资源简介

(共22张PPT)
第36讲平面向量的数量积
考点一　平面向量数量积的基本运算
[例1]　(1)(2026·山西太原模拟)已知向量a,b,c均为单位向量,且a+3b+2c=0,则a·(2b-c)=(　　)
A.0　　　　　　　　　 B.-1
C.2 D.-3
[解析]　由a+3b=-2c,得a2+6a·b+9b2=4c2,即1+6a·b+9=4,有a·b=-1.
又由a+2c=-3b,得a2+4a·c+4c2=9b2,即1+4+4a·c=9,有a·c=1,
故a·(2b-c)=2a·b-a·c=-3.
D
(2)(2023·全国乙卷)已知正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,则·=(　　)
A. B.3
C.2 D.5
B
[解析]　法一:以{,}为基底向量,可知||=||=2,·=0,则=+=+,=+=-+,所以·=(+)·(-+)=-+=-1+4=3.
法二:如图,以A为坐标原点建立平面直角坐标系,
则E(1,0),C(2,2),D(0,2),可得=(1,2),=(-1,2),
所以·=-1+4=3.
方法总结
计算平面向量数量积的主要方法
1.利用定义:a·b=|a||b|cos〈a,b〉.
2.利用坐标运算:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
3.利用基底法求数量积.
4.灵活运用平面向量数量积的几何意义.
跟踪训练
1.已知非零向量a,b满足|b|=2|a|=2,且|2a-b|=3|a|,则a·b=(　　)
A.- B.
C. D.-
解析:因为|b|=2|a|=2,则|a|=1.
又|2a-b|=3|a|,则有(2a-b)2=(3a)2,化简得4|a|2+|b|2-4a·b=9|a|2,解得a·b=-.
A
2.如图, N为等边△ABC的中线AD上任意一点,MB=3,MC=2,则·(-)= (　　)
A. B.
C. D.
D
解析:法一:因为△ABC为等边三角形,AD是边BC的中线,所以AD⊥BC,故·=0,
所以·(-)=(+)·=·+·=·.
因为D是BC上的中点,所以=(+).
因此·=(+)·(-)=(||2-||2)=.
法二:以D为原点,DC,DA分别为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
设M(x,y),N(0,n),B(-a,0),C(a,0).
则=(-x,n-y),=(-a-x,-y),=(a-x,-y),=(-2a,0),
所以·(-)=·=2ax.
又因为MB=3,MC=2,
所以有
两式作差得4ax=5,故·(-)=2ax=.
考点二　平面向量数量积的应用
角度1　向量的模
[例2]　(2026·山东烟台模拟)在△ABC中,AB=2AC=6,∠BAC=60°,=3,则||=(　　)
A. B.
C. D.2
C
[解析]　在△ABC中,AB=2AC=6,∠BAC=60°,=3,
所以=+,
则||=
=
==.
角度2　向量的夹角
[例3]　(2026·河北邯郸模拟)已知非零向量a,b满足|a|=|a-2b|,且向量a,b
的夹角为,则向量a,a+2b的夹角为　　　　.
[解析]　由|a|=|a-2b|可得|a|2=|a|2-4a·b+4|b|2,
又a,b为非零向量,且向量a,b的夹角为,
则4|a|·|b|×=4|b|2,即|a|=2|b|,
又a·(a+2b)=|a|2+2|a|·|b|×=4|b|2+2|b|2=6|b|2,
|a+2b|====2|b|,
所以cos〈a,a+2b〉===,
所以〈a,a+2b〉=.
角度3　向量的垂直
[例4]　(人A必修第二册P60T8改编)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=(　　)
A.-2 B.-1
C.1 D.2
[解析]　法一:因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,即b2=4a·b.因为a=(0,1),b=(2,x),所以b2=4+x2,a·b=x,所以4+x2=4x,解得x=2.
法二(坐标法):因为a=(0,1),b=(2,x),所以b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4).因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以2×2+x(x-4)=0,解得x=2.
D
跟踪训练
3.(2026·辽宁鞍山模拟)已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(0,1),若a⊥(b+λc),则λ=(　　)
A.- B.
C.-2 D.2
解析:由b=(1,0),c=(0,1),得b+λc=(1,λ),由a⊥(b+λc),得1+2λ=0,
所以λ=-.
A
4.(2026·北京模拟)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a2=a·b,则a与b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
解析:因为a2=a·b,则|a|2=|a|·|b|cos〈a,b〉,又|a|=1,|b|=2,
所以1=2cos〈a,b〉,则cos〈a,b〉=.因为〈a,b〉∈[0,π],所以〈a,b〉=.
B
5.(2025·全国二卷)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|=　　　　.
解析:a-b=(1,1-2x),因为a⊥(a-b),则a·(a-b)=0,则x+1-2x=0,解得x=1,则a=(1,1),则|a|=.
考点三　平面向量数量积的实际应用
[例5]　如图所示,质点P从点A出发,沿AB,BC,CD运动至点D,
已知AB∥CD,AB=4,BC=2,CD=3,·=-2,则质点P位移的
大小是(　　)
A.9 B.2
C.2 D.
D
[解析]　由题意可得质点P的位移为=++,
所以||=
=.
因为AB=4,BC=2,CD=3,所以·=12,
设,的夹角为θ,所以·=||||·cos θ=-2 cos θ=-.
因为AB∥CD,所以·=||||cos θ=2×3×(-)=-,所以||=.
跟踪训练
6.若平面上的三个力F1,F2,F3作用于同一点,且处于平衡状态.已知
|F1|=,|F2|=2,且F1与F2的夹角为,则F2与F3的夹角为　　　　.
解析:如图以F1和F2的公共起点为原点,以F1的方向为
x轴正方向建立平面直角坐标系.
设F1=,F2=,∠AOB=.
因为|F1|=,|F2|=2且F1与F2的夹角为,可得A(,0),B(-,1),
所以F1==(,0),F2==(-,1).
因为三个力F1,F2,F3作用于同一点,且处于平衡状态,所以F1+F2+F3=0,
即F3=-(F1+F2)=(0,-1),则|F3|=1,所以F2·F3=(-)×0+1×(-1)=-1.
设F2与F3的夹角为θ,则cos θ===-.
因为θ∈[0,π],所以θ=,所以F2与F3的夹角为.第36讲 平面向量的数量积
考点一　平面向量数量积的基本运算
[例1]　(1)(2026·山西太原模拟)已知向量a,b,c均为单位向量,且a+3b+2c=0,则a·(2b-c)=(　　)
A.0　　　　　　　　　 B.-1
C.2 D.-3
[答案]　D
[解析]　由a+3b=-2c,得a2+6a·b+9b2=4c2,即1+6a·b+9=4,有a·b=-1.
又由a+2c=-3b,得a2+4a·c+4c2=9b2,即1+4+4a·c=9,有a·c=1,
故a·(2b-c)=2a·b-a·c=-3.
(2)(2023·全国乙卷)已知正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,则·= (　　)
A. B.3
C.2 D.5
[答案]　B
[解析]　法一:以{,}为基底向量,可知||=||=2,·=0,则=+=+,=+=-+,所以·=(+)·(-+)=-+=-1+4=3.
法二:如图,以A为坐标原点建立平面直角坐标系,则E(1,0),C(2,2),D(0,2),可得=(1,2),=(-1,2),所以·=-1+4=3.
方法总结
计算平面向量数量积的主要方法
1.利用定义:a·b=|a||b|cos.
2.利用坐标运算:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
3.利用基底法求数量积.
4.灵活运用平面向量数量积的几何意义.
1.已知非零向量a,b满足|b|=2|a|=2,且|2a-b|=3|a|,则a·b= (　　)
A.- B.
C. D.-
答案:A
解析:因为|b|=2|a|=2,则|a|=1.
又|2a-b|=3|a|,则有(2a-b)2=(3a)2,化简得4|a|2+|b|2-4a·b=9|a|2,解得a·b=-.
2.如图, N为等边△ABC的中线AD上任意一点,MB=3,MC=2,则·(-)= (　　)
A. B.
C. D.
答案:D
解析:法一:因为△ABC为等边三角形,AD是边BC的中线,所以AD⊥BC,故·=0,
所以·(-)=(+)·=·+·=·.
因为D是BC上的中点,所以=(+).
因此·=(+)·(-)=(||2-||2)=.
法二:以D为原点,DC,DA分别为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
设M(x,y),N(0,n),B(-a,0),C(a,0).
则=(-x,n-y),=(-a-x,-y),=(a-x,-y),=(-2a,0),
所以·(-)=·=2ax.
又因为MB=3,MC=2,
所以有
两式作差得4ax=5,故·(-)=2ax=.
考点二　平面向量数量积的应用
角度1　向量的模
[例2]　(2026·山东烟台模拟)在△ABC中,AB=2AC=6,∠BAC=60°,=3,则||= (　　)
A. B.
C. D.2
[答案]　C
[解析]　在△ABC中,AB=2AC=6,∠BAC=60°,=3,
所以=+,
则||=
=
==.
角度2　向量的夹角
[例3]　(2026·河北邯郸模拟)已知非零向量a,b满足|a|=|a-2b|,且向量a,b的夹角为,则向量a,a+2b的夹角为　　　　.
[答案]　
[解析]　由|a|=|a-2b|可得|a|2=|a|2-4a·b+4|b|2,
又a,b为非零向量,且向量a,b的夹角为,
则4|a|·|b|×=4|b|2,即|a|=2|b|,
又a·(a+2b)=|a|2+2|a|·|b|×=4|b|2+2|b|2=6|b|2,
|a+2b|====2|b|,
所以cos===,
所以=.
角度3　向量的垂直
[例4]　(人A必修第二册P60T8改编)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= (　　)
A.-2 B.-1
C.1 D.2
[答案]　D
[解析]　法一:因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,即b2=4a·b.因为a=(0,1),b=(2,x),所以b2=4+x2,a·b=x,所以4+x2=4x,解得x=2.
法二(坐标法):因为a=(0,1),b=(2,x),所以b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4).因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以2×2+x(x-4)=0,解得x=2.
3.(2026·辽宁鞍山模拟)已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(0,1),若a⊥(b+λc),则λ= (　　)
A.- B.
C.-2 D.2
答案:A
解析:由b=(1,0),c=(0,1),得b+λc=(1,λ),由a⊥(b+λc),得1+2λ=0,
所以λ=-.
4.(2026·北京模拟)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a2=a·b,则a与b的夹角为 (　　)
A. B.
C. D.
答案:B
解析:因为a2=a·b,则|a|2=|a|·|b|cos,又|a|=1,|b|=2,
所以1=2cos,则cos=.因为∈[0,π],所以=.
5.(2025·全国二卷)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|=　　　　.
答案:
解析:a-b=(1,1-2x),因为a⊥(a-b),则a·(a-b)=0,则x+1-2x=0,解得x=1,则a=(1,1),则|a|=.
考点三　平面向量数量积的实际应用
[例5]　如图所示,质点P从点A出发,沿AB,BC,CD运动至点D,已知AB∥CD,AB=4,BC=2,CD=3,·=-2,则质点P位移的大小是(　　)
A.9 B.2
C.2 D.
[答案]　D
[解析]　由题意可得质点P的位移为=++,
所以||=
=.
因为AB=4,BC=2,CD=3,所以·=12,
设,的夹角为θ,所以·=||||·cos θ=-2 cos θ=-.
因为AB∥CD,所以·=||||cos θ=2×3×(-)=-,所以||=.
6.若平面上的三个力F1,F2,F3作用于同一点,且处于平衡状态.已知|F1|=,|F2|=2,且F1与F2的夹角为,则F2与F3的夹角为　　　　.
答案:
解析:如图以F1和F2的公共起点为原点,以F1的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系.
设F1=,F2=,∠AOB=.
因为|F1|=,|F2|=2且F1与F2的夹角为,可得A(,0),B(-,1),
所以F1==(,0),F2==(-,1).
因为三个力F1,F2,F3作用于同一点,且处于平衡状态,所以F1+F2+F3=0,
即F3=-(F1+F2)=(0,-1),则|F3|=1,所以F2·F3=(-)×0+1×(-1)=-1.
设F2与F3的夹角为θ,则cos θ===-.
因为θ∈[0,π],所以θ=,所以F2与F3的夹角为.(共19张PPT)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A组　基础保分练
1.已知平面向量a=(1,2),b=(2,m),若(a+b)⊥(a-b),则实数m=(　　)
A.-1　　　　　　　　 B.1
C.-1或1 D.4
解析:因为a=(1,2),b=(2,m),所以a+b=(3,m+2),a-b=(-1,2-m).
因为(a+b)⊥(a-b),所以(a+b)·(a-b)=0,所以-3+(m+2)(2-m)=0,解得m=±1.
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2.(2026·山东淄博模拟)已知|a|=2,向量a在向量b上的投影向量c与向量b方向相反,且|c|=,则a与b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
解析:设向量a与向量b的夹角为θ,θ∈[0,π],
因为向量a在向量b上的投影向量c与向量b方向相反,
所以|a|cos θ=-|c|=-,解得cos θ=-,所以θ=.
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3.某货船执行从A港口到B港口的航行任务,B港口在A港口的正北方向,已知河水的速度为向东2 m/s.若货船在静水中的航速为4 m/s,船长调整船头方向航行,使得实际路程最短,则该船完成此段航行的实际速度为 (　　)
A.2 m/s B.2 m/s
C.4 m/s D.2 m/s
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析:设船在静水中的速度为v1,水流速度为v2,船实际航行速度为v,则|v1|=4,|v2|=2,
且v=v1+v2,设θ=,要使实际路程最短,则v⊥v2,
则v·v2=(v1+v2)·v2=v1·v2+=4×2cos θ+22=0,解得cos θ=-,而0≤θ≤π,于是θ=,|v|====2,
所以该船完成此段航行的实际速度为2 m/s.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4.(2026·湖北武汉模拟)若△ABC是边长为的等边三角形,点D满足=5,则·=(　　)
A. B.5
C. D.4
解析:因为=5,所以==(-),
所以=+=+(-)=-,
所以·=(-)·=-·=×5-×5×=.
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5.(2026·山西临汾模拟)在△ABC中,AB⊥AC,AC=6,=,E是BD的中点,则(+)·=(　　)
A.-8 B.-12
C.8 D.12
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析:法一:因为AB⊥AC,=,E是BD的中点,
所以==,
又=-,
所以(+)·=(+)(-)=×(-)=-×36=-12.
法二:以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),D(0,2),C(0,6),设B(b,0),所以E(,1),=(,1),=
(-b,2),=(0,-4),所以(+)·=(-b,3)·(0,-4)=-12.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6.(多选)(2026·陕西汉中模拟)已知向量a=(1,2),b=(1,-1),则(　　)
A.a+2b=(3,1)
B.|a|=
C.cos=
D.a在b方向上的投影向量坐标是(-,)
BD
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析:对于A,a+2b=(1,2)+(2,-2)=(3,0),A错误;
对于B,|a|==,B正确;
对于C,cos===-,C错误;
对于D,a在b方向上的投影向量坐标是·b=-·(1,-1)=(-,),D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7.一质点在力F1=(-1,-2),F2=(3,4)的共同作用下,由点A(4,-5)移动到点B(2,0),则F1,F2的合力F对该质点所做的功为　　　　.
解析:由题意得F=F1+F2=(-1,-2)+(3,4)=(2,2),
=(2-4,0+5)=(-2,5),则合力F对该质点所做的功为F·=(2,2)·(-2,5)=-4+10=6.
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8.(2026·北京模拟)已知平面向量a,b满足|a|=2,b=(1,0),|2a-b|=5,则a·b=　　　　.
解析:由b=(1,0),则|b|==1,由|2a-b|== =5,
则4×22-4a·b+1=25,解得a·b=-2.
-2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9.(2025·天津卷)在△ABC中,D为AB的中点,=,=a,=b,则
=　　　　(用a,b表示).若||=5,AE⊥CB,则·=　　　　.
a+b
-15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
又因为||=5,AE⊥CB,所以·=(a+b)·(a-b)=a2+a·b-b2=0,所以a2+3a·b=4b2,又=(a+b)2=a2+a·b+b2=25,
所以a2+4a·b=180,
所以·=(a+b)·(-b+a)=a2+a·b-b2=(a2+2a·b-8b2)
=(a2+2a·b-2a2-6a·b)=(-a2-4a·b)=-15.
解析:如图,
因为=,所以-=(-),所以=+.
因为D为AB的中点,所以=+=a+b.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B组　能力提升练
10.在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=120°,且=2,则·=(　　)
A. B.C.1 D.2
解析:易知=+.
在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=120°,则·=||×||×cos 120°=3×2×(-)=-3,所以·=·(+2)=(+2·)=×(9-2×3)=1.
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11.(多选)已知M是边长为2的正方形ABCD内部一点(含边界),=λ+μ,其中λ,μ∈[0,1],则下列选项中正确的是( 　　)
A.当λ+μ=1时,||的最小值为
B.当λ+μ=1时,·的最大值为4
C.当λ=时,·=2
D.当μ=时,·=2
ABC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析:如图,以A为原点,分别以AB,AD所在直线为x,y轴,
建立平面直角坐标系,
则依题意有A(0,0),B(2,0),D(0,2),则=(2,0),=(0,2).
因为=λ+μ,所以=(2λ,2μ).
对于A,因为λ+μ=1,所以μ=1-λ,||2=4λ2+4μ2=4λ2+4(1-λ)2=8(λ-)2+2,
当λ=时,||最小,最小值为,故A正确;
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
对于B,因为·=4λ,λ∈[0,1],所以当λ=1时,·有最大值,最大值为4,故B正确;
对于C,因为·=4λ,λ=,所以·=4×=2,故C正确;
对于D,因为·=4λ,μ=,不能求出其值,故D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12.(多选)在菱形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,AB=4,∠DAB=,则下列说法正确的是( 　)
A.·=-1
B.=(+)
C.=
D.||=2
BD
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析:对于A,因为菱形对角线互相垂直平分,所以⊥,因此·=0,故A错误;
对于B,在菱形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,
所以=,==,
根据向量加法的三角形法则,=+=+=(+),故B正确;
对于C,显然=,故C错误;
对于D,因为||=||=4,∠DAB=,所以·=4×4×cos=8,
则||2=[(+)]2=(+2·+)=(16+2×8+16)=12,
所以||=2,故D正确.[A组　基础保分练]
1.已知平面向量a=(1,2),b=(2,m),若(a+b)⊥(a-b),则实数m= (　　)
A.-1　　　　　　　　 B.1
C.-1或1 D.4
答案:C
解析:因为a=(1,2),b=(2,m),所以a+b=(3,m+2),a-b=(-1,2-m).
因为(a+b)⊥(a-b),所以(a+b)·(a-b)=0,所以-3+(m+2)(2-m)=0,解得m=±1.
2.(2026·山东淄博模拟)已知|a|=2,向量a在向量b上的投影向量c与向量b方向相反,且|c|=,则a与b的夹角为 (　　)
A. B.
C. D.
答案:D
解析:设向量a与向量b的夹角为θ,θ∈[0,π],
因为向量a在向量b上的投影向量c与向量b方向相反,
所以|a|cos θ=-|c|=-,解得cos θ=-,所以θ=.
3.某货船执行从A港口到B港口的航行任务,B港口在A港口的正北方向,已知河水的速度为向东2 m/s.若货船在静水中的航速为4 m/s,船长调整船头方向航行,使得实际路程最短,则该船完成此段航行的实际速度为 (　　)
A.2 m/s B.2 m/s
C.4 m/s D.2 m/s
答案:B
解析: 设船在静水中的速度为v1,水流速度为v2,船实际航行速度为v,则|v1|=4,|v2|=2,
且v=v1+v2,设θ=,要使实际路程最短,则v⊥v2,
则v·v2=(v1+v2)·v2=v1·v2+=4×2cos θ+22=0,解得cos θ=-,而0≤θ≤π,于是θ=,|v|====2,
所以该船完成此段航行的实际速度为2 m/s.
4.(2026·湖北武汉模拟)若△ABC是边长为的等边三角形,点D满足=5,则·= (　　)
A. B.5
C. D.4
答案:A
解析:因为=5,所以==(-),
所以=+=+(-)=-,
所以·=(-)·=-·=×5-×5×=.
5.(2026·山西临汾模拟)在△ABC中,AB⊥AC,AC=6,=,E是BD的中点,则(+)·= (　　)
A.-8 B.-12
C.8 D.12
答案:B
解析:法一:因为AB⊥AC,=,E是BD的中点,
所以==,
又=-,
所以(+)·=(+)(-)=×(-)=-×36=-12.
法二:以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),D(0,2),C(0,6),设B(b,0),所以E(,1),=(,1),=(-b,2),=(0,-4),所以(+)·=(-b,3)·(0,-4)=-12.
6.(多选)(2026·陕西汉中模拟)已知向量a=(1,2),b=(1,-1),则 (　　)
A.a+2b=(3,1)
B.|a|=
C.cos=
D.a在b方向上的投影向量坐标是(-,)
答案:BD
解析:对于A,a+2b=(1,2)+(2,-2)=(3,0),A错误;
对于B,|a|==,B正确;
对于C,cos===-,C错误;
对于D,a在b方向上的投影向量坐标是·b=-·(1,-1)=(-,),D正确.
7.一质点在力F1=(-1,-2),F2=(3,4)的共同作用下,由点A(4,-5)移动到点B(2,0),则F1,F2的合力F对该质点所做的功为　　　　.
答案:6
解析:由题意得F=F1+F2=(-1,-2)+(3,4)=(2,2),
=(2-4,0+5)=(-2,5),则合力F对该质点所做的功为F·=(2,2)·(-2,5)=-4+10=6.
8.(2026·北京模拟)已知平面向量a,b满足|a|=2,b=(1,0),|2a-b|=5,则a·b=　　　　.
答案:-2
解析:由b=(1,0),则|b|==1,由|2a-b|===5,
则4×22-4a·b+1=25,解得a·b=-2.
9.(2025·天津卷)在△ABC中,D为AB的中点,=,=a,=b,则=　　　　(用a,b表示).若||=5,AE⊥CB,则·=　　　　.
答案: a+b　 -15
解析:如图,
因为=,所以-=(-),所以=+.
因为D为AB的中点,所以=+=a+b.
又因为||=5,AE⊥CB,所以·=(a+b)·(a-b)=a2+a·b-b2=0,所以a2+3a·b=4b2,又=(a+b)2=a2+a·b+b2=25,
所以a2+4a·b=180,
所以·=(a+b)·(-b+a)=a2+a·b-b2=(a2+2a·b-8b2)
=(a2+2a·b-2a2-6a·b)=(-a2-4a·b)=-15.
[B组　能力提升练]
10.在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=120°,且=2,则·= (　　)
A. B.
C.1 D.2
答案:C
解析:易知=+.
在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=120°,则·=||×||×cos 120°=3×2×(-)=-3,所以·=·(+2)=(+2·)=×(9-2×3)=1.
11.(多选)已知M是边长为2的正方形ABCD内部一点(含边界),=λ+μ,其中λ,μ∈[0,1],则下列选项中正确的是 (　　)
A.当λ+μ=1时,||的最小值为
B.当λ+μ=1时,·的最大值为4
C.当λ=时,·=2
D.当μ=时,·=2
答案:ABC
解析:如图,以A为原点,分别以AB,AD所在直线为x,y轴,建立平面直角坐标系,
则依题意有A(0,0),B(2,0),D(0,2),则=(2,0),=(0,2).
因为=λ+μ,所以=(2λ,2μ).
对于A,因为λ+μ=1,所以μ=1-λ,||2=4λ2+4μ2=4λ2+4(1-λ)2=8(λ-)2+2,
当λ=时,||最小,最小值为,故A正确;
对于B,因为·=4λ,λ∈[0,1],所以当λ=1时,·有最大值,最大值为4,故B正确;
对于C,因为·=4λ,λ=,所以·=4×=2,故C正确;
对于D,因为·=4λ,μ=,不能求出其值,故D错误.
12.(多选)在菱形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,AB=4,∠DAB=,则下列说法正确的是(　　)
A.·=-1
B.=(+)
C.=
D.||=2
答案:BD
解析:对于A,因为菱形对角线互相垂直平分,所以⊥,因此·=0,故A错误;
对于B,在菱形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,
所以=,==,
根据向量加法的三角形法则,=+=+=(+),故B正确;
对于C,显然=,故C错误;
对于D,因为||=||=4,∠DAB=,所以·=4×4×cos=8,
则||2=[(+)]2=(+2·+)=(16+2×8+16)=12,
所以||=2,故D正确.

展开更多......

收起↑