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内蒙古赤峰市松山区2025-2026学年第二学期高一年级期中学业质量检测数学试题
一、单选题
1．已知复数 ，则的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．（ ）．
A． B． C． D．
3．在中，角、、的对边分别为、、，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．在中，已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，，满足，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．是所在平面内一点，动点满足，则的轨迹一定通过的（ ）
A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心
7．在中，点在边上，且，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
8．函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．在复平面内对应的点位于第一象限
10．函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的有（ ）
A．是的一条对称轴
B．在上单调递增
C．的一个对称中心为
D．是偶函数
11．在中，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 为钝角三角形
B．若为的重心，则
C．若，则为钝角三角形
D．在中，
三、填空题
12．在中，角，，对应的边分别为，，，已知， ，若有两解，则的取值范围是_______________（写成区间的形式）
13．《中国建筑史》（梁思成著）载：“大雄殿之左侧白塔凌空，高十三级，甚峻拔”.该塔位于莲溪县赤城镇白塔街，坐西向东，为四方形楼格式砖石塔，塔身白色，共十三层，自宋代始建以来至今已余年，充分体现了中国传统建筑技术水平.某数学兴趣小组为了测得塔高，如下图，在点测得塔底位于北偏东方向上的点处，塔顶的仰角为，在的正东方向且距点的点测得塔底位于北偏西方向上（，，在同一水平面），则塔的高度约为____________（结果精确到整数，参考数据：）
14．正六边形在中国传统文化中象征着“六合”与“六顺”，这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒，古建筑的窗户，古井口等.已知个边长均为的正六边形的摆放位置如图所示，为正六边形的顶点，是这个正六边形内部（包括边界）的动点，则的最大值为______________

四、解答题
15．已知向量，.
(1)求；
(2)若向量与垂直，求实数的值；
(3)设满足且，求的坐标.
16．已知复数，，且为纯虚数．
(1)求复数；
(2)设、在复平面上对应的点分别为A、B，O为坐标原点．求向量在向量上的投影向量的坐标．
17．已知函数（其中，，）.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选出两个作为已知，使得函数唯一确定.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的最大值和最小值.
条件①：；
条件②：是的对称中心；
条件③：可以由函数平移得到.
18．如图，在四边形，，，，.
(1)若，，求；
(2)求的值.
19．已知锐角三角形的内角，，对应的边分别为，，，且满足.
(1)求角；
(2)若，求面积的取值范围；
(3)求的取值范围.
参考答案
1．D
【详解】，故的虚部为2026.
2．D
【详解】
.
故选：D
3．C
【详解】由，得，
由余弦定理的推理得，
又因为,
所以.
故选：C.
4．B
【详解】因为，所以，
所以，
所以，且，
所以.
5．B
【详解】因为，，且，
所以，
所以.
6．A
【详解】因为是与，同方向的单位向量的和向量，
所以向量所在的直线平分，
所以向量终点在的角平分线上，
则的轨迹一定通过的内心.
7．D
【详解】因为为的中点，且，
所以.
8．A
【详解】由题意知：或
∴或
∴或
∵在上单调递减，∴
∴

①当时，取知
此时，当时，
满足在上单调递减，∴符合
取时，，此时，当时，满足在上单调递减，∴符合
当时，，舍去，当时，也舍去
②当时，取知
此时，当时，
，此时在上单调递增，舍去
当时，，舍去，当时，也舍去
综上：或2，.
故选：A.
9．AB
【详解】已知复数，，则.
，，
在复平面内对应的点.
10．AD
【详解】由图知，则，
，所以，则，
即
因为，所以，，即，
因为，得，所以
所以
对于选项A：当时，，故A对
对于选项B： 的单调递增区间为，
解得，
当时，故在上单调递增，在上单调递减，故B错
对于选项C：，故C错
对于选项D：，
所以是偶函数，故D对，
故选：AD．
11．BCD
【详解】在中，，则，
又因为，故为锐角，无法判断为钝角三角形，故A错误；
如图，设为的中点，点为的重心，
则，即，所以，故B正确；
由及正弦定理，得，
由余弦定理，得，
所以是钝角三角形，故C正确；
，
根据正弦定理得，故D正确.
12．
【详解】根据正弦定理，，则.
有两解，则角有两个不同的取值.
因为，所以存在两个不同的对应同一个，
因此，即，
因此的取值范围是.
13．36
【详解】由题设，在中，
，
由正弦定理得， ，
则m，
在中，由，
则,
所以m.
14．
【详解】

如图，过作交延长线（或反向延长线）于点，
则，
因为个正六边形的边长均为，如图，当位于点时，取得最大值，
此时，，，
则此时，即.
15．(1)
(2)
(3)或
【详解】（1）因为，，
所以，
所以.
（2）因为，，
所以，
又与垂直，所以，
即，解得.
（3）因为，
所以设，
所以，
解得或，
当时，；当时，.
所以的坐标为或.
16．(1)；
(2)
【详解】（1）由已知可得，
因为为纯虚数，所以；
（2）由（1）可得，即，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为.
17．(1)
(2)最大值为2，最小值为
【详解】（1）①，由，得；
②，由是的对称中心，得，
则，；
③，由，
因为可以由函数平移得到，
则，.
由上述可知，要使函数唯一确定，则必须要选③.
选①③，由上述可知，，，，
则，即，
所以或，，
则或，，
又，则，即.
选②③，由上述可知，，，，，
则，，即，，
又，则，即.
（2）由，得，
则，则，
所以函数在上的最大值为2，最小值为.
18．(1)
(2)
【详解】（1）在中，由正弦定理得，
即，
解得，所以，
则为等腰直角三角形，所以，
则．
在中，由余弦定理得
，
所以．
（2）设，则由题意可知，．
在中，由正弦定理得，即，
即，
在中，由正弦定理得，即，即，
又，所以，
所以，解得，所以．
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，
所以，
即，所以，
即，因为是锐角，所以.
（2）因为，
所以，
因为，解得,
由正弦定理可得，
因为，
所以,
由，可知，所以,
所以，所以.
（3）由，可设，
则，
由正弦定理，，
由（2）知，，，
由对勾函数的单调性知，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
当时，，当时，，
所以，即的取值范围为.

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