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第2课时　常用逻辑用语
[考试要求]　1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系．2．理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
知识点1　充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的______条件，q是p的______条件
p是q的____________条件 p q且qD p
p是q的必要不充分条件 _____________
p是q的充要条件 ______
p是q的__________________条件 pD q且qD p
知识点2　全称量词与存在量词
　(1)全称量词命题与存在量词命题
全称量词命题 存在量词命题
量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个
符号
命题 形式 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 __________________，是______量词命题 __________________，是______量词命题
(2)常见词语的否定
词语 是 都是 大于 小于
词语 的否定 ______ ________ ____________ ____________
词语 且 至少有n个 至多有一个 所有x都成立
词语的 否定 ____ ______________ ____________ _________________
[常用结论]
从集合的角度理解充分必要性
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则：
(1)若A B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)若A?B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
(3)若A＝B，则p是q的充要条件．
(4)p是q的既不充分也不必要条件 A与B没有包含关系．
1．(北师大版必修第一册P17例3)在下列各题中，试判断p是q的什么条件．
(1)p：A B，q：A∩B＝A；
(2)p：a＝b，q：|a|＝|b|；
(3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．(人教A版必修第一册P30例4(3))命题“有一个偶数是素数”的否定是________．
3．(人教B版必修第一册P28练习BT4(1))“ x∈[a，＋∞)，x2≥1”是真命题，则实数a的取值范围是________．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4．(人教A版必修第一册P34复习参考题1T4(3))x∈A是x∈A∩B的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
考点一　充分条件、必要条件及充要条件的判断
[典例1]　(1)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“1＜x＜2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(多选)已知关于x的方程x2＋ax＋a＋3＝0，则(　　)
A．当a＝2时，方程有两个不相等的实数根
B．方程无实数根的一个充分条件是－2C．方程有两个不相等的负根的充要条件是a>6
D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是a<－4
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
易错提醒：厘清一个关系：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，而B不能推出A，要注意上述两种说法的不同．
考点二　充分条件、必要条件及充要条件的应用
[典例2]　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
1．(变条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．(变条件)本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
通性通法：充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
考点三　全称量词命题与存在量词
命题及其否定
[典例3]　(2025·郑州期末)已知命题p“ x∈[0，3]，x2－2x－a＞0”，若p为假命题，则实数a的最小值是(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．3
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
易错提醒：(1)含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．
(2)直接由命题的真假不易求参数的范围，可利用等价命题求参数的范围．
[多维变迁]
1．(人教A版必修第一册P32习题1.5T3(3)改编)命题“ x∈ RQ，x2－∈Q”的否定是(　　)
A． x∈ RQ，x2－ Q
B． x∈Q，x2－∈Q
C． x∈ RQ，x2－∈Q
D． x∈ RQ，x2－ Q
2．(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x＋1|>1；命题q： x>0，x3＝x．则(　　)
A．p和q都是真命题
B． p和q都是真命题
C．p和 q都是真命题
D． p和 q都是真命题
1．(链接考点一)(人教A版必修第一册P23习题1.4T2(1)改编)命题“三角形是等边三角形”是命题“三角形是等腰三角形”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．(链接考点一)(2024·北京卷)设a，b是向量，则“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝－b或a＝b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．(链接考点一、二、三)(多选)(2025·连云港海州区开学考试)下列说法中正确的有(　　)
A．命题p： x∈R，x2＋2x＋2＜0，则命题p的否定是 x∈R，x2＋2x＋2≥0
B．“|x|＞|y|”是“x＞y”的必要条件
C．命题“ x∈Z，x2＞0”是真命题
D．“m＜0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”的充要条件
4．(链接考点三)(2025·常州期中)若命题 x∈(0，＋∞)，x2＋ax＋1＜0为假命题，则实数a的取值范围是________．
第2课时　常用逻辑用语
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　充分　必要　充分不必要　pq且q p　p q　既不充分也不必要
知识点2　(1) x∈M， p(x)　存在　 x∈M， p(x)　全称　(2)不是　不都是　小于或等于　大于或等于　或　至多有n－1个　至少有两个　存在一个x不成立
链教材·夯基固本
1．解：(1)因为命题"若A B，则A∩B＝A"为真命题，并且"若A∩B＝A，则A B"也为真命题，所以p是q的充要条件．
(2)因为"a＝b" "|a|＝|b|"，但是"|a|＝|b|"不能推出"a＝b"，例如，"|1|＝|－1|"，而"1≠－1"，所以p是q的充分不必要条件．
(3)因为"四边形的对角线相等"不能推出"四边形是平行四边形"，并且"四边形是平行四边形"也不能推出"四边形的对角线相等"，所以p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
2．任意一个偶数都不是素数
3．[1，＋∞)　[∵x2≥1，即x≥1或x≤－1，且原命题是真命题，∴实数a的取值范围是[1，＋∞)．]
4．B　[若x∈A，但x不一定同时属于集合B，即由"x∈A"推不出"x∈A∩B"，所以"x∈A"不是"x∈A∩B"的充分条件；如果x∈A∩B，那么x既在集合A中又在集合B中，所以一定有x∈A，即由"x∈A∩B"可以推出"x∈A"，所以"x∈A"是"x∈A∩B"的必要不充分条件．故选B．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　(1)B　(2)BC　[(1)由|x－2|<1可得－1所以由|x－2|<1推不出1(2)对于A，当a＝2时，x2＋2x＋5＝0，此时Δ＝22－4×1×5＝－16<0，
方程没有实数根，故A错误；
对于B，方程无实数根的充要条件是Δ＝a2－4×1×(a＋3)<0，即－2因为{a|－2对于C，方程有两个不相等的负根的充要条件是解得a>6，故C正确；
对于D，方程有一个正根和一个负根的充要条件是
解得a<－3，故D错误．
故选BC．]
考点二
典例2　解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m} {x|－2≤x≤10}，
故有
解得m≤3．
又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0母题探究
1．解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的充分不必要条件，
所以{x|－2≤x≤10} {x|1－m≤x≤1＋m}．
所以
解得m≥9，
即实数m的取值范围是{m|m≥9}．
2．解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，
若p是q的充要条件，则无解，
故不存在实数m，使得p是q的充要条件．
考点三
典例3　D　[因为p为假命题，所以命题 p" x∈[0，3]，x2－2x－a≤0"为真命题，
即x2－2x－a≤0在x∈[0，3]上恒成立，
即a≥x2－2x在x∈[0，3]上恒成立，
记f(x)＝x2－2x，x∈[0，3]，
则a≥f(x)max，
因为f(x)＝x2－2x在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，
所以f(x)max＝f(3)＝3，
所以a≥3，所以实数a可取的最小值是3．
故选D．]
多维变迁
1．D　[因为原命题为存在量词命题，
故否定是 x∈ RQ，x2－ Q．
故选D．]
2．B　[对于命题p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题， p是真命题；对于命题q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题， q是假命题．
综上， p和q都是真命题．故选B．]
随堂·对点检测
1．A　[由"三角形是等边三角形"可得到"该三角形一定是等腰三角形"，但反之不成立．故选A．]
2．B　[由(a＋b)·(a－b)＝0，得a2－b2＝0，即|a|2－|b|2＝0，所以|a|＝|b|，当a＝(1，1)，b＝(－1，1)时，|a|＝|b|，但a≠b且a≠－b，故充分性不成立；当a＝－b或a＝b时，(a＋b)·(a－b)＝0，故必要性成立．所以"(a＋b)·(a－b)＝0"是"a＝－b或a＝b"的必要不充分条件．]
3．AD　[对于A，命题p的否定是 x∈R，x2＋2x＋2≥0，故A正确．
对于B，|x|>|y|不能推出x>y，例如|－2|>|1|，但－2<1；x>y也不能推出|x|>|y|，例如2>－3，而|2|<|－3|；
所以"|x|>|y|"是"x>y"的既不充分也不必要条件，故B错误．
对于C，当x＝0时，x2＝0，故C错误；
对于D，关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根 m<0，
所以"m<0"是"关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根"的充要条件，故D正确．
故选AD．]
4．[－2，＋∞)　[因为 x∈(0，＋∞)，x2＋ax＋1<0为假命题，
故 x∈(0，＋∞)，x2＋ax＋1≥0是真命题，
即a≥－x－在x∈(0，＋∞)上恒成立，
根据基本不等式可得y＝x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，
所以－x－≤－2，故a≥－2．]
1 / 5(共59张PPT)
第一章　集合、常用逻辑用语、不等式
第2课时　常用逻辑用语
[考试要求]　1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系．2．理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
理法先行·题练固本
知识点1　充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的______条件，q是p的______条件
p是q的____________条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 _____________
p是q的充要条件 ______
p是q的__________________条件 p q且q p
充分
必要
充分不必要
p q且q p
p q
既不充分也不必要
知识点2　全称量词与存在量词
(1)全称量词命题与存在量词命题
全称量词命题 存在量词命题
量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个
符号
命题 形式 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 __________________，是______量词命题 __________________，是______量词命题
x∈M， p(x)
存在
x∈M， p(x)
全称
(2)常见词语的否定
词语 是 都是 大于 小于
词语的否定 ______ ________ ____________ ____________

词语 且 至少有n个 至多有一个 所有x都成立
词语的否定 ____ ______________ ____________ _________________
不是
不都是
小于或等于
大于或等于
或
至多有n－1个
至少有两个
存在一个x不成立
[常用结论]
从集合的角度理解充分必要性
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则：
(1)若A B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)若A?B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
(3)若A＝B，则p是q的充要条件．
(4)p是q的既不充分也不必要条件 A与B没有包含关系．
1．(北师大版必修第一册P17例3)在下列各题中，试判断p是q的什么条件．
(1)p：A B，q：A∩B＝A；
(2)p：a＝b，q：|a|＝|b|；
(3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．
[解]　(1)因为命题“若A B，则A∩B＝A”为真命题，并且“若A∩B＝A，则A B”也为真命题，所以p是q的充要条件．
(2)因为“a＝b” “|a|＝|b|”，但是“|a|＝|b|”不能推出“a＝b”，例如，“|1|＝|－1|”，而“1≠－1”，所以p是q的充分不必要条件．
(3)因为“四边形的对角线相等”不能推出“四边形是平行四边形”，并且“四边形是平行四边形”也不能推出“四边形的对角线相等”，所以p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
2．(人教A版必修第一册P30例4(3))命题“有一个偶数是素数”的否定是_____________________________．
任意一个偶数都不是素数
3．(人教B版必修第一册P28练习BT4(1))“ x∈[a，＋∞)，x2≥1”是真命题，则实数a的取值范围是______________．
[1，＋∞)　[∵x2≥1，即x≥1或x≤－1，且原命题是真命题，∴实数a的取值范围是[1，＋∞)．]
[1，＋∞)
4．(人教A版必修第一册P34复习参考题1T4(3))x∈A是x∈A∩B的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
B　[若x∈A，但x不一定同时属于集合B，即由“x∈A”推不出“x∈A∩B”，所以“x∈A”不是“x∈A∩B”的充分条件；如果x∈A∩B，那么x既在集合A中又在集合B中，所以一定有x∈A，即由“x∈A∩B”可以推出“x∈A”，所以“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件．故选B．]
考点深研·题型突破
考点一　充分条件、必要条件及充要条件的判断
[典例1]　(1)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“1＜x＜2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
(2)(多选)已知关于x的方程x2＋ax＋a＋3＝0，则(　　)
A．当a＝2时，方程有两个不相等的实数根
B．方程无实数根的一个充分条件是－2C．方程有两个不相等的负根的充要条件是a>6
D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是a<－4
√
√
(1)B　(2)BC　[(1)由|x－2|＜1可得－1＜x－2＜1，解得1＜x＜3．
所以由|x－2|＜1推不出1＜x＜2，故充分性不成立，由1＜x＜2可推出|x－2|＜1，故必要性成立，所以“|x－2|＜1”是“1＜x＜2”的必要不充分条件．
(2)对于A，当a＝2时，x2＋2x＋5＝0，此时Δ＝22－4×1×5＝－16<0，
方程没有实数根，故A错误；
对于B，方程无实数根的充要条件是Δ＝a2－4×1×(a＋3)<0，即－2因为{a|－2＜a＜4}?{a|－2＜a＜6}，故B正确；
对于C，方程有两个不相等的负根的充要条件是
解得a>6，故C正确；
对于D，方程有一个正根和一个负根的充要条件是
解得a<－3，故D错误．
故选BC．]
易错提醒：厘清一个关系：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，而B不能推出A，要注意上述两种说法的不同．
【教用·通性通法】
充分条件、必要条件的三种判定方法
(1)定义法：根据p q，q p是否成立进行判断．
(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断．
(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止．
考点二　充分条件、必要条件及充要条件的应用
[典例2]　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
[解]　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}，
故有或解得m≤3．
又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0[母题探究]
1．(变条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
[解]　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的充分不必要条件，
所以{x|－2≤x≤10}?{x|1－m≤x≤1＋m}．
所以或
解得m≥9，
即实数m的取值范围是{m|m≥9}．
2．(变条件)本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
[解]　因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，
若p是q的充要条件，则无解，
故不存在实数m，使得p是q的充要条件．
通性通法：充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
考点三　全称量词命题与存在量词命题及其否定
[典例3]　(2025·郑州期末)已知命题p“ x∈[0，3]，x2－2x－a＞0”，若p为假命题，则实数a的最小值是(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．3
√
D　[因为p为假命题，所以命题 p“ x∈[0，3]，x2－2x－a≤0”为真命题，
即x2－2x－a≤0在x∈[0，3]上恒成立，
即a≥x2－2x在x∈[0，3]上恒成立，
记f (x)＝x2－2x，x∈[0，3]，则a≥f (x)max，
因为f (x)＝x2－2x在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，所以
f (x)max＝f (3)＝3，
所以a≥3，所以实数a可取的最小值是3．
故选D．]
易错提醒：(1)含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．
(2)直接由命题的真假不易求参数的范围，可利用等价命题求参数的范围．
【教用·通性通法】
含量词命题的解题策略
(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．
(2)对全称量词命题或存在量词命题进行否定时，一是改变量词符号，二是对结论进行否定，即“改变量词，否定结论”．
(3)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围．
[多维变迁]
1．(人教A版必修第一册P32习题1.5T3(3)改编)命题“ x∈ RQ，x2－∈Q”的否定是(　　)
A． x∈ RQ，x2－ Q
B． x∈Q，x2－∈Q
C． x∈ RQ，x2－∈Q
D． x∈ RQ，x2－ Q
√
D　[因为原命题为存在量词命题，
故否定是 x∈ RQ，x2－ Q．
故选D．]
2．(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x＋1|>1；命题q： x>0，x3＝x．则(　　)
A．p和q都是真命题
B． p和q都是真命题
C．p和 q都是真命题
D． p和 q都是真命题
√
B　[对于命题p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题， p是真命题；对于命题q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题， q是假命题．综上， p和q都是真命题．故选B．]
1．(链接考点一)(人教A版必修第一册P23习题1.4T2(1)改编)命题“三角形是等边三角形”是命题“三角形是等腰三角形”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
A　[由“三角形是等边三角形”可得到“该三角形一定是等腰三角形”，但反之不成立．故选A．]
2．(链接考点一)(2024·北京卷)设a，b是向量，则“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝－b或a＝b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
B　[由(a＋b)·(a－b)＝0，得a2－b2＝0，即|a|2－|b|2＝0，所以|a|＝|b|，当a＝(1，1)，b＝(－1，1)时，|a|＝|b|，但a≠b且a≠－b，故充分性不成立；当a＝－b或a＝b时，(a＋b)·(a－b)＝0，故必要性成立．所以“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝－b或a＝b”的必要不充分条件．]
3．(链接考点一、二、三)(多选)(2025·连云港海州区开学考试)下列说法中正确的有(　　)
A．命题p： x∈R，x2＋2x＋2＜0，则命题p的否定是 x∈R，x2＋2x＋2≥0
B．“|x|＞|y|”是“x＞y”的必要条件
C．命题“ x∈Z，x2＞0”是真命题
D．“m＜0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”的充要条件
√
√
AD　[对于A，命题p的否定是 x∈R，x2＋2x＋2≥0，故A正确．
对于B，|x|＞|y|不能推出x＞y，例如|－2|＞|1|，但－2＜1；x＞y也不能推出|x|＞|y|，例如2＞－3，而|2|＜|－3|；
所以“|x|＞|y|”是“x＞y”的既不充分也不必要条件，故B错误．
对于C，当x＝0时，x2＝0，故C错误；
对于D，关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根 m＜0，
所以“m＜0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”的充要条件，故D正确．
故选AD．]
4．(链接考点三)(2025·常州期中)若命题 x∈(0，＋∞)，x2＋ax＋1＜0为假命题，则实数a的取值范围是______________．
[－2，＋∞)　[因为 x∈(0，＋∞)，x2＋ax＋1＜0为假命题，
故 x∈(0，＋∞)，x2＋ax＋1≥0是真命题，
即a≥－x－在x∈(0，＋∞)上恒成立，
根据基本不等式可得y＝x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，
所以－x－≤－2，故a≥－2．]
[－2，＋∞)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
一、单项选择题
1．(2025·邹城市月考)命题“ x＞0，ex＋1≤3x”的否定是(　　)
A． x≤0，ex＋1＞3x
B． x＞0，ex＋1≤3x
C． x＞0，ex＋1＞3x
D． x＞0，ex＋1＞3x
课时作业(二)　常用逻辑用语
题号
1
3
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4
6
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9
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11
12
C　[命题“ x＞0，ex＋1≤3x”为全称量词命题，
根据全称量词命题的否定可得原命题的否定为 x＞0，ex＋1＞3x．
故选C．]
√
2．(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题号
1
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12
C　[根据幂函数的性质和指数函数的性质，a3＝b3和3a＝3b都当且仅当a＝b时成立，所以二者互为充要条件．
故选C．]
题号
1
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12
√
3．下列说法正确的是(　　)
A．“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是真命题
B．“xy>0”是“x＋y>0”的充要条件
C．命题“ x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“ x∈R，x2＋1<0”
D．若“1题号
1
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12
D　[x＝是无理数，x2＝2是有理数，A错误；
当x＝－2，y＝－1时，xy>0，但x＋y＝－3<0，不是充要条件，B错误；
命题“ x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“ x∈R，x2＋1≤0”，C错误；
“1题号
1
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√
4．(2025·武汉开学考试)若命题“ x∈[0，2]，x2－m≥0”是假命题，则(　　)
A．m≤0 B．m≤4
C．m＞0 D．m＞4
题号
1
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12
C　[因为命题“ x∈[0，2]，x2－m≥0”是假命题，
则 x∈[0，2]，x2－m＜0”是真命题，即 x∈[0，2]，m＞x2，
又0≤x2≤4，
则当x∈[0，2]时，m＞(x2)min＝0．
故选C．]
题号
1
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12
√
5．(2025·长春四模)已知命题p： x∈R，|x|＞0，命题q： x＞0，x3＝x，则(　　)
A．p和q都是真命题
B．p和 q都是真命题
C． p和q都是真命题
D． p和 q都是真命题
题号
1
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C　[对于命题q，x3＝x，解得x＝0，x＝－1或x＝1＞0，
所以q： x＞0，x3＝x，为真命题， q为假命题；
对于命题p，当x＝0时，|x|＝0，
所以p： x∈R，|x|＞0为假命题， p为真命题；
所以 p和q都是真命题．
故选C．]
题号
1
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12
√
6．(2025·重庆月考)已知p：x2－x－6＞0，q：4x＋m＜0，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为(　　)
A．(4，＋∞) B．[8，＋∞)
C．(－∞，6] D．(－∞，6)
题号
1
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11
12
B　[由x2－x－6＞0，得x＞3或x＜－2，p：x∈(－∞，－2)∪(3，＋∞)，
由4x＋m＜0，得x＜－，q：x∈，
若p是q的必要不充分条件，则q?p，即－≤－2，
解得m≥8，
故实数m的取值范围为[8，＋∞)．
故选B．]
题号
1
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√
二、多项选择题
7．(北师大版必修第一册P22例7改编)关于命题p： x∈N，6x2－7x＋2≤0，下列说法正确的是(　　)
A．该命题是全称量词命题，且为真命题
B．该命题是存在量词命题，且为假命题
C． p： x∈N，6x2－7x＋2>0
D． p： x N，6x2－7x＋2>0
题号
1
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12
√
BC　[命题p为存在量词命题，由6x2－7x＋2≤0，得≤x≤，所以p为假命题． p： x∈N，6x2－7x＋2>0．故选BC．]
题号
1
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12
√
8．(2025·宜春期末)(x－2)(x＋2)＞0的一个充分不必要条件是(　　)
A．x＞2或x＜－2 B．x＜－3或x＞3
C．x≥3 D．x≥0
题号
1
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12
√
BC　[(x－2)(x＋2)＞0，即x＜－2或x＞2，
所以x＞2或x＜－2是(x－2)(x＋2)＞0的充要条件，故A错误；
x＜－3或x＞3和x≥3是(x－2)(x＋2)＞0的充分不必要条件，故BC正确；
x≥0是(x－2)(x＋2)＞0的既不充分也不必要条件，故D错误．
故选BC．]
题号
1
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√
9．(人教A版必修第一册P31例5改编)下列命题的否定是假命题的是
(　　)
A． m∈N，∈N
B．菱形都是平行四边形
C． a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0没有实数根
D．平面四边形ABCD的内角和等于360°
题号
1
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√
√
ABD　[由于原命题和其否定的真假完全相反，所以题干中“下列命题的否定是假命题”等价于“下列命题是真命题”．对于A，当m＝0时，＝1∈N，则A中命题为真命题，故A符合题意；选项B显然符合题意；对于C，因为Δ＝a2＋4>0恒成立，所以不存在a∈R，使得一元二次方程x2－ax－1＝0没有实数根，故C不符合题意；选项D显然符合题意．故选ABD．]
题号
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三、填空题
10．(2025·沈阳质测)“sin x＝1”的一个充分不必要条件是__________________．
题号
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x＝(答案不唯一)　[当x＝时，sin x＝1，由sin x＝1可得x＝＋2kπ，k∈Z，故“sin x＝1”的一个充分不必要条件是“x＝”．]
x＝(答案不唯一)　
11．(人教A版必修第一册P32习题1.5T6改编)已知“若x>1，则2x＋1>λ”是假命题，则实数λ的取值范围是_____________．
题号
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(3，＋∞)　[因为“若x>1，则2x＋1>λ”是假命题，所以“ x>1，2x＋1≤λ”是真命题．因为当x>1时，2x＋1>3，所以实数λ的取值范围是(3，＋∞)．]
(3，＋∞)　
题号
1
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12．(人教B版必修第一册P38习题1－2BT5改编)已知命题p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是
________________．
　
题号
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　[设A＝，B＝{x|a≤x≤a＋1}，由p是q的充分不必要条件，可知A?B，
∴或解得0≤a≤，故实数a的取值范围是．]
谢谢！课时作业(二)　常用逻辑用语
一、单项选择题
1．(2025·邹城市月考)命题“ x＞0，ex＋1≤3x”的否定是(　　)
A． x≤0，ex＋1＞3x
B． x＞0，ex＋1≤3x
C． x＞0，ex＋1＞3x
D． x＞0，ex＋1＞3x
2．(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．下列说法正确的是(　　)
A．“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是真命题
B．“xy>0”是“x＋y>0”的充要条件
C．命题“ x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“ x∈R，x2＋1<0”
D．若“14．(2025·武汉开学考试)若命题“ x∈[0，2]，x2－m≥0”是假命题，则(　　)
A．m≤0 B．m≤4
C．m＞0 D．m＞4
，x2－m≥0”是假命题，
则 x∈[0，2]，x2－m＜0”是真命题，即 x∈[0，2]，m＞x2，
又0≤x2≤4，
则当x∈[0，2]时，m＞(x2)min＝0．
故选C．]
5．(2025·长春四模)已知命题p： x∈R，|x|＞0，命题q： x＞0，x3＝x，则(　　)
A．p和q都是真命题
B．p和 q都是真命题
C． p和q都是真命题
D． p和 q都是真命题
6．(2025·重庆月考)已知p：x2－x－6＞0，q：4x＋m＜0，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为(　　)
A．(4，＋∞) B．[8，＋∞)
C．(－∞，6] D．(－∞，6)
二、多项选择题
7．(北师大版必修第一册P22例7改编)关于命题p： x∈N，6x2－7x＋2≤0，下列说法正确的是(　　)
A．该命题是全称量词命题，且为真命题
B．该命题是存在量词命题，且为假命题
C． p： x∈N，6x2－7x＋2>0
D． p： x N，6x2－7x＋2>0
8．(2025·宜春期末)(x－2)(x＋2)＞0的一个充分不必要条件是(　　)
A．x＞2或x＜－2 B．x＜－3或x＞3
C．x≥3 D．x≥0
9．(人教A版必修第一册P31例5改编)下列命题的否定是假命题的是(　　)
A． m∈N，∈N
B．菱形都是平行四边形
C． a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0没有实数根
D．平面四边形ABCD的内角和等于360°
三、填空题
10．(2025·沈阳质测)“sin x＝1”的一个充分不必要条件是______．
11．(人教A版必修第一册P32习题1.5T6改编)已知“若x>1，则2x＋1>λ”是假命题，则实数λ的取值范围是________．
12．(人教B版必修第一册P38习题1－2BT5改编)已知命题p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
课时作业(二)
1．C　[命题“ x＞0，ex＋1≤3x”为全称量词命题，
根据全称量词命题的否定可得原命题的否定为 x＞0，ex＋1＞3x．
故选C．]
2．C　[根据幂函数的性质和指数函数的性质，a3＝b3和3a＝3b都当且仅当a＝b时成立，所以二者互为充要条件．
故选C．]
3．D　[x＝是无理数，x2＝2是有理数，A错误；
当x＝－2，y＝－1时，xy>0，但x＋y＝－3<0，不是充要条件，B错误；
命题“ x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“ x∈R，x2＋1≤0”，C错误；
“14．C　[因为命题“ x∈[0，2]，x2－m≥0”是假命题，
则 x∈[0，2]，x2－m＜0”是真命题，即 x∈[0，2]，m＞x2，
又0≤x2≤4，
则当x∈[0，2]时，m＞(x2)min＝0．
故选C．]
5．C　[对于命题q，x3＝x，解得x＝0，x＝－1或x＝1＞0，
所以q： x＞0，x3＝x，为真命题， q为假命题；
对于命题p，当x＝0时，|x|＝0，
所以p： x∈R，|x|＞0为假命题， p为真命题；
所以 p和q都是真命题．
故选C．]
6．B　[由x2－x－6＞0，得x＞3或x＜－2，p：x∈(－∞，－2)∪(3，＋∞)，
由4x＋m＜0，得x＜－，q：x∈，
若p是q的必要不充分条件，则q?p，即－≤－2，
解得m≥8，
故实数m的取值范围为[8，＋∞)．
故选B．]
7．BC　[命题p为存在量词命题，由6x2－7x＋2≤0，得≤x≤，所以p为假命题． p： x∈N，6x2－7x＋2>0．故选BC．]
8．BC　[(x－2)(x＋2)＞0，即x＜－2或x＞2，
所以x＞2或x＜－2是(x－2)(x＋2)＞0的充要条件，故A错误；
x＜－3或x＞3和x≥3是(x－2)(x＋2)＞0的充分不必要条件，故BC正确；
x≥0是(x－2)(x＋2)＞0的既不充分也不必要条件，故D错误．
故选BC．]
9．ABD　[由于原命题和其否定的真假完全相反，所以题干中“下列命题的否定是假命题”等价于“下列命题是真命题”．对于A，当m＝0时，＝1∈N，则A中命题为真命题，故A符合题意；选项B显然符合题意；对于C，因为Δ＝a2＋4>0恒成立，所以不存在a∈R，使得一元二次方程x2－ax－1＝0没有实数根，故C不符合题意；选项D显然符合题意．故选ABD．]
10．x＝(答案不唯一)　[当x＝时，sin x＝1，由sin x＝1可得x＝＋2kπ，k∈Z，故“sin x＝1”的一个充分不必要条件是“x＝”．]
11．(3，＋∞)　[因为“若x>1，则2x＋1>λ”是假命题，所以“ x>1，2x＋1≤λ”是真命题．因为当x>1时，2x＋1>3，所以实数λ的取值范围是(3，＋∞)．]
12．　[设A＝，B＝{x|a≤x≤a＋1}，由p是q的充分不必要条件，可知A?B，
∴或解得0≤a≤，故实数a的取值范围是．]
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