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第6课时　一元二次方程、不等式
[考试要求]　1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的实际意义．2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3．了解一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
知识点1　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
项目 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 _____________________ R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 __________________ ____ ____
知识点2　分式不等式与整式不等式
(1)＞0(＜0) __________________________．
(2)≥0(≤0) _____________________________________．
知识点3　简单的绝对值不等式
|x|＞a(a＞0)的解集为____________________________，|x|＜a(a＞0)的解集为____________．
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．
[常用结论]　两个恒成立的充要条件
1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立
2．一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立
1．(人教A版必修第一册P53练习T1(5))不等式－2x2＋x≤－3的解集为________．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．(人教A版必修第一册P55习题2.3T5)已知集合A＝{x|x2－16＜0}，B＝{x|x2－4x＋3＞0}，则A∪B＝________．
3．(北师大版必修第一册P41习题1-4B组T1)若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为，则实数a＝________，b＝________．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4．(苏教版必修第一册P69习题3.3T11(2)改编)若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是________．
考点一　不含参数的不等式的解法
[典例1]　(多选)下列选项中，正确的是(　　)
A．不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2，或x>1}
B．不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2}
C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}
D．设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
通性通法：(1)可通过求解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数图象，求出不等式的解集．
(2)分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组．
考点二　含参数的一元二次不等式的解法
[典例2]　(北师大版必修第一册P38例4改编)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a<0)．
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[母题探究]
(变条件)在本例中，把“a<0”改成“a∈R”，解不等式．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
思维建模：含参数的一元二次不等式的解法
第1步　看二次项系数：二次项系数含参，则需要分系数为0、正、负三种情况讨论．
第2步　因式分解：看含参二次不等式能否因式分解．
第3步　能因式分解则比较根的大小，不能则利用Δ：若能通过因式分解求出根，就比较两根大小，若不能使用因式分解求根，就应用判别式判断根的情况，并求根．
第4步　写解集：在参数的不同取值范围下，分别写出不等式对应的解集．
考点三　三个二次的关系
[典例3]　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
通性通法：(1)一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值．
(2)给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数．
一元二次不等式恒成立问题
解决不等式恒成立问题，常用判别式法、分离参数法、转化法等，方法灵活多变，需根据具体条件求解．
[典例4]　(1)若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．(－∞，－2)
C．(－2，2) D．(－2，2]
(2)已知函数f (x)＝x2－2ax＋1≥0对任意x∈(0，2]恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．[－1，1]
C．(－∞，1] D．
(3)若 a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0恒成立，则实数x的取值范围为__________．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．(链接考点一)(2026·永州模拟)已知集合A＝，B＝{x|x2－3x＜0}，则A∪B＝(　　)
A．{x|x≤2，或x≥3} B．{x|－2＜x＜3}
C．{x|0＜x≤2} D．{x|x≤－2，或x≥3}
2．(链接考点三)(多选)(2026·蚌埠模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(－∞，1)∪(5，＋∞)，则下列结论正确的是(　　)
A．a>0
B．a＋b＋c>0
C．bx＋c>0的解集是
D．cx2－bx＋a<0的解集是
3．(链接考点二)解关于x的不等式ax2＋3x＋2>－ax－1(a>0)．
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
第6课时　一元二次方程、不等式
理法先行·题练固本
梳必备·破题有方
知识点1　{x|xx2}　{x|x1知识点2　(1)f(x)g(x)>0(<0)
(2)f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0
知识点3　(－∞，－a)∪(a，＋∞)　(－a，a)
链教材·夯基固本
1．(－∞，－1]∪　[由－2x2＋x≤－3可得2x2－x－3≥0，
即(2x－3)(x＋1)≥0，得x≤－1或x≥，
故不等式的解集为(－∞，－1]∪．]
2．R　[已知A＝{x|x2－16<0}＝{x|－40}＝{x|x<1，或x>3}，则A∪B＝R．]
3．－12　－1　[∵关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，
∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的两根为－，且a<0．
∴]
4．(－3，0)　[由题意知
解得－3考点深研·题型突破
考点一
典例1　ABD　[因为方程x2＋x－2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2，或x>1}，故A正确；
因为－1≤0，即≤0，即(x＋3)·(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x<2，所以不等式的解集为{x|－3≤x<2}，故B正确；
由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1，
解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1，或x≥3}，故C错误；
由|x－1|<1，可得－1考点二
典例2　解：原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0．
因为a<0，所以原不等式化为·(x＋1)≤0．
当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1；
当<－1，即－2综上所述，当－2当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a<－2时，不等式的解集为．
母题探究
　解：第1步　看二次项系数：二次项系数含参，则需要分系数为0、正、负三种情况讨论．
当a＝0时，原不等式可化为x＋1≤0，解得x≤－1．
第2步　因式分解：看含参二次不等式能否因式分解．
当a≠0时，不等式ax2－2≥2x－ax可化为(ax－2)·(x＋1)≥0．
第3步　能因式分解则比较根的大小，不能则利用Δ：若能通过因式分解求出根，就比较两根大小，若不能使用因式分解求根，就应用判别式判断根的情况，并求根．
方程ax2－2＝2x－ax(a≠0)的两根为x1＝－1，x2＝．
当a>0时，原不等式可化为(x＋1)≥0，
解得x≥或x≤－1．
当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0．
当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1；
当<－1，即－2第4步　写解集：在参数的不同取值范围下，分别写出不等式对应的解集．
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a>0时，不等式的解集为；
当－2当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a<－2时，不等式的解集为．
考点三
典例3　解：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2由根与系数的关系可知
故＝－，
又由a<0知c<0，故不等式cx2＋bx＋a<0，
即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，
解得x<或x>，
所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为．
母题探究
　解：法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为，知a<0，
且－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
∴×2＝<0，－＋2＝－．
∴b＝－a，c＝－a，
∴不等式cx2＋bx＋a<0变为x2＋x＋a<0，即2ax2＋5ax－3a>0．
又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0，
故所求不等式的解集为．
法二：由已知得a<0且－＋2＝－×2＝，则c>0，
设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
其中＝－，
－＝－，
∴x1＝－3，x2＝．
∴不等式cx2＋bx＋a<0的解集为．
微点突破3
典例4　(1)D　(2)C　(3)[－1，0]∪　[(1)当a＝2时，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0可化为－4<0，恒成立；
当a≠2时，要使关于x的不等式(a－2)·x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，只需
解得－2(2)(分离变量法)：f(x)＝x2－2ax＋1≥0对任意x∈(0，2]恒成立，即2a≤x＋在x∈(0，2]上恒成立．因为x＋≥2，当且仅当x＝1时x＋取最小值2，所以2a≤2，即a≤1．故选C．
(3)(变更主元法)：把不等式的左端看成关于a的函数，令g(a)＝ax2－2ax＋x＋3－a＝(x2－2x－1)a＋x＋3≥0，则由g(a)≥0对于 a∈[－1，3]恒成立，得
即
所以实数x的取值范围为[－1，0]∪．]
随堂·对点检测
1．B　[由≥1，可得－1≥0，即≥0，即≤0，
可化为(x－2)(x＋2)≤0，且x＋2≠0，
解得－2不等式x2－3x<0可化为x(x－3)<0，
解得0所以A∪B＝{x|－2故选B．]
2．CD　[由题意可得1和5是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a<0，
由根与系数的关系可得1＋5＝－，1×5＝，得b＝－6a，c＝5a．
对于A，因为a<0，故A错误；
对于B，a＋b＋c＝a－6a＋5a＝0，故B错误；
对于C，不等式bx＋c>0，即－6ax＋5a>0，即6x－5>0，得x>，所以不等式bx＋c>0的解集是，故C正确；
对于D，由不等式cx2－bx＋a<0，得a(5x2＋6x＋1)<0，即5x2＋6x＋1>0，
则(5x＋1)(x＋1)>0，解得x>－或x<－1，
即解集为，故D正确．故选CD．]
3．解：不等式ax2＋3x＋2>－ax－1可化为ax2＋(a＋3)x＋3>0，即(ax＋3)(x＋1)>0．
因为a>0，
所以当－<－1，即0当－＝－1，即a＝3时，原不等式的解集为{x|x≠－1}；
当－>－1，即a>3时，原不等式的解集为．
1 / 5(共83张PPT)
第一章　集合、常用逻辑用语、不等式
第6课时　一元二次方程、不等式
[考试要求]　1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的实际意义．2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3．了解一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
理法先行·题练固本
知识点1　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
项目 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
项目 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 __________________ R
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 __________________ ____ ____
{x|xx2}
{x|x1

知识点2　分式不等式与整式不等式
(1)＞0(＜0) __________________________．
(2)≥0(≤0) _____________________________________．
知识点3　简单的绝对值不等式
|x|＞a(a＞0)的解集为____________________________，|x|＜a(a＞0)的解集为____________．
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．
f (x)g(x)＞0(＜0)
f (x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0
(－∞，－a)∪(a，＋∞)
(－a，a)
[常用结论]　两个恒成立的充要条件
1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立
2．一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立
1．(人教A版必修第一册P53练习T1(5))不等式－2x2＋x≤－3的解集为____________________________．
(－∞，－1]　[由－2x2＋x≤－3可得2x2－x－3≥0，
即(2x－3)(x＋1)≥0，得x≤－1或x≥，
故不等式的解集为(－∞，－1]]
(－∞，－1]　
2．(人教A版必修第一册P55习题2.3T5)已知集合A＝{x|x2－16＜0}，B＝{x|x2－4x＋3＞0}，则A∪B＝________．
R　[已知A＝{x|x2－16＜0}＝{x|－4＜x＜4}，B＝{x|x2－4x＋3＞0}＝{x|x＜1，或x＞3}，则A∪B＝R．]
R
3．(北师大版必修第一册P41习题1-4B组T1)若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为，则实数a＝________，b＝________．
－12　
－1　
－12　－1　[∵关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为，
∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的两根为－，且a＜0．
∴解得]
4．(苏教版必修第一册P69习题3.3T11(2)改编)若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是________．
(－3，0)　[由题意知解得－3(－3，0)　
考点深研·题型突破
考点一　不含参数的不等式的解法
[典例1]　(多选)下列选项中，正确的是(　　)
A．不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2，或x>1}
B．不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2}
C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}
D．设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件
√
√
√
ABD　[因为方程x2＋x－2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2，或x>1}，故A正确；
因为－1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x<2，所以不等式的解集为{x|－3≤x<2}，故B正确；
由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1，
解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1，或x≥3}，故C错误；
由|x－1|<1，可得－1通性通法：(1)可通过求解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数图象，求出不等式的解集．
(2)分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组．
考点二　含参数的一元二次不等式的解法
[典例2]　(北师大版必修第一册P38例4改编)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a<0)．
[解]　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0．
因为a<0，所以原不等式化为(x＋1)≤0．
当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1；
当<－1，即－2综上所述，当－2当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a<－2时，不等式的解集为
[母题探究]
(变条件)在本例中，把“a<0”改成“a∈R”，解不等式．
[解]　第1步　看二次项系数：二次项系数含参，则需要分系数为0、正、负三种情况讨论．
当a＝0时，原不等式可化为x＋1≤0，解得x≤－1．
第2步　因式分解：看含参二次不等式能否因式分解．
当a≠0时，不等式ax2－2≥2x－ax可化为(ax－2)(x＋1)≥0．
第3步　能因式分解则比较根的大小，不能则利用Δ：若能通过因式分解求出根，就比较两根大小，若不能使用因式分解求根，就应用判别式判断根的情况，并求根．
方程ax2－2＝2x－ax(a≠0)的两根为x1＝－1，x2＝
当a>0时，原不等式可化为(x＋1)≥0，
解得x≥或x≤－1．
当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0．
当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1；
当<－1，即－2第4步　写解集：在参数的不同取值范围下，分别写出不等式对应的解集．
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a>0时，不等式的解集为；
当－2当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a<－2时，不等式的解集为
思维建模：含参数的一元二次不等式的解法
第1步　看二次项系数：二次项系数含参，则需要分系数为0、正、负三种情况讨论．
第2步　因式分解：看含参二次不等式能否因式分解．
第3步　能因式分解则比较根的大小，不能则利用Δ：若能通过因式分解求出根，就比较两根大小，若不能使用因式分解求根，就应用判别式判断根的情况，并求根．
第4步　写解集：在参数的不同取值范围下，分别写出不等式对应的解集．
【教用·备选题】
解关于x的不等式x2－ax＋1<0，a∈R．
[解]　当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，原不等式的解集为 ，
当Δ＝a2－4>0，即a>2或a<－2时，
方程x2－ax＋1＝0的两根为x1＝，x2＝，原不等式的解集为．
综上可知，当－2≤a≤2时，原不等式的解集为 ，
当a>2或a<－2时，原不等式的解集为
【教用·通性通法】
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有：
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
考点三　三个二次的关系
[典例3]　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2[解]　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2由根与系数的关系可知
故＝－，
又由a<0知c<0，故不等式cx2＋bx＋a<0，
即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，
解得x<或x>，
所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为
[母题探究]
(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2[解]　法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为，知a<0，
且－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
∴×2＝<0，－＋2＝－
∴b＝－a，c＝－a，
∴不等式cx2＋bx＋a<0变为x2＋x＋a<0，
即2ax2＋5ax－3a>0．
又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0，
故所求不等式的解集为
法二：由已知得a<0且－＋2＝－×2＝，则c>0，
设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
其中＝＝－，
－＝＝＝－，
∴x1＝－3，x2＝
∴不等式cx2＋bx＋a<0的解集为
通性通法：(1)一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值．
(2)给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数．
微点突破3　一元二次不等式恒成立问题
解决不等式恒成立问题，常用判别式法、分离参数法、转化法等，方法灵活多变，需根据具体条件求解．
[典例4]　(1)若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．(－∞，－2)
C．(－2，2) D．(－2，2]
(2)已知函数f (x)＝x2－2ax＋1≥0对任意x∈(0，2]恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．[－1，1]
C．(－∞，1] D．
(3)若 a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0恒成立，则实数x的取值范围为__________________．
√
√
[－1，0]
(1)D　(2)C　(3)[－1，0]　[(1)当a＝2时，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0可化为－4<0，恒成立；当a≠2时，要使关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，只需
解得－2(2)(分离变量法)：f (x)＝x2－2ax＋1≥0对任意x∈(0，2]恒成立，即2a≤x＋在x∈(0，2]上恒成立．因为x＋≥2，当且仅当x＝1时x＋取最小值2，所以2a≤2，即a≤1．故选C．
(3)(变更主元法)：把不等式的左端看成关于a的函数，令g(a)＝ax2－2ax＋x＋3－a＝(x2－2x－1)a＋x＋3≥0，则由g(a)≥0对于 a∈[－1，3]恒成立，得
即即
所以实数x的取值范围为[－1，0]]
1．(链接考点一)(2026·永州模拟)已知集合A＝，B＝{x|x2－3x＜0}，则A∪B＝(　　)
A．{x|x≤2，或x≥3} B．{x|－2＜x＜3}
C．{x|0＜x≤2} D．{x|x≤－2，或x≥3}
√
B　[由≥1，可得－1≥0，即≥0，即≤0，
可化为(x－2)(x＋2)≤0，且x＋2≠0，
解得－2＜x≤2，所以A＝{x|－2＜x≤2}，
不等式x2－3x＜0可化为x(x－3)＜0，
解得0＜x＜3，所以B＝{x|0＜x＜3}，
所以A∪B＝{x|－2＜x＜3}．
故选B．]
2．(链接考点三)(多选)(2026·蚌埠模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(－∞，1)∪(5，＋∞)，则下列结论正确的是(　　)
A．a>0
B．a＋b＋c>0
C．bx＋c>0的解集是
D．cx2－bx＋a<0的解集是
√
√
CD　[由题意可得1和5是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a<0，
由根与系数的关系可得1＋5＝－，1×5＝，得b＝－6a，c＝5a．
对于A，因为a<0，故A错误；
对于B，a＋b＋c＝a－6a＋5a＝0，故B错误；
对于C，不等式bx＋c>0，即－6ax＋5a>0，即6x－5>0，得x>，
所以不等式bx＋c>0的解集是，故C正确；
对于D，由不等式cx2－bx＋a<0，得a(5x2＋6x＋1)<0，即5x2＋6x＋1>0，
则(5x＋1)(x＋1)>0，解得x>－或x<－1，
即解集为，故D正确．故选CD．]
3．(链接考点二)解关于x的不等式ax2＋3x＋2>－ax－1(a>0)．
[解]　不等式ax2＋3x＋2>－ax－1可化为ax2＋(a＋3)x＋3>0，即(ax＋3)(x＋1)>0．
因为a>0，
所以当－<－1，即0当－＝－1，即a＝3时，原不等式的解集为{x|x≠－1}；
当－>－1，即a>3时，原不等式的解集为
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
一、单项选择题
1．(2026·长沙模拟)不等式＞0的解集为(　　)
A． B．
C． D．
√
课时作业(六)　一元二次方程、不等式
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
A　[不等式＞0可化为
＜0，解得＜x＜，
∴原不等式的解集为
故选A．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
2．(2025·全国二卷)不等式≥2的解集是(　　)
A．{x|－2≤x≤1} B．{x|x≤－2}
C．{x|－2≤x＜1} D．{x|x＞1}
C　[由≥2，得≥0，得≤0，得得－2≤x＜1，故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
3．(2026·岳阳模拟)设集合A＝，B＝{x||x|≥2x＋1}，则A∩B＝(　　)
A． B．
C． D．
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
D　[由不等式≤0，可得(4x＋1)(x＋2)≤0且x＋2≠0，解得－2＜x≤－，
所以A＝
对于不等式|x|≥2x＋1，
当x≥0时，不等式化为x≥2x＋1，
解得x≤－1(舍去)，
当x＜0时，不等式化为－x≥2x＋1，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
解得x≤－，
综上所述，不等式|x|≥2x＋1的解集为，所以B＝
所以A∩B＝
故选D．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
4．(2025·漳州期末)已知关于x的一元二次不等式x2＋bx＋c＞0的解集为{x|x≠－1}，则bc＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
D　[一元二次不等式x2＋bx＋c＞0的解集为{x|x≠－1}，则方程x2＋bx＋c＝0有两个相等的根x＝－1．
由于方程x2＋bx＋c＝0的根x1＝x2＝－1，
那么两根之和－1＋(－1)＝－，两根之积(－1)×(－1)＝，解得b＝2，c＝1．
可得bc＝2×1＝2．
故选D．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
二、多项选择题
5．(2025·兰州诊断)下列说法正确的是(　　)
A．不等式4x2－5x＋1>0的解集是
B．不等式2x2－x－6≤0的解集是
C．若不等式ax2＋8ax＋21<0恒成立，则a的取值范围是
D．若关于x的不等式2x2＋px－3<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为－
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
CD　[对于A，4x2－5x＋1>0，即(x－1)(4x－1)>0，解得x<或x>1，故A错误；
对于B，2x2－x－6≤0，即(x－2)(2x＋3)≤0，解得－≤x≤2，故B错误；
对于C，若不等式ax2＋8ax＋21<0恒成立，
当a＝0时，21<0是不可能成立的，所以只能而该不等式组无解，故C正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
对于D，由题意得q，1是一元二次方程2x2＋px－3＝0的两根，
从而解得
而当p＝1时，一元二次不等式化为2x2＋x－3＜0，即(x－1)(2x＋3) ＜0，
解得－＜x＜1，满足题意，
所以p＋q的值为－，故D正确．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
6．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|1＜x＜3}，则(　　)
A．a＜0
B．a＋b＋c＝0
C．4a＋2b＋c＜0
D．不等式cx2－bx＋a＜0的解集是
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
ABD　[由题意可知1，3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，且a＜0，由根与系数的关系得解得
对于A，由以上可知a＜0，故A正确；
对于B，a＋b＋c＝a－4a＋3a＝0，故B正确；
对于C，4a＋2b＋c＝4a－8a＋3a＝－a＞0，故C错误；
对于D，不等式可变为3ax2＋4ax＋a＜0，且a＜0，即3x2＋4x＋1＞0，解集为，故D正确．故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
三、填空题
7．(人教A版必修第一册P58复习参考题2T6改编)若不等式(a－2)x2＋4(a－2)x＋3>0的解集为R，则实数a的取值范围是________．
　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
　[当a－2＝0，即a＝2时，不等式为3>0恒成立，故a＝2符合题意；当a－2≠0，即a≠2时，不等式(a－2)x2＋4(a－2)x＋3>0的解集为R，则解得2题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
8．若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为{x|x1＜x＜x2}，且x2－x1＝15，则实数a的值为________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
　[由题知x1，x2是一元二次方程x2－2ax－8a2＝0(a＞0)的两个实数根，
所以Δ＝4a2＋32a2＝36a2＞0，且x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2．
又因为x2－x1＝15，
所以152＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2．
又a＞0，解得a＝]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
四、解答题
9．已知函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)只能同时满足下列三个条件中的两个：
①y＜0的解集为(－1，3)；②a＝－1；③y的最小值为－4．
(1)请写出这两个条件的序号，并求函数y的解析式；
(2)求关于x的不等式y≥(m－2)x＋2m2－3(m∈R)的解集．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
[解]　(1)若选①②，由a＝－1知函数图象开口向下，此时y＜0的解集不可能为(－1，3)，故不符合题意；
若选①③，因为y＜0的解集为(－1，3)，所以－1，3是方程ax2＋bx＋c＝0的根，所以函数图象的对称轴为直线x＝1，
由y＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，则b＝－2a，c＝－3a，又因为y的最小值为－4，
所以当x＝1时，y＝－4a＝－4，解得a＝1，所以b＝－2，c＝－3，则y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
若选②③，由a＝－1知函数图象开口向下，则y无最小值，不符合题意．
综上，应选①③，且y＝x2－2x－3．
(2)由y≥(m－2)x＋2m2－3(m∈R)，化简得x2－mx－2m2≥0，即(x＋m)(x－2m)≥0，
若m＜0，则不等式的解集为{x|x≤2m，或x≥－m}；
若m＝0，则不等式的解集为R；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
若m＞0，则不等式的解集为{x|x≤－m，或x≥2m}．
综上，当m＜0时，不等式的解集为{x|x≤2m，或x≥－m}；
当m＝0时，不等式的解集为R；
当m＞0时，不等式的解集为{x|x≤－m，或x≥2m}．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
一、单项选择题
1．(2025·保定期末)命题“ x∈R，2 026ex＋x3＞0”的否定是(　　)
A． x∈R，2 026ex＋x3≤0
B． x∈R，2 026ex＋x3≤0
C． x R，2 026ex＋x3≤0
D． x R，2 026ex＋x3＜0
阶段检测(一)　第1～6课时
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“ x∈R，2 026ex＋x3＞0”的否定为“ x∈R，2 026ex＋x3≤0”．
故选B．]
√
2．(2025·武汉期末)已知集合A＝{x|0＜x＜3}，集合B＝{1，2，3，4}，则集合A∩B＝(　　)
A．{1，2} B．{2，3}
C．{1，2，3} D．{2，3，4}
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[因为集合A＝{x|0＜x＜3}，集合B＝{1，2，3，4}，
根据交集的概念，可得A∩B＝{1，2}．
故选A．]
√
3．(2025·上海浦东新区期末)若a＞b，c∈R，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．a2－b2＞0 B．ac＞bc
C．ac2＞bc2 D．2a＞2b
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[令a＝1，b＝－1，满足a＞b，但a2－b2＝0，故A错误；
令c＝0，ac＝bc，ac2＝bc2，故BC错误；
a＞b，则2a＞2b，故D正确．
故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
4．(2025·武汉月考)若命题“ x∈[0，2]，x2≥m”是真命题，则
(　　)
A．m≤0 B．m≤4
C．m＞0 D．m＞4
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[命题“ x∈[0，2]，x2≥m”是真命题，
故当x∈[0，2]时，m≤(x2)max＝4．
故选B．]
√
5．(2026·宁波模拟)“≥0”是“|2x－1|≥3”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件　
C．充要条件　
D．既不充分也不必要条件
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[∵≥0，∴∴x≥2或x＜－1，
∵|2x－1|≥3，∴2x－1≥3或2x－1≤－3，∴x≥2或x≤－1，
∵{x|x≥2，或x＜－1}?{x|x≥2，或x≤－1}，
∴“≥0”是“|2x－1|≥3”的充分不必要条件．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
6．(2025·宿迁期末)设a，b，c为实数，若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜1，或x＞3}，则b－的最大值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜1，或x＞3}，
所以ax2＋bx＋c＝0的根为1，3，且a＞0，
则
即b＝－4a，c＝3a，a＞0，
则b－＝－4a－＝－≤－2·＝－，当且仅当4a＝，即a＝时取等号．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
二、多项选择题
7．(2026·南昌模拟)已知集合A＝{x|ax≤6}，B＝{2，3}，下列结论正确的是(　　)
A．若a＝0，则A＝R
B．若a＝0，则A＝
C．若B A，则a≤2
D．若B A，则a可以取3
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
AC　[若a＝0，则任意实数x均满足0·x≤6，因此A＝R，故A正确，B错误；
若B A，得解得a≤2，
即a的取值范围为(－∞，2]，所以a不可以取3，
故C正确，D错误．
故选AC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
8．若正实数x，y满足2x＋y＝1，则(　　)
A．xy有最大值
B．有最小值6＋4
C．4x2＋y2有最小值
D．4x＋2y有最小值2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
ABC　[对于A，2x＋y＝1≥2，则xy≤，当且仅当2x＝y＝时，等号成立，故A正确．
对于B，＝＝＋6≥2＋6＝6＋4，当且仅当＝，即x＝，y＝2－时，等号成立，故B正确．
对于C，因为，所以4x2＋y2≥，当且仅当2x＝y＝时，等号成立，故C正确．
对于D，4x＋2y＝22x＋2y≥2＝2＝2，当且仅当2x＝y＝时，等号成立，故D错误．故选ABC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
三、填空题
9．(2025·上海月考)已知实数a，b满足－2＜a＜－1，2＜b＜3，则3a－2b的取值范围为____________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(－12，－7)　[∵－2＜a＜－1，2＜b＜3，∴－6＜3a＜－3，－6＜－2b＜－4，
∴－12＜3a－2b＜－7，
故3a－2b的取值范围为(－12，－7)．]
(－12，－7)　
10．命题“ x∈R，(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0”为假命题，则实数a
的取值范围为_______________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
　[由题意可知，命题“ x∈R，
(a2－4)x2＋(a＋2)x－1<0”为真命题．
①当a2－4＝0时，可得a＝±2．
若a＝－2，则－1<0，符合题意；
若a＝2，则4x－1<0，解得x<，不符合题意；
②若a2－4≠0，则
解得－2综上所述，实数a的取值范围是]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
四、解答题
11．集合A＝，集合B＝{x∈Z||x－2|≤2}．
(1)求A；
(2)求B的子集个数；
(3)求B∩ RA．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解]　(1)由≤2，可得－2＝≤0，则解得－1＜x≤2．故A＝{x|－1＜x≤2}．
(2)由|x－2|≤2，得0≤x≤4．又x∈Z，所以B＝{0，1，2，3，4}．所以B的子集个数为25＝32．
(3)由A＝{x|－1＜x≤2}，得 RA＝{x|x≤－1，或x＞2}．所以B∩ RA＝{3，4}．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料，由于需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入x(1(1)写出该公司本季度增加的利润y与x(单位：万元)之间的函数关系；
(2)当x为多少万元时，该公司在本季度增加的利润最大？增加的利润最大为多少万元？
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解]　(1)由题意，列出函数关系式可得，y＝p－x－0.5p＝2.5p－x－8(1又因为p＝，所以y＝－x－8(1所以该公司本季度增加的利润y与x之间的函数关系为y＝－x－8(1题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(2)y＝－x－8＝18－，
因为1由基本不等式可得，
＋(x＋1)≥2＝10，
当且仅当＝x＋1，即x＝4时等号成立，
所以y≤18－10＝8，当x＝4万元时，该公司本季度增加的利润最大，最大为8万元．
谢谢！课时作业(六)　一元二次方程、不等式
一、单项选择题
1．(2026·长沙模拟)不等式＞0的解集为(　　)
A． B．
C． D．
2．(2025·全国二卷)不等式≥2的解集是(　　)
A．{x|－2≤x≤1} B．{x|x≤－2}
C．{x|－2≤x＜1} D．{x|x＞1}
3．(2026·岳阳模拟)设集合A＝，B＝{x||x|≥2x＋1}，则A∩B＝(　　)
A． B．
C． D．
4．(2025·漳州期末)已知关于x的一元二次不等式x2＋bx＋c＞0的解集为{x|x≠－1}，则bc＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
二、多项选择题
5．(2025·兰州诊断)下列说法正确的是(　　)
A．不等式4x2－5x＋1>0的解集是
B．不等式2x2－x－6≤0的解集是
C．若不等式ax2＋8ax＋21<0恒成立，则a的取值范围是
D．若关于x的不等式2x2＋px－3<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为－
6．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|1＜x＜3}，则(　　)
A．a＜0
B．a＋b＋c＝0
C．4a＋2b＋c＜0
D．不等式cx2－bx＋a＜0的解集是
三、填空题
7．(人教A版必修第一册P58复习参考题2T6改编)若不等式(a－2)x2＋4(a－2)x＋3>0的解集为R，则实数a的取值范围是________．
8．若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为{x|x1＜x＜x2}，且x2－x1＝15，则实数a的值为________．
四、解答题
9．已知函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)只能同时满足下列三个条件中的两个：
①y＜0的解集为(－1，3)；②a＝－1；③y的最小值为－4．
(1)请写出这两个条件的序号，并求函数y的解析式；
(2)求关于x的不等式y≥(m－2)x＋2m2－3(m∈R)的解集．
课时作业(六)
1．A　[不等式＞0可化为
＜0，解得＜x＜，
∴原不等式的解集为
故选A．]
2．C　[由≥2，得≥0，得≤0，得得－2≤x＜1，故选C．]
3．D　[由不等式≤0，可得(4x＋1)(x＋2)≤0且x＋2≠0，解得－2＜x≤－，
所以A＝
对于不等式|x|≥2x＋1，
当x≥0时，不等式化为x≥2x＋1，
解得x≤－1(舍去)，
当x＜0时，不等式化为－x≥2x＋1，
解得x≤－，
综上所述，不等式|x|≥2x＋1的解集为，所以B＝
所以A∩B＝
故选D．]
4．D　[一元二次不等式x2＋bx＋c＞0的解集为{x|x≠－1}，则方程x2＋bx＋c＝0有两个相等的根x＝－1．
由于方程x2＋bx＋c＝0的根x1＝x2＝－1，
那么两根之和－1＋(－1)＝－，两根之积(－1)×(－1)＝，解得b＝2，c＝1．
可得bc＝2×1＝2．
故选D．]
5．CD　[对于A，4x2－5x＋1>0，即(x－1)(4x－1)>0，解得x<或x>1，故A错误；
对于B，2x2－x－6≤0，即(x－2)(2x＋3)≤0，解得－≤x≤2，故B错误；
对于C，若不等式ax2＋8ax＋21<0恒成立，
当a＝0时，21<0是不可能成立的，所以只能而该不等式组无解，故C正确；
对于D，由题意得q，1是一元二次方程2x2＋px－3＝0的两根，
从而解得
而当p＝1时，一元二次不等式化为2x2＋x－3＜0，即(x－1)(2x＋3) ＜0，
解得－＜x＜1，满足题意，
所以p＋q的值为－，故D正确．]
6．ABD　[由题意可知1，3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，且a＜0，由根与系数的关系得解得
对于A，由以上可知a＜0，故A正确；
对于B，a＋b＋c＝a－4a＋3a＝0，故B正确；
对于C，4a＋2b＋c＝4a－8a＋3a＝－a＞0，故C错误；
对于D，不等式可变为3ax2＋4ax＋a＜0，且a＜0，即3x2＋4x＋1＞0，解集为，故D正确．故选ABD．]
7．　[当a－2＝0，即a＝2时，不等式为3>0恒成立，故a＝2符合题意；当a－2≠0，即a≠2时，不等式(a－2)x2＋4(a－2)x＋3>0的解集为R，则解得28．　[由题知x1，x2是一元二次方程x2－2ax－8a2＝0(a＞0)的两个实数根，
所以Δ＝4a2＋32a2＝36a2＞0，且x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2．
又因为x2－x1＝15，
所以152＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2．
又a＞0，解得a＝]
9．解：(1)若选①②，由a＝－1知函数图象开口向下，此时y＜0的解集不可能为(－1，3)，故不符合题意；
若选①③，因为y＜0的解集为(－1，3)，所以－1，3是方程ax2＋bx＋c＝0的根，所以函数图象的对称轴为直线x＝1，
由y＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，则b＝－2a，c＝－3a，又因为y的最小值为－4，
所以当x＝1时，y＝－4a＝－4，解得a＝1，所以b＝－2，c＝－3，则y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3；
若选②③，由a＝－1知函数图象开口向下，则y无最小值，不符合题意．
综上，应选①③，且y＝x2－2x－3．
(2)由y≥(m－2)x＋2m2－3(m∈R)，化简得x2－mx－2m2≥0，即(x＋m)(x－2m)≥0，
若m＜0，则不等式的解集为{x|x≤2m，或x≥－m}；
若m＝0，则不等式的解集为R；
若m＞0，则不等式的解集为{x|x≤－m，或x≥2m}．
综上，当m＜0时，不等式的解集为{x|x≤2m，或x≥－m}；
当m＝0时，不等式的解集为R；
当m＞0时，不等式的解集为{x|x≤－m，或x≥2m}．
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