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第34讲 平面向量的概念及运算
考点一　平面向量的概念
[例1]　(1)(2026·福建厦门模拟)下列命题不正确的是 (　　)
A.单位向量都相等
B.零向量的长度等于0
C.若a,b都为非零向量,则使+=0成立的条件是a与b反向共线
D.若a=b,b=c,则a=c
[答案]　A
[解析]　A选项,单位向量的模都相等,方向不一定相同,故A不正确;B选项,由零向量的定义知,零向量的长度为0,故B正确;C选项,因为都是单位向量,所以只有当是相反向量,即a与b反向共线时+=0才成立,故C正确;D选项,由向量相等的定义知,D正确.
(2)如图,O是正六边形ABCDEF的中心,下列向量中,与相等的向量为 (　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　对于选项A,虽然||=||,但方向不同,不满足向量相等的条件,所以不相等,A错误.
对于选项B,方向相同,并且由于DE=OF, 所以=,B正确.
对于选项C,方向不同,所以不相等,C错误.
对于选项D,方向不同,所以不相等,D错误.
方法总结
与平面向量有关概念的四个关注点
1.相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.
2.共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.
3.向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图象的平移混淆.
4.是与a同方向的单位向量.
1.下列说法正确的是 (　　)
A.若a,b为单位向量,则a=b
B.若a,b为平行向量,则a=b
C.若|a|=|b|,则a=b
D.若a=b,则|a|=|b|
答案:D
解析:由向量相等的概念可知a=b |a|=|b|且a,b方向相同.
对于A,由a,b为单位向量可得|a|=|b|,但a,b方向未必相同,故a=b未必成立,故A错误;
对于B,由a,b为平行向量,不能说明|a|=|b|,也不能说明a,b方向相同,所以不能说明a=b,故B错误;
对于C,|a|=|b|,但a,b方向未必相同,不能说明a=b,故C错误;
对于D,若a=b,则|a|=|b|,故D正确.
2.如图,在圆O中,向量,,是 (　　)
A.有相同起点的向量
B.相反向量
C.模相等的向量
D.相等向量
答案:C
解析:对于选项A,因为向量,的起点为O,而向量的起点为A,所以选项A错误;
对于选项B,因为相反向量是方向相反,长度相等的向量,而向量,,的方向不相反,所以选项B错误;
对于选项C,向量,,的模长均为圆O的半径,所以选项C正确;
对于选项D,因为相等向量是方向相同,长度相等的向量,而向量,,的方向不同,所以选项D错误.
考点二　平面向量的线性运算
[例2]　(1)(多选)在△ABC中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,G为△ABC的重心,则下述结论中正确的是 (　　)
A.= B.=(+)
C.++=0 D.++=0
[答案]　BCD
[解析]　对于选项A,因为E,F分别是边CA,AB的中点,则=,即选项A错误;
对于选项B,因为D为BC的中点,则=(+),即选项B正确;
对于选项C,++=++=(++)=0,即选项C正确;
对于选项D,=-2=-2×(+)=-(+),即++=0,即选项D正确.
(2)(2026·湖南长沙模拟)在△ABC中,D是线段BC上一点,若=λ,=+,则实数λ= (　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　因为=λ,所以=+=+λ=+λ(-+)=(1-λ)+λ.
因为=+,所以λ=.
方法总结
1.共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则.
2.求首尾相连向量的和用三角形法则.
3.求参数问题,可以通过研究向量间的关系,即通过向量的运算将向量表示出来,再进行比较,进而求参数的值.
3.如图,在正六边形ABCDEF中,点M满足=2,则=(　　)
A.2+
B.-+2
C.+
D.+
答案:B
解析:由题设和正六边形的结构特征知=,=,且=++,=+,
又=2,所以=,所以=+2+=-+2+=-+2.
4.如图,在△OAB中,P为线段AB上的一点,且=4.若=x+y,则 (　　)
A.x=,y= B.x=,y=
C.x=,y= D.x=,y=
答案:A
解析:由=4,可得=,所以=+=+(-)=+,所以x=,y=.
考点三　共线向量定理及其应用
角度1　利用向量共线求参数
[例3]　已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d反向共线,则实数λ= (　　)
A.1 B.-
C. D.-2
[答案]　B
[解析]　c与d反向共线,则存在实数k使c=kd(k<0),
于是λa+b=ka+k(2λ-1)b=ka+(2λk-k)b,
由于a,b不共线,所以有整理得2λ2-λ-1=0,解得λ=1或λ=-.
又因为k<0,所以λ<0,故λ=-.
角度2　共线向量定理的推论及应用
[例4]　在△ABC中,点O满足=,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点E,F,设=x,=y,则x+y= (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
[答案]　B
[解析]　在△ABC中,因为=,即O为BC的中点,所以=+.
又因为=x,=y,所以=x+y.
因为E,O,F三点共线,可得x+y=1,所以x+y=2.
方法总结
当b≠0时,利用共线向量定理解题的策略
1.a∥b a=λb是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
2.当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线,即A,B,C三点共线 ,共线.
3.若a与b不共线且λa=μb,则λ=μ=0.
4.=λ+μ(λ,μ为实数),若A,B,C三点共线(点O不在直线BC上),则λ+μ=1.
5.(2026·广东广州模拟)已知向量a,b不共线,λa+b与3a+2b共线,则实数λ= (　　)
A. B.2
C.6 D.-
答案:A
解析:因为λa+b与3a+2b共线,所以=,解得λ=.
6.如图,在△ABC中,=,P是线段BN上的一点.若=m+,则实数m= (　　)
A.- B.-
C. D.
答案:D
解析:因为=,所以=3,
则=m+=m+·3=m+.
因为P,B,N三点共线,所以m+=1,解得m=.(共22张PPT)
第34讲平面向量的概念及运算
考点一　平面向量的概念
[例1]　(1)(2026·福建厦门模拟)下列命题不正确的是(　　)
A.单位向量都相等
B.零向量的长度等于0
C.若a,b都为非零向量,则使+=0成立的条件是a与b反向共线
D.若a=b,b=c,则a=c
A
[解析]　A选项,单位向量的模都相等,方向不一定相同,故A不正确;B选项,由零向量的定义知,零向量的长度为0,故B正确;C选项,因为都是单位向量,所以只有当是相反向量,即a与b反向共线时+=0才成立,故C正确;D选项,由向量相等的定义知,D正确.
(2)如图,O是正六边形ABCDEF的中心,下列向量中,与相等的向量为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
[解析]　对于选项A,虽然||=||,但方向不同,不满足向量相等的条件,所以不相等,A错误.
对于选项B,方向相同,并且由于DE=OF, 所以=,B正确.
对于选项C,方向不同,所以不相等,C错误.
对于选项D,方向不同,所以不相等,D错误.
B
方法总结
与平面向量有关概念的四个关注点
1.相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.
2.共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.
3.向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图象的平移混淆.
4.是与a同方向的单位向量.
跟踪训练
1.下列说法正确的是(　　)
A.若a,b为单位向量,则a=b
B.若a,b为平行向量,则a=b
C.若|a|=|b|,则a=b
D.若a=b,则|a|=|b|
D
解析:由向量相等的概念可知a=b |a|=|b|且a,b方向相同.
对于A,由a,b为单位向量可得|a|=|b|,但a,b方向未必相同,故a=b未必成立,故A错误;
对于B,由a,b为平行向量,不能说明|a|=|b|,也不能说明a,b方向相同,所以不能说明a=b,故B错误;
对于C,|a|=|b|,但a,b方向未必相同,不能说明a=b,故C错误;
对于D,若a=b,则|a|=|b|,故D正确.
2.如图,在圆O中,向量,,是(　　)
A.有相同起点的向量
B.相反向量
C.模相等的向量
D.相等向量
C
解析:对于选项A,因为向量,的起点为O,而向量的起点为A,所以选项A错误;
对于选项B,因为相反向量是方向相反,长度相等
的向量,而向量,,的方向不相反,所以选
项B错误;
对于选项C,向量,,的模长均为圆O的半径,所以选项C正确;
对于选项D,因为相等向量是方向相同,长度相等的向量,而向量,,的方向不同,所以选项D错误.
考点二　平面向量的线性运算
[例2]　(1)(多选)在△ABC中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,G为△ABC的重心,则下述结论中正确的是(　　 )
A.= B.=(+)
C.++=0 D.++=0
BCD
[解析]　对于选项A,因为E,F分别是边CA,AB的中点,
则=,即选项A错误;
对于选项B,因为D为BC的中点,则=(+),即选项B正确;
对于选项C,++=++=(++)=0,即选项C正确;
对于选项D,=-2=-2×(+)=-(+),即++=0,即选项D正确.
(2)(2026·湖南长沙模拟)在△ABC中,D是线段BC上一点,若=λ,=+,则实数λ=(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　因为=λ,所以=+=+λ=+λ(-+)=
(1-λ)+λ.
因为=+,所以λ=.
D
方法总结
1.共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则.
2.求首尾相连向量的和用三角形法则.
3.求参数问题,可以通过研究向量间的关系,即通过向量的运算将向量表示出来,再进行比较,进而求参数的值.
跟踪训练
3.如图,在正六边形ABCDEF中,点M满足=2,则=(　　)
A.2+
B.-+2
C.+
D.+
B
解析:由题设和正六边形的结构特征知=,=,且=++,=+,
又=2,所以=,所以=+2+=-+2+=-+2.
4.如图,在△OAB中,P为线段AB上的一点,且=4.若=x+y,则(　　)
A.x=,y= B.x=,y=
C.x=,y= D.x=,y=
解析:由=4,可得=,所以=+=+(-)=+,所以x=,y=.
A
考点三　共线向量定理及其应用
角度1　利用向量共线求参数
[例3]　已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d反向共线,则实数λ=(　　)
A.1 B.-
C. D.-2
B
[解析]　c与d反向共线,则存在实数k使c=kd(k<0),
于是λa+b=ka+k(2λ-1)b=ka+(2λk-k)b,
由于a,b不共线,所以有整理得2λ2-λ-1=0,解得λ=1或λ=-.
又因为k<0,所以λ<0,故λ=-.
角度2　共线向量定理的推论及应用
[例4]　在△ABC中,点O满足=,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点E,F,设=x,=y,则x+y=(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
B
[解析]　在△ABC中,因为=,即O为BC的中点,所以=+.
又因为=x,=y,所以=x+y.
因为E,O,F三点共线,可得x+y=1,所以x+y=2.
方法总结
当b≠0时,利用共线向量定理解题的策略
1.a∥b a=λb是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
2.当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线,即A,B,C三点共线 ,共线.
3.若a与b不共线且λa=μb,则λ=μ=0.
4.=λ+μ(λ,μ为实数),若A,B,C三点共线(点O不在直线BC上),则λ+μ=1.
跟踪训练
5.(2026·广东广州模拟)已知向量a,b不共线,λa+b与3a+2b共线,则实数λ=(　　)
A. B.2
C.6 D.-
解析:因为λa+b与3a+2b共线,所以=,解得λ=.
A
6.如图,在△ABC中,=,P是线段BN上的一点.若=m+,则实数m=(　　)
A.- B.-
C. D.
解析:因为=,所以=3,
则=m+=m+·3=m+.
因为P,B,N三点共线,所以m+=1,解得m=.
D

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