资源简介

2025-2026学年下期期中考试高二数学学科试题卷
注意事项：
本试卷分为选择题和非选择题两部分。考试时间120分钟，满分150分。考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡。
第Ⅰ卷 选择题(选择题，共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1．已知，则（ ）
A． B．2 C． D．
2．若的展开式中各二项式系数和为64，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．设为实数，若随机变量的分布列为，
则（ ）
A． B． C． D．
4．2026年5月8日，郑州中学红梅街校区第二届科技节盛大举行，活动内容丰富多样，包括机器人对抗赛、科技盲盒实验室、编程闯关挑战、无人机飞行表演、VR虚拟体验等多个项目，受到了全校师生的热烈欢迎和一致好评。现从报名的同学中选出5位在科技方面各有特长的同学（分别擅长机器人、编程、3D建模、无人机操作、VR内容制作），要将他们分配到3个不同的活动展台（分别是：“智能硬件体验区”“创意编程工坊”“未来科技演讲台”），每个展台至少安排一名同学负责讲解与展示。那么，符合要求的分配方案共有多少种？ （ ）
A．90 B．100 C．150 D．180
5．函数的部分图象如图所示，是的导函数，给出下列四个结论：
①；
②；
③；
④
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知为等比数列的前n项和，，，则（ ）
A．152 B．162 C．165 D．172
7．已知函数有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．记为数列的前项和，.则（ ）
（ ）
A．2024 B．2025 C．1012 D．1013
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分.
9．已知是等差数列的前项和，且，则下列选项正确的是（ ）
A．数列为递增数列 B．的最大值为
C． D．
10．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）、先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的是（ ）
A．事件与相互独立 B．
C． D．
11．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．在处取得最小值
C．时，恒成立 D．
第Ⅱ卷 非选择题(共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．在的展开式中，第项的系数是_____.
13．如图所示，正方形的边长为，取正方形各边的中点，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形，依此方法一直继续下去.如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于______.
14．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则______；______．(第一空2分，第二空3分)
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(13分）
已知函数，．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
16．（15分）
DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，B两个部门全体员工共60人参加培训．
(1) 此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望；
(2)若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）．
17．（15分）
已知正项数列的前n项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
18．（17分）
泊松分布（Poisson Distribution）是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量的所有可能取值为0，1，2，…，且，，其中，则称服从泊松分布，记作.
(1)当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若，求的近似值；
(2)已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有.已知某快递公司共有20000个包裹待配送，每个包裹有0.00015的概率出现配送延迟.试估计某天出现至少3起配送延迟的概率；（保留两位有效数字）
(3)若，且，求的取值范围.
参考数据：若，，，则有，，.
19．（17分）
已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数，若二阶导函数，则称为上的凸函数.
(1)若函数是上的凸函数，求实数的取值范围.
(2)已知函数.
①若是上的凹函数，求实数的取值范围；
②若在内有两个不同的零点，证明：.2025-2026 学年下期期中考试高二数学学科试题卷
《试卷学生》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A C C B D D BCD BC
题号 11
答案 ACD
1．A
【详解】由 f x lnx 1 1求导得： f x ，则 f 2 .
x 2
2．B
【详解】由题意得 2n 64，解得 n 6．
3．A
【详解】根据题意， P X i i ，且所有概率之和等于 1，
2k
4
P X i 1 2 3 4 5 ，
i 1 2k 2k 2k 2k k
5
1，解得： k 5，
k
P X 2 2 2 1 .
2k 2 5 5
故选：A
4．C
【详解】把这 5个同学分配到 3个不同的活动展台，每个摊位至少安排一名同学，分组方式
有两种：
①按1,1,3分组：先从5个中选3个为一组，剩下的 2个各成一组，
2
可得不同的分组数为C3 C2
A 5 4
5 5
5
2 10 ；A2 2 1
②按 2,2,1分组：先从 5个中选 2个为一组，再将剩下的3个中选 2个为一组，最后1个为一
C2 C25 3 10 3组，可得不同的分组数为 2 15，A2 2 1
最后分配到 3个不同的活动展台，共有 10 15 6 150种不同的装法.
答案第 1页，共 12页
{#{QQABKQ6twgKYgBaACb4qEUGACkuYkpEjLIgkRRCYOAYqiRFABIA=}#}
5．C
【详解】由图可知，函数在R 上单调递增， f x 0恒成立，
f 1 0，故②正确； f m f m 0，故④错误；
且函数在 0, 上增长越来越缓慢，即可知 f x 在 0, 单调递减，
f 4 f 1 ，故①正确；
2
如图，函数在点 A 4, f 4 处切线的斜率小于割线OA的斜率，
f 4
f 4 ，即 f 4 4 f 4 0，故③正确；
4
综上，正确的有①②③．
6．B
S 2 3 a1 1 q q 26
【详解】设等比数列 an 的公比为 q，则 ，
S6 S3 a q
3
1 1 q q 2 702
解得 a1 2,q 3，所以 a5 a q
4
1 162 .
7．D
x
2x x 2e x
法一：由 f x ae a 2 e x 0得到： a
e2x
；
ex
2ex x
令 g x ，由题意可以看做是 y a与 g x 2x x 有两个交点；e e
ex 2ex 1 ex x 1
则 g x 2 ，其中 x 2x x e 0
，2ex 1 0，
e e
ex x 1是单调递减的，并且 x 0时， ex x 1=0；
ex 2ex 1 ex x 1
因此函数 g x 存在唯一零点， x 0；
e2x 2 ex
当 x 0时， g ' x 0； x 0 '时， g x 0； g 0 1；
得如下函数图像：
答案第 2页，共 12页
{#{QQABKQ6twgKYgBaACb4qEUGACkuYkpEjLIgkRRCYOAYqiRFABIA=}#}
显然当0 a 1时， y a与 g x 有两个交点；
故答案为：D.
法二:由题意得 f x aex 1 2ex 1
①当 a 0时， f x 单调递减，至多有一个零点，不符合题意；
②当 a 0时， f x x ln 1先减后增，在 处取到最小值．要使 f x 有两个零点，需
a
f ln
1
lna 1
1
0．解得0 a 1．
a a
1
当0 a 1时，令 x1 a 2 0 ln ，则 e x1 1，a
故 f x ae2x11 a 2 ex1 x1 a 2 ex1 x1 a 2 x1 0，
又 f x 在 , ln
1 1
上单调递减，所以 f x 在区间 x1, ln 上存在唯一的零点．
a a
接下来证明 ex x，记 n(x) ex x , n (x) ex 1
当 x 0,n (x) 0,n(x)单调递增，所以 n(x) n(0) 1 0，故 ex x，
令 x ln
3
ln 1 0 x，则 e 2 x f x ae2x．故 2 a 2 ex2 x ae2x22 2 2 2 a 2 ex2 ex2a a
ex2 aex2 a 3 aex 12 0 ．而 f x 在 ln , 上单调递增，
a
所以 f x 1 在区间 ln , x 上存在唯一的零点．
a 2
综上， a的取值范围是 0,1 .
8．D
【答案】D
【详解】 a1 1，
答案第 3页，共 12页
{#{QQABKQ6twgKYgBaACb4qEUGACkuYkpEjLIgkRRCYOAYqiRFABIA=}#}
a 2π2 2a1 2 sin 2a2 1
0，
a3 2a 3
3π
2 sin 2a2 2
3，
a 4π4 2a3 4 sin 2a3 0，2
a5 2a4 5 sin
5π
2a4 5，2
…
a2025 2a2024 2025 sin
2025π
2a2024 2025，2
2026
2026 = 2 2025 + 2026 × sin = 2 2025 + 02
将以上 2026个等式左右分别相加，
得 2026 = 2 2025 + 1 + 0 3 + 0 + 5 + 0 7 + 0 + 9 + … + 2025 + 0，
则 2026 2025 = 1 3 + 5 7 + 9 … 2023 + 2025 = 1013.
9．BCD
【详解】在等差数列 an 中， a7 a8 a5 a10 0，而 a7 0，则 a8 a7 0，
对于 A，等差数列 an 的公差 d a8 a7 2a7 0，数列 an 为递减数列，A错误；
对于 B，由选项 A，知数列 an 前 7项均为正，从第 8项起为负，因此 Sn的最大值为 S7，B
正确；
14(a a )
对于 C， S 1 1414 7(a5 a10 ) 0，C正确；2
对于 D， | a6 a7 | | a8 a9 | a6 a7 a8 a9 2(a7 a8) 0，则 a6 a7 a8 a9 ，D正确.
10．BC
【详解】对于 A：因为 P A 5 1 2 11 ， P A2 ，而5 2 3 2 5 2 3 5
P(A1A2 ) 0 P(A1) P(A2 )，
所以事件 A1与 A2不相互独立，故 A错误；
P A 1 P A B 1 4 4
P A B
对于 B：因为 2 ， 2 ，所以 P B A2
4
2
P A 11，故 B正确；5 5 11 55 2
答案第 4页，共 12页
{#{QQABKQ6twgKYgBaACb4qEUGACkuYkpEjLIgkRRCYOAYqiRFABIA=}#}
1 5

C P A 3 3 P B A P A 1B 5对于 ：因为 ， 2 113 5 2 3 10 1 P A1 1
，
11
2
3 4

P B A3
P A
3
B 4
10 11 ，
P A 33 11
10
所以 P(B) P B A1 P A1 P B A2 P A2 P B A3 P A3
5 1 4 1 4 3 9
，故 C正确；
11 2 11 5 11 10 22
5 1
P B A P A
对于 D： P A1 B
1 1 11 2 5
P B 9
，故 D错误．
9
22
11．ACD
【详解】因为 x2 f
1 2ln x
(x) 2ln x xf (x) 1，所以 xf (x) f (x) ，
x
g(x) f (x)

, x 0 g (x) xf (x) f (x) 1 2ln x令 ，则 2 3 ，x x x
令 g (x) 0，得1 2ln x 0，解得 x e，
所以当 x (0, e)时， g (x) 0,g(x)单调递增；
当 x ( e, )时， g (x) 0,g(x)单调递减.
f (4) f (3)
对于 A，因为 4 3 e，所以 g(4) g(3)，即 ，所以 4 f (3) 3 f (4)，故 A正确；
4 3
B
1 2 ln x
对于 ，由 A可知 g (x) ，
x3
g(x) ln x所以 2 C ，C为常数，所以 f (x) xg(x)
ln x
Cx ，
x x
又因为 f (1) 0，所以C 0，
所以 f (x)
ln x 1 ln x
(x 0)，所以 f (x) ，
x x2
令 f (x) 0，得 x e，所以当 x (0,e)时， f (x) 0, f (x)单调递增；
当 x (e,+ )时， f (x) 0, f (x) 单调递减，
所以 f (x)在 x e处取得最大值，故 B错误；
f (x) ln x对于 C，因为 (x 0)，
x
答案第 5页，共 12页
{#{QQABKQ6twgKYgBaACb4qEUGACkuYkpEjLIgkRRCYOAYqiRFABIA=}#}
所以当 x (1, )时， f (x) 0恒成立，故 C正确；
ln x
对于 D，由 B可知 f (x) (x 0)，且 f (x)在 x e处取得最大值，
x
f (2) ln 2 ln 2 1又因为 ln 68 ln 6e 2 ，
2 3
f (e2 ) ln e
2 2 2 2 2 1
2 2 ，e e 2.72 7.29 7 3
所以 f (e) f (2) f e2 ，故 D正确.
12． 40
r
5 r 2 5 5r
【详解】T Cr x r 2 Cr x 2 ， r 0,1, 2,3, 4,5r 1 5 x2 5 ，
5 5 2 5
则 T3 2
2 C25 x 2 40x 2 ，故展开式中第3项的系数是 40 .
13．【答案】50
记第 1个正方形的面积为 S1，第 2个正方形的面积为 S2， ，第 n个正方形的面积为 Sn，
设第 n个正方形的边长为 an ,则第 n个正方形的对角线长为 2an，
2
所以第 n+1个正方形的边长为 an 1 a2 n
，
a
n 1
2
，
an 2
即数列{ a } 2n 是首项为 a1 5，公比为 的等比数列，2
an 5 (
2 ) n 1，
2
数列{ Sn }是首项为 S1 25
1
，公比为 2 的等比数列，
25(1 1 n )
S S S S 2 50 (1 1 1 2 3 n 1 )，1 2
n
2
所以如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于 50,
故答案为：50
答案第 6页，共 12页
{#{QQABKQ6twgKYgBaACb4qEUGACkuYkpEjLIgkRRCYOAYqiRFABIA=}#}
5 2 1 3
14 n．【答案】 ( )
9 5 9 5
p C
1C1 C1C1 5
由题意， 2 2 1 11 1 1 ；C3C3 9
1 1 1 1 1 1 1 1
当 n 2 n N C C时， p = 2 2 C1C1 p C 2C3P X 0 C 3C2n C1C1 n 1 C1C1 n 1 1 P XC C1 n 1 2 3 3 3 3 3 3
5 p 2 P X 0 P X 2 5 p 2 1 2 n 1 n 1 9 3 n 1 9 n 1 1 p3 n 1 p9 n 1 ，3
p 3 1整理得 n

p
3 3 5 3 2
n 1 ， p1 ，5 9 5 5 9 5 45
3 2 1 2 1 3
故可知 pn 是以 - 为首项，以
n
为公比的等比数列，所以 pn ( ) . 5 45 9 5 9 5
5 2 1 3
故答案为： ； ( )n
9 5 9 5
15．（13分）
(1) y 8x 3
(2)当a 0时， f x 在区间 0, 单调递增；
当 a 0时， f x 在区间 0,a 上单调递减，在区间 a, 上单调递增．
2
【详解】（1）当 a 1 2时， f x x 2 ln x 4x，求导得 f x 2x 4，
x
f 1 8， f 1 5，
y f x 在点 1,5 处的切线方程为 y 5 8 x 1 ，化简得 y 8x 3． .......5分
（2）由 f x x2 2a ln x 2 a 1 x，得
2 x2 a 1 x a
2 x a x 1f x 2x 2a 2 a 1 ， .......6分
x x x
f x 的定义域为 0, ，
当 a 0时： f x 0， f x 在区间 0, 单调递增；.......8分
当 a 0时：① x 0,a 时， f x 0；
② x a, 时， f x 0，.......12分
答案第 7页，共 12页
{#{QQABKQ6twgKYgBaACb4qEUGACkuYkpEjLIgkRRCYOAYqiRFABIA=}#}
∴ ( )在区间 0,a 上单调递减，在区间 a, 上单调递增，.......13分
综上，当 a 0时， f x 在区间 0, 单调递增；.......14分
当 a 0时， f x 在区间 0,a 上单调递减，在区间 a, 上单调递增．.......15分
16．(15分）
6
(1)分布列见解析，期望为
5
(2)880万元
【详解】（1）由题意可知， 0,1, 2，
2
P 0 C2 1 ，
C25 10
.......1分
1 1
P 1 C3C 3 2 ，
C2 5 .......2分5
2
P 0 C 3 3 ，
C2 10 .......3分5
所以随机变量 的分布列如下，
0 1 2
1 3 3
P
10 5 10
.......5分
E 0 1 1 3 3 6 2 ；
10 5 10 5 .......7分
2 2
（2）设 X 为经过培训合格的人数， X B 60, ， E X 60 40，3 .......9分 3
不合格人数为60 X，员工为公司创造的利润为Y 20X 10 60 X 10X 600 万
元，.......11分
则 E Y E 10X 600 10E X 600 10 40 600 1000万元，.......14分
公司的年利润为1000 2 60 880万元.
所以估计该公司 A，B两部门经培训后创造的年利润为880万元........15分
17．（15分）
(1)an 2n 1
答案第 8页，共 12页
{#{QQABKQ6twgKYgBaACb4qEUGACkuYkpEjLIgkRRCYOAYqiRFABIA=}#}
T n(2) n 3 2n 3
1 a2 2a 4S 3 a2【详解】（ ）由 n n n ，可得 n 1 2an 1 4Sn 1 3， n 2， .......1分
两式相减得 an an 1 an an 1 2 0， n 2 . .......3分
因为 an 是正项数列，所以 an an 1 0，.......4分
所以 an an 1 2 0，即 an an 1 2， n 2 ........5分
2
由 a1 2a1 4S1 3 4a1 3，解得 a1 3或a1 1（舍去），.......7分
所以 an 是以 3为首项，2为公差的等差数列，则 an 3 2 n 1 2n 1........8分
a1 3满足上式，因此 an 2n 1........9分
b 1 1 1 1 1 （2）由（1）得 n anan 1 2n 1 2n 3 2
，.......12分
2n 1 2n 3
T b b b 1 1 1 1 1 1 1所以 n 1 2 n

2 3 5 5 7 2 n 1 2 n 3
.......13分

= 1 × 1 1
2 3 2 +3 .......14分
=
3(2 +3). .......15分
18．（17分）
(1)0.9545
(2)0.58

(3) 0,
1
2
【详解】
（1）当 400时，泊松分布 X Poi 400 近似于正态分布 X N 400,400 ，
即 400， 400 20，.......1分
要计算 P 360 X 440 ，
根据正态分布的性质，因 P 2 X 2 0.9545，.......3分
故 P 360 X 440 0.9545 ........4分
（2）设 X1为配送延迟包裹数，则 X1 0,1,2, ， X1 B 20000,0.00015 ，.......5分
答案第 9页，共 12页
{#{QQABKQ6twgKYgBaACb4qEUGACkuYkpEjLIgkRRCYOAYqiRFABIA=}#}
因为 n1 20000 20，0 p1 0.00015 0.05 ，
n1p1 20000 0.00015 3 ， .......6分
k k
所以 P X k n 1p1 e n p 31 1 e 3，1 .......7分k ! k !
那么，某天至少 3起配送延迟的概率约为
P X1 3 1 P X1 0 P X1 1 P X1 2
9e 3
1 e 3 3e 3 .......9分
2
≈ 0.58........10分
10 10
（3）由 P X 1 ，可得 P X 0 P X 1 ，.......11分
11 11

根据泊松分布的概率公式： P X 0 e ， P X 1 e ，
1 e 10可得 . .......13分
11
设 h 1 e 0 ，
由 h e 0，可知 h 在 0, 上为减函数........14分
1 1
因为 1 e 10 150 1.5 2 ，
11 165 1.65 1e 2
1 1
所以1 2 ，.......16分
e 1
e 2
h h 1 1所以 ，即0 ，
2 2
1
故 的取值范围为 0, .
2
.......17分

19．(1) 0,8
π
(2) ① 0, 2e4 ；②证明见解析

1 1
【详解】（1 f x x3）因为 ax2 ax axlnx，定义域为 0, ，
3 2
所以 f x x2 ax alnx， f x 2x a a .
x .......1分
答案第 10页，共 12页
{#{QQABKQ6twgKYgBaACb4qEUGACkuYkpEjLIgkRRCYOAYqiRFABIA=}#}
因为 f x 是 0, 上的凸函数，
所以 f x a 2x a 0在 0, 上恒成立，
x
即当 x 0, 时， 2x2 ax a 0恒成立........2分
a
函数 y 2x 2 ax a图象的对称轴为直线 x ，
4
x a当 0，即 a 0时，只需 x 0时， y a 0即可，所以 a 0，
4 .......3分
x a a
2
当 0，即 a 0 a时，只需 x 时， y a 0即可，所以0 a 8，
4 4 .......4分8
综上可得 a 0,8 . .......5分
x
（2 e）①因为 f x sinx， x 0, π ，
a
f x e
x x
所以 cosx， f x e sinx . .......5分
a a
x
因为 f x 是 0, π e上的凹函数，所以 sinx 0在 0, π 上恒成立，
a
1 sinx
即 在 0, πx 上恒成立. .......6分a e
g x sinx
3π
令 x 0, π 2sin x ，则 cosx sinx 4 ex g x . .......7分
ex ex
当 x
π
0,
3π 3π
时， x π，则 g x 0， g x 单调递增；4 .......8分 4 4
x π , π π x 3π 7π当 时， ，则 g x 0， g x 单调递减.4 .......9分 4 4
g x g π 2 1 2所以 max 4 π ，所以 ， a π .......10分2e 4 2e4
π
解得0 a 2e 4，
π
所以实数 a的取值范围是 0, 2e4 . .......11分

②证明：由①知，因为 f x 在 0, π 内有两个不同的零点x ， x1 2，
1 1
所以方程 g x 在 0, π 内有两个根x ， x2，即 g x1 1 g xa 2 .a
g x 0, π π π因为 在 4 上单调递增，在 , π 上单调递减，所以0 x x π . 4 1 4 2
欲证 x1 x2 π，即证 x2 π x1.
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{#{QQABKQ6twgKYgBaACb4qEUGACkuYkpEjLIgkRRCYOAYqiRFABIA=}#}
π
x , 2 4 π
因为 π 且
g x 在 , π 上单调递减，
π 4 x1 ,

4
所以只需证明 g x2 g π x1 ，即证 g x1 g π x1 .
欲证 g x1 g π x1 sinx1
sin π x1 1 1，即证 ，即 ，
ex1 eπ x1 ex1 eπ x1
π
只需证 eπ x1 ex1，即证 x1 ，而该式显然成立. .......14分2
欲证 x
π π
1 x2 ，即证 x x .2 2 2 1
π
因为 x
π , π π
2 1 4 2
，所以只需证 g x2 g x2 1 ，
sin π x

1 π
即证 g x sinx π 1 g x 2 ，即需证
2 x1 2 .
1 ex1 1 2 π
tanx1 e
x
e 2 1
1
令 h x
tanx
π 2tanxx 0, cos2x 1 sin2x
2x π ， ，则 ，
e 2 4

h x π 02x 2x π
e 2 e 2cos 2x
h x π π 所以 在 0, 上单调递增，所以 h x h4 1，则原不等式得证. 4
π
故 x1 x2 π . .......17分2
答案第 12页，共 12页
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