资源简介

(共32张PPT)
第37讲平面向量中的综合问题
考点一　平面向量在几何中的应用
[例1]　已知E,F分别是四边形ABCD的边AD,BC的中点,且AB=3, CD=2,∠ABC=45°,∠BCD=75°,则线段EF的长为　　　　.
∵=++,=++,
又=-,=-,
∴2=+++++=+,
∴||2=(+)2=||2+||2+||·||cos〈,〉=+1+=,
∴||=,即EF=.
[解析]　作AH∥CD,交BC于点H,则∠BHA=∠BCD=75°,
∴∠BAH=180°-45°-75°=60°,则cos〈,〉=cos〈,〉=cos∠BAH=.
方法总结
用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题 向量问题 解决向量问题 解决几何问题.
跟踪训练
1.已知正△ABC的边长为2,点D在AC上且AD=AC,E为AB的中点,CE与
BD交于点O,则∠DOC的余弦值为　　　　.
解析:因为在正△ABC中,E为AB的中点,所以CE⊥AB,
如图以E为原点,EB,EC所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,
则E(0,0),A(-1,0),B(1,0),C(0,).
因为AD=AC,所以==(1,)=(,),则D(-,),
则=(-,),又=(0,),
所以cos∠DOC===.
考点二　与向量有关的最值(范围)问题
角度1　与线性运算有关的最值(范围)问题
[例2]　如图,在△ABC中,O是BC的中点,过点O的直线分别
交直线AB,AC于不同的两点M,N.若=m,=n,m>0,
n>0,则+的最小值为(　　)
A.2　　　　　　　　　 B.9
C.10 D.18
B
[解析]　因为O是BC的中点,所以=(+).
因为=m,=n,所以=(m+n).
由于O,M,N三点共线,
所以m+n=1,即m+n=2.
因为m>0,n>0,所以+=(m+n)(+)=1+++4=5++≥5+2=9,当且仅当=,即m=,n=时等号成立,此时+的最小值为9.
方法总结
求解与平面向量基本定理有关的
最值(范围)问题的一般步骤
1.利用向量的运算将问题转化为相应的等式关系.
2.运用基本不等式或函数的性质求其最值(范围).
角度2　与数量积有关的最值(范围)问题
[例3]　已知圆O的半径为2,弦AB=2,D为圆O上一动点,则·的最小值为(　　)
A.-1 B.-2
C.-4 D.-6
B
[解析]　法一:建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(2,0),B(1,),设D(2cos θ,2sin θ),
所以=(2cos θ-2,2sin θ),=(-1,),
所以·=2sin θ-2cos θ+2=4sin(θ-)+2.
当sin(θ-)=-1时,·取最小值-2.
法二:如图,作圆的直径EF∥AB,过点E作EC⊥BA,交BA的
延长线于点C.
而·的数量积.
由圆的性质知,当点D与点E重合时,·取得最小值.
因为AB=OA=2,所以∠BAO=∠OAE=∠EAC=,则AC=×2=1,
所以··=1×2cos π=-2.
方法总结
与数量积有关的最值(范围)问题的解法
1.坐标法:通过建立平面直角坐标系,运用向量的坐标运算转化为代数问题处理.
2.向量法:运用向量数量积的定义、不等式、极化恒等式等有关向量知识解决.
角度3　与向量的模有关的最值(范围)问题
[例4]　(2025·北京卷)在平面直角坐标系Oxy中,||=||=,||=2.设C(3,4),则|2+|的取值范围是(　　)
A.[6,14] B.[6,12]
C.[8,14] D.[8,12]
D
[解析]　因为||=||=,||=2,
由=-平方可得,·=0,所以〈,〉=.
2+=2(-)+-=+-2,||==5,
所以|2+|2=++4-4(+)·=2+2+4×25-4(+)·=104-4(+)·.
又|(+)·|≤|+|||=5×=10,
即-10≤(+)·≤10,
所以|2+|2∈[64,144],
即|2+|∈[8,12].
方法总结
求向量模的取值范围或最值的常见方法:通过|a|2=a2转化为实数问题;数形结合;坐标法.
角度4　与向量的夹角有关的最值(范围)问题
[例5]　(2026·江苏苏州模拟)已知向量a在向量b上的投影向量为2b,若
|b|=1,则向量2a+b与a+2b夹角余弦值的最小值为　　　　.
=
=
=2×
[解析]　设向量b=(1,0),
因为向量a在向量b上的投影向量为2b,
所以b=2b,即a·b=2,故可设a=(2,m),
所以2a+b=(5,2m),a+2b=(4,m),
所以cos〈2a+b,a+2b〉
=2
=2,
由二次函数性质可知,当=时,cos〈2a+b,a+2b〉的最小值为.
方法总结
求夹角的最值(范围)问题,要根据夹角余弦值的表达式,利用基本不等式或函数的性质处理.
跟踪训练
2.在△ABC中,=2,点H在线段BD上(不含端点),且=x+y,则x2+y2的最小值是(　　)
A. B.
C.1 D.2
B
解析:由=2,得=3,所以=x+y=x+3y.
因为B,H,D三点共线,所以x+3y=1(x>0,y>0),
所以x2+y2=(1-3y)2+y2=10y2-6y+1=10(y-)2+≥,
当x=,y=时取等号,故x2+y2的最小值为.
3.已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2-8e·b+15=0,则|a-b|的最小值是(　　)
A.4 B.+1
C.2 D.1
D
解析:设a,b共起点,由b2-8e·b+15=0可得(b-3e)·(b-5e)=0,
∴(b-3e)⊥(b-5e),
∴如图,b的终点在以O为圆心,AB为直径的圆上,
∴|DO|=4.
∵a与e夹角为,
∴|OC|=2,
因此|a-b|的最小值为圆心O到向量a所在直线的距离减去圆O的半径,即2-1=1.
4.已知O为△ABC的外接圆的圆心,OA=1,∠BAC=60°,则·的最大值为(　　)
A.2 B.
C.1 D.
D
解析:如图所示,因为O为△ABC的外接圆圆心,
OA=1,∠BAC=60°,
所以∠BOC=2∠BAC=120°,且||=||=||=1,
所以·=(-)·=·-·=--·=--cos∠AOC,
所以当,反向共线时,·.
5.设向量=(1,x),=(2,x),则cos〈,〉的最小值为　　　　.
解析:cos〈,〉=,令2+x2=t(t≥2),则x2=t-2,
所以cos〈,〉===,
当=,即t=4,x2=2时,cos〈,〉取得最小值,且最小值为.
极化恒等式
教材延展
知识背景 (源于人教A版必修第二册P22练习T3)
(a+b)2-(a-b)2=4a·b,变形可得a·b=[(a+b)2-(a-b)2],此即为极化恒等式.
模型应用 1.平行四边形模型:如图,·=(-),
即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”.
2.三角形模型:如图,M为BC的中点,则·=
-=-,即“从三角形一个顶点
出发的两个边向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差”.
角度1　利用极化恒等式求数量积
[例1]　如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两
个三等分点,·=4,·=-1,则·=　　　　.
[解析]　设=a,=b,·=||2-||2=9b2-a2=4,
·=||2-||2=b2-a2=-1,解得b2=,a2=,
∴·=||2-||2=4b2-a2=.
角度2　 利用极化恒等式求最值(范围)
[例2]　(2022·北京卷)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则·的取值范围是(　　)
A.[-5,3] B.[-3,5]
C.[-6,4] D.[-4,6]
D
[解析]　设AB的中点为M,连接CM(图略),的夹角为θ,
由极化恒等式得·=-=(-)2-
=+-2·-=+1-5cos θ-=1-5cos θ.
因为cos θ∈[-1,1],所以·∈[-4,6].第37讲 平面向量中的综合问题
考点一　平面向量在几何中的应用
[例1]　已知E,F分别是四边形ABCD的边AD,BC的中点,且AB=3,CD=2,∠ABC=45°,∠BCD=75°,则线段EF的长为　　　　.
[答案]　
[解析]　作AH∥CD,交BC于点H,则∠BHA=∠BCD=75°,
∴∠BAH=180°-45°-75°=60°,则cos<,>=cos<,>=cos∠BAH=.
∵=++,=++,
又=-,=-,
∴2=+++++=+,
∴||2=(+)2=||2+||2+||·||cos<,>=+1+=,
∴||=,即EF=.
方法总结
用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题.
1.已知正△ABC的边长为2,点D在AC上且AD=AC,E为AB的中点,CE与BD交于点O,则∠DOC的余弦值为　　　　.
答案:
解析:因为在正△ABC中,E为AB的中点,所以CE⊥AB,
如图以E为原点,EB,EC所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,
则E(0,0),A(-1,0),B(1,0),C(0,).
因为AD=AC,所以==(1,)=(,),则D(-,),
则=(-,),又=(0,),
所以cos∠DOC===.
考点二　与向量有关的最值(范围)问题
角度1　与线性运算有关的最值(范围)问题
[例2]　如图,在△ABC中,O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N.若=m,=n,m>0,n>0,则+的最小值为(　　)
A.2　　　　　　　　　 B.9
C.10 D.18
[答案]　B
[解析]　因为O是BC的中点,所以=(+).
因为=m,=n,所以=(m+n).
由于O,M,N三点共线,
所以m+n=1,即m+n=2.
因为m>0,n>0,所以+=(m+n)(+)=1+++4=5++≥5+2=9,当且仅当=,即m=,n=时等号成立,此时+的最小值为9.
方法总结
求解与平面向量基本定理有关的
最值(范围)问题的一般步骤
1.利用向量的运算将问题转化为相应的等式关系.
2.运用基本不等式或函数的性质求其最值(范围).
角度2　与数量积有关的最值(范围)问题
[例3]　已知圆O的半径为2,弦AB=2,D为圆O上一动点,则·的最小值为 (　　)
A.-1 B.-2
C.-4 D.-6
[答案]　B
[解析]　法一:建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(2,0),B(1,),设D(2cos θ,2sin θ),
所以=(2cos θ-2,2sin θ),=(-1,),
所以·=2sin θ-2cos θ+2=4sin(θ-)+2.
当sin(θ-)=-1时,·取最小值-2.
法二:如图,作圆的直径EF∥AB,过点E作EC⊥BA,交BA的延长线于点C.
而·的数量积.
由圆的性质知,当点D与点E重合时,·取得最小值.
因为AB=OA=2,所以∠BAO=∠OAE=∠EAC=,则AC=×2=1,
所以··=1×2cos π=-2.
方法总结
与数量积有关的最值(范围)问题的解法
1.坐标法:通过建立平面直角坐标系,运用向量的坐标运算转化为代数问题处理.
2.向量法:运用向量数量积的定义、不等式、极化恒等式等有关向量知识解决.
角度3　与向量的模有关的最值(范围)问题
[例4]　(2025·北京卷)在平面直角坐标系Oxy中,||=||=,||=2.设C(3,4),则|2+|的取值范围是 (　　)
A.[6,14] B.[6,12]
C.[8,14] D.[8,12]
[答案]　D
[解析]　因为||=||=,||=2,
由=-平方可得,·=0,所以<,>=.
2+=2(-)+-=+-2,||==5,
所以|2+|2=++4-4(+)·=2+2+4×25-4(+)·=104-4(+)·.
又|(+)·|≤|+|||=5×=10,
即-10≤(+)·≤10,
所以|2+|2∈[64,144],
即|2+|∈[8,12].
方法总结
求向量模的取值范围或最值的常见方法:通过|a|2=a2转化为实数问题;数形结合;坐标法.
角度4　与向量的夹角有关的最值(范围)问题
[例5]　(2026·江苏苏州模拟)已知向量a在向量b上的投影向量为2b,若|b|=1,则向量2a+b与a+2b夹角余弦值的最小值为　　　　.
[答案]　
[解析]　设向量b=(1,0),
因为向量a在向量b上的投影向量为2b,
所以b=2b,即a·b=2,故可设a=(2,m),
所以2a+b=(5,2m),a+2b=(4,m),
所以cos<2a+b,a+2b>
=
=
=2×
=2
=2,
由二次函数性质可知,当=时,cos<2a+b,a+2b>的最小值为.
方法总结
求夹角的最值(范围)问题,要根据夹角余弦值的表达式,利用基本不等式或函数的性质处理.
2.在△ABC中,=2,点H在线段BD上(不含端点),且=x+y,则x2+y2的最小值是(　　)
A. B.
C.1 D.2
答案:B
解析:由=2,得=3,所以=x+y=x+3y.
因为B,H,D三点共线,所以x+3y=1(x>0,y>0),
所以x2+y2=(1-3y)2+y2=10y2-6y+1=10(y-)2+≥,
当x=,y=时取等号,故x2+y2的最小值为.
3.已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2-8e·b+15=0,则|a-b|的最小值是 (　　)
A.4 B.+1
C.2 D.1
答案:D
解析:设a,b共起点,由b2-8e·b+15=0可得(b-3e)·(b-5e)=0,
∴(b-3e)⊥(b-5e),
∴如图,b的终点在以O为圆心,AB为直径的圆上,
∴|DO|=4.
∵a与e夹角为,
∴|OC|=2,
因此|a-b|的最小值为圆心O到向量a所在直线的距离减去圆O的半径,即2-1=1.
4.已知O为△ABC的外接圆的圆心,OA=1,∠BAC=60°,则·的最大值为 (　　)
A.2 B.
C.1 D.
答案:D
解析:如图所示,因为O为△ABC的外接圆圆心,OA=1,∠BAC=60°,
所以∠BOC=2∠BAC=120°,且||=||=||=1,
所以·=(-)·=·-·=--·=--cos∠AOC,
所以当,反向共线时,·.
5.设向量=(1,x),=(2,x),则cos<,>的最小值为　　　　.
答案:
解析:cos<,>=,令2+x2=t(t≥2),则x2=t-2,
所以cos<,>===,
当=,即t=4,x2=2时,cos<,>取得最小值,且最小值为.
　　　　　极化恒等式
(源于人教A版必修第二册P22练习T3) (a+b)2-(a-b)2=4a·b,变形可得a·b=[(a+b)2-(a-b)2],此即为极化恒等式.
1.平行四边形模型:如图,·=(-),即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”. 2.三角形模型:如图,M为BC的中点,则·=-=-,即“从三角形一个顶点出发的两个边向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差”.
角度1　利用极化恒等式求数量积
[例1]　如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,·=4,·=-1,则·=　　　　.
[答案]　
[解析]　设=a,=b,·=||2-||2=9b2-a2=4,
·=||2-||2=b2-a2=-1,解得b2=,a2=,
∴·=||2-||2=4b2-a2=.
1.如图,在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则·=　　　　.
答案:-16
解析:因为M是BC的中点,则由极化恒等式得,
·=||2-||2=9-×100=-16.
角度2　 利用极化恒等式求最值(范围)
[例2]　(2022·北京卷)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则·的取值范围是 (　　)
A.[-5,3] B.[-3,5]
C.[-6,4] D.[-4,6]
[答案]　D
[解析]　设AB的中点为M,连接CM(图略),的夹角为θ,
由极化恒等式得·=-=(-)2-
=+-2·-=+1-5cos θ-=1-5cos θ.
因为cos θ∈[-1,1],所以·∈[-4,6].[A组　基础保分练]
1.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=,且a·b=1.若|c|=2,则(a+b)·c的最大值为 (　　)
A.2　　　　　　　　 B.10
C.2 D.5
答案:A
解析:设a+b,c的夹角为θ,
则(a+b)·c=|a+b|·|c|cos θ≤|a+b|·|c|=·|c|=2,
当a+b,c同向,即θ=0时取等号.
2.在△ABC中,过BC中点D的直线分别与直线AB,AC交于点E,F,且=m(m>0),=n(n>0),则m+4n的最小值为 (　　)
A.9 B.
C.7 D.
答案:B
解析:因为D为BC的中点,故=+,
而D,E,F三点共线,故存在实数λ,使得=λ+(1-λ),
所以λm+(1-λ)n=+,而,不共线,
故λm=,(1-λ)n=,
所以+=2,
故m+4n=(m+4n)(+)=(5++)≥,
当且仅当=,即n=,m=时等号成立,故m+4n的最小值为.
3.已知△ABC的重心为G,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a+b+c=0,则△ABC的形状是(　　)
A.等腰非直角三角形
B.非等腰直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
答案:D
解析:因为a+b+c=0,
则=--.
又++=0 =--,由平面向量基本定理可得:
==1 a=b=c a∶b∶c=1∶1∶.
则a2+b2=c2,a=b,故△ABC是等腰直角三角形.
4.在△ABC中,AB=3,=,=2,AD与BE的交点为O.若·=-2,则AC的长为(　　)
A. B.
C.2 D.
答案:C
解析:由=,=2,
则=+,=,
令=λ,λ∈(0,1),
则=λ=+=+,
由B,O,E三点共线,故+=1,即λ=,
即=+,则·=(+)·(-)=(||2-||2)=(||2-9)=-2,解得||=2,即AC的长为2.
5.在△ABC中,=3,=2,若△ACD的面积为6,则△BCM的面积是 (　　)
A.2 B.3
C.4 D.6
答案:B
解析:因为=3,所以BC=3BD,BC=CD,
所以==,
所以S△ABC=S△ACD=×6=9.
又=2,所以AD=3MD,
所以==,
所以S△BCM=S△ABC=×9=3.
6.(多选)(2026·福建南平模拟)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则 (　　)
A.当a·b=-1时,a与b的夹角为
B.当|a-b|=2时,a在b上的投影向量为b
C.|a+b|+|a-b|的最大值为2
D.|a+b|+|a-b|的最小值为4
答案:BCD
解析:当a·b=-1时,可得cos===-,又0≤≤π,所以=,故A错误;
由|a-b|=2,可得a2-2a·b+b2=4,又|a|=1,|b|=2,所以12-2a·b+22=4,
所以a·b=,所以a在b上的投影向量为·b=b,故B正确;
设a,b的夹角为θ,
所以|a+b|==,|a-b|==,
所以|a+b|+|a-b|=+,
设y=+,所以y2=5+4cos θ+2+5-4cos θ=10+2,
因为0≤θ≤π,所以-1≤cos θ≤1,所以0≤cos2θ≤1,
当cos2θ=0时,=10+10=20,所以ymax=2,故C正确;
当cos2θ=1时,=10+6=16,所以ymin=4,故D正确.
7.(多选)正方形ABCD的边长为2,动点P在正方形ABCD的内部及边上运动,且=λ+μ,则下列结论正确的有 (　　)
A.当点P在线段BC上时,·为定值
B.当点P在线段CD上时,·为定值
C.λ+μ的最大值为2
D.使λ+2μ=的点P的轨迹长度为
答案:BC
解析:以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系,
则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),=(0,2),=(2,0),
A选项,当点P在线段BC上时,设P(2,m),0≤m≤2,=(2,m),
则·=(0,2)·(2,m)=2m,不是定值,A错误;
B选项,当点P在线段CD上时,设P(n,2),0≤n≤2,=(n,2),·=(0,2)·(n,2)=4,为定值,B正确;
C选项,设P(x,y),0≤x≤2,0≤y≤2,=(x,y),
由=λ+μ得,(x,y)=λ(2,0)+μ(0,2)=(2λ,2μ),
所以x=2λ,y=2μ,即λ=,μ=,
λ+μ=+,故当x=y=2时,λ+μ取得最大值,最大值为2,C正确;
D选项,由C可知,λ=,μ=,故λ+2μ=+y=,即y=-,
所以P点轨迹为直线y=-在正方形ABCD内的部分,如图,即线段EF,
在y=-中,令x=0得y=,令y=0得x=1,
故EF==,故使λ+2μ=的点P的轨迹长度为,D错误.
8.(2026·江西南昌模拟)已知向量a=(1,-2),a·b=5,则|b|的最小值是　　　　.
答案:
解析:设b=(x,y),则a·b=x-2y=5,可得x=2y+5,
故|b|===
=≥ ,
当且仅当y=-2时,|b|取最小值.
9.已知点A在线段BC上(不含端点),O是直线BC外一点,且-2a-b=0,则+的最小值是　　　　.
答案:2+2
解析:由题设=2a+b,且A,B,C三点共线,则2a+b=1,
所以+=(+)(2a+b)-1=2++≥2+2=2+2,
当且仅当a=1-,b=-1时取等号,故+的最小值是2+2.
[B组　能力提升练]
10.如图,在△ABC中,∠BAC=,=2,P为CD上一点,且满足=m+.若·=4,则||的最小值为　　　　.
答案:2
解析:因为=2,则=,则=m+=m+,又C,P,D三点共线,故m+=1,m=,
故=+.
因为∠BAC=,·=4,所以||||=8,
则||2=|+|2=++·≥2+=+=4,
当且仅当=,即||=||时取等号,所以||的最小值为2.
11.(2026·河北秦皇岛模拟)在平行四边形ABCD中,∠A=60°,AB=AD.若M为DC的中点,则向量在向量上的投影向量为　　　　(用表示);若AB=3,点G在DC上,且满足=,E,F分别为线段AB,BC上的动点(不含端点),且满足BE+BF=1,则·的最小值为　　　　.
答案:　
解析:依题意可知=+=+,
又∠A=60°,AB=AD,
所以·=·(+)=+·=+||||cos 60° =+||×||×=||2,
则向量 ·=·=·=.
以A为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示:
由AB=3,AB=AD,可得AD=2,又∠A=60°,所以A(0,0),D(1,),又=,
所以G(2,).
设E(t,0),2又∠ABC=120°,所以F(+2,),
因此=(t-2,-),=(,),
可得·=(t-2)-×==,
显然当t=·.(共23张PPT)
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A组　基础保分练
1.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=,且a·b=1.若|c|=2,则(a+b)·c的最大值为(　　)
A.2　　　　　　　　 B.10
C.2 D.5
解析:设a+b,c的夹角为θ,
则(a+b)·c=|a+b|·|c|cos θ≤|a+b|·|c|=·|c|=2,
当a+b,c同向,即θ=0时取等号.
A
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2.在△ABC中,过BC中点D的直线分别与直线AB,AC交于点E,F,且=m(m>0),=n(n>0),则m+4n的最小值为(　　)
A.9 B.
C.7 D.
B
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解析:因为D为BC的中点,故=+,
而D,E,F三点共线,故存在实数λ,使得=λ+(1-λ),
所以λm+(1-λ)n=+,而,不共线,
故λm=,(1-λ)n=,
所以+=2,
故m+4n=(m+4n)(+)=(5++)≥,
当且仅当=,即n=,m=时等号成立,故m+4n的最小值为.
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3.已知△ABC的重心为G,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a+b+c=0,则△ABC的形状是(　　)
A.等腰非直角三角形
B.非等腰直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
D
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解析:因为a+b+c=0,
则=--.
又++=0 =--,由平面向量基本定理可得:
==1 a=b=c a∶b∶c=1∶1∶.
则a2+b2=c2,a=b,故△ABC是等腰直角三角形.
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4.在△ABC中,AB=3,=,=2,AD与BE的交点为O.若·=-2,则AC的长为(　　)
A. B.
C.2 D.
C
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解析:由=,=2,
则=+,=,
令=λ,λ∈(0,1),
则=λ=+=+,
由B,O,E三点共线,故+=1,即λ=,
即=+,则·=(+)·(-)=(||2-||2)=(||2-9)=-2,解得||=2,即AC的长为2.
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5.在△ABC中,=3,=2,若△ACD的面积为6,则△BCM的面积是(　　)
A.2 B.3
C.4 D.6
B
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解析:因为=3,所以BC=3BD,BC=CD,
所以==,
所以S△ABC=S△ACD=×6=9.
又=2,所以AD=3MD,
所以==,
所以S△BCM=S△ABC=×9=3.
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6.(多选)(2026·福建南平模拟)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则( 　　)
A.当a·b=-1时,a与b的夹角为
B.当|a-b|=2时,a在b上的投影向量为b
C.|a+b|+|a-b|的最大值为2
D.|a+b|+|a-b|的最小值为4
BCD
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解析:当a·b=-1时,可得cos===-,又0≤≤π,所以=,故A错误;
由|a-b|=2,可得a2-2a·b+b2=4,又|a|=1,|b|=2,所以12-2a·b+22=4,
所以a·b=,所以a在b上的投影向量为·b=b,故B正确;
设a,b的夹角为θ,
所以|a+b|==,|a-b|==,
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所以|a+b|+|a-b|=+,
设y=+,所以y2=5+4cos θ+2+5-4cos θ=10+2,
因为0≤θ≤π,所以-1≤cos θ≤1,所以0≤cos2θ≤1,
当cos2θ=0时,=10+10=20,所以ymax=2,故C正确;
当cos2θ=1时,=10+6=16,所以ymin=4,故D正确.
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7.(多选)正方形ABCD的边长为2,动点P在正方形ABCD的内部及边上运动,且=λ+μ,则下列结论正确的有(　　)
A.当点P在线段BC上时,·为定值
B.当点P在线段CD上时,·为定值
C.λ+μ的最大值为2
D.使λ+2μ=的点P的轨迹长度为
BC
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解析:以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系,
则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),=(0,2),=(2,0),
A选项,当点P在线段BC上时,设P(2,m),0≤m≤2,=(2,m),
则·=(0,2)·(2,m)=2m,不是定值,A错误;
B选项,当点P在线段CD上时,设P(n,2),0≤n≤2,=(n,2),·=(0,2)·(n,2)=4,为定值,B正确;
C选项,设P(x,y),0≤x≤2,0≤y≤2,=(x,y),
由=λ+μ得,(x,y)=λ(2,0)+μ(0,2)=(2λ,2μ),
所以x=2λ,y=2μ,即λ=,μ=,
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λ+μ=+,故当x=y=2时,λ+μ取得最大值,最大值为2,C正确;
D选项,由C可知,λ=,μ=,故λ+2μ=+y=,即y=-,
所以P点轨迹为直线y=-在正方形ABCD内的部分,
如图,即线段EF,
在y=-中,令x=0得y=,令y=0得x=1,
故EF==,故使λ+2μ=的点P的轨迹长度为,D错误.
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8.(2026·江西南昌模拟)已知向量a=(1,-2),a·b=5,则|b|的最小值是　　　　.
解析:设b=(x,y),则a·b=x-2y=5,可得x=2y+5,
故|b|===
=≥ ,
当且仅当y=-2时,|b|取最小值.
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9.已知点A在线段BC上(不含端点),O是直线BC外一点,且-2a-b=0,则+的最小值是　　　　.
解析:由题设=2a+b,且A,B,C三点共线,则2a+b=1,
所以+=(+)(2a+b)-1=2++≥2+2=2+2,
当且仅当a=1-,b=-1时取等号,故+的最小值是2+2.
2+2
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10.如图,在△ABC中,∠BAC=,=2,P为CD上一点,且满足=m+.若·=4,则||的最小值为　　　　.
B组　能力提升练
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解析:因为=2,则=,则=m+=m+,又C,P,D三点共线,故m+=1,m=,
故=+.
因为∠BAC=,·=4,所以||||=8,
则||2=|+|2=++·≥2+=+=4,
当且仅当=,即||=||时取等号,所以||的最小值为2.
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11.(2026·河北秦皇岛模拟)在平行四边形ABCD中,∠A=60°,AB=AD.若
M为DC的中点,则向量在向量上的投影向量为　　　　(用表示);若AB=3,点G在DC上,且满足=,E,F分别为线段AB,BC上的动
点(不含端点),且满足BE+BF=1,则·的最小值为　　　　.
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解析:依题意可知=+=+,
又∠A=60°,AB=AD,
所以·=·(+)=+·=+||||cos 60° =+||×||×=||2,
则向量 ·=·=·=.
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以A为坐标原点建立平面直角坐标系,
如图所示:
由AB=3,AB=AD,可得AD=2,又∠A=60°,所以A(0,0),D(1,),又=,
所以G(2,).
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设E(t,0),2又∠ABC=120°,所以F(+2,),
因此=(t-2,-),=(,),
可得·=(t-2)-×==,
显然当t=·.

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