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5月下旬之三角形与四边形—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．如图，为测量零件内槽宽 BC，某同学制作了一个测量尺．其中，AB 为固定臂，AC为活动臂(可绕点A转动)．D，E分别为AB，AC的中点，测量尺的零刻度与点D重合．现测得DE的长为4.5cm，则内槽宽BC的长为(　　)
A．4.5cm B．9cm C．13.5cm D．18cm
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，分别为，的中点，
是的中位线，
，
，
故选．
【分析】根据三角形的中位线定理解答即可.
2．小红借助两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图.其中△OAB 与△ODC 都是顶角为锐角的等腰三角形，且它们关于直线l对称，点 E，F 分别是底边AB，CD 的中点，OE⊥OF，90°<∠AOD<180°.设∠AOF=α，则∠BOC 的大小为 （　　)
A．2a-180° B．α-90° C．180°-α D．270°-2α
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，△OAB与△ODC关于直线l对称，且E、F分别为等腰△OAB、△ODC底边AB、CD的中点。
根据等腰三角形 “三线合一” 及轴对称性质，OE平分∠AOB，OF平分∠AOD，
因此，。
已知OE⊥OF，即∠EOF=90 ，
由图中角度关系可得∠AOF=∠AOE+∠EOF，所以∠AOE=∠AOF ∠EOF=α 90 。
结合对称性可知∠BOE=∠COF=2(α 90 )=2α 180 ，
观察图形，可得∠BOC=∠EOF ∠BOE ∠COF=90 2(2α 180 )，
化简可得∠BOC=270 2α，对应选项D。
故答案为：D.
【分析】本题核心考查轴对称图形的性质与等腰三角形“三线合一”，关键在于利用对称轴及中点条件锁定角平分线关系，再借助OE⊥OF的垂直关系，通过角度的和差代换推导∠BOC即可。
3．如图所示为一张矩形纸片 ABCD，圆圆和方方在探究矩形和菱形的联系，通过尺规作图在矩形中作出一个菱形.圆圆的作法是：连结对角线 BD，作 BD的中垂线分别交 BC， AD于点 E， F，连结 BF， DE，则四边形 BEDF是菱形.方方的作法是：作 BC的中垂线分别交 BC，AD于点 E， F，连结 BF， DE，则四边形 BEDF是菱形.对于两人的作法，判断(　　)
A．两人都正确 B．两人都错误
C．圆圆正确，方方错误 D．圆圆错误，方方正确
【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图1中，圆圆的作法正确．可以根据邻边相等的平行四边形是菱形．
如图2中，方方的作法错误．，四边不相等．
故答案为：C.
【分析】根据作图，利用菱形的判定方法判断解答即可．
4．如图，已知∠ABC=45°，点D在BC上， BD=2，以D为圆心， DB长为半径画弧交AB于点E，则 BE的长为(　　)
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接DE，如图：
∵以D为圆心，DB为半径画弧交AB于点E，
∴DB=DE=2，
∵∠ABC=45°，
∴∠BED=∠ABC=45°，
∵根据三角形内角和为180°，
∴∠BDE=90°，
∴△BDE为直角三角形，
故选：C.
【分析】先根据圆的性质得出BD=DE，再结合已知角度判断三角形的形状，最后利用勾股定理求出BE的长度.
5．数学课上，老师要求将一个含22.5°角的直角三角形，用尺规作图将其分割成两个等腰三角形.甲，乙两人的作法分别如下图所示，则(　　)
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．两人都错 D．两人都对
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰直角三角形；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图甲，
由作图痕迹可知，AD=AC，
为等腰直角三角形，
为等腰三角形，
∴甲作法正确；
如图乙，
由作图痕迹可知，直线EF为线段BC的垂直平分线，
∴点E为BC的中点，
∴AE为. 斜边上的中线，
和 为等腰三角形，
∴乙作法正确.
综上所述，两人都对.
故选： D.
【分析】由图甲的作图痕迹可知，AD=AC，可得 为等腰直角三角形， 则 即 可知 为等腰三角形；由图乙作图痕迹可知，直线EF为线段BC的垂直平分线，则点E为BC的中点，可知AE为 斜边上的中线，可得 则 和 为等腰三角形.
6．如图，在等边三角形ABC中，AB=4．以点C为圆心，适当长度为半径作弧分别交CA，CB于点D，E.再以点D为圆心，DE为半径作弧交第一段弧于点F，在射线CF上取点G，使得CG=6，则AG的长为(　　)
A． B．6 C． D．7
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【解答】解：连接，，过点作于点，
由作图可知，，．
∵是等边三角形，
∴，．
∵，，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，即是等边三角形，
∴．
∵点在上，点在射线上，
∴．
在中，，，
∴，
∴，．
∵，
∴．
在中，
．
故答案为：A.
【分析】连接，，过点作于点，根据尺规作图得到和为等边三角形，从而得出，然后根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出GM长，再根据勾股定理求出AG长解答即可．
7．如图，在平面直角坐标系中，点A， B， C的坐标分别为(3， 4)， (0， 3)， (1， 1)．若将△ABC绕点A逆时针旋转，使得点C与点C'(6，2)重合，则点B旋转后的对应点B'的坐标为(　　)
A．(5， 1) B．(4， 1) C．(3， 1) D．(1， 4)
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
，
由图可知，在和中，
，
∴，，
∵，
∴，
∴绕点逆时针旋转，
∴点绕点逆时针旋转的对应点如图所示，
∴点．
故答案为：B.
【分析】根据旋转的性质，得到旋转中心，即可得到点B 的对应点B'的位置，然后写出坐标即可．
8．如图，有两个正方形ABCD、EFGH，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上，连结CE，已知AE=3，CF=4，则CE等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∵四边形EFGH是正方形，
在 中，
又·
在 和 中，
∴△AEH≌△BFE(AAS)，
∴AE = BF，
∵AE=3，
∴BF=3，
同理： △BEF≌△CFG(AAS)，
∴BE=CF，
∵CF=4，
∴BE=4，
∴BC=BF+CF=3+4=7，
在△CBE中， ∠B=90°，
由勾股定理得：
故答案为：C.
【分析】由正方形性质得∠A=∠B=∠BCD=90°， EH=EF=FG， ∠HEF=∠EFG=90°，证明△AEH和△BFE全等得AE = BF=3，同理证明△BEF和△CFG全等得BE=CF=4， 进而得BC=7， 在Rt△CBE中，由勾股定理可CE的长.
9．下图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形 MNPQ 拼成的一个大正方形ABCD.直线 MP 分别交正方形ABCD 的两边于点E，F，若MN=1，EM=MP=PF，则AB= （　　)
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：已知小正方形MNPQ的边长MN=1，且EM=MP=PF。
因为MNPQ是正方形，所以MP是小正方形的对角线，由勾股定理得：，
因此，
设四个全等的直角三角形的短直角边为a，长直角边为b(b>a)。
根据赵爽弦图的结构，小正方形的边长等于长直角边减短直角边，因此：b-a=1
大正方形的边长AB是直角三角形的斜边，由勾股定理得：，
过点E作EG⊥AN于点G，
因为四边形MNPQ为正方形，MP为对角线，
所以∠NMP=∠EMG=45°，
所以EG=MG=1，AG=b-2，
因为∠ANB=90°，
所以EG//BN，
所以，
所以，
即，
解得：，
则，
则.
故答案为：A.
【分析】 本题以赵爽弦图为载体，综合考查正方形性质、全等三角形、相似三角形与勾股定理。先由小正方形边长和线段相等关系，利用相似三角形求出直角三角形的两直角边，再用勾股定理计算大正方形边长 AB。
10．如图 1是中国古代一种弓箭的箭头实物图，图 2是其示意图，为轴对称图形，已知AB∥CD，∠G=30°，∠F=50°，则∠A 的度数为(　　)
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；轴对称的性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：作对称轴 （ 为 BC 中点），延长 GA 交 FM 于点 ．
图形关于直线 FM 对称，
，
．
是 的外角，
．
．
故答案为：C .
【分析】作对称轴 FM，延长 GA 交 FM 于点 ，根据题意可得 ；然后根据两直线平行，内错角相等得到，然后根据三角形的外角解答即可．
11．如图，在平行四边形ABCD中， 点E在边 BC上，D 是线段 FG的中点，若AG∥EF，则四边形AEFG的面积为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，延长交于点H，过点A作于点M，过点E作于点N，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵D是线段的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
即．
【分析】延长交于点H，过点A作于点M，过点E作于点N，根据平行四边形的性质得到，即可得到为等腰直角三角形，然后根据AAS得到，即可得到，，然后根据解答即可．
12．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC 是一条对角线，E 是AC 上一点，过点 E 作EF⊥AB，垂足为 F，连结DE.若AE=BF，则DE：BC的值为 （　　)
A．2：3 B． C．2.5：3 D． ：3
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD是菱形，
所以AB=BC=AD，又∠ABC=60°，
因此比△ABC是等边三角形，
故∠BAC=60°，AC=AB=BC。
因为EF⊥AB，
所以△AEF是直角三角形，∠AFE=90°，∠EAF=60°，
则∠AEF=30°，设AE=x，由30°角所对直角边是斜边的一半，得，再由勾股定理得.
已知AE=BF，
所以BF=AE=x，
因此，即。
因为菱形ABCD中，且ADIIBC，∠DAB=180°-∠ABC=120°，∠BAC=60°，
所以∠DAE=∠DAB-∠BAC=60°。
在△ADE中，，AE=x，∠DAE=60°，
过D作DG⊥AC于G，∠DAG=60°，则AG=，
，，
在Rt△DEG中，由勾股定理得。
因此，对应选项B.
故答案为：B.
【分析】 本题利用菱形性质与 60° 角构造等边三角形，结合直角三角形边角关系设参数表示线段长，再用勾股定理计算 DE 长度，最终求出 DE 与 BC 的比值。
二、填空题
13．如图，在 ABCD中， AB=2， ∠D=60°， CE平分∠BCD，交AD于点E，以点B为圆心，BC长为半径作圆弧交DE于点 F，连结 BF.若AE=DF，则 的长为　 　.
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；弧长的计算；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵CE平分
∴三角形CDE是等边三角形，
过点A作BF的垂线，垂足为M，
的长为：
故答案为：
【分析】根据题意，求出 的度数，进一步求出BF的值，最后结合弧长公式进行计算即可.
14．如图，正方形 OEFG 和正方形ABCD 是位似图形，其位似中心为(-2，0).已知点 F的坐标为(1，1)，若点A 的坐标(2，0)，则点C的坐标为　 　.
【答案】(4，2)
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形中，，且点O为坐标原点，
∴，，
∵ 正方形与正方形是位似图形，位似中心为，
∴ 点O与点A为对应顶点，点F与点C为对应顶点，设位似中心为M，过M作射线，，由题意可知，，分别过D，C，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴ 点C的坐标为．
故答案为： .
【分析】根据位似的两个图形相似，然后求出相似比，求出DC长，即可求出点C的横、纵坐标解答即可．
15． 如图，正方形ABCD边长为2，动直线l经过正方形中心O，线段A'B'与线段AB关于直线l对称，则点 B到直线A'B'的距离最大值为　 　.
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；正方形的性质；轴对称的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：，
则，
过点作垂直于于点，
为等腰直角三角形，
为等腰直角三角形，
，
，
，
∵
∴当B、O、Q三点共线时距离最大，
则最大距离．
故答案为：.
【分析】先根据勾股定理求出的长度，由对称得到，，过点作垂直于于点，再求出到的距离，然后根据等腰直角三角形的面积公式求出OQ=1，当B、O、Q三点共线时距离最大为BQ长，根据线段的和差解答即可．
16． 如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E是BC边上的一点，将△ABE沿AE翻折得△AFE，AF与CD相交于点G，点G恰好是CD的中点，若BE=4，则CE=　 　.
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接AC，作EH⊥AB于点H，则∠AHE=∠BHE=90°，
∵四边形ABCD是菱形， ∠B=60°，
∴AD=CD=CB=A
B， ∠D=∠B=60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAC=60°，
∵将△ABE沿AE翻折得△AFE， AF与CD相交于点G，点G恰好是CD的中点，
=30°，
∴∠BAF=∠BAC+∠CAF=90°，
∴∠HEA=∠BAE=45°.
且BE=4，
，
故答案为：
【分析】连接AC，作EH⊥AB于点H， 由菱形的性质可得△ABC和△ADC都是等边三角形， 所以∠BAC=∠DAC=60°， 由翻折可得 则∠BAF=90°，所以∠BAE=45°， 则∠HEA=∠BAE=45°， 解直角三角形求出AH=E 即可得到CB=AB=2 在根据线段的和差解答即可.
17．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠C=120°，AB=AD，BC=CD=2，点P是CD延长线上的一点，连结BP，△BEP与△BCP关于直线BP对称.当EP经过点A时，线段CP长为　 　 .
【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵ △BEP与△BCP关于直线BP对，
∴△BEP≌△BCP，
∴BE=BC=2，∠BEP=∠BCP=120°，∠EBP=∠CBP．
过C作CH⊥BD于H，过B作BF⊥PE，交PE的延长线于点F．
∵在等腰△BCD中，BC=CD=2，∠BCD=120°，
∴∠BCH=60°，，
∴．
∵在等腰Rt△BAD中，BA=AD，∠BAD=90°，，
∴.
∵∠BEP=120°，
∴，
在Rt△BEF中，∠EBF=30°，，由勾股定理，得.
在Rt△ABF中，，，由勾股定理，得，
∴AF=BF，△ABF为等腰直角三角形，∠ABF=45°．
∴∠ABE=∠ABF-∠EBF=45°-30°=15°．
在等腰Rt△ABD中，∠ABD=45°，在等腰△BCD中，∠CBD=30°，
由轴对称，∠EBP=∠CBP，即∠ABE+∠ABP=∠CBD+(∠ABD-∠ABP)，
代入∠ABE=15°，∠CBD=30°，∠ABD=45°，得15°+∠ABP=30°+(45°-∠ABP)，解得∠ABP=30°．
∴∠DBP=∠ABD-∠ABP=45°-30°=15°．
在△BDP中，∠BDC是外角，∠BDC=30°，
∴∠BDC=∠DBP+∠BPD，
代入∠BDC=30°，∠DBP=15°，得∠BPD=15°．
∴∠DBP=∠BPD，
∴．
∴.
故答案为：.
【分析】先利用轴对称的性质，得到△BEP≌△BCP，推出BE=2，∠BEP=120°；接着在等腰△BCD中，通过作垂线构造含60°的直角三角形，计算得，再结合等腰Rt△BAD的性质，求出；同时过B作BF⊥PE，在Rt△BEF中，利用30°角的性质得到EF=1，，再通过勾股定理计算得，证明△ABF为等腰直角三角形，得到∠ABF=45°，进而算出∠ABE=15°；再结合∠EBP=∠CBP的关系，建立角度方程15°+∠ABP=30°+(45°-∠ABP)，解得∠ABP=30°，推出∠DBP=15°；再利用三角形外角性质，由∠BDC=30°得到∠BPD=15°，根据“等角对等边”得；最后根据CP=CD+DP，代入CD=2，，计算得．
18．如图，在矩形ABCD中， AB=2， BC=4， E是CD的中点．将矩形ABCD绕点E顺时针旋转得到矩形 A1B1C1D1，边B1C1与边AD交于点 F，连结A1B．当点F落在 A1B上时，AF=　 　．
【答案】或
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；角平分线的判定；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接EF，以E为圆心，EB长为半径作圆E，则点A'，B'，A在圆E上，
由旋转可得A'B'=AB，
∴，
∴∠B'A'B=∠ABA'，
又∵ABCD、A'B'C'D'是矩形，
∴∠BAD=∠A'B'C'=∠D=∠C'=90°，
∴∠A'FB'=∠AFB=∠C'FB，
又∵点E是CD的中点，
∴C'E=DE=1，
∴∠C'FE=∠DFE，
∴∠BFE=90°，
∴∠ABF+∠BFA=∠DFE+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠DFE，
∴△ABF∽△DFE，
∴，即，
解得AF=或，
故答案为：或.
【分析】连接EF，以E为圆心，EB长为半径作圆E，则点A'，B'，A在圆E上，根据等弧所对的圆周角相等得到∠B'A'B=∠ABA'，进而可得∠A'FB'=∠AFB=∠C'FB，再根据角平分线的判定得到∠C'FE=∠DFE，即可得到∠BFE=90°，然后证明△ABF∽△DFE，根据对应边成比例解答即可.
19．如图，矩形 EFGH可由矩形ABCD沿着对角线向右平移得到(点A，B，C，D的对应点分别为E， F， G， H)．边CD， BC分别交边EH， EF于点M， N，连结AH交CD于点K．若AE=2，EO=1， ∠DAH=∠ACD，则AH的长为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；平移的性质；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由平移的性质可知，，，，
矩形沿对角线平移，，，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，即，
在和中，
，，
，即
在和中，
，，
，
，即，
，
，
，，
，
，
，
过点作交的延长线于点，
，
，
在中，，，
在Rt中，，
，
，
，
又，
，
，
设，则，
整理得，
解得，（舍去），
，
．
故答案为：.
【分析】根据平移的性质和矩形性质得到及，根据相似三角形的对应边成比例表示、与，然后根据两角对应相等得到，表示AH长，再根据勾股定理列方程求出AD2解答即可．
20．【阅读材料】过矩形对角线上任意一点作两条分别平行于两邻边的直线，会得到面积相等的两个矩形，如图（1），S矩形AEOM＝S矩形CFON．
【解决问题】如图（2），点M是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点M作EF∥BC分别交AB，CD于点E，F，连接BM，DM．若CF＝4，EM＝3，DF＝2，则MF＝　 　 ．
【答案】6
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】如图，过点M作GH||AB交AD，BC于点G，H，则由材料知S矩形BEMH=S矩形MGDF，
可知S△BEM=S△DMF，
即，
因为BE=CF=4，
所以，
解得MF=6.
【分析】 题目给出了阅读材料：过矩形对角线上一点作平行于两邻边的直线，所得两个小矩形面积相等。在图（2）中，EF∥BC，相当于过点M作了一条平行于BC（即平行于AD）的直线。我们需要利用“S矩形AEFD = S矩形EBCF”这一核心结论。然后，将面积用已知和未知的线段表示出来，建立方程求解MF。
三、解答题
21．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°.
（1）尺规作图：作⊙O，使圆心O在BC上，⊙O经过A，B两点.(保留作图痕迹，不写作法)
（2）求证：AC是(1)题所作⊙O的切线.
【答案】（1）解：如图所示：
（2）证明：连结AO，
∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，
∵OA=OB，∴∠1=∠B=30°，
∴∠2=90°，∴AC是⊙O的切线.
【知识点】切线的判定；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角；尺规作图-过不在同一直线上的三点作圆
【解析】【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，为半径画圆，则圆O即为所作；
（2）连接，根据等边对等角求出∠B和∠A的度数，即可根据角的和差求出∠OAC的度数，证明结论即可．
22．课堂上，屏幕上呈现一题：
已知：如图，在四边形ABCD中， AB=AD， ▲ .
求证： BC=CD.
请在空格处添加条件并证明.
你支持 ▲ (填“小明”或“小丽”)的观点，并写出相应的证明过程.
【答案】解：支持小丽，理由如下：
当添加∠B=∠D时，
在△ABC和△ADC中， AB=AD， AC=AC， ∠B=∠D，不符合全等三角形的判定条件，
因此不能判定△ABC和△ADC全等，就得不出BC=CD的结论，
当添加∠B=∠D=90°时，证明如下：
∵∠B=∠D=90°
∴△ABC和△ADC都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，
∴BC=CD.
故答案为：小丽.
【知识点】三角形全等的判定；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】支持小丽，当添加 时，因此不能判定 和 全等，就得不出BC=CD的结论，当添加∠ 时，可得 和 都是直角三角形，进而依据“HL”可判定 和 全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论.
23． 对于题目“如图1，已知AC， BD 相交于O， OA=OB， OC=OD，证明： △ABC≌△BAD.”小明的解答过程如图2.请指出小明证明过程中错误步骤的序号，并写出正确证明过程.
【答案】解：错误步骤的序号为②.
正确证明如下：
由正确步骤①知△AOD≌△BOC，所以AD=BC，
因为OA=OB， OC=OD，
所以DB=CA，
在△ABC和△BAD中，
因为
所以△ABC≌△BAD (SSS).
【知识点】三角形全等的判定；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据证明过程逐一判断得到错误步骤；然后根据步骤①可得△AOD≌△BOC，即可得到AD=BC，根据三边对应相等的两三角形全等证明即可.
24．【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在菱形纸板ABCD上裁剪出一对“仿古三角旗”（阴影部分)，其中点E， F分别在AD， BC上，连结EF交AC于点 G.
【数学理解】
（1）这对“仿古三角旗”是相似的，请写出△AEG∽△CFG的证明过程.
（2）若AB=2BF=4DE， CG=5，求AG的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA， ∠AEG=∠CFG，
∴△AEG∽△CFG.
（2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB=BC.
∵AB=2BF=4DE，
∴AD=4DE， AE=3DE， CF=2DE，
∴AE：CF=3：2.
∵CG=5，
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据菱形的性质得到即可得到∠DAC=∠BCA，∠AEG=∠CFG，然后证明结论即可；
(2)求出AE：CF=3：2，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可.
25．图1为矩形实验台示意图，两面平面镜分别垂直放置于实验台边缘AB，BC上．点M在边AD上，E为AB中点，从点M发出的一束光线经边AB上的平面镜反射后，得到反射光线EF：光线EF再经BC上的平面镜反射，最终反射光线 FN交AD于点N．根据光的反射定律，可推得∠AEM=∠BEF， ∠BFE=∠CFN．
（1）求证： FN∥EM．
（2）已知AD=4，若反射光线 FN恰好经过点 D (如图2)，求AM的长．
【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD是矩形，
∵∠A=90°，
∴∠AEM+∠AME=90°，
∴∠AME=∠CFN，
∵AD∥BC，
∴∠MNF=∠CFN，
∴∠AME=∠MNF，
∴FN∥EM；
（2）解： ∵E为AB中点，
∵∠AEM=∠BEF， ∠A=∠B=90°，
∴△AEM≌△BEF(ASA)，
∴BF=AM，
∵AD∥BC，
∴∠CFD=∠MDF=∠AME，
∵∠A=∠C=90°，
∴△AEM∽△CDF，
∴CF=2AM，
∴BC=3AM，
∵BC=AD=4，
【知识点】平行线的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质得到 根据三角形的内角和定理得到 求得 得到 根据平行线的性质得到 等量代换得到∠AM 于是得到结论；
(2)由E为AB中点，得到 根据全等三角形的性质得到BF=AM，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.
26．新定义：两个内角度数之差等于 的三角形称为“类直角三角形”.
（1）【判定】如图 1， 中， 求证： 是“类直角三角形”.
（2）【性质】如图2， 是“类直角三角形”， 求AB 的长度.
【答案】（1）证明：因为∠A=120°，AB=AC，
所以∠B=∠C=30°，
所以∠A-∠B=90°或∠A-∠C=90°，
所以△ABC是“类直角三角形”.
（2）解：如图，作AD⊥AC交BC 于点D，
因为∠BAC-∠B=90°，
所以∠B=∠BAD，所以DB=DA.
设DB=DA=x，则CD=8-x，
在直角三角形ADC中，根据勾股定理可得x2+42=(8-x)2，解得x=3.
作AH⊥BC交BC 于点 H，可求出
在直角三角形ABH 中，根据勾股定理可得
【知识点】勾股定理；直角三角形的判定
【解析】【分析】 (1) 先由等腰三角形性质和三角形内角和求出∠B、∠C 的度数，再验证两个内角差为 90°，符合 “类直角三角形” 定义；
(2) 先由∠BAC - ∠B = 90° 结合内角和求出∠C = 90°，再用勾股定理直接计算 AB 的长度。
27．如图，在四边形 ABCD中，AB∥CD，点E在边AB 上， ▲ .请从“①∠B=∠AED；②BE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号)，再解决下列问题：
（1）求证：四边形 BCDE为平行四边形.
（2）若AD⊥CD，AD=8，BC=10，AE=CD，求平行四边形 BCDE 的面积.
【答案】（1）证明：两个条件均可，
如选①，则证明过程如下：
因为∠B=∠AED.
所以 DE∥BC.
又因为 AB∥CD.
所以四边形BCDE为平行四边形.
如选②，则证明过程如下：
因为BE=CD.又因为AB∥CD，
所以四边形BCDE为平行四边形
（2）解：因为AB‖CD且AD⊥CD，根据平行线的性质，可得AD⊥AB，即∠A=90°，
所以△ADE是直角三角形。
因为四边形BCDE是平行四边形，
所以DE=BC=10。
在Rt△ADE中，由勾股定理AD2+AD2=DE2，代入AD=8，DE=10，得AD2+82=102，
解得AE=6。
因为AE=CD，
所以平行四边形BCDE的底边CD=6，高为AD=8.
根据平行四边形面积公式S=底×高，得S平行四边形BCDE=CD×AD=6×8=48。
综上，平行四边形BCDE的面积为48。
【知识点】平行四边形的判定；平行四边形的面积
【解析】【分析】(1)证明四边形BCDE为平行四边形，核心依据是一组对边平行且相等或两组对边分别平行。选①时，利用同位角相等证DE||BC，结合已知AB‖CD得证；选②时，直接利用BECD且BE=CD得证；
(2)求平行四边形面积，根据AD⊥CD及AB||CD得∠A=90°，结合AE=CD与BCDE是平行四边形(DE=BC=10)，在Rt△ADE中用勾股定理求高AE(即平行四边形的底边上的高)，再用面积公式S=底×高计算。
28．在一次综合与实践课上，某数学兴趣小组从一张正方形纸片出发，通过不同的折叠方式，感受数学的奥秘．
【实践操作1】折法：如图1．
步骤1：将正方形ABCD对折，得到折痕EF，连结CE；
步骤2：将正方形沿CE折叠，使点B翻折至点H处，CH交EF于点G．
【实践操作2】折法：如图2．
步骤1：将正方形ABCD对折，得到折痕MN，连结CM．
步骤 2：将正方形折叠，使点B落在CM上，得点B1，得到折痕CP，
【问题解决】
（1）在实践操作1中，猜想△GEC的形状，并说明理由．
（2） 在实践操作2中，若BC=2，求BP的长．
【答案】（1）解：△GEC是等腰三角形，理由如下．
因为折叠，所以∠AEF=∠BEF=180°÷2=90°，所以EF⊥AB．
在正方形ABCD中， AB⊥BC，所以EF∥BC．
所以∠ECB=∠FEC=∠HCE．
所以△GEC是等腰三角形．
（2）解：在正方形ABCD中， BC=CD=AD=2， ∠B=∠BCD=∠D=90°．
因为折叠，所以DM=1， ∠PCB=∠PCB1．
如图，过点 P作PQ∥AD交MC于点T，交CD于点Q，因为PQ∥AD，
所以△TQC∽△MDC， ∠TQC=∠D=90°．
所以
设TQ=x， CQ=2x，则
因为PQ∥AD， AD∥BC，所以PQ∥BC．
可得∠QPC=∠PCB．
所以∠QPC=∠PCB1，所以
由于四边形 PBCQ为矩形，
所以
解得 所以
所以
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得到，利用折叠的性质得到，即可得到，根据等角对等边得到结论即可；
（2）根据折叠的性质得到，过点作交于点，交于点，即可得到，根据对应边成比例设，则，利用勾股定理求出，进而可得，根据矩形的性质得到，求出的值解答即可．
29．小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形，已知：在△ABC中，∠ACB＝90°．求作：直线CD，使得直线CD将△ABC分割成两个等腰三角形．下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：如图，①作直角边CB的垂直平分线MN，与斜边AB相交于点D；②作直线CD，则直线CD就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，解决下列问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）小明进一步探究：以点D为圆心，适当长为半径画弧分别交DA、DC于P、Q两点，再分别以点P、Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧在∠ADC内交于点M，直线DM交AC于点E，则AE＝CE ▲ （填写理由），使用尺规作图在图中补全作图痕迹
【答案】（1）解：如图，直线CD即为所求：
（2）解：图形如图所示：
由作图可知DE平分∠ADC，
∵DA＝DC，
∴AE＝CE（等腰三角形三线合一的性质），
故答案为：等腰三角形三线合一的性质．
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】 题目分为两部分：
(1) 补全作图：核心是理解“作直角边CB的垂直平分线”的目的是得到点D，使得DC = DB（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），从而确保△CDB是等腰三角形。再连接CD，需要证明△ACD也是等腰三角形（利用直角三角形斜边中线性质或角度计算）。
(2) 补充作图并填写理由：根据描述完成角平分线的尺规作图，然后利用“DA=DC”（已证）和“DE平分∠ADC”，结合等腰三角形“三线合一”的性质，推导出AE=CE。
30．在矩形ABCD中，ABEF为正方形，点G在EF射线上， 过A 作HA⊥AG交BC于点H，过H作HP⊥DG交DG于点 P，连结DH交EF于点Q.
（1）求证：四边形AHPG是正方形.
（2）已知AB=1，若Q为HD的中点，求 BC的长.
【答案】（1）证明：∵∠AGP=∠GAH=∠HPG=90°，
∴四边形AHPG是矩形.
∵四边形ABEF是正方形，∴AB=AF，
∵∠BAF=∠HAG=90°，∴∠BAH=∠DAG.
∴△ABH≌△AFG，∴AB=AF，
∴四边形AHPG是正方形.
（2）解：设，
四边形是正方形，四边形是矩形，
，即．
．
为中点，
．
在和中：
．
．
，，
．
，，
，
，
，
．
，四边形为正方形，
，，
．
由（1）可知，
．
在中，
．
，
整理得：，
解得（舍去），．
．
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质；正方形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据三个角是直角得到AHPG是矩形，然后根据正方形的性质，然后根据ASA得到，即可得到AB=AF，证明结论即可；
（2）根据正方形和矩形的性质，利用AAS得到，即可得到，设，则，再根据两角对应相等得到，根据对应边成比例求出．由（1）知，在中根据勾股定理列方程求出x的值解答即可．
31．如图1，在四边形ABCD中， CE平分 交AB于点E，点F在AB上，且.AE=BF.
（1）如图2，当点E与点 F重合时，求 的值.
（2）如图3，点G在射线AD上，且点E在点 F上方时，连结DE，FG.
①当 时，求AD的长.
②若AD+AG=5，求DE+FG的最小值.
【答案】（1）解：∵AB=5， AE=BF，又∵点E， F重合，
∵CE平分∠BCD， ∴∠DCE=∠BCE，即 ；
（2）解：①延长DA， CE交于点 M，作 DN⊥BC于点 N，
∵AD∥BC， CE平分∠BCD，
∴∠M=∠ECB=∠ECD，
设AD=x，得DC=DM=2+x，
∵∠B=∠BAD=∠DNB=90°，
∴四边形ABND 是矩形，
∴DN=AB=5， BN=AD=x，
由勾股定理得， 即
得 即
②延长GA至点G'，使AG'=AG，连结FG'，过点D作 DN⊥BC于点 N，连结NF， NG'.
∵∠G'AF=∠GAF=90°， AG'=AG，
∴AB是GG'的中垂线，
∴FG=FG'.
∵∠DAB=∠ABN=∠DNB=90°，
∴四边形 BNDA 是矩形，
∴AD=BN.
∵AE=BF，
∴△ADE≌△BNF，
∴DE=NF，
∴当FG'+FN取最小值时， DE+FG 取最小值，
∴当N， F， G'三点共线时， FG'+FN=NG'，此时DE+FG取最小值.
∵DG'=AG'+AD=AG+AD=5， DN=AB=5，
∴DE+FG 的最小值
【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】(1)根据已知条件得到 根据三角函数的定义得到结论；
(2)①延长DA， CE交于点M，作 于点N，根据角平分线的定义和平行线的性质的得到 根据三角函数的定义得到 设AD=x，得DC=DM=2+x，根据矩形的性质得到BN=AD=x，DN=AB=5，根据勾股定理即可得到结论；
②延长GA至点G，使AG'=AG，连结FG，过点D作 于点N，连结NF，NG.根据线段垂直平分线的性质得到FG=FG'.根据全等三角形的性质得到DE=NF，当FG'+FN取最小值时，DE+FG取最小值，当N， F， G三点共线时，FG'+FN=NG'，此时DE+FG取最小值.于是得到结论.
32．如图1，在菱形ABCD中，对角线. P 是射线AD上一点，连接 BP，△BPQ与△BPA关于 BP对称.
（1） 求AB的长.
（2）当BQ⊥AB时， 求证： PQ∥AC.
（3）如图2，当直线PQ与AC相交时，记交点为E.
①当点P在边AD上，且PQ⊥AB时，求AP的长.
②连接BE，当BE取得最小值时，求AE的长.
【答案】（1）解：因为四边形ABCD是菱形，
所以AB = AD， ∠DAB=60°。
所以△ABD是等边三角形。
所以AB=BD。
又因为菱形的对角线互相垂直且平分，
所以
已知 则
在Rt△ABO中， ∠BAO =30°，
所以AB=2BO。
设BO=x，则AB=2x，
根据勾股定理.
可得
解得x =1或x =-1(边长不能为负舍去)，
所以AB=2x=2。
（2）因为△BPQ与△BPA关于BP对称，
所以∠BQP =∠BAP =60°， ∠QBP =∠ABP，
已知BQ⊥AB，则∠ABQ =90°，
所以 45°。
因为四边形ABCD是菱形，
所以AC平分∠DAB，
则
在△ABP中， ∠APB=180°-∠BAP-∠ABP=180°-60°-45°=75°。
因为△BPQ与△BPA关于BP对称，
所以∠BPQ =∠BPA=75°。
则∠APQ=∠BPQ+∠BPA=75°+75°=150°。
所以∠BAC+∠APQ=30°+150°=180°，
所以PQ//AC。
（3）解：①如图2，当PQ⊥AB时，
在 Rt△BQM中， BQ=2， ∠Q=60°
所以
所以
②由于∠Q为定角，BQ为定长，所以BE⊥PQ时，BE最小，有两种情况，如图3，4所示，
在Rt△BEQ中， 又OB=1，所以
所以
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—含30°角直角三角形；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到△ABD是等边三角形，然后设BO=x，根据勾股定理求出x的值解答即可；
（2）根据对称性得到∠BQP =∠BAP =60°， ∠QBP =∠ABP，然后根据菱形的性质和角平分线的定义求出∠BAC=30°，然后根据三角形的内角和定理得到∠APB=75°，进而求出∠APQ=150°，再根据同旁内角互补，两直线平行证明结论即可；
（3）①根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出BM长，即可求出AM长解答即可；
②由题可知∠Q为定角，BQ为定长，所以BE⊥PQ时，BE最小，然后根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出OB长，然后根据线段的和差解答即可.
33． 如图1，点 P是正方形 ABCD对角线 BD延长线上一点， BD=6.连结 PA， PC，将线段PA绕着点 P逆时针旋转一定的角度后与 BC的延长线交于点 E.
（1）求证： ①△PCE是等腰三角形；
（2）连 DE交 PC于点 Q，设 DP=x， △QCE的面积为 S，求 S与x的关系式.
【答案】（1）解：①已知 BD为正方形的对角线，
∴BD 平分∠ABC，即∠ABP=∠CBP．
在△ABP和△CBP中：
△ABP≌△CBP
∴PA=PC．
又已知题目条件 PE=PA，
可得 PC=PE．
△PCE为等腰三角形
②过点 P 作 PH⊥CE，交 CE 于点 H．
∵PC=PE(已证)，且 PH⊥CE，
∴CE=2CH=2EH
在正方形中，对角线
又∵DC∥PH
，即
∵CE=2CH
（2）解：过点 P 作 PG∥BE，交 ED 的延长线于点 G，．
∵BD=6
根据平行线分线段成比例定理，可得：
，
∵PH∥CD，
∴△PGQ∽△CEQ，
，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的判定；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）①根据正方形的性质可，利用SAS得到，根据对应边相等得到PA=PC，再根据等量代换得到 PC=PE，证明结论即可；
②过点作于点，即可得到，根据三线合一得到，根据勾股定理得到，然后根据平行线截对应线段成比例得到，即可得到，证明结论；
（2）过点作，交的延长线于点，根据勾股定理求出BC长，然后根据平行线分线段成比例得到，求出GP长，然后根据PE∥CD得到△PGQ∽△CEQ，根据对应边成比例求出，即可得到，然后求出△PCE的面积，根据高相等的两个三角形的面积比等于对应底的比解答即可．
34．
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E.
①若求BC的长；
②试探究是否为定值.如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.
（2）如图2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF=2∠CBG，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥AC，交CB的延长线于点E.记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BDE的面积为求cos∠CBD的值.
【答案】（1）解：①∵CD平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
②∵，
∴．
由①可得，
∴．
∴．
∴是定值，定值为1
（2）解：过点D作DH⊥EC于点H，DM⊥AF于点M，
∵DC平分∠BCF，
∴HD=DM，
∴，
∵CD平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴
∵，
∴．
∵
∴，
又∵，
∴，
设，则．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴（取正值）
如图，过点D作于H．
∵，
∴．
∴
【知识点】三角形外角的概念及性质；相似三角形的判定；角平分线的概念；求余弦值；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）①根据角平分线的定义和平行线的性质得到，进而根据两角对应相等得到，再根据对应边成比例解答即可；
②根据平行线可得，由①可得，然后求差解答即可；
（2）过点D作DH⊥EC于点H，DM⊥AF于点M，利用角平分线的性质可证得HD=DM，利用三角形的面积公式可证得，再证明，利用平行线的性质可推出，利用等边对等角可证得CE=DE，据此可得到；利用平行可证得△BDE∽△BAC，利用相似三角形的性质及三角形的面积公式可推出，将两个式子相乘，可推出，结合已知条件可得到BC与CE的比值，设，则；利用平行可证得，利用相似三角形的性质可表示出CD的长，过点D作于H，利用等腰三角形三线合一的性质可表示出BH的长，然后利用余弦的定义可求出cos∠CBD的值.
1 / 15月下旬之三角形与四边形—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．如图，为测量零件内槽宽 BC，某同学制作了一个测量尺．其中，AB 为固定臂，AC为活动臂(可绕点A转动)．D，E分别为AB，AC的中点，测量尺的零刻度与点D重合．现测得DE的长为4.5cm，则内槽宽BC的长为(　　)
A．4.5cm B．9cm C．13.5cm D．18cm
2．小红借助两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图.其中△OAB 与△ODC 都是顶角为锐角的等腰三角形，且它们关于直线l对称，点 E，F 分别是底边AB，CD 的中点，OE⊥OF，90°<∠AOD<180°.设∠AOF=α，则∠BOC 的大小为 （　　)
A．2a-180° B．α-90° C．180°-α D．270°-2α
3．如图所示为一张矩形纸片 ABCD，圆圆和方方在探究矩形和菱形的联系，通过尺规作图在矩形中作出一个菱形.圆圆的作法是：连结对角线 BD，作 BD的中垂线分别交 BC， AD于点 E， F，连结 BF， DE，则四边形 BEDF是菱形.方方的作法是：作 BC的中垂线分别交 BC，AD于点 E， F，连结 BF， DE，则四边形 BEDF是菱形.对于两人的作法，判断(　　)
A．两人都正确 B．两人都错误
C．圆圆正确，方方错误 D．圆圆错误，方方正确
4．如图，已知∠ABC=45°，点D在BC上， BD=2，以D为圆心， DB长为半径画弧交AB于点E，则 BE的长为(　　)
A． B．2 C． D．4
5．数学课上，老师要求将一个含22.5°角的直角三角形，用尺规作图将其分割成两个等腰三角形.甲，乙两人的作法分别如下图所示，则(　　)
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．两人都错 D．两人都对
6．如图，在等边三角形ABC中，AB=4．以点C为圆心，适当长度为半径作弧分别交CA，CB于点D，E.再以点D为圆心，DE为半径作弧交第一段弧于点F，在射线CF上取点G，使得CG=6，则AG的长为(　　)
A． B．6 C． D．7
7．如图，在平面直角坐标系中，点A， B， C的坐标分别为(3， 4)， (0， 3)， (1， 1)．若将△ABC绕点A逆时针旋转，使得点C与点C'(6，2)重合，则点B旋转后的对应点B'的坐标为(　　)
A．(5， 1) B．(4， 1) C．(3， 1) D．(1， 4)
8．如图，有两个正方形ABCD、EFGH，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上，连结CE，已知AE=3，CF=4，则CE等于（　　）
A． B． C． D．
9．下图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形 MNPQ 拼成的一个大正方形ABCD.直线 MP 分别交正方形ABCD 的两边于点E，F，若MN=1，EM=MP=PF，则AB= （　　)
A． B． C．2 D．
10．如图 1是中国古代一种弓箭的箭头实物图，图 2是其示意图，为轴对称图形，已知AB∥CD，∠G=30°，∠F=50°，则∠A 的度数为(　　)
A．45° B．50° C．55° D．60°
11．如图，在平行四边形ABCD中， 点E在边 BC上，D 是线段 FG的中点，若AG∥EF，则四边形AEFG的面积为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
12．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC 是一条对角线，E 是AC 上一点，过点 E 作EF⊥AB，垂足为 F，连结DE.若AE=BF，则DE：BC的值为 （　　)
A．2：3 B． C．2.5：3 D． ：3
二、填空题
13．如图，在 ABCD中， AB=2， ∠D=60°， CE平分∠BCD，交AD于点E，以点B为圆心，BC长为半径作圆弧交DE于点 F，连结 BF.若AE=DF，则 的长为　 　.
14．如图，正方形 OEFG 和正方形ABCD 是位似图形，其位似中心为(-2，0).已知点 F的坐标为(1，1)，若点A 的坐标(2，0)，则点C的坐标为　 　.
15． 如图，正方形ABCD边长为2，动直线l经过正方形中心O，线段A'B'与线段AB关于直线l对称，则点 B到直线A'B'的距离最大值为　 　.
16． 如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E是BC边上的一点，将△ABE沿AE翻折得△AFE，AF与CD相交于点G，点G恰好是CD的中点，若BE=4，则CE=　 　.
17．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠C=120°，AB=AD，BC=CD=2，点P是CD延长线上的一点，连结BP，△BEP与△BCP关于直线BP对称.当EP经过点A时，线段CP长为　 　 .
18．如图，在矩形ABCD中， AB=2， BC=4， E是CD的中点．将矩形ABCD绕点E顺时针旋转得到矩形 A1B1C1D1，边B1C1与边AD交于点 F，连结A1B．当点F落在 A1B上时，AF=　 　．
19．如图，矩形 EFGH可由矩形ABCD沿着对角线向右平移得到(点A，B，C，D的对应点分别为E， F， G， H)．边CD， BC分别交边EH， EF于点M， N，连结AH交CD于点K．若AE=2，EO=1， ∠DAH=∠ACD，则AH的长为　 　．
20．【阅读材料】过矩形对角线上任意一点作两条分别平行于两邻边的直线，会得到面积相等的两个矩形，如图（1），S矩形AEOM＝S矩形CFON．
【解决问题】如图（2），点M是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点M作EF∥BC分别交AB，CD于点E，F，连接BM，DM．若CF＝4，EM＝3，DF＝2，则MF＝　 　 ．
三、解答题
21．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°.
（1）尺规作图：作⊙O，使圆心O在BC上，⊙O经过A，B两点.(保留作图痕迹，不写作法)
（2）求证：AC是(1)题所作⊙O的切线.
22．课堂上，屏幕上呈现一题：
已知：如图，在四边形ABCD中， AB=AD， ▲ .
求证： BC=CD.
请在空格处添加条件并证明.
你支持 ▲ (填“小明”或“小丽”)的观点，并写出相应的证明过程.
23． 对于题目“如图1，已知AC， BD 相交于O， OA=OB， OC=OD，证明： △ABC≌△BAD.”小明的解答过程如图2.请指出小明证明过程中错误步骤的序号，并写出正确证明过程.
24．【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在菱形纸板ABCD上裁剪出一对“仿古三角旗”（阴影部分)，其中点E， F分别在AD， BC上，连结EF交AC于点 G.
【数学理解】
（1）这对“仿古三角旗”是相似的，请写出△AEG∽△CFG的证明过程.
（2）若AB=2BF=4DE， CG=5，求AG的长.
25．图1为矩形实验台示意图，两面平面镜分别垂直放置于实验台边缘AB，BC上．点M在边AD上，E为AB中点，从点M发出的一束光线经边AB上的平面镜反射后，得到反射光线EF：光线EF再经BC上的平面镜反射，最终反射光线 FN交AD于点N．根据光的反射定律，可推得∠AEM=∠BEF， ∠BFE=∠CFN．
（1）求证： FN∥EM．
（2）已知AD=4，若反射光线 FN恰好经过点 D (如图2)，求AM的长．
26．新定义：两个内角度数之差等于 的三角形称为“类直角三角形”.
（1）【判定】如图 1， 中， 求证： 是“类直角三角形”.
（2）【性质】如图2， 是“类直角三角形”， 求AB 的长度.
27．如图，在四边形 ABCD中，AB∥CD，点E在边AB 上， ▲ .请从“①∠B=∠AED；②BE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号)，再解决下列问题：
（1）求证：四边形 BCDE为平行四边形.
（2）若AD⊥CD，AD=8，BC=10，AE=CD，求平行四边形 BCDE 的面积.
28．在一次综合与实践课上，某数学兴趣小组从一张正方形纸片出发，通过不同的折叠方式，感受数学的奥秘．
【实践操作1】折法：如图1．
步骤1：将正方形ABCD对折，得到折痕EF，连结CE；
步骤2：将正方形沿CE折叠，使点B翻折至点H处，CH交EF于点G．
【实践操作2】折法：如图2．
步骤1：将正方形ABCD对折，得到折痕MN，连结CM．
步骤 2：将正方形折叠，使点B落在CM上，得点B1，得到折痕CP，
【问题解决】
（1）在实践操作1中，猜想△GEC的形状，并说明理由．
（2） 在实践操作2中，若BC=2，求BP的长．
29．小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形，已知：在△ABC中，∠ACB＝90°．求作：直线CD，使得直线CD将△ABC分割成两个等腰三角形．下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：如图，①作直角边CB的垂直平分线MN，与斜边AB相交于点D；②作直线CD，则直线CD就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，解决下列问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）小明进一步探究：以点D为圆心，适当长为半径画弧分别交DA、DC于P、Q两点，再分别以点P、Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧在∠ADC内交于点M，直线DM交AC于点E，则AE＝CE ▲ （填写理由），使用尺规作图在图中补全作图痕迹
30．在矩形ABCD中，ABEF为正方形，点G在EF射线上， 过A 作HA⊥AG交BC于点H，过H作HP⊥DG交DG于点 P，连结DH交EF于点Q.
（1）求证：四边形AHPG是正方形.
（2）已知AB=1，若Q为HD的中点，求 BC的长.
31．如图1，在四边形ABCD中， CE平分 交AB于点E，点F在AB上，且.AE=BF.
（1）如图2，当点E与点 F重合时，求 的值.
（2）如图3，点G在射线AD上，且点E在点 F上方时，连结DE，FG.
①当 时，求AD的长.
②若AD+AG=5，求DE+FG的最小值.
32．如图1，在菱形ABCD中，对角线. P 是射线AD上一点，连接 BP，△BPQ与△BPA关于 BP对称.
（1） 求AB的长.
（2）当BQ⊥AB时， 求证： PQ∥AC.
（3）如图2，当直线PQ与AC相交时，记交点为E.
①当点P在边AD上，且PQ⊥AB时，求AP的长.
②连接BE，当BE取得最小值时，求AE的长.
33． 如图1，点 P是正方形 ABCD对角线 BD延长线上一点， BD=6.连结 PA， PC，将线段PA绕着点 P逆时针旋转一定的角度后与 BC的延长线交于点 E.
（1）求证： ①△PCE是等腰三角形；
（2）连 DE交 PC于点 Q，设 DP=x， △QCE的面积为 S，求 S与x的关系式.
34．
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E.
①若求BC的长；
②试探究是否为定值.如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.
（2）如图2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF=2∠CBG，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥AC，交CB的延长线于点E.记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BDE的面积为求cos∠CBD的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，分别为，的中点，
是的中位线，
，
，
故选．
【分析】根据三角形的中位线定理解答即可.
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，△OAB与△ODC关于直线l对称，且E、F分别为等腰△OAB、△ODC底边AB、CD的中点。
根据等腰三角形 “三线合一” 及轴对称性质，OE平分∠AOB，OF平分∠AOD，
因此，。
已知OE⊥OF，即∠EOF=90 ，
由图中角度关系可得∠AOF=∠AOE+∠EOF，所以∠AOE=∠AOF ∠EOF=α 90 。
结合对称性可知∠BOE=∠COF=2(α 90 )=2α 180 ，
观察图形，可得∠BOC=∠EOF ∠BOE ∠COF=90 2(2α 180 )，
化简可得∠BOC=270 2α，对应选项D。
故答案为：D.
【分析】本题核心考查轴对称图形的性质与等腰三角形“三线合一”，关键在于利用对称轴及中点条件锁定角平分线关系，再借助OE⊥OF的垂直关系，通过角度的和差代换推导∠BOC即可。
3．【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图1中，圆圆的作法正确．可以根据邻边相等的平行四边形是菱形．
如图2中，方方的作法错误．，四边不相等．
故答案为：C.
【分析】根据作图，利用菱形的判定方法判断解答即可．
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接DE，如图：
∵以D为圆心，DB为半径画弧交AB于点E，
∴DB=DE=2，
∵∠ABC=45°，
∴∠BED=∠ABC=45°，
∵根据三角形内角和为180°，
∴∠BDE=90°，
∴△BDE为直角三角形，
故选：C.
【分析】先根据圆的性质得出BD=DE，再结合已知角度判断三角形的形状，最后利用勾股定理求出BE的长度.
5．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰直角三角形；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图甲，
由作图痕迹可知，AD=AC，
为等腰直角三角形，
为等腰三角形，
∴甲作法正确；
如图乙，
由作图痕迹可知，直线EF为线段BC的垂直平分线，
∴点E为BC的中点，
∴AE为. 斜边上的中线，
和 为等腰三角形，
∴乙作法正确.
综上所述，两人都对.
故选： D.
【分析】由图甲的作图痕迹可知，AD=AC，可得 为等腰直角三角形， 则 即 可知 为等腰三角形；由图乙作图痕迹可知，直线EF为线段BC的垂直平分线，则点E为BC的中点，可知AE为 斜边上的中线，可得 则 和 为等腰三角形.
6．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【解答】解：连接，，过点作于点，
由作图可知，，．
∵是等边三角形，
∴，．
∵，，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，即是等边三角形，
∴．
∵点在上，点在射线上，
∴．
在中，，，
∴，
∴，．
∵，
∴．
在中，
．
故答案为：A.
【分析】连接，，过点作于点，根据尺规作图得到和为等边三角形，从而得出，然后根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出GM长，再根据勾股定理求出AG长解答即可．
7．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
，
由图可知，在和中，
，
∴，，
∵，
∴，
∴绕点逆时针旋转，
∴点绕点逆时针旋转的对应点如图所示，
∴点．
故答案为：B.
【分析】根据旋转的性质，得到旋转中心，即可得到点B 的对应点B'的位置，然后写出坐标即可．
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∵四边形EFGH是正方形，
在 中，
又·
在 和 中，
∴△AEH≌△BFE(AAS)，
∴AE = BF，
∵AE=3，
∴BF=3，
同理： △BEF≌△CFG(AAS)，
∴BE=CF，
∵CF=4，
∴BE=4，
∴BC=BF+CF=3+4=7，
在△CBE中， ∠B=90°，
由勾股定理得：
故答案为：C.
【分析】由正方形性质得∠A=∠B=∠BCD=90°， EH=EF=FG， ∠HEF=∠EFG=90°，证明△AEH和△BFE全等得AE = BF=3，同理证明△BEF和△CFG全等得BE=CF=4， 进而得BC=7， 在Rt△CBE中，由勾股定理可CE的长.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：已知小正方形MNPQ的边长MN=1，且EM=MP=PF。
因为MNPQ是正方形，所以MP是小正方形的对角线，由勾股定理得：，
因此，
设四个全等的直角三角形的短直角边为a，长直角边为b(b>a)。
根据赵爽弦图的结构，小正方形的边长等于长直角边减短直角边，因此：b-a=1
大正方形的边长AB是直角三角形的斜边，由勾股定理得：，
过点E作EG⊥AN于点G，
因为四边形MNPQ为正方形，MP为对角线，
所以∠NMP=∠EMG=45°，
所以EG=MG=1，AG=b-2，
因为∠ANB=90°，
所以EG//BN，
所以，
所以，
即，
解得：，
则，
则.
故答案为：A.
【分析】 本题以赵爽弦图为载体，综合考查正方形性质、全等三角形、相似三角形与勾股定理。先由小正方形边长和线段相等关系，利用相似三角形求出直角三角形的两直角边，再用勾股定理计算大正方形边长 AB。
10．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；轴对称的性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：作对称轴 （ 为 BC 中点），延长 GA 交 FM 于点 ．
图形关于直线 FM 对称，
，
．
是 的外角，
．
．
故答案为：C .
【分析】作对称轴 FM，延长 GA 交 FM 于点 ，根据题意可得 ；然后根据两直线平行，内错角相等得到，然后根据三角形的外角解答即可．
11．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，延长交于点H，过点A作于点M，过点E作于点N，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵D是线段的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
即．
【分析】延长交于点H，过点A作于点M，过点E作于点N，根据平行四边形的性质得到，即可得到为等腰直角三角形，然后根据AAS得到，即可得到，，然后根据解答即可．
12．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD是菱形，
所以AB=BC=AD，又∠ABC=60°，
因此比△ABC是等边三角形，
故∠BAC=60°，AC=AB=BC。
因为EF⊥AB，
所以△AEF是直角三角形，∠AFE=90°，∠EAF=60°，
则∠AEF=30°，设AE=x，由30°角所对直角边是斜边的一半，得，再由勾股定理得.
已知AE=BF，
所以BF=AE=x，
因此，即。
因为菱形ABCD中，且ADIIBC，∠DAB=180°-∠ABC=120°，∠BAC=60°，
所以∠DAE=∠DAB-∠BAC=60°。
在△ADE中，，AE=x，∠DAE=60°，
过D作DG⊥AC于G，∠DAG=60°，则AG=，
，，
在Rt△DEG中，由勾股定理得。
因此，对应选项B.
故答案为：B.
【分析】 本题利用菱形性质与 60° 角构造等边三角形，结合直角三角形边角关系设参数表示线段长，再用勾股定理计算 DE 长度，最终求出 DE 与 BC 的比值。
13．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；弧长的计算；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵CE平分
∴三角形CDE是等边三角形，
过点A作BF的垂线，垂足为M，
的长为：
故答案为：
【分析】根据题意，求出 的度数，进一步求出BF的值，最后结合弧长公式进行计算即可.
14．【答案】(4，2)
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形中，，且点O为坐标原点，
∴，，
∵ 正方形与正方形是位似图形，位似中心为，
∴ 点O与点A为对应顶点，点F与点C为对应顶点，设位似中心为M，过M作射线，，由题意可知，，分别过D，C，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴ 点C的坐标为．
故答案为： .
【分析】根据位似的两个图形相似，然后求出相似比，求出DC长，即可求出点C的横、纵坐标解答即可．
15．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；正方形的性质；轴对称的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：，
则，
过点作垂直于于点，
为等腰直角三角形，
为等腰直角三角形，
，
，
，
∵
∴当B、O、Q三点共线时距离最大，
则最大距离．
故答案为：.
【分析】先根据勾股定理求出的长度，由对称得到，，过点作垂直于于点，再求出到的距离，然后根据等腰直角三角形的面积公式求出OQ=1，当B、O、Q三点共线时距离最大为BQ长，根据线段的和差解答即可．
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接AC，作EH⊥AB于点H，则∠AHE=∠BHE=90°，
∵四边形ABCD是菱形， ∠B=60°，
∴AD=CD=CB=A
B， ∠D=∠B=60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAC=60°，
∵将△ABE沿AE翻折得△AFE， AF与CD相交于点G，点G恰好是CD的中点，
=30°，
∴∠BAF=∠BAC+∠CAF=90°，
∴∠HEA=∠BAE=45°.
且BE=4，
，
故答案为：
【分析】连接AC，作EH⊥AB于点H， 由菱形的性质可得△ABC和△ADC都是等边三角形， 所以∠BAC=∠DAC=60°， 由翻折可得 则∠BAF=90°，所以∠BAE=45°， 则∠HEA=∠BAE=45°， 解直角三角形求出AH=E 即可得到CB=AB=2 在根据线段的和差解答即可.
17．【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵ △BEP与△BCP关于直线BP对，
∴△BEP≌△BCP，
∴BE=BC=2，∠BEP=∠BCP=120°，∠EBP=∠CBP．
过C作CH⊥BD于H，过B作BF⊥PE，交PE的延长线于点F．
∵在等腰△BCD中，BC=CD=2，∠BCD=120°，
∴∠BCH=60°，，
∴．
∵在等腰Rt△BAD中，BA=AD，∠BAD=90°，，
∴.
∵∠BEP=120°，
∴，
在Rt△BEF中，∠EBF=30°，，由勾股定理，得.
在Rt△ABF中，，，由勾股定理，得，
∴AF=BF，△ABF为等腰直角三角形，∠ABF=45°．
∴∠ABE=∠ABF-∠EBF=45°-30°=15°．
在等腰Rt△ABD中，∠ABD=45°，在等腰△BCD中，∠CBD=30°，
由轴对称，∠EBP=∠CBP，即∠ABE+∠ABP=∠CBD+(∠ABD-∠ABP)，
代入∠ABE=15°，∠CBD=30°，∠ABD=45°，得15°+∠ABP=30°+(45°-∠ABP)，解得∠ABP=30°．
∴∠DBP=∠ABD-∠ABP=45°-30°=15°．
在△BDP中，∠BDC是外角，∠BDC=30°，
∴∠BDC=∠DBP+∠BPD，
代入∠BDC=30°，∠DBP=15°，得∠BPD=15°．
∴∠DBP=∠BPD，
∴．
∴.
故答案为：.
【分析】先利用轴对称的性质，得到△BEP≌△BCP，推出BE=2，∠BEP=120°；接着在等腰△BCD中，通过作垂线构造含60°的直角三角形，计算得，再结合等腰Rt△BAD的性质，求出；同时过B作BF⊥PE，在Rt△BEF中，利用30°角的性质得到EF=1，，再通过勾股定理计算得，证明△ABF为等腰直角三角形，得到∠ABF=45°，进而算出∠ABE=15°；再结合∠EBP=∠CBP的关系，建立角度方程15°+∠ABP=30°+(45°-∠ABP)，解得∠ABP=30°，推出∠DBP=15°；再利用三角形外角性质，由∠BDC=30°得到∠BPD=15°，根据“等角对等边”得；最后根据CP=CD+DP，代入CD=2，，计算得．
18．【答案】或
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；角平分线的判定；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接EF，以E为圆心，EB长为半径作圆E，则点A'，B'，A在圆E上，
由旋转可得A'B'=AB，
∴，
∴∠B'A'B=∠ABA'，
又∵ABCD、A'B'C'D'是矩形，
∴∠BAD=∠A'B'C'=∠D=∠C'=90°，
∴∠A'FB'=∠AFB=∠C'FB，
又∵点E是CD的中点，
∴C'E=DE=1，
∴∠C'FE=∠DFE，
∴∠BFE=90°，
∴∠ABF+∠BFA=∠DFE+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠DFE，
∴△ABF∽△DFE，
∴，即，
解得AF=或，
故答案为：或.
【分析】连接EF，以E为圆心，EB长为半径作圆E，则点A'，B'，A在圆E上，根据等弧所对的圆周角相等得到∠B'A'B=∠ABA'，进而可得∠A'FB'=∠AFB=∠C'FB，再根据角平分线的判定得到∠C'FE=∠DFE，即可得到∠BFE=90°，然后证明△ABF∽△DFE，根据对应边成比例解答即可.
19．【答案】
【知识点】矩形的性质；平移的性质；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由平移的性质可知，，，，
矩形沿对角线平移，，，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，即，
在和中，
，，
，即
在和中，
，，
，
，即，
，
，
，，
，
，
，
过点作交的延长线于点，
，
，
在中，，，
在Rt中，，
，
，
，
又，
，
，
设，则，
整理得，
解得，（舍去），
，
．
故答案为：.
【分析】根据平移的性质和矩形性质得到及，根据相似三角形的对应边成比例表示、与，然后根据两角对应相等得到，表示AH长，再根据勾股定理列方程求出AD2解答即可．
20．【答案】6
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】如图，过点M作GH||AB交AD，BC于点G，H，则由材料知S矩形BEMH=S矩形MGDF，
可知S△BEM=S△DMF，
即，
因为BE=CF=4，
所以，
解得MF=6.
【分析】 题目给出了阅读材料：过矩形对角线上一点作平行于两邻边的直线，所得两个小矩形面积相等。在图（2）中，EF∥BC，相当于过点M作了一条平行于BC（即平行于AD）的直线。我们需要利用“S矩形AEFD = S矩形EBCF”这一核心结论。然后，将面积用已知和未知的线段表示出来，建立方程求解MF。
21．【答案】（1）解：如图所示：
（2）证明：连结AO，
∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，
∵OA=OB，∴∠1=∠B=30°，
∴∠2=90°，∴AC是⊙O的切线.
【知识点】切线的判定；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角；尺规作图-过不在同一直线上的三点作圆
【解析】【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，为半径画圆，则圆O即为所作；
（2）连接，根据等边对等角求出∠B和∠A的度数，即可根据角的和差求出∠OAC的度数，证明结论即可．
22．【答案】解：支持小丽，理由如下：
当添加∠B=∠D时，
在△ABC和△ADC中， AB=AD， AC=AC， ∠B=∠D，不符合全等三角形的判定条件，
因此不能判定△ABC和△ADC全等，就得不出BC=CD的结论，
当添加∠B=∠D=90°时，证明如下：
∵∠B=∠D=90°
∴△ABC和△ADC都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，
∴BC=CD.
故答案为：小丽.
【知识点】三角形全等的判定；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】支持小丽，当添加 时，因此不能判定 和 全等，就得不出BC=CD的结论，当添加∠ 时，可得 和 都是直角三角形，进而依据“HL”可判定 和 全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论.
23．【答案】解：错误步骤的序号为②.
正确证明如下：
由正确步骤①知△AOD≌△BOC，所以AD=BC，
因为OA=OB， OC=OD，
所以DB=CA，
在△ABC和△BAD中，
因为
所以△ABC≌△BAD (SSS).
【知识点】三角形全等的判定；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据证明过程逐一判断得到错误步骤；然后根据步骤①可得△AOD≌△BOC，即可得到AD=BC，根据三边对应相等的两三角形全等证明即可.
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA， ∠AEG=∠CFG，
∴△AEG∽△CFG.
（2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB=BC.
∵AB=2BF=4DE，
∴AD=4DE， AE=3DE， CF=2DE，
∴AE：CF=3：2.
∵CG=5，
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据菱形的性质得到即可得到∠DAC=∠BCA，∠AEG=∠CFG，然后证明结论即可；
(2)求出AE：CF=3：2，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可.
25．【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD是矩形，
∵∠A=90°，
∴∠AEM+∠AME=90°，
∴∠AME=∠CFN，
∵AD∥BC，
∴∠MNF=∠CFN，
∴∠AME=∠MNF，
∴FN∥EM；
（2）解： ∵E为AB中点，
∵∠AEM=∠BEF， ∠A=∠B=90°，
∴△AEM≌△BEF(ASA)，
∴BF=AM，
∵AD∥BC，
∴∠CFD=∠MDF=∠AME，
∵∠A=∠C=90°，
∴△AEM∽△CDF，
∴CF=2AM，
∴BC=3AM，
∵BC=AD=4，
【知识点】平行线的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质得到 根据三角形的内角和定理得到 求得 得到 根据平行线的性质得到 等量代换得到∠AM 于是得到结论；
(2)由E为AB中点，得到 根据全等三角形的性质得到BF=AM，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.
26．【答案】（1）证明：因为∠A=120°，AB=AC，
所以∠B=∠C=30°，
所以∠A-∠B=90°或∠A-∠C=90°，
所以△ABC是“类直角三角形”.
（2）解：如图，作AD⊥AC交BC 于点D，
因为∠BAC-∠B=90°，
所以∠B=∠BAD，所以DB=DA.
设DB=DA=x，则CD=8-x，
在直角三角形ADC中，根据勾股定理可得x2+42=(8-x)2，解得x=3.
作AH⊥BC交BC 于点 H，可求出
在直角三角形ABH 中，根据勾股定理可得
【知识点】勾股定理；直角三角形的判定
【解析】【分析】 (1) 先由等腰三角形性质和三角形内角和求出∠B、∠C 的度数，再验证两个内角差为 90°，符合 “类直角三角形” 定义；
(2) 先由∠BAC - ∠B = 90° 结合内角和求出∠C = 90°，再用勾股定理直接计算 AB 的长度。
27．【答案】（1）证明：两个条件均可，
如选①，则证明过程如下：
因为∠B=∠AED.
所以 DE∥BC.
又因为 AB∥CD.
所以四边形BCDE为平行四边形.
如选②，则证明过程如下：
因为BE=CD.又因为AB∥CD，
所以四边形BCDE为平行四边形
（2）解：因为AB‖CD且AD⊥CD，根据平行线的性质，可得AD⊥AB，即∠A=90°，
所以△ADE是直角三角形。
因为四边形BCDE是平行四边形，
所以DE=BC=10。
在Rt△ADE中，由勾股定理AD2+AD2=DE2，代入AD=8，DE=10，得AD2+82=102，
解得AE=6。
因为AE=CD，
所以平行四边形BCDE的底边CD=6，高为AD=8.
根据平行四边形面积公式S=底×高，得S平行四边形BCDE=CD×AD=6×8=48。
综上，平行四边形BCDE的面积为48。
【知识点】平行四边形的判定；平行四边形的面积
【解析】【分析】(1)证明四边形BCDE为平行四边形，核心依据是一组对边平行且相等或两组对边分别平行。选①时，利用同位角相等证DE||BC，结合已知AB‖CD得证；选②时，直接利用BECD且BE=CD得证；
(2)求平行四边形面积，根据AD⊥CD及AB||CD得∠A=90°，结合AE=CD与BCDE是平行四边形(DE=BC=10)，在Rt△ADE中用勾股定理求高AE(即平行四边形的底边上的高)，再用面积公式S=底×高计算。
28．【答案】（1）解：△GEC是等腰三角形，理由如下．
因为折叠，所以∠AEF=∠BEF=180°÷2=90°，所以EF⊥AB．
在正方形ABCD中， AB⊥BC，所以EF∥BC．
所以∠ECB=∠FEC=∠HCE．
所以△GEC是等腰三角形．
（2）解：在正方形ABCD中， BC=CD=AD=2， ∠B=∠BCD=∠D=90°．
因为折叠，所以DM=1， ∠PCB=∠PCB1．
如图，过点 P作PQ∥AD交MC于点T，交CD于点Q，因为PQ∥AD，
所以△TQC∽△MDC， ∠TQC=∠D=90°．
所以
设TQ=x， CQ=2x，则
因为PQ∥AD， AD∥BC，所以PQ∥BC．
可得∠QPC=∠PCB．
所以∠QPC=∠PCB1，所以
由于四边形 PBCQ为矩形，
所以
解得 所以
所以
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得到，利用折叠的性质得到，即可得到，根据等角对等边得到结论即可；
（2）根据折叠的性质得到，过点作交于点，交于点，即可得到，根据对应边成比例设，则，利用勾股定理求出，进而可得，根据矩形的性质得到，求出的值解答即可．
29．【答案】（1）解：如图，直线CD即为所求：
（2）解：图形如图所示：
由作图可知DE平分∠ADC，
∵DA＝DC，
∴AE＝CE（等腰三角形三线合一的性质），
故答案为：等腰三角形三线合一的性质．
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】 题目分为两部分：
(1) 补全作图：核心是理解“作直角边CB的垂直平分线”的目的是得到点D，使得DC = DB（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），从而确保△CDB是等腰三角形。再连接CD，需要证明△ACD也是等腰三角形（利用直角三角形斜边中线性质或角度计算）。
(2) 补充作图并填写理由：根据描述完成角平分线的尺规作图，然后利用“DA=DC”（已证）和“DE平分∠ADC”，结合等腰三角形“三线合一”的性质，推导出AE=CE。
30．【答案】（1）证明：∵∠AGP=∠GAH=∠HPG=90°，
∴四边形AHPG是矩形.
∵四边形ABEF是正方形，∴AB=AF，
∵∠BAF=∠HAG=90°，∴∠BAH=∠DAG.
∴△ABH≌△AFG，∴AB=AF，
∴四边形AHPG是正方形.
（2）解：设，
四边形是正方形，四边形是矩形，
，即．
．
为中点，
．
在和中：
．
．
，，
．
，，
，
，
，
．
，四边形为正方形，
，，
．
由（1）可知，
．
在中，
．
，
整理得：，
解得（舍去），．
．
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质；正方形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据三个角是直角得到AHPG是矩形，然后根据正方形的性质，然后根据ASA得到，即可得到AB=AF，证明结论即可；
（2）根据正方形和矩形的性质，利用AAS得到，即可得到，设，则，再根据两角对应相等得到，根据对应边成比例求出．由（1）知，在中根据勾股定理列方程求出x的值解答即可．
31．【答案】（1）解：∵AB=5， AE=BF，又∵点E， F重合，
∵CE平分∠BCD， ∴∠DCE=∠BCE，即 ；
（2）解：①延长DA， CE交于点 M，作 DN⊥BC于点 N，
∵AD∥BC， CE平分∠BCD，
∴∠M=∠ECB=∠ECD，
设AD=x，得DC=DM=2+x，
∵∠B=∠BAD=∠DNB=90°，
∴四边形ABND 是矩形，
∴DN=AB=5， BN=AD=x，
由勾股定理得， 即
得 即
②延长GA至点G'，使AG'=AG，连结FG'，过点D作 DN⊥BC于点 N，连结NF， NG'.
∵∠G'AF=∠GAF=90°， AG'=AG，
∴AB是GG'的中垂线，
∴FG=FG'.
∵∠DAB=∠ABN=∠DNB=90°，
∴四边形 BNDA 是矩形，
∴AD=BN.
∵AE=BF，
∴△ADE≌△BNF，
∴DE=NF，
∴当FG'+FN取最小值时， DE+FG 取最小值，
∴当N， F， G'三点共线时， FG'+FN=NG'，此时DE+FG取最小值.
∵DG'=AG'+AD=AG+AD=5， DN=AB=5，
∴DE+FG 的最小值
【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】(1)根据已知条件得到 根据三角函数的定义得到结论；
(2)①延长DA， CE交于点M，作 于点N，根据角平分线的定义和平行线的性质的得到 根据三角函数的定义得到 设AD=x，得DC=DM=2+x，根据矩形的性质得到BN=AD=x，DN=AB=5，根据勾股定理即可得到结论；
②延长GA至点G，使AG'=AG，连结FG，过点D作 于点N，连结NF，NG.根据线段垂直平分线的性质得到FG=FG'.根据全等三角形的性质得到DE=NF，当FG'+FN取最小值时，DE+FG取最小值，当N， F， G三点共线时，FG'+FN=NG'，此时DE+FG取最小值.于是得到结论.
32．【答案】（1）解：因为四边形ABCD是菱形，
所以AB = AD， ∠DAB=60°。
所以△ABD是等边三角形。
所以AB=BD。
又因为菱形的对角线互相垂直且平分，
所以
已知 则
在Rt△ABO中， ∠BAO =30°，
所以AB=2BO。
设BO=x，则AB=2x，
根据勾股定理.
可得
解得x =1或x =-1(边长不能为负舍去)，
所以AB=2x=2。
（2）因为△BPQ与△BPA关于BP对称，
所以∠BQP =∠BAP =60°， ∠QBP =∠ABP，
已知BQ⊥AB，则∠ABQ =90°，
所以 45°。
因为四边形ABCD是菱形，
所以AC平分∠DAB，
则
在△ABP中， ∠APB=180°-∠BAP-∠ABP=180°-60°-45°=75°。
因为△BPQ与△BPA关于BP对称，
所以∠BPQ =∠BPA=75°。
则∠APQ=∠BPQ+∠BPA=75°+75°=150°。
所以∠BAC+∠APQ=30°+150°=180°，
所以PQ//AC。
（3）解：①如图2，当PQ⊥AB时，
在 Rt△BQM中， BQ=2， ∠Q=60°
所以
所以
②由于∠Q为定角，BQ为定长，所以BE⊥PQ时，BE最小，有两种情况，如图3，4所示，
在Rt△BEQ中， 又OB=1，所以
所以
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—含30°角直角三角形；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到△ABD是等边三角形，然后设BO=x，根据勾股定理求出x的值解答即可；
（2）根据对称性得到∠BQP =∠BAP =60°， ∠QBP =∠ABP，然后根据菱形的性质和角平分线的定义求出∠BAC=30°，然后根据三角形的内角和定理得到∠APB=75°，进而求出∠APQ=150°，再根据同旁内角互补，两直线平行证明结论即可；
（3）①根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出BM长，即可求出AM长解答即可；
②由题可知∠Q为定角，BQ为定长，所以BE⊥PQ时，BE最小，然后根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出OB长，然后根据线段的和差解答即可.
33．【答案】（1）解：①已知 BD为正方形的对角线，
∴BD 平分∠ABC，即∠ABP=∠CBP．
在△ABP和△CBP中：
△ABP≌△CBP
∴PA=PC．
又已知题目条件 PE=PA，
可得 PC=PE．
△PCE为等腰三角形
②过点 P 作 PH⊥CE，交 CE 于点 H．
∵PC=PE(已证)，且 PH⊥CE，
∴CE=2CH=2EH
在正方形中，对角线
又∵DC∥PH
，即
∵CE=2CH
（2）解：过点 P 作 PG∥BE，交 ED 的延长线于点 G，．
∵BD=6
根据平行线分线段成比例定理，可得：
，
∵PH∥CD，
∴△PGQ∽△CEQ，
，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的判定；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）①根据正方形的性质可，利用SAS得到，根据对应边相等得到PA=PC，再根据等量代换得到 PC=PE，证明结论即可；
②过点作于点，即可得到，根据三线合一得到，根据勾股定理得到，然后根据平行线截对应线段成比例得到，即可得到，证明结论；
（2）过点作，交的延长线于点，根据勾股定理求出BC长，然后根据平行线分线段成比例得到，求出GP长，然后根据PE∥CD得到△PGQ∽△CEQ，根据对应边成比例求出，即可得到，然后求出△PCE的面积，根据高相等的两个三角形的面积比等于对应底的比解答即可．
34．【答案】（1）解：①∵CD平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
②∵，
∴．
由①可得，
∴．
∴．
∴是定值，定值为1
（2）解：过点D作DH⊥EC于点H，DM⊥AF于点M，
∵DC平分∠BCF，
∴HD=DM，
∴，
∵CD平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴
∵，
∴．
∵
∴，
又∵，
∴，
设，则．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴（取正值）
如图，过点D作于H．
∵，
∴．
∴
【知识点】三角形外角的概念及性质；相似三角形的判定；角平分线的概念；求余弦值；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）①根据角平分线的定义和平行线的性质得到，进而根据两角对应相等得到，再根据对应边成比例解答即可；
②根据平行线可得，由①可得，然后求差解答即可；
（2）过点D作DH⊥EC于点H，DM⊥AF于点M，利用角平分线的性质可证得HD=DM，利用三角形的面积公式可证得，再证明，利用平行线的性质可推出，利用等边对等角可证得CE=DE，据此可得到；利用平行可证得△BDE∽△BAC，利用相似三角形的性质及三角形的面积公式可推出，将两个式子相乘，可推出，结合已知条件可得到BC与CE的比值，设，则；利用平行可证得，利用相似三角形的性质可表示出CD的长，过点D作于H，利用等腰三角形三线合一的性质可表示出BH的长，然后利用余弦的定义可求出cos∠CBD的值.
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