资源简介

第二十三章 《一次函数》章节复习题
一、单选题
1．下列函数中，是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而减小
C．当时， D．它的图象经过第一、三、四象限
3.已知一次函数，下列说法不正确的是（ ）
A．图象与x轴的交点坐标是 B．图象经过第一、二、四象限
C．y随x的增大而增大 D．图象与两坐标轴围成的三角形面积为2
4.如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
5.已知一次函数和，函数和的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
6.在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小；②；③方程的解为；④方程组的解是．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7.若，是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是______（填，或）
8.一次函数的图象不经过第二象限，则m的取值范围是________．
9.直线与直线的图象如图所示，则方程组的解为________．
10.一次函数，当时，的最大值为5，则的值为__________．
11.若直线与的交点在第三象限，则的取值范围是______．
12.为响应学校“低碳环保，绿色出行”的倡议，小明选择骑自行车上学，小亮则选择步行上学．一个春日的早晨，两人各自从家中同时出发，沿同一条笔直的道路同向匀速前进，如图，直线，分别表示小明、小亮到小明家的距离s（单位：km）与出发时间t（单位：）之间的关系．根据图象信息，当两人第一次相遇时，出发的时间是_______．
13.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，点O是坐标原点，点是边上一点，点M、N都是x轴上的动点，若点，（点M在点N的左侧），则最小时，点M的坐标是___________．
14.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点C，P在直线上运动，则的最小值为_______．
三、解答题
15.一次函数的图象过，两点．
(1)求函数的表达式．
(2)试判断点是否在函数的图象上，并说明理由．
16.某文具店购进A、B两种笔记本，已知购进3本A种笔记本和2本B种笔记本共需28元；购进5本A种笔记本和4本B种笔记本共需50元．
(1)求A、B两种笔记本的单价；
(2)若该文具店准备购进这两种笔记本共100本，且A种笔记本的数量不少于B种笔记本数量的设购进A种笔记本m本，总费用为W元，求W与m的函数关系式，并求最少费用．
17.暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠．
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生暑期健身x次，按照方案一所需费用为元，且，按照方案二所需费用为元，且，其函数图象如图所示．
(1)求和b的值，并说明它们的实际意义；
(2)求的值；
(3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身，请你根据他的健身次数给他选择哪种方案所需费更少？请说明理由．
18.为落实国家科学教育要求，提升校园实验教学质量．某中学计划采购甲、乙两种型号的实验室设备．甲型设备的单价比乙型设备的单价低400元，用60000元购买甲型设备的数量和用72000元购买乙型设备的数量相同．
(1)求甲、乙两种型号设备的单价各是多少元；
(2)该中学计划购买甲、乙两种型号的设备共20台，且甲型设备的购买数量不超过乙型设备购买数量的3倍，购买甲型设备多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
19.如图，直线：与y轴交于点，与轴交于点；直线：经过点和点，且与相交于点D，连接．
(1)求直线和的函数表达式；
(2)当x取何值时，
(3)求的面积．
20.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴负半轴交于点，且．
(1)求、的坐标；
(2)动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为（秒），的面积为，求与的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点，连接，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
21.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，一次函数的图象分别与轴和轴交于点，，作直线．
(1)求直线的函数表达式；
(2)若是直线上的动点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)一次函数的图象记为，一次函数的图象，图象、合起来得到的图象记为．当时，求图象所表示的函数的最大值与最小值．
22.【活动回顾】：八年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．
发现：一元一次不等式的解集是函数图象在x轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合．
【解决问题】：
(1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是______．
(2)如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为______，关于x的方程的解是______，关于x的不等式的解集是______．
【拓展延伸】
(3)如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点和点．结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是______．
(4)求图3中 ABC的面积（写出计算过程）．
23.定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”，例如求的“不动点”联立方程，解得，则的“不动点”为．
(1)由定义可知，一次函数的“不动点”为________．
(2)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”．
①若点为轴上不与原点重合的一个动点，且，求满足条件的点坐标．
②若P为x轴正半轴上一点，以为腰在左侧作等腰直角，且，连结，当取得最小值时，求点Q的坐标．
24.如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数交于点，点的横坐标为2．
(1)用待定系数法求直线的表达式：
(2)如图1，点为轴上一点，若，求点的坐标：
(3)如图2，点为线段上一点，连接，将沿直线翻折得到（点的对应点为点），交轴于点．若为直角三角形，请直接写出点的坐标．
参考答案
一、单选题
1．C
解：A项等号右边是关于的二次式，不符合一次函数要求；
B项等号右边不是整式，不符合一次函数要求；
C项符合一次函数要求，符合题意；
D项等号右边是关于的二次式，不符合一次函数要求．
2．D
解：∵一次函数解析式为，
∴令，则，解得，
∴它的图象与轴交于点，
故A选项不正确，不符合题意；
∵一次函数解析式为，其中，
∴随的增大而增大，
故B选项不正确，不符合题意；
∵，
∴它的图象经过第一、三、四象限，
故D选项正确，符合题意；
∵，
∴当时，则，
∴，
即，
故C选项不正确，不符合题意；
3.B
解：对于一次函数，可得，．
∵当时，，解得，
∴图象与轴的交点坐标是，A说法正确，不符合题意．
∵ ，，
∴一次函数图象经过第一、二、三象限，B说法错误，符合题意.
∵ ，
∴ 随的增大而增大，C说法正确，不符合题意．
当时，，即图象与轴交点为，结合与轴交点，
∴图象与两坐标轴围成的三角形面积为 ，D说法正确，不符合题意．
4.A
解：设点坐标为，
点在第一象限，围成的四边形为矩形，
，
，
，
该直线的函数表达式是．
5.A
当时，与均过一、二、三象限，所以正确，不符合题意；
当时，过一、三、四象限，过一、二、四象限，所以选项不符合题意；
6.C
解：①∵一次函数的图象从左到右呈下降趋势，
∴，的值随着值的增大而减小，结论①正确；
②∵一次函数的图象与轴交于正半轴，的图象与轴交于负半轴，
∴，，故，结论②错误；
③∵一次函数的图象与轴的交点为，
∴当时，，即方程的解为，结论③正确；
④∵两个一次函数的图象交点坐标为，
∴方程组的解是，结论④正确；
综上，3个结论正确．
二、填空题
7.
解：在一次函数中，
，
随的增大而减小.
的横坐标为，的横坐标为，且，
.
8.
解：一次函数的图象不经过第二象限，
，
．
9.
解：由图象可知，直线与直线的交点横坐标为 1，
将代入，得，
∴两直线的交点坐标为，
∵方程组可变形为，
∴该方程组的解即为直线与直线的交点坐标，
∴方程组的解为．
10.2或
解：函数 是一次函数，则，
当 时，一次函数 随 增大而增大，
当时，函数最大值取在 处，
则 ，
令 ，
解得 ，符合条件；
当 时，一次函数 随 增大而减小，
当时，函数最大值在 处，
则 ，
令 ，
解得 ，符合条件.
11.
解：联立两条直线解析式得，
解得，
∴直线与直线的交点坐标为，
∵交点在第三象限，
∴，
解第一个不等式，得，
解第二个不等式，得，
∴不等式组的解集为．
12.
解：设直线的解析式为：S=kt（k≠0） ，将点代入，
，
解得.
∴直线的解析式为.
设直线的解析式为 ，将点 ， 代入，得
，
解得
∴直线的解析式为 ，
令 ，
解得，
∴当两人第一次相遇时，出发的时间是 h．
13.
解：∵四边形是正方形，点，
∴，点，点．
∵为定值，
∴要使最小，只需使最小．
将点向右平移1个单位，得到点．
∵轴，且，
∴四边形是平行四边形，
∴．
∴，
作点关于轴的对称点，则．
根据轴对称的性质，，
∴．
根据“两点之间，线段最短”，连接，与轴的交点即为使最小的点，即最小时的点，
设直线的解析式为（，
将、代入，得：，
解得．
∴直线的解析式为．
令，则，
解得，
∴点的坐标为．
∵点在点的左侧，且，
∴点的横坐标为，纵坐标为．
∴点的坐标为．
14.
解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
当时，；当时，；
∴，
∴，
∴，
∵直线与直线交于点C，P在直线上运动，
∴直线即为直线，
∵点到直线的距离，垂线段最短，
∴当时，的值最小，
过点作，交于点，
∵，
∴，
∴；
即的最小值为．
三、解答题
15.（1）解：设函数的表达式为，
将，代入表达式，
可得：，
解得，
即；
（2）解：在函数的图象上，
理由如下：当时，，
即点在函数图象上．
16.（1）解：设A种笔记本单价为x元，B种为y元．
由题意，得，
解得；
答：A种单价6元，B种单价5元．
（2）解：设购进A种笔记本m本，则购进B种笔记本本，
由题意，解得
，
∴W随m增大而增大，
故当时，W最小，为525元．
答：函数关系式为，最少费用为525元．
17.（1）解：∵的图象过点，，
∴，
解得，
表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元，
表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元；
（2）解：由题意可得，打折前的每次健身费用为（元），
∴ ；
（3）解：由题意可知， ，，
∴，
解得
当健身6次时，选择方案一和方案二一样，
当健身6次以上，选择方案一合算，
当健身6次以下，选择方案二合算．
18.（1）解：设甲型设备的单价为元，则乙型设备的单价为元，
根据题意得：
，
经检验：当时，，
因此是原方程的解，符合题意，
则乙型设备单价为：（元）
答：甲型号设备单价为2000元，乙型号设备单价为2400元；
（2）解：设购买甲型设备台，总采购费用为元，则购买乙型设备台，
根据题意得：，
由甲型设备购买数量不超过乙型设备购买数量的3倍，得：，
解得：，
其中为非负整数，
因此且为非负整数，
在一次函数中，，因此随的增大而减小，
因此当时，取得最小值，
最小值为（元），
答：购买甲型设备15台时采购费用最少，最少采购费用为42000元．
19.（1）解：∵直线：与y轴交于点，
∴，
∴直线的表达式为：；
∵直线：经过点和点，
∴，
∴，
∴直线的表达式为：；
（2）解：联立，
解得，
∵直线与相交于点D，
∴点，
结合图像可知时，；
（3）解：将代入直线：，得到，解得，
∵直线与轴交于点；
∴点，
∵，
∴，
∴的面积．
20.（1）解： 把代入， ，
，
把代入， ，
，
，
，
，
；
（2）解： ， 动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，
，
，
，
， ，且，
当时，，
当时，，
即；
（3）解： 存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，理由如下：
如图1，当时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
解得；
如图2，当时，过点作轴交于点，同理可得，
， ，
，
，
解得 ；
综上所述： 的值为 或 5．
21.（1）解：当时，，
∴点C的坐标为．
将点，代入，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：存在．
当时，，解得，
∴点B的坐标为．
∵点，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
解得，点M的坐标为；
时，，
解得，点M的坐标为．
综上所述存在点M的坐标为或，使得；
（3）解：由题意得图象的解析式为，
当时，，
当时，；当时，，
∴；
当时，，
当时，；当时，，
∴；
综上，当，图象所表示的函数的最大值为4，最小值为1．
22.（1）解：∵的图象经过点，
∴观察图象，不等式的解集是；
（2）解：通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为；
∵的解为两直线交点的横坐标，
∴方程的解为；
由图象可得，当时，，
∴不等式的解是；
（3）解：由题意，直线与x轴交于点，
观察图象可知，当直线在直线上方，且在轴上方时，；
故关于x的不等式组的解集是；
（4）解：把代入，得，解得，
∴；
把，代入，得，解得，
∴，
联立，解得，
∴，
∴．
23.（1）解：根据题意得，，
解得，
一次函数的“不动点”为；
（2）解：①直线上没有“不动点”，
，
；
令，则，解得，
，
令，则，
，
，
点为轴上不与原点重合的一个动点，设
，
，
，
，
或，
满足条件的点坐标或；
②过点作轴于点，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
在和中，，
，
，，
设，则，
，
，
，
当时，取得最小值，最小值为，
把代入得，，
当取得最小值时，点的坐标为．
24.（1）解：正比例函数经过点C，点C的横坐标为2，
当时，得：，
∴，
∵直线与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数交于点，
设直线的表达式为，
将点和点的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线的表达式为；
（2）解：设点M的坐标，
当时，得：，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
∴点M的坐标为或；
（3）解：点N的坐标为或．理由如下：
当时，过点C作轴于点M，过点D作交延长线于点F，如图3，
∵，，
∴，
设点，则，，
根据折叠可得：，，
∵，
∴，四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：或（不合题意，舍去），
∴此时点N的坐标为；
当时，如图4，
设点，则，，
根据折叠可得：，，
∵，
∴轴，
∴，，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴此时点N的坐标为：；
综上所述，点N的坐标为或．

展开更多......

收起↑