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第3课时　等式性质与不等式性质
[考试要求]　1．掌握等式性质．2．会比较两个数的大小．3．理解不等式的性质，并能简单应用．
知识点1　两个实数比较大小的方法
关系 方法
作差法 作商法
a＞b a－b＞0 ＞1(a，b＞0)或＜1(a，b＜0)
a＝b a－b＝0 ＝1(b≠0)
a＜b a－b＜0 ＜1(a，b＞0)或＞1(a，b＜0)
知识点2　不等式的性质
性质1　对称性：a>b ______；
性质2　传递性：a>b，b>c ______；
性质3　可加性：a>b ____________；
性质4　可乘性：a>b，c>0 ________；
a>b，c<0 ________；
性质5　同向可加性：a>b，c>d ____________；
性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ________；
性质7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)；
性质8　同正可开方性：a＞b＞0 ＞(n∈N，n≥2)．
[常用结论]
1．倒数性质
若ab＞0，则a＞b ＜；
若ab＜0，则a＞b ＞
2．若a>b>0，m>0，则
(1)真分数性质：<<(b－m>0)，
即真分数越加越大，越减越小；
(2)假分数性质：<<(b－m>0)，
即假分数越加越小，越减越大．
1．(苏教版必修第一册P53例3改编)设M＝x2＋y2＋1，N＝2(x＋y－1)，则M与N的大小关系为________．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．(人教A版必修第一册P43习题2.1T8)下列命题为真命题的是(　　)
A．若a>b>0，则 ac2>bc2
B．若a>b>0，则a2>b2
C．若aD．若a3．(人教B版必修第一册P81习题2－2BT3节选)已知a∈(1，3)，b∈(2，3)，则a－2b的取值范围是________．
4．(人教A版必修第一册P43习题2.1T10)已知b克糖水中含有a克糖(b＞a＞0)，再添加m克糖(m＞0，假设全部溶解)，糖水变甜了，这一事实用不等式可表示为(　　)
A．＞　　　　 B．＞
C．＜ D．＜
考点一　数(式)的大小比较
[典例1]　(多选)下列不等式中正确的是(　　)
A．x2－2x>－3(x∈R)
B．若a＝，b＝，则a＞b
C．a2＋b2>2(a－b－1)
D．<(b>a>0)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
通性通法：比较两个数(或式子)的大小可以利用不等式的性质直接判断，也可以用作差法或作商法．作差法的关键是将差“变形”为完全平方或几个因式的积(商)的形式．作商法的关键变形是分母有理化或变为幂的形式．
考点二　不等式的基本性质
[典例2]　(1)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题错误的是(　　)
A．若a>b>0，则a－>b－
B．若b
C．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c
D．若a＞b，c＞d＞0，则＞
(2)(多选)(2025·保定期中)若a＜0＜b，且a＋b＞0，则下列说法正确的是(　　)
A．＞－1 B．＞0
C．a2＜b2 D．a－>b－
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
易错提醒：利用不等式的性质判断不等式是否成立时，要特别注意应用性质的条件．
考点三　不等式性质的综合应用
[典例3]　(多选)(2025·西安雁塔区校级月考)已知实数a，b满足－3＜a＋2b＜2，－1＜2a－b＜4，则(　　)
A．－1＜a＜2 B．－2＜b＜1
C．－2＜a＋b＜2 D．－2＜a－b＜4
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[母题探究]
1．(综合变式)已知32．(变结论)本例条件不变，则3a＋2b的取值范围是________．
易错提醒：多次运用不等式的性质易使变量范围扩大，导致结果错误，一般是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．
1．(链接考点一)已知a＝2，b＝，c＝，则实数a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
2．(链接考点一)(2025·赣州月考)已知实数a＜b，则“m＞0”是“＜”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．(链接考点二)(多选)(2026·许昌模拟)已知a，b∈R，则下列结论正确的是(　　)
A．若a＞b，且＞，则ab＜0
B．若a＞b，且a≠－b，则＞
C．若a＜b＜0，则＜－a－b
D．若a＜b＜0，则＞
4．(链接考点三)(人教A版必修第一册P43习题2.1T5)已知2第3课时　等式性质与不等式性质
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点2　bc　a＋c>b＋c　ac>bc　acb＋d　ac>bd
链教材·夯基固本
1．M>N　[M－N＝x2＋y2＋1－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1>0．故M>N．]
2．B　[对于A，若a>b>0，则当c＝0时，显然ac2>bc2不成立，故A错误；
对于B，若a>b>0，则a2>b2成立，故B正确；
对于C，若ab2，故C错误；
对于D，若a0，
所以，故D错误．故选B．]
3．(－5，－1)　[由b∈(2，3)得－6<－2b<－4，又14．D　[这一事实用不等式可表示为．
下面证明不等式成立：
∵
＝，
又∵b>a>0，m>0，
∴b(b＋m)>0，m(a－b)<0，
即<0，
∴<0，即．
故选D．]
考点深研·题型突破
考点一
典例1　ABD　[对于A，∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，∴x2－2x>－3，故A正确．
对于B，法一(作商法)：∵a＝>0，b＝>0，∴×＝log89>1，∴a>b．
法二(作差法)： a－b＝(2ln 3－3ln 2)＝(ln 9－ln 8)>0，即a>b．故B正确．
对于C，∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误．
对于D，，
∵b>a>0，∴>0，∴，故D正确．]
考点二
典例2　(1)D　(2)AC　[(1)对于A，∵a>b>0，∴，∴－>－，∴a－>b－，故A正确；
对于B，若b－a>0，
∴，故B正确；
对于C，∵a>b，c>d，
∴由不等式的可加性可得a＋c>b＋d，即a－d>b－c，故C正确；
对于D，令a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，满足a>b，c>d>0，但，故D错误．
故选D．
(2)A中，因为a<00，两边同时除以b，
所以＋1>0，即>－1，所以A正确；
B中，由题意可得ab<0，a＋b>0两边同时除以ab，
则<0，所以B不正确；
C中，由题意可得|b|>|a|，所以b2>a2，所以C正确；
D中，取a＝－2<00，则a－＝－考点三
典例3　ABC　[因为－3所以－5<5a<10，即－1由－3又－1<2a－b<4，则－5<－5b<10，即－2a＋b＝(a＋2b)＋(2a－b)∈(－2，2)，C正确；
a－b＝－(a＋2b)＋(2a－b)∈(－1，3)，D错误．
故选ABC．]
母题探究
1．　[因为42．(－5，6)　[设3a＋2b＝x(a＋2b)＋y(2a－b)，
即3a＋2b＝(x＋2y)a＋(2x－y)b，
所以
于是3a＋2b＝(a＋2b)＋(2a－b)，
又因为－(a＋2b)<，－(2a－b)<，
所以－5<(a＋2b)＋(2a－b)<6，
即－5<3a＋2b<6．]
随堂·对点检测
1．B　[由a－b＝2＋，且(2＋)2＝7＋4>7，故a>b．a－c＝2＋，且(2＋)2＝6＋4>6，故a>c．b－c＝()－()2＝9＋2>9＋2＝()2，故c>b．
所以a>c>b．]
2．D　[因为实数a若m>0，如a＝－2，b＝－1，m＝2，得，
∴m>0不是的充分条件；
若，如a＝0，b＝1，m＝－2符合此不等式，但是m<0，
∴m>0不是的必要条件，
∴m>0是的既不充分也不必要条件．
故选D．]
3．ACD　[选项A，由a>b可得a－b>0，由<0，故ab<0，A正确；
选项B，当a＝0，b＝－1时，满足a>b，且a≠－b，但＝－1，＝0，不等式不成立，B错误；
选项C，因为a－b>0，故－a－b>2，C正确；
选项D，由a0，且b－1<0，故>0，即，D正确．
故选ACD．]
4．(2，5)　[因为2又－21 / 4(共58张PPT)
第一章　集合、常用逻辑用语、不等式
第3课时　等式性质与不等式性质
[考试要求]　1．掌握等式性质．2．会比较两个数的大小．3．理解不等式的性质，并能简单应用．
理法先行·题练固本
知识点1　两个实数比较大小的方法
关系 方法
作差法 作商法
a＞b a－b＞0 ＞1(a，b＞0)或＜1(a，b＜0)
a＝b a－b＝0 ＝1(b≠0)
a＜b a－b＜0 ＜1(a，b＞0)或＞1(a，b＜0)
知识点2　不等式的性质
性质1　对称性：a>b ______；
性质2　传递性：a>b，b>c ______；
性质3　可加性：a>b ____________；
性质4　可乘性：a>b，c>0 ________；
a>b，c<0 ________；
ba>c
a＋c>b＋c
ac>bc
ac性质5　同向可加性：a>b，c>d ____________；
性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ________；
性质7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)；
性质8　同正可开方性：a＞b＞0 ＞(n∈N，n≥2)．
a＋c>b＋d
ac>bd
[常用结论]
1．倒数性质
若ab＞0，则a＞b ＜；
若ab＜0，则a＞b ＞
2．若a>b>0，m>0，则
(1)真分数性质：<<(b－m>0)，
即真分数越加越大，越减越小；
(2)假分数性质：<<(b－m>0)，
即假分数越加越小，越减越大．
1．(苏教版必修第一册P53例3改编)设M＝x2＋y2＋1，N＝2(x＋y－1)，则M与N的大小关系为________．
M >N　[M－N＝x2＋y2＋1－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1>0．故M>N．]
M >N
2．(人教A版必修第一册P43习题2.1T8)下列命题为真命题的是(　　)
A．若a>b>0，则 ac2>bc2
B．若a>b>0，则a2>b2
C．若aD．若a√
B　[对于A，若a>b>0，则当c＝0时，显然ac2>bc2不成立，故A错误；
对于B，若a>b>0，则a2>b2成立，故B正确；
对于C，若ab2，故C错误；
对于D，若a0，
所以>，故D错误．故选B．]
3．(人教B版必修第一册P81习题2－2BT3节选)已知a∈(1，3)，b∈(2，3)，则a－2b的取值范围是_____________．
(－5，－1)　[由b∈(2，3)得－6<－2b<－4，又1(－5，－1)
4．(人教A版必修第一册P43习题2.1T10)已知b克糖水中含有a克糖(b＞a＞0)，再添加m克糖(m＞0，假设全部溶解)，糖水变甜了，这一事实用不等式可表示为(　　)
A．＞　　　　 B．＞
C．＜ D．＜
√
D　[这一事实用不等式可表示为＜
下面证明不等式成立：
∵＝＝，
又∵b＞a＞0，m＞0，
∴b(b＋m)＞0，m(a－b)＜0，即＜0，
∴＜0，即＜故选D．]
考点深研·题型突破
考点一　数(式)的大小比较
[典例1]　(多选)下列不等式中正确的是(　　)
A．x2－2x>－3(x∈R)
B．若a＝，b＝，则a＞b
C．a2＋b2>2(a－b－1)
D．<(b>a>0)
√
√
√
ABD　[对于A，∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，∴x2－2x>－3，故A正确．
对于B，法一(作商法)：∵a＝＞0，b＝＞0，∴＝＝＝＝log89＞1，
∴a＞b．
法二(作差法): a－b＝＝(2ln 3－3ln 2)＝(ln 9－ln 8)＞0，即a＞b．故B正确．
对于C，∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误．
对于D，＝，
∵b>a>0，∴>0，∴<，故D正确．]
通性通法：比较两个数(或式子)的大小可以利用不等式的性质直接判断，也可以用作差法或作商法．作差法的关键是将差“变形”为完全平方或几个因式的积(商)的形式．作商法的关键变形是分母有理化或变为幂的形式．
【教用·通性通法】
比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
考点二　不等式的基本性质
[典例2]　(1)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题错误的是(　　)
A．若a>b>0，则a－>b－
B．若b
C．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c
D．若a＞b，c＞d＞0，则＞
√
(2)(多选)(2025·保定期中)若a＜0＜b，且a＋b＞0，则下列说法正确的是(　　)
A．＞－1 B．＞0
C．a2＜b2 D．a－>b－
√
√
(1)D　(2)AC　[(1)对于A，∵a>b>0，∴<，∴－＞－，∴a－＞b－，故A正确；
对于B，若b－a>0，∴<，则>，故B正确；
对于C，∵a＞b，c＞d，
∴由不等式的可加性可得a＋c＞b＋d，即a－d＞b－c，故C正确；
对于D，令a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，满足a＞b，c＞d＞0，但＝，故D错误．
故选D．
(2)A中，因为a＜0＜b，且a＋b＞0，两边同时除以b，
所以＋1＞0，即＞－1，所以A正确；
B中，由题意可得ab＜0，a＋b＞0两边同时除以ab，
则＜0，所以B不正确；
C中，由题意可得|b|＞|a|，所以b2＞a2，所以C正确；
D中，取a＝－2＜0＜b＝3，a＋b＝1＞0，则a－＝－＜b－＝，故D错误．故选AC．]
易错提醒：利用不等式的性质判断不等式是否成立时，要特别注意应用性质的条件．
【教用·通性通法】
利用不等式的性质判断命题真假的两种方法
(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的，只需举出一个反例即可．
(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
考点三　不等式性质的综合应用
[典例3]　(多选)(2025·西安雁塔区校级月考)已知实数a，b满足－3＜a＋2b＜2，－1＜2a－b＜4，则(　　)
A．－1＜a＜2 B．－2＜b＜1
C．－2＜a＋b＜2 D．－2＜a－b＜4
√
√
√
ABC　[因为－3＜a＋2b＜2，－1＜2a－b＜4，所以－2＜4a－2b＜8，
所以－5＜5a＜10，即－1＜a＜2，A正确；
由－3＜a＋2b＜2，可得－4＜－2a－4b＜6，
又－1＜2a－b＜4，则－5＜－5b＜10，即－2＜b＜1，B正确；
a＋b＝(a＋2b)＋(2a－b)∈(－2，2)，C正确；
a－b＝－(a＋2b)＋(2a－b)∈(－1，3)，D错误．
故选ABC．]
[母题探究]
1．(综合变式)已知3　[因为42．(变结论)本例条件不变，则3a＋2b的取值范围是________．
(－5，6)　[设3a＋2b＝x(a＋2b)＋y(2a－b)，
即3a＋2b＝(x＋2y)a＋(2x－y)b，
所以解得
于是3a＋2b＝(a＋2b)＋(2a－b)，
又因为－＜(a＋2b)＜，－＜(2a－b)＜，
所以－5＜(a＋2b)＋(2a－b)＜6，
即－5＜3a＋2b＜6．]
(－5，6)　
易错提醒：多次运用不等式的性质易使变量范围扩大，导致结果错误，一般是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．
【教用·通性通法】
利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．
1．(链接考点一)已知a＝2，b＝，c＝，则实数a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
√
B　[由a－b＝2＋，且(2＋)2＝7＋4>7，故a>b．a－c＝2＋，且(2＋)2＝6＋4>6，故a>c．b－c＝()－()，且()2＝9＋2>9＋2＝()2，故c>b．所以a>c>b．]
2．(链接考点一)(2025·赣州月考)已知实数a＜b，则“m＞0”是“＜”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
D　[因为实数a＜b，
若m＞0，如a＝－2，b＝－1，m＝2，得＞，
∴m＞0不是＜的充分条件；
若＜，如a＝0，b＝1，m＝－2符合此不等式，但是m＜0，
∴m＞0不是＜的必要条件，
∴m＞0是＜的既不充分也不必要条件．
故选D．]
3．(链接考点二)(多选)(2026·许昌模拟)已知a，b∈R，则下列结论正确的是(　　)
A．若a＞b，且＞，则ab＜0
B．若a＞b，且a≠－b，则＞
C．若a＜b＜0，则＜－a－b
D．若a＜b＜0，则＞
√
√
√
ACD　[选项A，由a＞b可得a－b＞0，由＞可得＜0，故ab＜0，A正确；
选项B，当a＝0，b＝－1时，满足a＞b，且a≠－b，但＝－1，＝0，不等式＞不成立，B错误；
选项C，因为a＜b＜0，所以－a＞－b＞0，故－a－b＞2＞，C正确；
选项D，由a＜b＜0，可得b－a＞0，且b－1＜0，故＝＞0，即＞，D正确．
故选ACD．]
4．(链接考点三)(人教A版必修第一册P43习题2.1T5)已知2(2，5)　[因为2(2，5)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
一、单项选择题
1．(人教A版必修第一册P43习题2.1T3(2)改编)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(　　)
A．M>N B．M≥N
C．M课时作业(三)　等式性质与不等式性质
A　[因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，所以M>N．故选A．]
√
2．(2025·北京海淀区三模)已知x＞y＞z，且x＋y＋z＝0，下列不等式中成立的是(　　)
A．xy＞yz B．xz＞yz
C．xy＞xz D．x|y|＞z|y|
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[∵x＞y＞z，∴3x＞x＋y＋z＝0，3z＜x＋y＋z＝0，∴x＞0，z＜0．
由得xy＞xz．故选C．]
√
3．(2025·杭州月考)若a＞b＞0，c＞d，则下列结论正确的是(　　)
A．|c|＞|d| B．ac＞bd
C．ac2＞bc2 D．＞
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[因为a＞b＞0，c＞d，
当c＝0，d＝－1时，A选项显然错误；
当c＝－1，d＝－2，a＝2，b＝1时，ac＝－2＝bd＝－2，B选项错误；
当c＝0时，ac2＝0＝bc2，C选项错误；
因为d2＋1＞0，又因为a＞b＞0，所以＞，D选项正确．
故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
4．(人教B版必修第一册P81习题2－2BT3改编)已知6A．<< B．21C．－12题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[对于A，∵15故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
5．(2026·福州模拟)已知－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，则3a＋b的取值范围是(　　)
A．[－3，0] B．[－5，3]
C．[－5，0] D．[－2，5]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[因为3a＋b＝2(a＋b)＋(a－b)，
又－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，
所以－6≤2(a＋b)≤－4，
即－5≤2(a＋b)＋a－b≤0，
所以3a＋b的取值范围是[－5，0]．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
6．(2026·鄂州模拟)已知a＜b＜c且a＋2b＋4c＝0，则的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[因为a＋2b＋4c＝0，a＜b＜c，所以a＜0，c＞0，由a＋2b＋4c＝0得c＝－a－b，则－a－b＞0，解得＞－，由b＜c得b＜－a－b，整理得a＜－b，解得＞－，由a＜b得＜1，综上，－＜＜1．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
二、多项选择题　
7．(人教A版必修第一册P42练习T2)下列结论正确的是(　　)
A．如果a>b，cb－d
B．如果a>b>0，cbd
C．如果a>b>0，那么<
D．如果a>b>c>0，那么<
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
ACD　[ a－c>b－d，A正确；
－ac>－bd，即aca>b>0 a2>b2>0 <，C正确；
<，D正确．
故选ACD．]
题号
1
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12
√
8．(人教A版必修第一册P57复习参考题2T2改编)对于实数a，b，c，下列说法正确的是(　　)
A．若a>b，则a>>b
B．若a>b>0，则a>>b
C．若>，则a>0，b<0
D．若a>b>0，c>0，则>
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
ABD　[对于A，∵a>b，∴a－＝>0，－b＝>0，∴a>>b，故A正确；
对于B，∵a>b>0，
∴＝>1，＝>1，∴a>>b，故B正确；对于C，令a＝2，b＝3，满足>，但不满足a>0，b<0，故C不正确；对于D，∵a>b>0，c>0，∴＝＝>0，即>，故D正确．故选ABD．]
题号
1
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12
√
9．(2026·嘉兴模拟)已知实数x，y满足1＜x＜6，2＜y＜3，则(　　)
A．3＜x＋y＜9 B．－1＜x－y＜3
C．2＜xy＜18 D．＜＜3
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
ACD　[实数x，y满足1＜x＜6，2＜y＜3，
由不等式的同向可加性和同向同正可乘性，有3＜x＋y＜9，2＜xy＜18，A，C选项正确；
由－3＜－y＜－2，得－2＜x－y＜4，B选项错误；
由＜＜，得＜＜3，D选项正确．故选ACD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
11
12
三、填空题
10．已知a＞0，－1＜b＜0，则a，ab，ab2由小到大依次排列是_______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
ab＜ab2＜a　[因为a＞0，－1＜b＜0，
所以ab＜0，0＜b2＜1，0＜ab2＜a，
故ab＜ab2＜a．]
ab＜ab2＜a
11．(开放题)若a，b同时满足下列两个条件：
①a＋b>ab；②>
请写出一组a，b的值________________________________．
题号
1
3
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2
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11
12
a＝－1，b＝2(答案不唯一)
a＝－1，b＝2(答案不唯一)　[容易发现，若将①式转化为②式，
需使(a＋b)ab<0，即a＋b与ab异号，
显然应使a＋b>0，ab<0，
当a<0，b>0时，要使a＋b>0，则|a|<|b|，
可取a＝－1，b＝2；
当a>0，b<0时，要使a＋b>0，则|a|>|b|，
可取a＝2，b＝－1．
综上，易知取任意两个异号的实数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案．]
题号
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题号
1
3
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12
12．(2026·福州长乐区模拟)已知π<α＋β<，－π<α－β<－，则2α－β的取值范围为_____________．
题号
1
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12
　[设2α－β＝x(α＋β)＋y(α－β)＝(x＋y)α＋(x－y)β，x，y∈R，
则解得
所以2α－β＝(α＋β)＋(α－β)，
因为π<α＋β<，－π<α－β<－，
所以<(α＋β)<，－<(α－β)<－，
所以－π<2α－β<
则2α－β的取值范围为]
谢谢！课时作业(三)　等式性质与不等式性质
一、单项选择题
1．(人教A版必修第一册P43习题2.1T3(2)改编)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(　　)
A．M>N B．M≥N
C．M2．(2025·北京海淀区三模)已知x＞y＞z，且x＋y＋z＝0，下列不等式中成立的是(　　)
A．xy＞yz B．xz＞yz
C．xy＞xz D．x|y|＞z|y|
3．(2025·杭州月考)若a＞b＞0，c＞d，则下列结论正确的是(　　)
A．|c|＞|d| B．ac＞bd
C．ac2＞bc2 D．＞
4．(人教B版必修第一册P81习题2－2BT3改编)已知6A．<< B．21C．－125．(2026·福州模拟)已知－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，则3a＋b的取值范围是(　　)
A．[－3，0] B．[－5，3]
C．[－5，0] D．[－2，5]
6．(2026·鄂州模拟)已知a＜b＜c且a＋2b＋4c＝0，则的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
二、多项选择题　
7．(人教A版必修第一册P42练习T2)下列结论正确的是(　　)
A．如果a>b，cb－d
B．如果a>b>0，cbd
C．如果a>b>0，那么<
D．如果a>b>c>0，那么<
8．(人教A版必修第一册P57复习参考题2T2改编)对于实数a，b，c，下列说法正确的是(　　)
A．若a>b，则a>>b
B．若a>b>0，则a>>b
C．若>，则a>0，b<0
D．若a>b>0，c>0，则>
9．(2026·嘉兴模拟)已知实数x，y满足1＜x＜6，2＜y＜3，则(　　)
A．3＜x＋y＜9 B．－1＜x－y＜3
C．2＜xy＜18 D．＜＜3
三、填空题
10．已知a＞0，－1＜b＜0，则a，ab，ab2由小到大依次排列是________．
11．(开放题)若a，b同时满足下列两个条件：
①a＋b>ab；②>
请写出一组a，b的值________．
12．(2026·福州长乐区模拟)已知π<α＋β<，－π<α－β<－，则2α－β的取值范围为________．
课时作业(三)
1．A　[因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，所以M>N．故选A．]
2．C　[∵x＞y＞z，∴3x＞x＋y＋z＝0，3z＜x＋y＋z＝0，∴x＞0，z＜0．
由得xy＞xz．故选C．]
3．D　[因为a＞b＞0，c＞d，
当c＝0，d＝－1时，A选项显然错误；
当c＝－1，d＝－2，a＝2，b＝1时，ac＝－2＝bd＝－2，B选项错误；
当c＝0时，ac2＝0＝bc2，C选项错误；
因为d2＋1＞0，又因为a＞b＞0，所以＞，D选项正确．
故选D．]
4．C　[对于A，∵15故选C．]
5．C　[因为3a＋b＝2(a＋b)＋(a－b)，
又－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，
所以－6≤2(a＋b)≤－4，
即－5≤2(a＋b)＋a－b≤0，
所以3a＋b的取值范围是[－5，0]．
故选C．]
6．B　[因为a＋2b＋4c＝0，a＜b＜c，所以a＜0，c＞0，由a＋2b＋4c＝0得c＝－a－b，则－a－b＞0，解得＞－，由b＜c得b＜－a－b，整理得a＜－b，解得＞－，由a＜b得＜1，综上，－＜＜1．故选B．]
7．ACD　[ a－c>b－d，A正确；
－ac>－bd，即aca>b>0 a2>b2>0 <，C正确；
<，D正确．
故选ACD．]
8．ABD　[对于A，∵a>b，∴a－＝>0，－b＝>0，∴a>>b，故A正确；
对于B，∵a>b>0，
∴＝>1，＝>1，∴a>>b，故B正确；对于C，令a＝2，b＝3，满足>，但不满足a>0，b<0，故C不正确；对于D，∵a>b>0，c>0，∴＝＝>0，即>，故D正确．故选ABD．]
9．ACD　[实数x，y满足1＜x＜6，2＜y＜3，
由不等式的同向可加性和同向同正可乘性，有3＜x＋y＜9，2＜xy＜18，A，C选项正确；
由－3＜－y＜－2，得－2＜x－y＜4，B选项错误；
由＜＜，得＜＜3，D选项正确．故选ACD．]
10．ab＜ab2＜a　[因为a＞0，－1＜b＜0，
所以ab＜0，0＜b2＜1，0＜ab2＜a，
故ab＜ab2＜a．]
11．a＝－1，b＝2(答案不唯一)　[容易发现，若将①式转化为②式，
需使(a＋b)ab<0，即a＋b与ab异号，
显然应使a＋b>0，ab<0，
当a<0，b>0时，要使a＋b>0，则|a|<|b|，
可取a＝－1，b＝2；
当a>0，b<0时，要使a＋b>0，则|a|>|b|，
可取a＝2，b＝－1．
综上，易知取任意两个异号的实数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案．]
12．　[设2α－β＝x(α＋β)＋y(α－β)＝(x＋y)α＋(x－y)β，x，y∈R，
则解得
所以2α－β＝(α＋β)＋(α－β)，
因为π<α＋β<，－π<α－β<－，
所以<(α＋β)<，－<(α－β)<－，
所以－π<2α－β<
则2α－β的取值范围为]
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