所示.若将图形C上的一点 P 先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后仍在图形C上，则这样的点 P 的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图1，一个立方体箱子（侧面为正方形ABCD)沿着足够长的斜坡从点E向点F运动，过点C作CH⊥EG于点H，设AE为x，CH-EH的值为y.如图2，y关于x的函数图象与x轴交于点P（6， 0) ，且经过点M（11， m) .若 则下列选项正确的是（　　)
A．m=-1.2 B．AB=0.8
C．点（5， 0.2)在该函数图象上 D．点N的纵坐标是2
7． 如图1，在△ABC中，AC=BC， ∠C=90°. D是AB上一点， CD 的中垂线交△ABC的边于点E，F.记AD=x，四边形 CEDF面积为y，利用数学软件画出y关于x的函数图象如图2所示，其中一个最高点 M坐标为(m，t)，一个最低点N坐标为(n，8)，下列选项正确的是 (　　)
A．m=2.5 B．
C． D．点 在该函数图象上
8．如图①，矩形ABCD中，AB=6，点Q从点A出发向终点B匀速运动；同时点P以不同于点Q的速度从点B出发向终点C匀速运动.期间△DPQ的面积S与时间t的函数图象如图②所示，当t=4秒时，S取得最小值；当t≥6秒时，函数图象是一条线段.则下列说法错误的是（　　）
A．线段AD的长度为16
B．Q的速度为每秒1个单位长度
C．当点P运动至BC中点时，△DPQ的面积最小
D．△DPQ的面积的最小值为36
二、填空题
9．某品牌新能源汽车搭载了一块容量为 100kW·h(千瓦时)的电池组．在使用“超级快充”桩充电时，充电功率 P(单位：KW)与充满电所需的时间 t(单位：h)满足反比例函数关系．若将充电功率提升至原来的 1.5 倍，则充满电所需的时间将缩短　 　h(用含 t 的代数式表示).
10．如图，在 Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点A，B，C分别在双曲线 x轴负半轴和直线y=3x上.若AC⊥OC，点C的横坐标为2，则k的值为　 　.
三、解答题
11．二次函数经过（1，1），（-1，5）两点.
（1）求该二次函数解析式；
（2）当2≤y≤4时，求x的取值范围；
（3）点P（p，n），Q（q，n+1）的坐标均在第（2）小题的取值范围内，且q>p，求q-p的取值范围.
12．已知抛物线 （c为常数)经过点A （3， 0).
（1）求抛物线的函数表达式.
（2）若点A向左平移k（k>0)个单位长度，再向上平移t（t>0)个单位长度后，恰好落在抛物线上.当t≤3时，求k的最大值.
（3）点C（m，n)在抛物线上（不与点A重合)，过点C作直线l∥x轴，若直线l与抛物线上A，C两点之间的部分（包含点A，C)只有一个交点时，求m的取值范围.
13．已知二次函数 且a为常数).
（1）当a=1时，求该二次函数图象的顶点坐标.
（2）是否存在实数a，使得对于任意实数t，当x取2+t和2-t时，对应的函数值始终相等 若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
（3）当1x始终成立，直接写出a的取值范围.
14．一次函数 的图象记为（ 二次函数 的图象记为（ 其中为常数，m≠0.
（1）当m=1时，求 的顶点坐标.
（2）求证：（ 与 一定有交点.
（3）点A（n，p)与点B（n，q)分别在（ 上，若n-m=1且-115．已知抛物线 过点(3， 0)．
（1）求这个抛物线的函数表达式．
（2） 点A(m， n) ，B(m+2， t) 是抛物线上两点．
①当n=t时，求t的值，
②当 时，求n-t的取值范围．
16．已知二次函数 其函数图象顶点为 P.
（1）记与y轴交点为A，求直线 PA 的函数表达式(含a的代数式表示).
（2）若将点 P向上平移4个单位，向右平移2个单位，还是在该函数图象上.
①求a的值.
②当m-2≤x≤m时，该函数的最大值与最小值的差为2m，求m的值.
17．对于密闭容器内的气体，温度在一定范围内，其压强p(单位：kPa)是温度t(单位：℃)的某种函数关系．现测得某密闭容器内气体的压强p与温度 之间的部分数据如表所示：
温度t/℃ 0 100 200 300
压强p/kPa 550 750 950 1150
（1）求P关于t的函数表达式．
（2）通常情况下，当压强不超过1200kPa时，该容器是安全的(否则会有破裂甚至爆炸的风险)，求该容器安全时的温度范围．
18．如图，二次函数 (a为常数，且a≠0) 的图象在同一平面直角坐标系中，且的图象过点(4， 0) ．
（1）求a的值．
（2）与x轴平行的直线l与y1的图象交于A，B两点，记点A，B的横坐标分别是xA，xB，且 当 时，求y2的函数值的取值范围．
（3）已知点(m， n)， (m+k， n)(其中m≥1， k>0)分别在y1，y2图象上，求k的最小值．
19．综合与实践
【问题背景】近年，省教育厅明确将“坚持健康第一的教育理念”纳入中考体育方案，部署“六大行动”，要求把“健康第一”从口号转变为硬任务．我校九年级以“强体魄，迎中考”为主题，针对中考球类项目举办校园篮球定点投篮赛．
素材1 学校组织九年级5个班级各抽5名学生进行定点投篮赛，采用抽签的形式决定参赛顺序，以参赛学生个人得分总和为班级得分．
素材2 说明：经赛前进行投篮实践检测，得到如下结论． （1）篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足时，篮球即可命中篮筐． （2）投篮后，如果篮球（P）不接触篮板、篮筐，且运动轨迹恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”． （3）篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，某一个同学在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变．
素材3 如图所示，本次比赛中某同学初次投篮时的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 他篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米（国际标准高度为米，为了计算方便取3米），篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米．
【问题解决】认真阅读以上素材内容，完成下列问题；
（1）任务一：这个同学投篮时，篮球运动轨迹所成抛物线的顶点坐标为　 　；
（2）任务二：该同学初次投篮时能否命中篮筐，请说明理由；
（3）任务三：该班数学兴趣小组同学对该同学的初次投篮数据进行研究后，让该同学在原来位置向前走了d米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求d的值（保留根号）．
20．某校物理兴趣小组举办“水火箭”发射距离比赛，如图是甲组的水火箭实物图.王老师用频闪照相机记录并测量甲组的水火箭的飞行水平距离 x米和飞行高度y米的数据，记录数据如下表：
照相机频闪时间t/s 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ……
水平距离 x/米 0 5 10 15 20 25 30 ……
飞行高度 y/米 0 4.5 8 10.5 12 12.5 12 ……
（1）根据表格中的数据描点，连线，发现y与x近似地满足二次函数关系，请写出y与x之间的函数表达式；
（2）根据表格数据，可知水平距离x与时间t满足关系式 x=10t.根据比赛规定，在水平距离相同的情况下，飞行高度不低于8米的持续时间越长成绩越好.求甲组水火箭飞行高度不低于8米的持续时间；
（3）乙组的水火箭与甲组的水火箭同时从同一高度发射，已知乙组水火箭的飞行高度y(米)与水平距离x(米)满足函数关系 当水平距离为多少米时，两组水火箭的高度差最大 最大高度差是多少
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：点，，在抛物线上，
抛物线对称轴为，
到对称轴的距离为1，
时，，且，抛物线开口向上，
当时，
，即，
或，解得或，
当时，
，即，
平方得，，整理得，
解得，
综上，时，．
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的的对称性得到对称轴，再利用抛物线开口向上，得到离对称轴越远的的点的函数值越大得到，，解出m的取值范围即可．
2．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由所给函数图象可知，
因为函数图象与y轴交于正半轴，
所以
即c>0；
当横坐标是一个很小的负数时，函数值小于零，所以k>0，
显然只有B选项符合题意.
故选：B.
【分析】根据所给函数图象，对所给选项依次进行判断即可.
3．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；旋转的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：已知A(-2， - 3)， B(3， 7)，设解析式为y= kx+b，代入两点坐标：
解得： k=2， b=1，
∴直线AB的解析式为y=2x+1，
设点P的坐标为(t， 2t+1)，
点B(3， 7)绕点P(t， 2t+1)逆时针旋转 90°，
根据旋转性质，可得点M的坐标为： M(2t-3， 10-t)，
∵点M在反比例函数 的图象上，
∴k=(2t-3)(10-t)，
整理得： 这是一个开口向下的二次函数，对称轴为
∵点P在线段 AB 上，
∴t的取值范围是-2≤t≤3，
∵二次函数开口向下，
在对称轴左侧，k随t的增大而增大.因此，当t取最小值时， k也取得最小值.
当t=0时， M(-3， 10)， k=-30；
当 时， M(-6， 11.5)， k=-69(无此选项)，
结合题目选项，当 时， M(0， 8.5)(不在函数上)，
当t=0时k=-30，
当 时，离对称轴更近的t=0不是正确的最小值点.
正确计算当2t-3=-3时， t=0， k=-30；
当10-t=9时， t=1， M(-1， 9)， k=-9；
当2t-3=-3且10-t=9时， t=0， k=-27.
因此， k的最小值为-27.
故选： B.
【分析】先求出直线 AB 的解析式，再用“一线三直角”模型，写出点B 绕点 P 逆时针旋转 90°后，点 M的坐标，把点 M 的坐标代入反比例函数，把k表示成关于点 P 横坐标的二次函数，再根据二次函数的性质求最小值.
4．【答案】D
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：根据题意，绘制如下表格：
碳原子个数x (个) 1 2 3 4
氢原子个数y(个) 4 6 8 10
根据表格，x增加1，y增加2，
则y=4+2(x-1)=2x+2，
∴C与H满足的关系式是y=2x+2.
故选： D.
【分析】根据结构式，列表格反映x和y的对应关系，再根据变量的变化规律写出y与x的函数关系式即可.
5．【答案】B
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；用坐标表示平移；一次函数图象上点的坐标特征；分类讨论
【解析】【解答】解：设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设点P的横坐标为m，则，
当点P在线段上时，此时点P的坐标为，
∵将图形C上的一点P先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后仍在图形C上，
∴点在图形C上，
∴或，
∴（舍去）或；
当点P在抛物线上时，此时点P的坐标为，
∵将图形C上的一点P先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后仍在图形C上，
∴点在图形C上，
∴或，
∴（舍去）或（舍去）或；
∴这样的点P的个数为2个．
故答案为：B.
【分析】先根据待定系数法求出直线的解析式，设点P的横坐标为m，分为当点P在线段上，当点P在抛物线上两种情况，根据平移得到平移后的点的坐标，代入解析式计算求出m的值解答即可．
6．【答案】C
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设正方形的边长为a，CH与EF交于点K，
∵∠AEH+∠EAH=∠BCK+∠CKB=90°，
∴∠AEH=∠BCK，
∴tan∠E=tan∠BCK=，即，
∴，，
∴，
∴，，，
∴，即EH=，
∴，
∵过点(6，0)，
∴，解得a=1，故B错误；
∴，
当x=11时，，故A错误；
当x=5时，，故C正确；
当x=0时，y=，故D错误；
故答案为：C.
【分析】：设正方形的边长为a，CH与EF交于点K，根据正切的定义求出BK长，再用EH表示HK的长，根据勾股定理求出EK和CK长，进而表示，然后把P点坐标代入求出a=1，的到解析式为，然后逐项判断解答即可.
7．【答案】C
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；动点问题的函数图象；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵△ABC是轴对称图形，
∴当点D在AB的中点处时，四边形CEDF的面积最小，如图所示，则CEDF是正方形，
∴CD=EF，
∴，
解得CD=4，
∴n=，AB=8，
故B选项错误；
当点F与点B重合时，四边形CEDF的面积最大，
这时，AD=DE=CE，BC=BD，
∵AB=8，
∴BC=，
∴，，
故A错误，C正确；
如图，当x=3时，点F在BC边上，过点E，F作EM⊥AB，FN⊥AB于点N，
设AM=EM=x，则AE=，，
∴AD=3-x，
在Rt△DEM中，EM2+DM2=DE2，即，
解得，
∴，
又∵∠DEM+∠EDM=∠FDN+∠EDM=90°，
∴∠DEM=∠FDN，
∴tan∠MED=tan∠FDN，即，，
又∵NF=BN，BD=5，
∴，
∴，
故D错误，
故答案为：C.
【分析】当点D在AB的中点处时，四边形CEDF的面积最小，根据正方形的面积公式求出CD长，即可得到AB长，判断A选项；点F与点B重合时，四边形CEDF的面积最大，求出AD长和四边形的面积判断A和C选项；当x=3时，点F在BC边上，过点E，F作EM⊥AB，FN⊥AB于点N，设AM=EM=x，根据勾股定理求出AE长，再利用正切的定义求出FN的长，求出y的值判断D选项解答即可.
8．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；几何图形的面积计算-割补法；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：观察图①和图②可知当t=0时，S=48，此时S的面积为矩形ABCD的一半，
故矩形面积为96，即
故 故A选项正确；
时，函数图象变为一条线段，
∴此时Q点已经运动到终点B，故Q的速度为6÷6=1单位/s，故B选项正确；
设点P的运动速度为v单位/s，则根据
即
S为关于x的二次函数，其对称轴为直线 故v=2，
当t=4时，S最小，此时点P走了2×4=8，故点P运动至BC的中点，故C选项正确；
当t=4时， 故D选项错误，
故答案为：D.
【分析】观察图①和图②可知当t=0时，此时S的面积为矩形ABCD的一半，可求矩形的长，可判断A；
当 时，函数图象变为一条线段，故此时Q点已经运动到终点B，故可求Q点速度，可判断B；
根据设点P的运动速度为v单位/s，进而求出， 根据二次函数的性质可判断C、D选项.
9．【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设将充电功率提升后，充电功率为，充满电所需的时间为，
根据题意，，，又，
，即，
解得，
，
则充满电所需的时间将缩短．
故答案为：．
【分析】设充电功率提升后充电功率为，充满电所需的时间为，根据，求出t'，然后解答即可．
10．【答案】-63
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，过点A作轴于点D，轴于点G，过点C作轴于点F，交于点E，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点C在直线上，点C的横坐标为2，
∴点，
∴，
设，则，，
∴，
解得：，
∴，
∴点A的坐标为，
把点代入，得：．
故答案为： -63.
【分析】过点A作轴于点D，轴于点G，过点C作轴于点F，交于点E，则，根据AAS得到，即可得到，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例得到，求出点，即可得到，设，根据比例式列方程求出x的值，即可得到点A的坐标，然后代入解析式即可求出k的值．
11．【答案】（1）解：将(1，1)，(-1，5)代入解析式得
解得
∴函数解析式为
（2）当y=2时，x=0或2
当y=4时，或
由图象可知：或
（3）当y=3时，或
当b>a>2时，
即
当b>2>0>a时，
即
或
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)利用待定系数法可得二次函数的解析式；
(2)在 中，令y=4得x = 1± 令y=2得x=0或x=2，由图可知当2 时，x的取值范围解答即可.
(3)依据题意，当y=3时， 或 当q>p>2时， 当q>2>0>p时， 从而可以得解.
12．【答案】（1）解：把A (3， 0)代入
得9-12+c=0，即c=3，
∴抛物线的函数表达式为
（2）解：当x=0时， y=3.
∴抛物线与y轴的交点坐标为(0， 3).
由图像可得，0∴t=3时，点A向上平移3个单位，再向左平移3个单位后，恰好落在抛物线上.
即k的最大值为3.
（3）解：∵对称轴为直线x=2，
∴点A关于直线x=2的对称点坐标为B(1， 0)，当m<1时，点C在点B左侧，仅有1个交点，当1≤m<2时，点C在点B右侧(或与点B重合)且对称轴左侧，有2个交点，
当2≤m<3时，点C在对称轴右侧(或对称轴上)且点A左侧，仅有1个交点，
当m>3时，点C在点A右侧，仅有一个交点，综上所述， m<1或2≤m<3或m>3.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)把(3，0)代入解析式得出c即可；
(2)根据0(3)求抛物线与x轴的两个交点，结合题意抛物线上A，C两点之间的部分只有一个交点，得出m的取值范围.
13．【答案】（1）解：把a=1代入，得
∴顶点坐标为
（2）解：存在.
∵当x=2+t及x=2-t时，对应的函数值相等
∴对称轴为直线
即
解得
（3）且a≠0
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用；分类讨论
【解析】【解答】解：（3）当1＜x＜2时，y＞x恒成立
∴
∴ax2+2ax+2＞0
设m=ax2+2ax+2（a≠0），
对称轴为直线，
当a＞0时，抛物线的开口向上，
∴当x＞-1时，y随x的增大而增大，
∵1和2都在对称轴的右侧，
∴当x=1时m的值最小，
∴当x=1时m=a+2a+2=3a+2，
∴a＞0时3a+2＞0即，满足m＞0成立；
当a＜0时，抛物线的开口向下，
当x＞-1时y随x的增大而减小，
∴当x=2时m的值最小，最小值为m=4a+4a+2=8a+2≥0
解之：
，
综上所述，a的取值范围为且a≠0．
故答案为：且a≠0．
【分析】（1）当a=1时，得到二次函数的一般式，化为顶点式得到顶点坐标即可；
（2）根据二次函数的对称轴公式列方程解答即可；
（3）利用已知可得到ax2+2ax+2＞0，设m=ax2+2ax+2（a≠0），可求出此抛物线的对称轴，分情况讨论：当a＞0时，当x＞-1时，y随x的增大而增大，可知此时当x=1时m的值最小，可得到关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围；当a＜0时，当x＞-1时y随x的增大而减小，此时当x=2时m的值最小，可得到关于a的不等式，求出不等式的解集，综上所述可得到符合题意的a的取值范围.
14．【答案】（1）解：当m=1时，C2解析式为： ，
故C2的顶点坐标为(1，0)。
（2）证明：因为
y1=x-m，
所以C1与C2一定有一个交点(m，0).
（3）解：因为p=n-m，q=(mn-1)(n-m)，
所以AB=|p-q|=|< mn-2)(n-m)|.
因为n-m=1，所以AB=|(n-1)n-2|.
因为-1【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】(1)代入m=1，写出C2的解析式，用配方法求出顶点坐标。
(2)将y2进行因式分解，即可发现与y1有交点。
(3)由n-m=1得n=m+1，表示出A、B纵坐标的差值q一p，得到关于m的函数，结合定义域求最大值。
15．【答案】（1）解：将点(3， 0)代入
得9a+9=0，所以a=-1
所以二次函数的表达式为
（2）解：①抛物线 的对称轴为直线
因为n=t，所以A，B两点关于直线x=1对称轴对称，
即 得m=0．
将x=0代入，得到t=3．
②将A(m， n)， B(m+2， t)代入
得，，
则n-t=4m
由n≥0，得的 解得-1≤m≤3
因为n-t=4m是关于m的一次函数
所以n-t的取值范围是-4≤n-t≤12．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用；一元二次不等式
【解析】【分析】（1）把点代入解析式求出a的值解答即可；
（2）①当时，根据二次函数的对称性求出m的值解答即可；
②把点A，B代入解析式，求差可得，由可得，进而可得n-t的取值范围．
16．【答案】（1）解：对于，令，则
∴点，
∵，
∴顶点
设直线的函数表达式，
∴，
∴，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：①∵，
∴将点P向上平移4个单位，向右平移2个单位后，对应点的坐标为，
∵平移后的还是在该函数图象上，
∴，
解得；
②∵，
∴，
当时，，解得（舍）；
当时，，
解得（舍），；
当时，，
解得（舍），（舍）；
当时，，解得；
∴m的值为和4．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）令x=0求出y的值，得到抛物线与轴的交点，配方为顶点式求出顶点的坐标，然后代入直线解析式得到k=-a解答即可；
（2）①根据平移得到点P的对应点，然后代入解析式求出a的值即可；
②分，，三种情况根据二次函数的增减性得到最大值和最小值，然后列方程求出m的值解答即可．
17．【答案】（1）解：因为P随t的变化而均匀变化，所以P是t的一次函数．
设P与t之间的函数关系式为P= kt+b (k、b为常数，且k≠0)，将t=0， P=550和t=100， P=750分别代入 P= kt+b，得
解得
所以P与t之间的函数关系式为P=2t+550．
（2）解：由题意得， P≤1200，得2t+550≤1200，
解得t≤325，
答：容器安全时的温度范围为0℃≤t≤325℃．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据表格数据得到符合一次函数形式，利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）令 P≤1200，解不等式求出t的取值范围即可．
18．【答案】（1）解：由题意， 的图象过点(4，0)，
（2）解： 的图象对称轴为直线x=1，
又
的图象对称轴为直线x=2，
∴y2的取值范围-2≤y≤1.125；
（3）解：由题意， 将(m， n)， (m+k， n)分别代入y1，y2得，
∴k的最小值为2.

【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用一般式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)依据题意，由 的图象过点(4，0)，则16a-8=0，从而可得a=0.5，即可得解；
(2)依据题意，由 的图象对称轴为直线x=1，则 结合 可得 从而 又 可得对称轴为直线x=2，从而可以得解；
(3)依据题意，将(m， n)，((m+k，n)分别代入 y2得， 则 可得 又k>0，从而可以得解.
19．【答案】（1）（3，4）
（2）解：该同学初次投篮时不能命中篮筐．
理由：由题意得：点，抛物线顶点，
设抛物线的解析式为，
，
解得：，
．
当时，，
∵时，篮球可命中篮筐，
∴该同学初次投篮时不能命中篮筐；
（3）解：新的抛物线解析式为：，
根据题意得抛物线过点，
∴，
解得：或，
当时，抛物线的顶点坐标为，此时，不符合题意，舍去，
答：的值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
20．【答案】（1）解：设
将 (0，0)、(10，8)、(20，12) 代入， 得
（2）解：令
∴x1=10，x2=40
将 x1=10， x2=40 代入得 x=10t，
得 t1=1， t2=4
∴持续时间 4-1=3 秒
（3）解：设高度差为 h
∴当水平距离为20米时，最大高度差为4米
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-抛球问题；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）令，则有，求出x的值，然后代入x=10t，得到时间t的值，求差解答即可；
（3）设高度差为h，得到h关于x的二次函数，配方得到顶点式，即可求出对大值解答即可．
1 / 15月下旬之函数—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．已知抛物线 (k为常数) ，点 P(m， s) ， Q(m+2， s) ， N(2， t)在抛物线上，且满足sA．m>2 B．m<2 C．m>-2 D．m<-2
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：点，，在抛物线上，
抛物线对称轴为，
到对称轴的距离为1，
时，，且，抛物线开口向上，
当时，
，即，
或，解得或，
当时，
，即，
平方得，，整理得，
解得，
综上，时，．
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的的对称性得到对称轴，再利用抛物线开口向上，得到离对称轴越远的的点的函数值越大得到，，解出m的取值范围即可．
2．已知函数 (c，k为常数)的部分图象如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．ck<0 B．ck>0 C．c-k<0 D．c-k>0
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由所给函数图象可知，
因为函数图象与y轴交于正半轴，
所以
即c>0；
当横坐标是一个很小的负数时，函数值小于零，所以k>0，
显然只有B选项符合题意.
故选：B.
【分析】根据所给函数图象，对所给选项依次进行判断即可.
3． 如图，在平面直角坐标系中，A(-2，-3)，B(3， 7)， 点P是线段AB上(含端点) 的一点，将点B绕着点 P逆时针旋转 90°得到点 M，若点 M在反比例函数 的图像上，则k的最小值为(　　)
A．-24 B．-27 C．-28 D．-30
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；旋转的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：已知A(-2， - 3)， B(3， 7)，设解析式为y= kx+b，代入两点坐标：
解得： k=2， b=1，
∴直线AB的解析式为y=2x+1，
设点P的坐标为(t， 2t+1)，
点B(3， 7)绕点P(t， 2t+1)逆时针旋转 90°，
根据旋转性质，可得点M的坐标为： M(2t-3， 10-t)，
∵点M在反比例函数 的图象上，
∴k=(2t-3)(10-t)，
整理得： 这是一个开口向下的二次函数，对称轴为
∵点P在线段 AB 上，
∴t的取值范围是-2≤t≤3，
∵二次函数开口向下，
在对称轴左侧，k随t的增大而增大.因此，当t取最小值时， k也取得最小值.
当t=0时， M(-3， 10)， k=-30；
当 时， M(-6， 11.5)， k=-69(无此选项)，
结合题目选项，当 时， M(0， 8.5)(不在函数上)，
当t=0时k=-30，
当 时，离对称轴更近的t=0不是正确的最小值点.
正确计算当2t-3=-3时， t=0， k=-30；
当10-t=9时， t=1， M(-1， 9)， k=-9；
当2t-3=-3且10-t=9时， t=0， k=-27.
因此， k的最小值为-27.
故选： B.
【分析】先求出直线 AB 的解析式，再用“一线三直角”模型，写出点B 绕点 P 逆时针旋转 90°后，点 M的坐标，把点 M 的坐标代入反比例函数，把k表示成关于点 P 横坐标的二次函数，再根据二次函数的性质求最小值.
4．化学有机物及其结构式见下表，若结构式中的C(碳原子)的个数记为x，H(氢原子)的个数记为y，则由结构式可知y与x满足的关系式是 (　　)
名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷
结构式
A． B．y=4x C． D．y=2x+2
【答案】D
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：根据题意，绘制如下表格：
碳原子个数x (个) 1 2 3 4
氢原子个数y(个) 4 6 8 10
根据表格，x增加1，y增加2，
则y=4+2(x-1)=2x+2，
∴C与H满足的关系式是y=2x+2.
故选： D.
【分析】根据结构式，列表格反映x和y的对应关系，再根据变量的变化规律写出y与x的函数关系式即可.
5． 在平面直角坐标系xOy中，点A(-2， 4)， B(3， 9)，由线段AB与抛物线的一段 组成的图形C，如图所示.若将图形C上的一点 P 先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后仍在图形C上，则这样的点 P 的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；用坐标表示平移；一次函数图象上点的坐标特征；分类讨论
【解析】【解答】解：设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设点P的横坐标为m，则，
当点P在线段上时，此时点P的坐标为，
∵将图形C上的一点P先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后仍在图形C上，
∴点在图形C上，
∴或，
∴（舍去）或；
当点P在抛物线上时，此时点P的坐标为，
∵将图形C上的一点P先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后仍在图形C上，
∴点在图形C上，
∴或，
∴（舍去）或（舍去）或；
∴这样的点P的个数为2个．
故答案为：B.
【分析】先根据待定系数法求出直线的解析式，设点P的横坐标为m，分为当点P在线段上，当点P在抛物线上两种情况，根据平移得到平移后的点的坐标，代入解析式计算求出m的值解答即可．
6．如图1，一个立方体箱子（侧面为正方形ABCD)沿着足够长的斜坡从点E向点F运动，过点C作CH⊥EG于点H，设AE为x，CH-EH的值为y.如图2，y关于x的函数图象与x轴交于点P（6， 0) ，且经过点M（11， m) .若 则下列选项正确的是（　　)
A．m=-1.2 B．AB=0.8
C．点（5， 0.2)在该函数图象上 D．点N的纵坐标是2
【答案】C
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设正方形的边长为a，CH与EF交于点K，
∵∠AEH+∠EAH=∠BCK+∠CKB=90°，
∴∠AEH=∠BCK，
∴tan∠E=tan∠BCK=，即，
∴，，
∴，
∴，，，
∴，即EH=，
∴，
∵过点(6，0)，
∴，解得a=1，故B错误；
∴，
当x=11时，，故A错误；
当x=5时，，故C正确；
当x=0时，y=，故D错误；
故答案为：C.
【分析】：设正方形的边长为a，CH与EF交于点K，根据正切的定义求出BK长，再用EH表示HK的长，根据勾股定理求出EK和CK长，进而表示，然后把P点坐标代入求出a=1，的到解析式为，然后逐项判断解答即可.
7． 如图1，在△ABC中，AC=BC， ∠C=90°. D是AB上一点， CD 的中垂线交△ABC的边于点E，F.记AD=x，四边形 CEDF面积为y，利用数学软件画出y关于x的函数图象如图2所示，其中一个最高点 M坐标为(m，t)，一个最低点N坐标为(n，8)，下列选项正确的是 (　　)
A．m=2.5 B．
C． D．点 在该函数图象上
【答案】C
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；动点问题的函数图象；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵△ABC是轴对称图形，
∴当点D在AB的中点处时，四边形CEDF的面积最小，如图所示，则CEDF是正方形，
∴CD=EF，
∴，
解得CD=4，
∴n=，AB=8，
故B选项错误；
当点F与点B重合时，四边形CEDF的面积最大，
这时，AD=DE=CE，BC=BD，
∵AB=8，
∴BC=，
∴，，
故A错误，C正确；
如图，当x=3时，点F在BC边上，过点E，F作EM⊥AB，FN⊥AB于点N，
设AM=EM=x，则AE=，，
∴AD=3-x，
在Rt△DEM中，EM2+DM2=DE2，即，
解得，
∴，
又∵∠DEM+∠EDM=∠FDN+∠EDM=90°，
∴∠DEM=∠FDN，
∴tan∠MED=tan∠FDN，即，，
又∵NF=BN，BD=5，
∴，
∴，
故D错误，
故答案为：C.
【分析】当点D在AB的中点处时，四边形CEDF的面积最小，根据正方形的面积公式求出CD长，即可得到AB长，判断A选项；点F与点B重合时，四边形CEDF的面积最大，求出AD长和四边形的面积判断A和C选项；当x=3时，点F在BC边上，过点E，F作EM⊥AB，FN⊥AB于点N，设AM=EM=x，根据勾股定理求出AE长，再利用正切的定义求出FN的长，求出y的值判断D选项解答即可.
8．如图①，矩形ABCD中，AB=6，点Q从点A出发向终点B匀速运动；同时点P以不同于点Q的速度从点B出发向终点C匀速运动.期间△DPQ的面积S与时间t的函数图象如图②所示，当t=4秒时，S取得最小值；当t≥6秒时，函数图象是一条线段.则下列说法错误的是（　　）
A．线段AD的长度为16
B．Q的速度为每秒1个单位长度
C．当点P运动至BC中点时，△DPQ的面积最小
D．△DPQ的面积的最小值为36
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；几何图形的面积计算-割补法；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：观察图①和图②可知当t=0时，S=48，此时S的面积为矩形ABCD的一半，
故矩形面积为96，即
故 故A选项正确；
时，函数图象变为一条线段，
∴此时Q点已经运动到终点B，故Q的速度为6÷6=1单位/s，故B选项正确；
设点P的运动速度为v单位/s，则根据
即
S为关于x的二次函数，其对称轴为直线 故v=2，
当t=4时，S最小，此时点P走了2×4=8，故点P运动至BC的中点，故C选项正确；
当t=4时， 故D选项错误，
故答案为：D.
【分析】观察图①和图②可知当t=0时，此时S的面积为矩形ABCD的一半，可求矩形的长，可判断A；
当 时，函数图象变为一条线段，故此时Q点已经运动到终点B，故可求Q点速度，可判断B；
根据设点P的运动速度为v单位/s，进而求出， 根据二次函数的性质可判断C、D选项.
二、填空题
9．某品牌新能源汽车搭载了一块容量为 100kW·h(千瓦时)的电池组．在使用“超级快充”桩充电时，充电功率 P(单位：KW)与充满电所需的时间 t(单位：h)满足反比例函数关系．若将充电功率提升至原来的 1.5 倍，则充满电所需的时间将缩短　 　h(用含 t 的代数式表示).
【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设将充电功率提升后，充电功率为，充满电所需的时间为，
根据题意，，，又，
，即，
解得，
，
则充满电所需的时间将缩短．
故答案为：．
【分析】设充电功率提升后充电功率为，充满电所需的时间为，根据，求出t'，然后解答即可．
10．如图，在 Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点A，B，C分别在双曲线 x轴负半轴和直线y=3x上.若AC⊥OC，点C的横坐标为2，则k的值为　 　.
【答案】-63
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，过点A作轴于点D，轴于点G，过点C作轴于点F，交于点E，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点C在直线上，点C的横坐标为2，
∴点，
∴，
设，则，，
∴，
解得：，
∴，
∴点A的坐标为，
把点代入，得：．
故答案为： -63.
【分析】过点A作轴于点D，轴于点G，过点C作轴于点F，交于点E，则，根据AAS得到，即可得到，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例得到，求出点，即可得到，设，根据比例式列方程求出x的值，即可得到点A的坐标，然后代入解析式即可求出k的值．
三、解答题
11．二次函数经过（1，1），（-1，5）两点.
（1）求该二次函数解析式；
（2）当2≤y≤4时，求x的取值范围；
（3）点P（p，n），Q（q，n+1）的坐标均在第（2）小题的取值范围内，且q>p，求q-p的取值范围.
【答案】（1）解：将(1，1)，(-1，5)代入解析式得
解得
∴函数解析式为
（2）当y=2时，x=0或2
当y=4时，或
由图象可知：或
（3）当y=3时，或
当b>a>2时，
即
当b>2>0>a时，
即
或
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)利用待定系数法可得二次函数的解析式；
(2)在 中，令y=4得x = 1± 令y=2得x=0或x=2，由图可知当2 时，x的取值范围解答即可.
(3)依据题意，当y=3时， 或 当q>p>2时， 当q>2>0>p时， 从而可以得解.
12．已知抛物线 （c为常数)经过点A （3， 0).
（1）求抛物线的函数表达式.
（2）若点A向左平移k（k>0)个单位长度，再向上平移t（t>0)个单位长度后，恰好落在抛物线上.当t≤3时，求k的最大值.
（3）点C（m，n)在抛物线上（不与点A重合)，过点C作直线l∥x轴，若直线l与抛物线上A，C两点之间的部分（包含点A，C)只有一个交点时，求m的取值范围.
【答案】（1）解：把A (3， 0)代入
得9-12+c=0，即c=3，
∴抛物线的函数表达式为
（2）解：当x=0时， y=3.
∴抛物线与y轴的交点坐标为(0， 3).
由图像可得，0∴t=3时，点A向上平移3个单位，再向左平移3个单位后，恰好落在抛物线上.
即k的最大值为3.
（3）解：∵对称轴为直线x=2，
∴点A关于直线x=2的对称点坐标为B(1， 0)，当m<1时，点C在点B左侧，仅有1个交点，当1≤m<2时，点C在点B右侧(或与点B重合)且对称轴左侧，有2个交点，
当2≤m<3时，点C在对称轴右侧(或对称轴上)且点A左侧，仅有1个交点，
当m>3时，点C在点A右侧，仅有一个交点，综上所述， m<1或2≤m<3或m>3.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)把(3，0)代入解析式得出c即可；
(2)根据0(3)求抛物线与x轴的两个交点，结合题意抛物线上A，C两点之间的部分只有一个交点，得出m的取值范围.
13．已知二次函数 且a为常数).
（1）当a=1时，求该二次函数图象的顶点坐标.
（2）是否存在实数a，使得对于任意实数t，当x取2+t和2-t时，对应的函数值始终相等 若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
（3）当1x始终成立，直接写出a的取值范围.
【答案】（1）解：把a=1代入，得
∴顶点坐标为
（2）解：存在.
∵当x=2+t及x=2-t时，对应的函数值相等
∴对称轴为直线
即
解得
（3）且a≠0
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用；分类讨论
【解析】【解答】解：（3）当1＜x＜2时，y＞x恒成立
∴
∴ax2+2ax+2＞0
设m=ax2+2ax+2（a≠0），
对称轴为直线，
当a＞0时，抛物线的开口向上，
∴当x＞-1时，y随x的增大而增大，
∵1和2都在对称轴的右侧，
∴当x=1时m的值最小，
∴当x=1时m=a+2a+2=3a+2，
∴a＞0时3a+2＞0即，满足m＞0成立；
当a＜0时，抛物线的开口向下，
当x＞-1时y随x的增大而减小，
∴当x=2时m的值最小，最小值为m=4a+4a+2=8a+2≥0
解之：
，
综上所述，a的取值范围为且a≠0．
故答案为：且a≠0．
【分析】（1）当a=1时，得到二次函数的一般式，化为顶点式得到顶点坐标即可；
（2）根据二次函数的对称轴公式列方程解答即可；
（3）利用已知可得到ax2+2ax+2＞0，设m=ax2+2ax+2（a≠0），可求出此抛物线的对称轴，分情况讨论：当a＞0时，当x＞-1时，y随x的增大而增大，可知此时当x=1时m的值最小，可得到关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围；当a＜0时，当x＞-1时y随x的增大而减小，此时当x=2时m的值最小，可得到关于a的不等式，求出不等式的解集，综上所述可得到符合题意的a的取值范围.
14．一次函数 的图象记为（ 二次函数 的图象记为（ 其中为常数，m≠0.
（1）当m=1时，求 的顶点坐标.
（2）求证：（ 与 一定有交点.
（3）点A（n，p)与点B（n，q)分别在（ 上，若n-m=1且-1【答案】（1）解：当m=1时，C2解析式为： ，
故C2的顶点坐标为(1，0)。
（2）证明：因为
y1=x-m，
所以C1与C2一定有一个交点(m，0).
（3）解：因为p=n-m，q=(mn-1)(n-m)，
所以AB=|p-q|=|< mn-2)(n-m)|.
因为n-m=1，所以AB=|(n-1)n-2|.
因为-1【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】(1)代入m=1，写出C2的解析式，用配方法求出顶点坐标。
(2)将y2进行因式分解，即可发现与y1有交点。
(3)由n-m=1得n=m+1，表示出A、B纵坐标的差值q一p，得到关于m的函数，结合定义域求最大值。
15．已知抛物线 过点(3， 0)．
（1）求这个抛物线的函数表达式．
（2） 点A(m， n) ，B(m+2， t) 是抛物线上两点．
①当n=t时，求t的值，
②当 时，求n-t的取值范围．
【答案】（1）解：将点(3， 0)代入
得9a+9=0，所以a=-1
所以二次函数的表达式为
（2）解：①抛物线 的对称轴为直线
因为n=t，所以A，B两点关于直线x=1对称轴对称，
即 得m=0．
将x=0代入，得到t=3．
②将A(m， n)， B(m+2， t)代入
得，，
则n-t=4m
由n≥0，得的 解得-1≤m≤3
因为n-t=4m是关于m的一次函数
所以n-t的取值范围是-4≤n-t≤12．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用；一元二次不等式
【解析】【分析】（1）把点代入解析式求出a的值解答即可；
（2）①当时，根据二次函数的对称性求出m的值解答即可；
②把点A，B代入解析式，求差可得，由可得，进而可得n-t的取值范围．
16．已知二次函数 其函数图象顶点为 P.
（1）记与y轴交点为A，求直线 PA 的函数表达式(含a的代数式表示).
（2）若将点 P向上平移4个单位，向右平移2个单位，还是在该函数图象上.
①求a的值.
②当m-2≤x≤m时，该函数的最大值与最小值的差为2m，求m的值.
【答案】（1）解：对于，令，则
∴点，
∵，
∴顶点
设直线的函数表达式，
∴，
∴，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：①∵，
∴将点P向上平移4个单位，向右平移2个单位后，对应点的坐标为，
∵平移后的还是在该函数图象上，
∴，
解得；
②∵，
∴，
当时，，解得（舍）；
当时，，
解得（舍），；
当时，，
解得（舍），（舍）；
当时，，解得；
∴m的值为和4．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）令x=0求出y的值，得到抛物线与轴的交点，配方为顶点式求出顶点的坐标，然后代入直线解析式得到k=-a解答即可；
（2）①根据平移得到点P的对应点，然后代入解析式求出a的值即可；
②分，，三种情况根据二次函数的增减性得到最大值和最小值，然后列方程求出m的值解答即可．
17．对于密闭容器内的气体，温度在一定范围内，其压强p(单位：kPa)是温度t(单位：℃)的某种函数关系．现测得某密闭容器内气体的压强p与温度 之间的部分数据如表所示：
温度t/℃ 0 100 200 300
压强p/kPa 550 750 950 1150
（1）求P关于t的函数表达式．
（2）通常情况下，当压强不超过1200kPa时，该容器是安全的(否则会有破裂甚至爆炸的风险)，求该容器安全时的温度范围．
【答案】（1）解：因为P随t的变化而均匀变化，所以P是t的一次函数．
设P与t之间的函数关系式为P= kt+b (k、b为常数，且k≠0)，将t=0， P=550和t=100， P=750分别代入 P= kt+b，得
解得
所以P与t之间的函数关系式为P=2t+550．
（2）解：由题意得， P≤1200，得2t+550≤1200，
解得t≤325，
答：容器安全时的温度范围为0℃≤t≤325℃．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据表格数据得到符合一次函数形式，利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）令 P≤1200，解不等式求出t的取值范围即可．
18．如图，二次函数 (a为常数，且a≠0) 的图象在同一平面直角坐标系中，且的图象过点(4， 0) ．
（1）求a的值．
（2）与x轴平行的直线l与y1的图象交于A，B两点，记点A，B的横坐标分别是xA，xB，且 当 时，求y2的函数值的取值范围．
（3）已知点(m， n)， (m+k， n)(其中m≥1， k>0)分别在y1，y2图象上，求k的最小值．
【答案】（1）解：由题意， 的图象过点(4，0)，
（2）解： 的图象对称轴为直线x=1，
又
的图象对称轴为直线x=2，
∴y2的取值范围-2≤y≤1.125；
（3）解：由题意， 将(m， n)， (m+k， n)分别代入y1，y2得，
∴k的最小值为2.

【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用一般式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)依据题意，由 的图象过点(4，0)，则16a-8=0，从而可得a=0.5，即可得解；
(2)依据题意，由 的图象对称轴为直线x=1，则 结合 可得 从而 又 可得对称轴为直线x=2，从而可以得解；
(3)依据题意，将(m， n)，((m+k，n)分别代入 y2得， 则 可得 又k>0，从而可以得解.
19．综合与实践
【问题背景】近年，省教育厅明确将“坚持健康第一的教育理念”纳入中考体育方案，部署“六大行动”，要求把“健康第一”从口号转变为硬任务．我校九年级以“强体魄，迎中考”为主题，针对中考球类项目举办校园篮球定点投篮赛．
素材1 学校组织九年级5个班级各抽5名学生进行定点投篮赛，采用抽签的形式决定参赛顺序，以参赛学生个人得分总和为班级得分．
素材2 说明：经赛前进行投篮实践检测，得到如下结论． （1）篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足时，篮球即可命中篮筐． （2）投篮后，如果篮球（P）不接触篮板、篮筐，且运动轨迹恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”． （3）篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，某一个同学在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变．
素材3 如图所示，本次比赛中某同学初次投篮时的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 他篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米（国际标准高度为米，为了计算方便取3米），篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米．
【问题解决】认真阅读以上素材内容，完成下列问题；
（1）任务一：这个同学投篮时，篮球运动轨迹所成抛物线的顶点坐标为　 　；
（2）任务二：该同学初次投篮时能否命中篮筐，请说明理由；
（3）任务三：该班数学兴趣小组同学对该同学的初次投篮数据进行研究后，让该同学在原来位置向前走了d米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求d的值（保留根号）．
【答案】（1）（3，4）
（2）解：该同学初次投篮时不能命中篮筐．
理由：由题意得：点，抛物线顶点，
设抛物线的解析式为，
，
解得：，
．
当时，，
∵时，篮球可命中篮筐，
∴该同学初次投篮时不能命中篮筐；
（3）解：新的抛物线解析式为：，
根据题意得抛物线过点，
∴，
解得：或，
当时，抛物线的顶点坐标为，此时，不符合题意，舍去，
答：的值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
20．某校物理兴趣小组举办“水火箭”发射距离比赛，如图是甲组的水火箭实物图.王老师用频闪照相机记录并测量甲组的水火箭的飞行水平距离 x米和飞行高度y米的数据，记录数据如下表：
照相机频闪时间t/s 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ……
水平距离 x/米 0 5 10 15 20 25 30 ……
飞行高度 y/米 0 4.5 8 10.5 12 12.5 12 ……
（1）根据表格中的数据描点，连线，发现y与x近似地满足二次函数关系，请写出y与x之间的函数表达式；
（2）根据表格数据，可知水平距离x与时间t满足关系式 x=10t.根据比赛规定，在水平距离相同的情况下，飞行高度不低于8米的持续时间越长成绩越好.求甲组水火箭飞行高度不低于8米的持续时间；
（3）乙组的水火箭与甲组的水火箭同时从同一高度发射，已知乙组水火箭的飞行高度y(米)与水平距离x(米)满足函数关系 当水平距离为多少米时，两组水火箭的高度差最大 最大高度差是多少
【答案】（1）解：设
将 (0，0)、(10，8)、(20，12) 代入， 得
（2）解：令
∴x1=10，x2=40
将 x1=10， x2=40 代入得 x=10t，
得 t1=1， t2=4
∴持续时间 4-1=3 秒
（3）解：设高度差为 h
∴当水平距离为20米时，最大高度差为4米
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-抛球问题；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）令，则有，求出x的值，然后代入x=10t，得到时间t的值，求差解答即可；
（3）设高度差为h，得到h关于x的二次函数，配方得到顶点式，即可求出对大值解答即可．
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