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冀教版数学八年级下学期期末仿真模拟试卷一
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图， ABCD的对角线交点在原点，若 A （-1，2)，则点 C的坐标是（　　)
A．（1，-2) B．（-2 1)
C．（2，-1) D．（-1，-2)
2．如图，在△ABC中，点D，E分别为的中点，若，则的长度为（　　）
A．2 B． C．3 D．4
3．如图，用直尺和圆规作菱形，作图过程如下：①作锐角；②以点为圆心，以任意长度为半径作弧，与的两边分别交于点，；③分别以点，为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点，分别连接，，则四边形即为菱形，其依据是（　　）
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
4．如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和5，则的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．四边形ABCD各角之比∠A：∠B：∠C：∠D=1：2：3：4，则这个四边形为（　　）
A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．梯形
6．在一组数据中，最小值是40，组距为10，若这组数据可以分成10组，则这组数据中的最大值可能是（　　）
A．155 B．135 C．115 D．95
7．“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是（　　）
A． B． C． D．
8．某校从名学生中随机抽取名学生进行百米测试，下列说法正确的是（　　）
A．该调查方式是普查
B．样本容量是
C．每名学生的百米测试成绩是个体
D．名学生的百米测试成绩是总体
9．如图，直线交坐标轴于A，B两点，则不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
10．对于一次函数，下列结论正确的是（　　）
A．图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小
C．图象经过第一、二、三象限 D．当时，
11．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(1， )，以原点O为圆心，以OA的长为半径画弧，交x轴负半轴于点B，连接AB.分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧在第二象限交于点C，连接OC.现将线段OC绕原点逆时针旋转，每次旋转90°，则第2026次旋转结束时，点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在 ABCD中， AB=4， AD>AB， ∠ABC=60°， ∠DAC=45°，点 P在边AD上运动且不与点A、D重合，连接 BP，取BP的中点E，过点P作PF⊥AC，垂足为点 F，连接EF，则EF的最小值为（　　)
A．2 B．1 C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分。
13．在函数 中，自变量x的取值范围是　 　.
14．要调查滹沱河的水质情况，应采用的调查方式是　 　（填“抽样调查”或“普查”）．
15．如图，在 ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CB⊥AB，垂足E在线段AB上连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是　 　.
①②EF=CF；
④∠DFB=3∠AEF.
16．如图，点、为平面直角坐标系内两点，线段两端点坐标分别为、，若直线与线段有交点，则的取值范围是　 　．
三、解答题：本大题共8小题，共72分。
17．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC+BD=36，△ABO的周长为30，求AB的长．
18．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC， CE与 BE交于点 E.
（1）求证： 四边形 OBEC是矩形；
（2）若AB=5， CE=3， 求菱形ABCD 的面积.
19．某商场试销A、B两款型号的洗碗机，四个月共售出400台．试销结束后，该商场想从中选择一款洗碗机进行经销，请根据提供的两幅统计图完成下列问题．
（1）第四个月销量占总销量的百分比是 %；
（2）通过计算补全洗碗机月销量的折线统计图；
（3）结合折线统计图，判断该商场应选择哪款洗碗机进行经销？请说明理由．
20． 如图，直线与轴，轴分别交于点，，在线段上取一点，连结，若的面积为3，求直线的解析式．
21．某社区志愿者团队计划参加“社区公益集市活动”，制作了简约版和创意版两种类型的手工钥匙扣进行售卖.每套简约版的成本比每套创意版的成本低8元，7套简约版的成本与5套创意版的成本共148元.
（1）求出每套简约版和每套创意版手工钥匙扣的成本价；
（2）现决定将简约版、创意版手工钥匙扣的销售单价分别定为15元和25元.若两种钥匙扣一共售出120套，简约版钥匙扣不少于20套且不超过60套，那么此次义卖获得的总利润最高是多少元
22．如图1，若一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点.
（1）求A、B的坐标；
（2）点N为y轴上的一点，当△ABN的面积为4时，求点N的坐标；
（3）如图2，Q是直线AB上的一个动点，将点Q绕点P（0，2）顺时针旋转90°，得到点Q'，设点Q的横坐标为a，求点Q'的坐标（用含a的代数式表示）.
23．如图，在 中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高，连结DE，EF，DH，FH。
（1）试判断线段DE与FH之间的数量关系，并说明理由。
（2）求证：
24．操作：将一个直角放在如图1所示的正方形ABCD中，使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。
（1）如图2，当点Q在DC上时，求证：PQ=PB。
（2）如图3，当点Q在DC延长线上时，（1）中的结论还成立吗 请简要说明理由。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形的，O为对角线的交点，
∴点A、C关于原点对称，
∵点A的坐标为（-1，2），
∴点C的坐标为（1，-2），
故答案为：A.
【分析】先证出点A、C关于原点对称，再利用关于原点对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数）求解即可.
2．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： ∵点D， E分别为AB， AC的中点，
∴DE是 的中位线，
故选： A.
【分析】根据三角形中位线定理解答即可.
3．【答案】B
【知识点】菱形的判定；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：由作图过程可知，，
所以依据是“四条边相等的四边形是菱形”．
故选：B．
【分析】由作图过程可知，根据菱形判定定理即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得：，
∵四边形为矩形，
．
故选：C．
【分析】根据题意得，再根据四边形为矩形得即可得答案.
5．【答案】D
【知识点】梯形
【解析】【解答】解：由题意，设四角的度数分别为：x，2x，x，4x，由四边形的内角和为360°，得x+2x+3x+4x=360°，解得x=36°，所以四角分别为：∠A=36°，∠B=72°，∠C=108°，∠D=144°，∠A与∠D互补，∠B与∠C互补，故为梯形．故选D．
【分析】根据四边形的四个角的和为360°，求出四个角，然后根据四个角的大小，判断四边形的形状．
6．【答案】B
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：设最大值为x，则有，
解得，
故选：B．
【分析】根据“组数=（最大值－最小值）÷组距，小数部分要进位”，建立不等式，解不等式即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是，
故答案为：D．
【分析】本题考查了频数与频率，利用了频率公式 ： 频率=频数÷数据总和， 用单词“”中字母e的个数除以字母的总个数即可得到答案．
8．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：A、该调查方式是抽样调查，故A不符合题意；
B、样本容量是，故B不符合题意；
C 、每名学生的百米测试成绩是个体，故C符合题意．
D 、名学生的百米测试成绩是总体，故D不符合题意；
故选：．
【分析】
总体是指研究对象的全体集合；个体是总体的基本组成单元，指总体中的每一个具体研究对象；样本是从总体中通过科学方法选取的一部分个体集合，用于代表总体特征；样本容量是指样本中包含的个体数量；
普查是一种全面、一次性的大规模数据收集优雅，是对研究对象的全部个体进行逐一调查；抽样调查是指随机抽取一部分个体集合来推断总体的调查方式．
9．【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当x＞-3时，函数图象在x轴上方
故不等式的解集是x＞-3.
故答案为：x＞-3.
【分析】观察函数图象在x轴上方时所对应的自变量x的取值范围即可得出答案。
10．【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，原说法错误；
B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误；
C.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误；
D.令，解得，则当时，，说法正确；
故答案为：D．
【分析】将x=0代入解析式求出y的值可判断出A是否正确；再利用一次函数的图象与系数的关系判断B、C是否正确；最后利用不等式求出y的取值范围即可.
11．【答案】D
【知识点】点的坐标；三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；探索规律-点的坐标规律；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵ 点 A(1， )，
∴，
∴OB=OA=2，即点A的坐标为(-2，0)，
∴，
由作图可知BC=AC=AB=，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
如图，过点A作AE⊥x轴于点E，并延长OE到点D，使得DE=OE，连接AD，
则AD=AO=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∴∠ABO=30°，即∠OBC=90°，
∴点C的坐标为，
∵ 将线段OC绕原点逆时针旋转，每次旋转90°，
∴每四次一循环，
又∵2026÷4=506…2，
∴第2026次在第四象限，且与 关于原点对称，
即C的坐标，
故答案为：D .
【分析】根据两点间距离公式求出OA长，然后得到OB长，即可根据据两点间距离求出AB长，根据作图可得BC=AB=AC，得到△ABC是等边三角形，即可得到∠ABC=60°，然后过点A作AE⊥x轴于点E，并延长OE到点D，使得DE=OE，连接AD，得到△OAD是等边三角形，求出∠ABO的度数，即可得到∠OBC=90°，然后得到点C的坐标，再根据每四次一循环，得到点C的位置解答即可.
12．【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：过点作交于点，过点作交于点，延长，交于点，如图：
∵四边形是平行四边形，
故，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，，
∵，，
故是等腰直角三角形，
∴，，
∴；
∵，，
故是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
故，
∵，，
∴，
∴，
∵点是的中点，
故，
∵，，，
∴，
∴，，
故，
当的值最小时，的值最小；
∵，，
故是等腰直角三角形，
∴，
设，则，，
，
，
在中，，
故，
整理得：，
当时，的值最小为，
此时的最小值为，
故，
即的最小值为．
故答案为：B.
【分析】过点作交于点，过点作交于点，延长，交于点，根据平行四边形的性质得到，即可得到，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出，根据等腰直角三角形得出，即可求出，进而得到，根据勾股定理求出，然后根据ASA得到，即可得到，，得到当的值最小时，的值最小；根据勾股定理得出，即可得到当时，的值最小，据此解答即可．
13．【答案】x≠2026
【知识点】分式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意可知x-2026≠0，
解得x≠2026.
故答案为：x≠2026.
【分析】本题考查函数自变量取值范围的求解.根据所给函数解析式，识别出是分式，结合分式有意义的条件（分母不为零），列出不等式x-2026≠0，求解即可.
14．【答案】抽样调查
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】 要调查滹沱河的水质情况，应采用的调查方式是抽样调查，
故答案为： 抽样调查 .
【分析】根据抽样调查和普查的特点进行求解即可.
15．【答案】①②④
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；
延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC，
故S△BEC=2S△CEF错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°-x，
∴∠EFC=180°-2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，
∵∠AEF=90°-x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
故答案为：①②④.
【分析】先得到AF=FD=CD，即可得到∠DFC=∠DCF，再根据平行线的性质得到∠DFC=∠FCB，即可得到∠DCF=∠BCF判断①；延长EF，交CD延长线于M，即可根据ASA得到△AEF≌△DMF，进而得到FE=MF，再根据直角三角形的斜边中线的性质判断②；根据三角形的中线得到S△EFC=S△CFM判断③，设∠FEC=x，则∠FCE=x，根据直角三角形的来那个来那个锐角互余得到∠DCF=∠DFC=90°-x，即可得到∠EFC=180°-2x，求出∠DFE=3∠AEF判断④解答即可.
16．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：因为点Q坐标为，
所以点Q在直线上，
如图所示，
因为点P坐标为，点M坐标为，
所以直线的函数解析式为，
由得，
，
则直线与的交点横坐标为，
因为点P坐标为，点N坐标为，
所以直线的函数解析式为，
由得，
，
所以直线与的交点横坐标为，
所以当直线与线段有交点时，t的取值范围是．
故答案为：．
【分析】
这类 “过定点的直线与线段有交点，求参数范围” 的问题， 先找到线段的两个端点，再分别求出过定点与端点的直线解析式；求出这两条直线与动点轨迹的交点，得到参数的两个边界值；
根据旋转方向，确定参数的取值范围（一般为两个边界值之间的闭区间）。
注意： 直线PQ经过线段MN的端点时，也属于 “有交点” 的情况，因此t的取值范围是闭区间，要包含两个端点；
17．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO=AC，BO=DO=BD，
∴AO+B0=（AC+BD）=18，
∵△ABO的周长为30，
∴AB=30﹣18=12．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】首先根据平行四边形对角线的性质可得出AO+B0=（AC+BD）=18，进而根据三角形周长的定义，即可得出AB=30﹣18=12．
18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∠BOC=90°，
∵CE∥DB， BE∥AC， ∴四边形OBEC是平行四边形，
又∵∠BOC=90°， ∴四边形OBEC是矩形；
（2）解：∵四边形OBEC是矩形， ∴OB=CE=3，
又∵
∴BD=2OB=6， AC=2OA=8，
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）本小题考查矩形的判定、平行四边形的判定与菱形的性质.由已知“CE∥DB， BE∥AC”，利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定四边形OBEC是平行四边形；再结合“菱形的对角线互相垂直”可得到∠BOC=90°；最后根据矩形的判定定理“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可完成证明；
（2）本小题考查矩形的性质及菱形的面积求法，结合勾股定理进行计算.首先，由第（1）问可知四边形OBEC是矩形，根据已知条件可得到OB=3；在Rt△AOB中，利用勾股定理计算出OA=4；最后通过菱形的面积等于对角线乘积的一半得到菱形的面积.
19．【答案】（1）30
（2）第三个月A、B两款洗碗机的销量为：（台），
从折线图可知，第三个月A款洗碗机的销量为50台，
第三个月B款洗碗机的销量为（台）；
第四个月B款洗碗机的销量为：（台），
补全洗碗机月销量的折线统计图如下：
（3）解：该商店应选择B款洗碗机进行经销；理由是B款洗碗机的销量逐月递增，而A款洗碗机的销量有下降趋势．
【知识点】扇形统计图；折线统计图
【解析】【解答】（1）解：
故答案为：30；
【分析】（1）根据1减去其他三个月的百分比即可求出答案.
（2）分别求出洗碗机的销量，再补全图形即可.
（3）根据折线统计图进行分析即可求出答案.
（1）解：（台），
∴第四个月销量占总销量的百分比为：；
故答案为：30；
（2）第三个月A、B两款洗碗机的销量为：（台），
从折线图可知，第三个月A款洗碗机的销量为50台，
第三个月B款洗碗机的销量为（台）；
第四个月B款洗碗机的销量为：（台），
补全洗碗机月销量的折线统计图如下：
（3）该商店应选择B款洗碗机进行经销；理由是B款洗碗机的销量逐月递增，而A款洗碗机的销量有下降趋势．
20．【答案】解：当y=0时，-3x+6=0，
解得x=2，
∴A(2，0)，
当x=0时，y=-3x+6=6，
∴B(0，6)，
∵△ABC的面积为3，
∴，
解得BC=3，
∴C(0，3)，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A(2，0)，C(0，3)分别代入得，
解得
∴直线AC的解析式为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】先根据直线与坐标轴交点的求法确定点A、B的坐标，再利用三角形面积公式求出点C的坐标，最后用待定系数法求出直线AC的解析式.
21．【答案】（1）解：设每套简约版手工钥匙扣的成本价为x元，每套创意版手工钥匙扣的成本价为y元.
根据题意得：
解得：
答：每套简约版手工钥匙扣的成本价为9元，每套创意版手工钥匙扣的成本价为17元.
（2）解：设售出m套简约版手工钥匙扣，总利润为元，则售出套创意版手工钥匙扣.
根据题意得：
即ω=-2m+960
因为-2<0，所以随的增大而减小。
又因为
所以当时，取得最大值，最大值为： (元)
答：此次义卖获得的总利润最高是920元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组与一次函数最值在实际问题中的应用.解题的关键是正确列出方程组和利润函数，并利用一次函数增减性在自变量范围内求最值.
（1）通过设简约版成本为x元、创意版成本为y元，根据“每套简约版成本比创意版低8元”得y x=8，再结合“7套简约版与5套创意版成本共148元”得7x+5y=148，联立解方程组求出单价；
（2）先分别计算每套简约版利润15 9=6元、创意版利润25 17=8元，设售出简约版m套，则创意版120 m套，总利润w=6m+8(120 m)= 2m+960，根据一次函数的性质，由 2<0知w随m增大而减小，结合20≤m≤60，当m取最小值20时，w取最大值920元.
22．【答案】（1）解：一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点
当y=0时，得：，
解得：x=8；
当x=0时，得：y=4，
∴A（8，0），B（0，4）
（2）解：设N(0，n)，则BN=|n-4|，
∵△ABN的面积为4，
∴，
解得：n=3或n=5，
∴N（0，3）或N（0，5）
（3）解：∵点Q的横坐标为a，
∴点Q的纵坐标为，
∵将点Q绕点P(0，2)顺时针旋转90°，得到点Q'，
∴∠QPQ'=90°， PQ=PQ'，
当点Q在点P下方时，
如图2，过点Q作QC⊥y轴交y轴于点C，过点Q'作Q'D⊥y轴交y轴于点D，则∠PCQ=∠Q'DP=90°，
∴QC=a，PC=2-(-1a+4)=-2+1a
∵∠PCQ=90°
∴∠PQC+∠CPQ=∠Q'PD+∠CPQ=90°，
∴∠PQC=∠Q'PD
∵∠PCQ=∠Q'DP=90°，PQ=PQ'
∴∠PQC=∠Q'PD(AAS)，
∴DP=QC=a，
∴DO=a-2，
∴；
当Q在点P上方且在第一象限时，
当Q在第一象限、Q'不在第一象限时，如图3，过点Q作QE⊥y轴交y轴于点E，过点Q'作Q'F⊥y轴交y轴于点F，
∴QE=a，
同理可得PF=QE=a，
∴OF=a-2，
∴；
当Q、Q'均在第一象限时，
如图4，过点Q作QG⊥y轴交y轴于点G，过点Q'作Q'H⊥y轴交y轴于点H，
∴QG=a，，
同理可得PH=QG=a，
∴OH=2-a，
∴；
当Q在点P上方且不在第一象限时，
如图5，过点Q作QM⊥y轴交y轴于点M，过点Q'作Q'N⊥y轴交y轴于点N，
∴QM=-a，
同理可得PN=QM=-a，
∴ON=2-a，
∴，
综上所述，
【知识点】三角形的面积；旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)分别将x=0、y=0代入计算即可；
(2)设N(0，n)，则BN=|n-4|，根据“△ABN的面积为4”列方程求出n的值，进而可知点N的坐标；
(3)根据点Q的横坐标求出点Q的纵坐标，进而根据旋转的性质得到∠QPQ'=90°，PQ=PQ'，分情况根据全等三角形的判定和性质讨论即可.
23．【答案】（1）解：DE=FH。理由如下：
∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴DE、EF都是△ABC的中位线，
∴EF∥AB， DE∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形
（2）证明：∵四边形ADEF 是平行四边形，
∴∠DEF=∠BAC，
∵D，F分别是AB，CA的中点， AH是边BC上的高，
∴DH=AD， FH=AF，
∴∠DAH=∠DHA， ∠FAH=∠FHA，
∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，
∠DHA+∠FHA=∠DHF，
∴∠DHF=∠BAC，
∴∠DHF=∠DEF
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥AB，DE∥AC，再根据平行四边形的定义证明即可；
(2)根据平行四边形的对角相等可得∠DEF=∠BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD， FH=AF， 再根据等边对等角可得∠DAH=∠DHA， ∠FAH=∠FHA， 然后求出∠DHF=∠BAC， 等量代换即可得到结论.
24．【答案】（1）证明：如图1，过点P作PN⊥AB于点N，NP的延长线交CD于点M。
∵在正方形ABCD中，AB∥CD，∠ACD=45°，
∴∠PMQ=∠PNB=∠CBN=90°。
∴四边形CBNM是矩形，△CMP是等腰直角三角形。∴PM=CM=BN。
∵∠NBP+∠BPN=90°，∠BPN+∠MPQ=90°，
∴∠MPQ=∠NBP。
在△PMQ和△BNP中，
∴△PMQ≌△BNP(ASA)。
∴PQ=BP
（2）解：成立。理由如下：如图2，过点P作PN⊥AB于点N，NP的延长线交CD于点M。
同(1)可得△PMQ≌△BNP(ASA)，
∴PQ=BP
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）过点P作正方形对边CD、AB的垂线垂足为M、N，可以证明 从而得出BP=QP；
（2）过点P作正方形对边CD、AB的垂线垂足为M、N，可以证明 从而得出BP=QP.
1 / 1冀教版数学八年级下学期期末仿真模拟试卷一
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图， ABCD的对角线交点在原点，若 A （-1，2)，则点 C的坐标是（　　)
A．（1，-2) B．（-2 1)
C．（2，-1) D．（-1，-2)
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形的，O为对角线的交点，
∴点A、C关于原点对称，
∵点A的坐标为（-1，2），
∴点C的坐标为（1，-2），
故答案为：A.
【分析】先证出点A、C关于原点对称，再利用关于原点对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数）求解即可.
2．如图，在△ABC中，点D，E分别为的中点，若，则的长度为（　　）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： ∵点D， E分别为AB， AC的中点，
∴DE是 的中位线，
故选： A.
【分析】根据三角形中位线定理解答即可.
3．如图，用直尺和圆规作菱形，作图过程如下：①作锐角；②以点为圆心，以任意长度为半径作弧，与的两边分别交于点，；③分别以点，为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点，分别连接，，则四边形即为菱形，其依据是（　　）
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
【答案】B
【知识点】菱形的判定；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：由作图过程可知，，
所以依据是“四条边相等的四边形是菱形”．
故选：B．
【分析】由作图过程可知，根据菱形判定定理即可求出答案.
4．如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和5，则的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得：，
∵四边形为矩形，
．
故选：C．
【分析】根据题意得，再根据四边形为矩形得即可得答案.
5．四边形ABCD各角之比∠A：∠B：∠C：∠D=1：2：3：4，则这个四边形为（　　）
A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．梯形
【答案】D
【知识点】梯形
【解析】【解答】解：由题意，设四角的度数分别为：x，2x，x，4x，由四边形的内角和为360°，得x+2x+3x+4x=360°，解得x=36°，所以四角分别为：∠A=36°，∠B=72°，∠C=108°，∠D=144°，∠A与∠D互补，∠B与∠C互补，故为梯形．故选D．
【分析】根据四边形的四个角的和为360°，求出四个角，然后根据四个角的大小，判断四边形的形状．
6．在一组数据中，最小值是40，组距为10，若这组数据可以分成10组，则这组数据中的最大值可能是（　　）
A．155 B．135 C．115 D．95
【答案】B
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：设最大值为x，则有，
解得，
故选：B．
【分析】根据“组数=（最大值－最小值）÷组距，小数部分要进位”，建立不等式，解不等式即可求出答案.
7．“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是，
故答案为：D．
【分析】本题考查了频数与频率，利用了频率公式 ： 频率=频数÷数据总和， 用单词“”中字母e的个数除以字母的总个数即可得到答案．
8．某校从名学生中随机抽取名学生进行百米测试，下列说法正确的是（　　）
A．该调查方式是普查
B．样本容量是
C．每名学生的百米测试成绩是个体
D．名学生的百米测试成绩是总体
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：A、该调查方式是抽样调查，故A不符合题意；
B、样本容量是，故B不符合题意；
C 、每名学生的百米测试成绩是个体，故C符合题意．
D 、名学生的百米测试成绩是总体，故D不符合题意；
故选：．
【分析】
总体是指研究对象的全体集合；个体是总体的基本组成单元，指总体中的每一个具体研究对象；样本是从总体中通过科学方法选取的一部分个体集合，用于代表总体特征；样本容量是指样本中包含的个体数量；
普查是一种全面、一次性的大规模数据收集优雅，是对研究对象的全部个体进行逐一调查；抽样调查是指随机抽取一部分个体集合来推断总体的调查方式．
9．如图，直线交坐标轴于A，B两点，则不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当x＞-3时，函数图象在x轴上方
故不等式的解集是x＞-3.
故答案为：x＞-3.
【分析】观察函数图象在x轴上方时所对应的自变量x的取值范围即可得出答案。
10．对于一次函数，下列结论正确的是（　　）
A．图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小
C．图象经过第一、二、三象限 D．当时，
【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，原说法错误；
B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误；
C.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误；
D.令，解得，则当时，，说法正确；
故答案为：D．
【分析】将x=0代入解析式求出y的值可判断出A是否正确；再利用一次函数的图象与系数的关系判断B、C是否正确；最后利用不等式求出y的取值范围即可.
11．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(1， )，以原点O为圆心，以OA的长为半径画弧，交x轴负半轴于点B，连接AB.分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧在第二象限交于点C，连接OC.现将线段OC绕原点逆时针旋转，每次旋转90°，则第2026次旋转结束时，点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；探索规律-点的坐标规律；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵ 点 A(1， )，
∴，
∴OB=OA=2，即点A的坐标为(-2，0)，
∴，
由作图可知BC=AC=AB=，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
如图，过点A作AE⊥x轴于点E，并延长OE到点D，使得DE=OE，连接AD，
则AD=AO=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∴∠ABO=30°，即∠OBC=90°，
∴点C的坐标为，
∵ 将线段OC绕原点逆时针旋转，每次旋转90°，
∴每四次一循环，
又∵2026÷4=506…2，
∴第2026次在第四象限，且与 关于原点对称，
即C的坐标，
故答案为：D .
【分析】根据两点间距离公式求出OA长，然后得到OB长，即可根据据两点间距离求出AB长，根据作图可得BC=AB=AC，得到△ABC是等边三角形，即可得到∠ABC=60°，然后过点A作AE⊥x轴于点E，并延长OE到点D，使得DE=OE，连接AD，得到△OAD是等边三角形，求出∠ABO的度数，即可得到∠OBC=90°，然后得到点C的坐标，再根据每四次一循环，得到点C的位置解答即可.
12．如图，在 ABCD中， AB=4， AD>AB， ∠ABC=60°， ∠DAC=45°，点 P在边AD上运动且不与点A、D重合，连接 BP，取BP的中点E，过点P作PF⊥AC，垂足为点 F，连接EF，则EF的最小值为（　　)
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：过点作交于点，过点作交于点，延长，交于点，如图：
∵四边形是平行四边形，
故，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，，
∵，，
故是等腰直角三角形，
∴，，
∴；
∵，，
故是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
故，
∵，，
∴，
∴，
∵点是的中点，
故，
∵，，，
∴，
∴，，
故，
当的值最小时，的值最小；
∵，，
故是等腰直角三角形，
∴，
设，则，，
，
，
在中，，
故，
整理得：，
当时，的值最小为，
此时的最小值为，
故，
即的最小值为．
故答案为：B.
【分析】过点作交于点，过点作交于点，延长，交于点，根据平行四边形的性质得到，即可得到，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出，根据等腰直角三角形得出，即可求出，进而得到，根据勾股定理求出，然后根据ASA得到，即可得到，，得到当的值最小时，的值最小；根据勾股定理得出，即可得到当时，的值最小，据此解答即可．
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分。
13．在函数 中，自变量x的取值范围是　 　.
【答案】x≠2026
【知识点】分式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意可知x-2026≠0，
解得x≠2026.
故答案为：x≠2026.
【分析】本题考查函数自变量取值范围的求解.根据所给函数解析式，识别出是分式，结合分式有意义的条件（分母不为零），列出不等式x-2026≠0，求解即可.
14．要调查滹沱河的水质情况，应采用的调查方式是　 　（填“抽样调查”或“普查”）．
【答案】抽样调查
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】 要调查滹沱河的水质情况，应采用的调查方式是抽样调查，
故答案为： 抽样调查 .
【分析】根据抽样调查和普查的特点进行求解即可.
15．如图，在 ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CB⊥AB，垂足E在线段AB上连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是　 　.
①②EF=CF；
④∠DFB=3∠AEF.
【答案】①②④
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；
延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC，
故S△BEC=2S△CEF错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°-x，
∴∠EFC=180°-2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，
∵∠AEF=90°-x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
故答案为：①②④.
【分析】先得到AF=FD=CD，即可得到∠DFC=∠DCF，再根据平行线的性质得到∠DFC=∠FCB，即可得到∠DCF=∠BCF判断①；延长EF，交CD延长线于M，即可根据ASA得到△AEF≌△DMF，进而得到FE=MF，再根据直角三角形的斜边中线的性质判断②；根据三角形的中线得到S△EFC=S△CFM判断③，设∠FEC=x，则∠FCE=x，根据直角三角形的来那个来那个锐角互余得到∠DCF=∠DFC=90°-x，即可得到∠EFC=180°-2x，求出∠DFE=3∠AEF判断④解答即可.
16．如图，点、为平面直角坐标系内两点，线段两端点坐标分别为、，若直线与线段有交点，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：因为点Q坐标为，
所以点Q在直线上，
如图所示，
因为点P坐标为，点M坐标为，
所以直线的函数解析式为，
由得，
，
则直线与的交点横坐标为，
因为点P坐标为，点N坐标为，
所以直线的函数解析式为，
由得，
，
所以直线与的交点横坐标为，
所以当直线与线段有交点时，t的取值范围是．
故答案为：．
【分析】
这类 “过定点的直线与线段有交点，求参数范围” 的问题， 先找到线段的两个端点，再分别求出过定点与端点的直线解析式；求出这两条直线与动点轨迹的交点，得到参数的两个边界值；
根据旋转方向，确定参数的取值范围（一般为两个边界值之间的闭区间）。
注意： 直线PQ经过线段MN的端点时，也属于 “有交点” 的情况，因此t的取值范围是闭区间，要包含两个端点；
三、解答题：本大题共8小题，共72分。
17．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC+BD=36，△ABO的周长为30，求AB的长．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO=AC，BO=DO=BD，
∴AO+B0=（AC+BD）=18，
∵△ABO的周长为30，
∴AB=30﹣18=12．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】首先根据平行四边形对角线的性质可得出AO+B0=（AC+BD）=18，进而根据三角形周长的定义，即可得出AB=30﹣18=12．
18．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC， CE与 BE交于点 E.
（1）求证： 四边形 OBEC是矩形；
（2）若AB=5， CE=3， 求菱形ABCD 的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∠BOC=90°，
∵CE∥DB， BE∥AC， ∴四边形OBEC是平行四边形，
又∵∠BOC=90°， ∴四边形OBEC是矩形；
（2）解：∵四边形OBEC是矩形， ∴OB=CE=3，
又∵
∴BD=2OB=6， AC=2OA=8，
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）本小题考查矩形的判定、平行四边形的判定与菱形的性质.由已知“CE∥DB， BE∥AC”，利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定四边形OBEC是平行四边形；再结合“菱形的对角线互相垂直”可得到∠BOC=90°；最后根据矩形的判定定理“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可完成证明；
（2）本小题考查矩形的性质及菱形的面积求法，结合勾股定理进行计算.首先，由第（1）问可知四边形OBEC是矩形，根据已知条件可得到OB=3；在Rt△AOB中，利用勾股定理计算出OA=4；最后通过菱形的面积等于对角线乘积的一半得到菱形的面积.
19．某商场试销A、B两款型号的洗碗机，四个月共售出400台．试销结束后，该商场想从中选择一款洗碗机进行经销，请根据提供的两幅统计图完成下列问题．
（1）第四个月销量占总销量的百分比是 %；
（2）通过计算补全洗碗机月销量的折线统计图；
（3）结合折线统计图，判断该商场应选择哪款洗碗机进行经销？请说明理由．
【答案】（1）30
（2）第三个月A、B两款洗碗机的销量为：（台），
从折线图可知，第三个月A款洗碗机的销量为50台，
第三个月B款洗碗机的销量为（台）；
第四个月B款洗碗机的销量为：（台），
补全洗碗机月销量的折线统计图如下：
（3）解：该商店应选择B款洗碗机进行经销；理由是B款洗碗机的销量逐月递增，而A款洗碗机的销量有下降趋势．
【知识点】扇形统计图；折线统计图
【解析】【解答】（1）解：
故答案为：30；
【分析】（1）根据1减去其他三个月的百分比即可求出答案.
（2）分别求出洗碗机的销量，再补全图形即可.
（3）根据折线统计图进行分析即可求出答案.
（1）解：（台），
∴第四个月销量占总销量的百分比为：；
故答案为：30；
（2）第三个月A、B两款洗碗机的销量为：（台），
从折线图可知，第三个月A款洗碗机的销量为50台，
第三个月B款洗碗机的销量为（台）；
第四个月B款洗碗机的销量为：（台），
补全洗碗机月销量的折线统计图如下：
（3）该商店应选择B款洗碗机进行经销；理由是B款洗碗机的销量逐月递增，而A款洗碗机的销量有下降趋势．
20． 如图，直线与轴，轴分别交于点，，在线段上取一点，连结，若的面积为3，求直线的解析式．
【答案】解：当y=0时，-3x+6=0，
解得x=2，
∴A(2，0)，
当x=0时，y=-3x+6=6，
∴B(0，6)，
∵△ABC的面积为3，
∴，
解得BC=3，
∴C(0，3)，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A(2，0)，C(0，3)分别代入得，
解得
∴直线AC的解析式为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】先根据直线与坐标轴交点的求法确定点A、B的坐标，再利用三角形面积公式求出点C的坐标，最后用待定系数法求出直线AC的解析式.
21．某社区志愿者团队计划参加“社区公益集市活动”，制作了简约版和创意版两种类型的手工钥匙扣进行售卖.每套简约版的成本比每套创意版的成本低8元，7套简约版的成本与5套创意版的成本共148元.
（1）求出每套简约版和每套创意版手工钥匙扣的成本价；
（2）现决定将简约版、创意版手工钥匙扣的销售单价分别定为15元和25元.若两种钥匙扣一共售出120套，简约版钥匙扣不少于20套且不超过60套，那么此次义卖获得的总利润最高是多少元
【答案】（1）解：设每套简约版手工钥匙扣的成本价为x元，每套创意版手工钥匙扣的成本价为y元.
根据题意得：
解得：
答：每套简约版手工钥匙扣的成本价为9元，每套创意版手工钥匙扣的成本价为17元.
（2）解：设售出m套简约版手工钥匙扣，总利润为元，则售出套创意版手工钥匙扣.
根据题意得：
即ω=-2m+960
因为-2<0，所以随的增大而减小。
又因为
所以当时，取得最大值，最大值为： (元)
答：此次义卖获得的总利润最高是920元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组与一次函数最值在实际问题中的应用.解题的关键是正确列出方程组和利润函数，并利用一次函数增减性在自变量范围内求最值.
（1）通过设简约版成本为x元、创意版成本为y元，根据“每套简约版成本比创意版低8元”得y x=8，再结合“7套简约版与5套创意版成本共148元”得7x+5y=148，联立解方程组求出单价；
（2）先分别计算每套简约版利润15 9=6元、创意版利润25 17=8元，设售出简约版m套，则创意版120 m套，总利润w=6m+8(120 m)= 2m+960，根据一次函数的性质，由 2<0知w随m增大而减小，结合20≤m≤60，当m取最小值20时，w取最大值920元.
22．如图1，若一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点.
（1）求A、B的坐标；
（2）点N为y轴上的一点，当△ABN的面积为4时，求点N的坐标；
（3）如图2，Q是直线AB上的一个动点，将点Q绕点P（0，2）顺时针旋转90°，得到点Q'，设点Q的横坐标为a，求点Q'的坐标（用含a的代数式表示）.
【答案】（1）解：一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点
当y=0时，得：，
解得：x=8；
当x=0时，得：y=4，
∴A（8，0），B（0，4）
（2）解：设N(0，n)，则BN=|n-4|，
∵△ABN的面积为4，
∴，
解得：n=3或n=5，
∴N（0，3）或N（0，5）
（3）解：∵点Q的横坐标为a，
∴点Q的纵坐标为，
∵将点Q绕点P(0，2)顺时针旋转90°，得到点Q'，
∴∠QPQ'=90°， PQ=PQ'，
当点Q在点P下方时，
如图2，过点Q作QC⊥y轴交y轴于点C，过点Q'作Q'D⊥y轴交y轴于点D，则∠PCQ=∠Q'DP=90°，
∴QC=a，PC=2-(-1a+4)=-2+1a
∵∠PCQ=90°
∴∠PQC+∠CPQ=∠Q'PD+∠CPQ=90°，
∴∠PQC=∠Q'PD
∵∠PCQ=∠Q'DP=90°，PQ=PQ'
∴∠PQC=∠Q'PD(AAS)，
∴DP=QC=a，
∴DO=a-2，
∴；
当Q在点P上方且在第一象限时，
当Q在第一象限、Q'不在第一象限时，如图3，过点Q作QE⊥y轴交y轴于点E，过点Q'作Q'F⊥y轴交y轴于点F，
∴QE=a，
同理可得PF=QE=a，
∴OF=a-2，
∴；
当Q、Q'均在第一象限时，
如图4，过点Q作QG⊥y轴交y轴于点G，过点Q'作Q'H⊥y轴交y轴于点H，
∴QG=a，，
同理可得PH=QG=a，
∴OH=2-a，
∴；
当Q在点P上方且不在第一象限时，
如图5，过点Q作QM⊥y轴交y轴于点M，过点Q'作Q'N⊥y轴交y轴于点N，
∴QM=-a，
同理可得PN=QM=-a，
∴ON=2-a，
∴，
综上所述，
【知识点】三角形的面积；旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)分别将x=0、y=0代入计算即可；
(2)设N(0，n)，则BN=|n-4|，根据“△ABN的面积为4”列方程求出n的值，进而可知点N的坐标；
(3)根据点Q的横坐标求出点Q的纵坐标，进而根据旋转的性质得到∠QPQ'=90°，PQ=PQ'，分情况根据全等三角形的判定和性质讨论即可.
23．如图，在 中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高，连结DE，EF，DH，FH。
（1）试判断线段DE与FH之间的数量关系，并说明理由。
（2）求证：
【答案】（1）解：DE=FH。理由如下：
∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴DE、EF都是△ABC的中位线，
∴EF∥AB， DE∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形
（2）证明：∵四边形ADEF 是平行四边形，
∴∠DEF=∠BAC，
∵D，F分别是AB，CA的中点， AH是边BC上的高，
∴DH=AD， FH=AF，
∴∠DAH=∠DHA， ∠FAH=∠FHA，
∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，
∠DHA+∠FHA=∠DHF，
∴∠DHF=∠BAC，
∴∠DHF=∠DEF
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥AB，DE∥AC，再根据平行四边形的定义证明即可；
(2)根据平行四边形的对角相等可得∠DEF=∠BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD， FH=AF， 再根据等边对等角可得∠DAH=∠DHA， ∠FAH=∠FHA， 然后求出∠DHF=∠BAC， 等量代换即可得到结论.
24．操作：将一个直角放在如图1所示的正方形ABCD中，使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。
（1）如图2，当点Q在DC上时，求证：PQ=PB。
（2）如图3，当点Q在DC延长线上时，（1）中的结论还成立吗 请简要说明理由。
【答案】（1）证明：如图1，过点P作PN⊥AB于点N，NP的延长线交CD于点M。
∵在正方形ABCD中，AB∥CD，∠ACD=45°，
∴∠PMQ=∠PNB=∠CBN=90°。
∴四边形CBNM是矩形，△CMP是等腰直角三角形。∴PM=CM=BN。
∵∠NBP+∠BPN=90°，∠BPN+∠MPQ=90°，
∴∠MPQ=∠NBP。
在△PMQ和△BNP中，
∴△PMQ≌△BNP(ASA)。
∴PQ=BP
（2）解：成立。理由如下：如图2，过点P作PN⊥AB于点N，NP的延长线交CD于点M。
同(1)可得△PMQ≌△BNP(ASA)，
∴PQ=BP
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）过点P作正方形对边CD、AB的垂线垂足为M、N，可以证明 从而得出BP=QP；
（2）过点P作正方形对边CD、AB的垂线垂足为M、N，可以证明 从而得出BP=QP.
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