资源简介

内蒙古赤峰市松山区2025-2026学年高二第二学期期中学业质量检测数学试题
一、单选题
1．函数在处的瞬时变化率为（ ）
A． B． C． D．
2．从5名男生和3名女生中选出2名男生1名女生，组成一个学习小组，不同的选法共有（ ）
A．15种 B．30种 C．45种 D．90种
3．的展开式中常数项为（ ）
A． B．20 C． D．15
4．若函数在处取得极值，则实数（ ）
A． B． C． D．
5．将8个外观相同的苹果分给甲、乙、丙三人，每人至少分到1个苹果，共有不同的分法（ ）
A．15种 B．18种 C．21种 D．24种
6．已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值
C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值
D．函数的最小值为
7．已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（ ）
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
8．关于x的方程有两个不同实根，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．关于排列组合，下列说法正确的是（ ）
A．从n个不同元素中取出m个元素的排列数
B．组合数满足
C．
D．有6名同学排队，其中甲乙不相邻，则共有480种不同的排法
11．已知函数与的定义域均为，分别为的导函数，，，若为奇函数，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B．.
C． D．
三、填空题
12．曲线在点处的切线方程为__________.
13．花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.元宵节灯展后，悬挂有8盏不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，则不同的取法共__________种.
14．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出著名的杨辉三角.由此可见我国古代数学的成就就是非常值得中华民族自豪的.如上图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为，以下关于杨辉三角的猜想中正确的序号有______.（写出所有正确的序号）
①由“与首末两端等距离的两个二项式系数相等”猜想
②由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数之和”猜想
③第9条斜线上各数之和为55
④在第条斜线上，各数从左往右先增大后减小
四、解答题
15．某校为弘扬传统文化，开设了“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.
(1)若课程“乐”“数”排在相邻两周，求不同的安排方案种数；
(2)若课程“礼”不排在第一周，“数”不排在最后一周，求不同的安排方案种数；
16．记函数的导函数为，已知，．
(1)求实数的值；
(2)求函数在上的值域．
17．已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3).
18．已知函数，.
(1)若函数在上单调递增，求的最小值；
(2)若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围．
19．已知函数(其中为自然对数的底数).
(1)当时，试求函数在上的最值；
(2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)设，证明：.
参考答案
1．C
【详解】因为，
所以，函数在处的瞬时变化率为
.
故选：C.
2．B
【详解】第一步：从5名男生中选出2名男生有种选法；
第二步：从3名女生中选出1名女生有种选法；
由分步乘法计数原理可知：共有种不同的选法.
3．A
【详解】由题意得的通项公式为，
令，可得，即其常数项为.
4．A
【详解】由题意知函数的定义域为，
由可得，
函数在处取得极值，，
，此时，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
经检验时函数在处取得极值.
5．C
【详解】8个苹果间会产生7个空隙，任选2个空隙将苹果分开，即分成三份，共有种分法．
故选：C.
6．C
【详解】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增，
又a因为，，且当时，；当c当x>e时，．所以函数在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确．
由题图可知，当时，，所以函数在[d，e]上单调递减，从而，所以D不正确．
故选：C．
7．C
【详解】由已知，故，故通项为（，1，…，8），故奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，
故最大，因此第七项的系数最大，
故选：C．
8．B
【详解】方程，令函数，
而，则函数在R上单调递增，又方程等价于，
因此，
令函数，依题意，方程有两个不同实根，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
又，当时，恒有，
则当且仅当时，方程有两个不同实根，
所以实数a的取值范围为.
9．ACD
【详解】对于A，由指数函数的导数公式得，故A正确，
对于B，由正弦函数的导数公式得，故B错误，
对于C，由对数函数的导数公式和导数的乘法法则得，故C正确，
对于D，由导数的除法法则得，故D正确.
10．ABD
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，由组合数的性质，故B正确；
对于C，由，则，故C错误，
对于D，先将甲、乙以外的个人排好，形成个空位，
然后将甲、乙两人排入这个空位，
所以不同的排队方法有种，故D正确.
11．ACD
【详解】由得：，
，关于中心对称，则，
为奇函数，，左右求导得：，
，为偶函数，图象关于轴对称，
，
是周期为的周期函数，
，C正确；
，，又，
，A正确；
令，则，，
又，，，
即，D正确；
，，
设，则，，
又为奇函数，，，
即，B错误.
故选：ACD.
12．
【详解】，所以，根据导数的几何意义可知切线的斜率为，
由点斜式写出切线方程为：，整理得：.
13．
【详解】由题意，对8盏不同的花灯进行取下，
先对8盏不同的花灯进行全排列，共有种方法，
因为取花灯每次只取一盏，而且只能从下往上取，
所以必须除去重复的排列顺序，即先取上方的顺序，
故共有取法总数为.
14．①②④
【详解】对于①，②，根据二项式系数的性质，结合杨辉三角，
可得，成立，故①，②正确；
对于③，④，第1条斜线上的数为，第2条斜线上的数为，
第3条斜线上的数为，第4条斜线上的数为，
第5条斜线上的数为，第6条斜线上的数为，
第7条斜线上的数为，
由此归纳得到，第条斜线上的数依次为，
第条斜线上的数依次为，
所以第条斜线上各数字为，
和为，故③错误；
而结合二项式性质得在第条斜线上， 各数从左往右先增大后减小，故④正确.
15．(1)
(2)
【详解】（1）将课程“乐”“数”排在相邻的两周，共有种排法.
（2）若课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，
分两种情况进行讨论，若课程“礼”排在最后一周，有种排法，
若课程“礼”不排在最后一周，有种排法，
共有种排法.
16．(1)
(2)．
【详解】（1）
因为，所以，解得
（2）由（1）可知
由，解得或；由，解得
所以函数在，单调递增；在单调递减
又，，，．
所以，，
所以函数在上的值域为．
17．(1)
(2)1093
(3)
【详解】（1）当时，；
当时，；
故；
（2）当时，；
由（1）知，
所以；
（3）由题意得，
左右两侧同时求导，可得，
令，得到.
18．(1)
(2)
【详解】（1）解：由已知可得，则，
因函数在上单调递增，
所以对任意的恒成立，
又因为函数在上为增函数，
则，解得，故实数的最小值为.
（2）解：，令，可得，
因为函数的图象与有且只有一个交点，
令，则函数的图象与直线只有一个公共点，
则，令，解得或，令，解得，
所以在、上单调递增，在上单调递减，
则的极大值为，极小值为，
的图象如下所示：
由图可知，当或时，函数的图象与直线只有一个公共点，
因此，实数的取值范围是.
19．(1)
(2)
(3)证明见解析．
【详解】（1）当时，，，
当时，；当时，．
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得最小值，
易知，则最大值．
（2）若对任意，不等式恒成立，即：恒成立
当时，恒成立．
令，则．
当，，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以时，取最小值，所以．
当时，若时，恒成立；
若，取，则显然不满足，所以
综上，
（3）在（2）中，令可知对任意实数x都有，当时，取等号，
两边同量取对数得：，当时，取等号，故：(当时，取等号)，
所以：
则：
即：

展开更多......

收起↑