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2025-2026学年度第二学期期中考试
高一数学试题
注意事项：
1.答题前填写好自已的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
3.考试时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在年小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的
1.sin(-240)=()
A.
2
B.⑤
2
c
D.
2.已知复数：片2，则=（)
A.√5
B.3
C.5
D.5.
3.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边，若a=2√5，b=2√2，A=60°，则角B=()
A.45°或135°B.135
C.60
D.45
4.已知非零向量a,b满足|a=31b1,且(a+b)Lb,则cos(a,b)=（)
B.
c.-2W2
D.2w2
3
3
5.为了得到函数y=3cos
的图像，可以将函数y=3cosx的图象上()
A。每个点的横坐标缩短到原来的号信，纵坐标不交，再向左平移石个单位
B。每个点的横坐标缩短到原来的号信，纵坐标不变，再向右平移石个单位
C.每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移工个单位
16
D,每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移兀个单位
16
6,已知锐角a的终边与单位圆相交于点Pm引则c侧2a+引(）
A
4
25
B.
5
c.312
D._17W2
50
50
高一下学期期中考试数学试题
第1页共4页
7.设△ABC的面积为S,角A、B、C所对的边分别为a、b、C,且b2=a2+c2-ac,若
AC.AB=2√3S,则此三角形的形状为（)
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
8.已知ae0,引
2sinB=cos(a+Bsina,则tanB的最大值为（)
A.
B.6
12
C.6
D.3
6
4
6
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是()
A.若A>B,则sinA>sinB
B.若△ABC是锐角三角形，则sinA>cosB
C.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形
D.若A=30°，b=4,a=3,则△ABC有两解
10.已知函数f(x)=Asin(@x+)(其中A>0,0>0,网<受)
的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()
2
A.f(x)的最小正周期为π
11兀
B.∫(x)的单调递增区间为
3
6
C.∫(x)的图象向左平移”个单位后的函数是偶函数
6
D.f在[骨
上有3个零点
11.已知△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,O为△ABC的外心，b=4,c=5,
△ABC的面积S满足(b+c)2-a2=4W3S.若AO=λAB+μAC,则下列结论正确的是（)
AA=
B.S=10W3
C.A0.8c=-
2
D.A+u=号
高一下学期期中考试数学试题
第2页共4页2025-2026 学年度第二学期期中考试
高一数学试题
1 2 3 4 5 6 7 8
B C D A B D B A
9 10 11
ABD ABC ACD
一、单选题
1． （ ）
A． B． C． D． 【答案】B
2．已知复数 ，则 （ ）
A． B．3 C． D．5【答案】C
【详解】因为 ；故 ．
3．已知 分别为 的三个内角 的对边，若 ，则角 （ ）
A． 或 B． C． D． 【答案】D
【详解】在 中， ，由正弦定理得 ，
由 ，得 ，所以 .
4．已知非零向量 满足 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D． 【答案】A
【详解】由 可得： ，整理可得： ，
根据数量积定义可得： ，又因为 ，所以 ，又因为 为非零向量，
所以 ，所以等式约去 ，整理可得： .
5．为了得到函数 的图像，可以将函数 的图象上（ ）
A．每个点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位
B．每个点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位
C．每个点的横坐标伸长到原来的 4倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位
试卷第 1页，共 3页
D．每个点的横坐标伸长到原来的 4倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位【答案】B
【详解】将函数 的图象上每个点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，可以得到 ，
再向右平移 个单位，得到 .
6．已知锐角 的终边与单位圆相交于点 ，则 （ ）
A． B． C． D． 【答案】D
【详解】由题意得 ， ，
7．设 的面积为 ，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ，若 ，则此三
角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】B
【详解】因为 ，所以 ，因为 ，故 ，
因为 ，即 ，即 ，化简得 ，
因为 ，故 ，可得 ，则 ，故 ，
因此， 为直角三角形，故选：B.
8．已知 ， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D． 【答案】A
【详解】因为 ，所以 ，
两边同除以 ，得 ，所以 ，因为 ，所以
，所以
试卷第 1页，共 3页
，当且仅当 ，即 时取等号，所以 最大值为 ．
二、多选题
9． 的内角 的对边分别为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 是锐角三角形，则
C．若 ，则 为等腰三角形
D．若 ， ， ，则 有两解【答案】ABD
【详解】A：由 ，本选项正确；B：因为 是锐角三角形，
所以 ，因为 是锐角三角形，所以 都是锐角，
所以由 ，本选项正确；
C：因为 ，所以 ，所以由 ，或 ，
由 ，此时该三角形是等腰三角形；由 ，此时该三角形是直角三角形，
所以 为等腰三角形或直角三角形，本选项不正确；
D：由正弦定理可知 ，
因为 ，所以 ，当 为锐角时，显然 ，符合题意；
当 为钝角时， ，符合三角形内角和定理，所以△ABC有两解，本选项正确.
10．已知函数 （其中 ， ， ）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最小正周期为π
B． 的单调递增区间为 ，
C． 的图象向左平移 个单位后的函数是偶函数
D． 在 上有 3个零点【答案】ABC
【详解】由图象可知 ，因为 ，根据正弦函数的周期公式 ，
由 可得 ，又 ，解得 ，所以 ；
把 代入 得 ，即 ，
试卷第 1页，共 3页
因为 ，所以 ，解得 ，则 ；
由前面计算已经得出 ，所以 的最小正周期为 ，选项 A正确；
令 ，先解不等式 ，移项可得 ，即 ，解
得 ，再解不等式 ，移项可得 ，即 ，解得 ，
所以 的单调递增区间为 ，选项 B正确；
的图象向左平移 个单位，根据“左加右减”原则，得到 ，
对于函数 ， ，所以 是偶函数，选项 C正确；
令 ，则 ，解得 ，
当 时， 时， ； 时， ，
所以 在 上有 个零点，选项 D错误.故选：ABC.
11．已知 的内角 A，B，C所对边的长分别为 a，b，c，O为 的外心， ， ， 的面积 S满
足 .若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D． 【答案】ACD【
【详解】对于 A，由余弦定理知， ，
， ，
，即 ， ，
， ， ， A选项正确；对于 B， ， B选项错误；
对于 D， 为 的外心， 为 中点，则 ，如图所示，
所 以 ， 同 理
，
①，
②，
由①②得， ， ， ，D选项正确；
对于 C， ，C选项正确.
三、填空题
试卷第 1页，共 3页
12．已知向量 的夹角为 ，则 __________.【答案】
【详解】由题意可得 ，可知
.
13．记 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，其面积为 S，已知 ，则 _____
【答案】 【详解】因为 ，且 ， ，
故 ，则由余弦定理可得 ，
又 ，故 .
14．已知函数 在区间 上恰有 2个零点，则 的取值范围为__________．
【答案】
【详解】由题设 ，且 ，由 在区间 上恰有 2个零点，
只需 内恰有 2个整数，即 ， ，
当 ，则 ，
当 ，则 ，
当 ，则 ，无解，同理 时， 均无解，综上， 的取值范围为 .
四、解答题
15．已知 与 的夹角是
(1)计算 ；
(2)求 和 的夹角的余弦值．
【详解】（1）因为 与 的夹角是 所以 ----------------------3分
------------------------------------------------7分
（2）因为 ----------------------------------------------------------------------------------10分
设 和 的夹角为 ，则 -----------------------------------------------------------------13分
16．已知函数 .
试卷第 1页，共 3页
(1)求函数 的最小正周期及单调递增区间；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度得到 的图象，求函数 在 上的
取值范围.
【详解】（1）因为 ----------------2分
-------------------------------------------------------------------------------4分
所以函数 的最小正周期为 ----------------------------------------------------5分
由 可得 ，----------------------------------------7分
故函数 的单调递增区间为 .----------------------------------------------------8分
（2）将函数 的图象向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度得到 的图象，
则 ，--------------------------------------------------11分
当 时， -------------------------------------------------------12分
则 ， ---------------------------------------------------------------------------------------------------13分
故 .故函数 在 上的取值范围为 .----------------------------------------------15分
17．在 中，它的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 的面积.
【详解】（1）因为 ， ， ，
所以由正弦定理得： --------------------------------------2分
因为 ，所以 或 .-------------------------------------------------------4分
所以当 时， ，符合题意； --------------------------------------------5分
所以当 时， ，符合题意. ------------------------------------------------6分
（2）在 中，因为 ，---------------------------------------------8分
所以
，把 ， ，
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代入得 ---------------------------------------11分
又因为 ，
所以 ， ，所以 ， --------------------------------------------------------13分
所以 ，所以 的面积为 .------------------15分
18．设函数 的部分图象
如图所示．
(1)求函数 的解析式；
(2)若 ，求 的值．
(3)若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【详解】（1）由图得 ， -------------------------1分
，所以 ，故 ， ------------------2分
所以 ，
将 代入 得 ，
所以 ，
又 ，所以 ------------------------------4分
所以 ． ------------------------------5分
（2）因为 ，
所以 ，即 ， ------------------------------------6分
又因为 ，所以 ， ----------------------------7分
所以 ， --------------------------8分
所以 ． ------------------------------------------------10分
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（3）因为 ，所以 ，所以 ，---------------------------------------------12分
所以 ， -------------------------------------------13分
令 ，因为不等式 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，所以 ，--------------------------------------14分
又 ，
所以函数 在 上单调递增，
所以当 时，有 -------------------------------16分
所以 ，即 ． ----------------------------------------17分
19．赵爽是我国古代数学家，大约在公元 222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽
弦图”（如图 1所示，由 4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形拼成一个较大的正方形）.类比“赵爽弦图”，
可构造如图 2所示的图形，它是由 3个全等的三角形和中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形.
(1)图 1中直角三角形的两锐角分别为 ， ，其中小正方形的面积为 9，大正方形的面积为 25，求 的值；
(2)图 2中 的面积为 ， 的面积为 ，
（ⅰ）若 ， ，求 的值；
（ⅱ）若 ，设 ，求 的值.
【详解】（1）因为图 1中小正方形的面积为 9，大正方形的面积为 25，所以小正方形的边长为 3，大正方形的边长为
5，因为直角三角形的两锐角分别为 ， ，
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所以直角三角形的两直角边分别为 ， ，
所以 ，即 -----------------------------2分
因为 ， ，
所以 ， ------------------------------3分
所以 ，
，
解得 ， 所以 . ------------------------------------5分
（2）（ⅰ）因为 的面积为 ， 的面积为 ，
所以 ， ，
所以 的边长为 ， 的边长为 ， -----------------------------------------------6分
因为 ，设 ，
所以，在 中，由余弦定理得 ，
即 ，
所以 ，解得 或 （舍）， --------------------------------------------------8分
所以 ， ，
所以 ， --------------------------------9分
所以 ； ---------------------------------------------------10分
（ⅱ）设 ，
因为 ，所以 ，即 ，----------------------------------------11分
由题意知， ，
所以，在 中，由余弦定理得 ，
即 ，整理得 ，
所以 ，解得 ， ------------------------------------------------------------------13分
所以 ，
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所以，在 中，由正弦定理得 ，即 ，解得 ，--------------------------15分
因为 ，
所以 . ---------------------------------------- 17分
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