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第4课时　基本不等式
[考试要求]　1．了解基本不等式的推导过程．2．会用基本不等式解决简单的最值问题．
知识点1　基本不等式：
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0．
(2)等号成立的条件：当且仅当______ 时取等号．
(3)其中__叫做正数a，b的算术平均数，__叫做正数a，b的几何平均数．
知识点2　利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值___．
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值____．
[常用结论]
几个重要的不等式
当且仅当a＝b时等号成立．
1．(人教A版必修第一册P45探究改编)若0A．b>>a> B．b>>>a
C．b>>>a D．b>a>>
2．(人教A版必修第一册P58复习参考题2T5改编)若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为________．
3．(苏教版必修第一册P58例2)设y＝x＋，x∈(－2，＋∞)，则y的最小值为________．
4．(多选)(北师大版必修第一册P30习题1－3A组T5改编)若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)
A． B．≥2
C．≥2 D．a2＋b2≥8
考点一　基本不等式的理解及常见变形
[典例1]　(多选)下列说法不正确的是(　　)
A．x＋的最小值是4
B．不等式ab≤与成立的条件是相同的
C．的最小值为2
D．存在a，使得a＋<2成立
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
易错提醒：使用基本不等式及其变形求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．
考点二　利用基本不等式求最值
　直接法求最值
[典例2]　(2025·贺州期末)3|a|＋的最小值为(　　)
A．3 B．4
C． D．2
　配凑法求最值
[典例3]　(人教A版必修第一册P48习题2.2T1(1)改编)已知x＞－3，则＋x的最小值是(　　)
A．－1 B．1
C．4 D．7
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
(变条件)本例中，若把“x＞－3”改为“x<－3”，求＋x的最大值．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　常数代换法求最值
[典例4]　已知正数a，b满足＝1，则8a＋b的最小值为(　　)
A．54 B．56
C．72 D．81
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　换元、消元法求最值
[典例5]　(1)(2025·南安市月考)已知x＞0，y＞0且xy＋2x＋y＝2，则2x＋y的最小值为(　　)
A．2－4 B．4－4
C．2 D．4
(2)已知y＝(x＞1)，求y的最小值．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
易错提醒：(1)在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等号成立的条件必须相同，否则会造成错误．
(2)尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值．
基本不等式链
[典例6]　(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　)
A．有最大值
B．有最小值3
C．a2＋b2有最小值
D．有最大值
1．(链接考点二)(2026·郴州模拟)已知正实数a，b满足ab＝100，则的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
2．(链接考点二)(2025·杭州月考)已知x＞0，则＋x的最小值是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
3．(链接考点一)给出下面三个推导过程：
①∵a，b为正实数，
∴≥2＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；
③∵x，y∈R，xy<0，
∴＝－≤－2＝－2．
其中正确的推导为(　　)
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
4．(链接考点二)已知实数x，y满足3xy＋y2＝1，y>0，则2x＋y的最小值是(　　)
A． B．
C．2 D．3
第4课时　基本不等式
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　(2)a＝b　(3)　
知识点2　(1)2　(2)S2
链教材·夯基固本
1．C　[∵0a＋b，∴b>．
∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a．
故b>>a．故选C．]
2.9　[由ab＝a＋b＋3≥2＋3，得ab－2－3≥0，解得≥3(≤－1舍去)，
即ab≥9．当且仅当a＝b＝3时取等号．]
3.6　[因为x>－2，所以x＋2>0．
由基本不等式，得
x＋＝(x＋2)＋－2
≥2－2＝6，
当且仅当x＋2＝，即x＝2时，等号成立．
因此，y的最小值为6．]
4．AD　[对于A，C，因为a>0，b>0，所以a＋b＝4≥2≤2，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故0考点深研·题型突破
考点一
典例1　ABC　[对于A，当x>0时，x＋≥2＝4(当且仅当x＝2时取等号)，
当x<0时，x＋＝－≤－2＝－4(当且仅当x＝－2时取等号)，故A错误；
对于B，ab≤成立的条件为a>0，b>0，故B错误；
对于C，y＝≥2，等号成立的条件是，即x2＋2＝1，显然不能取到，故C错误；
对于D，存在a＝－1，使得a＋<2成立，故D正确．]
考点二
考向1　典例2　D　[由题意可得，|a|>0，
则3|a|＋≥2＝2，
当且仅当3|a|＝，即|a|＝时取等号．
故选D．]
考向2　典例3　A　[由x>－3，
则＋x＝＋(x＋3)－3
≥2－3＝－1，
当且仅当＝x＋3，即x＝－2时取等号．
故选A．]
母题探究
　解：由x<－3，知<0，－>0，
则－＋[－(x＋3)]
≥2＝2，
所以＋(x＋3)≤－2，当且仅当＝x＋3，即x＝－4时取等号．
故＋x＝＋(x＋3)－3≤－2－3＝－5，
所以＋x的最大值为－5．
考向3　典例4　C　[8a＋b＝(8a＋b)＋40≥2＋40＝72，
当且仅当，即a＝6，b＝24时取等号．
故选C．]
考向4　典例5　(1)B　[因为x>0，y>0，且xy＋2x＋y＝2，所以y＝，其中0则2x＋y＝2x＋＝2(x＋1)＋－2＝2(x＋1)＋－4≥4－4，
当且仅当2(x＋1)＝，即x＝－1时取等号，
所以2x＋y的最小值为4－4．
故选B．]
(2)解：设x－1＝t(t>0)，∴x＝t＋1．
∴y＝＝t＋＋4≥2＋4＝2＋4．
当且仅当t＝，即t＝，x＝＋1时，y取得最小值2＋4．
微点突破2
典例6　ACD　[对于A，由基本不等式可得，当且仅当a＝b＝时等号成立，A正确；对于B，由，当且仅当a＋2b＝2a＋b，即a＝b＝时等号成立，B错误；对于C，由，得a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，C正确；对于D，由，当且仅当a＝b＝时等号成立，D正确．故选ACD．]
随堂·对点检测
1．B　[因为正实数a，b满足ab＝100，
则≥2，即a＝5，b＝20时，等号成立．
故选B．]
2．C　[因为x>0，
所以＋x＝＋x＋1－1≥2－1＝3，
当且仅当x＋1＝，即x＝1时等号成立，
故＋x的最小值是3．故选C．]
3．B　[①∵a，b为正实数，∴为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．
②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，
∴＋a≥2＝4是错误的．
③由xy<0，得均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确．]
4．B　[因为实数x，y满足3xy＋y2＝1，y>0，
所以x＝，
则2x＋y＝＋y＝≥2，
当且仅当，即y＝时，等号成立，
所以2x＋y的最小值是．]
1 / 5(共63张PPT)
第一章　集合、常用逻辑用语、不等式
第4课时　基本不等式
[考试要求]　1．了解基本不等式的推导过程．2．会用基本不等式解决简单的最值问题．
理法先行·题练固本
知识点1　基本不等式：
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0．
(2)等号成立的条件：当且仅当______ 时取等号．
(3)其中______叫做正数a，b的算术平均数，______叫做正数a，b的几何平均数．
a＝b
知识点2　利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值_______．
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值________．
2
S2
[常用结论]
几个重要的不等式
当且仅当a＝b时等号成立．
1．(人教A版必修第一册P45探究改编)若0A．b>>a> B．b>>>a
C．b>>>a D．b>a>>
√
C　[∵0a＋b，∴b>>∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a．故b>>>a．故选C．]
2．(人教A版必修第一册P58复习参考题2T5改编)若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为________．
9　[由ab＝a＋b＋3≥2＋3，得ab－2－3≥0，解得≥3(≤－1舍去)，
即ab≥9．当且仅当a＝b＝3时取等号．]
9　
3．(苏教版必修第一册P58例2)设y＝x＋，x∈(－2，＋∞)，则y的最小值为________．
6　[因为x>－2，所以x＋2>0．
由基本不等式，得
x＋＝(x＋2)＋－2≥2－2＝6，
当且仅当x＋2＝，即x＝2时，等号成立．
因此，y的最小值为6．]
6
4．(多选)(北师大版必修第一册P30习题1－3A组T5改编)若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)
A． B．≥2
C．≥2 D．a2＋b2≥8
√
√
AD　[对于A，C，因为a＞0，b＞0，所以a＋b＝4≥2，即≤2，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故0＜ab≤4，则，故A正确，C错误；对于B，代入a＝b＝2，＝＋1＝＜2，故B错误；对于D，a2＋b2≥＝8，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故D正确．]
考点深研·题型突破
考点一　基本不等式的理解及常见变形
[典例1]　(多选)下列说法不正确的是(　　)
A．x＋的最小值是4
B．不等式ab≤与成立的条件是相同的
C．的最小值为2
D．存在a，使得a＋<2成立
√
√
√
ABC　[对于A，当x>0时，x＋≥2＝4(当且仅当x＝2时取等号)，
当x<0时，x＋＝－≤－2·＝－4(当且仅当x＝－2时取等号)，故A错误；
对于B，ab≤恒成立，而成立的条件为a>0，b>0，故B错误；
对于C，y＝≥2，等号成立的条件是＝，即x2＋2＝1，显然不能取到，故C错误；
对于D，存在a＝－1，使得a＋<2成立，故D正确．]
易错提醒：使用基本不等式及其变形求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．
【教用·通性通法】
对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：
(1)基本不等式成立的条件是a，b都是正数．
(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，的等号成立，即a＝b ＝；仅当a＝b时，的等号成立，即＝ a＝b．
考点二　利用基本不等式求最值
考向1　直接法求最值
[典例2]　(2025·贺州期末)3|a|＋的最小值为(　　)
A．3 B．4
C． D．2
√
D　[由题意可得，|a|＞0，
则3|a|＋≥2＝2，
当且仅当3|a|＝，即|a|＝时取等号．
故选D．]
考向2　配凑法求最值
[典例3]　(人教A版必修第一册P48习题2.2T1(1)改编)已知x＞－3，则＋x的最小值是(　　)
A．－1 B．1
C．4 D．7
√
A　[由x＞－3，
则＋x＝＋(x＋3)－3≥2－3＝－1，
当且仅当＝x＋3，即x＝－2时取等号．
故选A．]
[母题探究]
(变条件)本例中，若把“x＞－3”改为“x<－3”，求＋x的最大值．
[解]　由x<－3，知<0，－＞0，
则－＋[－(x＋3)]≥2＝2，
所以＋(x＋3)≤－2，当且仅当＝x＋3，即x＝－4时取等号．
故＋x＝＋(x＋3)－3≤－2－3＝－5，
所以＋x的最大值为－5．
考向3　常数代换法求最值
[典例4]　已知正数a，b满足＝1，则8a＋b的最小值为(　　)
A．54 B．56
C．72 D．81
√
C　[8a＋b＝(8a＋b)＝＋40≥2＋40＝72，
当且仅当＝，即a＝6，b＝24时取等号．
故选C．]
考向4　换元、消元法求最值
[典例5]　(1)(2025·南安市月考)已知x＞0，y＞0且xy＋2x＋y＝2，则2x＋y的最小值为(　　)
A．2－4 B．4－4
C．2 D．4
(2)已知y＝(x＞1)，求y的最小值．
√
(1)B　[因为x＞0，y＞0，且xy＋2x＋y＝2，所以y＝，其中0＜x＜1，
则2x＋y＝2x＋＝2(x＋1)＋－2＝2(x＋1)＋－4≥4－4，
当且仅当2(x＋1)＝，即x＝－1时取等号，
所以2x＋y的最小值为4－4．
故选B．]
(2)[解]　设x－1＝t(t＞0)，∴x＝t＋1．
∴y＝＝＝t＋＋4≥2＋4＝2＋4．
当且仅当t＝，即t＝，x＝＋1时，y取得最小值2＋4．
易错提醒：(1)在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等号成立的条件必须相同，否则会造成错误．
(2)尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值．
【教用·通性通法】
(1)利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式．
(2)常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值．
(3)当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，然后利用基本不等式求最值．
微点突破2　基本不等式链
[典例6]　(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　)
A．有最大值
B．有最小值3
C．a2＋b2有最小值
D．有最大值
√
√
√
ACD　[对于A，由基本不等式可得＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，A正确；对于B，由＝＝，得，当且仅当a＋2b＝2a＋b，即a＝b＝时等号成立，B错误；对于C，由＝，得a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，C正确；对于D，由＝，得，当且仅当a＝b＝时等号成立，D正确．故选ACD．]
1．(链接考点二)(2026·郴州模拟)已知正实数a，b满足ab＝100，则的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
√
B　[因为正实数a，b满足ab＝100，
则≥2＝＝，当且仅当＝，即a＝5，b＝20时，等号成立．
故选B．]
2．(链接考点二)(2025·杭州月考)已知x＞0，则＋x的最小值是
(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
√
C　[因为x＞0，
所以＋x＝＋x＋1－1≥2－1＝3，
当且仅当x＋1＝，即x＝1时等号成立，
故＋x的最小值是3．故选C．]
3．(链接考点一)给出下面三个推导过程：
①∵a，b为正实数，
∴≥2＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；
③∵x，y∈R，xy<0，
∴＝－≤－2＝－2．
其中正确的推导为(　　)
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
√
B　[①∵a，b为正实数，∴为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．
②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，
∴＋a≥2＝4是错误的．
③由xy<0，得均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确．]
4．(链接考点二)已知实数x，y满足3xy＋y2＝1，y>0，则2x＋y的最小值是(　　)
A． B．
C．2 D．3
√
B　[因为实数x，y满足3xy＋y2＝1，y>0，
所以x＝，
则2x＋y＝＋y＝≥2＝，
当且仅当＝，即y＝时，等号成立，
所以2x＋y的最小值是]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
一、单项选择题
1．(人教B版必修第一册P82习题2－2CT5改编)设m，n∈(0，＋∞)，且m＋2n＝1，则的最小值为(　　)
A．10 B．9
C．8 D．7
课时作业(四)　基本不等式
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[因为m，n∈(0，＋∞)，且m＋2n＝1，所以＝(m＋2n)＝5＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即m＝n＝时取等号，所以的最小值为9．故选B．]
√
2．下列几个不等式中，不能取到等号的是(　　)
A．≥2(x>0)
B．|x|＋≥2(x≠0)
C．－≥1(x<0)
D．≥2(x∈R)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[对A，当且仅当＝，即x＝1时等号成立；
对B，当且仅当|x|＝，即x＝±时等号成立；
对C，当且仅当－＝－，即x＝－8时等号成立；
对D，当且仅当＝，
即x2＝－2，无解，等号不成立．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
3．(2025·上海虹口区三模)若x∈R，且下列式子有意义，则下列代数式中最小值为2的是(　　)
A．x＋ B．2x＋2-x
C．x2＋ D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[对于选项A，当x＜0时，选项A显然错误；
对于选项B，因为2x＋2－x＝2x＋≥2＝2，
当且仅当2x＝，即x＝0时取等号，B正确；
对于选项C，易知x2＞0，则x2＋≥2＝4，
当且仅当x2＝，即x＝±时取等号，C错误；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
对于选项D，易知，又≥ 2＝2，
当且仅当＝时取等号，显然等号不成立，
所以＞2，D错误．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
4．已知正数a，b满足a2－2ab＋4＝0，则b－的最小值为(　　)
A．1 B．
C．2 D．2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[∵a>0，b>0，a2－2ab＋4＝0，
则b＝，∴b－＝＝≥2＝，
当且仅当＝，即a＝2时，等号成立，此时b＝]
√
5．(2025·北海期末)已知正数x，y满足xy＝1，则的最小值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[因为正数x，y满足xy＝1，
由＝＝(x＋y)＋≥2＝4，
当且仅当x＝y＝1时取等号，此时取得最小值4．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
6．(2026·太原模拟)已知正实数a，b满足a＋b＝1，则的最小值为(　　)
A．2＋2 B．4＋2
C．4 D．7
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[因为正实数a，b满足a＋b＝1，
所以＝
＝＋1
＝＋1
＝3＋≥3＋2＝7，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号．
故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
二、多项选择题　
7．已知a，b∈R，则下列不等式成立的是(　　)
A． B．
C． D．ab≤
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
BD　[A选项，由选项可知a与b同号，当a＞0且b＞0时，由基本不等式可知恒成立，当a＜0且b＜0时，＜0，＞0，该不等式不成立，故A选项错误；
B选项，当a＋b＞0时，＞0，则－＝＝≤0恒成立，即 恒成立，当a＋b≤0时，原不等式恒成立，故B选项正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C选项，当a＋b＞0时，2ab－＝≤0，即2ab≤恒成立，当a＋b＜0时，2ab－＝≤0，即2ab≤，故C选项错误；
D选项，当a，b∈R时，ab≤恒成立，故D选项正确．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
8．(人教A版必修第一册P45例2改编)设正实数x，y满足x＋2y＝3，则下列说法正确的是(　　)
A．的最小值为4
B．xy的最大值为
C．的最小值为2
D．x2＋4y2的最小值为
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
ABD　[对于A，＝＝＋2≥2＋2＝4，当且仅当x＝y＝1时取等号，故A正确；对于B，xy＝·x·2y≤＝＝，当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时取等号，故B正确；对于C，()2＝x＋2y＋2≤3＋2＝3＋3＝6，则，当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时取等号，故C错误；对于D，x2＋4y2＝(x＋2y)2－4xy≥9－4×＝，当且仅当x＝，y＝时取等号，故D正确．故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
9．(2025·孝感期末)若x>0，y>0，且2x＋y＝xy，则(　　)
A．>1
B．x＋2y＋xy≥9＋6
C．xy≤8
D．≥2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
ABD　[已知x>0，y>0，∵2x＋y＝xy，
∴＝1．
∴>＝1，故A正确；
x＋2y＋xy＝3x＋3y＝(3x＋3y)＝9＋≥9＋2＝9＋6，
当且仅当x＝y，即x＝＋1，y＝2＋时等号成立，故B正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
2x＋y＝xy≥2，解得xy≥8，
当且仅当y＝2x，即x＝2，y＝4时等号成立，故C错误；
由2x＋y＝xy，得(x－1)(y－2)＝2，
由题意知，x－1>0，y－2>0，
则≥2＝2，
当且仅当＝，即x＝2，y＝4时等号成立，故D正确．]
题号
1
3
5
2
4
6
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11
12
三、填空题
10．(人教B版必修第一册P80练习BT1改编)已知0题号
1
3
5
2
4
6
8
7
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10
11
12
　[y＝x(1－2x)＝·2x(1－2x)≤＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时等号成立．]
　
11．(2025·上海卷)设a，b＞0，a＋＝1，则b＋的最小值为___．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
4　[由已知，b＋＝＝2＋ab＋≥2＋2＝4，当且仅当ab＝，即a＝，b＝2时取等号，
所以b＋的最小值为4．]
4　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________．
　[法一：∵5x2y2＋y4＝1，
∴y≠0且x2＝＞0，∴0＜y2＜1，
∴x2＋y2＝＋y2＝≥2＝，
当且仅当＝，即x2＝，y2＝时取等号，
∴x2＋y2的最小值为
　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
法二：由5x2y2＋y4＝1，
可得y2(5x2＋y2)＝1，
即4y2(5x2＋y2)＝4，
又4＝4y2(5x2＋y2)≤＝(x2＋y2)2，
∴(x2＋y2)2≥，即x2＋y2≥，
当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2，即x2＝，y2＝时取等号，∴x2＋y2的最小值是]
谢谢！课时作业(四)　基本不等式
一、单项选择题
1．(人教B版必修第一册P82习题2－2CT5改编)设m，n∈(0，＋∞)，且m＋2n＝1，则的最小值为(　　)
A．10 B．9
C．8 D．7
2．下列几个不等式中，不能取到等号的是(　　)
A．≥2(x>0)
B．|x|＋≥2(x≠0)
C．－≥1(x<0)
D．≥2(x∈R)
3．(2025·上海虹口区三模)若x∈R，且下列式子有意义，则下列代数式中最小值为2的是(　　)
A．x＋ B．2x＋2-x
C．x2＋ D．
4．已知正数a，b满足a2－2ab＋4＝0，则b－的最小值为(　　)
A．1 B．
C．2 D．2
5．(2025·北海期末)已知正数x，y满足xy＝1，则的最小值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
6．(2026·太原模拟)已知正实数a，b满足a＋b＝1，则的最小值为(　　)
A．2＋2 B．4＋2
C．4 D．7
二、多项选择题　
7．已知a，b∈R，则下列不等式成立的是(　　)
A． B．
C． D．ab≤
8．(人教A版必修第一册P45例2改编)设正实数x，y满足x＋2y＝3，则下列说法正确的是(　　)
A．的最小值为4
B．xy的最大值为
C．的最小值为2
D．x2＋4y2的最小值为
9．(2025·孝感期末)若x>0，y>0，且2x＋y＝xy，则(　　)
A．>1
B．x＋2y＋xy≥9＋6
C．xy≤8
D．≥2
三、填空题
10．(人教B版必修第一册P80练习BT1改编)已知011．(2025·上海卷)设a，b＞0，a＋＝1，则b＋的最小值为________．
12．已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________．
课时作业(四)
1．B　[因为m，n∈(0，＋∞)，且m＋2n＝1，所以＝(m＋2n)＝5＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即m＝n＝时取等号，所以的最小值为9．故选B．]
2．D　[对A，当且仅当＝，即x＝1时等号成立；
对B，当且仅当|x|＝，即x＝±时等号成立；
对C，当且仅当－＝－，即x＝－8时等号成立；
对D，当且仅当＝，
即x2＝－2，无解，等号不成立．]
3．B　[对于选项A，当x＜0时，选项A显然错误；
对于选项B，因为2x＋2－x＝2x＋≥2＝2，
当且仅当2x＝，即x＝0时取等号，B正确；
对于选项C，易知x2＞0，则x2＋≥2＝4，
当且仅当x2＝，即x＝±时取等号，C错误；
对于选项D，易知，又≥2＝2，
当且仅当＝时取等号，显然等号不成立，
所以＞2，D错误．
故选B．]
4．B　[∵a>0，b>0，a2－2ab＋4＝0，
则b＝，∴b－＝＝≥2＝，
当且仅当＝，即a＝2时，等号成立，此时b＝]
5．C　[因为正数x，y满足xy＝1，
由＝＝(x＋y)＋≥2＝4，
当且仅当x＝y＝1时取等号，此时取得最小值4．
故选C．]
6．D　[因为正实数a，b满足a＋b＝1，
所以＝
＝＋1
＝＋1
＝3＋≥3＋2＝7，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号．
故选D．]
7．BD　[A选项，由选项可知a与b同号，当a＞0且b＞0时，由基本不等式可知恒成立，当a＜0且b＜0时，＜0，＞0，该不等式不成立，故A选项错误；
B选项，当a＋b＞0时，＞0，则－＝＝≤0恒成立，即 恒成立，当a＋b≤0时，原不等式恒成立，故B选项正确；
C选项，当a＋b＞0时，2ab－＝≤0，即2ab≤恒成立，当a＋b＜0时，2ab－＝≤0，即2ab≤，故C选项错误；
D选项，当a，b∈R时，ab≤恒成立，故D选项正确．]
8．ABD　[对于A，＝＝＋2≥2＋2＝4，当且仅当x＝y＝1时取等号，故A正确；对于B，xy＝·x·2y≤＝＝，当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时取等号，故B正确；对于C，()2＝x＋2y＋2≤3＋2＝3＋3＝6，则，当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时取等号，故C错误；对于D，x2＋4y2＝(x＋2y)2－4xy≥9－4×＝，当且仅当x＝，y＝时取等号，故D正确．故选ABD．]
9．ABD　[已知x>0，y>0，∵2x＋y＝xy，
∴＝1．
∴>＝1，故A正确；
x＋2y＋xy＝3x＋3y＝(3x＋3y)＝9＋≥9＋2＝9＋6，
当且仅当x＝y，即x＝＋1，y＝2＋时等号成立，故B正确；
2x＋y＝xy≥2，解得xy≥8，
当且仅当y＝2x，即x＝2，y＝4时等号成立，故C错误；
由2x＋y＝xy，得(x－1)(y－2)＝2，
由题意知，x－1>0，y－2>0，
则≥2＝2，
当且仅当＝，即x＝2，y＝4时等号成立，故D正确．]
10．　[y＝x(1－2x)＝·2x(1－2x)≤＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时等号成立．]
11．4　[由已知，b＋＝＝2＋ab＋≥2＋2＝4，当且仅当ab＝，即a＝，b＝2时取等号，
所以b＋的最小值为4．]
12．　[法一：∵5x2y2＋y4＝1，
∴y≠0且x2＝＞0，∴0＜y2＜1，
∴x2＋y2＝＋y2＝≥2＝，
当且仅当＝，即x2＝，y2＝时取等号，
∴x2＋y2的最小值为
法二：由5x2y2＋y4＝1，
可得y2(5x2＋y2)＝1，
即4y2(5x2＋y2)＝4，
又4＝4y2(5x2＋y2)≤＝(x2＋y2)2，
∴(x2＋y2)2≥，即x2＋y2≥，
当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2，即x2＝，y2＝时取等号，∴x2＋y2的最小值是]
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