资源简介

微专题8　数列的通项公式与递推关系
(分值：60分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1．(2026·成都模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2n(n∈N*)，则a10＝(　　)
A．210－1 B．211＋1
C．210＋1 D．211－1
2．(2026·深圳模拟)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1，n≥2，n∈N*，则数列{an}的通项公式为(　　)
A． B．
C． D．
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，an＋1＝3an＋2，且S2＝6，则下列说法正确的是(　　)
A．a1＝2
B．a3＋a4＝69
C．{an＋1}是等比数列
D．{an＋2}是等差数列
4．(2026·新余模拟)已知数列{an}满足＝2n，且a1＝1，则数列{an}的通项公式为(　　)
A．an＝2n－1 B．an＝log32n-1＋1
C．an＝log3(2n＋1) D．an＝log3(2n+1－1)
5．已知Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝1，2Sn＝nan，则a25的值为(　　)
A．23 B．24
C．25 D．26
6．(2026·苏州模拟)已知数列{an}的首项a1＝－56，an＋1≥an＋2n，则使得an≤0成立的最大正整数n是(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
二、多项选择题(每小题6分，共6分)
7．在数列{an}中，下列结论正确的是(　　)
A．若数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝2n－1
B．若a1＝1，且an＋1＋an＝2，则an＝1
C．若a1＝1，且，则an＝
D．若a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3an＋1－2an，则an＝2n-1
三、填空题(每小题5分，共10分)
8．(2026·湖北部分学校联考)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图，四个图形中点的个数分别为1，5，12，22，这种数称为五边形数，其中第1个五边形数记作a1＝1，第2个五边形数记作a2＝5，第3个五边形数记作a3＝12，第4个五边形数记作a4＝22，…，则第n个五边形数an＝________．
9．已知数列{an}满足a1＝1，an＝a1＋an－1(n≥2，n∈N*)．若an＝1 005，则n＝________．
四、解答题(共14分)
10．(14分)已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝3n－，若数列{bn}为递增数列，求实数λ的取值范围．课时作业1　集合
1．解析：因为集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，所以 UA＝{3，4，5}，( UA)∩B＝{3，5}．故选B.
答案：B
2．解析：因为A∩B＝{1，2}，所以必有1，2∈A，且1，2∈B.又A∪B＝{1，2，3，4}，则3和4均仅是集合A中元素或仅是集合B中元素．若4 A，则必有4∈B.故选C.
答案：C
3．解析：因为集合A＝{a－2，a2＋4a，12}，且－3∈A，则a－2＝－3或a2＋4a＝－3，所以a＝－1或a＝－3；当a＝－1时，a－2＝a2＋4a不合题意，舍去；当a＝－3时，A＝{－5，－3，12}符合题意．故选B.
答案：B
4．解析：由题意得B＝{y|y＝x3，x∈A}＝{－8，－1，0，1}，所以A∩B＝{－1，0，1}．故选C.
答案：C
5．解析：集合A＝{x|－3答案：D
6．解析：由x3<27，解得x<3，所以A＝{x∈N|x3<27}＝{x∈N|x<3}＝{0，1，2}，所以A的子集有23＝8(个)．故选B.
答案：B
7．解析：∵B＝{y|y＝－x＋1，x<0}＝{y|y>1}，又∵A＝{－1，0，1，2}，∴A∩B＝{2}，A∪B＝{x|x>1}∪{－1，0，1}，则－2 A∪B，{－2，－1}不包含于A∪B，{1}不包含于A∩B，2∈A∩B.故选D.
答案：D
8．解析：因为M＝{x|－3答案：A
9．解析：因为A∩B≠ ，则n＝2或n＝n2或n2＝1，由元素的互异性，可得n≠1，所以n的值可以是－1，0，2.故选ABD.
答案：ABD
10．解析：A＝{x|－3<2x－1<3}＝{x|－1答案：BC
11．解析：由题意知( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)＝{2，4}，所以A∪B＝{1，3，5，6}，对于A，因为A∪B＝{1，3，5，6}，且4 A∪B，所以4 A，故A错误；对于B，由于A∪B＝{1，3，5，6}，所以6∈A∪B，故B正确；对于C，已知A∩B＝{3，5}，这意味着3，5既属于A又属于B，若A＝{1，3，5，6}，当B＝{3，5}时， U(A∪B)＝{2，4}， UA＝{2，4}， UB＝{1，2，4，6}，此时满足所有已知条件，故C正确；对于D，因为( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)，又A∩B＝{3，5}，所以( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)＝{1，2，4，6}，故D正确．故选BCD.
答案：BCD
12．解析：因为A＝{x|－2答案：{0，1}
13．解析：集合M＝{1，2，3}，则M的子集个数为23＝8，所以M的非空子集个数为23－1＝7.
答案：7
14．解析：由题意知a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，又b＝1，所以a＝－1.故a2 024＋b2 025＝(－1)2 024＋12 025＝1＋1＝2.
答案：2
15．解析：由题得A＝{2，3}，因为A∪B＝A，所以B A.当a＝0时，B＝ ，满足B A；当a≠0时，B＝，因为B A，所以＝2或＝3，解得a＝1或a＝.综上a的取值构成的集合为.故选D.
答案：D
16．解析：如图所示，注意到集合A为图中的实心矩形，不包含左右两边，集合B为圆周，
B表示圆心坐标为(1，2)，半径为|r|的圆或点(1，2)，当r＝0时显然题设不成立，设圆心B到直线y＝1的距离为d1，圆心与O(0，0)的距离为d2，由题意知要使得A∩B内有无穷个元素，则圆必与矩形有无穷个公共点，故应有d1<|r|答案：∪
课时作业2　常用逻辑用语
1．解析：对于A，因为 x∈R，x2＋2x－1＝(x＋1)2－2≥－2，该命题是全称量词命题，不是真命题，不符合题意；对于B，该命题是存在量词命题，不是全称量词命题，不符合题意；对于C，易知该命题是全称量词命题，且是真命题，符合题意；对于D，该命题不是全称量词命题，不符合题意．故选C.
答案：C
2．解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题，即把任意改为存在，并否定原结论，所以 p是 x>0，x3≤x2＋1.故选C.
答案：C
3．解析：当x＝－时，7x＋3＝0，所以p为真命题，由存在量词命题的否定是全称量词命题，则p的否定为“ x∈R，7x＋3≠0”．故选C.
答案：C
4．解析：当m＝时，P，则sin α＝，充分性成立，当sin α＝时，则，可得m＝±，必要性不成立，所以“m＝”是“sin α＝”的充分不必要条件．故选A.
答案：A
5．解析：由y＝2x在R上单调递增，得a>b 2a>2b，所以“a>b”是“2a>2b”的充要条件．故选C.
答案：C
6．解析：已知B＝{x∈R|x2≤1}，解不等式x2≤1，即－1≤x≤1，所以B＝{x|－1≤x≤1}．判断充分性：当a＝－1时，集合A＝{－1，0，1}，此时集合A中的所有元素都在集合B中，满足A B，所以由“a＝－1”可以推出“A B”，充分性成立．判断必要性：若A B，因为集合A＝{a，0，1}，集合B＝{x|－1≤x≤1}，所以a的值可以为－1，也可以是其他值如a＝－，即由“A B”不能推出“a＝－1”，必要性不成立．所以“a＝－1”是“A B”的充分不必要条件．故选C.
答案：C
7．解析：根据该申报条件：若同学甲是市级三好学生，则同学甲必须是校级三好学生，但是同学甲是校级三好学生不一定能评上市级三好学生，所以“同学甲是校级三好学生”是“同学甲是市级三好学生”的必要不充分条件．故选B.
答案：B
8．解析：对于命题p，不妨取x＝－，则<1，则命题p为假命题，p为真命题，对于命题q，不妨取x＝＝2>1，显然 x>0，>1，则命题q为真命题．因此， q是假命题， p和q都是真命题．故选B.
答案：B
9．解析：x3－4x＝x(x2－4)＝x(x＋2)(x－2)＝0，又x∈N*，故当x＝2时，等式成立，故命题p是存在量词命题，是真命题；能被4整除的数均能被2整除，故所有能被4整除的数都是偶数，命题q是全称量词命题，是真命题．故选AC.
答案：AC
10．解析：因为x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以 x∈R，x2＋1≥2x，故A正确；取x＝1，则2x>x3，所以 x∈R，2x>x3，故B正确；当a<0时，<1显然成立，故C错误；因为2是有理数，所以“a－2是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
11．解析：对于A，若x＝1，则x2＝1，所以A符合题意；对于B，若方程x2－2x＋a＝0有实根，则需满足Δ＝4－4a≥0，即a≤1，可推出a<2，故B符合题意；对于C，若四边形是平行四边形，则四边形对角线不一定互相垂直，故C不符合题意；对于D，若m＝n＝，则mn为有理数，故D不符合题意．故选AB.
答案：AB
12．解析：若一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解，则Δ＝1－4m≥0，解得m≤，所以由m<推出一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解，故充分性成立，由一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解推不出m<，故必要性不成立；所以“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
13．解析：若“ x∈答案：1
14．解析：因为“x∈A”是 “x∈B”的充分条件，所以A B，所以a≤3.
答案：(－∞，3]
15．解析：由x2－a≤0可得a≥x2，当x∈[1，2]时，(x2)max＝4，所以a≥4，则a的取值范围为A＝{a|a≥4}，满足其一个充分不必要条件的集合为B，则B为A的真子集，故其一个充分不必要条件是a>4.故选C.
答案：C
16．解析：因为命题p为真命题，所以a≤0；因为命题q为真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有解，所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≤－2或a≥1.因为命题p，q均为真命题，所以a≤－2.即实数a的取值范围为(－∞，－2].
答案：(－∞，－2]
课时作业3　不等式的性质
1．解析：由|a|0，则－b答案：A
2．解析：由题意有p－q＝(xy＋2)－(2x＋y)＝xy－2x＋2－y＝(1－x)(2－y)，因为x，y∈[2，＋∞)，所以1－x<0，2－y≤0，所以p－q≥0，即p≥q.故选A.
答案：A
3．解析：对于A，当a＝3，b＝2，c＝－1，d＝－时，ac＝bd＝－3，故A错误；对于B，当a＝3，b＝2，c＝－1，d＝－2时，a－c＝b－d＝4，故B错误；对于C，当a＝3，b＝2，c＝0时，ac2＝bc2＝0，故C错误；对于D，因为a>b>0，所以a2>0，又因为c>d，所以a2c>a2d，故D正确．故选D.
答案：D
4．解析：.因为a0，a－c<0，a－b<0，＞0，即＞0.故选A.
答案：A
5．解析：当b>0>a时，a－b<0，则a(a－b)>0，则a2>ab成立，可知充分性成立；当a＝1，b＝0时，a2>ab成立，但b>0>a不成立，可知必要性不成立．可得“b>0>a”是“a2>ab”的充分不必要条件．故选A.
答案：A
6．解析：对于A，举例a＝1，b＝－1，满足>，但a>b，故A错误；对于B，举例a＝－1，b＝1，满足ab>0，>0，即>，故C错误，对于D，，因为a>b>0，则ab>0，b＋a>0，b－a<0，则<0，即<.故选D.
答案：D
7．解析：因为2答案：B
8．解析：由0答案：D
9．解析：由a0，故(a－b)<0 即＋a－<0，所以＋a<＋b，D错误．故选AC.
答案：AC
10．解析：因为6答案：AB
11．解析：M－N＝－2xy(x－y)，因为x0，即M>N.
答案：M>N
12．解析：①由ac2>bc2可知c2>0，即a>b，故“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件；②当c<0时，由ab2可知ab的充分条件．所以能成为“a>b”的充分条件的只有①.
答案：①
13．解析：(1)由2－(2＋1)2＝2－4>0，
故>2＋1，即－1>2－.
(2)，
因为c>a>b>0，则c－a>0，c－b>0，a－b>0，
故>0，则>.
14．证明：(1)∵c－d>0.
又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0，∴0<<.
又∵e<0，∴>.
(2)∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，
∴ab＋bc＋ca＝－(a2＋b2＋c2)．
∵abc＝1，∴a，b，c均不为0，则a2＋b2＋c2>0，
∴ab＋bc＋ca＝－(a2＋b2＋c2)<0.
解析：因为m2＋n＋4＝4m＋p，移项得m2－4m＋4＝p－n，所以p－n＝(m－2)2≥0，可得p≥n，由m＋n2＋1＝0，得m＝－n2－1，可得n－m＝n－(－n2－1)＝n2＋n＋1＝(n＋)2＋>0，可得n>m，综上所述，p≥n>m成立．故选B．
答案：B
答案：D
16．解析：令3a＋b＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b，所以解得所以3a＋b＝2(a＋b)＋(a－b)，又－1答案：(0，10)
课时作业4　基本不等式
1．解析：由a>0，则a＋≥2 ＝2，当且仅当a＝1时等号成立，ABD为假命题，C为真命题．故选C.
答案：C
2．解析：因为x，y>0，所以2x＋y＝4≥2，可得xy≤2，当2x＝y且2x＋y＝4时，即x＝1，y＝2时等号成立，所以xy的最大值为2.故选B.
答案：B
3．解析：因为x>0，则x＋1>1，则－1＝3，等号成立时x＝1.故＋x的最小值是3.故选C.
答案：C
4．解析：由题意当x<0时，f(x)＝3＋≥3＋当且仅当x＝－时等号成立．故选B.
答案：B
5．解析：因为x>0，y>0，x＋2y＝1，所以(x＋2y)＝3＋，当且仅当，即x＝时，等号成立．故选A.
答案：A
6．解析：由v2＝可知v2－Hv4＝4H，故H＝，当且仅当v2＝2时，等号成立．所以该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米．故选B.
答案：B
7．解析：由题意可知xy＝x＋y＋8≥2＋8，当x＝y时等号成立，即xy－2－8≥0，令＝t(t>0)，则t2－2t－8≥0，解得t≥4或t≤－2(舍)．即≥4，xy≥16.当且仅当x＝y＝4时，等号成立．故选C.
答案：C
8．解析：因为x>1，所以x－1>0，所以f(x)＝＋3，当且仅当x－1＝，即x＝＋1时取等号，所以函数f(x)的最小值为3＋2.故选B.
答案：B
9．解析：对于A，≥2，当且仅当＝1时等号成立，而，故“等号”不成立，故A不正确；对于B，(a＋b)＝1＋1＋＝4，当且仅当a＝b时等号成立，故B正确；对于C，当且仅当a＝b时等号成立，故C正确；对于D，，当且仅当a＝b时等号成立，故D不正确．故选BC.
答案：BC
10．解析：对于A，由x＋3y＝1可得x＝1－3y>0，故00，y>0，x＋3y＝1可得x＋3y＝1≥故xy≤，当且仅当x＝3y＝时等号成立，故B正确；对于C，＝(x＋3y)＝10＋≥10＋2 ＝16，当且仅当x＝y＝时等号成立，故C正确；对于D，x2＋9y2＝(x＋3y)2－6xy＝1－6xy≥1－6×，当且仅当x＝3y＝时等号成立，故D错误．故选ABC.
答案：ABC
11．解析：f(x)＝x＋＋3≥2 ＋3＝5，当且仅当x－3＝，即x＝4时取等号，即x＝4时取最小值，故a＝4.
答案：4
12．解析：由正数x，y满足x＋y＝xy，得＝1，则x＋9y＝(x＋9y)＝10＋＝16，当且仅当，即x＝3y＝4取等号，所以x＋9y的最小值是16.
答案：16
13．解析：(1)因为(3a＋b)2－10＝2ab＝·2＝，
所以(3a＋b)2≤12 0<3a＋b≤2，当且仅当3a＝b＝时，等号成立．
又(3a＋b)2＝2ab＋10>10，所以3a＋b>，
故3a＋b的取值范围为.
(2)证明：(3a＋b)2＝10＋2ab≥2＝12ab ab≤1，
当且仅当3a＝b＝时，等号成立．
又(3a＋b)2－10＝2ab 9a2＋b2＝10－4ab，
而10－4ab≥10－4＝6，
所以9a2＋b2≥6.
14．解析：(1)由题意知2∴y＝45x＋180＝＋225x－360(2即y关于x的函数解析式为y＝＋225x－360，定义域为(2，30].
(2)∵＋225x≥2 ＝10 800(当且仅当＝225x，即x＝24时取等号)，
∴y≥10 800－360＝10 440，
∴当x＝24时，总费用最小，最小总费用为10 440元．
15．解析：a>0，b>0，则a＋b>0，不等式 恒成立，即m≤(a＋b)恒成立，(a＋b)＝·(a＋b)＝13＋＝25，当且仅当，即b＝a时等号成立，所以m≤25，即实数m的最大值为25.故选B.
答案：B
16．解析：因为x－y＝1，所以x＝y＋1<0，所以y<－1，所以x＋，令2y＋1＝t<0，则y＝，所以x＋＝－[＋]＋，当且仅当t＝－时等号成立，此时y＝，所以x＋的最大值为.
答案：
课时作业5　一元二次不等式
1．解析：依题意，A＝{x|(x＋2)(x－3)<0}＝{x|－21}，所以A∩B＝{x|－2答案：C
2．解析：由题知一元二次方程x2－(a－1)x＋a－2＝0的两个实数根分别为1和3，则由韦达定理得1×3＝a－2，解得a＝5.故选B.
答案：B
3．解析：原不等式等价于或故x>2或－2答案：D
4．解析：原不等式即|x|2－|x|－2<0，解得－1<|x|<2，所以0≤|x|<2，所以解集为{x|－2答案：A
5．解析：因为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是开口向下的抛物线，方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是－2和1，所以不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－2，1)．故选A.
答案：A
6．解析：不等式①x2－4x＋3<0等价于(x－1)(x－3)<0，解得1答案：C
7．解析：不等式≤1可化为≥0，等价于解得x≥2或x<－2，所以原不等式的解集为(－∞，－2)∪[2，＋∞)．故选C.
答案：C
8．解析：由题意知－3，1为方程ax2＋bx－3＝0的两根，所以解得则不等式≥0可化为解得－1答案：A
9．解析：对于A，ax2>0(a>0)的解集为{x|x≠0}，故A错误；对于B，∵Δ＝1－4＝－3<0，∴x2＋x＋1<0的解集为 ，故B正确；对于C，若a<0，Δ＝0，则ax2＋bx＋c≥0的解集为，故C错误；对于D，x2＋3x－4>0的解集为(－∞，－4)∪(1，＋∞)；不等式组的解集为(1，＋∞)，故D错误．故选ACD.
答案：ACD
10．解析：关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－1，或x≥2}，所以－1，2是方程ax2＋bx＋c＝0的根，且a<0，故A正确；所以所以则c>0，故B正确；所以a＋b＋c＝a－a－2a＝－2a>0，故C错误；3a＋b＋c＝3a－a－2a＝0，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
11．解析：由题干知，不等式 ax＋b<0 的解集为(－∞，－1)，可得代入一元二次不等式得(ax－a)(x＋2)<0 a(x－1)·(x＋2)<0，由于a>0，所以(x－1)(x＋2)<0，即 －2答案：(－2，1)
12．解析：设花卉带的宽度为x米，则即所以故1≤x<3，所以花卉带的宽度至少应为1米．
答案：1
13．解析：(1)由≤1可得≤0 ≤0
解得－1(2)由A＝{x|－12}，
由|x－a|≤2可得－2≤x－a≤2，故B＝{x|－2＋a≤x≤2＋a}，
B∩( RA)＝B，故B ( RA)，
a＋2≤－1或a－2>2，故实数a的取值范围为（－∞，－3][4, +∞）
故a≤－3或a>4.
14．解析：不等式ax2＋5x－2>ax－x＋4等价于ax2＋(6－a)x－6>0，
整理得(ax＋6)(x－1)>0.
当a>0时，不等式的解集为∪(1，＋∞)；
当a＝0时，不等式的解集为(1，＋∞)；
当－61，故不等式的解集为；
当a＝－6时，－＝1，不等式的解集为 ；
当a<－6时，－<1，故不等式的解集为.
综上，当a>0时，不等式的解集为∪(1，＋∞)；
当a＝0时，不等式的解集为(1，＋∞)；
当－6当a＝－6时，不等式的解集为 ；
当a<－6时，不等式的解集为.
15．解析：由x2－2mx－3m2≤0 (x－3m)(x＋m)≤0；由x2＋mx－2m2≤0 (x＋2m)(x－m)≤0.所以当m<0时，M＝[3m，－m]，N＝[m，－2m]，所以M∩N＝[m，－m].因为集合M∩N的长度为2，所以－m－m＝2 m＝－1.此时M＝[－3，1]，N＝[－1，2]，所以M∪N＝[－3，2]，所以M∪N的长度为2－(－3)＝5.当m＝0时，M＝{0}，N＝{0}，所以M∩N＝{0}，这与集合M∩N的长度为2矛盾，故m≠0；当m>0时，M＝[－m，3m]，N＝[－2m，m]，所以M∩N＝[－m，m].因为集合M∩N的长度为2，所以m－(－m)＝2 m＝1.此时M＝[－1，3]，N＝[－2，1]，所以M∪N＝[－2，3]，所以M∪N的长度为3－(－2)＝5.综上可知，集合M∪N的长度为5.故选C.
答案：C
16．解析：由x2－(m＋1)x＋m<0得(x－m)(x－1)<0，①当m<1时，不等式(x－m)(x－1)<0的解集为(m，1)，因为解集中恰有3个整数，所以－3≤m<－2；②当m＝1时，不等式(x－m)(x－1)<0的解集为 ，不符合题意；③当m>1时，不等式(x－m)(x－1)<0的解集为(1，m)，因为解集中恰有3个整数，所以4答案：{m|－3≤m<－2，或4微专题1　一元二次不等式恒(能)成立问题
1．解析：∵不等式x2－mx＋4<0的解集为空集，∴不等式x2－mx＋4≥0在R上恒成立，∴Δ＝m2－4×1×4≤0，∴－4≤m≤4，即m的取值范围是[－4，4].故选D.
答案：D
2．解析：当m＝0时，不等式－5x≤0，解得x≥0，显然解集不是R，不符合题意；当m≠0，由不等式的解集为R，则m<0，Δ＝－4m2≤0，解得m≤－，即m的取值范围为.故选A.
答案：A
3．解析：因为1≤x≤2，所以由x2－ax>0 x－a>0 a0恒成立，等价于当1≤x≤2时，a答案：D
4．解析：不等式ax2＋2ax－4<2x2＋4x可化为(a－2)x2＋(2a－4)x－4<0，当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0，恒成立，∴a＝2满足题意；当a－2≠0，即a≠2时，要使不等式恒成立，则需解得－2答案：C
5．解析：因为集合A＝{x∈N*|x2＋x＋a≤0}非空集，所以x2＋x＋a≤0在[1，＋∞)上有解，则a≤－x2－x在[1，＋∞)上有解，令f(x)＝－x2－x，由二次函数性质得f(x)在[1，＋∞)上单调递减，可得f(x)max＝－1－1＝－2，即a∈(－∞，－2].故D正确．故选D.
答案：D
6．解析：由1≤x≤3时，x2－ax＋4≥0有解，所以a≤，又y＝x＋在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，且x＝1时，y＝5，x＝3时，y＝，所以a≤＝5.故选C.
答案：C
7．解析：不等式x2－6x＋2－a>0在区间[0，5]内有解，仅需(x2－6x＋2)max>a即可，令f(x)＝x2－6x＋2，因为f(x)的对称轴为x＝－＝3，f(0)＝2，f(5)＝－3，所以(x2－6x＋2)max＝2，所以a<2.故选AB.
答案：AB
8．解析：ax2－2ax＋1>0，当a＝0时，ax2－2ax＋1>0转化为1>0，不等式ax2－2ax＋1>0对 x∈R恒成立，当a≠0时，ax2－2ax＋1>0对 x∈R恒成立，则有解得00对 x∈R恒成立”的充分不必要条件，须是集合{a|0≤a<1}的真子集，故选项A和C正确．故选AC.
答案：AC
9．解析：由题， p： x∈[－1，3]，x2－2x－m>0为真命题，所以m答案：(－∞，－1)
10．解析：由题意可得，命题“ a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0”为真命题，即ax2－(2a－1)x＋3－a＝(x2－2x－1)a＋x＋3≥0.当a∈[－1，3]时恒成立，则解得－1≤x≤0或≤x≤4.故实数x的取值范围为[－1，0]∪.
答案：[－1，0]∪
11．解析：(1)原不等式等价于mx2－2x＋(1－m)<0，
当m＝0时，－2x＋1<0不恒成立，
当m≠0时，不等式对于x∈R恒成立，
则需m<0且4－4m(1－m)<0，无解，
所以不存在实数m对任意x∈R恒成立．
(2)因为x>1，所以m<.
设2x－1＝t(t>1)，则x2－1＝，
所以m<.
设g(t)＝t－＋2，t∈(1，＋∞)，
显然g(t)在(1，＋∞)上单调递增，
当t→＋∞时，t－＋2→＋∞，→0，
且>0，
所以m≤0，所以m的取值范围是(－∞，0].
12．解析：(1)因为f(x)<2对任意x∈R恒成立，即ax2－ax－2<0对任意x∈R恒成立，
令g(x)＝ax2－ax－2，则g(x)<0对任意x∈R恒成立，
①当a＝0时，则g(x)＝－2<0对任意x∈R恒成立，即a＝0满足题意；
②当a>0时，函数g(x)＝ax2－ax－2的图象为抛物线，开口向上，
所以ax2－ax－2<0对任意x∈R不恒成立，所以不满足题意；
③当a<0时，函数g(x)＝ax2－ax－2的图象为抛物线，开口向下，
要使得ax2－ax－2<0对任意x∈R恒成立，则Δ＝a2＋8a<0，解得－8综上由①②③可得a的取值范围为(－8，0].
(2)不等式f(x)<－a＋4，即a(x2－x＋1)<4，
因为x2－x＋1＝>0，所以a<，
因为存在x∈[0，2]，使得f(x)<－a＋4成立，
即存在x∈[0，2]，使得a<成立，
当x∈[0，2]时，≤3，
得，
当x＝时，有最大值，则有a<，
即实数a的取值范围为.
课时作业6　函数的概念及其表示
1．解析：要使函数f(x)有意义，则解得所以函数f(x)的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)．故选D.
答案：D
2．解析：观察函数图象知，有一段时间该同学离家距离保持不变，选项ABC中，路线上的点离家距离是变化的，选项D中的路线符合要求．故选D.
答案：D
3．解析：令－1＝6，则x＝14，得f(6)＝2×14＋3＝31.故选A.
答案：A
4．解析：对于A，易知f(x)＝的定义域为{x}，而f(x)＝x＋的定义域为R，两函数定义域不同，故A错误；对于B，显然f(x)＝log3 的定义域为≠0}，而函数f(x)＝log3x的定义域为(0，＋∞)，两函数定义域不同，故B错误；对于C，两函数的定义域均为R，但f(x)＝的值域为[0，＋∞)，而f(x)＝x的值域为R，两函数值域不同，故C错误；对于D，易知f(x)＝＝x－1与f(x)＝x－1的定义域、值域、对应关系均相同，故D正确．故选D.
答案：D
5．解析：因为f(－2)＝(－2)2－1＝3，所以f(f(－2))＝f(3)＝.故选B.
答案：B
6．解析：令t＝1－x，则x＝1－t，且x≠0，则t≠1，可得f(t)＝－1(t≠1)，所以f(x)＝－1(x≠1)．故选B.
答案：B
7．解析：由题意知f(a)＝a(a2－2)＋1＝－1，所以a(a2－2)＝－2，所以f(－a)＝－a(a2－2)＋1＝2＋1＝3.故选D.
答案：D
8．解析：由函数y＝f(x)的定义域为[－5，3]，f(x－1)有意义，则－5≤x－1≤3，解得－4≤x≤4.y＝有意义，需满足－4≤x≤4且x＋1≠0，即－4≤x≤4且x≠－1，所以函数y＝的定义域为[－4，－1)∪(－1，4].故选B.
答案：B
9．解析：对于AC，集合P中有的数(如：x＝2)在集合Q中对应两个值，不唯一，所以不符合函数定义，故AC错误；对于BD，集合P和集合Q均为数集，且集合P中的每一个数在集合Q中都有唯一的数与它对应，符合函数的定义，故BD正确．故选BD.
答案：BD
10．解析：因为f(x)＝，所以f(0)＝＝1，故A正确；函数f(x)＝的定义域为R，f(－x)＝＝f(x)，且f(x)不恒为零，故B正确，C错误；当x≠0时，＝＝－f(x)，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
11．解析：由x≠0，2f(x)＋f＝10x　①，将x换成得＋f(x)＝　②，①×2－②得3f(x)＝，即f(x)＝.
答案：f(x)＝
12．解析：f(－1)＝－(－1)2＝－1，所以f(a)＝3，因为x≤0时，f(x)＝－x2≤0，所以a>0，f(a)＝log2a＝3，解得a＝8.
答案：8
13．解析：(1)f＝－5，f＝7，f(0)＝－1，f(1)＝3.
(2)猜想：f(x)＋f(1－x)＝2.
证明：由f(x)＝，
可得f(1－x)＝，
则f(x)＋f(1－x)＝＝2即证猜想．
14．解析：(1)在同一直角坐标系中函数f(x)，g(x)的图象如下．
(2)图像法结合M(x)的定义，可得函数M(x)的图象，
由(x＋1)2＝x＋1，得x(x＋1)＝0，解得x＝1，或x＝0.
由图象易知M(x)的解析式为M(x)＝
15．解析：由题意可知，关于x的方程(a－1)x2＋(a－1)x－1＝0无解，此时进行分类讨论．①当a－1＝0，即a＝1时，－1＝0不成立，分母不为零，所以a＝1符合题意；②当a－1≠0，即a≠1时，应满足Δ＝(a－1)2＋4(a－1)<0，解得－3答案：C
16．解析：设f(m)＝k，f(k)＝n，f(n)＝，当n≤0时，f(n)＝n2＝，∴n＝－＝f(k)，没有满足条件k值，不符合题意；当n>0时，f(n)＝n＋2＝，∴n＝＝f(k)；当k≤0时，f(k)＝k2＝，∴k＝－＝f(m)，没有满足条件m值，不符合题意；当k>0时，f(k)＝k＋2＝，∴k＝＝f(m)．
答案：
课时作业7　函数的单调性与最值
1．解析：由“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0”，得函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，对于A，f(x)＝在(0，+∞)上不单调递增，A不满足；对于B，函数4x＋4在(0，2)上单调递减，B不满足；对于C，函数f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增，C满足；对于D，函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，D不满足．故选C.
答案：C
2．解析：易知f(x)＝－x＋在上单调递减，故其最大值为f(－2)＝.故选A.
答案：A
3．解析：因为 x1，x2∈R，x10，即f(x1)>f(x2)，可知f(x)是R上的减函数，且π>3>2，所以f(π)答案：B
4．解析：因为f(x)为R上的减函数，且f(x2－2x)3，即x2－2x－3>0，解得x<－1或x>3.
答案：B
5．解析：函数f(x)＝(k－1)x－3在R上为增函数，等价于k－1>0，即k>1，所以“函数f(x)＝(k－1)x－3在R上为增函数”是“k>2”的必要不充分条件．故选B.
答案：B
6．解析：由x－5≥0得x≥5，所以f(x)的定义域为[5，＋∞)．因为y＝3x－10与y＝在[5，＋∞)上均为增函数，所以f(x)在[5，＋∞)上为增函数，所以f(x)≥f(5)＝5，即函数f(x)的值域为[5，＋∞)．故选A.
答案：A
7．解析：当k>0时，y＝x－在(1，＋∞)上单调递增，满足题意，当k＝0时，y＝x，满足题意，当k<0时，y＝x＋，由对勾函数的性质知，若满足题意，则≤1，解得－1≤k<0.综上，k≥－1.故选B.
答案：B
8．解析：因为函数f(x)＝x2－4x＋2图象的对称轴为直线x＝2，所以函数y＝f(x)在区间(－∞，2]上单调递减，又当x≤2且x≠0时，－4，令g(x)＝x＋－4(x≤2且x≠0)，则g(x)在和上单调递增，故f(x)的“可变区间”I为和.
答案：A
9．解析：对于A，由题意，任意取x1，x2∈I，若x1>x2，则f(x1)答案：AB
10．解析：f(x)＝－x2＋2|x|＋1＝
作出函数f(x)的图象如图．
由图象可知f(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，故AB正确；由图象可知函数y＝f(x) 在x＝－1或x＝1时，有最大值，没有最小值，故C错误，D正确．故选ABD.
答案：ABD
11．解析：函数f(x)＝－2在上单调递增，在上单调递减，图象连续不断，f(0)＝－，f(2)＝所以函数f(x)＝－2在区间 [0，2]上是一条连续不断的曲线，在x＝2处取得最小值f(2)，但在[0，2]上不单调．
答案：f(x)＝－2(答案不唯一)
12．解析： y＝x(x－2)的图象位于x轴下方部分对折至x轴上方，其余部分不变，据此可得函数f(x)＝|x(x－2)|的图象，如图所示．
由图象可知函数f(x)＝|x(x－2)|的单调递单调递减是(－∞，0]，[1，2].
答案：(－∞，0]，[1，2]
13．解析：(1)证明：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝.
因为x1，x2∈(－1，＋∞)，x10，x2＋1>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)知f(x)在区间[1，4]上单调递增，
所以f(x)min＝f(1)＝－，f(x)max＝f(4)＝1，
所以函数f(x)在区间[1，4]上的最大值为1，最小值为－.
14．解析：(1)因为f(x)＝且a>0，
可知f(x)＝2ax＋3在(－∞，1]上单调递增，则f(x)≤f(1)＝2a＋3，
所以f(x)在(－∞，1]上的值域为(－∞，2a＋3]；
且f(x)＝ax2＋x在(1，＋∞)上单调递增，则f(x)>f(1)＝a＋1，
所以f(x)在(1，＋∞)上的值域为(a＋1，＋∞)；
注意到2a＋3＝(a＋1)＋(a＋2)>a＋1，
所以f(x)在R上的值域为R.
(2)若f(x)＝在R上单调递减，
则解得－2≤a≤－，
所以实数a的取值范围为.
15．解析：根据题意，函数f(x)的定义域为[4，＋∞)，且由于y＝在区间[4，＋∞)上单调递增，y＝在区间[4，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在区间[4，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(4)＝2.故选D.
答案：D
16．解析：作出函数f(x)＝的图象如图所示．
由图可知，f(x)在R上单调递减．因为f(2t2－1)>f(t＋2)，所以2t2－1答案：
课时作业8　函数的奇偶性、周期性
1．解析：对于A，sin (－1)·e-1＝－≠－(sin 1·e1)，即x取－1，1时的函数值不互为相反数，A不是；对于＝－2≠0＝－(13－12)，即x取－1，1时的函数值不互为相反数，B不是；对于C，y＝cos 2x是偶函数，且cos (2×0)＝1≠0，即cos 2x不恒为0，C不是；对于D，函数y＝log2的定义域为(－1，1)，而log2＝log2＝函数y＝log2是奇函数，D是．故选D.
答案：D
2．解析：由f(x＋4)＝f(x)，得函数f(x)的周期为4.又当x∈[－2，0]时，f(x)＝3－x＋1，∴f(2 026)＝f(4×507－2)＝f(－2)＝9＋1＝10.故选B.
答案：B
3．解析：因为f(x)＝(x＋a－2)(x2＋a－1)为奇函数，所以f(0)＝(a－2)(a－1)＝0，解得a＝1或a＝2.当a＝1时，f(x)＝x2·(x－1)，f(－x)＝x2(－x－1)≠－f(x)，故a＝1不合题意，舍去；当a＝2时，f(x)＝x(x2＋1)，f(－x)＝－x(x2＋1)＝－f(x)，故a＝2符合题意．故选C.
答案：C
4．解析：由f(x)为定义在R上的奇函数，得f(－a)＝－f(a)，则f(－a)＋3f(a)＋4＝2f(a)＋4≥0，解得f(a)≥－2，则f(a)的最小值为－2.故选B.
答案：B
5．解析：由函数y＝f(x)－x2是奇函数可知f(x)－x2＋f(－x)－(－x)2＝0，因此可得f(x)＋f(－x)＝2x2.又g(x)＝f(x)＋5，因此g(4)＝f(4)＋5，g(－4)＝f(－4)＋5；两式相加可得g(4)＋g(－4)＝f(4)＋5＋f(－4)＋5＝2×42＋10＝42.又g(4)＝f(4)＋5＝14，因此g(－4)＝42－14＝28.故选A.
答案：A
6．解析：因为奇函数f(x)在R上有定义，所以f(0)＝0，所以f(m＋2)<－f(2m)＝f(－2m)，又f（x）在R上单调递减，所以m＋2>－2m，解得m>－.所以m的取值范围为.故选D.
答案：D
7．解析：因为f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数，所以＝－f＝－f＝－f，而当2≤x≤3时，f(x)＝x2－5x＋6，则－f＝－[2－5×]＝，故A正确．故选A.
答案：A
8．解析：由f(x)＝，得f(x)＝3＋，函数f(x)的定义域为R，令g(x)＝，则g(x)的定义域为R，定义域关于原点对称，又g(－x)＝＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝3＋g(x)＋3＋g(－x)＝6，则f(x)的图象关于点(0，3)对称，所以M＋m＝6.故选C.
答案：C
9．解析：因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(－x)＝－f(x)且函数图象关于原点对称，故C错误；令x＝0可得f(0)＝－f(0)，所以f(0)＝0，故A正确；又f(－2)＝1，则f(2)＝－f(－2)＝－1，故B正确；令g(x)＝f(x)·f(－x)，x∈R，则g(－x)＝f(－x)·f(x)＝f(x)·f(－x)＝g(x)，所以g(x)＝f(x)·f(－x)为偶函数，即f(x)·f(－x)为偶函数，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
10．解析：由于f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝a＝0，经验证此时满足题意，故A正确；则当x≤0时，f(x)＝x2＋x，当x>0时，－x<0，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－x]＝－x2＋x，故B错误；由上述分析可知f(x)＝
由此画出f(x)的图象如图所示，由图可知，f(x)的单调递单调递减为和，故C正确；不等式f(x)<0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)，故D正确．故选ACD.
答案：ACD
11．解析：函数y＝x2＋ax＋1，x∈[4b，b2]是偶函数，则a＝0且得b＝－4，所以a－b＝4.
答案：4
12．解析：由题设f＝f f＝ f(3＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期为3的奇函数，则f(2 026)＝f(3×675＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－log39＝－2.
答案：－2
13．解析：(1)由于f(x)＋f(x＋2)＝0，则f(x－2)＋f(x)＝0，即f(x)＝－f(x－2)，
当1(2)由f(x)＋f(x＋2)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数周期T＝4，
当9则f(x－2)＝f(x－2－4×2)＝2(x－10)－1＝2x－21.
因为f(x－2)＝－f(x)，所以f(x)＝－2x＋21.
14．解析：(1)由f(x)的定义域为R且为奇函数，则f(0)＝m＋1＝0，可得m＝－1，
所以f(x)＝，则f(－x)＝＝－f(x)满足，所以m＝－1.
(2)当m＝1时，f(x)＝1＋，令g(x)＝f(x)－2，则g(x)＝f(x)－2＝－1，
由(1)知g(x)为奇函数，则
g(－4)＋g(－3)＋g(－2)＋g(－1)＋g(0)＋g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)
＝[g(－4)＋g(4)]＋[g(－3)＋g(3)]＋[g(－2)＋g(2)]＋[g(－1)＋g(1)]＋g(0)＝0，
所以f(－4)＋f(－3)＋f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)
＝[g(－4)＋g(4)＋4]＋[g(－3)＋g(3)＋4]＋[g(－2)＋g(2)＋4]＋[g(－1)＋g(1)＋4]＋g(0)＋2＝18.
15．解析：f是奇函数，则有f＝－f，令x＋＝－t，则有f(t＋1)＝－f(－t)，又函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(t＋1)＝－f(－t)＝－f(t)，则有f(t＋2)＝－f(t＋1)＝f(t)，即函数f(x)的一个周期为2.所以f＝f＝f＝3－2×.故选A.
答案：A
16．解析：令x＝y＝0，则f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0，令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝f(0)，即f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数．令x＝x1－x2，y＝x2，且x1>x2，则f(x1)＝f(x1－x2)＋f(x2)，因为x1－x2>0，所以<0，所以f(x1)x2－3x，即2x2－3x－5<0，解得－1答案：
微专题2　函数的对称性
1．解析：依题意，在函数y＝|x|的图象上取点A(0，0)，点A关于直线x＝1的对称点A′(2，0)必在函数y＝|x－m|的图象上，则有|2－m|＝0，解得m＝2，此时函数y＝|x－m|即y＝|x－2|，相当于将函数y＝|x|的图象向右平移2个单位长度得到，符合题意．故选D.
答案：D
2．解析：设函数y＝3x与y＝32-x的图象关于直线x＝a对称，因为函数y＝3x的图象关于直线x＝a对称图象的函数解析式为y＝32a－x，所以32a－x＝32-x，解得a＝1.故选C.
答案：C
3．解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵f(x)关于直线x＝2对称，∴f(x＋2)＝f(－x＋2)，∴f(6)＝f(4＋2)＝f(－4＋2)＝f(－2)＝－f(2)．∴f(6)＝－f(2)＝－22＝－4.故选C.
答案：C
4．解析：因为函数f(x)的定义域为R，且曲线f(x)＝关于点(1，－2)中心对称，所以f(1)＝＝－2，即a＝－4.故选D.
答案：D
5．解析：因为函数f(x＋1)是定义在R上的偶函数，所以对 x∈R，f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以y＝f(x)关于直线x＝1对称，所以f(－1)＝f(3)，又因为y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以f(1)答案：B
6．解析：因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(2＋x)＝f(2－x)，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(2－x)＝－f(x－2)，即f(x＋2)＝－f(x－2)，所以f(x＋4)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期为8，所以f(13)＝f(5＋8)＝f(5)＝f(－3＋8)＝f(－3)＝－f(3)，而f(3)＝f(2＋1)＝f(2－1)＝f(1)，又因为当x∈[0，2]时，f(x)＝x，所以f(1)＝1，即f(3)＝f(1)＝1，所以f(13)＝－f(3)＝－f(1)＝－1.故选B.
答案：B
7．解析：由题意得，设函数f(x)＝2x3＋6x2图象的对称中心为(a，b)，则函数y＝f(x＋a)－b为奇函数，即y＝f(x＋a)－b＝＋6(x＋a)2－b＝2x3＋(6a＋6)x2＋(6a2＋12a)x＋2a3＋6a2－b，则解得故函数f(x)＝2x3＋6x2图象的对称中心为(－1，4)．故选A.
答案：A
8．解析：因为f(－x＋1)－f(x＋1)＝0，即f(－x)＝f(x＋2)，故f(x)的图象关于直线x＝1对称．由y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称得f(x)＝f(－1－x)，即f(x)＝－f(－1－x)对任意x恒成立，则f(x)＝－f(－x－1)，又f(－x)＝f(x＋2)，所以f(x＋2)＝－f(x－1)，即f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是周期为6的周期函数．所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0，＝[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]×338＝0.故选B.
答案：B
9．解析：对于A，y＝cos 是由函数y＝cos x向左平移个单位得到，因为y＝cos x是中心对称图形，所以y＝cos 也是中心对称图形；对于B，f(－x)＝－＝－f(x)，故对号函数y＝x＋关于原点中心对称；对于C，易知y＝|x|是偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，不是中心对称图形；对于D，三次函数y＝x3－x＋1关于(0，1)中心对称，因为f(x)＋f(－x)＝2.故选ABD.
答案：ABD
10．解析：∵f(x)＝2x-1＋21-x，∴f(2－x)＝21-x＋2x-1＝f(x)，即f(2－x)＝f(x)，即f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确，AD错误；∵f(x)＝2x-1＋21-x的定义域为R，但f(0)＝＋2≠0，∴f(x)不是奇函数，故B错误．故选ABD.
答案：ABD
11．解析：对于A，方法一　函数y＝f(x＋1)－2为定义在R上的奇函数，则有f(－x＋1)－2＝－[f(x＋1)－2]，即＝2，又＝1，所以函数y＝f(x)的图象关于点(1，2)中心对称，无法判断是否关于点(2，2)对称，故A错误；方法二　函数y＝f(x＋1)－2为定义在R上的奇函数，则函数y＝f(x＋1)－2的图象关于坐标原点(0，0)对称．函数y＝f(x)的图象可由函数y＝f(x＋1)－2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，因此函数y＝f(x)的图象关于点(1，2)对称．无法判断是否关于点(2，2)对称，故A错误；对于B，函数g(x)＝，因此函数y＝g(x)的图象可由反比例函数y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到．因为反比例函数y＝的图象关于坐标原点(0，0)对称，所以函数y＝g(x)的图象关于点(1，2)对称，故B正确；对于CD，函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象都关于点(1，2)对称，且函数y＝g(x)的图象不过点(1，2)，所以它们的所有交点关于点(1，2)对称，不妨设x1答案：BC
12．解析：∵奇函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(2＋x)＝f(2－x)＝－f(x－2)，即f(4＋x)＝－f(x)，即f(x)＝－f(x－4)，则f(m)＝－f(m－4)＝3，即f(m－4)＝－3.
答案：－3
13．解析：因为函数的对称中心为点(1，1)，不妨设为分式函数f(x)＝＋1，因为f(2)>5，所以f(2)＝a＋1>5，解得a>4，取a＝5，即y＝＋1.
答案：＋1(答案不唯一)
14．解析：因为函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)＝f(2－x)对x∈R恒成立，所以(x－1)＝(2－x－1)恒成立，所以(x－1)＝(1－x)恒成立，所以＋1恒成立，＝2恒成立，所以b＝2恒成立，所以b＝2恒成立，所以b＝2.
答案：2
课时作业9　幂函数与二次函数
1．解析：因为函数f(x)＝x-2＝，对于A，令x2≠0，解得x≠0，所以函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故A正确；对于B，因为x≠0，则x2>0，可得f(x)＝>0，所以函数f(x)的值域为(0，＋∞)，故B正确；对于C，因为y＝x2在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，故C错误；对于D，因为函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝＝f(x)，可知函数f(x)为偶函数，故D正确．故选C.
答案：C
2．解析：由题意，方程x2－2mx＋m2＋2m＋3＝0的根的判别式Δ＝4m2－4(m2＋2m＋3)≤0，解得m≥－　①，又因为二次函数y＝x2－2mx＋m2＋2m＋3的对称轴为直线x＝m，且当x>时，y随x的增大而增大，则m≤　②，综合①和②，可得实数m的取值范围是－.故选D.
答案：D
3．解析：对于A，二次函数的图象开口向下，所以a<0，此时g(x)＝xa与图中符合；对于B，二次函数开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上为增函数，不符合；对于C，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上为增函数，符合；对于D，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上为增函数，符合．故选B.
答案：B
4．解析：因为点(m，9)在幂函数f(x)＝(m－2)xα的图象上，则m－2＝1，解得m＝3，所以f(3)＝3α＝9，可得α＝2，故f(x)＝x2，因为a＝f＝f(1)，b＝f(ln 2)，c＝，且函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，又因为，则，故b答案：C
5．解析：因为f(x)＝(m2－m－1)xm为幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝－1时，f(x)＝x-1，y＝f(x＋1)＝(x＋1)-1，显然不符合题意；当m＝2时，f(x)＝x2，y＝f(x＋1)＝(x＋1)2的图象关于直线x＝－1对称，所以m＝2.故选D.
答案：D
6．解析：因为函数f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，所以当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2.当f(x)＝18时，x2－2x＋3＝18，解得x＝－3或x＝5.又因为当x∈[－3，1)时，f(x)单调递减，当x∈(1，5]时，f(x)单调递增，所以n的最大值为5，m的最小值为－3，所以n－m的最大值为5－(－3)＝8.故选D.
答案：D
7．解析：因为函数f(x)＝x2－mx＋1与函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，若g(x)在区间(－2，－1)上单调递增，则f(x)在区间(3，4)上单调递减，故≥4，解得m≥8.故选D.
答案：D
8．解析：因为二次函数f(x)图像的对称轴为直线x＝－，f(0)＝a＝f(－1)>0，则函数f(x)的单调递单调递减为，单调递单调递增为，所以f(x)的大致图象如图所示．
由f(m)<0，得－10，所以f(m＋1)>f(0)>0.故选C.
答案：C
9．解析：由f(x)＝(m2＋m－1)xm是幂函数知m2＋m－1＝1，所以m＝1或－2，所以f(x)＝x或f(x)＝x-2，所以f(1)＝1，m2＋m＝2，AB正确；当m＝1时，f(x)＝x，f(x)是奇函数，C错误；对于f(x)＝x-2，当x＝2时，f(2)＝<2，对于f(x)＝x，当x＝2时，f(2)＝2<2不成立，故当f(2)<2时，f(x)＝x-2，D正确．故选ABD.
答案：ABD
10．解析：根据图象得当x＝0时，y＝c>0，故A不正确；当x＝－1时， y＝a－b＋c<0，故D正确；由图象与x轴有两个交点，得b2－4ac>0，故C不正确；由抛物线的开口向下，∴a<0；又∵对称轴x＝－<1，∴－b>2a，即2a＋b<0，故B正确．故选BD.
答案：BD
11．解析：因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以直线x＝1为二次函数图象的对称轴，所以－＝1，解得b＝－2.根据对称性知，f(－1)＝f(3)，又函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以f(3)答案：f(－1)12．解析：由题意得m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2，m＝－1时，f(x)＝x是奇函数，不符合题意，m＝2时，f(x)＝x4是偶函数，符合题意，故m＝2，f＝4＝4.
答案：4
13．解析：(1)f(1)＝a＋b＋1＝0，则a＋b＝－1.
因为f(x)的图像的对称轴为直线x＝－，
解得a＝3，
则b＝－4，
故f(x)＝3x2－4x＋1.
(2)因为f(x)在[－1，2]上单调，
则对称轴x＝－不在区间[－1，2]内，
即－≤－1或－≥2.
(ⅰ)当a>0时，有b≥2a或b≤－4a.
又a＋b＝－1，即b＝－1－a，
则－1－a≥2a或－1－a≤－4a，
结合a>0得0(ⅱ)当a<0时，有b≤2a或b≥－4a.
由b＝－1－a得－1－a≤2a或－1－a≥－4a，
结合a<0得－≤a<0，
综上，a的取值范围是∪.
14．解析：(1)由幂函数的定义及单调性得
解得故m＝2.
(2)由(1)知f(x)＝x2，则g(x)＝f(x)－tx＝x2－tx，对称轴为直线x＝，
当≤－1，即t≤－2时，g(x)在[－1，3]上单调递增，所以＝g(－1)＝t＋1；
当－1<<3，即－2所以g(x)min＝g＝－；
当≥3，即t≥6时，g(x)在[－1，3]上单调递减，所以＝g(3)＝9－3t.
综上所述，g(x)min＝
15．解析：∵函数f(x)＝(m2－m－1)是幂函数，∴m2－m－1＝1 m2－m－2＝0 (m－2)(m＋1)＝0 m＝2或m＝－1.∵对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当m＝2时，f(x)＝x3满足题意，当m＝－1时，f(x)＝x-3＝不符合题意，∴f(x)＝x3，∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．∵f(a)＋f(b)的值为负数，∴f(a)＋f(b)＝a3＋b3<0 a3<(－b)3 a<－b a＋b<0.当a＝0，b<0时，ab＝0，故A可能成立；当a<0，b<0时，ab>0，故B可能成立；当a>0，b<0，|b|>|a|时，ab<0，故C可能成立．故选D.
答案：D
16．解析：由题意得二次函数y＝f(x)的图像的对称轴为x＝2，因为y0因为ya4.
答案：(－∞，0)∪(4，＋∞)
课时作业10　指数式与对数式的运算
1．解析：因为log25＝b，所以2b＝5，又2a＝3，所以2a－b＝.故选C.
答案：C
2．解析：由2log2a＝3，log55b＝2可得2log2a＝a＝3，log55b＝b＝2，则a－b＝1.故选B.
答案：B
3．解析：因为3b＝3log89＝log29，所以23b＝9，所以43b＝(23b)2＝81，又4a＝(2a)2＝25，所以43b－3·4a＝81－75＝6.故选A.
答案：A
4．解析：由＝＝24＝16.故选A.
答案：A
5．解析：由题意得A项中的log2a·log2b和C项中的2a·2b＝2a＋b的值无法确定；对于B，log2a＋log2b＝log2ab＝2；对于D，(2a)b＝2ab＝16.故选D.
答案：D
6．解析：由logam＝可得logma＝2，由logbm＝可得logmb＝3，所以logabm＝.故选B.
答案：B
7．解析：因为距离发射器3 km处的光功率衰减为初始光功率的一半，则P(3)＝P0＝P0e-3α e-3α＝ e－α＝，设P(z)＝P0＝P0e－αz e－αz＝，则e－αz＝ z＝6.故选B.
答案：B
8．解析：当C＝3 074，I＝15时，3 074＝·t，∴t＝≈3 074，∴t＝＝3×＝3×10＝30.
答案：C
9．解析：对于A，7＝n7m-7，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，当x＝1，y＝2时，故C错误；对于D，，故D正确．故选BD.
答案：BD
10．解析：对于A，由＝3，得a＋2＋＝9，则a＋＝7，A正确；对于B，由a＋＝7，得a2＋2＋＝49，则a2＋＝47，B正确；对于C，由2＝a＋－2＝5，得＝±，于是＝±，C错误；对于(a－1＋a-1)＝＝18，D正确．故选ABD.
答案：ABD
11．解析：由2x＝24y＝3，可得x＝log23，y＝log243，所以＝log324－3log32＝log324－log38＝log3＝log33＝1.
答案：1
12．解析：由题意可得当t＝12时，M(12)＝M0·2-3，所以＝3＝6＝6.
答案：6
13．解析：答案：(1)易知P＝－(－2 024)0＝，
Q＝2log32－log3＋log38＝log3＝log39＝2.
答案：(2)因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m，
由换底公式得＝logm2，＝logm5，则m≠1，
则＝logm2＋logm5＝logm10＝2，
解得m＝.
14．解析：答案：(1)原式＝＝.
答案：(2)令3x＝4y＝6z＝a，则a>0，所以x＝log3a，y＝log4a，z＝log6a，
所以.
答案：(3)设22 026＝t，则lg t＝2 026·lg 2，又lg 2≈0.301，
所以lg t≈2 026×0.301＝609.826，
所以t≈10609.826，则t∈(10609，10610)，
所以22 026的位数为610.
15．解析：设3x＝4y＝6z＝t，则当t＝1时，x＝y＝z＝0，A正确；当t>1时，x＝log3t，y＝log4t，z＝log6t，所以3x－4y＝<0，4y－6z＝<0，由此可得3x<4y<6z，B正确；当04y>6z，C正确．故选D.
答案：D
16．解析：设x＝，y＝，则有lg x＝logbc·lg a＝，lg y＝，故原式＝0.
答案：0
课时作业11　指数函数
1．解析：因为f(－1)＝a0－，所以函数过定点，即m＝－1，n＝，则＝＝.故选A.
答案：A
2．解析：因为0答案：C
3．解析：因为y＝1.5x单调递增，又0<0.6<0.7，所以b>a>1，又y＝0.7x单调递减，所以c＝0.70.6<0.70＝1，则b>a>c.故选C.
答案：C
4．解析：∵函数f(x)＝x＋2在[－1，2]上单调递减，∴当x＝－1时，函数f(x)＝x＋2，x∈[－1，2]取得最大值，最大值为2＋2＝4.
答案：A
5．解析：函数f(x)＝0.3x2－2x中，令t＝x2－2x，则函数t＝x2－2x在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，而函数y＝0.3t为减函数，因此函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)＝0.3x2－2x的单调递单调递增是(－∞，1)．故选A.
答案：A
6．解析：根据f(x)＝得f(－x)＝，可得f(x)－＋f(－x)－＝0，故y＝f(x)－为奇函数．故选A.
答案：A
7．解析：已知函数y＝ax＋b－1的图象经过第二、三、四象限，说明函数单调递减，所以可得0因为函数y＝ax＋b－1的图象经过第二、三、四象限，如图所示，所以该函数与y轴的交点在y轴负半轴上，即b<0.综上，可得故选C.
答案：C
8．解析：根据函数 f(x)＝2 025|x－a|在区间[2 026，＋∞)上单调递增，且y＝2 025x单调递增，可得y＝|x－a|在区间[2 026，＋∞)上单调递增，所以a≤2 026.故选D.
答案：D
9．解析：对于A，∵x>0，则f(x)＝x－1>－1，即值域为(－1，＋∞)，A正确；对于B，∵f(x＋1)＝x+1－1，由f(x＋1)>1得x+1>2，即x+1>-1，∵函数y＝x为减函数，∴x＋1<－1，解得x<－2，故f(x＋1)>1的解集为(－∞，－2)，B错误；对于C，由f(x)＝x－1，可得f(－x)＝－x－1＝2x－1＝g(x)，由图知，f(x)的图象与g(x)＝2x－1的图象关于y轴对称，C正确；
对于D，设h(x)＝f(x)－f(－x)＝2－x－2x，函数的定义域为R，关于原点对称，且h(－x)＝2x－2－x＝－h(x)，故h(x)＝f(x)－f(－x)为奇函数，故D错误．故选AC.
答案：AC
10．解析：对于A，因为f(0)＝a0－0＝0，故函数f(x)的图象过定点(0，0)，故A错误；对于B，因为f(x)＝ax－x的定义域为R，且f(0)＝0，故函数f(x)在其定义域上有零点，故B正确；对于C，因为f(x)＝ax－a－x，该函数的定义域为R，且f(－x)＝a－x－ax＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数，故C正确；对于D，当a＝2时，则f(x)＝2x－x，因为函数y＝2x，y＝－x均为R上的增函数，所以函数f(x)＝x在R上为增函数，故D正确．故选BCD.
答案：BCD
11．解析：若01，则函数f(x)＝ax在区间[2，3]上单调递增，所以f(x)max＝a3，f(x)min＝a2，由题意得a3－a2＝，又a>1，故a＝.所以a的值为或.
答案：或
12．解析：由题设，函数的定义域为R，则f(0)＝＝0，可得a＝－1，所以f(x)＝，则f(－x)＝＝－f(x)，满足题设．
答案：－1
13．解析：(1)∵指数函数f(x)＝ax的图象过点(－2，9)，
∴f(－2)＝a-2＝9，∴a＝±.∵a>0，∴a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝x，
∵f(m)＝2，f(n)＝，∴m＝2，n＝.
∴m·n＝m＋n＝2×＝9＝-2，
∴m＋n＝－2.
(3)不等式f(x2－5x－6)>1，即0，
∵f(x)＝x在R上单调递减，
∴x2－5x－6<0，即(x－6)(x＋1)<0，解得－1∴不等式的解集为{x|－114．解析： (1)当x无限减小时，2x无限接近0，但不会等于0，
由题设，因为f(x)＝a·2x＋b的图象无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，所以b＝1.
由f(0)＝2，得a＋1＝2，解得a＝1，故f(x)＝2x＋1.
(2)由(1)知g(x)＝如图所示，
由图知，该函数的单调递单调递增为(－∞，0].
15．解析：令－x2＋2x≥0，解得0≤x≤2，故函数f(x)＝的定义域是A＝［0，2］，，由于x∈［0，2］，故t∈［1，4］，则g(x)(x∈A)即为函数m(t)-4t，t∈［1，4］，而m(t)-4，故当t＝4时，m(t)取最大值m(4)＝0，即函数g(x)2x+2(x∈A)的最大值是0.故选B.
答案：B
16．解析：令g(x)＝－4x－x，则g(x)＝－4x－x的定义域为R，且g(－x)＝－4－x＋x＝－＝－g(x)，所以g(x)＝－4x－x为奇函数，又y＝，y＝－4x，y＝－x均在R上单调递减，所以g(x)在R上单调递减，又f(x)＝g(x)＋5，所以不等式f(m－12)＋f(m2)>10，即g(m－12)＋5＋g(m2)＋5>10，即g(m－12)＋g(m2)>0，即g(m2)>g(12－m)，所以m2<12－m，即(m－3)(m＋4)<0，解得－4答案：(－4，3)
课时作业12　对数函数
1．解析：令x－2＝1，得x＝3，y＝＋5＝5，所以y＝＋5(a>0，且a≠1)的图象过定点(3，5)，即m＝3，n＝5.所以＝＝6.故选C.
答案：C
2．解析：函数y＝在定义域(0，8]上单调递减，当x＝8时，y＝23＝log22＝－3，即ymin＝－3，且当x→0时y→＋∞，所以函数y＝，x∈(0，8]的值域是[－3，＋∞)．
答案：A
3．解析：log78>1，log6，log53>log93＝，且log53<1，所以log6答案：B
4．解析：因为函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上单调递增，所以a>1，由已知得loga8＝，整理得6(loga2)2＋5loga2－1＝0，解得loga2＝－1或loga2＝，得a＝(舍去)或a＝26＝64.故选D.
答案：D
5．解析：当00，则不等式成立；当x＝1时，log2x＝1－x＝0，则不等式不成立；当x>1时，log2x>0，1－x<0，则不等式不成立，∴不等式的解集为{x|0答案：A
6．解析：当x＝时，f(x)取得最大值f＝，则m＝n＝，所以g(x)＝，由>0，得x≠－，CD错误；当x>－时，g(x)＝单调递减，B错误．故选A.
答案：A
7．解析：由10x－x2>0，解得0答案：A
8．解析：因为函数f(x)＝ln (12－ax)在(3，6)上单调递减，且函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以y＝12－ax在(3，6)上单调递减，且12－ax>0在x∈(3，6)上恒成立，则解得0答案：D
9．解析：当01时，函数f(x)＝loga(x＋a)的图象经过第一、二、三象限．综上可知，函数f(x)＝loga(x＋a)的图象必经过第一、二象限．故选AB.
答案：AB
10．解析：对于A，由已知，F(x)＝ln (x＋1)－ln (1－x)，故解得－1ln (1－x)，得解得0答案：ABC
11．解析：可设对数函数f(x)＝logax，由对数函数f(x)过点，可得f＝loga＝－2 loga2-2＝－2 －2loga2＝－2 loga2＝1 a＝2，所以对数函数f(x)＝log2x.
答案：f(x)＝log2x
12．解析：若a>1，则y＝1＋logax在[1，2]上单调递增，则解得a＝2；若0答案：2
13．解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
当x>1时，f(x)＝log4x；当0又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，
故f(x)的单调递单调递增为(1，＋∞)，单调递单调递减为(0，1)．
(2)f(x)＝|log4x|的图象如图所示，
因为01，
所以－log4a＝log4b log4a＋log4b＝0 log4(ab)＝0 ab＝1.
故a＋3b＝a＋，
由对勾函数y＝x＋在(0，1)上单调递减，得a＋3b＝a＋1＋3＝4，
所以a＋3b的取值范围为(4，＋∞)．
14．解析：(1)由f(x＋1)＝lg (x＋1＋2)，得f(x)＝lg (x＋2)，
由0所以不等式0(2)由题意得g(x)＝lg (x＋2)＋lg (－x＋a)，
由g(1)＝lg 3＋lg (a－1)＝lg 3，得a＝2，即g(x)＝lg (－x2＋4)，
因为－x2＋4≤4，函数y＝lg x单调递增，
所以g(x)≤lg 4，即g(x)的最大值为lg 4(或2lg 2)．
15．解析：当x∈[1，2]时，令t＝log2x，(t∈[0，1])，则y＝t2＋3t－m＝ －－m，为开口向上、对称轴为t＝－的抛物线，y＝2－－m在t∈[0，1]上单调递增，所以当t＝0时y＝2－－m有最小值，为－m，当t＝1时y＝2－－m有最大值，为4－m，可得4－2m＝2m，解得m＝1.故选B.
答案：B
16．解析：因为f(x)＝log2＋log4(4－ax)＝log4x＋log4(4－ax)＝log4(4x－ax2)的值域为(－∞，1]，即log4(4x－ax2)≤1.又y＝log4x在定义域内为增函数，故y＝4x－ax2的最大值为4，则a>0.由y＝4x－ax2＝－a ＋，可得x＝时，＝4，解得a＝1.此时f(x)＝log2＋log4(4－x)的定义域为(0，4)，f(x)＝log4(－x2＋4x)＝log4[－(x－2)2＋4]在(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，则得f(x)≤f(2)＝1，符合题意．
答案：1
课时作业13　函数的图象
1．解析：因为y＝ln (ex)即为y＝ln e＋ln x＝1＋ln x，故只需把函数y＝ln x的图象上所有的点向上平移1个单位长度即可，故A正确，B错误；对于C，把函数y＝ln x的图象上所有的点向左平移e个单位长度后所得图象对应的解析式为y＝ln (x＋e)，故C错误；对于D，把函数y＝ln x的图象上所有的点向右平移e个单位长度后所得图象对应的解析式为y＝ln (x－e)，故D错误．故选A.
答案：A
2．解析：由题图知，将f(x)的图象关于y轴对称后再向下平移1个单位即得题图②，又将f(x)的图象关于y轴对称后可得函数y＝f(－x)的图象，再向下平移1个单位，可得y＝f(－x)－1的图象，所以解析式为y＝f(－x)－1.
答案：C
3．解析：对于A，f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域关于原点对称，因为f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，A错误；对于BD，当x>1时，f(x)＝，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．f(2)＝0，BD错误．故选C.
答案：C
4．解析：当b为偶数时，f(x)恒大于0，所以b为奇数，当x＝－a时，f(x)＝0，从图象可知此时－a<0，即a>0.
答案：A
5．解析：函数y＝f(x)的定义域为R，因为f(－x)＝·＝－·ln ＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称．故选A.
答案：A
6．解析：由题图可知函数为偶函数，而函数f(x)＝和函数f(x)＝为奇函数，故排除AB；又当x∈(0，1)时1－x2>0，x2－1<0，此时f(x)＝>0，f(x)＝<0，由图可知当x∈(0，1)时，f(x)<0，故C不符合，D符合．故选D.
答案：D
7．解析：由f(x)＝f(4－x)得f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(0)＝f(4)，得f(4)＋f(0)＝2f(4)＝0，解得f(4)＝f(0)＝0，由f(x)在(－∞，2)上单调递减，可知f(x)在(2，＋∞)上单调递增，画出f(x)的大致图象如图所示，
结合图象及<0可得或解得04，不等式<0的解集为(0，2)∪(4，＋∞)．故选D.
答案：D
8．解析：函数f(x)＝的图象如图所示．
由y＝－2x2＋4x的对称轴是x＝1，且＝2，当x∈(2，＋∞)时，f(x)＝单调递增，且f(x)＝∈(0，1)，所以x1＋x2＝2，x3∈(2，＋∞)，所以x1＋x2＋x3∈(4，＋∞)，又f(4)＝，故f(x1＋x2＋x3)∈.故选A.
答案：A
9．解析：由题意得解得－1≤a<1，因为g(x)＝g(－x)，所以g(x)是偶函数，排除D；对于A，g(0)＝ln a>0，得a>1，不符合题意，排除A；当0答案：BC
10．解析：函数的定义域为{x|x≠－c}，由题图可知－c<0，所以c>0，D正确；由图题可知f(0)＝>0，所以b>0，C错误；由f(x)＝0，即ax＋b＝0，解得x＝－，由题图可知－>0，所以<0，所以a<0，A正确，B错误．故选AD.
答案：AD
11．解析：对于A，函数f(x)＝中，x≠－1，f＝＝－f(x)，故A正确；对于B，函数f(x)＝－1在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递减，在定义域上不单调，故B错误；对于C，由B知，当x∈[0，2]时，f(2)≤f(x)≤f(0)，即－≤f(x)≤1，故C正确；对于D，函数f(x)的图象可以由y＝的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位而得，函数y＝的对称中心为(0，0)，因此f(x)的图象关于(－1，－1)对称，故D错误．故选AC.
答案：AC
12．解析：把函数f(x)＝ln |x－a|的图象向左平移2个单位长度，得到函数g(x)＝ln |x＋2－a|的图象，则函数g(x)在(a－2，＋∞)上单调递增，又因为所得函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a－2≤0，即a≤2，所以a的最大值为2.
答案：2
13．解析：根据题意有f(x)＝在同一坐标中作出函数f(x)与y＝log2(x＋1)的图象，
当x＝1时，y＝log2(1＋1)＝log22＝1，所以f(x)与y＝log2(x＋1)的交点为(1，1)，由图再结合f(x)与y＝log2(x＋1)的定义域可知f(x)≥log2(x＋1)的解集为(－1，1].
答案：(－1，1]
14．解析：因为f(x)＝|x2＋x|＝(x)＝x＋，M(x)＝max{f(x)，g(x)}，令x2＋x－＝x2－>0，解得x>1或x<0，所以当x<－1或x>1时，M(x)＝x2＋x；当0又因为函数y＝M(x)的图象与y＝a有3个不同的交点，由此可得02.
答案：∪(2，＋∞)
15．解析：当x<0时，x3＝4xy－y3＝y(4x－y2)<0，若y<0，则4x－y2>0，即y2<4x<0，不符合，故x<0，y<0不可能同时成立，故ABC错误．故选D.
答案：D
16．解析：因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＋f(4－x)＝0，所以f(x＋2)＝－f(4－x)＝f(x－4)，所以f(x)＝f(x＋6)，即函数f(x)是以6为周期的函数．当x∈(0，3]时，f(x)＝，所以函数f(x)的图象是以为圆心，为半径的圆的一部分．由函数f(x)的图象可知函数f(x)关于直线x＝－对称．因为g(－3－x)＝log4＝log4＝g(x)，所以函数g(x)关于直线x＝－对称．因为g(－1)＝log4，g(0)＝log4>0，f(－1)＝－f(1)＝－g，g(3)＝log4>0，f(3)＝00，此时函数f(x)与函数g(x)无交点．因为g＝log48＝，所以x∈(6，＋∞)时，函数f(x)与函数g(x)无交点．综上，当x∈时，函数f(x)与函数g(x)有三个交点，根据对称性可知，函数f(x)与函数g(x)的交点关于直线x＝－对称，作出函数f(x)与函数g(x)的图象如图所示．所以函数f(x)与函数g(x)的图象的所有交点的横坐标之和为－9.
答案：－9
课时作业14　函数与方程
1．解析：因为函数y＝f(x)的图象是连续不间断的，且f(2)>0，f(3)<0，所以根据零点存在定理，函数y＝f(x)在区间(2，3)上至少存在一个零点；同理，由f(3)<0，f(4)>0，得函数y＝f(x)在区间(3，4)上至少存在一个零点；由f(4)>0，f(5)<0，得函数y＝f(x)在区间(4，5)上至少存在一个零点．但不能判断函数y＝f(x)在其他区间上是否有零点．因此，函数y＝f(x)在区间[1，6]上至少存在3个零点．故选D.
答案：D
2．解析：令f(x)＝0，则4x＝log3(－x)，所以y＝4x与y＝log3(－x)的交点个数即为函数f(x)＝4x－log3(－x)的零点个数．画出图象．
由图象可知交点有1个．故选C.
答案：C
3．解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，因为在区间(0，＋∞)上单调递减，log2x在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，因为f(1)＝1－>0，f(2)＝<0，所以f(x)的零点所在区间为(1，2)．故选A.
答案：A
4．解析：由，且f(0)＝1，f＝－，f(0)·f<0，得f(x)在内有零点；由，且f＝，f·f<0，得f(x)在内有零点；由，f＝－，f·f<0，得f(x)在内有零点．所以经过3次二分法后确定的零点所在区间为.故选B.
答案：B
5．解析：因为函数f(x)＝x＋－3的一个零点在(0，1)内，所以又因为函数y＝x＋－3在(2，3)内连续不断，根据零点存在定理知另一个零点在(2，3)内．
答案：C
6．解析：函数f(x)＝在(0，1]上单调递减，函数值集合为[0，＋∞)，在(1，＋∞)上单调递减，函数值集合为(0，1)，其图象如图所示．
函数g(x)的零点有两个，即直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有两个交点，观察图象，当且仅当0答案：C
7．解析：若函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(2，4)上存在零点，由函数f(x)在(2，4)的图象连续不断，且为增函数，则根据零点存在定理可知，只需满足f(2)·f(4)<0，即(m＋5)(m＋18)<0，解得－18答案：D
8．解析：由已知＝x，即log2x＝－x，在同一坐标系中作出函数y＝2x，y＝log2x，y＝－x，y＝2－x的图象，如图所示．
观察图象，易得b>c>a.故选A.
答案：A
9．解析：f(1)＝ln 1－21＋1＝－1<0，f(2)＝ln 2－22＋22＝ln 2>0，可得f(1)·f(2)＜0，由函数零点存在定理可得存在函数f(x)零点的区间是(1，2)，f(3)＝ln 3－23＋9＝ln 3＋1>0，可得f(2)f(3)>0，f(4)＝ln 4－24＋42＝2ln 2>0，可得f(3)f(4)>0，f(5)＝ln 5－25＋52＝ln 5－7<0，可得f(4)·f(5)<0，由函数零点存在定理可得存在函数f(x)零点的区间是(4，5)．故选AD.
答案：AD
10．解析：F(x)＝f(x)－x＝图象如图，
则F(x)在R上共有3个零点，即F(x)＝0在R上有3个根，x1＝－1，x2＝0，x3＝3.又因为函数F(x)＝f(x)－x在x∈(－∞，a)上存在两个零点，故a∈(0，3].故选BCD.
答案：BCD
11．解析：设f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝t，作出函数y＝f(x)与y＝t的图象，如图．
观察图象知，当02，得2＋答案：CD
12．解析：当x≤0时，由f(x)＝x2＋x－2＝0，即(x－1)(x＋2)＝0，解得x＝－2或x＝1(舍)，当x>0时，由f(x)＝－1＋ln x＝0，解得x＝e.综上可得，函数f(x)的零点为－2，e.
答案：－2，e
13．解析：因为f(x)＝ln (2x)－＝ln x－＋ln 2定义域为(0，＋∞)，又y＝ln x与y＝－均在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝ln 2－1<0，f(2)＝ln 4－>ln e－，所以f(1)f(2)<0，所以f(x)在(1，2)上存在唯一零点，所以k＝1.
答案：1
14．解析：令y＝f(x)－k＝0 f(x)＝k，函数y＝f(x)－k恰有三个不同的零点，可以转化为函数f(x)的图象与函数y＝k的图象有三个不同的交点，两个函数的图象如图所示．
根据数形结合思想可知函数f(x)的图象与函数y＝k的图象有三个不同的交点，只需0答案：(0，1)
15．解析：设f(x)＝t，则f(t)＝0，当t≤0时，t2＋t－2＝0，解得t＝－2或t＝1(舍去)，则t＝－2；当t>0时，－1＋ln t＝0，解得t＝e.画出y＝f(x)，y＝－2，y＝e的函数图象，如图所示．
由图象可知，y＝f(x)与y＝－2有3个交点，y＝f(x)与y＝e有2个交点，所以函数y＝f(f(x))的零点个数为5.故选C.
答案：C
16．解析：(1)如图①，画出函数y＝f(x)的图象与直线y＝a，若函数g(x)无零点，则函数y＝f(x)的图象与直线y＝a无交点，即a<0，则a的一个取值为－1.
(2)不妨令x1答案：(1)－1(答案不唯一)　(2)－2
课时作业15　函数模型的应用
1．解析：由题意可得R＝k·v2·sin θ·＝0.05×4.82×sin 7°×≈0.05×23.04×0.12×0.2≈0.028(m)．故选C.
答案：C
2．解析：由题意知－6 000＝，即6 000＝，也即Xn＝，由题意有以及X2＝4X1，可得4＝，所以T2－T1＝2.故选A.
答案：A
3．解析：令1－0.6x0.06＝0.42，则x0.06＝≈0.97.∵0.06≈0.959 3，0.06≈1.025，20.06≈1.042 5，∴x的估计值可取0.5，即他复习背诵的时间需大约在14：30.故选A.
答案：A
4．解析：设天然气使用量为x m3，天然气费为f(x)元，则f(x)＝由于f(480)＝1 542<2 082，则x>480，所以4.5(x－480)＋1 542＝2 082，解得x＝600，所以天然气使用量为600 m3.故选B.
答案：B
5．解析：由题意可知P(t)＝2P0，r＝5%，代入公式可得2P0＝P0·e0.05t，所以e0.05t＝2，0.05t＝ln 2，所以t＝≈13.862，所以至少需要14年．故选C.
答案：C
6．解析：由题意y1>y2，3×4t>8×3t，整理得t>，当t＝3时，t＝<；当t＝4时，t＝>，函数y＝t在(0，＋∞)上单调递增，又t∈N*，所以t≥4.故选B.
答案：B
7．解析：因为f(50)＝P，所以，解得k＝＝0.338 75，
f(99)＝≈68，所以估计此学生在高考中可能取得的总分为600＋68＝668(分)．故选B.
答案：B
8．解析：由题意可知，ln 300＝ln k－，解得ln k＝ln 300＋，若一只小狗的体重为5 000克，则ln f＝ln k－＝ln 300＋，∴3ln f＝3ln 300＋ln 300－ln 5 000＝4ln 300－ln 5 000＝ln 1 620 000，即ln f3＝ln 1 620 000，∴f3＝1 620 000，比较选项，903＝729 000，1203＝1 728 000，1103＝1 331 000，1003＝1 000 000，所以最接近的脉搏率f＝120次/分钟．故选A.
答案：A
9．解析：对于A，由题图可得，当t＝6时，y＝85，所以测试结束时，该手机剩余电量为85%，故A正确；对于B，由题图可得该手机在前5 h内电量下降不是一条直线，故不是匀速下降，故B错误；对于C，由题图可得，在0 h～3 h内电量下降的速度为，在3 h～5 h内下降的速度为＝10，由>10，故C正确；对于D，由题图可得该手机在5 h～6 h电量上升了55，所以进行了充电操作，故D正确．故选ACD.
答案：ACD
10．解析：由题意得，故ln ，所以T＝τln 2，A错误；T与τ成正比例关系，且在定义域上单调递增，B正确；由于铀234的τ值小于铀235的τ值，故T11，D正确．故选BD.
答案：BD
11．解析：由题意可知x>0，则y＝，由对勾函数可知y＝x＋在(0，0.5)上单调递减，在(0.5，＋∞)上单调递增，则y＝在(0，0.5)上单调递增，在(0.5，＋∞)上单调递减，故B正确；当x＝0.5时，y＝取到最大值1，即当代谢时间x＝0.5时，血液中的乙醇含量最高为1 mg/mL，即每100 mL血液中乙醇含量为100 mg，故A错误；因为100>80，可知饮酒后0.5 h接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾，故C错误，D正确．故选BD.
答案：BD
12．解析：由题意，当t＝0时，v＝330，则330＝a×0＋b　①，当t＝10时，v＝336，则336＝a×10＋b　②，联立 ①②解得b＝330，a＝0.6，所以v＝0.6t＋330，将t＝20代入，则v＝0.6×20＋330＝342(m/s)．
答案：342
13．解析：根据题意，所给模型中y0＝20，N＝1 020，p＝10%＝0.1，x＝6，则2030年底该地区光伏太阳能板的保有量为y＝，因为e-0.6≈0.55，所以y＝≈36，所以2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约36万块．
答案：36
14．解析：设y＝kx，由题意，x＝，可得k＝，即有y＝x.
当x≥时，y＝3b－x的图象经过，可得＝3-1，解得b＝－，则y＝，由0答案：75
课时作业16　导数的概念、运算及几何意义
1．解析：因为y′＝1－，所以曲线y＝x＋在x＝1处的切线斜率为1－＝－1.故选B.
答案：B
2．解析：由题意得，f′(x)＝－sin x，则＝4f′(1)＝－4sin 1.故选B.
答案：B
3．解析：′＝－'′＝ax＋xax ln a，B错误；[ln (a－x)]′＝·(a－x)′＝－，C正确；(a sin x＋x cos a)′＝a cos x＋cos a，D错误．故选C.
答案：C
4．解析：由题图可知，f(x)单调递增，且增长趋势越来越慢，f′(1)表示函数在(1，f(1))处切线的斜率，f′(4)表示函数在(4，f(4))处切线的斜率，表示点(1，f(1))与(4，f(4))两点连线的斜率，由题图可知f′(4)<答案：D
5．解析：函数f(x)＝，求导得f′(x)＝，则f′(m)＝＝2，解得m＝0或m＝－2.故选D.
答案：D
6．解析：函数f(x)＝ex＋ax的导函数为f′(x)＝ex＋a，函数在x＝0处的导数即为切线的斜率f′(0)＝e0＋a＝1＋a，且切线与直线3x－2y－5＝0平行，则有1＋a＝，可得a＝.故选C.
答案：C
7．解析：由f′(x)＝ln x＋1，设切点为(m，m ln m)，则f′(m)＝ln m＋1，所以切线方程为y－m ln m＝(1＋ln m)(x－m)，又切线过点(0，－e)，所以－e－m ln m＝(1＋ln m)(0－m)，整理得m＝e，所以切线方程为y－e＝2(x－e)，即2x－y－e＝0.故选C.
答案：C
8．解析：易知f(x)＝x ln x＋ax2，定义域为(0，＋∞)，曲线y＝f(x)与x轴相切，设切点为(x0，0)，x0>0，易得x0ln x0＋＝0，故ln x0＋ax0＝0，又f′(x)＝1＋ln x＋2ax，f′(x0)＝1＋解得故选B.
答案：B
9．解析：切线的斜率k＝tan ＝－1，又f′(x)＝－，所以－＝－1，所以x0＝1或x0＝－1，所以切点坐标为(1，1)或(－1，－1)．故选AB.
答案：AB
10．解析：函数y＝x4＋x，求导得y′＝4x3＋1，设直线y＝mx－3与曲线y＝x4＋x相切的切点为(t，t4＋t)，则曲线y＝x4＋x在点(t，t4＋t)处的切线方程为y－(t4＋t)＝(4t3＋1)(x－t)，依题意，解得t＝－1，m＝－3或t＝1，m＝5，所以m的值可以为－3或5.故选AD.
答案：AD
11．解析：f′(x)＝3x2－4x－5，所以切线的斜率为k＝f′(－1)＝3＋4－5＝2，f(－1)＝－1－2＋5＝2，所以曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程为y－2＝2(x＋1)，即y＝2x＋4.
答案：y＝2x＋4
12．解析：设切点是(x0，y0)，则y0＝ax0－ln (x0＋1)，因为y′＝a－，所以切线方程是y－y0＝(x－x0)，即y＝x＋－ln (x0＋1)，所以解得x0＝0，a＝3.
答案：3
13．解析：(1)因为f′(x)＝－2x2＋2ax＋4，f′(x)的图象过点(－k，0)，(2k，0)，k>0，
所以得
(2)点(0，0)在三次曲线y＝f(x)上，设切点为(x0，y0)，
由切线过原点可列方程得y0＝f′(x0)x0，且y0＝f(x0)，
由f′(x)＝－2x2＋2x＋4，得－＋4x0＝x0，
即＝0，解得x0＝0或x0＝.
又f′(0)＝4，f′＝，
所以所求切线方程为y＝4x或y＝x.
14．解析：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由题意得
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根．
所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，
即4a2＋4a＋1>0，
所以a≠－.
所以a的取值范围为∪.
15．解析：设f(x)＝－2x3，则f′(x)＝－6x2，设切点为(s，－2s3)，则切线斜率k＝f′(s)＝，
即－6s2＝，整理得4s3－6ts2＋2t＝0.
设g(s)＝4s3－6ts2＋2t，由题意可知g(s)有3个零点，g′(s)＝12s2－12ts，显然t≠0，
由g′(s)＝0，得s＝0或s＝t.
因为三次方程有三个根的条件是导数对应的极值点处函数值异号，
所以g(0)g(t)＝2t(－2t3＋2t)<0，所以t<－1或t>1.故选A.
答案：A
16．解析：因为f(2)＝3，所以f(2)f(x)＝f(2x)，即3f(x)＝f(2x)．
令x＝1，有3f(1)＝f(2)＝3，所以f(1)＝1.
因为f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)＝1.
由3f′(x)＝2f′(2x)，令x＝1得3f′(1)＝2f′(2)＝6，所以f′(1)＝2.
因为f(x)为偶函数，所以f′(－1)＝－2，
所以f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.
答案：2x＋y＋1＝0
微专题3　两曲线的公切线问题
1．解析：∵f(x)＝x ln x，∴f′(x)＝1＋ln x，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1，∴k＝1，∴曲线y＝f(x)在点A(1，0)处的切线方程为y＝x－1，由得ax2－2x＋1＝0，由Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.故选B.
答案：B
2．解析：设直线l与f(x)＝ex的切点为，与g(x)＝ln x＋2的切点为(x2，2＋ln x2)，则消去x1得(x2－1)(1＋ln x2)＝0，故或所以切线方程为y＝x＋1或y＝ex.故选C.
答案：C
3．解析：设公切线在曲线y＝mex与y＝ln x的切点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y＝ln x，得y′＝，所以＝1，解得x2＝1.又y2＝ln x2＝ln 1＝0，即B(1，0)，所以切线方程为y＝x－1.由y＝mex，得y′＝mex，所以＝1，解得x1＝－ln m，又y1＝＝1，即A(－ln m，1)．因为点A(－ln m，1)也在切线y＝x－1上，所以1＝－ln m－1，解得m＝.故选B.
答案：B
4．解析：当a＝0时，曲线y＝a＝0与曲线y＝ln x有唯一交点(1，0)；当a≠0时，因为y＝x和y＝－在(0，＋∞)上单调递增，故函数y＝a在(0，＋∞)上单调．因为曲线y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，且两曲线有相同切线，所以函数y＝a在(0，＋∞)上单调递增，故a>0.因为ln 1＝0，a＝0，所以y＝ln x与y＝a的交点为(1，0)．因为(ln x)′＝，所以y＝ln x在点(1，0)处的切线斜率k＝1，因为′＝a＋，所以a＋＝1，解得a＝.记f(x)＝ln x－，则f′(x)＝＝≤0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故ln x－＝0有唯一解，即曲线y＝ln x与曲线y＝有唯一交点，满足题意．故选D.
答案：D
5．解析：y＝x2的导数y′＝2x，y＝e2x＋a的导数为y′＝2e2x＋a，设与曲线y＝e2x＋a相切的切点为(m，n)，y＝x2相切的切点为(s，t)，则有公共切线斜率为2s＝2e2m＋a＝.又t＝s2，n＝e2m＋a，即2s＝，即s－m＝，即m＝(s>0)，则有e2m＋a＝s，即为a＝ln s－s－1(s>0)，恰好存在两条公切线，即s有两解．令f(x)＝ln x－x－1(x>0)，则f′(x)＝.当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减．当00，f(x)单调递增，即在x＝1处f(x)取得极大值，也为最大值，且为ln 1－2＝－2，由恰好存在两条公切线可得y＝a与y＝f(x) 有两个交点，可得实数a的范围是(－∞，－2)．故选D.
答案：D
6．解析：令f(x)＝2x2＋3x＋4，则f′(x)＝4x＋3，令f′(x)＝4x＋3＝－1，有x＝－1，则f(－1)＝2－3＋4＝3，即有y－3＝－(x＋1)，即y＝－x＋2，故m＝2，令g(x)＝－ex＋n，则g′(x)＝－ex＋n，令g′(x)＝－ex＋n＝－1，有x＝－n，则g(－n)＝－e0＝－1，即有y＋1＝－(x＋n)，即y＝－x－n－1，故有－n－1＝2，即n＝－3.故选BD.
答案：BD
7．解析：对于A，令φ(x)＝f(x)－g(x)＝ex＋x2－x－1，则φ′(x)＝ex＋2x－1，易知φ′(x)单调递增，且φ′(0)＝0，所以当x∈(－∞，0)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减，当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，所以φ(x)≥φ(0)＝0，所以方程φ(x)＝0有唯一解x＝0，所以曲线y＝f(x)与y＝g(x)有且只有一个公共点，故A正确；对于B，由A可知曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(0，1)，由f(x)＝ex，得f′(x)＝ex，则f′(0)＝1，所以曲线f(x)＝ex在点(0，1)处的切线方程为y＝x＋1.由g(x)＝－x2＋x＋1，得g′(x)＝－2x＋1，则g′(0)＝1，所以曲线g(x)＝－x2＋x＋1在点(0，1)处的切线方程为y＝x＋1，故B正确；对于C，设公切线与曲线y＝f(x)切于点，因为f′(x)＝ex，令，解得x1＝ln ＝－ln 2，则切点为，切线方程为y＝(x＋ln 2)＋(1＋ln 2)．设公切线与曲线y＝g(x)切于点，因为g′(x)＝－2x＋1，令－2x2＋1＝，解得x2＝，则切点为，切线方程为y＝，两切线方程不同，所以不存在斜率为的公切线，故C错误；对于D，由AB可知，曲线f(x)＝ex与g(x)＝－x2＋x＋1只有一个公共点(0，1)，且在该点处的公切线方程为y＝x＋1，结合图象可知，ex≥x＋1，而x＋1≥－x2＋x＋1，所以ex≥－x2＋x＋1，即f(x)≥g(x)，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
8．解析：∵(tan x)′＝′＝，∴曲线y＝tan x在坐标原点处的切线的斜率为则切线方程为y＝x，则直线y＝x与曲线y＝-2x+m(x>0)相切.设切点的横坐标为x0 (x0>0)，′＝3x2－2，－2＝1(x0>0)，则x0＝1，∴切点为(1，1)，代入y＝x3－2x＋m(x>0)，得13－2×1＋m＝1，解得m＝2.
答案：2
9．解析：由题设y′＝ex，则y′|x＝0＝1，则x＝0处切线为y－(1－a)＝x，即y＝x＋1－a，对于y＝ln (x＋b)，有y′＝，又y＝x＋1－a也是y＝ln (x＋b)的切线，令＝1，可得x＝1－b，则y＝0，即切点(1－b，0)在直线y＝x＋1－a上，所以1－b＋1－a＝0 a＋b＝2.
答案：2
10．解析：对y＝x2－1求导得y′＝2x，设切点(x1，y1)，则切线方程为y－＝2x1(x－x1)，化简得y＝2x1x－－1.对y＝a ln x－1求导得y′＝，设切点(x2，y2)，则切线方程为y－(a ln x2－1)＝(x－x2)，化简得y＝x＋a ln x2－a－1.则根据公切线可列方程组消去x1得－2＝a ln x2－a，化简得a＝ln x2.令f(x)＝4x2－4x2ln x(x>0)，求导f′(x)＝8x－8x ln x－4x＝4x(1－2ln x)，当f′(x)>0时，4x(1－2ln x)>0，解得0；当f′(x)＝0时，4x(1－2ln x)＝0，解得x＝，可知f(x)在上单调递增，在上单调递减，在x＝处取得最大值，f＝42－42ln ＝2e，f(x)的值域为(－∞，2e]，所以a的取值范围是(－∞，2e].
答案：(－∞，2e]
11．解析：设公切点P(x0，y0)，x0>0.
对y＝ln x求导，根据求导公式(ln x)′＝，可得y′＝，则在点P处的切线斜率k1＝.
对y＝ax2求导，可得y′＝2ax，则在点P处的切线斜率k2＝2ax0.
因为两函数在点P处存在公切线，所以k1＝k2，即＝2ax0　①.
又因为点P在两函数图象上，所以ln x0＝　②.
由①得a＝，将其代入②可得ln x0＝，即ln x0＝，解得x0＝.
将x0＝代入①得，解得a＝.
将x0＝代入y＝ln x得y0＝ln .
所以a＝，点P的坐标为.
12．解析：(1)设直线ax－4y＋3＝0与曲线y＝3的切点坐标为M(x0，y0)，
∵y＝3，∴y′＝，
又∵直线l的斜率为，∴　①，
且点M(x0，y0)同时在直线ax－4y＋3＝0和曲线y＝3上，
∴满足　②，联立以上两式可得a＝12，
故直线l的方程为12x－4y＋3＝0，
联立可得kx2－3x－＝0，
又∵直线与曲线相切，
∴Δ＝9＋3k＝0，解得k＝－3.
(2)由(1)得f(x)＝x3－mx2＋2，f′(x)＝3x2－2mx，
设切点为P(x1，y1)，
则曲线在点P(x1，y1)的切线方程为y－＝(x－x1)，
又∵切线过点(0，m)，
∴＝0，
即方程2x2＋(2－m)x＋2－m＝0有两个不相等的实数根，且x≠1，
∴
解得m<－6或23微专题5　三角函数中ω的范围问题
(分值：73分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．设甲：“函数f(x)＝2sin ωx在上单调递增”，乙：“0＜ω≤2”，则甲是乙的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．为了使y＝sin ωx(ω＞0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是(　　)
A．98π B．
C． D．100π
3．若函数f(x)＝sin (ωx－)(ω>0)在上的值域是，则ω的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
4．已知函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω>0)在区间上恰好有两条对称轴，则ω的取值范围是(　　)
A.
B．
C．
D．
5．(2026·焦作模拟)已知函数f(x)＝1－2sin2(ωx＋)(ω>0)在[0，π]上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
6．已知函数f(x)＝3cos (ω>0)，若f(x)在区间[0，π)内有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
7．(2026·驻马店模拟)已知函数f(x)＝2sin (ωx－)(ω>0)在区间(0，π)上恰有3个极值点，则ω的取值范围为(　　)
A． B．
C．(3，4] D．
8．将函数f(x)＝sin x的图象向左平移个单位，再将所得图象上的各点的横坐标变为原来的 (ω>0)，得到函数g(x)的图象，若g(x)在(，π)上单调递增，则ω的取值范围为(　　)
A．(0，] B．(0，)
C．(0，] D．(0，)
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9．设函数f(x)＝sin (ωx－)(ω>0)在(0，π)上恰有两个极值点、两个零点，则ω的取值可能是(　　)
A． B．
C．2 D．
10．将函数y＝sin 2ωx(0<ω<1)的图象向左平移个单位可得到函数y＝f(x)的图象，若y＝f(x)在区间(π，2π)内有最值，则实数ω的取值范围可能为(　　)
A． B．
C． D．
11．将函数f(x)＝cos (ωx－)(ω＞0)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，且g(0)＝－1，则下列说法正确的是(　　)
A．g(x)为奇函数
B．g(－)＝0
C．当ω＝5时，g(x)在(0，π)上有4个极值点
D．若g(x)在上单调递增，则ω的最大值为5
三、填空题(每小题5分，共15分)
12．(2026·巴中模拟)已知函数f(x)＝3sin ωx在区间上的最小值为－3，则ω的取值范围为________．
13．已知函数f(x)＝sin (2ωx＋)＋cos 2ωx(ω>0)在区间内不存在零点，则ω的取值范围是________．
14．已知函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0，－<φ<0)，＝1，f＝0，且f(x)在区间上单调，则ω的最大值为________．课时作业27　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及应用
(分值：90分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1．某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间满足关系式y＝20sin ，则该弹簧振子运动的最小正周期为(　　)
A．0.6 s B．0.5 s
C．0.4 s D．0.3 s
2．(2026·福州模拟)为了得到函数g(x)＝tan (x＋1)的图象，只需把函数f(x)＝tan x图象上所有的点(　　)
A．向右平移1个单位长度
B．向左平移1个单位长度
C．向上平移1个单位长度
D．向下平移1个单位长度
3．(2026·南京二模)把函数y＝cos x图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，则f(x)＝(　　)
A．cos B．cos
C．cos D．cos
4. (2025·全国Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为(　　)
A．3　　　B．4 C．6　　　D．8
5．(2026·保定模拟)函数g(x)＝sin 的图象向左平移个单位得到函数y＝f(x)的图象，则函数y＝f(x)的解析式为(　　)
A．y＝sin 2x B．y＝－sin 2x
C．y＝cos 2x D．y＝－cos 2x
6．(2026·蚌埠模拟)将函数y＝sin x＋cos x的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度得到函数y＝sin x－cos x的图象，则φ的最小值为(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7．(2026·哈尔滨模拟)为了得到函数y＝sin 的图象，只需将y＝sin x图象上的所有点(　　)
A．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位
B．横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位
C．向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍
D．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的
8．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)
A．A＝
B．ω＝1
C．f的图象关于原点对称
D．直线x＝－是f(x)的图象的对称轴
三、填空题(每小题5分，共10分)
9．(2026·长沙模拟)将函数f(x)＝tan 的图象向右平移个单位得到函数y＝g(x)的图象，则y＝g(x)的对称中心为________．
10．已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，其中A，B，若将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g＝________．
四、解答题(共28分)
11．(13分)已知函数f(x)＝cos .
(1)利用“五点法”完成以下表格，并画出函数f(x)在一个周期内的图象；
12．(15分)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象，如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的单调递增区间．
．(5分)若函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)(A>0，|φ|<π)的图象上有两个相邻顶点为M(-3，)，N(1，-).将f(x)的图象沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移 个单位后得到g(x)的图象，则g(4/3)的值为(　　)
A． B．
C． D．
14.(5分)(2026·武汉模拟)将函数f(x)＝-的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间上的最大值为1，则θ＝________．课时作业43　空间向量的概念及运算
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．(2026·青岛模拟)已知空间两点A(1，－1，－2)，B(3，0，－4)，向量c＝(－2，2m－1，2)满足c∥，则实数m的值为(　　)
A．0 B．1
C．0或1 D．不存在
2．已知向量a＝(1，2，2)，b＝(－2，1，1)，则a在b上的投影向量为(　　)
A． B．
C． D．
3．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P(2，1，－1)，Q(3，－2，0)，若点M与点P关于平面Oxz对称，则＝(　　)
A．(－3，2，1) B．(3，－2，－1)
C．(－1，1，1) D．(－1，1，－1)
4．如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别为AB，A1C1的中点，若＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)
A.＋c
B．－＋c
C．＋c
D．－＋c
5．(2026·成都模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中，＝c.若点P满足 ＋kc，且点P在平面A1BC内，则k＝(　　)
A．　　　B． C．　　　D．1
6．已知向量a＝(2，λ，1)，b＝(1，－1，－2)，且向量a与b夹角的余弦值为，则λ的值为(　　)
A．－5 B．－
C． D．－或
7．(2026·亳州模拟)已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足，则(　　)
A．P，A，B，C四点共面
B．P，A，B，D四点共面
C．P，B，C，D四点共面
D．P，A，C，D四点共面
8．如图所示，在平行六面体A1B1C1D1-ABCD中，点E满足，若，则x－2y－z＝(　　)
A．－ B．2
C．0 D．
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．已知空间向量a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，x)，则下列选项中正确的是(　　)
A．当a⊥b时，x＝3
B．当a∥b时，x＝－4
C．当x＝－1时，|a＋b|＝
D．当x＝4时，cos 〈a，b〉＝
10． (2026·新乡模拟)如图，已知四面体ABCD，点E，F分别是BC，CD的中点，下列说法正确的是(　　)
A．
B．
C．＝
D．
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(1，0，2)，若ka＋b与ka－2b互相垂直，则k＝________．
12．如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的每条棱长均为2，E，F分别是BC，A1C1的中点，则EF的长为________．
四、解答题(共28分)
13．(13分)已知空间向量a＝(2，－2，1)，b＝(2，－1，4)，c＝(x，5，2)．
(1)若a⊥c，求x；
(2)设|d|＝3，d∥a，求d；
(3)若向量c与向量a，b共面，求实数x的值．
14．(15分)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，A1A＝2，＝c，M为CC1的中点．
(1)用空间的一个基底{a，b，c}表示；
(2)求，异面直线DM与A1C所成角的余弦值；
(3)求证：A1C⊥BD.
优生选做题
15． (5分)如图，在正四面体A-BCD中，E为BD的中点，，当时，E，F，G，H四点共面，则λ＝(　　)
A． B．
C． D．
16.(5分)(2026·聊城模拟)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝3，AB＝4，E，F，G分别是棱C1D1，BC，CC1的中点，M是平面ABCD内一动点，若直线D1M与平面EFG平行，则的最小值为________．
课时作业43　空间向量的概念及运算
1．解析：已知A(1，－1，－2)，B(3，0，－4)，则＝(2，1，－2)，因为c＝(－2，2m－1，2)，满足c∥，所以，解得m＝0.故选A.
答案：A
2．解析：向量a在向量b上的投影向量为(－2，1，1)＝.故选A.
答案：A
3．解析：因为点M与点P关于平面Oxz对称且P(2，1，－1)，所以点M(2，－1，－1)，又Q(3，－2，0)，所以＝(2，－1，－1)－(3，－2，0)＝(－1，1，－1)．故选D.
答案：D
4．解析：＋c.故选B.
答案：B
5．解析：因为＋kc，且点P在平面A1BC内，根据共面向量定理的推论，若空间四点P，M，N，Q共面，点O为空间任意一点，则，且x＋y＋z＝1，＋k＝1，解得k＝.故选B.
答案：B
6．解析：因为a＝(2，λ，1)，b＝(1，－1，－2)，所以|a|＝＝，a·b＝－λ，又向量a与b夹角的余弦值为，所以cos 〈a，b〉＝，解得λ＝－.故选B.
答案：B
7．解析：因为，所以，即＝4－3，故所以P，B，C，D四点共面．故选C.
答案：C
8．解析：如题图，由＝，而，且不共面，所以x＝1，y＝－，所以x－2y－z＝1－2×－＝2.故选B.
答案：B
9．解析：对于A，当a⊥b时，2×(－4)＋(－1)×2＋2x＝0，解得x＝5，A错误；对于B，当a∥b时，a＝λb，即解得B正确；对于C，当x＝－1时，则有a＋b＝(－2，1，1)，|a＋b|＝，C正确；对于D，当x＝4时，cos 〈a，b〉＝，D错误．故选BC.
答案：BC
10．解析：对于A，因为，故A正确；对于B，因为，故B正确；对于C，因为＝，故C正确；对于D，因为≠，故D错误．故选ABC.
答案：ABC
11．解析：因为a＝(1，1，0)，b＝(1，0，2)，故ka＋b＝(k＋1，k，2)，ka－2b＝(k－2，k，－4)，若ka＋b与ka－2b互相垂直，则(ka＋b)·(ka－2b)＝0，即(k＋1)(k－2)＋k2－8＝0，解得k＝－2或k＝.
答案：－2或
12．解析：2＝2＝×4＋0＝5，所以EF＝.
答案：
13．解析：(1)由a⊥c，所以a·c＝2x－2×5＋1×2＝0，解得x＝4.
(2)由d∥a，所以存在实数λ，使得d＝λa，即d＝λ(2，－2，1)＝(2λ，－2λ，λ)，又因为|d|＝3，所以|d|＝＝3|λ|＝3，解得λ＝±1，当λ＝1时，d＝(2，－2，1)，当λ＝－1时，d＝(－2，2，－1)．
(3)由向量c与向量a，b共面，存在有序实数对(λ，μ)，使得c＝λa＋μb，
所以c＝λa＋μb＝λ(2，－2，1)＋μ(2，－1，4)＝(2λ＋2μ，－2λ－μ，λ＋4μ)＝(x，5，2)，
所以解得
所以x＝－.
14．解析：(1)；
＝－c＋a＋b＝a＋b－c.
(2)2＝2＝a2＋a·c＋2＝1＋1×2×cos 60°＋×4＝3，故＝.
2＝(a＋b－c)2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b－2a·c－2b·c＝1＋1＋4＋0－2×1－2×1＝2，故＝.
＝·(a＋b－c)＝1＋0－1＋×4＝－1，
所以异面直线DM与A1C所成角的余弦值为＝.
(3)证明：因为＝(a＋b－c)·(b－a)
＝a·b－a2＋b2－a·b－b·c＋a·c＝b2－a2－b·c＋a·c
＝1－1－1＋1＝0，
所以A1C⊥BD.
15．解析：因为E，F，G，H四点共面，所以存在唯一的x，y∈R，使得.因为，所以，因为E为BD的中点，，所以＝，所以－，＝－＝－＝－，代入，得－＝－，所以解得故选B.
答案：B
16．解析：如图，
以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．可得E(2，3，3)，F，G，D1(0，3，3)，B1(4，0，3)，M(x，y，0)，＝＝＝(x，y－3，－3)，设平面EFG的法向量n＝(x1，y1，z1)，则得令x1＝－，y1＝1，z1＝－1，即n＝.由于直线D1M与平面EFG平行，则·n＝0，得－x＋y－3＋3＝0，即y＝＝(4－x，－y，3)，＝(－x，3－y，3)．＝(4－x)·(－x)＋(－y)·(3－y)＋9＝x2－4x＋y2－3y＋9＝x2－4x＋2－(x－2)2＋，可知，由于x∈(0，4)，当x＝2时，取得最小值，最小值为.
答案：课时作业47　直线与方程
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．直线 y＋7＝0的倾斜角为(　　)
A．0° B．30°
C．45° D．60°
2．已知直线l的方程为＝1，则直线l在x轴上的截距为(　　)
A．－11 B．－5
C．5 D．11
3．若直线2x－3y＋a＝0在y轴上的截距为－4，则a＝(　　)
A．8 B．12
C．－8 D．－12
4．直线l经过点，倾斜角是直线x＝－1的倾斜角的，则直线l的方程为(　　)
A．x－＝0 B．x－y＋＝0
C．x－y＋3＝0 D．x＋＝0
5．已知直线ax＋y＋6＝0的倾斜角为60°，则实数a＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
6．若A(1，0)，B(－1，1)，C(a，b)三点共线，则(　　)
A．a＋2b－1＝0 B．a＋2b＋1＝0
C．a－2b－1＝0 D．a－2b＋1＝0
7．直线l经过点A(1，2)，斜率为k，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率k的取值范围是(　　)
A．－11或k<
C．k>或k<1 D．k>或k<－1
8．已知直线l过点(1，－2)，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为(　　)
A．x＋y＋1＝0
B．x＋y＋1＝0或2x＋y＝0
C．x－y－3＝0
D．x－y－3＝0或2x＋y＝0
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．下列说法正确的有(　　)
A．过点(2，4)并且倾斜角为90°的直线方程为x－2＝0
B．直线2x－y＋5＝0经过第一、二、三象限
C．过点(2，－1)且斜率为－的直线的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)
D．斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x±3
10．如果AC>0，BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0通过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．若经过点(2，1)的直线l在x，y轴上的截距之比为2∶1，则l与两坐标轴围成的三角形的面积为________．
12．设点A(2，1)，B(－2，3)，若直线ax＋y＋1＝0与线段AB没有公共点，则实数a的取值范围为________．
四、解答题(共28分)
13．(13分)已知△ABC的顶点坐标是A(2，0)，B(6，－2)，C(－2，3)，M为AB的中点．
(1)求中线CM的方程；(用一般式表示)
(2)求经过点B且在两坐标轴上截距相等的直线方程．(用一般式表示)
14．(15分)已知直线l：(2a＋3)x－(a－1)y＋3a＋7＝0，a∈R.
(1)证明：直线l过定点A，并求出点A的坐标；
(2)在(1)的条件下，若直线l′过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12倍，求直线l′的方程．
优生选做题
15．(5分)已知直线l过点(0，4)，且与直线x－y＋4＝0及x轴围成等腰三角形，则l的方程为(　　)
A．x＋y－4＝0或x－3y＋12＝0
B．x－3y＋12＝0或3x－＝0
C．x－y＋3＝0
D．x＋y－3＝0
16.(5分)已知过点P的直线l在x轴和y轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线l的条数为________．课时作业45　利用空间向量求空间距离
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．(2026·镇江模拟)已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到平面α的距离为(　　)
A． B．
C．5 D．10
2．已知空间中向量＝(0，1，0)，向量的单位向量为，则点B到直线AC的距离为(　　)
A． B．
C． D．
3．已知平面α，β均以n＝(－2，1，2)为法向量，平面α经过坐标原点O，平面β经过点P(3，2，－1)，则平面α与β的距离为(　　)
A．2 B．2
C．3 D．2
4．(2026·邢台模拟)在四棱锥P-ABCD中，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)，＝(0，0，1)，则这个四棱锥的高为(　　)
A． B．
C． D．
5．(2026·泰安模拟)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，E为线段A1B1的中点，则点B到直线DE的距离为(　　)
A. B．
C． D．
6．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点，则直线AE到平面C1DF的距离为(　　)
A． B．
C． D．
7．在正三棱锥P-ABC中，AB＝4，D，E分别是棱AB，PC的中点，则点P到平面BDE的距离是(　　)
A． B．
C． D．
8．如图所示，体积为8π的半圆柱的轴截面为平面ABB1A1，AB是圆柱底面的直径，O为底面的圆心，BB1为一条母线，点D为棱BB1的中点，且|AB|＝4，和的弧长为，则三棱锥O-CDE的体积为(　　)
A．8 B．4
C．2 D．
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．已知点A(－3，2，－1)在平面α内，点B(2，－1，1)在平面α外，且平面α的一个法向量为n＝(1，1，2)，下列选项正确的是(　　)
A．＝
B．＝38
C．点B到平面α的距离为
D．点B到平面α的距离为
10．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝2.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(　　)
A．D1O∥平面BA1C1
B．＝
C．A1C⊥平面OBB1
D．点B到直线A1C的距离为
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．已知点A(1，0，2)与点B(1，1，1)，在z轴上求一点M，使点M到直线AB的距离为1，则点M的坐标为________．
12．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BA⊥BC，BA＝BC＝BB1＝2，则点B到平面A1B1C的距离为________.
四、解答题(共28分)
13．(13分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为4，D是AB的中点．
(1)求证：BC1∥平面A1DC；
(2)求直线BC1与平面A1DC的距离．
14．(15分)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA＝1，AB＝，BC＝1，AD＝2，M是PD的中点．
(1)求证：CM∥平面PAB；
(2)在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
得分
优生选做题
15．(5分)如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面α上，三条棱AB，AC，AD都在平面α的同侧，若顶点B，C到平面α的距离分别为，则顶点D到平面α的距离是(　　)
A． B．2
C． D．2
16.(5分)如图，四边形ABCD，ABEF都是正方形，AB＝4，∠DAF＝120°.P，Q分别是线段AE，BD上的动点，且，则PQ的最小值是________．
课时作业45　利用空间向量求空间距离
1．解析：因为A(－1，3，0)，P(－2，1，4)，所以＝(－1，－2，4)，又平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，所以点P到平面α的距离d＝.故选A.
答案：A
2．解析：设向量的单位向量为e，则e＝，点B到直线AC的距离为.故选B.
答案：B
3．解析：平面α，β均以n＝(－2，1，2)为法向量，则α∥β，平面β经过点P(3，2，－1)，则平面α与β的距离等于点P(3，2，－1)到平面α的距离，平面α经过坐标原点O，＝(3，2，－1)，点P到平面α的距离d＝＝2，所以平面α与β的距离为2.故选A.
答案：A
4．解析：设平面ABCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则所以令x＝1，可得y＝1，z＝1，即n＝(1，1，1)，|n|＝·n＝1，故点P到平面ABCD的距离为.故选B.
答案：B
5．解析：在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系，
由AB＝1，AA1＝2，得D(0，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，2)，B1(1，1，2)，线段A1B1的中点E，则＝＝(1，1，0)，所以点B到直线DE的距离h＝.故选D.
答案：D
6．解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，F，C1(0，1，1)，A(1，0，0)，E，∴＝，＝＝(0，1，1)，＝(1，0，0)，∴∥，即AE∥FC1.∵AE 平面C1DF，FC1 平面C1DF，∴AE∥平面C1DF.∴直线AE到平面C1DF的距离为点A到平面C1DF的距离．设平面C1DF的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，则z＝2，y＝－2，∴n＝(1，－2，2)，∴点A到平面C1DF的距离为.故选D.
答案：D
7．解析：如图，
取棱AC的中点F，连接BF，则点P在平面ABC的投影H在线段BF上，且BH＝2HF，连接PH，作HG∥AC，交线段BC于点G，易证HB，HG，HP两两垂直，则以H为坐标原点，HB，HG，HP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为△ABC是边长为4的等边三角形，所以BF＝6，所以BH＝2HF＝4.因为PB＝2，所以PH＝＝2，所以B(4，0，0)，D，E，P(0，0，2)，所以＝＝＝(－4，0，2)．设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，得n＝，故点P到平面BDE的距离是.故选B.
答案：B
8．解析：设A1B1的中点为O1，的中点为P，以O为原点，PO，OB，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图，
由题知×π×22×AA1＝8π，所以AA1＝4，又和弧长为，O1E＝OC＝OB＝2，所以∠BOC＝∠EO1A1＝，所以O(0，0，0)，D(0，2，2)，C，E，所以＝＝(0，2，2)，＝.设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，即令x＝，则y＝3，z＝－3，取n＝，则E到平面OCD的距离为＝＝，又OD＝DC＝2，OC＝2，所以S△OCD＝，所以三棱锥O-CDE的体积为.故选C.
答案：C
9．解析：由题意得＝(5，－3，2)，所以＝，故A正确，B错误；点B到平面α的距离为，故C正确，D错误．故选AC.
答案：AC
10．解析：由题意有，底面ABCD是正方形，且AB＝AA1＝2，所以AC＝BD＝2，所以OA＝OB＝OC＝OD＝，所以A，B，C，D，OA1＝，所以A1.对于A，因为 ＝＝＝，所以＝＋＝＝＝，设平面BA1C1的法向量为n＝(x，y，z)，所以令x＝1，得n＝(1，0，1)，所以n·×1＝0，所以n⊥，又OD1 平面BA1C1，所以D1O∥平面BA1C1，故A正确；对于B，因为＝，所以B1，所以＝，故B错误；对于C，＝＝，因为＋＝0，所以A1C⊥BB1，因为＋＝0，所以A1C⊥OB1，因为BB1∩OB1＝B1且BB1，OB1 平面OBB1，所以A1C⊥平面OBB1，故C正确；对于D，因为＝＝＝1，所以点B到直线A1C的距离为，故D正确．故选ACD.
答案：ACD
11．解析：设M(0，0，z)，则＝(－1，0，z－2)，＝(0，1，－1)，则方向上的单位向量为e＝，由点M到直线AB的距离为1＝d＝＝ ，解得z＝2，故M(0，0，2)．
答案：(0，0，2)
12．解析：因为BA，BC，BB1两两垂直，以B为坐标原点，BA，BB1，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则C(0，0，2)，B(0，0，0)，B1(0，2，0)，A1(2，2，0)，＝(0，2，0)，＝(0，2，－2)，＝(－2，0，0)．设平面A1B1C的一个法向量为n＝(x，y，z)，令z＝1，则x＝0，y＝1，n＝(0，1，1)．则顶点B到平面A1B1C的距离d＝，即点B到平面A1B1C的距离为.
答案：
13．解析：(1)证明：∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为4，
∴上下底面为边长为4的正三角形，侧面为边长为4的正方形．
连接AC1与A1C交于点E，则E为A1C，AC1的中点，连接DE，
∴在△C1AB中，D，E分别为边AB，AC1的中点，
∴DE∥BC1，
又∵DE 平面A1DC，BC1 平面A1DC，
∴BC1∥平面A1DC.
(2)取AC的中点O，A1C1的中点O1，连接BO，OO1，则BO⊥AC，OO1⊥平面ABC，
以O为坐标原点，OA，OB，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则O(0，0，0)，D，C(－2，0，0)，A1(2，0，4)，C1(－2，0，4)，
∴＝＝＝.
设平面A1DC的法向量为n＝(x，y，z)，
则 令y＝，则x＝－1，z＝1，
∴n＝，
∵C1为BC1上的点，BC1∥平面A1DC，
∴C1到平面A1DC的距离d即为直线BC1与平面A1DC的距离，
d＝，
∴直线BC1与平面A1DC的距离为.
14．解析：(1)取AP的中点E，连接ME，BE，因为M是PD的中点，所以ME∥AD且ME＝AD，
又因为BC∥AD且BC＝AD，所以ME∥BC且ME＝BC，
所以四边形BCME是平行四边形，所以CM∥BE，
又因为CM 平面PAB，BE 平面PAB，所以CM∥平面PAB.
(2)由题意PA⊥平面ABCD且AB⊥AD，则AP，AB，AD两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz，
又因为PA＝1，AB＝，BC＝1，AD＝2，M是PD的中点，
所以P(0，0，1)，B，D(0，2，0)，C.
设＝λ且0≤λ≤1，＝＝，
则＝＝(0，0，1)．
设平面PAQ的法向量为n＝(x0，y0，z0)，
则
令y0＝1，所以n＝，又点D到平面PAQ的距离为，
又＝(0，2，－1)，所以＝，
所以＋3＝7，则λ2＝(1－λ)2，解得λ＝，
所以存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为，此时.
15．解析：如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则O(0，0，0)，C(3，0，0)，B(0，3，0)，A(3，3，0)，D(3，3，3)，所以＝(3，0，0)，＝(0，3，0)，＝(0，0，3)．设平面α的一个法向量为n＝(x，y，z)，则点B到平面α的距离为d1＝　①，点C到平面α的距离为d2＝＝＝②，由 ①②可得 ＝|x|，|z|＝ 所以D到平面 α的距离为 ＝＝＝.故选C.
答案：C
16．解析：以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴，过A作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为AB＝4，∠DAF＝120°，所以A(0，0，0)，B(0，4，0)，D(4，0，0)，E，则＝＝(－4，4，0)．
设(0≤k≤1)，则＝，所以P.因为，所以＝(－4k，4k，0)，所以Q(4－4k，4k，0)，则＝，故＝.因为k2－k＋1＝2＋，当k＝时取到，所以4，即PQ的最小值是2.
答案：2课时作业59　用样本估计总体
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．(2025·全国Ⅱ卷)样本数据2，8，14，16，20的平均数为(　　)
A．8 B．9
C．12 D．18
2．(2026·河北多校联考)为响应“全民健身＋电竞”融合潮流，某电竞馆举办“运动达人电竞赛”，赛前通过简单随机抽样，获得了18名选手1分钟内健身操动作完成数，结合电竞互动得分换算后如下(单位：分)：
105 112 118 120 123 125 127 129 130 132 135 137 139 141 143 145 147 150
这18名选手1分钟内健身操动作完成得分的第60百分位数为(　　)
A．132 B．133.5
C．135 D．136
3．有一组数据：2，4，5，7，6，7，x，10，这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
4．2025年11月25日中国神舟二十二号载人飞船成功发射，为了弘扬航天人顽强拼搏的精神，某校航天课外小组举行了一次航天知识竞赛，随机抽取获得了6名同学的分数(满分30分)分别为：22，24，26，26，28，30，关于这组数据，下列说法错误的是(　　)
A．极差为8
B．平均数为26
C．众数为26
D．80%分位数为27
5．(2026·衡水模拟)一组数据从小到大排列为1，3，5，x，10，12，若这组数据的中位数比80%分位数小3，则x的值为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
6．(2026·昆明模拟)已知某总体分为两层，第一层总体数量为N1＝80，第二层总体数量为N2＝120，采用分层随机抽样抽取样本，第一层样本平均数为＝5；第二层样本平均数为＝7，则该总体平均数的估计值为(　　)
A．5.5 B．6.0
C．6.2 D．7.0
7．(2026·南通模拟)已知互不相等的数据x1，x2，x3，x4，x5，t的平均数为t，方差为，数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为，则的大小关系为(　　)
A. B.
D．无法判断
8．李老师家有3名人员，3名人员的年龄与2年后的年龄相比较，一定不会发生变化的是(　　)
A．平均数 B．中位数
C．方差 D．众数
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．(2026·保定模拟)现有一组数据10，20，30，30，50，60，80，则(　　)
A．该组数据的极差为70
B．该组数据的众数为30
C．该组数据的第60百分位数为40
D．该组数据的平均数为60
10．(2026·潍坊模拟)如图是某市2025年1月至7月全社会用电量(单位：亿千瓦时)的折线图，则(　　)
A．1月至7月全社会用电量逐月增加
B．1月至7月全社会用电量的极差是20.7
C．1月至7月全社会用电量的第75百分位数是64.3
D．1月至3月全社会用电量的极差比4月至6月的极差大
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．(2026·沙坪坝模拟)某零件厂共有编号分别为一、二、三、四的四个生产车间，已知2026年1月份第一、四车间生产的零件数分别为73万件和145万件，若四个车间产量随编号增加而增加，且四个车间产量的中位数与平均数相等，则2026年1月份该厂生产的零件总数为__________万件．
12．已知9个数据的平均数为6，方差为4，现又加入一个新数据6，此时这10个数据的方差为__________.
四、解答题(共28分)
13．(13分)文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．中山市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求样本成绩的众数，样本成绩的第75百分位数和平均数．
14．(15分)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)．试验结果如下：
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，记z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2.
(1)求，s2；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高．(如果≥2 ，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)
优生选做题
15．(5分)(2026·佛山模拟)考虑一组数据{3，x，x，4，5}，其中x是一个正整数，有下列描述：
Ⅰ.该组数据的平均数是一个整数．
Ⅱ.该组数据的中位数不小于3.
Ⅲ.该组数据的众数与上四分位数相等．
其中正确的是(　　)
A．只有Ⅱ B．只有Ⅲ
C．只有Ⅰ及Ⅱ D．只有Ⅱ及Ⅲ
16.(5分)(2026·淮南模拟)高一某班有24名男生和40名女生，某次数学测试中，男生的平均分与女生的平均分之差为4，若男生分数的方差为94，全班分数的方差为84，则女生分数的方差为________．课时作业46　利用空间向量求空间角
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，那么直线B1D1与平面ACD1所成角的余弦值是 (　　)
A． B． C． D．
2．如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，O为底面圆的圆心，SO＝5，AO＝OD＝3，AC＝BC，则直线AD与直线SC所成角的余弦值为(　　)
A． B． C． D．
3．(2026·南通模拟)三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD和△BCD均为等边三角形，则二面角A-BC-D的余弦值是(　　)
A． B． C． D．
4．如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，A1C1＝1，AB＝AC＝AA1＝2，M为BC的中点，则平面MAC1与平面AC1C的余弦值为(　　)
A． B． C． D．
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5．在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点，N为棱AA1的中点，则(　　)
A．D1N∥平面ABM
B．DN⊥平面ABM
C．直线C1M与平面ABM所成角的余弦值为
D．直线CD1与平面ABM所成角的余弦值为
6．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝2，D为B1C1的中点，则(　　)
A．A1D⊥B1C
B．B1C⊥平面A1BD
C．AC1∥平面A1BD
D．直线AC1与B1C所成的角为
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，AP＝2，则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为________．
8．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若＝k，且AB1与BC1所成角的大小为60°，则k的值为________．
四、解答题(共43分)
9． (13分)(2026·昭通模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝AB，PD⊥底面ABCD.
(1)证明：PA⊥BD；
(2)求平面PAB与平面PBC夹角的正弦值．
10． (15分)(2026·沧州模拟)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面AB1C1，AA1＝λBC.
(1)证明：B1C1⊥A1C1；
(2)若直线B1C与平面AB1C1所成的角为，求λ.
11． (15分)(2026·周口模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，AB⊥BC，AB∥DC，AB＝BC＝1，CD＝2，PC＝，点M在侧棱PB上运动．
(1)证明：平面PAC⊥平面PAD；
(2)当直线AM与直线PD所成的角最小时，求三棱锥P-CDM的体积．
优生选做题
12．(15分)某中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍(méng)”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图①，E，F，G分别是边长为4的正方形三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB，CG就得到了一个“刍甍”(如图②)．
(1)若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO∥平面GCF；
(2)若二面角A-EF-B的大小为，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值；
(3)在(2)的条件下，在棱AG上是否存在点P，使得平面EBP与平面GCF所成的二面角的正切值为？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由．
课时作业46　利用空间向量求空间角
1．解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则D1(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，∴＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，＝(1，1，0)．设平面ACD1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则令z＝1，则x＝y＝1，则n＝(1，1，1)．设直线B1D1与平面ACD1所成的角为α，α∈，则sin α＝，∴cos α＝.故选B.
答案：B
2．解析：连接OC，在圆锥SO中有SO⊥平面ABC，OC，OA 平面ABC，所以SO⊥OC，SO⊥OA，又AB是底面圆的直径，所以O为AB的中点，因为AC＝BC，所以OC⊥OA，如图以O为原点，OC，OA，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则S(0，0，5)，C(3，0，0)，A(0，3，0)，D(0，0，3)，则＝(3，0，－5)，＝(0，－3，3)，所以cos 〈〉＝，所以直线AD与直线SC所成角的余弦值为.故选D.
答案：D
3．解析：如图，作出符合题意的图形，取BD的中点O，连接AO，CO，因为△ABD和△BCD均为等边三角形，所以BD⊥AO，BD⊥CO，因为平面ABD⊥平面BCD，且AO 平面ABD，所以AO⊥平面BCD，则以O为坐标原点，OC，OD，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设△ABD和△BCD的边长为2，可得A，B(0，－1，0)，C，得到＝＝.设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，可得令x＝1，解得y＝－，z＝1，故n＝，易得平面BCD的一个法向量为m＝(0，0，1)．设二面角A-BC-D的平面角为α，由图可知α为锐角，则cos α＝，故C正确．故选C.
答案：C
4．解析：由A1A⊥平面ABC，且AB，AC 平面ABC，所以A1A⊥AB，A1A⊥AC又由AB⊥AC，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为A1C1＝1，AB＝AC＝AA1＝2，且M为BC的中点，可得A(0，0，0)，M(1，1，0)，C1(0，1，2)，则＝(1，1，0)，＝(0，1，2)．设平面MAC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则取x＝2，可得y＝－2，z＝1，所以n＝(2，－2，1)，易得平面AC1C的一个法向量为m＝(1，0，0)．设平面MAC1与平面AC1C所成的角为θ，由图可知θ为锐角，则cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝.故选B.
答案：B
5．解析：对于A，取BB1的中点E，连接C1E，可得D1N∥C1E，在正方形BCC1B1中，因为M为CC1的中点，可得BM∥C1E，所以D1N∥BM，因为D1N 平面ABM，BM 平面ABM，所以D1N∥平面ABM，故A正确；
对于B，连接DN，设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，可得N(2，0，1)，D1(0，0，2)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，M(0，2，1)，C1(0，2，2)，D(0，0，0)，则＝(2，0，1)，＝(0，2，0)，＝(－2，0，1)．设平面ABM的一个法向量为n＝(x，y，z)，则取z＝2，则x＝1，y＝0，所以n＝(1，0，2)，显然不存在实数λ，使＝λn，所以DN与平面ABM不垂直，故B错误；对于C，由向量＝(0，0，－1)，设C1M与平面ABM所成的角为θ，可得sin θ＝＝，其中θ∈，所以cos θ＝，即C1M与平面ABM所成角的余弦值为，故C不正确；对于D，由向量＝(0，－2，2)，设直线CD1与平面ABM所成的角为α，则sin α＝＝，其中α∈，所以cos α＝，即直线CD1与平面ABM所成角的余弦值为，故D正确．故选AD.
答案：AD
6．解析：由题意，以A为原点，AB，AA1，AC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
可得A(0，0，0)，A1，B(2，0，0)，B1，C(0，0，2)，C1，D，则＝(1，0，1)，＝，＝＝，对于A，由＝1×(－2)＋0×2＋1×2＝0，则A1D⊥B1C，故A正确；对于B，设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则取x＝2，得n＝，由于不存在实数λ，使得＝λn，则与n不平行，故B错误；对于C，由＋2×(－2)＝0，则⊥n，因为AC1 平面A1BD，所以AC1∥平面A1BD，故C正确；对于D，由＝≠，则直线AC1与B1C所成角不为，故D错误．故选AC.
答案：AC
7．解析：因为PA⊥底面ABCD，AB，AD 平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，又底面ABCD是边长为1的正方形，所以AB⊥AD，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，AP＝2，故P(0，0，2)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，所以＝(1，1，－2)，＝(0，1，－2)．
设平面PCD的一个法向量为m＝(x，y，z)，则解得x＝0，令z＝1，则y＝2，故m＝(0，2，1)，＝(1，0，－2)，PB与平面PCD的夹角的正弦值为.
答案：
8．解析：如图，分别取BC，B1C1的中点为M，N，
易知MN⊥平面ABC，MA，MB 平面ABC，所以MN⊥MA，MN⊥MB，
又△ABC为正三角形，所以AM⊥BC，
所以MA，MB，MN两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．
令BB1＝1，则AB＝AC＝BC＝k，
于是得A，B，C，B1，C1＝＝(0，－k，1)，＝＝，所以cos 60°＝＝，解得k＝.
答案：
9．解析：(1)证明：如图，连接BD，设AD＝PD＝1，则AB＝2，因为∠DAB＝，
在△ABD中，由余弦定理，可得BD2＝1＋4－2×1×2×cos ＝3，
又AD2＋BD2＝AB2，则AD⊥BD.
由PD⊥平面ABCD，且BD 平面ABCD，可得PD⊥BD.
又AD∩PD＝D，且AD，PD 平面PAD，
故BD⊥平面PAD，PA 平面PAD，
所以PA⊥BD.
(2)因为PD⊥平面ABCD，由(1)得AD⊥BD，即DA，DB，DP两两互相垂直．
故可以D为坐标原点，DA，DB，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(1，0，0)，B，C，P(0，0，1)，
则＝＝(－1，0，1)，＝(－1，0，0)，＝.
设平面PAB的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则故可取m＝.
设平面PBC的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则故可取n＝.
所以cos 〈m，n〉＝，
因为0<〈m，n〉<π，则sin 〈m，n〉＝ ，
故平面PAB与平面PBC夹角的正弦值为.
10．答案：(1)证明：由A1C⊥平面AB1C1，B1C1 平面AB1C1，可得A1C⊥B1C1，
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥ 平面A1B1C1，B1C1 平面A1B1C1，则 CC1⊥B1C1，
又CC1∩A1C＝C，CC1，A1C 平面A1CC1，所以B1C1⊥平面A1CC1，
又A1C1 平面A1CC1，可得B1C1⊥A1C1.
(2)由A1C⊥平面AB1C1，AC1 平面AB1C1，可得A1C⊥AC1.
因为四边形AA1C1C是矩形，故四边形AA1C1C是正方形，则A1C1＝AA1，
由(1)已得CC1⊥ 平面A1B1C1，B1C1⊥A1C1，
故可以C1为坐标原点，C1B1，C1A1，C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C1-xyz，
不妨设B1C1＝1，则B1(1，0，0)，C(0，0，λ)，A1(0，λ，0)，故＝(－1，0，λ)，
由题易知平面AB1C1的一个法向量为＝(0，－λ，λ)，
则sin ＝＝，
解得λ2＝1，因为λ>0，所以λ＝1.
11．答案：(1)证明：因为PC⊥底面ABCD，又AD 平面ABCD，则PC⊥AD，
由AB⊥BC，AB＝BC＝1，所以AC＝，且∠ACB＝45°，
在△ACD中，∠ACD＝90°－∠ACB＝45°，
由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2AC×CD×cos 45°＝2，
则AD2＋AC2＝4＝CD2，所以AC⊥AD，
因为PC∩AC＝C，PC，AC 平面PAC，
所以AD⊥平面PAC.因为AD 平面PAD，所以平面PAC⊥平面PAD.
(2)以C为原点，CD，CB，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
则点A(1，1，0)，B(0，1，0)，D(2，0，0)，P，
所以＝(－1，0，0)，＝＝.
设(0≤λ≤1)，则＝.
设直线AM与DP所成的角为θ，
所以cos θ＝＝.
设λ＋1＝t(1≤t≤2)，
则，
所以当，即t＝时，cos θ取得最大值，
从而θ取最小值，即直线AM与DP所成的角取最小值，
此时λ＝t－1＝，则.
因为BC⊥CD，BC⊥PC，CD∩PC＝C，则BC⊥平面PCD，
所以点M到平面PCD的距离为h＝，
所以VP-CDM＝VM-PCD＝.
12．答案：证明：取CF的中点M，连接OM，GM，由题意可知AG∥EF且AG＝EF，
又因为O是矩形EBCF对角线的交点，所以OM∥EF且OM＝EF，所以AG∥OM且AG＝OM，则四边形AOMG为平行四边形，所以AO∥GM，又因为AO 平面GCF，GM 平面GCF，所以AO∥平面GCF.
答案：因为在题图①中EF⊥AE，EF⊥BE，且EF＝4，AE＝BE＝2，在题图②中上述关系依然成立，所以∠AEB即为二面角A-EF-B的平面角，则∠AEB＝，以E为坐标原点，EB，EF所在直线分别为x轴、y轴，过E且和平面EBCF垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则B(2，0，0)，F(0，4，0)，C(2，4，0)，xA＝AE·cos ＝－1，yA＝0，zA＝AE·sin ，所以A，又因为AG＝2，AG∥平面BCFE，所以G，所以＝＝(2，0，0)，＝.
设平面GFC的一个法向量n＝(x，y，z)，则则有
取n＝，所以＝，所以直线AB与平面GCF所成角的正弦值为.
答案：假设存在满足条件的点P，
设＝(0，2λ，0)(0≤λ≤1)，所以P，
则＝＝.
设平面EBP的一个法向量为m＝(x0，y0，z0)，
则
所以取m＝，
由(2)知平面GFC的一个法向量n＝，
则cos 〈m，n〉＝.
设平面EBP与平面GCF所成的二面角为α，则tan α＝>0，
则α为锐角，又tan α＝，sin2α＋cos2α＝1，解得cosα＝，
则只需cos2〈m，n〉＝，即，
整理得4λ2－24λ＝0，解得λ＝0或λ＝6(舍去)，
所以当P与A点重合时，平面EBP与平面GCF所成的二面角的正切值为.课时作业17　导数与函数的单调性
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．函数f(x)＝x ln x的单调减区间是(　　)
A．(－∞，－e) B．
C． D．(0，e)
2．已知函数f(x)＝x＋cos x，若f(ln x)A．(0，e) B．(0，1)
C．(e，＋∞) D．(1，＋∞)
3．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝(x2＋1)ex，则下列选项正确的是(　　)
A．f(2)B．f(π)C．f(e)D．f(2)4．(2026·合肥模拟)函数y＝x cos x－sin x在(　　)单调递增
A． B．
C．(0，π) D．(π，2π)
5．已知定义域为R的函数f(x)的图象如图所示，设f(x)的导函数为f′(x)，则>0的解集为(　　)
A．(1，6) B．(1，4)
C．(－∞，1) D．(1，4)∪(6，＋∞)
6．“a>2”是“函数f(x)＝ax－tan x在上单调递增”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．(2026·南阳模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax2在(1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围为(　　)
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C． D．
8．(2026·南京模拟)已知f(x)＝，若f(x)>f(y)>f(z)，则x，y，z的大小关系不可能是(　　)
A．x>y>z B．xC．y>x>z D．y>z>x
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．(2026·绵阳模拟)下列函数中，在其定义域上为增函数的是(　　)
A．f(x)＝2x－2－x B．f(x)＝－
C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝x－cos x
10．已知函数f(x)及其导函数f′(x)的部分图象如图所示，设函数g(x)＝e－xf(x)，则下列命题正确的是(　　)
A．函数f(x)先减后增再减
B．函数f(x)先增后减
C．函数g(x)在区间(a，b)上单调递减
D．函数g(x)在区间(a，b)上单调递增
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．设函数f(x)＝ax－－2ln x，且f′(2)＝0，则f(x)的单调递增区间为__________．
12．若函数f(x)＝－x3＋ax有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．
四、解答题(共28分)
13．(13分)已知函数f(x)＝a ln x＋.
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求实数a的值；
(2)若a＝0，求f(x)的单调区间．
14．(15分)(2026·扬州模拟)已知函数f(x)＝(1－a)x2＋(a＋2)x＋2a，a∈R.
(1)若函数f(x)为增函数，求实数a的取值范围；
(2)若函数g(x)＝f(x)－(2a＋2)x，求函数g(x)的单调区间．
优生选做题
15．(5分)若函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
16．(5分)(2026·重庆模拟)已知函数f(x)＝(x－1－2b)ex－ax2＋2abx在R上单调递增，则ab的最小值是________．微专题11　排列组合问题的几种特殊解法
(分值：61分)
一、单项选择题(每小题5分，共25分)
1．10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有(　　)种不同的分配方案．
A．9　 B．36
C．84 D．120
2．世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有(　　)种．
A．120 B．60
C．24 D．36
3．(2026·郴州一模)“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队．这批设备分别为6个相同的跳箱和3箱相同的药球．要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有(　　)
A．35种 B．70种
C．140种 D．210种
4．(2026·武汉模拟)将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为(　　)
A．72 B．84
C．96 D．108
5．现将《西游记》《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《史记》《资治通鉴》6本不同的书籍分发给甲、乙、丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是(　　)
A．180 B．150
C．120 D．210
二、多项选择题(每小题6分，共6分)
6．(2026·成都模拟)将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本，则下列说法正确的是(　　)
A．若甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则有60种方案
B．若每人分得2本，则有90种方案
C．若三人分得书本数互不相同，则有360种方案
D．共有450种分配方案
三、填空题(每小题5分，共30分)
7．5名同学站成一排，甲身高最高，排在中间，其他4名同学身高均不相等，甲的左边和右边均由高到低排列，共有________种排法．
8．(2026·哈尔滨模拟)从2到7这6个数字中任意取出3个数，组成一个没有重复数字的三位数，从百位到个位数字依次增大，则满足条件的三位数的个数是________．
9．(2026·长沙模拟)学校开展班级轮值活动，高二某班有A，B，C，D四个轮值小组负责甲、乙、丙三个地点的站岗值班任务，每个小组负责一个地点，每个地点至少有一个小组负责，且A小组不去甲地点，则不同的任务分配方法种数为________.(用数字作答)
10．(2026·沧州模拟)现有6个形状、大小完全相同但颜色均不相同的小球，甲、乙两人采用不同方式分别从中拿取3个球：甲从所有球中一次性随机抽取3个；乙将小球平均分为A，B两堆后，先从A堆中一次性取i个，再从B堆中一次性取3－i个(0≤i≤3)，则乙的不同取法种数比甲多________．
11．(2026·山东多校联考)现将A，B，C，D，E，5位民警派往甲、乙、丙、丁、戊5个学校进行“反校园欺凌”普法宣讲，每人只到1个学校，每个学校只去1人．已知民警A不能去甲学校，B，C两位民警不能到乙学校，则不同的分派方法共有________种．
12．(2026·广东多校联考)为了表扬三位乐于助人的同学，班主任购买了4个价钱相同的礼盒全部分给这3名同学，若购买的4个礼盒仅有2个相同，按一人2个礼盒，另两人各1个礼盒进行分配，共有________种分法．(用数字作答)课时作业66　二项分布、超几何分布与正态分布
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．随机变量X服从二项分布X～B，则E(X)等于(　　)
A．5 B． C．1 D．0
2．一包装箱内有12件产品，其中有10件合格品．现从中随机取出4件，设取出的4件产品中有X件合格品，则E(X)＝(　　)
A． B． C． D．
3．已知三个正态分布密度函数φi＝(x∈R，i＝1，2，3)(其中，e为自然对数的底数)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A．σ1＝σ2>σ3 B．μ1>μ3
C．σ2<σ3 D．μ1＝μ2
4．(2026·眉山模拟)设随机变量X～N(2，σ2)，P(0A．0.25 B．0.35 C．0.65 D．0.70
5．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O处出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动5次，则质点位于－1的位置的概率为(　　)
A． B． C． D．
6．若随机变量X～N，随机变量Y～B(3，p)，且P(X≥1)＝，E(X)＝E(Y)，则P(Y≤1)＝(　　)
A． B． C． D．
7．盒中有10个玩具，其中有3个是坏的，先从盒中随机地抽取4个，则下列事件概率是的是(　　)
A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的
C．恰有2个是坏的 D．至多有2个是坏的
8．在n重伯努利试验中，每次试验发生的概率均为p，且2次试验中恰好发生1次的概率为，若随机变量X～B(6，p)，则X的方差为D(X)＝(　　)
A． B． C．1 D．2
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．(2026·九龙坡模拟)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，则下列说法正确的是(　　)
A．E(X)＝
B．当σ＝0.2时，D(2X＋1)＝0.16
C．P(X<1.8)＋P(X<2.2)＝1
D．随机变量X落在(1.9，2.2)与落在(1.8，2.1)的概率相等
10．某高中为了让同学们了解有关半导体芯片的内容，并同时增加同学们对芯片行业的兴趣，特地举办了一次半导体芯片知识竞赛，统计结果显示，学生成绩(满分100分)X～N(70，σ2)，其中不低于60分为及格，不低于80分为优秀，且优秀率为20%.若从全校参与竞赛的学生中随机选取5人，记选取的5人中知识竞赛及格的学生人数为Y，则(　　)
A．该知识竞赛的及格率为60%
B．P(Y＝2)＝
C．E(Y)＝4
D．D(Y)＝0.8
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是，从中随机选择4粒种子进行播种，则恰有3粒种子发芽的概率是________．
12．袋装食盐标准质量为400 g，规定误差的绝对值不超过4 g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4.由此可估计这批袋装盐的合格率为________．
四、解答题(共28分)
13．(13分)某市今年举办的创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审某领域有8个项目进入最终角逐，其中科技类项目5个，文创类项目3个．从上述8个项目中随机抽取2个进行路演展示．
(1)求抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目的概率；
(2)记路演展示项目中抽中的科技类项目的个数为X，求X的分布列．
14．(15分)(2026·郑州模拟)为宣扬中国文化，某校组织古诗词知识比赛．比赛分为两阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少2个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分高分组和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，共回答4个问题，每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段答对2个问题的选手进入低分组，共回答4个问题，每答对一个得10分，答错不得分．第一阶段，每个问题选手甲答对的概率都是；第二阶段，若选手甲进入高分组，每个问题答对的概率都是，若选手甲进入低分组，每个问题答对的概率都是.
(1)求选手甲第一阶段不被淘汰的概率；
(2)求选手甲在该次比赛得分数为40分的概率；
(3)已知该次比赛选手甲进入了高分组，记选手甲在该次比赛中得分数为X，求随机变量X的分布列和期望值．
　　优生选做题
15．(5分)甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1～6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌X次，则P(X＝4)＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
16.(5分)某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布X～N(10，σ2)，质量指标介于8至12之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到99.7%，则需调整生产工艺，使得σ至多为________．课时作业2　常用逻辑用语
(分值：83分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　)
A． x∈R，x2＋2x－1≥0
B． x∈N，2x＋1为奇数
C．所有菱形的四条边都相等
D．π是无理数
2．(2026·太原模拟)已知命题p： x>0，x3>x2＋1，则 p是(　　)
A． x>0，x3≤x2＋1
B． x<0，x3>x2＋1
C． x>0，x3≤x2＋1
D． x>0，x3>x2＋1
3．已知命题p： x∈R，7x＋3＝0，则(　　)
A．p为假命题，p的否定为“ x∈R，7x＋3≠0”
B．p为假命题，p的否定为“ x∈R，7x＋3≠0”
C．p为真命题，p的否定为“ x∈R，7x＋3≠0”
D．p为真命题，p的否定为“ x∈R，7x＋3≠0”
4．已知P为角α终边上一点，“m＝”是“sin α＝”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．(2026·齐齐哈尔模拟)已知a，b∈R，则“a>b”是“2a>2b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C.充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．(2026·重庆模拟)已知集合A＝{a，0，1}，B＝{x∈R|x2≤1}，则“a＝－1”是“A B”的(　　)
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件
D．必要不充分条件
7．(2026·深圳模拟)某市评选市级三好学生，申报条件之一为：申报者须获得校级三好学生资格．则“同学甲是校级三好学生”是“同学甲是市级三好学生”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．(2026·安阳模拟)已知命题p： x∈R，>1，则(　　)
A．p和q都是真命题
B． p和q都是真命题
C．p和 q都是真命题
D． p和 q都是真命题
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9．已知命题p： x∈N*，x3－4x＝0，命题q：所有能被4整除的数都是偶数，则(　　)
A．p是存在量词命题，是真命题
B．p是存在量词命题，是假命题
C．q是全称量词命题，是真命题
D．q是全称量词命题，是假命题
10．下列命题中为真命题的是(　　)
A． x∈R，x2＋1≥2x
B． x∈R，2x>x3
C．若a∈R，则“a>1”是“<1”的充要条件
D．若a∈R，则“a－2是无理数”是“a是无理数”的充要条件
11．(2026·延边模拟)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有(　　)
A．若x2＝1，则x＝1
B．若a<2，则方程x2－2x＋a＝0有实根
C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是平行四边形
D．若mn为无理数，则m，n均为无理数
三、填空题(每小题5分，共15分)
12．“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件．(填“充分不必要”或“必要不充分”)
13．(2026·广安模拟)若“ x∈14．已知集合A＝{x|x>3}，集合B＝{x|x>a}，若“x∈A”是 “x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围是________．
优生选做题　　
15．(5分)(2026·衡阳模拟)命题“ x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．a≥4 B．a≤4
C．a>4 D．a<4
16.(5分)已知命题p： x∈R，x2－a≥0；命题q： x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为________．
课时作业2　常用逻辑用语
1．解析：对于A，因为 x∈R，x2＋2x－1＝(x＋1)2－2≥－2，该命题是全称量词命题，不是真命题，不符合题意；对于B，该命题是存在量词命题，不是全称量词命题，不符合题意；对于C，易知该命题是全称量词命题，且是真命题，符合题意；对于D，该命题不是全称量词命题，不符合题意．故选C.
答案：C
2．解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题，即把任意改为存在，并否定原结论，所以 p是 x>0，x3≤x2＋1.故选C.
答案：C
3．解析：当x＝－时，7x＋3＝0，所以p为真命题，由存在量词命题的否定是全称量词命题，则p的否定为“ x∈R，7x＋3≠0”．故选C.
答案：C
4．解析：当m＝时，P，则sin α＝，充分性成立，当sin α＝时，则，可得m＝±，必要性不成立，所以“m＝”是“sin α＝”的充分不必要条件．故选A.
答案：A
5．解析：由y＝2x在R上单调递增，得a>b 2a>2b，所以“a>b”是“2a>2b”的充要条件．故选C.
答案：C
6．解析：已知B＝{x∈R|x2≤1}，解不等式x2≤1，即－1≤x≤1，所以B＝{x|－1≤x≤1}．判断充分性：当a＝－1时，集合A＝{－1，0，1}，此时集合A中的所有元素都在集合B中，满足A B，所以由“a＝－1”可以推出“A B”，充分性成立．判断必要性：若A B，因为集合A＝{a，0，1}，集合B＝{x|－1≤x≤1}，所以a的值可以为－1，也可以是其他值如a＝－，不一定只能是－1，即由“A B”不能推出“a＝－1”，必要性不成立．所以“a＝－1”是“A B”的充分不必要条件．故选C.
答案：C
7．解析：根据评选规则：若同学甲是市级三好学生，则同学甲必须是校级三好学生，但是同学甲是校级三好学生不一定能评上市级三好学生，所以“同学甲是校级三好学生”是“同学甲是市级三好学生”的必要不充分条件．故选B.
答案：B
8．解析：对于命题p，不妨取x＝－，则<1，则命题p为假命题，对于命题q，不妨取x＝＝2>1，显然 x>0，>1，则命题q为真命题．因此， q是假命题， p和q都是真命题．故选B.
答案：B
9．解析：x3－4x＝x(x2－4)＝x(x＋2)(x－2)＝0，又x∈N*，故当x＝2时，等式成立，故命题p是存在量词命题，是真命题；能被4整除的数均能被2整除，故所有能被4整除的数都是偶数，命题q是全称量词命题，是真命题．故选AC.
答案：AC
10．解析：因为x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以 x∈R，x2＋1≥2x，故A正确；取x＝1，则2x>x3，所以 x∈R，2x>x3，故B正确；当a<0时，<1显然成立，故C错误；因为2是有理数，所以“a－2是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
11．解析：对于A，若x＝1，则x2＝1，所以A符合题意；对于B，若方程x2－2x＋a＝0有实根，则需满足Δ＝4－4a≥0，即a≤1，可推出a<2，故B符合题意；对于C，若四边形是平行四边形，则四边形对角线不一定互相垂直，故C不符合题意；对于D，若m＝n＝，则mn为有理数，故D不符合题意．故选AB.
答案：AB
12．解析：若一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解，则Δ＝1－4m≥0，解得m≤，所以由m<推出一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解，故充分性成立，由一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解推不出m<，故必要性不成立；所以“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
13．解析：若“ x∈答案：1
14．解析：因为“x∈A”是 “x∈B”的充分条件，所以A B，所以a≤3.
答案：(－∞，3]
15．解析：由x2－a≤0可得a≥x2，当x∈[1，2]时，(x2)max＝4，所以a≥4，则a的取值范围为A＝{a|a≥4}，满足其一个充分不必要条件的集合为B，则B为A的真子集，故其一个充分不必要条件是a>4.故选C.
答案：C
16．解析：因为命题p为真，所以a≤0；因为命题q为真，即x2＋2ax＋2－a＝0有解，所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≤－2或a≥1.因为命题p，q均为真命题，所以a≤－2.即实数a的取值范围为(－∞，－2].
答案：(－∞，－2]微专题12　统计与概率的综合问题
(分值：60分)
1．(13分)某工厂的一个生产车间举行了生产技能测试(满分100分)，经统计，全部测试成绩均位于[50，100]内，按区间[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成5组，绘制频率分布直方图如图，其中在[90，100]内的人数为6.
(1)求a的值，并估计参加测试的职工的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；
(2)现将[50，60)和[90，100]内的所有职工的工号贴在形状、大小和质地均相同的小球上(每个小球贴一个工号)，并放入盒内，从盒中随机抽取两个小球，若抽出的两人成绩差不小于30，称这两人为“黄金搭档组”．若抽取4次，每次取出2个球，记下工号后再放回盒内．记取得“黄金搭档组”的次数为X，求X＝2的概率和X的数学期望．
2．(15分)某中学为了解高二年级学生对“数学建模竞赛”的参与意愿与性别是否有关，现从学校中随机抽取了100名学生进行调查，得到如下列联表：
性别 愿意参与 不愿意参与 合计
男生 30 20 50
女生 25 25 50
合计 55 45 100
(1)根据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为“愿意参与数学建模竞赛与性别有关联”？
(2)从样本中“愿意参与”的学生中按性别采用分层抽样的方法抽取11人，再从这11人中随机抽取3人作为竞赛种子选手，记3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：χ2＝，
P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
3．(15分)全面建成小康社会取得了伟大历史成就，决战脱贫攻坚取得了决定性胜利，某脱贫县实现脱贫奔小康的目标，该县经济委员会积极探索区域特色经济，引导商家利用多媒体的优势，对本地特产进行广告宣传，取得了社会效益和经济效益的双丰收．
(1)该县经济委员会为精准了解本地特产广告宣传的导向作用，在购买该县特产的客户中随机抽取300人进行广告宣传作用的调研，对因广告宣传导向而购买该县特产的客户统计结果是：客户群体中青年人约占15%，其中男性为20%；中年人约占50%，其中男性为35%；老年人约占35%，其中男性为55%.以样本估计总体，视频率为概率．
①在所有购买该县特产的客户中随机抽取一名客户，求抽取的客户是男性的概率；
②在所有购买该县特产的客户中随机抽取一名客户是男客户，求他是中年人的概率(精确到0.000 1)；
(2)该县经济委员会统计了某6至12月这7个月的月广告投入x(单位：万元)；月销量y(单位：万件)的数据如表所示：
月广告投入x/万元 1 2 3 4 5 6 7
月销量y/万件 28 32 35 45 49 52 60
请根据相关系数r说明相关关系的强弱．(若|r|≥0.75，则认为两个变量有很强的线性相关性，r值精确到0.001)
参考数据：xiyi＝1 354， (yi－)2＝820，≈37.88.
参考公式：相关系数r＝．
优生选做题
4.(17分)(2026·沧州模拟)“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：
(1)依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？
(2)某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束．规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得－10分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲，乙两名选手正确回答每道题的概率分别为3,5，1,2．
(ⅰ)求比赛结束后甲获胜的概率；
(ⅱ)求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率．
附：χ2＝，
P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828课时作业24　两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．(2026·潮州模拟)已知sin α＝－，α是第四象限角，则sin ＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
2．已知θ是第四象限角，且sin (θ＋π)＝，则＝(　　)
A． B．－7
C．－ D．7
3．(2026·商丘模拟)若α∈，2sin 2α＝1－cos 2α，则tan α＝(　　)
A． B．1
C．2 D．4
4．(2026·长治模拟)已知sin θ＝，且θ是第二象限角，则＝(　　)
A． B．－
C． D．－
5．已知cos (α＋β)＝，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
6．(2026·泉州模拟)sin (65°－x)cos (x－20°)＋cos (65°－x)·cos (110°－x)的值为(　　)
A． B．
C． D．
7．(2026·新乡模拟)已知cos ＝，则sin 2α＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
8．(2026·重庆模拟)若cos (α－β)＝，cos 2α＝，并且α，β均为钝角，且α<β，则cos (α＋β)＝(　　)
A．－ B．
C． D．－
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．下列各式的值为1的是(　　)
A．
B．4sin sin
C．sin 72°cos 18°－cos 108°sin 18°
D．2cos222.5°－1
10．(2026·聊城三模)已知sin(α－β)＝－，sin αcos β＝，则(　　)
A．cos αsin β＝－ B．sin (α＋β)＝
C．3tan α＝2tan β D．sin 2αsin 2β＝
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．(2026·茂名一模)已知sin －cos ，则sin α＝________．
12．(2026·芜湖模拟)已知α为第二象限角，且满足，则tan 2α＝________．
四、解答题(共28分)
13．(13分)已知cos (α－β)＝2sin αsin β＋.
(1)求cos (α＋β)；
(2)若β＝，求sin .
14．(15分)(2026·淮安模拟)已知α，β为锐角，且cos (α＋β)＝，tan β＝.
(1)求cos 2β的值；
(2)求sin α的值．
优生选做题
15．(5分)(2026·保定模拟)若tan ＝－2，则＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
16.(5分)已知，则＝________.课时作业58　随机抽样、统计图表
(分值：73分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．下列抽取样本的方式是简单随机抽样的是(　　)
A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本
B．盒子里共有80个零件，从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验
C．从100部手机中一次性抽取5部进行质量检验
D．某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛
2．(2026·大同模拟)某校高三年级有1 200名学生，其中男生有660人，现按男女生人数比例采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则男生应抽取的人数是(　　)
A．22　　　B．18　　　C．16　　　D．14
3．某校有700名高一学生，400名高二学生，400名高三学生，高一数学兴趣小组欲采用按比例分配的分层抽样的方法在全校抽取15名学生进行某项调查，则下列说法正确的是(　　)
A．高一学生被抽到的概率最大
B．高三学生被抽到的概率最大
C．高三学生被抽到的概率最小
D．每位学生被抽到的概率相等
4．总体由编号为01，02，…，20的20个个体组成．用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为(　　)
7816 6572 0802 6314 0219 4308 9714 0198
3208 9216 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A．08 B．14 C．16 D．19
5．某小区对小区内的2 000名居民进行走访调查，各年龄段男、女居民人数如下表．已知在小区的居民中随机抽取1人，抽到20岁～50岁女居民的概率是0.19.现用分层随机抽样的方法在全小区抽取200名居民，则应在50岁以上的居民中抽取的女居民人数为(　　)
1岁～20岁 20岁～50岁 50岁以上
女居民 370 X Y
男居民 380 370 250
A.75 B．50 C．25 D．20
6．(2026·萍乡一模)某中学有初中生600名，高中生200名，为保障学生的身心健康，学校举办了“校园安全知识”竞赛．现按比例分配的分层随机抽样的方法，分别抽取初中生m名，高中生n名，经统计：m＋n名学生的平均成绩为74分，其中m名初中生的平均成绩为72分，n名高中生的平均成绩为x分，则x＝(　　)
A．74 B．76 C．78 D．80
7．(2026·阜阳模拟)某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为(单位：cm)A：x<155，B：155≤x<160，C：160≤x<165，D：165≤x<170，E：x≥170，利用所得数据绘制如下统计图表：
根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是(　　)
A．身高在155≤x<160区间的男生比女生多3人
B．B组中男生和女生占比相同
C．超过一半的男生身高在165 cm以上
D．女生身高在E组的有2人
8．(2026·长沙模拟)工厂组织全体员工就作业能力进行测试，全体员工得分均在[30，150]内，将其分成[30，50)，[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]共六组，数据绘制成如图所示的频率分布直方图，若该工厂共有200名员工，则估计得分少于70分的人数为(　　)
A．30 B．35 C．40 D．45
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9．某高中学校从有120名学生的“航天”社团中随机抽取30名参加一个交流会，若按社团中高一、高二、高三年级的成员人数比例分层随机抽样，则高一年级抽取10人；若按性别比例分层随机抽样，则男生抽取18人，则下列结论正确的有
(　　)
A．样本量为30
B．120名社团成员中男生有72人
C．高二与高三年级的社团成员共有85人
D．高一年级的社团成员中女生最多有48人
10．(2026·来宾模拟)某城市收集并整理了该市2023年1月份至10月份每月最低气温与最高气温(单位：℃)的数据，绘制了如图所示的折线图．已知该市每月的最低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论正确的是(　　)
A．每月的最低气温与当月的最高气温两变量为正相关
B．10月份的最高气温不低于5月份的最高气温
C．月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月份
D．最低气温低于0 ℃的月份有4个
11．(2026·南充模拟)为了庆祝国庆节我校组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前200名学生分布的扇形图(如图)和前200名中高一学生排名分布的频率条形图(如图)，则下列命题正确的是(　　)
A.成绩前200名的学生中，高一人数比高二人数多30
B．成绩前100名的学生中，高一人数不超过50
C．成绩前50名的学生中，高三人数不超过32
D．成绩第51名到第100名的学生中，高二人数比高一人数多
三、填空题(每小题5分，共15分)
12．2025年9月3日，是中国人民抗日战争暨世界反法西斯胜利80周年纪念日．北京天安门广场举行了盛大的阅兵式．阅兵式结束后，某学校组织学生写阅兵观后感，高一、高二、高三年级分别有1 000人、800人、600人参加，现用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取容量为120人的样本，则从高二年级抽取的人数为________．
13．某校高中部高一、高二、高三人数之比为5∶4∶3，其中女生有600人，现准备从该校所有高中学生中抽取容量为120的样本．若根据年级采用按比例分配的分层随机抽样，抽取的高三学生为n个人；若根据性别采用按比例分配的分层随机抽样，抽取的女生为m个人，且m－n＝10，则该校高中部学生人数为________．
14．从某网络平台推荐的影视作品中抽取200部，统计其评分数据，将所得200个评分数据分为6组：[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90)，[90，95]，并整理得到如下的频率分布直方图：
则评分在区间[80，90)内的影视作品数量是________部．课时作业35　数列的概念
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．已知数列，…，则是这个数列的第(　　)项．
A．10 B．11
C．12 D．13
2．(2026·景德镇模拟)若数列{an}的前4项依次为20，11，2，－7，则数列{an}的一个通项公式为(　　)
A．an＝(－1)n+1·2n B．an＝－9n＋29
C．an＝9n＋11 D．an＝9n－18
3．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则数列{an}为(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝kn2＋2n，a2＝5，则k的值为(　　)
A．2 B．－2
C．1 D．－1
5．(2026·无锡模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n，则120是这个数列的第(　　)项．
A．9 B．10
C．11 D．12
6．(2026·绵阳模拟)已知数列{an}满足a1＝，则a2 025＝(　　)
A． B．－2
C．－ D．3
7．已知数列{}是单调递减数列，则实数λ的取值范围为(　　)
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
8．已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n－16，则数列{an}的最小项是第(　　)项．
A．5 B．6
C．7 D．8
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．(2026·绵阳模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝前n项和为Sn，则(　　)
A．a6＝17 B．a4>a5
C．S5＝42 D．S6>S5
10．(2026·苏州模拟)已知数列{an}的通项公式an＝，前n项和为Sn，则(　　)
A．an的最大值为6
B．an＋1－an的最大值为11
C．数列{an}单调递减
D．数列{Sn}的最小项是S7
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．(2026·宁德模拟)已知数列{an}满足a1＋3a2＋…＋3n-1an＝n·3n+1(n∈N*)，设数列{an}的通项公式为an，则an＝________．
12．(2026·南京模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则an＝________．
四、解答题(共28分)
13．(13分)设数列{an}的前n项和Sn＝.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{nan}的最小项．
14．(15分)已知数列{an}的通项公式为an＝.
(1)请问是不是这个数列的项？如果是，为第几项；如果不是，请说明理由；
(2)判断数列{an}的增减性并证明．
优生选做题
15．(5分)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋2，设bn＝(n－λ)log2(an＋2)，λ∈R，若数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围是(　　)
A．(－∞，3) B．(4，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，4)
16．(5分)(2026·锦州模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝3，Sn＋1＝2Sn＋n，则an＝________．课时作业65　离散型随机变量及其分布列、数字特征
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．已知随机变量X服从0－1分布，且P(X＝1)＝2P(X＝0)－1，则P(X＝0)＝(　　)
A． B．
C． D．
2．若随机变量ξ的分布如下表：
ξ －2 －1 1 2 3
P 0.2 0.1 2m 0.25 m
则P(|ξ|<2)的值为(　　)
A．0.3 B．0.4
C．0.55 D．0.85
3．已知随机变量X的取值为0，1，2，若P(X＝0)＝1,5，E(X)＝1，则标准差为(　　)
A． B．
C． D．
4．已知随机变量X的分布列如下：
X －2 0 1 2
P m n
若E(X)＝0，则D(3X＋1)＝(　　)
A． B．7
C．21 D．22
5．已知随机变量X的分布列如下表所示
X －1 0 1
P m n
若P(X≤0)＝，且2X＋Y＝1，则D(Y)＝(　　)
A.　　　B． C．　　D．
6．(2026·邯郸模拟)一袋子里有大小形状完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，现从袋子里这6个球中随机摸球，每次摸一球，不放回，摸到红球就结束摸球，X表示摸球次数，则X的数学期望E(X)＝(　　)
A.　　　B． C．　　　D．
7．已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2.若0A.E(ξ1)B.E(ξ1)D(ξ2)
C.E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)D.E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)
8．已知随机变量X有三个不同的取值，分别是0，1，x，其中x∈(0，1)，又P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，随机变量X的方差的最小值为(　　)
A. B．
C. D．
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．已知随机变量X的分布列为
X 1 2 4 5
P 0.2 0.35 m 0.3
下列结论正确的是(　　)
A．m＝0.15 B．E(X)＝2.5
C．E(2X)＝6 D．D(X)＝2
10．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝a,k＋1(k＝1，2，5)，a∈R，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是(　　)
A．P(0C．D(X)＝2 D．D(3X＋1)＝7
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3)，则E(aX＋4)＝________．
12．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上得2分，反面向上得－1分．若连续抛掷2次，记所得总分为随机变量X，则E(X)＝________．
四、解答题(共28分)
13．(13分)(2026·深圳模拟)“读万卷书，行万里路”，小茗同学利用假期时间从所居住的A城市到B，C两个城市旅行，行程为：先从A城市到B城市，再从B城市到C城市，最后从C城市返回A城市．在每两个城市之间都只能选择高铁、飞机、大巴三种交通工具中的一种．为了体验沿途的不同风光，她决定不连续两次乘坐同一种交通工具．已知在每次乘坐高铁后，下一次乘坐飞机的概率为1,3；在每次乘坐飞机后，下一次乘坐高铁的概率为1,4；在每次乘坐大巴后，下一次乘坐飞机的概率为3,5．
(1)若小茗乘坐飞机从A城市到B城市，求她从C城市返回A城市乘坐高铁的概率；
(2)在小茗乘坐高铁从A城市到B城市的前提下，求她此次旅行乘坐高铁的次数ξ的分布列和数学期望．
14．(15分)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列．
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？请说明理由．
　　优生选做题
15．(5分)(2026·郑州模拟)已知随机变量X，Y均服从两点分布，且P(X＝1)＝，P(Y＝1)＝，若P(XY＝0)＝，则P(Y＝1|X＝0)＝(　　)
A．　　B． C．　　　D．
16．(5分)有3个分别标有数字1，2，3的小球，从中有放回地随机取4次，每次取1个球．记X为这3个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)＝________．课时作业21　利用导数研究函数的零点
(分值：60分)
1．(13分)已知函数f(x)＝＋a(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)判断f(x)的零点个数，并说明理由．
2．(15分)(2026·烟台一模)已知函数f(x)＝x(x＋c)2在x＝1处有极大值．
(1)求实数c的值；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋a有三个不同的零点，求实数a的取值范围．
3．(15分)已知函数f(x)＝.
(1)求函数y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)设g(x)＝f(x)－kx(k∈R)，求函数g(x)在区间上的零点个数．
优生选做题
4.(17分)已知函数f(x)＝x＋a sin x－x cos x.
(1)当a＝1时，求f(x)在点(π，f(π))处的切线方程；
(2)若f(x)在区间上有零点，求实数a的取值范围．课时作业61　计数原理
(分值：83分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．用1，2，3，4，5，6可以组成N个无重复数字的六位奇数，则N＝(　　)
A．360 B．400
C．420 D．450
2．从A，B，C，D，E这5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案有(　　)种．
A．24 B．48
C．72 D．120
3．(2026·长治模拟)游戏《黑神话：悟空》在山西的取景地共27处，包括长治市的崇庆寺、观音堂，大同市的云冈石窟等，具体分布如下：
城市 大同 朔州 忻州 晋中 长治 晋城 临汾 运城
取景地个数 6 2 6 2 2 3 2 4
某游客计划从中选5处景点游玩，其中长治、晋城各选一处，大同选两处，且云冈石窟必选，共有(　　)种不同的选法．
A．26 B．450
C．480 D．1 440
4．某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2026年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有(　　)种．
A．18 B．24
C．27 D．64
5．某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为(　　)
A．24 B．48
C．144 D．240
6．(2026·南京模拟)书架上有6本不同的书，再往书架放另外3本不同的书，要求不改变原来书架上6本书的左右顺序，则不同的放法有(　　)
A．504种 B．84种
C．1 008种 D．168种
7．(2026·东莞模拟)将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有(　　)
A．12种 B．18种
C．36种 D．54种
8．一支军事特别任务部队由18名士兵组成，当中共有6名女士兵，其余的是男士兵．若从该部队中随机选出8名士兵，则选出不多于4名女士兵的种数是(　　)
A．1 386 B．8 811
C．34 947 D．42 372
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9．盒子内有20个大小相同的球，其中有15个蓝球，5个红球，现从中取出3个球，则(　　)
A．取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有
B．取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种
C．取出的3个球中至少有2个蓝球的取法有种
D．取出的3个球中至少有1个红球的取法有种
10．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，则下列说法正确的是(　　)
A．从中任选1幅画布置房间，有14种不同的选法
B．从这些国画、油画、水彩画中各选1幅画布置房间，有70种不同的选法
C．从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法
D．从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有12种不同的挂法
11．(2026·邢台模拟)由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则所有组成的五位数中(　　)
A．奇数有60个
B．能被5整除的有24个
C．1在万位而2不在个位的有18个
D．比12 345大的有108个
三、填空题(每小题5分，共15分)
12．(2026·江西多校联考)从4个红球、3个黄球中一次性摸取3个球，则摸到的球中至少有2个黄球的方法数为________．(用数字作答)
13．某电视台有6个不同的节目准备当天播出，每半天播出3个节目，其中某电视剧和某专题报道必须在上午播出，则不同播出方案的种数为________．(用数字作答)
14．(2026·镇江模拟)某数学兴趣小组的6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学必须彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有________种(用数字作答)．
优生选做题
15．(5分)如图所示，六个不同的自然数排成三角形，且每一行中最小的数均大于下一行中最小的数，则这样的排列共有(　　)
A．36种 B．240种
C．120种 D．60种
16．(5分)(2026·西安模拟)现有五种不同的颜料可用，从这五种染料中选取染料给四棱锥P-ABCD的五个顶点染色，要求同一条棱上的两个顶点不同色，问满足条件的染色方案有________种．课时作业64　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．甲、乙两人独立破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，则恰有一人成功破译的概率为(　　)
A． B． C． D．
2．已知事件A与事件B相互独立，且P(A)＝，P(B)＝，则P＝(　　)
A． B． C． D．
3．已知A，B是一个随机试验中的两个随机事件，若P(A)＝P(B)＝，P(AB)＝，则(　　)
A．A与B相互独立且P(A＋B)＝
B．A与B不相互独立且P(A＋B)＝
C．A与B相互独立且P(A＋B)＝
D．A与B不相互独立且P(A＋B)＝
4．(2026·南充模拟)同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则P(B|A)＝(　　)
A． B． C． D．
5．某校积极开展社团活动，学期结束时，社团老师对参加社团的同学进行选择性考核．某社团有小明、小刚等5位同学参加，现选3位同学参加考核，则在小明被选中的条件下，小刚被选中的概率为(　　)
A． B． C． D．
6．(2026·西安模拟)小张一家打算去西安市或汉中市旅游，去西安市与汉中市的概率分别为0.7，0.3，在西安市去游乐园的概率为0.6，在汉中市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为(　　)
A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.54
7．某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为.则智能客服的回答被采纳的概率为(　　)
A. B． C． D．
8．设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，甲、乙两人首次投篮的可能性相同，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为(　　)
A． B． C． D．
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．如图，一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}．A表示事件“数字为质数”，B表示事件“数字为偶数”，C表示事件“数字大于4”，D表示事件“数字为8”，则(　　)
A．A与B相互独立 B．B与C相互独立
C．A与C相互独立 D．B与D相互独立
10．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为5∶6∶9，现任取一个零件，记事件Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，事件B＝“零件为次品”，则(　　)
A．P(A1)＝0.25 B．P(B|A2)＝
C．P(B)＝0.048 D．P(A1|B)＝
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．“青年大学习”是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答．某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为，且两题是否答对互不影响．则小华恰好答对一个问题的概率为________．
12．班主任安排班干部在暑假给教室的绿植浇一次水，若不浇水，绿植枯萎的概率为0.7；若浇水，绿植枯萎的概率为0.15，而班干部浇水的概率为0.9，则开学返校时绿植枯萎的概率为________．
四、解答题(共28分)
13．(13分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
(1)求甲在两轮活动中，至少猜对一个成语的概率；
(2)求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率．
14．(15分)甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球．
(1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；
(2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱中随机抽出1个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率．
优生选做题
15．(5分)某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题(不放回)作答．若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，则丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
16.(5分)(2026·秦皇岛模拟)甲、乙、丙3名学生各自回答同一个问题，回答正确与否互不影响．已知：①甲回答正确的概率为；②3名学生至少有1人回答正确的概率为；③乙回答正确且丙回答错误的概率为.则甲、乙、丙均回答正确的概率为________．课时作业50　直线与圆、圆与圆的位置关系
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．已知直线l：x＋2y＋5＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝a2＋6，则直线l与圆C的位置关系是(　　)
A．相离 B．相切
C．相交 D．与a的取值有关
2．圆C1：x2＋y2－2x－4y＋4＝0与圆C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝9的位置关系为(　　)
A．内切 B．相交
C．外切 D．外离
3．由点P(1，1)向圆C：(x－3)2＋(y＋5)2＝4引切线，则切线长为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．2
4．已知圆C1：(x＋1)2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－2)2＝4，则(　　)
A．C1与C2相交，相交弦所在直线的方程为x＋2y－2＝0
B．C1与C2相交，相交弦所在直线的方程为x＋2y＝0
C．C1与C2外切，内公切线所在直线的方程为x＋2y－2＝0
D．C1与C2外切，内公切线所在直线的方程为x＋2y＝0
5．(2026·驻马店模拟)若直线l：ax－by－4＝0与圆O：x2＋y2＝4相离，则点P(a，b)(　　)
A．在圆O外
B．在圆O内
C．在圆O上
D．与圆O的位置关系不确定
6．(2026·抚州模拟)已知直线l：mx＋y－m＋1＝0与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，则当|AB|取最小值时，m＝(　　)
A．1 B．－1
C．－ D．2
7．(2026·合肥模拟)已知实数x，y满足(x－2)2＋y2＝4，则3x－4y的取值范围为(　　)
A．[－4，16] B．[－8，12]
C．[－10，10] D．[－16，4]
8．(2026·九江模拟)过点P(3，2)作圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝3的两条切线，切点分别为A和B，则切点弦AB所在直线的方程为(　　)
A．2x＋y－6＝0 B．x＋2y－7＝0
C．x－y＋1＝0 D．3x＋y－9＝0
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．(2026·深圳模拟)已知直线l：3x＋y－6＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5相交于A，B两点，则(　　)
A．l是圆C的一条对称轴
B．圆C的半径为
C．圆心C到l的距离为
D．△ABC的面积为
10．(2026·长沙模拟)已知a>0，圆O：x2＋y2＝a2，直线l1：x＋ay＋2＝0，l2：2ax＋y＋1＝0，则(　　)
A．l1与l2不可能垂直
B．若a＝1，则l1与圆O相切
C．若a＝，则l2与圆O相交
D．若圆O与圆(x－2a)2＋y2＝4无交点，则a>2
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．已知直线x＝－1与圆(x－2)2＋(y－1)2＝a＋5有唯一交点，则a＝________．
12．(2026·荆州模拟)已知直线l：y＝x＋a与圆C：x2＋(y－1)2＝4交于A，B两点，写出满足“∠ACB＝120°”的a的一个值：________．
四、解答题(共28分)
13．(13分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点M(4，－1)，且与圆D：x2＋y2－x－6y＋a＝0相切于点N(1，2)．
(1)求圆C的方程；
(2)过点A(5，1)作圆C的切线，求切线l的方程．
14．(15分)已知圆C的圆心在第一象限，与x轴相切，与y轴交于A，B两点，且∠ACB＝120°，|OC|＝，点P(0，－2)在斜率为k的直线l上．
(1)若直线l与圆C交于M，N两点，且|MN|＝，求直线l的方程；
(2)若存在圆心在直线l上，半径为1的圆D与圆C外切，求k的取值范围．
优生选做题
15．(5分)若两条直线l1：y＝3x＋a，l2：y＝3x＋b与圆x2＋y2＝5的四个交点能构成长方形，其中较长边长度为4，则|a－b|＝(　　)
A．2 B．2
C．或2 D．2或4
16.(5分)(2026·抚州模拟)若对于圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上任意的点A，直线l：4x＋3y＋8＝0上总存在不同两点M，N，使得∠MAN≥90°，则|MN|的最小值为________．课时作业14　函数与方程
(分值：83分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．已知函数y＝f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表：
x 1 2 3 4 5 6
y 122.5 21.4 －7.4 4.5 －53.1 －125.5
则函数f(x)在区间[1，6]上的零点(　　)
A.只有2个 B．至多3个
C.只有3个 D．至少3个
2．函数f(x)＝4x－log3(－x)的零点个数是(　　)
A.3 B．2
C.1 D．0
3．函数f(x)＝－log2x－的零点所在区间为(　　)
A.(1，2) B．(2，3)
C.(3，4) D．(4，5)
4．已知函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(0，1)内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过3次二分法后确定的零点所在区间为(　　)
A.(，) B．(，)
C.(，) D．(，)
5．函数y＝x＋－3的一个零点在(0，1)内，另一个零点在(　　)内．
A.(4，5) B．(3，4)
C.(2，3) D．(1，2)
6．(2026·沈阳模拟)已知函数f(x)＝－ln x，，，g(x)＝f(x)－m，g(x)的零点有两个，则m的取值范围是(　　)
A.(1，＋∞) B．(0，1]
C.(0，1) D．[0，1)
7．函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(2，4)上存在零点，则实数m的取值范围是(　　)
A.(－∞，－18) B．(5，＋∞)
C.(5，18) D．(－18，－5)
8．已知方程2x＋x＝0的实根为a，log2x＝2－x的实根为b，log1,2x＝x的实根为c，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.b>c>a B．c>b>a
C.a>b>c D．b>a>c
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9．已知函数f(x)＝ln x－2x＋x2，下列区间中存在函数f(x)零点的是(　　)
A.(1，2) B．(2，3)
C.(3，4) D．(4，5)
10．已知函数f(x)＝x2－2|x|(xA.－1 B．1
C.2 D．3
11．已知函数f(x)＝，若存在x1A. B．3
C. D．
三、填空题(每小题5分，共15分)
12．已知函数f(x)＝，则函数f(x)的零点为________．
13．(2026·盐城模拟)函数f(x)＝ln (2x)－,的零点在区间(k，k＋1)内，则正整数k＝________．
14．(2026·廊坊模拟)已知函数f(x)＝，若函数y＝f(x)－k恰有三个不同的零点，则实数k的取值范围是________．
优生选做题
15．(5分)(2026·中山模拟)函数f(x)＝，则函数y＝f(f(x))的零点个数为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
16.(5分)已知函数f(x)＝x2，g(x)＝f(x)－a，其中a∈R.
(1)若函数g(x)无零点，则a的一个取值为________；
(2)若函数g(x)有4个零点xi(i＝1，2，3，4)，则x1＋x2＋x3＋x4＝________．课时作业41　直线、平面平行的判定与性质
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．(2026·衡水模拟)已知直线a，b，平面α，且b α，则“a∥b”是“a∥α”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．设α，β为两个不同的平面，则下列条件不能推出α∥β的是(　　)
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有一个三角形的三条边均与β平行
C．α，β垂直于同一条直线
D．α，β平行于同一个平面
3．(2026·眉山模拟)已知两条直线a，b，若a∥平面α，b∥a，则b与平面α的位置关系是(　　)
A．b 平面α
B．b⊥平面α或b 平面α
C．b∥平面α
D．b∥平面α或b 平面α
4．已知a，b，c是三条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，直线l∥α，则(　　)
A．a∥c，b∥c a∥b
B．a∥β，b∥β a∥b
C．a∥c，c∥α a∥α
D．a∥l a∥α
5．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面(非平面ABB1A1)与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是(　　)
A．异面 B．平行
C．相交 D．以上均有可能
6．如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，M，N分别是A′D′，D′C′的中点，则直线AM与平面BND的位置关系是(　　)
A．垂直 B．平行
C．相交但不垂直 D．无法确定
7．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F，H，K分别为AC1，CB1，A1B，B1C1的中点，G为△ABC的重心．在下列平面中，恰有2条三棱柱的棱与其平行的是(　　)
A．平面EFB1 B．平面EFH
C．平面EFK D．平面EFG
8．(2026·杭州模拟)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P，Q分别为棱AA1，C1D1上的动点(可与端点重合)，若PQ∥平面AB1C，则线段PQ的长度为(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．已知直线l，m，平面α，β，则下列说法错误的是(　　)
A．m∥l，l∥α，则m∥α
B．l∥β，m∥β，l α，m α，则α∥β
C．l∥m，l α，m β，则α∥β
D．l∥β，m∥β，l α，m α，l∩m＝M，则α∥β
10． (2026·内江模拟)如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，O是AC的中点，M是线段PB上的点，OM∥平面PDA，则下列说法正确的是(　　)
A．PM∶PB＝1∶2 B．OM∥平面PCD
C．OM∥平面PBA D．OM∥平面PAC
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过直线AC1的平面交直线BB1于点E，交直线DD1于点F，则四边形AEC1F的形状为________．
12．已知α∥β，P是α，β外一点，过点P的两条直线PA，PB分别交α于点A，B，交β于点C，D，且PA＝6，AC＝9，AB＝8，则CD的长为________．
四、解答题(共28分)
13． (13分)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O是△ABC的重心，M，E，F分别是线段SC，SD，BC上一点，且SM＝2MC，SE＝2ED，OF∥AB.
(1)证明：MF与OE共面；
(2)证明：CE∥平面SAF.
14． (15分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱AB，BB1，A1B1的中点．
(1)证明：C1G∥平面CEF.
(2)在棱AA1上是否存在点H，使得平面C1GH∥平面CEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
优生选做题
15． (5分)(2026·张家口模拟)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝6，AA1＝3，点P，Q分别为BC，C1D1的中点，点M为长方形ADD1A1内一动点(含边界)，若直线QM∥平面APC1，则点M的轨迹长度为(　　)
A． B．2
C．2 D．3
16． (5分)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过点B的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为________．
课时作业41　直线、平面平行的判定与性质
1．解析：由b α，a∥b，可得a∥α或a α，所以“a∥b”不是“a∥α”的充分条件，由b α，a∥α，可得a∥b或a与b是异面直线，所以“a∥b”不是“a∥α”的必要条件，所以“a∥b”是“a∥α”的既不充分也不必要条件．故选D.
答案：D
2．解析：若α内有无数条平行直线与β平行，则α，β可能平行或相交，故A符合题意；若α内有一个△ABC的三条边均与β平行，AB∥β，BC∥β，AC∥β，又AB∩BC＝B，AB，BC α，由面面平行的判断定理可得α∥β，故B不符合题意；若α，β垂直于同一条直线，由线面垂直的性质可得α∥β，故C不符合题意；若α，β平行于同一个平面，由面面平行的性质可得α∥β，故D不符合题意．故选A.
答案：A
3．解析：如图所示，
因为a∥平面α，所以存在直线c 平面α，使得a∥c，因为b∥a，所以b∥c或b与c重合，此时b 平面α或b 平面α，当b 平面α时，因为c 平面α且b∥c，所以b∥平面α.综上，b∥平面α或b 平面α.故选D.
答案：D
4．解析：a，b，c是三条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，直线l∥α，对于A，a∥c，b∥c a∥b，由平行公理得A正确；对于B，a∥β，b∥β a与b相交、平行或异面，故B错误；对于C，a∥c，c∥α a∥α或a α，故C错误；对于D，a∥l a∥α或a α，故D错误．故选A.
答案：A
5．解析：在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1B1C1∥平面ABC，而平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，平面A1B1ED∩平面A1B1C1＝A1B1，则DE∥A1B1，在平行四边形ABB1A1中，AB∥A1B1，所以DE∥AB.故选B.
答案：B
6．解析：连接AC交BD于点E，
连接MN，EN，A′C′，而M，N分别是A′D′，D′C′的中点，所以MN∥A′C′∥AC，即MN∥AE，且2MN＝A′C′＝AC＝2AE，即MN＝AE，则AENM为平行四边形，故AM∥EN，由AM 平面BND，EN 平面BND，则AM∥平面BND.故选B.
答案：B
7．解析：如图①，平面EFB1即平面A1CB1，只有1条棱AB与其平行，故A错误；如图②，对于平面EFH，有6条棱与其平行，它们分别为AB，BC，CA，A1B1，B1C1，C1A1，故B错误；
如图③，对于平面EFK，有5条棱与其平行，它们分别为AB，A1B1，AA1，BB1，CC1，故C错误；如图④，平面EFG可由平面EFK绕直线EF旋转得到，有2条棱AB，A1B1与其平行，其余各棱均与其相交，故D正确．故选D.
答案：D
8．解析：如图在ABCD-A1B1C1D1中，
A1C1∥AC，又AC 平面AB1C，A1C1 平面AB1C，所以A1C1∥平面AB1C，因为点P，Q分别为棱AA1，C1D1上的动点(可与端点重合)，PQ∥平面AB1C，所以PQ即为A1C1，因此|PQ|＝.故选B.
答案：B
9．解析：对于A，m可能在α内，也可能与α平行，故A错误；对于B，α与β也可能相交，故B错误；对于C，α与β也可能相交，故C错误；对于D，依据面面平行的判定定理可知α∥β，故D正确．故选ABC.
答案：ABC
10．解析：对于A，∵OM∥平面PDA，平面PDA∩平面PBD＝PD，OM 平面PBD，∴OM∥PD，∵四边形ABCD为矩形，O为AC的中点，∴O为BD的中点，∴M为PB的中点，即PM∶PB＝1∶2，A正确；对于B，∵OM 平面PCD，PD 平面PCD，OM∥PD，∴OM∥平面PCD，B正确；对于C，假设OM∥平面PBA，∵OM∥PD，则PD∥平面PBA或PD 平面PBA，∵P∈平面PBA，D 平面PBA，∴PD 平面PBA且PD与平面PBA不平行，故假设错误，即OM不平行于平面PBA，C错误；对于D，∵O是AC的中点，AC 平面PAC，则点O∈平面PAC，故OM∥平面PAC不成立，故D错误．故选AB.
答案：AB
11．解析：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
平面ABB1A1∥平面CDD1C1，平面AEC1F∩平面ABB1A1＝AE，平面AEC1F∩平面CDD1C1＝C1F，则AE∥C1F，同理，由平面ADD1A1∥平面CBB1C1可得AF∥C1E，所以四边形AEC1F为平行四边形．
答案：平行四边形
12．解析：由已知α∥β，α∩平面PAB＝AB，β∩平面PAB＝CD，所以AB∥CD，当平面α，β在点P同侧时，由PA可知△PAB∽△PCD，且PA＝6，PC＝PA＋AC＝15，AB＝8，则，即CD＝20；当平面α，β在点P异侧时，
如图所示，可知△PAB∽△PCD，且PA＝6，PC＝AC－PA＝3，AB＝8，则，即CD＝4.综上所述，CD＝20或CD＝4.
答案：20或4
13．证明：(1)在四棱锥S-ABCD中，由四边形ABCD是平行四边形，得AB∥CD，而OF∥AB，则OF∥CD，
由M，E分别是线段SC，SD上一点，且SM＝2MC，SE＝2ED，得＝2，
因此ME∥CD∥OF，即ME，OF共面，所以MF与OE共面．
(2)连接CO并延长交AB于点H，由O是△ABC的重心，且OF∥AB，得＝2，
即CF＝AD，在SA上取点N，使得SN＝2NA，连接EN，FN，
由＝2，得NE∥AD，且，又AD∥FC，
因此NE∥FC，且NE＝AD＝CF，四边形CENF是平行四边形，
则CE∥FN，而FN 平面SAF，CE 平面SAF，
所以CE∥平面SAF.
14．解析：(1)证明：如图所示，连接EG，因为E，G分别是棱AB，A1B1的中点，所以EG∥BB1，EG＝BB1，
由长方体的性质，可知BB1∥CC1，BB1＝CC1，则EG∥CC1且EG＝CC1，
所以四边形CEGC1是平行四边形，所以CE∥C1G，
又因为CE 平面CEF，且C1G 平面CEF，所以C1G∥平面CEF.
(2)取棱AA1的中点H，连接GH，C1H，平面C1GH∥平面CEF，此时.
理由如下：
连接AB1，因为E，F分别为棱AB，BB1的中点，所以EF∥AB1，
因为G，H分别为棱A1B1，A1A的中点，所以GH∥AB1，所以GH∥EF，
因为EF 平面CEF且GH 平面CEF，所以GH∥平面CEF，
由(1)可知C1G∥平面CEF，且C1G 平面C1GH，GH 平面C1GH，C1G∩GH＝G，所以平面C1GH∥平面CEF，
故在棱AA1上存在点H，使得平面C1GH∥平面CEF，此时.
15．解析：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
取A1D1，B1C1的中点G，H，连接AG，GH，BH，由点P为BC的中点，得C1H∥BP，C1H＝BP，则四边形BPC1H是平行四边形，所以BH∥C1P，又GH∥A1B1∥AB，GH＝A1B1＝AB，则四边形ABHG是平行四边形，所以AG∥BH∥C1P，取GD1的中点E，在AD上取点F，使得AF＝GE，连接EF，QE，QF，而AF∥GE，则四边形AGEF为平行四边形，EF∥AG，而AG 平面APC1，EF 平面APC1，所以EF∥平面APC1，由Q为C1D1的中点，E为GD1的中点，得QE∥C1G，而C1G 平面APC1，QE 平面APC1，则QE∥平面APC1，又EF∩QE＝E，EF，QE 平面QEF，因此平面QEF∥平面APC1，又由直线QM∥平面APC1，点M∈平面ADD1A1，则点M在平面QEF与平面ADD1A1的交线EF上，从而点M的轨迹就是线段EF，而EF＝AG＝，所以点M的轨迹长度为.故选D.
答案：D
16．解析：取C1D1，B1C1的中点分别为P，Q，
易知MN∥B1D1∥PQ，MN 平面BDPQ，PQ 平面BDPQ，所以MN∥平面BDPQ，因为AD∥NP，AD＝NP，所以四边形ANPD为平行四边形，所以AN∥PD，AN 平面BDPQ，PD 平面BDPQ，所以AN∥平面BDPQ，又因为MN∩AN＝N，MN，AN 平面AMN，所以平面AMN∥平面BDPQ，所以平面α截该正方体所得截面的面积为四边形PQBD的面积，PQ∥B1D1∥BD，所以四边形PQBD为梯形，PQ＝，PD＝ ，所以梯形的高为 ，所以梯形PQBD的面积为.所以平面α截该正方体所得截面的面积为.
答案：课时作业4　基本不等式
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．(2026·顺义模拟)下列命题为真命题的是(　　)
A． a>0，a＋>2 B． a>0，a＋<2
C． a>0，a＋>2 D． a>0，a＋<2
2．已知x，y>0，且2x＋y＝4，则xy的最大值为(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
3．已知x>0，则＋x的最小值是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
4．(2026·岳阳模拟)已知函数f(x)＝3－x－，则当x<0时，f(x)有(　　)
A．最大值3＋2 B．最小值3＋2
C．最大值3－2 D．最小值3－2
5．(2026·上饶模拟)已知x>0，y>0，x＋2y＝1，则的最小值为(　　)
A．3＋2 B．12
C．8＋4 D．6
6．(2026·揭阳模拟)“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌．经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v(单位：分米/秒)时的跳跃高度H(单位：米)近似满足v2＝的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为(　　)
A．0.2米 B．0.25米
C．0.45米 D．0.7米
7．(2026·昆明模拟)已知x>0，y>0，且x＋y－xy＋8＝0，则xy的最小值为(　　)
A．4 B．8
C．16 D．32
8．函数f(x)＝(x>1)的最小值为(　　)
A．2 B．3＋2
C．2＋2 D．5
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．已知正数a，b，则下列说法正确的是(　　)
A．的最小值为2
B．(a＋b)≥4
C．
D．>
10．(2026·亳州模拟)已知x>0，y>0，且x＋3y＝1，则下列选项正确的是(　　)
A．y的取值范围为
B．xy的最大值为
C．的最小值为16
D．x2＋9y2的最小值为2
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．若函数f(x)＝x＋(x>3)在x＝a处取最小值，则a＝________．
12．(2026·吕梁一模)正数x，y满足x＋y＝xy，则x＋9y的最小值是__________．
四、解答题(共28分)
13．(13分)(2026·河南名校联考)已知正数a，b满足(3a＋b)2－10＝2ab.
(1)求3a＋b的取值范围；
(2)证明：9a2＋b2≥6.
14．(15分)围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需要维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙长30米，旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x m，修建此矩形场地围墙的总费用为y元．
(1)写出y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
优生选做题
15．(5分)已知a>0，b>0，若不等式恒成立，则实数m的最大值为(　　)
A．64　　　B．25　　　C．13　　　D．12
[答题区]
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15
答案
16．(5分)已知x<0，且x－y＝1，则x＋的最大值为________．
课时作业4　基本不等式
1．解析：由a>0，则a＋≥2 ＝2，当且仅当a＝1时等号成立，ABD为假命题，C为真命题．故选C.
答案：C
2．解析：因为x，y>0，所以2x＋y＝4≥2，可得xy≤2，当2x＝y且2x＋y＝4时，即x＝1，y＝2时等号成立，所以xy的最大值为2.故选B.
答案：B
3．解析：因为x>0，则x＋1>1，则－1＝3，等号成立时x＝1.故＋x的最小值是3.故选C.
答案：C
4．解析：由题意当x<0时，f(x)＝3＋≥3＋当且仅当x＝－时等号成立．故选B.
答案：B
5．解析：因为x>0，y>0，x＋2y＝1，所以(x＋2y)＝3＋，当且仅当，即x＝时，等号成立．故选A.
答案：A
6．解析：由v2＝可知v2－Hv4＝4H，故H＝，当且仅当v2＝2时，等号成立．所以该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米．故选B.
答案：B
7．解析：由题意可知xy＝x＋y＋8≥2＋8，当x＝y时等号成立，即xy－2－8≥0，令＝t(t>0)，则t2－2t－8≥0，解得t≥4或t≤－2(舍)．即≥4，xy≥16.当且仅当x＝y＝4时，等号成立．故选C.
答案：C
8．解析：因为x>1，所以x－1>0，所以f(x)＝＋3，当且仅当x－1＝，即x＝＋1时取等号，所以函数f(x)的最小值为3＋2.故选B.
答案：B
9．解析：对于A，≥2，当且仅当＝1时等号成立，而，故“等号”不成立，故A不正确；对于B，(a＋b)＝1＋1＋＝4，当且仅当a＝b时等号成立，故B正确；对于C，当且仅当a＝b时等号成立，故C正确；对于D，，当且仅当a＝b时等号成立，故D不正确．故选BC.
答案：BC
10．解析：对于A，由x＋3y＝1可得x＝1－3y>0，故00，y>0，x＋3y＝1可得x＋3y＝1≥故xy≤，当且仅当x＝3y＝时等号成立，故B正确；对于C，＝(x＋3y)＝10＋≥10＋2 ＝16，当且仅当x＝y＝时等号成立，故C正确；对于D，x2＋9y2＝(x＋3y)2－6xy＝1－6xy≥1－6×，当且仅当x＝3y＝时等号成立，故D错误．故选ABC.
答案：ABC
11．解析：f(x)＝x＋＋3≥2 ＋3＝5，当且仅当x－3＝，即x＝4时取等号，即x＝4时取最小值，故a＝4.
答案：4
12．解析：由正数x，y满足x＋y＝xy，得＝1，则x＋9y＝(x＋9y)＝10＋＝16，当且仅当，即x＝3y＝4取等号，所以x＋9y的最小值是16.
答案：16
13．解析：(1)因为(3a＋b)2－10＝2ab＝·2＝，
所以(3a＋b)2≤12 0<3a＋b≤2，当且仅当3a＝b＝时，等号成立．
又(3a＋b)2＝2ab＋10>10，所以3a＋b>，
故3a＋b的取值范围为.
(2)证明：(3a＋b)2＝10＋2ab≥2＝12ab ab≤1，
当且仅当3a＝b＝时，等号成立．
又(3a＋b)2－10＝2ab 9a2＋b2＝10－4ab，
而10－4ab≥10－4＝6，
所以9a2＋b2≥6.
14．解析：(1)由题意知2∴y＝45x＋180＝＋225x－360(2即y关于x的函数解析式为y＝＋225x－360，定义域为(2，30].
(2)∵＋225x≥2 ＝10 800(当且仅当＝225x，即x＝24时取等号)，
∴y≥10 800－360＝10 440，
∴当x＝24时，总费用最小，最小总费用为10 440元．
15．解析：a>0，b>0，则a＋b>0，不等式 恒成立，即m≤(a＋b)恒成立，(a＋b)＝·(a＋b)＝13＋＝25，当且仅当，即b＝a时等号成立，所以m≤25，即实数m的最大值为25.故选B.
答案：B
16．解析：因为x－y＝1，所以x＝y＋1<0，所以y<－1，所以x＋，令2y＋1＝t<0，则y＝，所以x＋＝－[＋]＋，当且仅当t＝－时等号成立，此时y＝，所以x＋的最大值为.
答案：课时作业57　圆锥曲线中的证明、探究性问题
(分值：60分)
1．(13分)(2026·河南多校联考)在平面直角坐标系Oxy中，抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，其图象上两点A，B满足|FA|＋|FB|＝10，其中点A在第一象限，点B在第四象限，AB不与x轴垂直，且当|FA|＝3时，点B的横坐标为6.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)记点C(6，0)，M(4，y)为AB上一点，求证：AB⊥MC.
2．(15分)已知点A(2，1)关于坐标原点的对称点为B，动点P满足直线PA，PB的斜率之积为－，记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)判断C上是否存在点P，使得△PAB为等腰直角三角形，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
3．(15分)已知双曲线Γ：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点．
(1)求F1，F2的坐标及双曲线Γ的渐近线方程；
(2)是否存在过点F2的直线l与Γ的左、右两支分别交于A，B两点，使得∠F1AB＝∠F1BA.若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
优生选做题
4.(17分)(2026·湖北多校联考)已知椭圆E：＝1(a>b>0)，左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，离心率为，点在椭圆E上．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线l：x＝my＋n与椭圆E交于M，N两点，直线l不过原点、椭圆顶点且不垂直于x轴．
(ⅰ)设直线A2M和A2N的斜率分别为k1，k2，用m，n表示；
(ⅱ)设点M关于原点的对称点为S点，直线A1S与直线A2N交于T点，直线OT与直线l交于Q点，其中O为坐标原点，证明：点Q在一条定直线上．课时作业40　空间点、直线、平面之间的位置关系
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．若直线上有两个点在平面外，则(　　)
A．直线上至少有一个点在平面内
B．直线上有无穷多个点在平面内
C．直线上所有点都在平面外
D．直线上至多有一个点在平面内
2．已知直线a，b，c，d，若a∥b，c∥d，b，c是异面直线，则a与d的位置关系为(　　)
A．相交 B．异面
C．相交或异面 D．不确定
3．若直线l与平面α相交，则下列结论正确的是(　　)
A．平面α内任意直线和直线l异面
B．平面α内存在直线和直线l平行
C．平面α内有且仅有一条直线和直线l相交
D．平面α内有无数条直线都与直线l相交
4．检查一张桌子的4条腿的下端是否在同一平面内，下列做法最科学合理的是(　　)
A．将桌子正放于地面上，趴地上观察桌腿和地面之间是否有缝隙
B．将桌子正放于地面上，取薄纸一张铺在桌面上观察纸张是否平整
C．将桌子倒放于地面上，用双手分别触摸四条腿底部凭手感判断是否水平
D．将桌子倒放于地面上，用细线分别连接两腿对角的下端观察两根细线是否相交
5．已知平面α∩平面β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且B l，又AC∩l＝M，过A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是(　　)
A．直线CM B．直线BM
C．直线AB D．直线BC
6．已知平面外一点P和平面内不共线三点A，B，C，A′，B′，C′分别在PA，PB，PC上，若延长A′B′，B′C′，A′C′与平面分别交于D，E，F三点，则D，E，F三点(　　)
A．成钝角三角形 B．成锐角三角形
C．成直角三角形 D．在一条直线上
7．已知直线m在平面α内，直线n与平面α相交于点A，且点A不在直线m上，则它们的关系表达正确的是(　　)
A．m∈α，A α，m，n共面
B．m α，A∈α，m，n共面
C.m∈α，n∩α＝A，m，n异面
D．m α，n∩α＝A，m，n异面
8．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为B1C1的中点，则异面直线A1B与CE所成角的余弦值为(　　)
A．－ B．－
C． D．
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．下列四个命题中，正确的是(　　)
A．不共面的四点中任意三点不共线
B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面
C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c不一定共面
D．依次首尾相接的四条线段必共面
10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则以下四个结论中，正确的有(　　)
A．直线AM与CC1是相交直线
B．直线BN与MB1是异面直线
C．AM与BN平行
D．直线A1M与BN共面
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．已知∠BAC＝40°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝________．
12．如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．
四、解答题(共28分)
13． (13分)如图，在四面体ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点．
(1)求证：直线EF和AB为异面直线．
(2)求直线EF和AB所成角的大小．
14． (15分)如图，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，且EF与HG相交于点Q.
(1)求异面直线EF与A1B1所成角的大小．
(2)求证：点Q在直线DC上．
优生选做题
15． (5分)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别是线段A1C1，线段BB1的中点，则以下和直线PQ相交的是直线(　　)
A．AD1 B．BD1
C．CD1 D．DD1
16． (5分)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为1，点E为棱B1C1 上任意一点，则直线AA1与直线BE所成角的范围是________．
课时作业40　空间点、直线、平面之间的位置关系
1．解析：∵直线上有两个点在平面外，∴直线与平面相交或直线和平面平行，∴只有D正确．故选D.
答案：D
2．解析：由a∥b，b，c是异面直线，则a，c异面或相交，又c∥d，故a，d异面或相交．故选C.
答案：C
3．解析：因为直线l与平面α相交，所以平面α内的直线与直线l的关系为相交或异面，设直线l与平面α交于点O，对于A，当平面内的直线过交点O时，此时过O点的直线和直线l相交，故A不正确；对于B，若平面α内存在直线和直线l平行，根据线面平行的判定定理得出l∥平面α，与已知矛盾，故B不正确；因为平面内过交点O的直线有无数条，且这些直线都与l相交，故C不正确，D正确．故选D.
答案：D
4．解析：对于A，当地面不平整时，每条桌腿和地面之间都无缝隙，也不能说明4条腿的下端在同一平面内，A不是；对于B，最多能说明桌面是否平整，不能说明4条腿的下端在同一平面内，B不是；对于C，只能检查每条腿的下端是否平整，不能说明4条腿的下端在同一平面内，C不是；对于D，两根细线相交，可得两根细线所在直线确定一个平面，两个细线所在直线上的所有点都在这个平面内，能说明4条腿的下端在同一平面内，D是．故选D.
答案：D
5．解析：已知过A，B，C三点确定的平面为γ，则AC γ.又AC∩l＝M，则M∈γ，又平面α∩平面β＝l，则l α，l β，又因为AC∩l＝M，所以M∈β，因为B∈β，B∈γ，所以β∩γ＝BM.故选B.
答案：B
6．解析：D，E，F为已知平面与平面A′B′C′的公共点，由基本事实知，D，E，F共线．故选D.
答案：D
7．解析：直线m在平面α内，即m α，直线n与平面α相交于点A，即n∩α＝A，则A∈n，A∈α，点A不在直线m上，即A m，根据异面直线判定定理可知直线m，n是异面直线，空间中规定直线和平面都看成点的集合，因此m∈α，A α都是错误的，对于A，m∈α，A α，m，n共面，每一点都是错误的，故A错误；对于B，m，n共面是错误的，故B错误；对于C，m∈α是错误的，故C错误；对于D，m α，n∩α＝A，m，n异面都是正确的，故D正确．故选D.
答案：D
8．解析：连接CD1，D1E，如图所示，
因为ABCD-A1B1C1D1为正方体可得CD1∥BA1，所以∠D1CE(或其补角)是异面直线A1B与CE所成的角，设正方体的棱长为a，CD1＝＝＝＝＝中，cos∠＝，所以异面直线A1B与CE所成角的余弦值是.故选D.
答案：D
9．解析：不共面的四点中，其中任意三点不共线，故A为真命题；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E可能不共面，比如平面ABCE与平面ABCD相交于A，B，C所在直线，而D，E均不在该直线上，故B为假命题；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c可能不共面，比如若a，b相交，且a∥c，b，c不相交，则此时b，c异面，故C为真命题；依次首尾相接的四条线段可能不共面，比如空间四边形，故D为假命题．故选AC.
答案：AC
10．解析：对于A，M，C，C1三点在平面CDD1C1内，M点不在直线CC1上，A点不在平面CDD1C1内，可得直线AM与CC1是异面直线，故A错误；
对于B，B，N，B1三点在平面BCC1B1内，B1不在直线BN上，M点不在平面BCC1B1内，可得直线BN与MB1是异面直线，故B正确；对于C，取DD1的中点E，连接AE，EN，又N为C1C的中点，则有EN∥CD∥AB，AB＝CD＝EN，所以四边形ABNE是平行四边形，所以AE∥BN，AM∩AE＝A，则AM与BN不平行，故C错误；对于D，连接MN，BA1，CD1，因为M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，所以MN∥D1C，由正方体的性质可知BA1∥D1C，所以MN∥A1B，则有A1，B，M，N四点共面，所以直线A1M与BN共面，故D正确．故选BD.
答案：BD
11．解析：若两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，如图所示，
因为∠BAC＝40°，所以∠B′A′C′＝40°或140°.
答案：40°或140°
12．解析：如图，
过点E作圆柱的母线交下底面于点F，连接AF，ED，易知F为的中点，设正方形ABCD的边长为2，则EF＝2，AF＝，所以AE＝，则ED＝AE＝，因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成的角即为∠EAD(或其补角)，在等腰△EAD中，cos ∠EAD＝，所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为.
答案：
13．解析：(1)证明：由E∈BC，BC 平面ABC，故E∈平面ABC，而AB 平面ABC，E AB，
又F∈AD，AD∩平面ABC＝A，故F 平面ABC，故直线EF和AB为异面直线．
(2)取AC的中点G，连接EG，FG，由于E，F分别为BC，AD的中点，
所以EG∥AB，EG＝AB，且FG∥CD，FG＝CD，
故直线EF和AB所成角为∠FEG或其补角，
因为AB⊥CD，故EG⊥FG，因为AB＝CD，故EG＝FG，故∠FEG＝，
所以直线EF和AB所成的角为.
14．解析：(1)根据正方体的性质可知A1B1∥AB，
∴∠FEB是异面直线EF与A1B1所成的角或其补角．
∵E，F分别是AB，BC的中点，△EFB是等腰直角三角形，
∴∠FEB＝45°.
即异面直线EF与A1B1所成角的大小为45°.
(2)证明：∵Q∈EF，EF 平面ABCD，
∴Q∈平面ABCD.
∵Q∈GH，GH 平面CDD1C1，
∴Q∈平面CDD1C1，
∴Q∈平面ABCD∩平面CDD1C1＝DC，
即Q∈CD，
∴点Q在直线DC上．
15．解析：连接B1D1，正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是线段A1C1的中点，所以P是线段B1D1的中点．由PQ∥BD1，PQ 平面ABC1D1，BD1 平面ABC1D1，得PQ∥平面ABC1D1，所以PQ与AD1不相交，故A不正确；
由P，Q分别是线段B1D1，BB1的中点，得PQ∥BD1，故B不正确；
由PQ 平面BDD1B1，D1 PQ，C 平面BDD1B1，得CD1与直线PQ异面，故C不正确；对于D，因为DD1∥BB1，BB1∩PQ＝Q，所以DD1与直线PQ不平行，又DD1，PQ 平面BDD1B1，所以DD1与直线PQ相交，故D正确．故选D.
答案：D
16．解析：由直三棱柱ABC-A1B1C1，所以AA1∥BB1，
所以∠B1BE为直线AA1与直线BE所成的角，
当E与B1重合时，直线AA1与直线BE所成的角为0，
当E与C1重合时，直线AA1与直线BE所成的角为，
所以直线AA1与直线BE所成角的范围是.
答案：课时作业33　平面向量的数量积及其应用
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．(2026·邢台模拟)已知向量a＝(－2，3)，b＝(1，2)，则a·(a＋b)＝(　　)
A．12 B．－14
C．17 D．－16
2．(2026·恩施模拟)已知a＝(1，x)，b＝(2，－1)，且a·b＝1，则x＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
3．(2026·衡水模拟)已知向量m＝(1，2)，n＝(3，1)，则向量m在向量n上的投影向量为(　　)
A． B．
C．(3，1) D．(6，2)
4．(2026·福州模拟)一物体在力F的作用下，由点A(5，0)移动到点B(2，4)．若F＝(－2，3)，则F对该物体所做的功为(　　)
A．－18 B．－2
C．2 D．18
5．(2026·绵阳模拟)已知|a|＝2，|a－b|＝1，a与a－b的夹角为，则a·b＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
6．(2026·荆州模拟)已知单位向量a，b满足|2a－b|＝2，则|a＋2b|＝(　　)
A．2 B．
C． D．2
7．已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　)
A．－6 B．－5
C．5 D．6
8．(2026·荆州模拟)已知正方形ABCD的边长为1，E是CD的中点，则＝(　　)
A． B．－
C． D．－
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．(2026·新乡模拟)已知c，e都是单位向量，若c2－3c·e＋2＝0，a＝c－2e，b＝c－e，则(　　)
A．a∥b B．a＝b
C．a⊥b D．|a－b|＝2
10．在正六边形ABCDEF中，下列说法正确的是(　　)
A．
B．
C．＝2
D．在上的投影向量为
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．(2026·商丘模拟)已知向量a＝(3，4)，c⊥a，且|c|＝1，则向量c的坐标为________．
12．在矩形ABCD中，已知AB＝2，点E为线段AD的中点，且BE⊥AC，则＝________．
四、解答题(共28分)
13．(13分)已知平面向量a＝(－1，2)，b＝(x，－3)，x∈R.
(1)若2a⊥b，求实数x的值；
(2)若两向量的夹角为锐角，求x的取值范围．
14．(15分)(2026·荆州一模)如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，D，E分别是边BC，AC的中点，且AD⊥BE.
(1)求△ABC的面积；
(2)求sin C．
优生选做题
15．(5分)(2026·苏州模拟)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，M为BC的中点，，AM与BN交于点P，则cos ∠MPN＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．－
16.(5分)已知e1，e2均为单位向量，且e1和e2的夹角为120°，若e1＋λe2和e2＋λe1的夹角为60°，则λ＝________．课时作业34　复数
(分值：83分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．以3i－的虚部为实部，以－3＋i的实部为虚部的复数是(　　)
A．3－3i B．3＋i
C．－i D．i
2．(2026·佛山模拟)复数5－6i3的共轭复数是(　　)
A．5－6i B．5＋6i
C．－5＋6i D．－5－6i
3．已知复数z1＝－3－i，在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为A，B，且点A与点B关于虚轴对称，则|z1＋z2|＝(　　)
A．4 B．9
C．2 D．
4．若复数z＝(1＋3a)－(2－a)i(a∈R)的实部、虚部互为相反数，则z的实部是(　　)
A．－ B．－
C． D．
5．(2026·邢台模拟)在复平面内，(2＋2i)(1－2i)对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．(2026·蚌埠模拟)复数(2＋i)2－2的虚部为(　　)
A．3 B．2
C．－3 D．－2
7．(2026·武汉模拟)若复数z满足＝3＋i，则z＝(　　)
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
8．(2026·长沙模拟)设复数z＝1＋i，w＝a＋bi，其中a，b∈R，若zw是虚数，则(　　)
A．a＋b＝0 B．a＋b≠0
C．a－b＝0 D．a－b≠0
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9．(2026·南京模拟)已知复数z，是共轭复数，则下列说法正确的是(　　)
A．若z－＝0，则z为实数
B．若z2－＝0，则z＝
C．z2＝|z|2
D．z·＝|z|2
10．(2026·吕梁模拟)已知复数z1＝2－3i在复平面内的对应点为A，复数z2在复平面内的对应点为B，且＝(3，3)，则(　　)
A．z2＝5
B．z1的共轭复数是－3＋2i
C．5z1－2z2是纯虚数
D．复数z1z2在复平面内的对应点位于第四象限
11．(2026·保定模拟)已知复数z1，z2，z3满足|z1|＝|z2|，则(　　)
A．z1与z2的实部相等
B．＝
C．|z1＋z3|＝|z2＋z3|
D．|z1z3|＝|z2z3|
三、填空题(每小题5分，共15分)
12．(2026·廊坊模拟)若复数z＝i(2＋3i)，则在复平面内，z的对应点的坐标是________．
13．(2026·大同模拟)已知复数z＝，i为虚数单位，则z·＝________．
14．(2026·洛阳模拟)已知z＝，其中a为实数，若z∈R，则a＝________．
优生选做题
15．(5分)(2026·黄冈一模)已知z∈C，且|z－1|＝1，i为虚数单位，则|z－2i|的最大值是(　　)
A．＋1 B．－1
C．2 D．
16．(5分)已知p，q∈R，且－2＋3i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，p＋q＝________．课时作业19　利用导数研究不等式恒(能)成立问题
(分值：60分)
1．(13分)(2026·沧州模拟)已知函数f(x)＝x ln x－ax2.
(1)当a＝时，求函数f(x)的单调区间；
(2)当f(x)<2x恒成立时，求实数a的取值范围．
2．(15分)已知函数f(x)＝ex＋x2，g(x)＝x ln x＋(a＋1)x.
(1)求曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程；
(2)若f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围．
3．(15分)(2026·大连模拟)已知f(x)＝ax2－2ln x，x∈(0，e]，其中e是自然对数的底数．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设a>，g(x)＝－5＋ln .存在x1，x2∈(0，e]，使得|f(x1)－g(x2)|<9成立，试求实数a的取值范围．
优生选做题
4.(17分)(2026·南京模拟)已知函数f(x)＝－(a＋1)ln x＋x2，g(x)＝ex＋(1－a)x－1.
(1)讨论y＝f(x)－ax的单调性；
(2)当g(x)≥ax恒成立，求a的值．课时作业38　数列求和
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1．数列{2n＋2n－1}的前100项和S100＝(　　)
A．2100＋9 998 B．2101＋9 998
C．2100＋10 002 D．2101＋10 002
2．(2026·昆明模拟)若数列{an}满足a1＝1，an＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝3(n∈N*)，则其前2 025项的和为(　　)
A．1 517 B．1 519
C．1 521 D．1 523
3．(2026·深圳模拟)已知数列{an}满足an＝则＝(　　)
A．100 B．101
C．102 D．103
4．已知等差数列{an}中，a3＋a5＝a4＋7，a10＝19，则数列{(－1)nan}的前2 025项和为(　　)
A．1 012 B．1 013
C．2 025 D．－2 025
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5．(2026·内江模拟)记Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2an＋1，则(　　)
A．a1＝－1
B．anC．数列{}为等比数列
D．数列{}的前n项和为Tn，则Tn>－4
6．已知数列{an}的通项公式为an＝则(　　)
A．a6＝－10 B．a7>a6
C．S5＝22 D．S6>S5
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．(2026·绥化模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＋an＝2n，则S11＝________(用数字作答)．
8．(2026·呼和浩特模拟)若1×2＋2×22＋3×23＋…＋99×299＝A×2100＋B，则A＋B＝________．
四、解答题(共43分)
9．(13分)(2026·沧州模拟)记Sn为数列{an}的前n项和，已知Sn－an＝(n－1)(n－6)．
(1)求a1，并求{an}的通项公式；
(2)求{|an|}的前n项和Tn.
10．(15分)(2026·许昌模拟)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝(an＋2)·(an－1)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
11．(15分)(2026·江门模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝log2an，设数列{}的前n项和为Tn，若Tn<，求满足条件的最大整数n.
优生选做题
12.(15分)(链接·2023年新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16.
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：当n>5时，Tn>Sn.课时作业31　平面向量的概念与线性运算
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．(2026·佛山模拟)＝(　　)
A．0 B．
C． D．
2．(2026·皖南八校联考)如图，5×5的方格里，每个方格长度为1，则向量a－b＝(　　)
A．e1＋3e2 B．－e1＋3e2
C．－3e1＋e2 D．3e1＋e2
3．四边形ABCD中，O为任意一点，若＝0，则四边形ABCD一定是(　　)
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．平行四边形
4．(2026·秦皇岛模拟)已知△ABC中，点D，E满足，设＝b，则＝(　　)
A．a－3b B．－a＋3b
C．5a－3b D．－5a＋3b
5．(2026·南阳模拟)P是△ABC所在平面内的一点，满足，则(　　)
A．点P在线段BC上
B．点P在线段BC的延长线上
C．点P在线段AC上
D．点P在线段AC的延长线上
6．(2026·保山模拟)在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上靠近C的三等分点，则(　　)
A．
B．
C．
D．
7．已知向量a，b，且＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
8．(2026·石家庄模拟)已知A，B，D三点共线，且对直线外任意一点C，有 , 则实数λ为(　　)
A． B．
C．－ D．－
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．已知e1，e2是两个不共线的单位向量，则下列各组向量中，一定能推出 a∥b的是(　　)
A．a＝－3e1，b＝2e1
B．a＝e1－e2，b＝－e1
C．a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋
D．a＝2e1＋3e2，b＝4e1＋6e2
10．(2026·揭阳模拟)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有(　　)
A． B．
C． D．
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．(2026·武汉模拟)已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝e1＋2e2，b＝2e1－ke2，若a与b共线，则实数k的值是________．
12．如图，在正六边形ABCDEF中，若AB＝2，则＝________．
四、解答题(共28分)
13．(13分)已知a，b不共线，＝e，设t∈R，如果3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．
14．(15分)如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近点B，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设＝b.
(1)试用a，b表示；
(2)证明：B，E，F三点共线．
优生选做题
15．(5分)已知PQ，MN是半径为5的圆O上的两条动弦，＝6，＝8，则的最大值是(　　)
A．7 B．12
C．14 D．16
16．(5分)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，点F在CD边上，且AE＝ED，DF＝λFC，AF与BE相交于点G，若，则实数λ＝________．课时作业51　椭圆
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．椭圆x2＋2y2＝1的焦距为(　　)
A． B． C．2 D．2
2．若椭圆C的焦距是短轴长的2倍，则椭圆C的离心率是(　　)
A． B． C． D．
3．已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点，则它的标准方程为(　　)
A．＋y2＝1 B．＝1
C．x2＋＝1 D．＝1
4．若方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为(　　)
A．(2，3) B．(1，3) C．(－1，2) D．(－1，1)
5．(2026·武汉模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1，F2，离心率为，过点F1作直线l(与y轴不重合)交椭圆C于M，N两点，△MNF2的周长为12，则椭圆C的标准方程是(　　)
A．＋y2＝1 B．＋x2＝1
C．＝1 D．＝1
6．无人机飞行表演中，已知一架无人机P沿椭圆＝1进行飞行表演，如图所示，在椭圆内部的点M(2，1)处有空中定位器，无人机发射出的信号被定位器接收，有一架无人机Q始终在定位器与无人机P连线中点处伴飞，作为信号的中转传递，那么伴飞无人机Q的飞行轨迹为(无人机以及定位器都看成一个点)(　　)
A．圆 B．抛物线
C．椭圆 D．直线
7．已知F1，F2是椭圆C：＝1(a>2)的两个焦点，P为C上一点，若|PF1|·|PF2|的最大值为5，则C的离心率为(　　)
A． B． C． D．
8．(2026·保定模拟)已知椭圆Γ：＝1的左焦点为F，P是椭圆Γ上的一个动点，椭圆Γ外一点Q的坐标为(7，3)，若|PQ|＋|PF|的最大值是13，则椭圆的短轴长为(　　)
A． B．4 C．2 D．8
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为C上的任意一点，则(　　)
A．椭圆C的长轴长为3
B．椭圆C的离心率为
C．|PF1|的最大值为5
D．存在点P，使得PF1⊥PF2
10．某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点(距离太阳最近的点)与太阳中心的距离为d1，远日点(距离太阳最远的点)与太阳中心的距离为d2，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则(　　)
A．轨道的焦距为d2＋d1
B．轨道的离心率为
C．轨道的短轴长为2
D．当越大时，轨道越圆
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．已知点A(3，0)，椭圆B：＝1(a＞0)的右焦点为F，若线段AF的中点C恰好在椭圆B上，则椭圆B的长轴长为________．
12．椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且|PF2|＝2|PF1|，∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率为________．
四、解答题(共28分)
13．(13分)已知椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，且|AB|＝4，椭圆E的焦距为4.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知点M(M不在x轴上)在椭圆E上，求直线AM，BM的斜率之积．
14．(15分)已知椭圆的两焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，点P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.
(1)求此椭圆的方程；
(2)若点P满足∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．
优生选做题
15．(5分)已知点P在椭圆＝1上，点Q在圆x2＋y2－2y＝0上，F(－1，0)，则|PQ|＋|PF|的最大值为(　　)
A．5－ B．5＋
C．2 D．5＋2
16.(5分)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的右焦点为F，P，Q为C上关于原点对称的两点，PF⊥QF，直线PF交C于另一点M，若直线QM的斜率为－，则C的离心率为________．课时作业37　等比数列
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．(2026·荆州模拟)已知等比数列{an}中，a1＝2，a3＝8，则a4＝(　　)
A．16 B．16或－16
C．32 D．32或－32
2．(2026·巴彦淖尔模拟)若是与4的等比中项，则a＝(　　)
A．1 B．
C．2 D．4
3．已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，若a1，a3，a4成等比数列，则S10＝(　　)
A．10 B．8
C．0 D．－6
4．(2026·眉山模拟)若等比数列{an}满足已知＝－1，a1－a3＝－3，则{an}的公比为(　　)
A．－2 B．2
C．－1 D．4
5．(2026·安庆模拟)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝＝a6，则S4＝(　　)
A． B．
C． D．
6．(2026·南京模拟)在等比数列{an}中，a3a4a5＝8，a4＋a8＝20，则a6＝(　　)
A．36 B．±6
C．－6 D．6
7．(2026·沧州模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝7，S12＝511，则S8＝(　　)
A．56 B．－56
C．63 D．－63
8．(2026·邢台模拟)已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝2an＋n－1，则a11＝(　　)
A．2 037 B．2 047
C．1 014 D．1 021
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．(2026·海口模拟)公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＝5，a1－a3＝－15，则(　　)
A．a1＝1 B．q＝4
C．S4＝－85 D．an＝4n
10．(2026·昭通模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6a3＋1，a2＝2，则(　　)
A．q＝
B．数列{an}有最小项
C．数列{an}为递减数列
D．an＋Sn＝8
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．(2026·太原模拟)在等比数列{an}中，若a4＝8a1＝－8，则a6＝________．
12．(2026·延边模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，S3＝3S1，则q＝________．
四、解答题(共28分)
13．(13分)记数列{an}的前n项和为Sn，已知an＋Sn＝2n＋.
(1)证明：数列{an－2}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
14．(15分)(2026·南昌模拟)已知正项数列{an}满足an·an＋1＝4n.
(1)若{an}是等比数列，求{an}的通项公式；
(2)若a1＝1，求数列{an}的前2n项和．
优生选做题
15．(5分)(2026·潍坊模拟)设Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等比数列；乙：{Sn}为等比数列(Sn≠0)，则甲是乙的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
16.(5分)(2026·雅安二模)在公比不为1的等比数列{an}中，若a2 025＝1，且有a1a2…a5＝a1a2…am－5(m∈N*，m>5)成立，则m＝________．微专题2　函数的对称性
(分值：73分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．已知函数y＝|x|的图象与函数y＝|x－m|的图象关于直线x＝1对称，则m＝(　　)
A．0.5 B．1
C．1.5 D．2
2．函数y＝3x与y＝32-x的图象(　　)
A．关于x＝对称 B．关于x＝对称
C．关于x＝1对称 D．关于x＝2对称
3．已知f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x＝2对称，当0A．2 B．－2
C．－4 D．4
4．若曲线f(x)＝关于点(1，－2)中心对称，则a＝(　　)
A．3 B．4
C．－3 D．－4
5．(2026·绥化模拟)已知函数f(x＋1)是定义在R上的偶函数，且f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是(　　)
A．f(－1)B．f(1)C．f(1)D．f(2)6．(2026·沈阳模拟)已知奇函数f(x)的定义域为R，且函数y＝f(x)图象关于直线x＝2对称．当x∈[0，2]时，f(x)＝x，则f(13)＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
7．我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数，则函数f(x)＝2x3＋6x2图象的对称中心为(　　)
A．(－1，4) B．(－1，－4)
C．(1，4) D．(1，－4)
8．(2026·六安模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(－x＋1)－f(x＋1)＝0，函数y＝·f(x)的图象关于直线x＝－对称，则＝(　　)
A．－2 028 B．0
C．1 014 D．2 028
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9．下列函数的图象中，是中心对称图形的是(　　)
A．y＝cos B．y＝x＋
C．y＝|x| D．y＝x3－x＋1
10．设函数f(x)＝2x-1＋21-x，则下列说法错误的是(　　)
A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增
B．f(x)为奇函数
C．f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．f(x)的图象关于点(1，0)对称
11．(2026·南阳模拟)已知函数y＝f(x＋1)－2为定义在R上的奇函数，又函数g(x)＝，且f(x)与g(x)的函数图象恰好有2 026个不同的交点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，P2 026(x2 026，y2 026)，则下列叙述中正确的是(　　)
A．f(x)的图象关于点(2，2)对称
B．g(x)的图象关于点(1，2)对称
C．x1＋x2＋…＋x2 026＝2 026
D．y1＋y2＋…＋y2 026＝2 026
三、填空题(每小题5，共15分)
12．已知奇函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(m)＝3，则f(m－4)的值为________．
13．已知函数y＝f(x)满足f(2)>5，且以(1，1)点为对称中心，写出一个符合条件的函数y＝________.
14．(2026·周口模拟)若函数f(x)＝(x－1)·的图象关于直线x＝1对称，则b＝________．课时作业36　等差数列
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．(2026·桂林模拟)已知数列{an}为等差数列，若a1＋a2 025＝2 026，则a1 013＝(　　)
A．2 026 B．2 025
C．1 013 D．1 012.5
2．(2026·佛山模拟)－2 025是等差数列－5，…，－35，－37，…的(　　)
A．第1 013项 B．第1 012项
C．第1 011项 D．第1 010项
3．(2026·常德模拟)已知等差数列{an}的首项为1，公差为2，前n项和为Sn，则a3＋S5＝(　　)
A．14 B．30
C．42 D．60
4．(2026·河北多校联考)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝64，a3＋a4＝12a1，则a4＝(　　)
A．22 B．24
C．28 D．36
5．(2026·泰安模拟)等差数列{an}满足a3＋a4＝4，a7＋a8＝8，则a15＋a16＝(　　)
A．14 B．16
C．18 D．20
6．(2026·淮安模拟)如果等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝15，S7＝63，那么a3的值为(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
7．(2026·南阳模拟)设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则Sn＝(　　)
A．n2＋21n B．－n2＋21n
C．－n2＋19n D．n2＋19n
8．(2026·新乡模拟)某会场的座位呈扇形分布，第一排有15个座位，从第二排起，每一排都比前一排多两个座位，已知该会场能容纳一个700人的代表团，则该会场的座位至少有(　　)
A．20排 B．21排
C．22排 D．23排
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．(2026·苏州模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝18，S9＝108，则(　　)
A．数列{an}的公差为2
B．a5＝2a2
C．S6＝4S3
D．＝2
10．已知等差数列{an}的公差为d，其前n项和为Sn，S11>0，S12<0，则(　　)
A．a6>0 B．d<0
C．{Sn}中S7最大 D．|a4|<|a9|
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．(2026·南充模拟)在等差数列{an}中，已知S6＝10，S12＝30，则S18＝________．
12．(2026·潍坊模拟)若一个等差数列的前5项和为35，前9项和为45，则该数列的第8项为________．
四、解答题(共28分)
13．(13分)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an＋＝2Sn.
(1)证明：}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
14．(15分)(2023年新高考Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．
(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；
(2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d.
优生选做题
15．(5分)(2026·杭州模拟)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S2 025A．2 026 B．2 027
C．4 048 D．4 049
16.(5分)已知一个项数为n的等差数列{an}，设其前n项和为Sn，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差d＝－8，则当n为偶数时，此数列首尾两项之和为________．微专题1　一元二次不等式恒(能)成立问题
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1．已知不等式x2－mx＋4<0的解集为空集，则m的取值集合为(　　)
A．(－4，4)
B．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
C．(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D．[－4，4]
2．(2026·临沂模拟)若关于x的不等式mx2－5x＋m≤0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
3．已知当1≤x≤2时，x2－ax>0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≥1 B．a>1
C．a≤1 D．a<1
4．若不等式ax2＋2ax－4<2x2＋4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．－22
C．－25．(2026·青岛模拟)若集合A＝{x∈N*|x2＋x＋a≤0}非空集，则a的取值范围是(　　)
A． B．(－∞，0]
C．(－∞，－1] D．(－∞，－2]
6．当1≤x≤3时，关于x的不等式x2－ax＋4≥0有解，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤4 B．a≤－4或a≥4
C．a≤5 D．a≤
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7．若关于x的不等式x2－6x＋2－a>0在区间[0，5]内有解，则实数a的取值可以是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
8．“关于x的不等式ax2－2ax＋1>0对 x∈R恒成立”的充分不必要条件有(　　)
A．0C．0≤a< D．－1≤a<1
三、填空题(每小题5分，共10分)
9．命题p：“ x∈[－1，3]，x2－2x－m≤0”是假命题，则m的取值范围是________．
10．若命题“ a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a<0”为假命题，则实数x的取值范围为________．
四、解答题(共28分)
11．(13分)已知关于x的不等式2x－1>m(x2－1)．
(1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若不等式对于x∈(1，＋∞)恒成立，求m的取值范围．
12．(15分)(2026·保定模拟)已知函数f(x)＝ax2－ax，(a∈R)，
(1)若f(x)<2对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
(2)若存在x∈[0，2]，使得f(x)<－a＋4成立，求此时实数a的取值范围．
微专题1　一元二次不等式恒(能)成立问题
1．解析：∵不等式x2－mx＋4<0的解集为空集，∴不等式x2－mx＋4≥0在R上恒成立，∴Δ＝m2－4×1×4≤0，∴－4≤m≤4，即m的取值范围是[－4，4].故选D.
答案：D
2．解析：当m＝0时，不等式－5x≤0，解得x≥0，显然解集不是R，不符合题意；当m≠0，由不等式的解集为R，则m<0，Δ＝－4m2≤0，解得m≤－，即m的取值范围为.故选A.
答案：A
3．解析：因为1≤x≤2，所以由x2－ax>0 x－a>0 a0恒成立，等价于当1≤x≤2时，a答案：D
4．解析：不等式ax2＋2ax－4<2x2＋4x可化为(a－2)x2＋(2a－4)x－4<0，当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0，恒成立，∴a＝2满足题意；当a－2≠0，即a≠2时，要使不等式恒成立，则需解得－2答案：C
5．解析：因为集合A＝{x∈N*|x2＋x＋a≤0}非空集，所以x2＋x＋a≤0在[1，＋∞)上有解，则a≤－x2－x在[1，＋∞)上有解，令f(x)＝－x2－x，由二次函数性质得f(x)在[1，＋∞)上单调递减，可得f(x)max＝－1－1＝－2，即a∈(－∞，－2].故D正确．故选D.
答案：D
6．解析：由1≤x≤3时，x2－ax＋4≥0有解，所以a≤，又y＝x＋在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，且x＝1时，y＝5，x＝3时，y＝，所以a≤＝5.故选C.
答案：C
7．解析：不等式x2－6x＋2－a>0在区间[0，5]内有解，仅需(x2－6x＋2)max>a即可，令f(x)＝x2－6x＋2，因为f(x)的对称轴为x＝－＝3，f(0)＝2，f(5)＝－3，所以(x2－6x＋2)max＝2，所以a<2.故选AB.
答案：AB
8．解析：ax2－2ax＋1>0，当a＝0时，ax2－2ax＋1>0转化为1>0，不等式ax2－2ax＋1>0对 x∈R恒成立，当a≠0时，ax2－2ax＋1>0对 x∈R恒成立，则有解得00对 x∈R恒成立”的充分不必要条件，须是集合{a|0≤a<1}的真子集，故选项A和C正确．故选AC.
答案：AC
9．解析：由题， p： x∈[－1，3]，x2－2x－m>0为真命题，所以m答案：(－∞，－1)
10．解析：由题意可得，命题“ a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0”为真命题，即ax2－(2a－1)x＋3－a＝(x2－2x－1)a＋x＋3≥0.当a∈[－1，3]时恒成立，则解得－1≤x≤0或≤x≤4.故实数x的取值范围为[－1，0]∪.
答案：[－1，0]∪
11．解析：(1)原不等式等价于mx2－2x＋(1－m)<0，
当m＝0时，－2x＋1<0不恒成立，
当m≠0时，不等式对于x∈R恒成立，
则需m<0且4－4m(1－m)<0，无解，
所以不存在实数m对任意x∈R恒成立．
(2)因为x>1，所以m<.
设2x－1＝t(t>1)，则x2－1＝，
所以m<.
设g(t)＝t－＋2，t∈(1，＋∞)，
显然g(t)在(1，＋∞)上单调递增，
当t→＋∞时，t－＋2→＋∞，→0，
且>0，
所以m≤0，所以m的取值范围是(－∞，0].
12．解析：(1)因为f(x)<2对任意x∈R恒成立，即ax2－ax－2<0对任意x∈R恒成立，
令g(x)＝ax2－ax－2，则g(x)<0对任意x∈R恒成立，
①当a＝0时，则g(x)＝－2<0对任意x∈R恒成立，即a＝0满足题意；
②当a>0时，函数g(x)＝ax2－ax－2的图象为抛物线，开口向上，
所以ax2－ax－2<0对任意x∈R不恒成立，所以不满足题意；
③当a<0时，函数g(x)＝ax2－ax－2的图象为抛物线，开口向下，
要使得ax2－ax－2<0对任意x∈R恒成立，则Δ＝a2＋8a<0，解得－8综上由①②③可得a的取值范围为(－8，0].
(2)不等式f(x)<－a＋4，即a(x2－x＋1)<4，
因为x2－x＋1＝>0，所以a<，
因为存在x∈[0，2]，使得f(x)<－a＋4成立，
即存在x∈[0，2]，使得a<成立，
当x∈[0，2]时，≤3，
得，
当x＝时，有最大值，则有a<，
即实数a的取值范围为.课时作业26　三角函数的图象与性质
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．(2026·郑州一模)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)两个相邻的最值点，则ω＝(　　)
A．2 B．
C．1 D．
2．(2026·安徽多校联考)若函数y＝tan x的图象与直线x＝a没有交点，则|a|的最小值为(　　)
A．0 B．
C．π D．2π
3．(2026·泉州模拟)已知f(x)的定义域为[0，1]，则f(cos x)的定义域为(　　)
A．
B．{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}
C．{x|2kπ－π≤x≤2kπ，k∈Z}
D．
4．已知a＝sin ，b＝sin ，c＝，则(　　)
A．c>a>b B．b>a>c
C．a>b>c D．c>b>a
5．(2026·永州模拟)函数y＝|cos x|的一个单调递减区间是(　　)
A． B．
C． D．
6．(2026·南昌模拟)已知函数f(x)＝sin x－cos x，则下列选项中是f(x)的一个单调递增区间的是(　　)
A． B．
C． D．
7．已知函数f(x)＝cos (x＋θ)，θ∈(－π，π)，若函数f(x)在x＝处取得最小值，则θ＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
8．函数f(x)＝sin (2x－＋φ)(0<φ<π)是R上的偶函数，则φ＝(　　)
A．0 B．
C． D．
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．(2026·随州模拟)下列函数中，以4π为周期的函数有(　　)
A．y＝tan B．y＝sin
C．y＝|sin x| D．y＝|cos x|
10．(2026·齐齐哈尔二模)A，B是函数f(x)＝tan (2x－)与直线y＝2的两个交点，则下列说法正确的是(　　)
A．|AB|min＝
B．f(x)的定义域为
C．f(x)的对称中心为(，0)，k∈Z
D．f(x)在区间上单调递增
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．函数y＝sin2x＋2cosx，x∈(0，)的值域是________.
12．已知f(x)＝sin (3x＋)－a cos 3x的一条对称轴为直线x＝，则a＝________．
四、解答题(共28分)
13．(13分)(2026·梅州模拟)已知函数f(x)＝sin2x＋sinx cos x.
(1)求f(x)的最小正周期和对称轴方程；
(2)求f(x)在区间上的最大值，并求出此时对应的x的值．
14．(15分)(2026·梅州模拟)已知函数f(x)＝2sin x cos x＋2cos2x－1(x∈R).
(1)求f的值；
(2)求函数f(x)的单调递减区间；
(3)若f(x0)＝，x0∈，求cos2x0的值．
优生选做题
15．(5分)若函数f(x)＝sin (2x＋φ)(0≤φ<2π)的图象关于直线x＝对称，且f(x)在上单调递增，则φ＝(　　)
A． B．
C． D．
16.(5分)(2026·长沙二模)若函数f(x)＝5sin (x＋θ)＋12cos (x＋θ)为奇函数，则tan θ＝________．课时作业54　直线与圆锥曲线的位置关系
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共35分)
1．已知F为抛物线C：y2＝8x的焦点，过F的直线交C于A，B两点，若弦AB的中点的横坐标为4，则|AB|＝(　　)
A．8 B．10
C．12 D．16
2．已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x与双曲线的右支交于点P，则＝(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．－2
3．(2026·鹰潭模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，椭圆上任意一点到F1，F2的距离之和为4，过焦点F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，若线段AB的长为3，则椭圆C的方程为(　　)
A．＝1 B．＋y2＝1
C．＝1 D．＝1
4．已知双曲线C：x2－＝1的左、右顶点分别为点A，B，点P在双曲线的右支上且异于点B.若直线AP的斜率的取值范围是，则直线BP的斜率的取值范围是(　　)
A．[4，8] B．(2，4]∪[8，＋∞)
C．(4，8) D．(0，4]∪[8，＋∞)
5．(2026·曲靖模拟)设抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，直线x－y－1＝0经过焦点F，且与E相交于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为P，Q，设PQ的中点为R，则|RF|＝(　　)
A．2 B．3
C．2 D．2
6．椭圆E：＝1与曲线H：xy＝k在第一象限内交于P，Q两点，则直线PQ的斜率为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
7．过P点可以作双曲线x2－y2＝1的两条切线，则P点坐标可以是(　　)
A．(0，0) B．
C． D．(1，0)
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
8．已知椭圆＋y2＝1，斜率为k且不经过原点O的直线l与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．直线AB与OM垂直
B．若点M的坐标为，则直线l的方程为x＋2y－2＝0
C．若直线l的方程为y＝x＋1，则点M的坐标为
D．若直线l过椭圆的焦点，则1<|AB|<4
9．(2026·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则(　　)
A．抛物线C的准线方程为x＝－4
B．若|AF|＝8，则x1＝6
C．|AF||BF|的最大值为16
D．∠AOB为钝角
三、填空题(每小题5分，共10分)
10．若过点P(1，n)的任意直线均与椭圆＝1相交，则实数n的取值范围是________．
11．过双曲线x2－＝1的右焦点F作斜率为正的直线交渐近线于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为16，则直线AB的斜率为________.
四、解答题(共28分)
12．(13分)(2026·绥化模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是椭圆C上一点，且△MF1F2的周长是4＋2，椭圆C的离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知O为坐标原点，过点P(4，0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且.
13．(15分)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，焦距为4.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点A(6，1)作直线与双曲线C相交于M，N两点，且A为线段MN的中点，求这条直线的方程．
优生选做题
14.(15分)已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点(点A在第一象限)．
(1)若∠AFO＝120°，|AF|＝4，求p的值；
(2)设点M为抛物线准线与x轴的交点，求kMA＋kMB.课时作业12　对数函数
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．若函数y＝＋5(a>0且a≠1)的图象恒过点A(m，n)，则＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
2．函数y＝，x∈(0，8]的值域是 (　　)
A．[－3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(－∞，－3) D．(－∞，3]
3．设a＝log53，b＝log6，c＝log78，则(　　)
A．aC．c4．(2026·邯郸二模)已知函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上单调递增，且f(8)＝，则a＝(　　)
A．4 B．16
C．32 D．64
5．不等式log2x<1－x的解集为(　　)
A．(0，1) B．(1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－∞，1)
6．已知函数f(x)＝x(2－2x)，当x＝m时，f(x)取得最大值n，则函数g(x)＝logm|x＋n|的大致图象为(　　)
7．(2026·太原模拟)函数y＝lg (10x－x2)的单调递增区间是(　　)
A．(0，5) B．(－∞，5)
C．(5，10) D．(5，＋∞)
8．(2026·厦门模拟)若函数f(x)＝ln (12－ax)在区间(3，6)上单调递减，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B．(－2，0)
C．(0，2) D．(0，2]
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．已知a>0且a≠1，则函数f(x)＝loga(x＋a)的图象必经过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
10．已知f(x)＝ln (x＋1)，g(x)＝ln (1－x)，令F(x)＝f(x)－g(x)，则下列结论正确的是(　　)
A．F(x)的定义域是(－1，1)
B．f(x)>g(x)的解集为(0，1)
C．F(x)是奇函数
D．F(x)在区间(－1，0)上单调递增，在区间(0，1)上单调递减
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．已知对数函数f(x)过点，则f(x)的解析式为________．
12．已知常数a>0，且a≠1，若函数y＝1＋logax的定义域和值域都是[1，2]，则a＝________．
四、解答题(共28分)
13．(13分)已知函数f(x)＝|log4x|.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若a14．(15分)已知函数f(x＋1)＝lg (x＋3)．
(1)求不等式0(2)若函数g(x)＝f(x)＋f(－x＋a－2)的图象经过点(1，lg 3)，求g(x)的最大值．
优生选做题
15．(5分)已知函数 f(x)＝(log2x)2＋3log2x－m在区间[1，2]的最大值与最小值的和为2m，则m的取值为 (　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
16.(5分)(2026·秦皇岛模拟)已知函数f(x)＝log2＋log4(4－ax)的值域为(－∞，1]，则实数a的值为________．课时作业56　圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题
(分值：60分)
1． (13分)已知双曲线＝1(a>0，b>0)，O为坐标原点，离心率e＝2，点M在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且＝0.求证：为定值．
2． (15分)已知抛物线C关于x轴对称，它的顶点在原点O，并且经过点.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)设直线l：x＝my＋2与C交于A，B两点，过点A，B分别作抛物线C的切线交于点P，证明：点P在定直线x＝－2上．
3．(15分)(2026邢台模拟)已知椭圆E：＝1(a>b>0)的一个焦点为F(1，0)，其短轴长为2.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过坐标原点O的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，若直线AF，BF分别与椭圆E交于点M，N，证明：直线MN过定点．
优生选做题
4.(17分)(2026·南阳模拟)已知A，B是双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，|AB|＝4，点在C上．
(1)求C的方程．
(2)M是C左支上一点(异于点A)，设直线AM交直线x＝－1于点P，连接PB，直线PB与C的另一个交点为N，设直线BM，BN的斜率分别为k1，k2.
(ⅰ)证明：k1k2为定值．
(ⅱ)证明：直线MN恒过定点．课时作业3　不等式的性质
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．设a，b∈R，则下列条件可断定|a|A．aC．a2．若x，y∈[2，＋∞)，则p＝xy＋2与q＝2x＋y的大小关系是(　　)
A．p≥q B．p≤q
C．p>q D．p3．(2026·六安模拟)若a>b>0，c>d，则(　　)
A．ac>bd B．a－c>b－d
C．ac2>bc2 D．a2c>a2d
4．若aA．正数 B．负数
C．非正数 D．非负数
5．(2026·驻马店模拟)“b>0>a”是“a2>ab”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．下列命题为真命题的是(　　)
A．若>，则aB．若aC．若a>b>0，则<
D．若a>b>0，则<
7．(2026·沧州模拟)已知2A．[4，9) B．(4，9)
C．(5，8] D．(5，8)
8．已知0A．0C．ab>a2 D．0二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．(2026·日照模拟)已知aA．< B．ac3C．a2>b2 D．＋a>＋b
10．(2026·广州模拟)已知6A．∈ B．a＋b∈(21，78)
C．a－b∈(－9，42) D．∈
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．若x12．已知有三个条件：①ac2>bc2；②>；③a2>b2，其中能成为a>b的充分条件的是________．(填序号)
四、解答题(共28分)
13．(13分)(1)比较－1与2－的大小．
(2)已知c>a>b>0，比较与的大小．
14．(15分)(1)已知a>b>0，c.
(2)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1，证明：ab＋bc＋ca<0.
优生选做题
15．(5分)已知实数m，n，p满足m2＋n＋4＝4m＋p，且m＋n2＋1＝0，则下列式子成立的是(　　)
A．n≥p>m B．p≥n>m
C．n>p>m D．p>n>m
16.(5分)(2026·武汉模拟)若实数a，b满足－1课时作业3　不等式的性质
1．解析：由|a|0，则－b答案：A
2．解析：由题意有p－q＝(xy＋2)－(2x＋y)＝xy－2x＋2－y＝(1－x)(2－y)，因为x，y∈[2，＋∞)，所以1－x<0，2－y≤0，所以p－q≥0，即p≥q.故选A.
答案：A
3．解析：对于A，当a＝3，b＝2，c＝－1，d＝－时，ac＝bd＝－3，故A错误；对于B，当a＝3，b＝2，c＝－1，d＝－2时，a－c＝b－d＝4，故B错误；对于C，当a＝3，b＝2，c＝0时，ac2＝bc2＝0，故C错误；对于D，因为a>b>0，所以a2>0，又因为c>d，所以a2c>a2d，故D正确．故选D.
答案：D
4．解析：.因为a0，a－c<0，a－b<0，＞0，即＞0.故选A.
答案：A
5．解析：当b>0>a时，a－b<0，则a(a－b)>0，则a2>ab成立，可知充分性成立；当a＝1，b＝0时，a2>ab成立，但b>0>a不成立，可知必要性不成立．可得“b>0>a”是“a2>ab”的充分不必要条件．故选A.
答案：A
6．解析：对于A，举例a＝1，b＝－1，满足>，但a>b，故A错误；对于B，举例a＝－1，b＝1，满足ab>0，>0，即>，故C错误，对于D，，因为a>b>0，则ab>0，b＋a>0，b－a<0，则<0，即<.故选D.
答案：D
7．解析：因为2答案：B
8．解析：由0答案：D
9．解析：由a0，故(a－b)<0 即＋a－<0，所以＋a<＋b，D错误．故选AC.
答案：AC
10．解析：因为6答案：AB
11．解析：M－N＝－2xy(x－y)，因为x0，即M>N.
答案：M>N
12．解析：①由ac2>bc2可知c2>0，即a>b，故“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件；②当c<0时，ab2，有ab的充分条件．所以能成为“a>b”的充分条件的只有①.
答案：①
13．解析：(1)由2－(2＋1)2＝2－4>0，
故>2＋1，即－1>2－.
(2)，
因为c>a>b>0，则c－a>0，c－b>0，a－b>0，
故>0，则>.
14．证明：(1)∵c－d>0.
又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0，∴0<<.
又∵e<0，∴>.
(2)∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，
∴ab＋bc＋ca＝－(a2＋b2＋c2)．
∵abc＝1，∴a，b，c均不为0，则a2＋b2＋c2>0，
∴ab＋bc＋ca＝－(a2＋b2＋c2)<0.
15.解析：因为m2＋n＋4＝4m＋p，移项得m2－4m＋4＝p－n，所以p－n＝(m－2)2≥0，可得p≥n，由m＋n2＋1＝0，得m＝－n2－1，可得n－m＝n－(－n2－1)＝n2＋n＋1＝(n＋)2＋>0，可得n>m，综上所述，p≥n>m成立．故选B．
答案：B
16．解析：令3a＋b＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b，所以解得所以3a＋b＝2(a＋b)＋(a－b)，又－1答案：(0，10)课时作业49　圆的方程
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．已知圆的一条直径的端点分别是A(1，0)，B(－3，－4)，则该圆的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝8
B．(x－1)2＋(y－2)2＝32
C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝32
D．(x－1)2＋(y－2)2＝8
2．已知点P(1，2)为圆x2＋y2＋x－4y＋m＝0外一点，则实数m的取值范围为(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C． D．
3．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线l：mx＋2y－1＝0对称，则实数m的值为(　　)
A．－5 B．－3
C．3 D．5
4．已知m，n是方程x2＋x－2＝0的两个不等实数根，则点P(m，n)与圆C：x2＋y2＝8 的位置关系是(　　)
A．点P在圆内 B．点P在圆上
C．点P在圆外 D．无法确定
5．圆心在直线y＝x上，且经过点P(3，1)，Q(1，－1)的圆的方程为(　　)
A．x2＋y2－2x－2y－2＝0
B．x2＋y2－4x－4y－2＝0
C．x2＋y2－2x－2y－1＝0
D．x2＋y2－4x－4y－1＝0
6．已知点A(－3，0)和点B(3，0)，动点M与点A的距离是它与点B的距离的2倍，则点M的轨迹方程为(　　)
A．(x＋5)2＋y2＝13 B．(x－5)2＋y2＝13
C．(x＋5)2＋y2＝16 D．(x－5)2＋y2＝16
7．圆x2＋y2＝9上任意一点P到直线x＋y－4＝0的距离的最大值为(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
8．曲线|x|2＋(|y|－4)2＝1所表达的图形是(　　)
A．以(0，4)为圆心，1为半径的圆
B．以(0，4)为圆心，1为半径的圆面
C．以(0，4)为圆心，1为半径的圆和以(0，4)为圆心，3为半径的圆构成的同心圆
D．以(0，4)为圆心，1为半径的圆和以(0，－4)为圆心，1为半径的圆
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．已知圆E与y轴相切，且经过两点M(1，0)，N(2，1)，则圆E的方程可能是(　　)
A．x2＋y2－2x－4y＋1＝0
B．x2＋y2－10x＋6y＋9＝0
C．x2＋y2－2x－2y＋1＝0
D．x2＋y2－6x＋2y＋1＝0
10．已知实数x，y满足圆的方程(x－1)2＋y2＝，则(　　)
A．圆心为(－1，0)，半径为
B．x的最大值为
C．的最大值为
D．x－y2的最大值为
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．已知A(－2，0)，B(1，0)，动点P满足＝2，则动点P的轨迹E的方程为________________________________________________________________________．
12．圆心在直线2x－y＝3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是___________．
四、解答题(共28分)
13．(13分)已知△ABC的顶点分别为A(1，0)、B(3，4)，C(4，3)．
(1)求BC边上的中线的方程；
(2)求△ABC的外接圆的方程．
14．(15分)已知圆C经过A(4，0)，B(1，3)两点，且圆心C在直线l：2x－y－3＝0上，M是圆C上的动点，N(－2，3)，P是线段MN的中点．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
优生选做题
15．(5分)(2026·南通模拟)已知圆C：(x＋4)2＋(y＋3)2＝1及A(0，a)，B(0，－a)两点，(a∈R＋)，若圆C上任一点M，都满足∠AMB＞，则a的取值范围是(　　)
A．(0，4) B．[4，6]
C．(4，＋∞) D．(6，＋∞)
16.(5分)已知点A(－1，2)，C(－1，0)，点A关于直线x－y＋1＝0的对称点为点B，在△PBC中，|PC|＝，则△PBC面积的最大值为________．课时作业52　双曲线
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．已知A(－2，0)，B(2，0)，若动点P满足|PA|－|PB|＝2，则P的轨迹方程为(　　)
A．x2－＝1 B．x2－＝1(x≤－1)
C．－x2＝1 D．x2－＝1(x≥1)
2．(2026·蚌埠模拟)若双曲线C的离心率为2，虚轴长为2，则C的实轴长为(　　)
A．1 B．
C．2 D．3
3．(2026·秦皇岛一模)已知双曲线C：＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±x，则a的值为(　　)
A．3 B．2
C．3 D．3
4．已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为(0，2)，则双曲线的方程是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
5．已知焦点在y轴上的双曲线＝1的两条渐近线互相垂直，则m＝(　　)
A．1 B．
C．－4 D．1或－4
6．(2026·沧州模拟)若双曲线＝1(a>b>0)一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率e为(　　)
A． B．2
C． D．
7．已知双曲线 ＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．－y2＝1 D．x2－＝1
8．(2026·衡水模拟)过原点O的直线l与双曲线C：＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，D为C的右顶点，若C的渐近线方程为y＝±2x，则直线DA与直线DB的斜率之积为(　　)
A．1 B．3
C．4 D．9
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．(2026·新余模拟)双曲线＝1与＝1有相同的(　　)
A．实轴长 B．焦距
C．离心率 D．渐近线
10．以下四个命题中，正确的是(　　)
A．设A(－2，0)，B(2，0)，动点P满足|PA|－|PB|＝2，则动点P的轨迹为双曲线
B．若曲线＝1表示椭圆，则2C．方程3x2－10x＋3＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
D．椭圆＝1与双曲线＝1有相同的焦点
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．(2026·重庆模拟)直线l与双曲线C：mx2－ny2＝1(mn＞0)交于A，B(4，3)两点，则该双曲线的方程为________．
12．(2026·昭通模拟)与双曲线＝1有共同渐近线，且经过点(2，4)的双曲线的虚轴长为________.
四、解答题(共28分)
13．(13分)曲线C：＝1(m≠－3且m≠1)．
(1)若曲线C表示双曲线，求m的取值范围；
(2)当m＝0，点P在曲线C上，且点P在第一象限，F1(－2，0)，F2(2，0)，PF1⊥PF2，求点P的横坐标．
14．(15分)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为2，且经过点(2，3)．
(1)求C的方程；
(2)双曲线C的两个焦点是F1，F2，双曲线上有一点P，∠F1PF2＝120°，求△F1PF2的面积．
优生选做题
15．(5分)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2和B(0，b)的直线与双曲线在第一象限交于点P，若△BF1F2的面积是△PF1F2的3倍，则C的渐近线的斜率为(　　)
A．± B．±
C．± D．±
16.(5分)(2026·大庆一模)已知F1，F2是双曲线＝1(a>b>0)的左、右焦点，以F2为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点，若3|AB|≥2|F1F2|，则双曲线的离心率的取值范围是__________．课时作业42　直线、平面垂直的判定与性质
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．若直线l是与平面α相交的一条斜线，则在平面α内与l垂直的直线(　　)
A．有且只有一条 B．有无数条
C．有且只有两条 D．不存在
2．已知直线a，b和平面α，且a∥α，则“b⊥a”是“b⊥α”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．(2026·邢台模拟)已知α，β，γ是3个不同的平面，且α⊥β，下列命题正确的是(　　)
A．若β⊥γ，则α⊥γ B．若β⊥γ，则α∥γ
C．若β∥γ，则α⊥γ D．若β∥γ，则α∥γ
4．已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是(　　)
A．若l⊥m，m⊥n，则n∥l
B．若α⊥β，γ⊥β，则γ∥α
C．若m⊥α，α⊥β，则m∥β
D．若m⊥α，m∥β，则α⊥β
5．已知PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是(　　)
A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB D．PC⊥BC
6．已知直线l∩平面α于点O，A∈l，B∈l，A α，B α，且OA＝AB.若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD＝(　　)
A．2　　　B．1 C．　　　D．
7．已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB(　　)
A．与平面PBC，平面PAD都垂直
B．与平面PBC，平面PAD都相交，但不垂直
C．与平面PBC垂直，与平面PAD相交但不垂直
D．与平面PAD垂直，与平面PBC相交但不垂直
8．(2026·阜阳模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，B1C1的中点，则(　　)
A．DE⊥平面AB1C B．DE⊥平面AA1F
C．DE⊥平面ACF D．DE⊥平面AD1F
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论正确的是(　　)
A．BC1与AC所成的角为90°
B．BC1与CD所成的角为90°
C．BC1与平面ACC1A1所成的角为30°
D．BC1与平面ABCD所成的角为45°
10. (2025·全国Ⅰ卷)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，则(　　)
A．AD⊥A1C B．BC⊥平面AA1D
C．CC1∥平面AA1D D．AD∥A1B1
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B，D，BD⊥EF，则AC与EF的位置关系是________．
12．如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．
四、解答题(共28分)
13．(13分)如图，已知ABED是正方形，平面ABED⊥底面ABC，CB＝CA，其中G，H分别是DC，BD的中点．
(1)求证：EB⊥平面ABC.
(2)判断GH与平面ABC的关系，并证明你的结论．
(3)判断AB与EC是否垂直，并说明你的理由．
14．(15分)(2026·秦皇岛模拟)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且AB＝2，四棱锥P-ABCD的体积为.
(1)求证：平面PBD⊥平面PAC；
(2)求直线PC与平面PAD所成的角的正弦值.
优生选做题
15． (5分)(2026·邢台模拟)如图，在棱长均相等的正三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为线段BB1，A1C1的中点，点F在B1E上，若BF⊥平面ACD，则＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
16. (5分)如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝1，M为BC的中点．将△ABM沿直线AM翻折，构成四棱锥B1-AMCD，N为B1D的中点，则在翻折过程中，①对于任意一个位置总有CN∥平面AB1M；②存在某个位置，使得CN⊥AB1；③存在某个位置，使得AD⊥MB1.上面说法中，所有错误的序号是________．
课时作业42　直线、平面垂直的判定与性质
1．解析：如图设斜线l与平面α交于点A，
在平面α内过点A作直线a⊥l，则在平面α内所有与直线a平行的直线均与直线l垂直，故在平面α内与l垂直的直线有无数条．故选B.
答案：B
2．解析：直线a，b和平面α，且a∥α，当b⊥a时，不能得到b⊥α，可能b α，可能b∥α，也可能b和α只相交不垂直，即充分性不成立；当b⊥α时，由a∥α，则存在直线c α，使a∥c，有b⊥c，所以b⊥a一定成立，即必要性成立．“b⊥a”是“b⊥α”的必要不充分条件．故选B.
答案：B
3．解析：对于AB，若α⊥β且β⊥γ，则a∥γ或α与γ相交，故AB错误；
对于CD，设α∩β＝l，在平面β内作直线a⊥l，
因为α⊥β，根据面面垂直的性质，所以a⊥α.过a作一个平面δ与平面γ相交于直线b，由β∥γ，得b∥a，所以b⊥α.又b γ，所以α⊥γ，故C正确，D错误．故选C.
答案：C
4．解析：对于A，若l⊥m，m⊥n，则n∥l，相交或异面，故A错误；对于B，若α⊥β，γ⊥β，则γ∥α或相交，故B错误；对于C，若m⊥α，α⊥β，则m∥β或m β，故C错误；
对于D，如图，因为m∥β，经过直线m和平面β内一点A可作平面γ，设γ∩β＝a，则m∥a，因为m⊥α，故a⊥α，又因为a β，故α⊥β，故D正确．故选D.
答案：D
5．解析：由PA⊥平面ACB得PA⊥BC，故A正确；因为AB为直径，所以∠ACB＝90°，所以BC⊥AC，又因为BC⊥PA，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，故B正确；由BC⊥平面PAC，PC 平面PAC得BC⊥PC，故D正确．故选C.
答案：C
6．解析：如图，因为AC⊥平面α，BD⊥平面α，所以AC∥BD.连接OD，所以.因为OA＝AB，所以.因为AC＝1，所以BD＝2.故选A.
答案：A
7．解析：在正方形ABCD中，
BC⊥AB，因为PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以PA⊥BC，又AB，PA是平面PAB内两条相交直线，所以BC⊥平面PAB，又BC 平面PBC，因此平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，两平面相交，故BD错误；在正方形ABCD中，AD∥BC，由上可知AD⊥平面PAB，AD 平面PAD，所以平面PAB⊥ 平面PAD，且平面PAB∩ 平面PAD＝PA，两平面相交，故C错误，A正确．故选A.
答案：A
8．解析：对于A，若DE⊥平面AB1C，AC 平面AB1C，则DE⊥AC，
在正方形ABCD中DB⊥AC，E BD，与过D有且仅有一条直线与AC垂直矛盾，故A错误；对于B，取BC的中点G，连接AG，易知AG∥A1F，在正方形ABCD中，AD＝AB，AE＝BG，∠DAE＝∠ABG＝90°，∴△ADE≌△BAG，∴∠DEA＋∠BAG＝∠DEA＋∠ADE＝90°，则DE⊥AG，即DE⊥A1F.又∵A1A⊥平面ABCD，DE 平面ABCD，∴A1A⊥DE，∵A1A，A1F 平面AA1F，且A1A∩A1F＝A1，∴DE⊥平面AA1F，故B正确；对于C，若DE⊥平面ACF，AC 平面ACF，则DE⊥AC，
由A分析，此处有矛盾，不可能成立，故C错误；对于D，若DE⊥平面AD1F，D1F 平面AD1F，则DE⊥D1F，取A1B1的中点P，连接D1P，易知D1P∥DE，∴D1P⊥D1F，这显然不成立，故D错误．故选B.
答案：B
9．解析：如图，AC∥A1C1且△A1BC1为等边三角形，则BC1与AC所成的角为60°，A错误；
易知CD⊥平面BCC1B1，BC1 平面BCC1B1，故CD⊥BC1，B正确；由AA1⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，则AA1⊥BD，又BD⊥AC，AA1∩AC＝A且都在平面ACC1A1内，则BD⊥平面ACC1A1，所以BC1与平面ACC1A1所成的角为∠BC1O，且sin ∠BC1O＝，故∠BC1O＝30°，C正确；由CC1⊥平面ABCD，则BC1与平面ABCD所成的角为∠CBC1＝45°，D正确．故选BCD.
答案：BCD
10．
解析：方法一　对于A，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，又AD 平面ABC，则AA1⊥AD，则＝0，因为△ABC是正三角形，D为BC的中点，则AD⊥BC，则＝0，又，所以＝·2≠0，则AD⊥A1C不成立，故A错误；对于B，AA1∩AD＝A，AA1，AD 平面AA1D，所以BC⊥平面AA1D，故B正确；对于C，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1∥AA1，又AA1 平面AA1D，CC1 平面AA1D，所以CC1∥平面AA1D，故C正确；对于D，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1∥AB，假设AD∥A1B1，则AD∥AB，这与AD∩AB＝A矛盾，所以AD∥A1B1不成立，故D错误．故选BC.
方法二　如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为2，高为h，则D(0，0，0)，A，A1，C(0，－1，0)，C1(0，－1，h)，B(0，1，0)，B1(0，1，h)，对于A，＝＝，则＝＋0＝3≠0，则AD⊥A1C不成立，故A错误；对于BC，＝(0，－2，0)，＝(0，0，h)，＝(0，0，h)，＝，设平面AA1D的法向量为n＝(x，y，z)，则得x＝z＝0，令y＝1，则n＝(0，1，0)，所以＝(0，－2，0)＝－2n，·n＝0，CC1 平面AA1D，则BC⊥平面AA1D，CC1∥平面AA1D，故BC正确；对于D，＝＝，则≠，显然AD∥A1B1不成立，故D错误．故选BC.
答案：BC
11．解析：由AB⊥α，CD⊥α，得AB∥CD，则直线AB与CD确定一个平面，由AB⊥α，EF α，得AB⊥EF，又BD⊥EF，AB∩BD＝B，AB，BD 平面ABDC，因此EF⊥平面ABDC，又AC 平面ABDC，所以AC⊥EF.
答案：垂直
12．解析：连接A1C1，由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1可得CC1⊥平面A1B1C1D1，因为B1D1 平面A1B1C1D1，故CC1⊥B1D1，当A1C1⊥B1D1时，因为CC1∩A1C1＝C1，故B1D1⊥平面A1C1C，而A1C 平面A1C1C，故A1C⊥B1D1.
答案：A1C1⊥B1D1
13．解析：(1)证明：由ABED是正方形，则AB⊥EB，又平面ABED⊥底面ABC，
平面ABED∩底面ABC＝AB，EB 平面ABED，则EB⊥平面ABC.
(2)GH∥平面ABC，证明如下：
由G，H分别是DC，BD的中点，则GH∥BC，
GH 平面ABC，BC 平面ABC，则GH∥平面ABC.
(3)AB与EC不垂直，理由如下：
若AB⊥EC，而AB⊥EB，EC∩EB＝E且EC，EB 平面EBC，
所以AB⊥平面EBC，BC 平面EBC，则AB⊥BC，
而在△ABC中CB＝CA，显然有矛盾，故AB与EC不垂直．
14．解析：(1)证明：∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，且BD 平面ABCD，∴PA⊥BD，
∵PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，∴BD⊥平面PAC，
∵BD 平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.
(2)∵棱锥P-ABCD的体积为，
∴，解得PA＝2，
由勾股定理知PD＝2，
∵PA⊥平面ABCD，PA 平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∵CD 平面ABCD，CD⊥AD，∴ CD⊥平面PAD，
∴∠CPD是直线PC与平面PAD所成的角，
Rt△PCD中，sin ∠CPD＝.
15．解析：如图所示，
取AC的中点G，连接BG，EG，DG.∵ABC-A1B1C1是正三棱柱，E为线段A1C1的中点，∴BG⊥AC，EG∥A1A，∴EG⊥平面ABC，∵AC 平面ABC，∴EG⊥AC.∵BG∩EG＝G，BG，EG 平面B1BGE，∴AC⊥平面B1BGE，∵BF 平面B1BGE，∴AC⊥BF.要使BF⊥平面ACD，只需BF⊥DG.设三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2a，则B1E＝BG＝a，BD＝a，∴∠BDG＝，∠B1BF＝.∴在＝tan ∠B1BF＝，∴B1F＝a，∴.故选C.
答案：C
16．
解析：如图，设AB1的中点为E，连接NE，ME.对于①，因为E，N为中点，所以NE∥AD，MC∥AD，且NE＝，所以四边形MCNE为平行四边形，所以CN∥ME，CN 平面 ，ME 平面，故①正确；对于②，若存在某个位置，使得CN⊥，由①知CN∥ME，得ME⊥盾，故②错误；对于③，存在某个位置，使得 AD⊥AB1，且AD∩AB1＝A，AD 平面ADB1，AB1 平面ADB1，所以MB1⊥平面ADB1，B1D 平面ADB1，得MB1⊥B1D，由MB1＝1，MD＝＝1，因为AB1＝1，AD＝2，此时△AB1D不存在，故不存在这样的位置，使得AD⊥MB1，故③错误．
答案：②③课时作业11　指数函数
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．已知函数f(x)＝ax+1－(a>0，且a≠1)的图象过定点(m，n)，则mn＝(　　)
A． B．
C． D．
2．如图所示，若03．已知a＝1.50.6，b＝1.50.7，c＝0.70.6，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．c>a>b
C．b>a>c D．b>c>a
4．函数f(x)＝x＋2，x∈[－1，2]的最大值为 (　　)
A．4 B．3
C． D．
5．函数f(x)＝0.3x2－2x的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(0，1) D．(1，2)
6．已知函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．y＝f(x)－ B．y＝f
C．y＝f(x)＋ D．y＝f
7．(2026·石家庄模拟)若函数y＝ax＋b－1(a>0，a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有(　　)
A．00 B．a>1，且b>0
C．00
8．(2026·南昌二模)若函数 f(x)＝2 025|x－a|在区间[2 026，＋∞)上单调递增，则a的取值范围为(　　)
A．[2 026，＋∞) B．(0，2 026]
C．(－∞，2 026) D．(－∞，2 026]
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．(2026·忻州模拟)已知函数f(x)＝x－1，则正确的是(　　)
A．f(x)的值域为(－1，＋∞)
B．f(x＋1)>1的解集为(－2，＋∞)
C．f(x)的图象与g(x)＝2x－1的图象关于y轴对称
D．函数y＝f(x)－f(－x)是偶函数
10．已知函数f(x)＝ax－x(a>0，且a≠1)，则下列结论中正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象过定点(0，1)
B．函数f(x)在其定义域上有零点
C．函数f(x)是奇函数
D．当a＝2时，函数f(x)在其定义域上单调递增
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．函数y＝ax(a>0，且a≠1)，在[2，3]上的最大值比最小值大，则a＝________．
12．已知函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
四、解答题(共28分)
13．(13分)已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象过点(－2，9)．
(1)求a的值；
(2)若f(m)＝2，f(n)＝，求m＋n的值；
(3)求不等式f(x2－5x－6)>1的解集．
14．(15分)已知函数f(x)＝a·2x＋b的图象过点(0，2)，且无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交．
(1)求f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝在平面直角坐标系中画出y＝g(x)的图象，并根据图象写出该函数的单调递增区间．
优生选做题　
15．(5分)已知函数f(x)＝的定义域是A，则函数g(x)＝4x－2x+2(x∈A)的最大值是(　　)
A．－4 B．0
C．32 D．60
16.(5分)已知函数f(x)＝－4x－x＋5，若f(m－12)＋f(m2)>10，则m的取值范围为________.课时作业10　指数式与对数式的运算
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．已知2a＝3，log25＝b，则2a－b的值为(　　)
A．15 B．
C． D．－2
2．(2026·临汾模拟)已知2log2a＝3，log55b＝2，则a－b＝(　　)
A．3 B．1
C．－1 D．－3
3．已知2a＝5，log89＝b，则43b－3·4a＝(　　)
A．6 B．4
C．2 D．1
4．(2026·新乡二模)＝(　　)
A．16 B．8
C．32 D．16
5．已知a>0，b>0且ab＝4，则(　　)
A．log2a·log2b＝2 B．log2a＋log2b＝1
C．2a·2b＝16 D．(2a)b＝16
6．(2026·广安模拟)已知ab≠1，logam＝，logbm＝，则logabm＝(　　)
A．5 B．
C．6 D．
7．在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率(单位：W)可表示为P(z)＝P0e－αz，其中P0为初始光功率，α为常数，z为接收信号处与发射器之间的距离(单位：km)，已知距离发射器3 km处的光功率衰减为初始光功率的一半，若某处光功率衰减为初始光功率的，则此处到发射器的距离为(　　)
A． km B．6 km
C． km D．9 km
8．“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚．近几年相关部门相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的计划，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．新能源汽车主要指电动力汽车，其能量来源于蓄电池．已知蓄电池的容量C(单位：A·h)、放电时间t(单位：h)、放电电流I(单位：A)三者之间满足关系C＝Ilog1.52·t.假设某款电动汽车的蓄电池容量为3 074 A·h，正常行驶时放电电流为15 A，那么该汽车能持续行驶的时间大约为(参考数据：6×10log1.53≈3 074)(　　)
A．60 h B．45 h
C．30 h D．15 h
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．下列各式中一定成立的有(　　)
A． ＝ B．
C． D．
10．(2026·南通模拟)已知＝3，则(　　)
A．a＋＝7 B．a2＋＝47
C. D.＝18
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．已知 2x＝24y＝3，则 ＝________．
12．某科研团队研究某种放射性物质的衰减规律，发现剩余质量M(t)(单位：克)随时间t(单位：天)的变化规律满足M(t)＝，其中M0为初始质量．若初始质量M0满足log2M0＝6，则t＝12时的值为________．
四、解答题(共28分)
13．(13分)(2026·南阳模拟)已知P＝－(－2 024)0，Q＝2log32－log3＋log38.
(1)分别求P和Q；
(2)若2a＝5b＝m，且＝Q，求m.
14．(15分)对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻．
(1)试利用对数运算性质计算的值；
(2)已知x，y，z为正数，若3x＝4y＝6z，求的值；
(3)定义：一个自然数的数位的个数称为位数，例如23的位数是2，2 026的位数是4，试判断22 026的位数．(注：lg 2≈0.301)
优生选做题
15．(5分)(2026·泰安模拟)已知3x＝4y＝6z，则3x，4y，6z的大小关系不可能为(　　)
A．3x＝4y＝6z B．3x<4y<6z
C．3x>4y>6z D．3x<6z<4y
16.(5分)已知a，b，c>0，且a，b，c≠1，则alogbc＋blogca＋clogab－alogcb－blogac－clogba＝________．课时作业30　解三角形应用举例
(分值：83分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50 n mile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘海轮需要航行的距离大约是≈10.44)(　　)
A．62.4 n mile B．85.0 n mile
C．104.4 n mile D．116.0 n mile
2．位于灯塔P的正西方向且相距40海里的M处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔P的东北方向的C处有一艘乙船在甲船的北偏东75°方向上，则乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是(　　)
A．20 海里 B．40 海里
C．40 海里 D．30海里
3．公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一水平面上．某人在点A处测得楼顶的仰角为45°，他在公路上自西向东行走，行走60米到点B处，测得仰角为45°，沿该方向再行走60米到点C处，测得仰角为θ，则sin θ＝(　　)
A． B．3
C．－2 D．－
4．如图A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达．现需测A，B两点间的距离，测量者在河对岸选定两点C，D，测得CD＝200 m，同时在C，D两点分别测得∠ACD＝∠ADC＝60°，∠BDC＝45°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为(　　)
A．100 m B．200 m
C．100 m D．400 m
5．位于P处的雷达接收到在其正东方向相距20海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为(　　)
A．15 B．10
C．10 D．10
6．如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为45°，朝山顶沿坡度为15°的斜坡向上走4 km到点B处，此时测得山顶P的仰角为75°，则山高为(　　)
A． km B． km
C．2 km D． km
7．如图，A，B，C为山脚D，E两侧共线的三点，在山顶P处测得A，B，C处的俯角分别为60°，75°，45°，并测得AD＝500 m，EB＝300 m，BC＝800 m，则隧道DE的长度为(　　)
A．600 m B．700 m
C．800 m D．900 m
8．(2026·鹰潭模拟)镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，是全国重点文物保护单位、国家3A级旅游景区．小胡同学想知道镇国寺塔的高度MN，他在塔的正东方向找到一座高为7.5 m的建筑物AB，在地面上点C处(B，C，N在同一水平面上且三点共线)测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为≈1.73)(　　)
A．37.52 m B．35.48 m
C．33.26 m D．31.52 m
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9．如图所示，为了测量A，B两岛的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则下列结论正确的是(　　)
A．∠CAD＝45°
B．A，D之间的距离为15 海里
C．B，D之间的距离为30 海里
D．A，B两岛间的距离为15 海里
10．某校数学兴趣小组欲对当地一唐代古塔进行测量，如图是该古塔AB的示意图，其中AB与地面垂直，从地面上C点看塔顶A的仰角为β，沿直线BC向外前进a米到点D处，此时看塔顶A的仰角为α，根据以上数据得到塔高为h米，则(　　)
A．AC＝米
B．h＝米
C．AD＝米
D．BD＝a米
11．如图，甲船从A1出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距海里．当甲船航行12分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距5海里，下面结论正确的是(　　)
A.乙船的行驶速度与甲船相同
B．乙船的行驶速度是15海里/时
C．甲、乙两船相遇时，甲船行驶了小时
D．甲、乙两船不可能相遇
三、填空题(每小题5分，共15分)
12．(2026·保定模拟)甲沿一条东西走向的公路由东向西骑行(公路可看成一条线)，当甲骑行到A点时测得某地标建筑物P在其北偏西45°的方向上，再骑行100米到达B点时测得P在其北偏西15°方向上，则此时甲与P的距离BP＝________米．
13．如图所示，在倾斜角等于15°的山坡上有一根旗杆，当太阳的仰角是60°时，旗杆在山坡上的影子的长是20米，则旗杆的高为________米．
14．(2026·黄石模拟)如图，河流的一侧是以O为圆心的扇形区域OCD，河的另一侧有一建筑物AB垂直于水平面，假设扇形OCD与B处于同一水平面上，记OB交于E.若在C，O，E处看A的仰角分别为45°，30°和60°，则∠COB的余弦值为________．
优生选做题
15．(5分)(2026·温州模拟)某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚A处测得坡顶一建筑物CD的顶端C对于山坡的倾斜程度为30°，沿土坡前进50 m到达E处，测得C对于山坡的倾斜度为60°，已知CD＝45 m，BC⊥AB，设土坡对于平面的坡角为θ，则cos θ＝(　　)
A．－1 B．－1
C． D．
16．(5分)(2026·邢台模拟)某斜面上有两根长为3米的垂直于水平面放置的杆子，杆子与斜面的接触点分别为A，B，某时刻它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光，其中一根杆子的影子在水平面上，长度为1.5米，另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为米，斜面的底角为θ，则tan θ＝________．微专题3　两曲线的公切线问题
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共25分)
1．已知函数f(x)＝x ln x，g(x)＝ax2－x.若经过点A(1，0)存在一条直线l与曲线y＝f(x)和y＝g(x)都相切，则a＝(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．3
2．已知函数f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋2，直线l与f(x)和g(x)的图象都相切，则直线l的方程是(　　)
A．y＝－x＋2
B．y＝x＋2
C．y＝x＋1或y＝ex
D．y＝x＋2或y＝x＋2
3．若曲线y＝mex与y＝ln x有且仅有一条斜率为1的公切线，则实数m＝(　　)
A． B．
C． D．
4．已知曲线y＝ln x与曲线y＝a有唯一交点，且在交点处有相同的切线，则a＝(　　)
A．2 B．
C．1 D．
5．已知曲线y＝x2与y＝e2x＋a恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－2，＋∞) B．[－2，＋∞)
C．(－∞，－2] D．(－∞，－2)
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
6．若直线y＝－x＋m是曲线y＝2x2＋3x＋4与y＝－ex＋n曲线的公切线，则(　　)
A．m＝－1 B．m＝2
C．n＝3 D．n＝－3
7．已知函数f(x)＝ex与g(x)＝－x2＋x＋1，则(　　)
A．曲线y＝f(x)与y＝g(x)有且只有一个公共点
B．直线y＝x＋1是曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公切线
C．曲线y＝f(x)与y＝g(x)存在斜率为的公切线
D．f(x)≥g(x)
三、填空题(每小题5分，共15分)
8．(2026·厦门模拟)若曲线y＝tan x在坐标原点处的切线与曲线y＝x3－2x＋m(x>0)相切，则m＝__________．
9．(2026·南宁模拟)若曲线y＝ex－a(a>0)在x＝0处的切线也是曲线y＝ln (x＋b)(b>0)的切线，则a＋b＝__________．
10．(2026·潍坊模拟)若两曲线y＝x2－1与y＝a ln x－1存在公切线，则a的取值范围是________．
四、解答题(共28分)
11．(13分)若函数y＝f(x)和y＝g(x)图象有公共点P，且各自在点P的切线l1和l2重合，则称重合的切线为两函数在点P处的公切线．
若y＝ln x和y＝ax2在点P处存在公切线，求a的值及点P的坐标．
12．(15分)已知函数l：ax－4y＋3＝0是曲线C1：y＝3和C2：y＝kx2的一条公切线．
(1)求实数a，k的值；
(2)过点(0，m)可作曲线f(x)＝x－k－mx2＋的三条不同的切线，求实数m的取值范围．微专题7　平面向量中的最值、范围问题
(分值：73分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．已知向量a＝(1，sin θ)，b＝的最大值是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
2．(2026·大连一模)设单位向量a，b，c，已知a·b＝的最小值为(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．＋1
3．已知O为△ABC的外接圆圆心，OA＝1，∠BAC＝60°，则的最大值为(　　)
A．2 B．
C．1 D．
4．(2026·深圳模拟)已知平面向量a，b，c满足|a|＝4，|b|＝|c|＝2，a·b＝4，则(a＋c)·(b－c)的最大值为(　　)
A．6 B．2＋4
C．2＋2 D．4
5．(2026·开封模拟)已知平面向量a，b满足|a|＝3＝1，并且当λ＝－4时，|a＋λb|取得最小值，则cos 〈a，b〉＝(　　)
A． B．
C． D．
6．已知向量不共线，且＝1，＝2，若 m∈R，都有≥1，则∠ABC的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
7．(2026·十堰模拟)已知e1，e2均为单位向量，若对任意的t∈R恒成立，则〉的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
8．已知＝＝2，＝＝4，且，则λ＋μ的取值范围是(　　)
A．
B．
C．[－4，4]
D．
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9．已知a＝，b＝(cos θ，sin θ)，则下列命题正确的有(　　)
A．若a⊥b，则θ＝
B．a·b的最大值为2
C．存在 θ，使得|a＋b|＝|a|＋|b|
D．|a－b|的最大值为3
10．若平面向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝1，|c|＝3，且a·c＝b·c，则(　　)
A．|a＋b＋c|的最小值为1
B．|a＋b＋c|的最大值为5
C．|a－b＋c|的最小值为2
D．
11．(2026·新乡模拟)在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，E为BC的中点，动点P在以点E为圆心且与AB相切的圆上，点P在该三角形内部(包括边界)，则(　　)
A．的最小值为4－
B．的最大值为4
C．若(m，n∈R)，则m＋n的最小值为1－
D．若(m，n∈R)，则m＋n的最大值为1
三、填空题(每小题5分，共15分)
12．已知e1，e2不共线，a＝e1－3e2，b＝λe1＋e2，若平面内任意向量＝xa＋yb，其中x，y∈R，则实数λ的取值范围是________．
13．(2026·岳阳模拟)在边长为1的正方形ABCD中，，F为线段BE上的动点，G为AF的中点，则的最小值为________.
14．已知非零向量a，b，若a·(a－b)＝－2，且|a＋b|＝6，则|a－b|的取值范围为________．课时作业22　任意角、弧度制及任意角的三角函数
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．在下列表达式中，与角的终边相同的角是(　　)
A．2kπ＋45°，k∈Z B．k·360°＋，k∈Z
C．k·360°－315°，k∈Z D．kπ＋，k∈Z
2．终边在y轴的非负半轴上的角的集合是(　　)
A．
B．
C．
D．
3．已知圆心角为72°的扇形的弧长为，则该扇形的面积为(　　)
A．　 　B． C．　 　D．
4．在平面直角坐标系中，若角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点(，cos )，则sin α＝(　　)
A．　 　B．－ C．－　 　D．
5．已知α是第二象限角，点P为其终边上一点，且cos α＝，则x＝(　　)
A．3　 　B．± C．－　 　D．－
6．(2026·遵义模拟)已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与直线y＝x位于第三象限的图象重合，则sin θ＝(　　)
A．－　　B． C．　　D．－
7．已知sin α<0，cos α<0，则的终边一定不在(　　)
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
8．(2026·保定模拟)在某中学2025年“创意之光”文创设计大赛中，一名学生设计了一把“紫堡文创”扇子．其扇面可以近似的理解为扇形OAD截去同心扇形OBC所得图形，已知OA＝4，OB＝1，∠AOD＝，则该扇面的近似面积为(　　)
A．　 　B． C．5π　 　D．8π
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．已知角θ的终边经过点，则下列选项正确的有(　　)
A．θ可能为锐角
B．sin θ＝
C．cos θ＝－
D．点(tan θ，cos θ)在第二象限
10．若角α的终边在第四象限，则的值可能为(　　)
A．0　　　B．4 C．6　　　D．－4
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围为________．
12．(2026·海口模拟)小明同学在公园散步时，对公园的扇形石雕(如图①)产生了浓厚的兴趣，并画出该扇形石雕的形状(如图②)，在扇形AOB中，∠AOB＝，OA＝10 cm，则扇形AOB的面积为________cm2.
四、解答题(共28分)
13．(13分)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合，且与单位圆相交于点A，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
(1)若点B的横坐标为－，求tan α的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合．
14．(15分)已知，且lg (cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
优生选做题
15．(5分)(2026·河北多校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知锐角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点的纵坐标为.若cos 2θ＝m sin ，则实数m的值为(　　)
A． B．
C．－ D．－
16.(5分)(2025·北京卷)已知α，β∈[0，2π]，且sin (α＋β)＝sin (α－β)，cos (α＋β)≠cos (α－β)，写出满足条件的一组α＝________，β＝________．课时作业29　解三角形中的综合问题
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a2＝b2＋c2，则A的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
2．如图，在平面四边形ACBD中，AB＝2，BD＝，∠ABD＝∠ACD＝，∠CAD＝，则CD的长为(　　)
A．1 B．
C． D．2
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且C∈，则的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，M是BC的中点，BM＝2，AM＝c－b，则△ABC面积的最大值为(　　)
A． B．2
C．3 D．3
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5．(2026·泉州模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A sin ＝，a＋c＝2，则(　　)
A．cos C＋cos A cos B＝sin A cos B
B．b的取值可能为
C．b的取值可能为
D．△ABC面积的最大值为
6．已知∠A＝，M，N分别是∠A两边上的动点，若MN＝2，则△AMN面积的可能取值是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．(2026·呼和浩特模拟)在△ABC中，∠BAC＝120°，BC＝6，则△ABC面积的最大值为________．
8．(2026·蚌埠模拟)在△ABC中，若cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，则sin C的取值范围为________．
四、解答题(共43分)
9．(13分)如图，在平面四边形ABCD中，∠BCD＝90°，∠D＝45°，AD＝2，AC＝5.
(1)求cos ∠ACD；
(2)若BC＝2，求AB.
10．(15分)(2026·长春模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，已知4S＝(a2＋b2－c2)．
(1)求C；
(2)若c＝4，求△ABC面积的最大值．
11．(15分)(2026·重庆模拟)已知△ABC为锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝sin2B－sinA sin C，b＝2.
(1)求角B；
(2)求a＋c的取值范围．
优生选做题
12.(15分)(2026·淮南模拟)已知△ABC的内角A，B，C满足sin 2B＋sin (A＋B－C)＝＋sin (A－B－C)，且△ABC的面积大小为4.
(1)求边BC长的最大值；
(2)当边BC长取到最大值时，求△ABC的周长．课时作业25　简单的三角恒等变换
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．已知α为第四象限角，且cos 2α＝，则sin α＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
2．计算：sin 16°cos 134°＋sin 74°sin 46°＝(　　)
A． B．－
C． D．－
3．(2026·阳江模拟)若tan α＝6，则cos2α＋sin2α＝(　　)
A． B．－
C． D．－
4．已知cos α＋sin α＝，则sin ＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
5．(2026·怀化模拟)已知tan α＋＝7，则sin 2α＝(　　)
A． B．
C． D．
6．已知a＝－1，则下列选项正确的是(　　)
A．a>c>b B．c>a>b
C．a>b>c D．b>a>c
7．(2026·邢台模拟)已知sinα＝，则3＋cos 4α－4cos 2α的值为(　　)
A． B．
C． D．
8．已知α∈，β∈(0，π)，且tan (α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值是(　　)
A．－ B．－
C． D．－或
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．下列等式成立的是(　　)
A．sin26°－cos26°＝cos12°
B．4sin 15°cos 15°＝1
C．sin 6°－cos 6°＝－sin 39°
D．＝1
10．已知5cos αcos β＝2，5cos (α－β)＝4，则(　　)
A．sin αsin β＝
B．cos (α＋β)＝0
C．tan αtan β＝1
D．tan (α－β)＝tan α－tan β
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．已知α为第一象限角，sin α＝，则tan ＝________.
12．(2026·邵阳模拟)已知α∈，cos2α＝cos ，则tan α＝________．
四、解答题(共28分)
13．(13分)(2026·衡水模拟)已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x.
(1)求函数f(x)在
(2)若f(α)＝
．(15分)(2026·绵阳模拟)已知α∈
(1)求cos α；
(2)若β∈
优生选做题
15．(5分)已知α，β为锐角，且sin α＝，则tan β的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
16.(5分)(2026·无锡模拟)若则＝________．课时作业8　函数的奇偶性、周期性
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．下列函数中是奇函数的为(　　)
A．y＝sin x·ex B．y＝x3－x2
C．y＝cos 2x D．y＝log2
2．若函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且当x∈[－2，0]时，f(x)＝3－x＋1，则f(2 026)＝(　　)
A． B．10
C．4 D．2
3．(2026·长春二模)已知函数f(x)＝(x＋a－2)·(x2＋a－1)为奇函数，则a的值是(　　)
A．3 B．1或3
C．2 D．1或2
4．(2026·衡阳模拟)若f(x)为定义在R上的奇函数，且f(－a)＋3f(a)＋4≥0，则(　　)
A．f(a)的最小值为－4
B．f(a)的最小值为－2
C．f(a)的最大值为－4
D．f(a)的最大值为2
5．设函数y＝f(x)－x2是奇函数．若函数g(x)＝f(x)＋5，f(4)＝9，则g(－4)＝(　　)
A．28 B．33
C．38 D．43
6．已知奇函数f(x)在R上单调递减，若f(2m)＋f(m＋2)A． B．(－∞，1)
C．(－1，＋∞) D．
7．设f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数，当2≤x≤3时，f(x)＝x2－5x＋6，则f＝(　　)
A． B．－
C．2 D．－2
8．(2026·湛江模拟)已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且f(－2)＝1，则下列说法正确的有(　　)
A．f(0)＝0
B．f(2)＝－1
C．f(x)的图象关于y轴对称
D．f(x)·f(－x)为偶函数
10．(2026·亳州模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝x2＋x＋a，则下列说法正确的是(　　)
A．a＝0
B．当x>0时，f(x)＝－x2－x
C．函数f(x)的单调递减区间为和
D．不等式f(x)<0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．已知a，b为实数，且函数y＝x2＋ax＋1，x∈[4b，b2]是偶函数，则a－b＝________．
12．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f＝f
，则f(2 026)的值为________．
四、解答题(共28分)
13．(13分)设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的函数，且对一切x∈R均有f(x)＋f(x＋2)＝0，当－1(1)求当1(2)求当914．(15分)(2026·三明模拟)已知函数f(x)＝m＋.
(1)若函数f(x)为奇函数，求实数m的值．
(2)当m＝1时，求f(－4)＋f(－3)＋f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)的值.
优生选做题
15．(5分)(2026·南通模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f是奇函数，当1≤x≤2时，f(x)＝3－2x，则f＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
16.(5分)(2026·保定模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)<0，则不等式f(5－x2)＋f(3x－x2)<0的解集为________．课时作业39　基本立体图形及表面积与体积
(分值：83分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．(2026·保山模拟)已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为(　　)
A． B．1 C．2 D．4
2．一个正四棱锥的高是2，底面边长也为2，则该正四棱锥的侧面积是(　　)
A．4 B．8 C．4 D．8
3．如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图为△A′B′C′，若A′B′＝A′C′＝2，B′C′＝2，则BC＝(　　)
A．2 B．4 C．4 D．2
4．(2026·长沙模拟)如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为 2 的圆，使之恰好围成一个圆锥， 则圆锥的高为(　　)
A． B． C．4 D．2
5．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥A1-BCD和三棱锥A1-ABC公共部分的体积为(　　)
A． B． C． D．1
6．小明同学的早餐是一个馒头和一块火腿肠，馒头可以看作一个底面直径为8 cm的半球，火腿肠可以看作是由一平面将一圆柱截去一部分所得，其数据如图所示，则该馒头和火腿肠的体积分别为(　　)
A. cm3，63π cm3 B． cm3，63π cm3
C． cm3，36π cm3 D． cm3，36π cm3
7．(2026·大连一模)空间中有一正方体ABCD-A1B1C1D1, 将点A，B1，C，D1依次连接， 得到体积为 的三棱锥，则正方体的体积为(　　)
A．12 B．24 C．6 D．3
8．(2026·邢台模拟)我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突．器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密．碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱．该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作一个圆台，则该圆台的体积约为(单位：立方厘米)(　　)
A．31π B．32π C．33π D．34π
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9．(2026·常德模拟)下列说法中不正确的是(　　)
A．以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
10．(2026·上饶模拟)一个三棱锥和一个正三棱柱的所有棱长与一个表面积为S的正方体的棱长相等，则下列结论正确的是(　　)
A．三棱锥的表面积为S
B．三棱柱的表面积为
C．三棱锥、三棱柱、正方体的高之比为∶1∶1
D．三棱锥、三棱柱、正方体的体积之比为∶∶1
11．如图，圆锥PO的底面半径为3，高为3，过PO靠近P的三等分点O′作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是(　　)
A．圆锥母线与底面所成的角为
B．圆锥PO的侧面积为27π
C．挖去圆柱的体积为2π
D．剩下几何体的表面积为π
三、填空题(每小题5分，共15分)
12．(2026·驻马店模拟)已知某圆柱与某圆锥的母线长均为6，且圆柱的底面半径是圆锥底面半径的2倍，若圆柱的体积为96π，则圆锥的体积为________．
13．(2026·济南模拟)已知圆柱的底面直径与球的半径均为2，且圆柱的侧面积与球的表面积相等，则圆柱的母线长为________．
14．(2026·邢台模拟)已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为________．
　优生选做题　
15．(5分)如图是一块长、宽、高分别为6 cm、4 cm、3 cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是(　　)
A． cm B． cm
C． cm D． cm
16.(5分) (2026·潍坊模拟)在如图所示的五面体中，AD，BE，CF均与平面ABC垂直，CF＝3，AD＝1，记该五面体的体积为V，△ABC的面积为S，若V＝，则BE＝________．
课时作业39　基本立体图形及表面积与体积
1．解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，根据题意可知解得r＝1，所以圆锥的底面直径为2r＝2.故选C.
答案：C
2．解析：由正四棱锥顶点在底面的投影是底面正方形的中心，
所以根据题意，可知OP＝2，AB＝BC＝CD＝AD＝2，在Rt△POE中，有PE＝，所以△PBC的面积为，即正四棱锥的侧面积是4.故选C.
答案：C
3．解析：因为A′B′＝A′C′＝2，B′C′＝2，所以A′C′⊥A′B′.因为∠C′O′A′＝45°，所以O′C′＝2，O′A′＝2，所以O′B′＝4.还原直观图得到△ABC，如图所示．
因为OB＝4，OC＝4，所以BC＝ .故选B.
答案：B
4．解析：由题意知，圆锥的底面圆的半径为r＝1，设扇形半径为R，因为扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，可得R＝2πr，即＝2π，解得R＝4，所以圆锥的母线长为R＝4，所以圆锥的高为h＝.故选B.
答案：B
5．
解析：记AC与BD相交于点O，则三棱锥A1-BCD和三棱锥A1-ABC公共部分为三棱锥A1-BCO，所以VA1-BCO＝S△BCO·AA1＝.故选C.
答案：C
6．解析：馒头的体积为×π×3＝(cm3)，火腿肠的体积为4×π×32＋(10－4)×π×32×.故选B.
答案：B
7．解析：由题意可得，
三棱锥的体积等于正方体的体积减去四个体积相等的三棱锥的体积，即，设正方体的边长为a，则有＝a3－4＝a3 a＝，所以正方体的体积为3.故选D.
答案：D
8．解析：设该圆台的上底面、下底面的半径分别为R，r，由题意R＝4.2，r＝1.4.则该圆台的体积为π×4×(4.22＋1.42＋4.2×1.4)＝π≈34π(立方厘米)．故选D.
答案：D
9．解析：对于A，以直角梯形的直角腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台，否则不是，A错误；
对于B，如图所示的几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱，B错误；对于C，底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面中心的棱锥才是正棱锥，C错误；对于D，棱台可以看作是用平行于棱锥的底面的平面截棱锥所得，因此它的各侧棱延长后必交于一点，D正确．故选ABC.
答案：ABC
10．解析：对于A，设正方体的棱长为a，则S＝6a2，解得a＝ ，则三棱锥的表面积为4×a2sin 60°＝S，故A正确；对于B，三棱柱的表面积为2×a2sin 60°＋3a2＝，故B错误；
对于C，易知该三棱锥为正四面体，如图，高h＝AO＝＝ a，则三棱锥、三棱柱、正方体的高之比为a∶a∶a＝∶1∶1，故C正确；对于D，V三棱锥＝a2sin 60°h＝a3，V三棱柱＝a2sin 60°a＝a3，V正方体＝a3，所以三棱锥、三棱柱、正方体的体积之比为a3∶a3∶a3＝∶∶1，故D正确．故选ACD.
答案：ACD
11．解析：因为圆锥PO的底面半径为3，高为3，所以母线长PA＝6，则cos ∠PAO＝，即圆锥母线与底面所成的角为，故A正确；
圆锥PO的侧面积S侧＝πrl＝π×3×6＝18π，故B错误；因为O′为PO的三等分点，所以O′M＝，则圆柱的体积为2π，故C正确；圆柱的侧面积S′＝2π×1×2剩下几何体的表面积S＝18π＋4π＋π×32＝27π＋故D正确．故选ACD.
答案：ACD
12．解析：设圆锥的底面半径为r，则圆柱的底面半径为2r.因为圆柱的母线长为6，故圆柱的高为6.而圆柱的体积为96π，因此96π＝6π(2r)2，解得r＝2.故圆锥的高h＝，可知其体积V＝πr2h＝.
答案：
13．解析：设圆柱的母线长为l，则圆柱的侧面积为2πrl＝2πl，易知球的表面积为4π×22＝16π，所以2πl＝16π，解得l＝8.
答案：8
14．解析：如图所示，
ABCD-A1B1C1D1为正四棱台，连接AC，A1C1，由AB＝2，A1B1＝4，得AC＝2，过A作AG⊥A1C1，垂足为G；过C作CH⊥A1C1，垂足为H，则AC＝GH＝2，又AA1＝，在Rt△AA1G中，AG＝＝3，所以正四棱台的高h＝3，正四棱台上下底面积分别为4和16，体积V＝×3×＝28.
答案：28
15．解析：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是9和4，则所走的最短线段是；
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是7和6，
所以走的最短线段是；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是10和3，所以走的最短线段是.三种情况比较而言，第二种情况最短．故选A.
答案：A
16．解析：如图，
将该五面体分割成3个四面体，因为CF与平面ABC垂直，CF＝3，所以四面体ABCF的体积为VABCF＝×3×S＝S，因为AD＝CF，所以S△ADF＝S△ACF，从而VABDF＝，所以VBDEF＝V－VABCF－VABDF＝VABDF，所以BE＝.
答案：课时作业23　同角三角函数的基本关系式及诱导公式
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．sin 2 100°的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
2．已知α为第四象限角，cos α＝，则tan α＝(　　)
A． B．－
C． D．－
3．已知tan α＝3，0<α<，则sin α＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
4．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形的形状是(　　)
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．不等腰的直角三角形
D．等腰直角三角形
5．若sin ＝，则cos (π＋α)＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
6．(2026·昆明模拟)已知sin θ＝－2cos θ，则＝(　　)
A．－6 B．－
C．8 D．－8
7．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为(　　)
A．8 B．－8
C．4 D．－4
8．(2026·九龙坡模拟)已知cos ＝，0<α<π，则sin ＝(　　)
A． B．－
C． D．－
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．已知角A为△ABC的内角，若sin A－3cos A＝－1，则下列说法正确的是(　　)
A．sin A＋cos A＝ B．2sin A－cos A＝
C．tan A＝ D．sin A cos A＝
10．已知＜α＜，则(　　)
A．tan α＝2
B．sin α－cos α＝－
C．sin4α－cos4α＝
D．
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．已知α∈，若cos(π＋α)＝－，则sin α＝________．
12．(2026·保定模拟)已知sin ＝－，则cos ＝________．
四、解答题(共28分)
13．(13分)已知cos α＝－，且α为第二象限角，tan β＝，求的值.
14．(15分)(2026·徐州模拟)已知方程sin (α－3π)＝2cos (α－4π)．
(1)求的值；
(2)求sin2α＋2sinαcos α－cos2α＋2的值．
　优生选做题　
15．(5分)若A是△ABC的内角，且sinA－cos A＝，则的值可以为(　　)
A． B．－
C．－ D．
16.(5分)已知sin x＋cos y＝，则sin x－sin2y的最大值为________．微专题4　导数中的构造问题
(分值：73分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．若a＝，则下列不等式正确的是(　　)
A．c>b>a B．a>b>c
C．b>a>c D．b>c>a
2．设函数f(x)，g(x)在[a，b]上的导函数分别为f′(x)，g′(x)，且f′(x)>g′(x)，f(a)＝g(a)，则当x∈(a，b)时，下列各式一定成立的是(　　)
A．f(x)＋g(x)>0 B．f(x)C．f(x)>g(x) D．f(x)＋g(x)<0
3．已知函数f(x)的定义域为R，f＝－，对任意的x∈R满足f′(x)>4x，当α∈[0，2π]时，不等式f(cos α)－cos 2α>0的解集为(　　)
A．∪ B．
C． D．
4．(2026·泉州模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(2)＝1，对任意的x∈R，f(x)＋xf′(x)<0，则不等式(x＋1)f(x＋1)>2的解集是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，2)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
5．已知f′(x)是函数f(x)的导数，f′(x)＋f(x)<0，f(2)＝，则不等式f(ln x)>的解集是(　　)
A．(0，2) B．(0，e2)
C．(2，＋∞) D．(e2，＋∞)
6．(2026·邯郸模拟)已知函数f′(x)是定义域为R的奇函数f(x)的导函数，当x<0时，xf′(x)－f(x)>0，且f(2)＝4，则不等式f(x)≤2x的解集为(　　)
A．[－2，2]
B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2，0]∪[2，＋∞)
D．[－2，0)∪[2，＋∞)
7．若实数a，b满足a>0，b>0，则“a>b”是“ea－eb>a－b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．(2026·泰安模拟)已知函数y＝f(x)是奇函数，对于任意的x∈满足f′(x)sin x－f(x)cos x>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是(　　)
A．fB．fC．f>－f
D．f<－f
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，满足f′(x)＋2f(x)>0，e为自然对数的底数，则(　　)
A．f(1)>e2f(2)
B．e2f(－1)>f(－2)
C．f(2)D．e4f(－1)>f(－3)
10．已知x1，x2∈(0，＋∞)，有，则(　　)
A．x1－ln x2<0
B．x2－ln x1<0
－x2<0
－ln x1<0
11．(2026·新余模拟)已知定义在[a，b]上恒正且可导的函数f(x)与g(x)满足f(a)＞g(a)，＞，则(　　)
A．f(b)g(a)＞f(a)g(b)
B．f(b)g(a)＜f(a)g(b)
C．f(x)＞g(x)恒成立
D．f(x)与g(x)的大小关系无法确定
三、填空题(每小题5分，共15分)
12．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R，恒有f′(x)>f(x)，a＝ef(－1)，b＝f(0)，c＝，则a，b，c的大小关系是________(用“<”连接)．
13．(2026·保定模拟)定义在上的函数f(x)满足f＝且f′(x)cos x＋f(x)sin x>0，则满足f(x)>2cos x的x的取值范围为________.
14．(2026·常德模拟)已知实数x，y满足ex ln y＝xey(x>e，y>e)，则y________x．(在“>”“≥”“＝”“<”“≤”中选一个填在横线处)微专题6　解三角形中的“三线”问题
(分值：60分)
1．(15分)(2026·苏州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin A＋cos A＝2sin B，且a2＋c2－b2＝ac.
(1)求A；
(2)若△ABC的周长为3＋，求AB边上的高．
2．(15分)(2026·河北部分示范性高中联考)已知在△ABC中，∠BAC＝120°，BC－AC＝2，AB边上的高为3.
(1)求AC的长；
(2)点E在BC上，AE平分∠BAC，求AE的值．
3．(15分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝10，c＝6，且b＝a cos C－.
(1)求角A；
(2)若D是BC中点，求AD的长度．
4．(15分)(2026·西安模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且sin C＋cos C＝.
(1)求B；
(2)若a＋c＝2，求边AC上的角平分线BD长；
(3)若△ABC为锐角三角形，求边AC上的中线BE的取值范围．课时作业63　随机事件与概率
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．将颜色分别为红、白、蓝的3个小球随机分给甲、乙、丙3个人，每人1个，则与事件“甲分得红球”互为对立事件的是(　　)
A．乙分得红球 B．丙分得红球
C．甲分得白球或蓝球 D．乙分得白球或蓝球
2．某人从湖里打了一网鱼，共60条，做上记号再放入湖中，数日后又打了一网共100条，其中做记号的15条，根据频率的稳定性，估计湖中有鱼(　　)条．
A．150 B．300 C．400 D．600
3．打靶3次，记事件Ai表示“共击中i发”，其中i＝0，1，2，3，那么A0∪A1表示(　　)
A．“全部击中” B．“至少击中1次”
C．“至多击中1次” D．“至少击中2次”
4．某人欲寄出三封信，现有两个邮筒供选择，则三封信都投到同一个邮筒的概率是(　　)
A． B． C． D．
5．(2026·焦作模拟)从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机一次性抽取2张，则抽到的2张卡片编号之和为奇数的概率为(　　)
A． B． C． D．
6．某比赛为两运动员制定下列发球规则：
规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球；
规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；
规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球．
上述规则对甲、乙公平的有(　　)
A．规则一，规则二 B．规则一，规则三
C．规则二，规则三 D．规则一，规则二，规则三
7．袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.59，摸出的球是红球或黑球的概率为0.74，则摸出的球是红球的概率为(　　)
A．0.47 B．0.43 C．0.33 D．0.26
8．现有大小和质地相同的6个球，其中有3个红球(标号分别为1、2、3)，3个绿球(标号分别为1、2、3)，按一定方式抽取两球，标号之和大于4即为取球成功．现有三种抽取方式：方式①有放回依次抽取两球；方式②不放回依次抽取两球；方式③按颜色等比例分层抽取两球．记这三种方式取球成功的概率分别为p1，p2，p3.则(　　)
A．p1>p2>p3 B．p3>p2>p1
C．p3>p1＝p2 D．p1＝p2＝p3
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．从装有2双一次性筷子和2双正常筷子的口袋中任取2双，那么互斥而不对立的两个事件是(　　)
A．恰有1双一次性筷子与恰有2双一次性筷子
B．至少有1双正常筷子与都是一次性筷子
C．恰有2双一次性筷子与恰有2双正常筷子
D．至少有1双一次性筷子与至少有1双正常筷子
10．下列叙述正确的是(　　)
A．A与B为对立事件是A与B为互斥事件的充分不必要条件
B．不透明的袋子中有3个大小质地完全相同的球，其中2个红球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率为
C．不透明的袋子中有3个大小质地完全相同的球，其中2个红球，1个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率为
D．从集合A＝{1，2，3}中任取一个数记为a，从集合B＝{4，5，6}中任取一个数记为b，则a＋b>7 的概率为
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．甲乙丙三位同学之间相互踢毽子．假设他们相互间传递毽子是等可能的，并且由甲开始传，则经过3次传递后，毽子传到丙处的概率为________.
12．有2人在一座6层大楼的底层进入电梯，他们每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则他们在不同楼层离开电梯的概率是________．
四、解答题(共28分)
13．(13分)某班级有5名学生，其中男生3人，女生2人．现随机抽取2人参加活动．
(1)求抽到的2人中恰有1名男生的概率；
(2)求抽到的2人中至少有1名女生的概率；
(3)求抽到的2人中男生人数不少于女生的概率．
14．(15分)某环保组织进行了关于生态文明建设的知识竞赛，随机调查了100名参与者，统计了这100人答对的题数，将统计数据分为[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100)，[100，120]六个小组，得到的频率分布直方图如图所示，已知答对题数在[20，40)内的人数是答对题数在[0，20)内的人数的5倍．
(1)求频率分布直方图中a，b的值，并估计这100人答对题数的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)设成绩在前25%的答题者被认定为“环保知识小达人”，按是否为“环保知识小达人”用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中抽取2人，求这2人中至少有1人为“环保知识小达人”的概率．
优生选做题
15．(5分)已知甲乙丙3名同学从学校的2个科技类社团，2个艺术类社团，1个体育类社团中选择报名参加，每人只能报名参加一个社团，则有人报名参加体育类社团且仅有一人报名科技类社团的概率为(　　)
A． B．
C． D．
16.(5分)(2026·潍坊模拟)已知一个正整数n，若能找到正整数a、b，使得n＝a＋b＋ab，则称n为一个“好数”．现在从1到20这20个正整数中任取一个数，取到“好数”的概率为________．课时作业60　成对数据的统计分析
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共35分)
1．(2026·鞍山一模)下列选项中，相关系数最小的是(　　)
2．已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是(　　)
A．气候温度高，海水表层温度就高
B．气候温度高，海水表层温度就低
C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势
D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势
3．(2026·宿迁模拟)变量y关于变量x的经验回归方程为y＝2x＋5.若x＝1时，y的实际观测值为8，则此时的残差为(　　)
A．－2　　　B．－1　　　C．1　　　D．2
4．(2026·恩施模拟)根据分类变量x与y的观测数据，计算得到χ2≈0.837，依据小概率值α＝0.1(x0.1＝2.706)的独立性检验，则(　　)
A．变量x与y不独立
B．变量x与y独立
C．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1
D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1
5．(2026·成都模拟)某市环保部门研究近十年空气质量数据，得到以下结论：
结论一：PM2.5浓度与机动车保有量的样本相关系数r1＝0.92；
结论二：绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率的样本相关系数r2＝－0.12；
结论三：工业能耗与近地面臭氧浓度的样本相关系数r3＝0.75.
下列说法正确的是(　　)
A．由结论一可知，机动车保有量增加是PM2.5浓度升高的直接原因
B．由结论二可知，绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率无关联
C．结论三表明工业能耗与近地面臭氧浓度呈正相关，且线性相关性比结论一更强
D．结论一中|r1|接近1，说明PM2.5浓度与机动车保有量存在极强的线性相关关系
6．某公司研发新产品投入金额x(单位：万元)与该产品的收益(单位：万元)的5组统计数据如下表所示．由表中数据用最小二乘法求得投入金额x与收益y满足经验回归方程y＝2.5x＋a，则下列结论不正确的是(　　)
x 5 7 8 9 11
y 16 22 24 27 31
A.a＝4
B．x＝11时，残差为0.5
C．x与y有正相关关系
D．当新产品投入金额为5万元时，该产品的收益大约为16.5万元
7．(2026·白城模拟)针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有(　　)
A．12人　　B．11人　　C．10人　　D．18人
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
8．(2026·长沙模拟)下列说法中，正确的是(　　)
A．回归直线y＝bx＋a可以不经过样本中心
B．可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大两个变量的相关程度越强
C．残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712，根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验(x0.05＝3.841)，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05
9．随着科技的进步和人民生活水平的提高，电脑已经走进了千家万户，成为人们生活、学习、娱乐的常见物品，便携式电脑(俗称“笔记本”)也非常流行．某公司为了研究“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度是否与性别有关，随机抽取了50人调查研究，调查数据如下表所示．
由上述数据给出下列结论，其中正确的是(　　)
A．没有充分证据证明“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度与性别有关
B．有90%的把握认为“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度与性别有关
C．没有95%的把握认为“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度与性别有关
D．没有99%的把握认为“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度与性别有关
三、填空题(每小题5分，共10分)
10．近几年，我国新能源汽车产业进入了加速发展的阶段，呈现市场规模、发展质量“双提升”的良好局面．新能源汽车的核心部件是动力电池，其中的主要成分是碳酸锂．下表是某地2023年3月1日至2023年3月5日电池级碳酸锂的价格与日期的统计数据：
日期代码x 1 2 3 4 5
电池级碳酸锂价格y(十万元/吨) 4.1 3.9 3.8 m 3.9
根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为y＝－0.05x＋a，根据数据计算出在样本点(3，3.8)处的残差为－0.1，则a－m的值为________.
11．某社区居民计划暑假去海南或厦门旅游，经统计得到如下列联表：
去海南旅游 去厦门旅游 合计
老年人 2m 3m 5m
中年人 3m 2m 5m
合计 5m 5m 10m
若依据小概率值α＝0.01的独立性检验认为去海南还是厦门旅游与年龄有关，则正整数m的最小值为________．
四、解答题(共28分)
12．(13分)(2026·秦皇岛模拟)为了检测AI智能与手工制作同一种产品质量的差异性，现要求用这两种方式分别制作100件产品，产品质量情况统计如下表：
优良品 合格品 合计
AI智能 80 20 100
手工 60 40 100
合计 140 60 200
(1)记AI智能、手工制作的产品中优良品的概率分别为p1，p2，求p1，p2的估计值；
(2)根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为AI智能与手工制作的产品质量有差异？
13．(15分)(2026·杭州模拟)新型抗生素是近年来针对耐药菌感染研发的抗菌药物．通过创新机制或结构改良，对抗传统抗生素难以治疗的超级细菌．实验人员用感染肺炎的小白鼠对一种新型抗生素进行实验，并对使用该种抗生素后，小白鼠血液中的肺炎链球菌值y(单位：个/μl)进行检验，并统计得到了下表：
第x天 1 2 3 4 5
肺炎链球菌值y(个/μl) 66 57 50 41 36
并计算得＝582，＝－76.
(1)计算变量x和变量y的样本相关系数r，并说明两变量线性的相关程度(结果保留两位小数)；
(2)若小白鼠血液中的肺炎链球菌值在区间(0，18)内，则说明肺炎已治愈，用最小二乘法求y关于x的经验回归方程y＝bx＋a，并预测该小白鼠至少需要服药多少天才能痊愈．
参考数据： ≈3.2, ≈24.1.
优生选做题
14.(15分)(2026·烟台模拟)近年来，新能源汽车因其动力充沛、提速快、用车成本低等特点得到民众的追捧．某机构为研究汽油价格x(单位：元/升)与新能源汽车的月销售量y(单位：万辆)之间的关系，收集整理得到如下数据：
x 6 6.5 7 7.5 8
y 1.5 2 3 4.5 6.8
(1)若用模型y＝b ln x＋a模拟x与y之间关系，求出经验回归方程；
(2)根据建立的经验回归方程，预测当汽油价格上涨至9元/升时，新能源汽车的销量．
参考数据和公式：ln 3≈1.1，＝6.55，2＝2.5.
令ln xi＝ui，＝9.7，＝0.93，2＝0.05.
对于一组数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，n)，其经验回归方程＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为，＝－b.课时作业48　两直线的位置关系
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．若直线l1经过两点A(4，2y＋1)，B(2，－3)，直线l2的倾斜角为，且l1∥l2, 则y＝(　　)
A．－1 B．－3
C．0 D．2
2．以A(－1，1)，B(2，－1)，C(3，7)为顶点的三角形是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
3．直线2x－4y－1＝0与直线x＋2y－1＝0一定(　　)
A．平行 B．垂直
C．重合 D．相交但不垂直
4．(2026·南通模拟)若直线l1：x＋λy＋8＝0与直线l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行，则λ＝(　　)
A．－1 B．－1或3
C． D．3
5．(2026·绵阳模拟)已知直线l1：2x－y＋1＝0与l2：x＋ky－3＝0垂直，则实数k的值为(　　)
A．2 B．－2
C． D．－
6．与直线x－2y＋4＝0关于y轴对称的直线的方程为(　　)
A．x＋2y－4＝0 B．x＋2y＋4＝0
C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0
7．已知直线l1：2x－y＋1＝0与l2：4x－2y－3＝0，则l1与l2之间的距离为(　　)
A．1 B．
C．2 D．
8．已知点A(0，1)，点B在直线x＋y－3＝0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为(　　)
A．(1，2) B．(2，1)
C．(－1，4) D．
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．若点P(2a，a2)到直线3x－4y＋1＝0的距离为，则(　　)
A．a∈Q
B．a的最大值为2
C．a的最小值为－
D．a只有3个不同的取值
10．已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正确的是(　　)
A．不论a为何值时，l1与l2都互相垂直
B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0，1)和B(－1，0)
C．不论a为何值时，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称
D．如果l1与l2交于点M，则
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．点(1，2)关于直线x＋y＋m＝0对称的点在x轴上，则m＝______．
12．若l1与l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝______．
四、解答题(共28分)
13．(13分)在△ABC中，A(2，3)，直线AB的斜率为2，直线BC的方程为x＋7y＋7＝0.
(1)求直线AB的方程；
(2)若AC＝BC，①求△ABC的高CD所在直线的方程；②求顶点C的坐标．
14．(15分)已知过点(2，3)的直线l被两平行直线l1：2x－5y＋9＝0与l2：2x－5y－7＝0所截线段AB的中点恰在直线x－4y－1＝0上．
(1)求直线l的方程；
(2)若直线l3与直线l平行，且与坐标轴围成的三角形的面积为10，求直线l3的方程．
优生选做题
15．(5分)已知三条直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10与2x－y＝10不能围成三角形，则a＝(　　)
A．－1 B．
C．－4 D．－1或或－4
16.(5分)已知点M(2，0)，N(－2，－4)，有一点P在直线l：x＝2y－8上运动，当|PM|＋|PN|取得最小值时，则点P的坐标为________．课时作业5　一元二次不等式
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．(2026·秦皇岛二模)已知集合A＝{x|x2－x－6<0}，B＝{x||x|>1}，则A∩B＝(　　)
A．{x|－2B．{x|－1C．{x|－2D．{x|－32．已知关于x的不等式x2－(a－1)x＋a－2≤0的解集为{x|1≤x≤3}，则a＝(　　)
A．4　　　B．5 C．6　　　D．7
3．(2026·沙坪坝模拟)不等式 >0的解集是(　　)
A．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．(－2，0)
D．(－2，0)∪(2，＋∞)
4．不等式x2－|x|－2<0的解集是(　　)
A．{x|－22}
C．{x|－11}
5．如图所示，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(　　)
A.(－2，1)
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．[－2，1]
D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
6．已知不等式：①x2－4x＋3<0，②x2＋x－6<0，③2x2－5x＋m<0，若要同时满足不等式①②的x也满足不等式③，则有(　　)
A．m>2 B．m＝2
C．m≤2 D．07．(2026·驻马店模拟)不等式≤1的解集为(　　)
A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
B．(－2，2)
C．(－∞，－2)∪[2，＋∞)
D．[－2，2]
8．(2026·徐州模拟)已知不等式ax2＋bx－3>0的解集为{x则不等式≥0的解集为(　　)
A．{x|－1C．{x|－1≤x≤2} D．{x|x>1，或x<－2}
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．下列说法错误的是(　　)
A．ax2>0(a>0)的解集为R
B．不等式x2＋x＋1<0的解集为
C．如果ax2＋bx＋c＝0中a<0，Δ＝0，则ax2＋bx＋c≥0的解集是
D．x2＋3x－4>0的解集和不等式组的解集相同
10．(2026·信阳模拟)已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－1，或x≥2}，则(　　)
A．a<0 B．c>0
C．a＋b＋c<0 D．3a＋b＋c＝0
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．ax＋b<0 的解集为(－∞，－1)，则(ax－b)(x＋2)<0 的解集为________．
12．如图，在长为8 m，宽为6 m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为________m.
四、解答题(共28分)
13．(13分)集合A＝，集合B＝{x||x－a|≤2，x∈R}．
(1)求集合A；
(2)若B∩( RΑ)＝B，求实数a的取值范围．
14．(15分)解关于x的不等式ax2＋5x－2>ax－x＋4.
优生选做题
15．(5分)已知集合M＝{x|x2－2mx－3m2≤0}，N＝{x|x2＋mx－2m2≤0}，定义b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的长度，若集合M∩N的长度为2，则M∪N的长度为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．10
16．(5分)若关于x的不等式x2－(m＋1)x＋m<0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围是________．
课时作业5　一元二次不等式
1．解析：依题意，A＝{x|(x＋2)(x－3)<0}＝{x|－21}，所以A∩B＝{x|－2答案：C
2．解析：由题知一元二次方程x2－(a－1)x＋a－2＝0的两个实数根分别为1和3，则由韦达定理得1×3＝a－2，解得a＝5.故选B.
答案：B
3．解析：原不等式等价于或故x>2或－2答案：D
4．解析：原不等式即|x|2－|x|－2<0，解得－1<|x|<2，所以0≤|x|<2，所以解集为{x|－2答案：A
5．解析：因为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是开口向下的抛物线，方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是－2和1，所以不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－2，1)．故选A.
答案：A
6．解析：不等式①x2－4x＋3<0等价于(x－1)(x－3)<0，解得1答案：C
7．解析：不等式≤1可化为≥0，等价于解得x≥2或x<－2，所以原不等式的解集为(－∞，－2)∪[2，＋∞)．故选C.
答案：C
8．解析：由题意知－3，1为方程ax2＋bx－3＝0的两根，所以解得则不等式≥0可化为解得－1答案：A
9．解析：对于A，ax2>0(a>0)的解集为{x|x≠0}，故A错误；对于B，∵Δ＝1－4＝－3<0，∴x2＋x＋1<0的解集为 ，故B正确；对于C，若a<0，Δ＝0，则ax2＋bx＋c≥0的解集为，故C错误；对于D，x2＋3x－4>0的解集为(－∞，－4)∪(1，＋∞)；不等式组的解集为(1，＋∞)，故D错误．故选ACD.
答案：ACD
10．解析：关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－1，或x≥2}，所以－1，2是方程ax2＋bx＋c＝0的根，且a<0，故A正确；所以所以则c>0，故B正确；所以a＋b＋c＝a－a－2a＝－2a>0，故C错误；3a＋b＋c＝3a－a－2a＝0，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
11．解析：由题干知，不等式 ax＋b<0 的解集为(－∞，－1)，可得代入一元二次不等式得(ax－a)(x＋2)<0 a(x－1)·(x＋2)<0，由于a>0，所以(x－1)(x＋2)<0，即 －2答案：(－2，1)
12．解析：设花卉带的宽度为x米，则即所以故1≤x<3，所以花卉带的宽度至少应为1米．
答案：1
13．解析：(1)由≤1可得≤0 ≤0
解得－1故A＝{x|－1(2)由A＝{x|－12}，
由|x－a|≤2可得－2≤x－a≤2，故B＝{x|－2＋a≤x≤2＋a}，
B∩( RA)＝B，故B ( RA)，
a＋2≤－1或a－2>2，
故a≤－3或a>4.
14．解析：答案：不等式ax2＋5x－2>ax－x＋4等价于ax2＋(6－a)x－6>0，
整理得(ax＋6)(x－1)>0.
当a>0时，不等式的解集为∪(1，＋∞)；
当a＝0时，不等式的解集为(1，＋∞)；
当－61，故不等式的解集为；
当a＝－6时，－＝1，不等式的解集为 ；
当a<－6时，－<1，故不等式的解集为.
综上，当a>0时，不等式的解集为∪(1，＋∞)；
当a＝0时，不等式的解集为(1，＋∞)；
当－6当a＝－6时，不等式的解集为 ；
当a<－6时，不等式的解集为.
15．解析：由x2－2mx－3m2≤0 (x－3m)(x＋m)≤0；由x2＋mx－2m2≤0 (x＋2m)(x－m)≤0.所以当m<0时，M＝[3m，－m]，N＝[m，－2m]，所以M∩N＝[m，－m].因为集合M∩N的长度为2，所以－m－m＝2 m＝－1.此时M＝[－3，1]，N＝[－1，2]，所以M∪N＝[－3，2]，所以M∪N的长度为2－(－3)＝5.当m＝0时，M＝{0}，N＝{0}，所以M∩N＝{0}，这与集合M∩N的长度为2矛盾，故m≠0；当m>0时，M＝[－m，3m]，N＝[－2m，m]，所以M∩N＝[－m，m].因为集合M∩N的长度为2，所以m－(－m)＝2 m＝1.此时M＝[－1，3]，N＝[－2，1]，所以M∪N＝[－2，3]，所以M∪N的长度为3－(－2)＝5.综上可知，集合M∪N的长度为5.故选C.
答案：C
16．解析：由x2－(m＋1)x＋m<0得(x－m)(x－1)<0，①当m<1时，不等式(x－m)(x－1)<0的解集为(m，1)，因为解集中恰有3个整数，所以－3≤m<－2；②当m＝1时，不等式(x－m)(x－1)<0的解集为 ，不符合题意；③当m>1时，不等式(x－m)(x－1)<0的解集为(1，m)，因为解集中恰有3个整数，所以4答案：{m|－3≤m<－2，或4(分值：85分)
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1．(2026·长治模拟)已知两个等差数列2，6，10，…，98和2，8，14，…，98，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为(　　)
A．850　 　B．1 250　　C．400　 　D．450
2．已知等差数列{an}满足an＝n，若在an与an＋1之间插入得到数列{bn}，Tn为数列{bn}的前n项和，则T50＝(　　)
A．15 B． C． D．62
3．(2026·眉山模拟)设{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是1为首项，2为公比的等比数列，记Mn＝ab1＋ab2＋…＋abn，则{Mn}中不超过2 025的项的个数为(　　)
A．8 B．9 C．10 D．11
4．(2026·临沂模拟)若x1，x2是函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a>0，b>0)的导函数的两个不同零点，且x1，x2，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则a＋b＝(　　)
A．5 B．13 C． D．
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5．已知数列{an}是各项为正数的等比数列，公比为q，在a1，a2之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为d1，在a2，a3之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为d2，…，在an，an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数成等差数列，公差为dn，则下列说法正确的是(　　)
A．当0B．当q>1时，数列{dn}单调递增
C．当d1>d2时，数列{dn}单调递减
D．当d16．设所有被3除余2的自然数从小到大组成数列{an}，所有被5除余2的自然数从小到大组成数列{bn}，把{an}和{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn}，则(　　)
A．a3＋b5＝c3 B．a46＝c10
C．a5b2三、填空题(每小题5分，共10分)
7．(2026·苏州模拟)已知数列{an}，{bn}满足an＝2n，bn＝3n－1.现将数列{an}和{bn}的公共项由小到大组成新数列{cn}，则c4＝________．
8．把数列{3n＋2}与{4n}(n∈N*)的所有公共项去掉，剩余的项从小到大排序得到数列{an}，则数列{an}的前202项和为________．
四、解答题(共43分)
9．(13分)(2026·南京模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝，数列{bn}为公比大于0的等比数列，且b2＝a3，b4＝a27.
(1)求an，bn；
(2)若在an与an＋1之间插入bn个1，由此构成一个新的数列{cn}，记{cn}的前n项和Tn，求T45的值．
10．(15分)已知数列{2an}是公比为4的等比数列，且满足a2，a4，a7成等比数列．Sn为数列{bn}的前n项和，且bn是1和Sn的等差中项．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)若数列{cn}是由数列{an}中的项依次剔除{bn}的项后剩下的部分组成，求数列{cn}的前100项和．
11．(15分)(2026·临沂模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝2Sn＋2(n∈N*)，等差数列{bn}的前n项和为Bn，且B4＝4B2，b2n＝2bn＋1(n∈N*)．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)令cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.
(3)在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp，(其中m，k，p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．课时作业7　函数的单调性与最值
(分值：100分)
　
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．(2026·龙岩模拟)下列函数f(x)中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)时，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0”的是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2－4x＋4
C．f(x)＝2x D．f(x)＝
2．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　)
A． B．－
C．－2 D．2
3．已知定义域为R的函数f(x)， x1，x2∈R，x1A．f(3)C．f(2)4．已知f(x)为R上的减函数，则满足f(x2－2x)A．[－1，3]
B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3，3)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
5．“函数f(x)＝(k－1)x－3在R上为增函数”是“k>2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．函数f(x)＝3x－10＋的值域为(　　)
A．[5，＋∞) B．[6，＋∞)
C．[7，＋∞) D．[10，＋∞)
7．若函数y＝x－在(1，＋∞)上单调递增，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞)
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
8．如果函数y＝f(x)在区间I上是单调递减，且函数y＝在区间I上是单调递增，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“可变函数”，区间I叫作“可变区间”．若函数f(x)＝x2－4x＋2是区间I上的“可变函数”，则“可变区间”I为(　　)
A．和
B．
C．
D．
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．下列说法正确的是(　　)
A．若y＝f(x)在区间I上，随着自变量的减小，函数值反而增大，则y＝f(x)在I上单调递减
B．函数f(x)＝x2在[0，＋∞)上单调递增
C．函数f(x)＝－在定义域内为增函数
D．函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)
10．已知函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1，则下列说法正确的是(　　)
A．函数y＝f(x)在(－∞，－1]上单调递增
B．函数y＝f(x)在[－1，0]上单调递减
C．当x＝0时，函数y＝f(x)有最小值
D．当x＝－1或x＝1时，函数y＝f(x)有最大值
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．能说明“函数f(x)的图象在区间[0，2]上是一条连续不断的曲线，若fmin(x)＝f(2)，则f(x)单调递减”为假命题的一个函数为________．
12．函数f(x)＝|x(x－2)|的单调递减区间是________.
四、解答题(共28分)
13．(13分)已知函数f(x)＝.
(1)函数单调性的定义证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；
(2)求函数f(x)在区间[1，4]上的最大值和最小值．
14．(15分)已知函数f(x)＝
(1)若a>0，求f(x)的值域；
(2)若f(x)在R上单调递减，求实数a的取值范围．
优生选做题
15．(5分)函数f(x)＝的最小值为(　　)
A．0 B．4
C． D．2
16．(5分)已知函数f(x)＝若f(2t2－1)>f(t＋2)，则实数t的取值范围为________.
课时作业7　函数的单调性与最值
1．解析：由“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)时，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0”，得函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，对于A，f(x)＝在(0，+∞)上不单调递增，A不是；对于B，函数4x＋4在(0，2)上单调递减，B不是；对于C，函数f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增，C是；对于D，函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，D不是．故选C.
答案：C
2．解析：易知f(x)＝－x＋在上单调递减，故其最大值为f(－2)＝.故选A.
答案：A
3．解析：因为 x1，x2∈R，x10，即f(x1)>f(x2)，可知f(x)是R上的减函数，且π>3>2，所以f(π)答案：B
4．解析：因为f(x)为R上的减函数，且f(x2－2x)3，即x2－2x－3>0，解得x<－1或x>3.
答案：B
5．解析：函数f(x)＝(k－1)x－3在R上为增函数，等价于k－1>0，即k>1，所以“函数f(x)＝(k－1)x－3在R上为增函数”是“k>2”的必要不充分条件．故选B.
答案：B
6．解析：由x－5≥0得x≥5，所以f(x)的定义域为[5，＋∞)．因为y＝3x－10与y＝在[5，＋∞)上均为增函数，所以f(x)在[5，＋∞)上为增函数，所以f(x)≥f(5)＝5，即函数f(x)的值域为[5，＋∞)．故选A.
答案：A
7．解析：当k>0时，y＝x－在(1，＋∞)上单调递增，满足题意，当k＝0时，y＝x，满足题意，当k<0时，y＝x＋，由对勾函数的性质知，若满足题意，则≤1，解得－1≤k<0.综上，k≥－1.故选B.
答案：B
8．解析：因为函数f(x)＝x2－4x＋2图象的对称轴为直线x＝2，所以函数y＝f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，又当x≤2且x≠0时，－4，令g(x)＝x＋－4(x≤2且x≠0)，则g(x)在和上单调递增，故f(x)的“可变区间”I为和.
答案：A
9．解析：对于A，由题意，任意取x1，x2∈I，若x1>x2，则f(x1)答案：AB
10．解析：f(x)＝－x2＋2|x|＋1＝
作出函数f(x)的图象如图．
由图象可知f(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，故AB正确；由图象可知f(x)在x＝－1或x＝1时，函数y＝f(x)有最大值，没有最小值，故C错误，D正确．故选ABD.
答案：ABD
11．解析：函数f(x)＝－2在上单调递增，在上单调递减，图象连续不断，f(0)＝－，f(2)＝所以函数f(x)＝－2在区间 [0，2]上是一条连续不断的曲线，在x＝2处取得最小值f(2)，但在[0，2]上不单调．
答案：f(x)＝－2(答案不唯一)
12．解析：函数f(x)＝|x(x－2)|的图象即为y＝x(x－2)的图象位于x轴下方部分对折至x轴上方，其余部分不变，据此可得函数f(x)＝|x(x－2)|的图象，如图所示．
由图象可知函数f(x)＝|x(x－2)|的单调递减区间是(－∞，0]，[1，2].
答案：(－∞，0]，[1，2]
13．解析：(1)证明：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝.
因为x1，x2∈(－1，＋∞)，x10，x2＋1>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)知f(x)在区间[1，4]上单调递增，
所以f(x)min＝f(1)＝－，f(x)max＝f(4)＝1，
所以函数f(x)在区间[1，4]上的最大值为1，最小值为－.
14．解析：答案：(1)因为f(x)＝且a>0，
可知f(x)＝2ax＋3在(－∞，1]上单调递增，则f(x)≤f(1)＝2a＋3，
所以f(x)在(－∞，1]上的值域为(－∞，2a＋3]；
且f(x)＝ax2＋x在(1，＋∞)上单调递增，则f(x)>f(1)＝a＋1，
所以f(x)在(1，＋∞)上的值域为(a＋1，＋∞)；
注意到2a＋3＝(a＋1)＋(a＋2)>a＋1，
所以f(x)在R上的值域为R.
答案：(2)若f(x)＝在R上单调递减，
则解得－2≤a≤－，
所以实数a的取值范围为.
15．解析：根据题意，函数f(x)的定义域为[4，＋∞)，且由于y＝在区间[4，＋∞)上单调递增，y＝在区间[4，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在区间[4，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(4)＝2.故选D.
答案：D
16．解析：作出函数f(x)＝的图象如图所示．
由图可知，f(x)在R上是减函数．因为f(2t2－1)>f(t＋2)，所以2t2－1答案：课时作业20　利用导数证明不等式
(分值：60分)
1．(13分)已知函数f(x)＝(x－x2)ln x＋k的图象在点(1，f(1))处的切线经过点(0，1)．
(1)求实数k的值；
(2)证明：ln x≥1－.
2．(15分)已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.
3．(15分)(2026·周口模拟)已知函数f(x)＝x2－(a－2)x－2a ln x，a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a>0时，证明：f(x)≥ln a－a2＋.
优生选做题
4.(17分)(2026·保定模拟)已知函数f(x)＝ln x－ex－m.
(1)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求m的取值范围；
(2)若m≤2，证明：f(x)<0.课时作业28　余弦定理和正弦定理
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝(　　)
A．－1 B．
C．1＋ D．
2．(2026·楚雄模拟)△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝，则c＝(　　)
A． B．
C． D．2
3．在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若c cos C＝a cos A，则△ABC的形状一定是(　　)
A．等腰直角三角形
B．等腰或直角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形
4．(2026·长沙模拟)在△ABC中，sin A＝，则AC的长为(　　)
A． B．
C． D．
5．(2026·保定模拟)在△ABC中，若AC＝，AB＝2，则△ABC解的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．不确定
6．(2026·衡水模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin A＝2sin B且C＝，则的值为(　　)
A． B．
C． D．
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝2，B＝，△ABC的面积S△ABC＝，则a＋c＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
8．(2026·扬州模拟)在△ABC中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形但一定不是直角三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形但一定不是等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有(　　)
A．a＝4，b＝5，c＝6 B．A＝30°，B＝45°，c＝5
C．a＝，b＝2，A＝45° D．a＝3，b＝2，C＝60°
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(　　)
A．若a＝2，则△ABC的外接圆的面积为16π
B．已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝ab，则C＝
C．若sin2A>sin2B＋sin2C，则△ABC为钝角三角形
D．若△ABC为锐角三角形，则sinA>cos B
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．(2026·南京模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，c＝4，b sin A＝1，则b＝________．
12．(2026·泰安模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为S＝，则角B＝________．
四、解答题(共28分)
13．(13分)(2026·南宁模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＝b2＋c2－bc.
(1)求角A的大小；
(2)若b＋c＝4，△ABC的面积为，求a的值．
14．(15分)(2026·福州模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a sin C＝c(1＋cos A)．
(1)求A；
(2)若a＝2，△ABC的周长为6，求△ABC的面积．
优生选做题
15．(5分)(2026·深圳模拟)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C＋－b－c＝0，a＝2，△ABC的面积为，则(　　)
A．b＝1 B．b＝2
C．b＝3 D．b＝2
16．(5分)在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则sin A＋sin B＋sin C＝________．课时作业53　抛物线
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．(2026·昆明模拟)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，已知点A＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
2．已知点P(x0，y0)在抛物线C：y2＝4x上，且点P到抛物线C焦点的距离等于点P到直线x＝5的距离，则x0＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
3．(2026·南京模拟)已知抛物线的准线方程为y＝－，则该抛物线的标准方程为(　　)
A．y2＝2x B．y2＝x
C．x2＝2y D．x2＝y
4．(2026·长沙模拟)若抛物线y2＝ax的焦点关于准线的对称点为(3，0)，则实数a的值为(　　)
A．－2 B．2
C．－4 D．4
5．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的顶点为O，经过点A(x0，2)，且F为抛物线C的焦点，若|AF|＝3|OF|，则p＝(　　)
A． B．1
C． D．2
6．已知抛物线x2＝2py(p>0)，点A(4，4)在抛物线上，点B(0，3)，若点P是抛物线上的动点，则|PB|的最小值为(　　)
A．8 B．2
C．9 D．3
7．(2026·成都模拟)如图，设抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过x轴上一点A作直线l交C于B，D两点，若|FB|＝＝7，则＝(　　)
A．4 B．3
C． D．
8．设抛物线C：x2＝8y的焦点为F，A(4，5)，点B在C上，则△FAB的周长的最小值为(　　)
A．8 B．10
C．12 D．16
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点P(x0，y0)在C上，则(　　)
A．F的坐标为(1，0)
B．抛物线C的准线方程为x＝－2
C．若y0＝2，则|PF|＝
D．|PF|≥2
10．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P在C上且位于第一象限，PM⊥l，垂足为M，|PM|＝4，则(　　)
A．准线l的方程为x＝－2
B．点F到l的距离为2
C．△PMF是等边三角形
D．直线PF的斜率为1
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．(2025·北京卷)已知抛物线y2＝2px(p>0)的顶点到焦点的距离为3，则p＝________．
12．(2026·武汉模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(3，y0)(y0>0)在C上，若|MF|＝5，则y0＝________．
四、解答题(共28分)
13．(13分)已知顶点为O的抛物线y2＝2px(p>0)过点M，其焦点为F，若＝4.
(1)求点M的坐标以及抛物线方程；
(2)若点N与M关于点F对称，求S△OMN.
14．(15分)如图是一座抛物线型拱桥横截面的示意图，当水面在l时，拱顶O离水面2 m，水面宽4 m.那么当水面下降1 m后．
(1)水面的宽为多少？
(2)求此时横截面中水面中心A到抛物线上的点距离的最小值．
优生选做题
15．(5分)(2026·邢台模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线与x轴交于点K，点P为抛物线C上一点，若|PF|＝2|KF|，则△PKF的面积为(　　)
A． B．
C．2 D．4
16.(5分)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点P(2，y0)到其焦点的距离为3，过C的焦点F的直线交C于A，B两点，当S△AOB＝2的值为________．课时作业13　函数的图象
(分值：83分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．为了得到函数y＝ln (ex)的图象，只需把函数y＝ln x的图象上所有的点(　　)
A．向上平移1个单位长度
B．向下平移1个单位长度
C．向左平移e个单位长度
D．向右平移e个单位长度
2．已知函数f(x)的图象如图①所示，则图②所表示的函数是 (　　)
A．1－f(x) B．－f(2－x)
C．f(－x)－1 D．1－f(－x)
3．函数f(x)＝的大致图象为(　　)
4．如图是函数f(x)＝(a∈R，b∈N*)的部分图象，则 (　　)
A．a>0，b是奇数 B．a<0，b是奇数
C．a>0，b是偶数 D．a<0，b是偶数
5．(2026·安庆模拟)已知函数f(x)＝·ln ，则y＝f(x)的图象大致为(　　)
6．(2025·天津卷)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
7．已知定义在R上的函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(x)满足f(x)＝f(4－x)，f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，f(4)＋f(0)＝0，则关于x的不等式<0的解集为(　　)
A．(0，2) B．(0，2)∪(2，4)
C．(2，4) D．(0，2)∪(4，＋∞)
8．(2026·南阳模拟)已知函数f(x)＝若存在三个不相等的实数
的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．(2，＋∞)
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9．已知函数f(x)＝在R上单调递减，则函数g(x)＝ln (|x|＋a)的大致图象可能为(　　)
10．已知函数f(x)＝的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．a<0 B．a>0
C．b<0 D．c>0
11．已知函数f(x)＝，下列选项正确的是(　　)
A． x∈{x＝－f(x)
B．函数f(x)在定义域内是减函数
C．若x∈[0，2]时，则f(x)的值域为
D．f(x)的图象关于(－1，1)对称
三、填空题(每小题5分，共15分)
12．把函数f(x)＝ln |x－a|的图象向左平移2个单位长度，所得函数在(0，＋∞)上单调递增，则a的最大值为________．
13．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，且线段BC的中点坐标为(1，1)，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________．
14．给定函数f(x)＝|x2＋x|，g(x)＝x＋，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记M(x)＝max{f(x)，g(x)}．若函数y＝M(x)的图象与y＝a有3个不同的交点，则实数a的取值范围是________．
优生选做题
15．(5分)(2026·杭州二模)下列可以作为方程x3＋y3＝4xy的图象的是(　　)
16.(5分)已知定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(x＋2)＋f(4－x)＝0，且当x∈(0，3]时，f(x)＝.函数g(x)＝log4与函数y＝f(x)的图象的所有交点的横坐标之和为________．微专题10　空间几何体的外接球与内切球
(分值：73分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．(2026·开封二模)已知正方体的内切球的体积为4π，则该正方体的外接球的表面积为(　　)
A．12π B．36π
C．9π D．12π
2．已知某圆柱的内切球半径为1，则该圆柱的体积为(　　)
A．π B．2π
C．3π D．4π
3．在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝2，PC＝2，PA，PB，PC两两垂直，则该三棱锥外接球的表面积为(　　)
A．18π B．20π
C．24π D．28π
4．(2026·包头模拟)已知圆台的上、下底面圆周都在半径为2的球面上，圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，则该圆台的体积为(　　)
A． B．
C．7π D．5π
5．(2026·柳州模拟)已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在半径为3的球O的球面上，且AA1＝2AB＝2AC，AB⊥AC，则AB＝(　　)
A． B．
C．2 D．2
6．(2026·安阳模拟)在两块平行放置的木板之间放有4个半径均为1 cm的球，4个球两两相切，且其中3个球均与同一块木板相切，则两木板之间的最小距离为(　　)
A． cm B． cm
C．cm D．cm
7．(2026·大同月考)已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA＝PB＝AB，△ABC是等腰直角三角形，斜边BC长为2，E，F分别是PA，PC的中点，∠BEF＝90°，则球O的体积为(　　)
A． B．
C．2π D．4π
8．设球O的体积为V1，球O的内接圆柱(圆柱的上、下底面圆周均在球面上)的体积的最大值为V2，则＝(　　)
A． B．
C．2 D．2
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9．圆柱的轴截面为正方形，则下列结论正确的有(　　)
A．圆柱内切球的半径与圆柱底面半径相等
B．圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为
C．圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为
D．圆柱内切球的体积与圆柱体积比为
10．设棱长为 a的正四面体的高、内切球的半径、外接球的半径分别为 h，r，R，则下列结论正确的是(　　)
A．h＝R＋r B．R＝3r
C．r＝a D．R＝a
11．已知球O(O为球心)为正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，且球O的表面积为4π，则(　　)
A．线段BD1的长为
B．直线BC1与球O相切
C．△OB1C的面积为
D．直线OB与底面ABCD所成角的正弦值为
三、填空题(每小题5分，共15分)
12．已知某正三棱柱既有内切球又有外接球，外接球的表面积为20π，则该三棱柱的体积为________．
13．(2025·全国Ⅱ卷)一个底面半径为4 cm，高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为________cm.
14．(2026·长春模拟)如图，在三棱锥D-ABC中，∠DAC＝∠BCA＝∠BCD＝90°，DC＝，AB＝3，且直线AB与DC所成角的余弦值为，则该三棱锥的外接球的体积为________．
微专题10　空间几何体的外接球与内切球
1．解析：设正方体的边长为a，则正方体内切球的半径为，内切球的体积等于π×3＝4π，解得a＝2，所以正方体的体对角线等于a＝6，所以正方体外接球的半径等于＝3，则外接球的表面积等于4π×32＝36π.故选B.
答案：B
2．解析：由题意得，该圆柱底面圆的半径为1，圆柱的高为2，所以该圆柱的体积为π×12×2＝2π.故选B.
答案：B
3．解析：将三棱锥P-ABC补全为长方体，
则长方体的外接球就是所求的外接球，设球半径为R，则4R2＝(2R)2＝PA2＋PB2＋PC2＝4＋4＋12＝20，所以R2＝5，所以球的表面积为S＝4πR2＝20π.故选B.
答案：B
4．解析：因为圆台下底面半径和球的半径均为2，所以圆台的下底面过球心，如图为圆台外接球的轴截面，
设球心为O，圆台上底面圆心为O1，上底面半径为r1＝1，圆台下底面半径和球的半径为r2＝R＝2，圆台的高OO1＝h.则由球的截面性质可知h＝，所以圆台的体积为V＝＝π××(12＋22＋1×2)＝.故选A.
答案：A
5．解析：设AB＝2a，则AA1＝4a，BC＝2a，所以△ABC外接圆的半径r＝a.
因为三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在半径为3的球O的球面上，所以2＋(2a)2＝2，即6a2＝18，解得a＝，所以AB＝2a＝2.故选C.
答案：C
6．解析：小球两两相切，其中3个小球与同一块木板相切，则四个球心的连线构成棱长为2的正四面体，如图，
A，B，C，D为球心，OD是三棱锥的高，则OD＝，即正四面体的高为，故两木板之间的最小距离为2r＋.故选C.
答案：C
7．解析：如图所示，
因为△ABC是等腰直角三角形，且斜边为BC，所以AB⊥AC，又因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC，因为∠BEF＝90°，所以BE⊥AC，又因为AB∩BE＝B，且AB，BE 平面PAB，所以AC⊥平面PAB，因为PA 平面PAB，所以AC⊥PA，所以△APC为直角三角形，由△ABC是等腰直角三角形，且斜边BC长为2，可得AB＝AC＝2，因为PA＝PB＝AB，所以△PAB是边长为2的正三角形，其外接圆半径为r＝.设三棱锥P-ABC的外接球的半径为R，则R2＝r2＋2＝，所以R＝，所以球O的体积为V＝πR3＝.故选A.
答案：A
8．解析：设球的半径为R，圆柱的底面半径为r，高为h，由球的内接圆柱性质，球心到圆柱底面的距离为，根据勾股定理得＝R2.所以r2＝R2－，所以圆柱的体积为V＝πr2h＝πh＝π.求导得V′＝当R2>，即00；当R2<，即h>R时，V′<0；所以V在0R上单调递减，所以当h＝R时，V取最大值为V2＝π＝π，而球的体积为V1＝πR3，所以.故选B.
答案：B
9．解析：设圆柱的底面半径为R，则圆柱的高为2R，所以内切球的半径为R，A正确；圆柱的表面积为S1＝2πR2＋2πR×2R＝6πR2，内切球的表面积为4πR2，所以圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为，B正确；圆柱内接圆锥的表面积为S＝πR2＋×2πR×R＝πR2，圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为，C错误；圆柱内切球的体积V1＝πR3，圆柱的体积V2＝πR2×2R＝2πR3，所以V1∶V2＝πR3∶2πR3＝，D正确．故选ABD.
答案：ABD
10．解析：对于正四面体ABCD，设其棱长为a，过A作AH⊥平面BCD，显然H为平面BCD的中心，连接HD，如图所示，
在△AHD中，HD＝a，故可得h＝AH＝＝ a；不妨设内切球球心为O，连接OA，OB，OC，OD，又四边形ABCD的表面积S＝4×a2，由等体积法可得VA-BCD＝rS，即a2，解得r＝a；在棱长为a的正方体中，其外接球即为正四面体ABCD的外接球，
故R＝a；对于A，R＋r＝a＝h，故A正确；对于B，R＝a＝3r，故B正确；对于CD，显然错误．故选AB.
答案：AB
11．解析：对于A，因为球O的表面积为4π，所以4πr2＝4π(r为球O的半径)，解得r＝1，因为球O的半径为AB＝1，得AB＝2，则正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为2，则BD1＝，故A错误；对于B，设线段BC1的中点为E，则由正方体及其内切球对称性结构特征可知球O与平面BB1C1C切于点E，所以直线BC1与球O相切，故B正确；对于C，因为OB1＝OC＝，所以△OB1C的面积为，故C正确；对于D，直线OB与底面ABCD所成的角即直线BD1与底面ABCD所成的角，即∠DBD1，所以直线OB与底面ABCD所成角的正弦值为，故D正确．故选BCD.
答案：BCD
12．解析：如图，
点H为等边△ABC的中心，点D为AB的中点，设HD＝a，则HC＝2a，AB＝，则△ABC的内切圆的半径为a，因为此正三棱柱既有内切球又有外接球，设点O为正三棱柱内切球的球心，则点O也是外接球的球心，由内切球的半径为a，可得OH＝a，则正三棱柱的高AA1＝2a，正三棱柱的外接球的半径R＝OC＝a，因为外接球的表面积为20π，则4πR2＝20πa2＝20π，解得a＝1，所以该三棱柱的体积V＝S△ABC·AA1＝.
答案：6
13．解析：圆柱的底面半径为4 cm，
设铁球的半径为r，且r<4，由圆柱与球的性质知AB2＝(2r)2＝(8－2r)2＋(9－2r)2，即4r2－68r＋145＝(2r－5)(2r－29)＝0，∵r<4，∴r＝2.5.
答案：2.5
14．解析：由题意知AC⊥BC，DC⊥BC，AC∩DC＝C，DC，AC 平面ADC，则BC⊥平面ADC，又AD 平面ADC，所以BC⊥AD，又AD⊥AC，AC∩BC＝C，AC，BC 平面ABC，所以AD⊥平面ABC，将三棱锥D-ABC放入对应的长方体中，如图所示，
易知EB∥DC，所以∠ABE为直线AB与DC所成的角，所以AE2＝AB2＋BE2－2AB·BE·cos ∠ABE，解得AE＝.设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则a2＋b2＝9，a2＋c2＝22，b2＋c2＝19，三式相加得a2＋b2＋c2＝25，所以长方体的外接球的半径为，所以该三棱锥的外接球的体积为V＝π3＝.
答案：课时作业32　平面向量基本定理及坐标表示
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．若＝(1，－2)，＝(－1，3)，则的坐标为(　　)
A．(0，1) B．(2，－5)
C．(－2，5) D．(2，5)
2．(2026·邯郸一模)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，t)，若a∥b，则实数t＝(　　)
A．－ B．－6
C． D．6
3．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若a－2b＋3c＝0，则c为(　　)
A． B．
C． D．
4．设向量绕点O逆时针旋转得向量，且＝(7，9)，则向量＝(　　)
A． B．
C． D．
5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E为AD上的点，且，若＝b，则用a，b表示为(　　)
A．－ B．
C．－ D．－
6．已知＝(－6，3)，＝(3，9)，若，则＝(　　)
A．(5，－3) B．(6，－2)
C．(－3，5) D．(－2，6)
7．(2026·驻马店模拟)已知平面向量＝(m－2，n－2)，＝(n－m－1，2m－n)，m，n∈R，若A，B，C三点共线，则m的取值范围为(　　)
A．
B．∪
C．∪
D．
8．(2026·孝感模拟)在平行四边形ABCD中，，点F是线段DE的中点，若，则μ＝(　　)
A．1 B．
C． D．
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．以A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)三个点为顶点作平行四边形，则第四个顶点D的坐标不可能是(　　)
A．(－2，3) B．(2，－1)
C．(4，1) D．(－2，－1)
10．(2026·临沂模拟)在△ABC中，点M，N分别在BC和AC上，且满足＝0，点D在线段MN上，且，则下列各组数据适合的是(　　)
A．λ＝，μ＝0 B．λ＝
C．λ＝0，μ＝ D．λ＝
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．在平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为__________．
12．已知向量＝(2，2)，＝(－1，k－3)，若A，B，C三点共线，则k＝________．
四、解答题(共28分)
13．(13分)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝c，且＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
14．(15分)如图，已知平面内有三个向量，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且＝＝1，＝，若(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值.
优生选做题
15．(5分) (2026·南京模拟)解决平面向量问题一个重要的定理：，λ＋μ＝1的充要条件是A，B，C三点共线．如图所示，B，D分别是AM，BC的中点，则＝(　　)
A．1 B．2
C． D．
16．(5分)(2026·张家口模拟)如图，在△ABC中，已知，P是线段AD与BE的交点，若，则m＋n的值为________．课时作业44　利用空间向量研究线、面位置关系
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．(2026·深圳模拟)已知直线l的一个方向向量是a＝(－3，2，1)，平面α的一个法向量是u＝(1，2，－1)，则l与α的位置关系是(　　)
A．l⊥α B．l∥α
C．l α D．l∥α或l α
2．已知平面α的一个法向量为n＝(1，－2，3)，若直线l∥平面α，则直线l的一个方向向量u可以是(　　)
A．(－2，4，－6) B．(0，0，1)
C．(0，3，2) D．(1，1，1)
3．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1，2，7)，b＝(2，3，－4)，则平面α与β的位置关系是(　　)
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定
4．(2026·孝感模拟)已知平面α经过点A(0，0，－1)，m＝(1，2，－2)为平面α的一个法向量，点P(x，y，z)是平面α内异于点A的任意一点，则(　　)
A．x＋2y－2z＝－2 B．x＋2y－2z＝2
C．x－2y－2z＝2 D．x－2y－2z＝4
5．(2026·新余模拟)在空间直角坐标系中，O为坐标原点，P为其内一点，A(1，1，2)，B(－2，1，0)，平面PAB⊥平面OAB，则平面PAB的一个法向量可以为(　　)
A．(－5，24，21) B．(－6，10，9)
C．(－7，11，13) D．(－8，13，12)
6．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，AC＝AA1＝，E是侧棱CC1的中点，则下列直线中与BE垂直的是(　　)
A．AC B．A1C
C．AB1 D．A1B
7．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上且AM∥平面BDE，则点M的坐标为(　　)
A．(1，1，1) B．
C． D．
8．(2026·武汉模拟)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠A1AD＝∠A1AB＝60°.设＝c，则平面AB1D1的一个法向量为(　　)
A．a－b－c B．a＋b－c
C．a＋b－ D．a＋b－
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2.以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．以下向量可成为平面BCC1B1的法向量的有(　　)
A．(4，－4，0) B．(－3，3，0)
C．(－2，－2，0) D．(1，1，0)
10．(2026·武汉模拟)正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为棱B1C1，CD的中点，则(　　)
A．AE⊥BD
B．A1E⊥平面BB1F
C．EF∥平面AB1C
D．BE∥DC1
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．在空间直角坐标系中，已知平面α的法向量为a＝(4，2，－2k)，平面β的法向量为b＝(k－3，－1，1)，若α∥β，则实数k的值为________．
12．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，E是AD的中点，点P满足(λ∈R)，当A1P∥平面D1CE时，λ的值为________．
四、解答题(共28分)
13． (13分)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．
(1)求证：A1E⊥BD；
(2)若平面A1BD⊥平面EBD，求证：E为CC1的中点．
14． (15分)(2026·江门模拟)如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝4，M，E，N分别为OA，AB，BC的中点，建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量解答以下问题：
(1)证明：直线MN∥平面OCD；
(2)线段OB上是否存在点F使EF∥平面MND成立？如果存在，求出OF的长；如果不存在，说明理由．
优生选做题
15．(5分)若在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝1，AA1＝4，则四面体ABB1C1与四面体A1C1BD公共部分的体积为(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
16. (5分)棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在棱CD上运动，点Q在侧面ADD1A1上运动，满足B1Q⊥平面AD1P，则线段PQ的最小值为________．
课时作业44　利用空间向量研究线、面位置关系
1．解析：∵直线l的一个方向向量是a＝(－3，2，1)，平面α的一个法向量是u＝(1，2，－1)，∴a·u＝(－3，2，1)·(1，2，－1)＝(－3)×1＋2×2＋1×(－1)＝0，∴a⊥u，∴l∥α或l α.故选D.
答案：D
2．解析：因为已知平面α的一个法向量为n＝(1，－2，3)，且直线l∥平面α，则满足u·n＝0，对于A，若u＝(－2，4，－6)，则u·n＝－28≠0，所以A不符合题意；对于B，若u＝(0，0，1)，则u·n＝3≠0，所以B不符合题意；对于C，若u＝(0，3，2)，则u·n＝－6＋6＝0，所以C符合题意；对于D，若u＝(1，1，1)，则u·n＝2≠0，所以D不符合题意．故选C.
答案：C
3．解析：平面α，β的法向量分别为a＝(－1，2，7)，b＝(2，3，－4)，不存在λ使a＝λb，则a，b不平行，则平面α，β不平行，又a·b＝－2＋6－28＝－24≠0，则平面α，β不垂直，故平面α与β相交但不垂直．故选C.
答案：C
4．解析：因为m＝(1，2，－2)是平面α的一个法向量，所以⊥m，故·m＝(x，y，z＋1)·(1，2，－2)＝x＋2y－2z－2＝0，即x＋2y－2z＝2.故选B.
答案：B
5．解析：设Q为空间内一点，且＝(λ－2μ，λ＋μ，2λ)，由于平面PAB⊥平面OAB，所以平面PAB的法向量垂直AB且平行平面OAB(或在平面OAB内部)，故不妨取为其法向量，则OQ⊥AB，＝(－3，0，－2)，所以＝0 6μ＝7λ，取λ＝6，μ＝7代入得到＝(－8，13，12)，故D正确．故选D.
答案：D
6．解析：因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，且底面△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，所以BA，BC，BB1两两垂直，以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
由题意可得A(0，2，0)，C(2，0，0)，A1，B1，E，所以＝＝(2，－2，0)，＝＝＝，所以＝2×2＋0×(－2)＋＝2×2＋0×(－2)＋＝0，＝2×0＋0×(－2)＋＝2×0＋0×(－2)＋＝－4，所以BE⊥A1C.故选B.
答案：B
7．解析：由题意可知A，D，B，E(0，0，1)，设M(λ，λ，1)，则＝＝，＝.设平面BDE的一个法向量n＝(x，y，z)，则令z＝，则x＝y＝1，可得n＝，因为AM∥平面BDE，则⊥n，即＝0，解得λ＝，即点M的坐标为.故选B.
答案：B
8．解析：如图所示，
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠A1AD＝∠A1AB＝60°.设＝c，所以a·b＝b·c＝a·c＝＝b＋c，对于A，(a－b－c)·(a＋c)＝a2＋a·c－a·b－b·c－a·c－c2＝－1≠0，故A错误；对于B，(a＋b－c)·(a＋c)＝a2＋a·c＋a·b＋b·c－a·c－c2＝1≠0，故B错误；对于C，·(a＋c)＝a2＋a·c＋a·b＋b·c－c2＝2≠0，故C错误；对于D，·(a＋c)＝a2＋a·c＋a·b＋b·c－c2＝0，·(b＋c)＝a·b＋a·c＋b2＋b·c－与都垂直，则a＋b－是平面AB1D1的一个法向量，故D正确．故选D.
答案：D
9．解析：因为B(1，0，0)，C(0，1，0)，B1(1，0，2)，所以1＝(0，0，2)，＝(－1，1，0)，设平面BCC1B1的一个法向量n＝(x，y，z)，则有即可得即故n＝(x，x，0)＝x(1，1，0)，写出符合以上条件的向量即可，如＝(－2，－2，0)．故选CD.
答案：CD
10．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
设该正方体的棱长为2.对于A，因为A(2，0，0)，E(1，2，2)，B(2，2，0)，D(0，0，0)，所以＝(－1，2，2)，＝(2，2，0)，因为＝－2＋4＋0＝2≠0，所以AE⊥BD不成立，A错误；对于B，因为A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，B(2，2，0)，E(1，2，2)，F(0，1，0)，所以＝(－1，2，0)，＝(0，0，2)，＝(－2，－1，0)，因为＝2－2＝0，所以A1E⊥BB1，A1E⊥BF，而BB1∩BF＝B，BB1，BF 平面BB1F，所以A1E⊥平面BB1F，B正确；对于C，设平面AB1C的一个法向量为m＝(x，y，z)，因为C(0，2，0)，所以＝(－2，2，0)，＝(0，2，2)，于是有 m＝(1，1，－1)，＝(－1，－1，－2)，因为·m＝－1－1＋2＝0，EF 平面AB1C，所以EF∥平面AB1C，C正确；对于D，因为C1(0，2，2)，所以＝(0，2，2)，而＝(－1，0，2)，显然不存在实数λ，使得成立，所以BE∥DC1不成立，D错误．故选BC.
答案：BC
11．解析：∵α∥β，∴a∥b，∴存在实数λ使得 a＝λb.
∴ 解得
答案：1
12．解析：根据已知条件，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，
A1(3，0，2)，D1(0，0，2)，C(0，4，0)，，B1(3，4，2)，
＝(－3，0，－2)，＝(0，4，0)，
＝λ(－3，0，－2)＝(－3λ，0，－2λ)，
＝(0，4，0)＋(－3λ，0，－2λ)＝(－3λ，4，－2λ)．
设平面D1CE的一个法向量n＝(x，y，z)，
＝＝(0，4，－2)，则
令y＝3，有x＝8，z＝6，所以n＝(8，3，6)，
A1P∥平面D1CE，则·n＝0，即－24λ＋12－12λ＝－36λ＋12＝0，
解得λ＝.
答案：
13．证明：(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为a，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)．
设E(0，a，e)(0≤e≤a)，＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a，0)，
∵＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，
∴⊥，即A1E⊥BD.
(2)设平面A1BD和平面EBD的一个法向量分别为n1＝＝(x2，y2，z2)．
∵＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，e)，
∴即令x1＝1，则y＝z＝－1，则＝(1，－1，－1)，
即
令x2＝1，则y2＝－1，z2＝，则n2＝.
由平面A1BD⊥平面EBD，得n1⊥n2.
∴2－＝0，即e＝.
∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD.
14．解析：(1)证明：在四棱锥O-ABCD中，由底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，
得直线AB，AD，AO两两垂直，以点A为坐标原点，AB，AD，AO所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，O(0，0，4)，E(1，0，0)，N(2，1，0)，M(0，0，2)，
＝(2，1，－2)，＝(2，0，0)，＝(0，2，－4)．
设n＝(x，y，z)为平面OCD的一个法向量，
则即
得n＝(0，2，1)，·n＝0，
MN 平面OCD，所以直线MN∥平面OCD.
(2)由(1)知，＝(2，－1，0)，＝(0，－2，2)，＝(2，0，－4)．
设平面MND的一个法向量n＝(x，y，z)，
则令x＝1，得n＝(1，2，2)．
假设线段OB上存在点F，使EF∥平面MND，设＝(2t，0，－4t)，0≤t≤1，
则F(2t，0，4－4t)，＝(2t－1，0，4－4t)，由EF∥平面MND，得·n＝0，
因此2t－1＋2(4－4t)＝0，解得t＝，而>1，
所以线段OB上不存在点F使EF∥平面MND成立．
15．解析：设AB1∩A1B＝E，AC1∩平面A1BD＝G，连接BG，GE，DG，可知四面体ABB1C1与四面体A1C1BD公共部分为四面体GEBC1，以D为坐标原点所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(1，3，0)，D(0，0，0)，E，A1(1，0，4)，＝(1，0，4)，＝(1，3，0)，＝＝(－1，3，4)．设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝12，则y＝－4，z＝－3，可得n＝(12，－4，－3)．设＝(－λ，3λ，4λ)，0<λ<1，则＝(1－λ，3λ，4λ)，因为⊥n，则12(1－λ)－12λ－12λ＝0，解得λ＝，可得＝，即.在△A1BD中，结合E为A1B的中点，可知G为△A1BD的重心，则S△BEG＝.故选A.
答案：A
16．解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)．设P(0，m，0)，Q(n，0，t)，m，n，t∈[0，1]，所以＝(n－1，－1，t－1)，＝(－1，0，1)，＝(－1，m，0)，因为B1Q⊥平面AD1P，所以＝1－n＋t－1＝t－n＝0，故t＝n，＝1－n－m＝0，故m＝1－n，其中＝(n，－m，t)，故(1－n)2＝3n2－2n＋1＝32＋，故当n＝时，，此时m＝1－n＝满足要求，所以线段PQ的最小值为 .
答案：课时作业62　二项式定理
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．(2026·乐山模拟)求x(1＋x)10的展开式中x4的系数为(　　)
A．45 B．90
C．120 D．210
2．在4的展开式中，常数项为(　　)
A．－12 B．－6
C．6 D．12
3．已知二项式(3x－1)n的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则n为(　　)
A．15 B．10
C．9 D．8
4．若n的展开式中x与x2项的系数相等，则n＝(　　)
A．8 B．7
C．6 D．5
5．若(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)且a1＋a2＝28，则在展开式中各项系数的最大值为(　　)
A．42 B．35
C．28 D．21
6．(2026·贵阳模拟)在(3－2x2)(1＋2x)5的展开式中，x3的系数为(　　)
A．260 B．－260
C．－220 D．220
7．(2026·蚌埠模拟)已知n的展开式中所有项的系数之和为243，则展开式中x的系数为(　　)
A.10 B．32
C．40 D．80
8．(2026·聊城模拟)(x＋y＋1)6的展开式中x3y2项的系数为(　　)
A．120 B．90
C．60 D．45
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．下列关于10的二项展开式，说法正确的是(　　)
A．展开式共有10项
B．展开式的二项式系数之和为1 024
C．展开式的常数项为8 064
D．展开式的第6项的二项式系数最大
10．已知(x－1)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则(　　)
A．a0＝1
B．a0＋a1＋a2＋…＋a9＝0
C．a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝－512
D．a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝256
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．(2025·天津卷)在(x－1)6的展开式中，x3项的系数为________．
12．(2026·徐州模拟)若(1＋x)n(n∈N*)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为2∶3，则n＝________．
四、解答题(共28分)
13．(13分)已知二项展开式(3－2x)2 025＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a2 025(x－1)2 025.
(1)求的值；
(2)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 025|的值．
14．(15分)已知n的展开式中第三项的系数是第二项系数的2倍．
(1)求n的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项；
(3)求(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)n+2的展开式中含x2项的系数(结果用数值表示)．
优生选做题
15．(5分)(2026·邯郸模拟)若6的展开式中x10的系数比x2的系数小300，则实数a＝(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
16.(5分)(2026·开封模拟)已知n，(n≥4，n∈N*)的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为15∶2，展开式中系数最大项是________．课时作业16　导数的概念、运算及几何意义
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．曲线y＝x＋在x＝1处的切线斜率为(　　)
A．1 B．－1
C．3 D．－3
2．(2026·盘锦模拟)若函数f(x)＝cos x，则＝(　　)
A．4sin 1 B．－4sin 1
C．sin 1 D．－sin 1
3．(2026·南通模拟)设a是大于1的常数，则(　　)
A．′＝
B．(xax)′＝ax＋xax lg a
C．[ln (a－x)]′＝
D．(a sin x＋x cos a)′＝a cos x－x sin a
4．若函数f(x)的部分图象如图所示，则下列不等式正确的是(　　)
A．f′(1)<B．C．f′(4)D．f′(4)<5．已知函数f(x)＝，f′(m)＝2，则m＝(　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．0或－2
6．(2026·平顶山模拟)函数f(x)＝ex＋ax在x＝0处的切线与直线3x－2y－5＝0平行，则实数a＝(　　)
A．－1 B．1
C． D．
7．过点(0，－e)作函数f(x)＝x ln x的切线方程为(　　)
A．x－y－e＝0 B．x＋y＋e＝0
C．2x－y－e＝0 D．x＋2y＋2e＝0
8．(2026·六安模拟)已知函数f(x)＝x(ln x＋ax)的图象与x轴相切，则a的值为(　　)
A． B．－
C．e D．－e
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为的点的坐标为(　　)
A．(1，1) B．(－1，－1)
C． D．
10．(2026·秦皇岛模拟)若直线y＝mx－3与曲线y＝x4＋x相切，则m的值可以为(　　)
A．－3 B．2
C．4 D．5
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．(2026·邯郸一模)已知函数f(x)＝x3－2x2－5x，则曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程为________________．
12．(2026·泰安模拟)若直线y＝2x是曲线y＝ax－ln (x＋1)的切线，则a＝________．
四、解答题(共28分)
13．(13分)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋4x，其导函数f′(x)的图象与x轴交于(－k，0)，(2k，0)两点，k>0.
(1)求a的值；
(2)求过点(0，0)的曲线y＝f(x)的切线方程．
14．(15分)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
　优生选做题　
15．(5分)(2026·广州模拟)过点P(t，－2t)作曲线y＝－2x3的切线，若切线有3条，则t的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．(－1，1)
C．(－∞，1)
D．(－∞，－1)
16．(5分)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x1)f(x2)＝f(x1x2)，且当x>0时，f(x)>0.若f(2)＝f′(2)＝3，则f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程为________．课时作业9　幂函数与二次函数
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．关于函数f(x)＝x-2，下列说法错误的是(　　)
A．函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)
B．函数的值域为(0，＋∞)
C．函数在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增
D．函数是偶函数
2．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋2m＋3的图象不经过三、四象限，且当x>时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是(　　)
3．函数f(x)＝ax2＋2x＋1与g(x)＝xa在同一直角坐标系中的图象不可能为(　　)
4．(2026·齐齐哈尔模拟)已知点(m，9)在幂函数f(x)＝(m－2)xα的图象上，设a＝f，b＝f(ln 2)，c＝，则(　　)
A．aC．b5．若f(x)＝(m2－m－1)xm为幂函数，且函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则m＝(　　)
A．－1 B．1
C．－2 D．2
6．若函数f(x)＝x2－2x＋3在区间[m，n]上的值域为[2，18]，则n－m的最大值为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
7．(2026·宜昌模拟)已知函数f(x)＝x2－mx＋1与函数g(x)的图象关于直线x＝1对称．若g(x)在区间(－2，－1)上单调递增，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－∞，2] B．[4，＋∞)
C．(－∞，6] D．[8，＋∞)
8．设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则(　　)
A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0
C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1)<0
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．(2026·太原模拟)已知函数f(x)＝(m2＋m－1)xm是幂函数，则(　　)
A．f(1)＝1
B．m2＋m＝2
C．f(x)是偶函数
D．当f(2)<2时，f(x)＝x-2
10．(2026·南昌模拟)如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则下列代数式的值为负数的是(　　)
A．c B．2a＋b
C．b2－4ac D．a－b＋c
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)，则f(－1)与f(4)的大小关系是________.
12．已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm+2是幂函数，且该函数是偶函数，则f的值是________．
四、解答题(共28分)
13．(13分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1，且f(1)＝0.
(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝对称，求f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)在[－1，2]上单调，求a的取值范围．
14．(15分)已知幂函数f(x)＝(m2－3)x3m-4在(0，＋∞)上单调递增．
(1)求m的值；
(2)当x∈[－1，3]时，求函数g(x)＝f(x)－tx的最小值．
　优生选做题　
15．(5分)已知函数f(x)＝(m2－m－1)x>0.若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值为负数，则下列结论不能成立的是(　　)
A．a＋b<0，ab＝0 B．a＋b<0，ab>0
C．a＋b<0，ab<0 D．a＋b>0，ab>0
16.(5分)若二次函数的图象关于x＝2对称，设自变量为a，0，1时对应的函数值分别为ya，y0，y1，且ya(分值：83分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．(2026·蚌埠模拟)已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，则( UA)∩B＝(　　)
A．{1} B．{3，5}
C．{1，3，5} D．{1，3，4，5}
2．已知集合A，B满足A∩B＝{1，2}，A∪B＝{1，2，3，4}，若4 A，则必有(　　)
A．3∈A B．3 A
C．4∈B D．4 B
3．(2026·牡丹江模拟)已知集合A＝{a－2，a2＋4a，12}，且－3∈A，则a＝(　　)
A．－3或－1 B．－3
C．1 D．3
4．(2026·张家口一模)设集合A＝{－2，－1，0，1}，B＝{y|y＝x3，x∈A}，则A∩B＝(　　)
A．{0，1} B．{－1，0}
C．{－1，0，1} D．{0}
5．(2026·中山模拟)已知集合A＝{x|－3A．{x|－2B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|－2D．{x|－36．(2026·潍坊二模)已知集合A＝{x∈N|x3<27}，则A的子集的个数是(　　)
A．4 B．8
C．16 D．32
7．(2026·许昌模拟)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{y|y＝－x＋1，x<0}，则(　　)
A．－2∈A∪B B．{－2，－1} A∪B
C．{1} A∩B D．2∈A∩B
8．(2026·驻马店模拟)已知集合M＝{x|－3A．[－3，2) B．(－3，2]
C．[－3，2] D．[2，4)
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9．若集合A＝{1，n}，B＝{n2，2}，且A∩B≠ ，则n的值可以是(　　)
A．－1　　　B．0 C．1　　　D．2
10．(2026·开封二模)已知集合A＝{x|－3<2x－1<3}， RB A，则正确的是(　　)
A．－1 B B．2∈B
C．－1∈A∪B D．2∈A∩B
11．(2026·萍乡二模)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A U，B U，且满足A∩B＝{3，5}，( UA)∩( UB)＝{2，4}，则下列说法正确的为(　　)
A．4∈A
B．6∈A∪B
C．集合A可能是{1，3，5，6}
D．( UA)∪( UB)＝{1，2，4，6}
三、填空题(每小题5分，共15分)
12．已知集合A＝{x|－213．(2026·温州模拟)设集合M＝{1，2，3}，则M的非空子集个数为________．
14．已知a，b∈R，集合A{1，a＋b，a}＝，则a2 024＋b2 025＝________．
优生选做题
15．(5分)已知集合A＝{x∈N|(x－2)(x－3)≤0}，B＝{x|ax－2＝0}，若A∪B＝A，则a的取值构成的集合为(　　)
A．{0} B．{0，1}
C． D．
16.(5分)(2026·河北多校联考)已知集合A＝{(x，y)|0课时作业1　集合
1．解析：因为集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，所以 UA＝{3，4，5}，( UA)∩B＝{3，5}．故选B.
答案：B
2．解析：因为A∩B＝{1，2}，所以必有1，2∈A，且1，2∈B.又A∪B＝{1，2，3，4}，则3和4均仅是集合A中元素或仅是集合B中元素．若4 A，则必有4∈B.故选C.
答案：C
3．解析：因为集合A＝{a－2，a2＋4a，12}，且－3∈A，则a－2＝－3或a2＋4a＝－3，所以a＝－1或a＝－3；当a＝－1时，a－2＝a2＋4a不合题意，舍去；当a＝－3时，A＝{－5，－3，12}符合题意．故选B.
答案：B
4．解析：由题意得B＝{y|y＝x3，x∈A}＝{－8，－1，0，1}，所以A∩B＝{－1，0，1}．故选C.
答案：C
5．解析：集合A＝{x|－3答案：D
6．解析：由x3<27，解得x<3，所以A＝{x∈N|x3<27}＝{x∈N|x<3}＝{0，1，2}，所以A的子集有23＝8(个)．故选B.
答案：B
7．解析：∵B＝{y|y＝－x＋1，x<0}＝{y|y>1}，又∵A＝{－1，0，1，2}，∴A∩B＝{2}，A∪B＝{x|x>1}∪{－1，0，1}，则－2 A∪B，{－2，－1}不包含于A∪B，{1}不包含于A∩B，2∈A∩B.故选D.
答案：D
8．解析：因为M＝{x|－3答案：A
9．解析：因为A∩B≠ ，则n＝2或n＝n2或n2＝1，由元素的互异性，可得n≠1，所以n的值可以是－1，0，2.故选ABD.
答案：ABD
10．解析：A＝{x|－3<2x－1<3}＝{x|－1答案：BC
11．解析：由题意知( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)＝{2，4}，所以A∪B＝{1，3，5，6}，对于A，因为A∪B＝{1，3，5，6}，且4 A∪B，所以4 A，故A错误；对于B，由于A∪B＝{1，3，5，6}，所以6∈A∪B，故B正确；对于C，已知A∩B＝{3，5}，这意味着3，5既属于A又属于B，若A＝{1，3，5，6}，当B＝{3，5}时， U(A∪B)＝{2，4}， UA＝{2，4}， UB＝{1，2，4，6}，此时满足所有已知条件，故C正确；对于D，因为( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)，又A∩B＝{3，5}，所以( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)＝{1，2，4，6}，故D正确．故选BCD.
答案：BCD
12．解析：因为A＝{x|－2答案：{0，1}
13．解析：集合M＝{1，2，3}，则M的子集个数为23＝8，所以M的非空子集个数为23－1＝7.
答案：7
14．解析：由题意知a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，又b＝1，所以a＝－1，b＝1.故a2 024＋b2 025＝(－1)2 024＋12 025＝1＋1＝2.
答案：2
15．解析：由题得A＝{2，3}，因为A∪B＝A，所以B A.当a＝0时，B＝ ，满足B A；当a≠0时，B＝，因为B A，所以＝2或＝3，解得a＝1或a＝.综上a的取值构成的集合为.故选D.
答案：D
16．解析：如图所示，注意到集合A为图中的实心矩形，不包含左右两边，集合B为圆周，
B表示圆心坐标为(1，2)，半径为|r|的圆或点(1，2)，当r＝0时显然题设不成立，设圆心B到直线y＝1的距离为d1，圆心与O(0，0)的距离为d2，由题意知要使得A∩B内有无穷个元素，则圆必与矩形有无穷个公共点，故应有d1<|r|答案：∪课时作业55　圆锥曲线中的最值、范围问题
(分值：60分)
1．(13分)已知双曲线一条渐近线方程为x－2y＝0，且点在双曲线上．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若双曲线的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上任意一点，求的最小值．
2．(15分)已知抛物线C：y2＝4x，过点M(2，0)倾斜角为θ的直线与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)若θ＝的值；
(2)若θ∈，求△ABO面积的取值范围．
3．(15分)(2026·合肥模拟)已知椭圆E：＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为F，P是E上一点．
(1)求E的方程；
(2)过F的直线l交E于A，B两点，求△OAB(O为坐标原点)的面积的最大值．
优生选做题
4. (17分)(2026·成都模拟)如图所示，由半椭圆C1：＝1(y≤0)和两个半圆C2：(x＋2)2＋y2＝4(y≥0)，C3：(x－2)2＋y2＝4(y≥0)组成曲线C：F(x，y)＝0，其中点A1，A2依次为C1的左、右顶点，点B为C1的下顶点，点F1，F2依次为C1的左、右焦点．若点F1，F2分别为曲线C2，C3的圆心．
(1)求C1的方程；
(2)点C和点D分别在曲线C1和曲线C2上，求出线段CD的最大值；
(3)若过点F1，F2作两条平行线l1，l2，分别与C1，C2和C1，C3交于点M，N和点P，Q，求|MN|＋|PQ|的最小值．课时作业6　函数的概念及其表示
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．函数f(x)＝＋ln (2x＋2)的定义域为(　　)
A．(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1，1)∪(1，＋∞)
2．如图是某高一学生晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象．若用黑点表示该学生家的位置，则该同学散步行走的路线可能是(　　)
3．(2026·商丘模拟)已知f＝2x＋3，则f(6)＝(　　)
A．31　　　B．17 C．15　　　D．7
4．下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝与f(x)＝x＋
B．f(x)＝log3x2与f(x)＝log3x
C．f(x)＝与f(x)＝x
D．f(x)＝与f(x)＝x－1
5．(2026·成都模拟)已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝(　　)
A．8　 　B． C．－　 　D．－
6．已知函数f(1－x)＝(x≠0)，则f(x)＝(　　)
A．－1(x≠0) B．－1(x≠1)
C．－1(x≠0) D．－1(x≠1)
7．已知函数f(x)＝x(x2－2)＋1，若f(a)＝－1，则f(－a)＝(　　)
A．－3　 　B．－1 C．0　 　D．3
8．已知函数y＝f(x)的定义域为[－5，3]，则函数y＝的定义域为(　　)
A．[－6，－1)∪(－1，2] B．[－4，－1)∪(－1，4]
C．[－4，4] D．[－5，－1)∪(－1，3]
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．(2026·长治模拟)设集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|－2≤y≤2}，则下列曲线能表示从集合P到集合Q的函数关系的有(　　)
10．已知f(x)＝，则(　　)
A．f(0)＝1
B．f(－x)＝f(x)
C．f(－x)＝－f(x)
D．f＝－f(x)(x≠0)
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．设x≠0，函数f(x)满足2f(x)＋f＝10x，函数f(x)的解析式为________．
12．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝________．
四、解答题(共28分)
13．(13分)(2026·郑州模拟)已知函数f(x)＝.
(1)求f和f，f(0)和f(1)的值．
(2)猜想一下f(x)与f(1－x)有什么关系？并证明．
14．(15分)已知函数f(x)＝x＋1，g(x)＝(x＋1)2，x∈R.
(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象；
(2) x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}．请分别用图象法和解析法表示函数M(x)．
优生选做题
15．(5分)若函数f(x)＝的定义域为R，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－3，－1) B．[－3，－1]
C．(－3，1] D．[－3，1)
16．(5分)已知函数f(x)＝若f(f(f(m)))＝，则f(m)＝________．
课时作业6　函数的概念及其表示
1．解析：要使函数f(x)有意义，则解得所以函数f(x)的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)．故选D.
答案：D
2．解析：观察函数图象知，有一段时间该同学离家距离保持不变，选项ABC中，路线上的点离家距离是变化的，选项D中的路线符合要求．故选D.
答案：D
3．解析：令－1＝6，则x＝14，得f(6)＝2×14＋3＝31.故选A.
答案：A
4．解析：对于A，易知f(x)＝的定义域为{x}，而f(x)＝x＋的定义域为R，两函数定义域不同，故A错误；对于B，显然f(x)＝log3 的定义域为≠0}，而函数f(x)＝log3x的定义域为(0，＋∞)，两函数定义域不同，故B错误；对于C，两函数的定义域均为R，但f(x)＝的值域为[0，＋∞)，而f(x)＝x的值域为R，两函数值域不同，故C错误；对于D，易知f(x)＝＝x－1与f(x)＝x－1的定义域、值域、对应关系均相同，故D正确．故选D.
答案：D
5．解析：因为f(－2)＝(－2)2－1＝3，所以f(f(－2))＝f(3)＝.故选B.
答案：B
6．解析：令t＝1－x，则x＝1－t，且x≠0，则t≠1，可得f(t)＝－1(t≠1)，所以f(x)＝－1(x≠1)．故选B.
答案：B
7．解析：由题意知f(a)＝a(a2－2)＋1＝－1，所以a(a2－2)＝－2，所以f(－a)＝－a(a2－2)＋1＝2＋1＝3.故选D.
答案：D
8．解析：由函数y＝f(x)的定义域为[－5，3]，f(x－1)有意义，则－5≤x－1≤3，解得－4≤x≤4.y＝有意义，需满足－4≤x≤4且x＋1≠0，即－4≤x≤4且x≠－1，所以函数y＝的定义域为[－4，－1)∪(－1，4].故选B.
答案：B
9．解析：对于AC，集合P中有的数(如：x＝2)在集合Q中对应两个值，不唯一，所以不符合函数定义，故AC错误；对于BD，集合P和集合Q均为数集，且集合P中的每一个数在集合Q中都有唯一的数与它对应，符合函数的定义，故BD正确．故选BD.
答案：BD
10．解析：因为f(x)＝，所以f(0)＝＝1，故A正确；函数f(x)＝的定义域为R，f(－x)＝＝f(x)，且f(x)不恒为零，故B正确，C错误；当x≠0时，＝＝－f(x)，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
11．解析：由x≠0，2f(x)＋f＝10x　①，将x换成得＋f(x)＝　②，①×2－②得3f(x)＝，即f(x)＝.
答案：f(x)＝
12．解析：f(－1)＝－(－1)2＝－1，所以f(a)＝3，因为x≤0时，f(x)＝－x2≤0，所以a>0，f(a)＝log2a＝3，解得a＝8.
答案：8
13．答案：(1)f＝－5，f＝7，f(0)＝－1，f(1)＝3.
答案：(2)猜想：f(x)＋f(1－x)＝2.
证明：由f(x)＝，
可得f(1－x)＝，
则f(x)＋f(1－x)＝＝2即证猜想．
14．解析：(1)在同一直角坐标系中函数f(x)，g(x)的图象如下．
(2)结合M(x)的定义，可得函数M(x)的图象，
由(x＋1)2＝x＋1，得x(x＋1)＝0，解得x＝1，或x＝0.
由图象易知M(x)的解析式为M(x)＝
15．解析：由题意可知，关于x的方程(a－1)x2＋(a－1)x－1＝0无解，此时进行分类讨论．①当a－1＝0，即a＝1时，－1＝0不成立，分母不为零，所以a＝1符合题意；②当a－1≠0，即a≠1时，应满足Δ＝(a－1)2＋4(a－1)<0，解得－3答案：C
16．解析：设f(m)＝k，f(k)＝n，f(n)＝，当n≤0时，f(n)＝n2＝，∴n＝－＝f(k)，k无解，不符合题意；当n>0时，f(n)＝n＋2＝，∴n＝＝f(k)；当k≤0时，f(k)＝k2＝，∴k＝－＝f(m)，m无解，不符合题意；当k>0时，f(k)＝k＋2＝，∴k＝＝f(m)．
答案：课时作业18　导数与函数的极值、最值
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的极小值点为(　　)
A．x1 B．0
C．x2或x3 D．x4
2．(2026·中山模拟)函数f(x)＝ex－ln (ex)在其定义域上(　　)
A．有最小值，有最大值 B．有最小值，无最大值
C．无最小值，有最大值 D．无最小值，无最大值
3．若x＝2是函数f(x)＝x3－ax2的极小值点，则实数a＝(　　)
A．6 B．3
C．2 D．4
4．(2026·开封模拟)若函数f(x)＝x3－ax2＋1在x＝－4处取得极大值，则实数a＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
5．(2026·沙坪坝模拟)函数 f(x)＝ex－ 的最小值为(　　)
A． B．1
C．e D．e2
6．(2026·河南多校联考)近日，毛绒卡通玩偶拉布布(LABUBU)火爆全球．已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r(单位：dm)的拉布布头部模型．已知每个这样的模型的打印成本为4πr4元，厂家可制作的模型的最大半径为1 dm，若批发商以3元/dm3的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利(　　)
A.π 元 B． 元
C． 元 D． 元
7．(2026·芜湖模拟)若函数f(x)＝(sin x－a)3的最小值为1，则f(x)的最大值为(　　)
A．2 B．4
C．8 D．27
8．(2026·肇庆模拟)若函数f(x)＝xex－a(x＋ln x)的极小值为2a，则实数a的值为(　　)
A．e B．－e
C． D．－
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9．已知函数f(x)＝x3－x2－3x＋1，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)有3个极值点
B．f(x)的极大值点为－1
C．f(x)的极小值为－8
D．f(x)的最大值为
10．已知函数f(x)＝ax4－4ax3＋b，x∈[1，4]，f(x)的最大值为3，最小值为－6，则a＋b的值可能为(　　)
A．－ B．－
C． D．
三、填空题(每小题5分，共10分)
11．(2026·三门峡模拟)f(x)＝x＋cos x在[0，π]上的极小值点为________．
12．(2026·武汉模拟)若函数f(x)＝x3－ax2在x＝－2处有极值，则实数a＝________．
四、解答题(共28分)
13．(13分)已知函数f(x)＝－x ln x＋2x＋1.
(1)求函数f(x)的单调区间以及极值；
(2)求函数f(x)在[1，e2]上的最小值．
14．(15分)(2026·合肥模拟)已知函数f(x)＝－(a＋3)x＋3a ln x(a∈R)．
(1)若a＝－2，求f(x)的图象在x＝1处的切线方程；
(2)若x＝3是f(x)的极大值点，求实数a的取值范围．
优生选做题
15．(5分)(2026·深圳模拟)若函数f(x)＝a ln x＋(x－a)2存在极大值点，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
16．(5分)(2026·淮南模拟)若函数f(x)＝－x＋ln x＋ln a的最小值为1，则实数a的取值范围为__________．课时作业15　函数模型的应用
(分值：73分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1．(2026·合肥模拟)在跳水运动中，水花半径R(单位：米)与运动员入水速度v(m/s)、入水时身体倾斜角度θ(弧度)、入水截面积S(m2)相关．实验表明，当入水速度v≤5 m/s时，水花半径满足公式：R＝k·v2·sin θ·，其中k＝0.05为实验常数．某次比赛中一位运动员完成动作207C时，入水速度4.8 m/s、入水时身体倾斜角度θ＝7°、入水截面积0.04 m2，则入水产生的水花半径是(注：结果保留3位小数，其中sin 7°≈0.12)(　　)
A．0.026 m B．0.027 m
C．0.028 m D．0.029 m
2．(2026·长沙模拟)B-S模型在金融、物理等学科具有重要应用．在进行正态分布的合理调整之后，可得一种B-S模型的定价公式：K＝－Xn，其中K代表期权的初始合理价格与金融资产现价之差，Xn为执行价格，r为利率，Tn为期权的有效期．已知K＝－6 000，r＝ln 2，X2＝4X1，则T2－T1＝(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
3．遗忘曲线(又称“艾宾浩斯遗忘曲线”)是由德国心理学家艾宾浩斯(H.Ebbinghaus)研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x(单位：时)的大致关系：y＝1－0.6x0.06，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在(参考数据：()0.06≈0.959 3，()0.06≈1.025，20.06≈1.042 5)(　　)
A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00
4．(2026·嘉兴一模)为了节约能源，嘉兴市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表：
每户每年天然气用量 天然气价格
不超过300 m3 2.98元/m3
超过300 m3但不超过480 m3的部分 3.60元/m3
超过480 m3的部分 4.50元/m3
若某户居民一年的天然气费为2 082元，则此户居民这一年使用的天然气为(　　)
A．610 m3 B．600 m3
C．558.7 m3 D．462.7 m3
5．(2026·邯郸模拟)某金融产品的价格增长模型遵循连续复利模型，公式为P(t)＝P0·ert，其中r为年收益率，t为投资时间(单位：年)，e为自然对数的底数，P0为初始资金，P(t)为t年后的资金，已知某产品年收益率r＝5%，则使初始资金翻倍至少需要(参考数据：ln 2≈0.693 1)(　　)
A．12年 B．13年 C．14年 D．15年
6．(2026·深圳模拟)某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量(单位：个)分别记为y1和y2.设培育时间为t(单位：天)，据统计，两者数量满足以下关系：y1＝3×4t，y2＝8×3t.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要(　　)
A．3天 B．4天 C．5天 D．6天
7．(2026·哈尔滨模拟)“百日冲刺”是学校针对高三学生进行的高考前激情教育，某班主任根据历年学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个关于经过时间t(30≤t≤100)(单位：天)与增加总分数f(t)(单位：分)的函数模型f(t)＝，k为增分转化系数，P为“百日冲刺”后的一模总分，f(50)＝P.已知某学生在距离高考还有99天的一模考试中总分为600分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分为(参考数据：lg 51≈1.71，结果保留整数)(　　)
A．658 B．668 C．678 D．688
8．(2026·房山模拟)生物学家通过数学建模，得到恒温动物(如豚鼠、兔、小狗等)的脉搏率f(单位：次/分钟)和体重W(单位：克)的关系模型为ln f＝ln k－，其中k为常数．已知一只体重为300克的豚鼠的脉搏率为300次/分钟，若一只小狗的体重为5 000克，则该小狗的脉搏率最接近的是(　　)
A．120次/分 B．110次/分
C．100次/分 D．90次/分
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9．某智能手机生产厂家对旗下的某款手机的续航能力进行了一轮测试(一轮测试时长为6小时)，得到了剩余电量y(单位：百分比)与测试时间t(单位：h)的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有(　　)
A．测试结束时，该手机剩余电量为85%
B．该手机在前5 h内电量始终在匀速下降
C．该手机在0 h～3 h内电量下降的速度比3 h～5 h内下降的速度更快
D．该手机在5 h～6 h进行了充电操作
10．已知放射性物质质量随时间t的衰变公式N(t)＝N0e－t,τ，N0表示物质的初始质量，τ是一个具有时间量纲的数．半衰期T指的是放射性物质质量从初始质量到衰变成一半所需的时间，已知铀234、铀235、铀238对应的τ的取值分别为35.58万年，10.2亿年，64.75亿年．若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为T1，T2，T3，则(取ln 2＝0.7)(　　)
A．T＝τln 0.5 B．T与τ成正比例关系
C．T1>T2 D．T3>10 000T1
11．(2026·重庆二模)从2024年3月1日起，新的酒驾检验标准开始实施，只要每100 mL血液中乙醇含量大于或等于20 mg，就是酒驾，属于违法行为；而大于或等于80 mg则认定为醉驾，属于犯罪行为．张师傅某次饮酒后，若其血液中的乙醇含量y(单位：mg/mL)与酒后代谢时间x(单位：h)的数量关系满足y＝，则张师傅此次饮酒后(　　)
A．当代谢时间x＝0.5时，血液中的乙醇含量最低
B．血液中的乙醇含量开始是代谢时间x的增函数，然后是代谢时间x的减函数
C．若执意驾车，完全不可能被认定为酒驾违法行为，更不可能被认定为醉驾犯罪行为
D．若执意驾车，饮酒后0.5 h接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾
三、填空题(每小题5分，共15分)
12．声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v(m/s)与温度t(℃)部分对应数值如下表：研究发现v，t满足公式v＝at＋b(a，b为常数，且a≠0)．当温度t为20 ℃时，声音传播的速度v为________m/s.
温度t(℃) －10 0 10 30
声音传播的速度v(m/s) 324 330 336 348
13．(2026·武汉二模)为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y(单位：万块)满足模型y＝，其中N为饱和度，y0为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为10%，饱和度为1 020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约__________万块．(结果四舍五入保留到整数，参考数据：e-0.5≈0.61，e-0.6≈0.55，e-0.7≈0.49)
14．(2026·临沂模拟)2025年山东省春节晚会准备在某市召开，该市筹备组将提前对其使用场所进行消毒，在药物喷洒过程中，该场所空气中的含药量y(毫克/每立方米)与时间x(小时)成正比(0

展开更多......

收起↑