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(共37张PPT)
12.3.2 等腰三角形的判定
问题1 等腰三角形和等边三角形的定义分别是什么？都有哪些性质？
知识回顾，温故知新
图形 定义 性质
等腰三角形
等边三角形
有两条边相等
的三角形
①等边对等角
②三线合一
③轴对称图形（有1条对称轴）
有三条边相等
的三角形
①三个角都相等(60°)
②三线合一
③轴对称图形（有3条对称轴）
知识回顾，温故知新
同学们，这是海南黎族传统工艺—黎锦，它被誉为“人类纺织史上的活化石”，已存续三千年，其纹样中藏着丰富的几何元素，大家能从纹样里找出熟悉的几何图形吗？
创设情境，引入新课
村里的黎锦传承人李奶奶说，织这种三角形纹样时，为了保证对称美观，会先固定三角形两个角，让它们完全相等，这样织出来的两条侧边就一样长. 图案自然就对称了.请问对吗？
创设情境，引入新课
问题2 在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边会有什么关系吗？请同学们画一画、量一量、折一折，你发现了什么？
活动1 动手操作：
①在纸上画一条线段 BC ；
②分别以 B、C为顶点，BC 为一边，在 BC 的同一侧用量角器作出两个相等的角(小于 90°)，两角的另一边交于点A ；
③用刻度尺测量AB和AC的长度并比较（或者将三角形剪下来,沿∠BAC 的角平分线对折，观察 AB 与 AC 是否完全重合）.
动手操作，深入探究
问题2 在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边会有什么关系吗？请同学们画一画、量一量、折一折，你发现了什么？
猜想： 如果一个三角形中有两个角相等，那么它们所对的边也相等，该三角形为等腰三角形.
动手操作，大胆猜想
活动2 利用数学软件进行演示，支持猜想.
动画演示，验证猜想
猜想 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC.
分析：要证AB=AC
全等三角形的对应边相等
构造两个全等三角形
添加辅助线
小组合作，证明猜想
猜想 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 .
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC.
小组合作，证明猜想
猜想 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 .
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC.
∴ △BAD ≌ △CAD（AAS) .
证明 如图，作∠BAC的平分线AD .
在△BAD和△CAD中，
∵ ∠B = ∠C， ∠1=∠2，AD=AD，
∴ AB =AC (全等三角形的对应边相等）.
小组合作，证明猜想
想想看，还可以添加什么辅助线证明这一结论？
猜想 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 .
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC.
∴ △BAD ≌ △CAD（AAS) .
证明 过点A作AD BC，垂足为点D .
在△BAD和△CAD中，
∵ ∠B = ∠C， ∠ADB=∠ADC，AD=AD，
∴ AB =AC (全等三角形的对应边相等）.
小组合作，证明猜想
等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形
是等腰三角形 .(简写成“等角对等边”)
符号语言：
在△ABC中，
∵ ∠B = ∠C，
∴ AB =AC(等角对等边）.
∴ △ABC是等腰三角形（等腰三角形的定义）.
【注意】“等角对等边”的前提是在同一个三角形中.
等边
等角
性质
追问：等腰三角形的性质与判定有区别和联系吗？
判定
归纳总结
问题3 （1）如图，在△ABC 中，已知∠A= 40°，∠B = 70.
求证：AB =AC.
∴ ∠C = ∠B .
证明：∵ ∠A=∠B+∠C=180 (三角形的内角和等于180)，
∠A= 40°，∠B = 70..
∴ ∠C = 180﹣∠A﹣∠B= 180﹣40°﹣70°=70°.
∴ AB =AC (等角对等边）.
初步应用，巩固新知
问题：情景中的李奶奶的话对吗？你能运用所学知识解释吗？
（2）村里的黎锦传承人李奶奶说，织这种三角形纹样时，为了保证对称美观，会先固定三角形两个角，让它们完全相等，这样织出来的两条侧边就一样长. 图案自然就对称了.请问对吗？
答案：李奶奶的说法正确 .
初步应用，巩固新知
问题4 我们知道，三条边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个角都相等，且都等于60，那么结合等腰三角形的判定定理，你能发现等边三角形的判定方法吗？请尝试证明。
猜想 ①三个角都相等的三角形是等边三角形.
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
类比探究，拓展新知
.
已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C.
求证：△ABC是等边三角形.
∴ AC =AB (等角对等边）.
证明：∵ ∠A=∠B (已知)，
∴ BC= AC (等角对等边）.
∵ ∠B = ∠C (已知).
证明猜想 ①三个角都相等的三角形是等边三角形.
类比探究，拓展新知
.
已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C.
求证：△ABC是等边三角形.
证明：∴ BC =AC=AB (等量代换）.
∴ △ABC是等边三角形.
证明猜想 ①三个角都相等的三角形是等边三角形.
类比探究，拓展新知
.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60.
求证：△ABC是等边三角形.
∠A=60°(已知），
证明：∵ AB=AC(已知)，
∴ ∠B = ∠C(等边对等角）.
∵ ∠A+∠B + ∠C=180 (三角形的内角和等于180°)，
证明猜想 ②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
类比探究，拓展新知
.
已知：如图，在△ABC中，∠A=60°，AB=AC.
求证：△ABC是等边三角形.
证明： ∴ ∠B = ∠C=
∴ ∠A =∠B = ∠C(等量代换）.
∴ △ABC是等边三角形.
证明猜想 ②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
类比探究，拓展新知
等边三角形的判定定理：
①三个角都相等的三角形是等边三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
符号语言：
在△ABC中，
①∵ ∠A=∠B=∠C，
∴ AB=AC=BC.
②∵ AB=AC，∠A=60°，
∴ AB=AC=BC .
归纳总结
任意的三角形
问题5 你能说说等腰三角形和等边三角形在判定方面的异同吗？
归纳总结
两边条相等
或两个角相等
等腰三角形
等边三角形
三条边相等
或三个角相等
有一个角等于60°
问题6 （1）如图，AB // CD，∠1= ∠2 .
①求证：AB =AC.
∴ ∠B = ∠1 .
①证明 ∵ AB // CD，
∴∠B= ∠2 (两直线平行，同位角相等）
又∵∠1= ∠2，
∴ AB =AC (等角对等边）.
典例精析，深化理解
问题6 （1）如图，AB // CD，∠1= ∠2 .
①求证：AB =AC.
②需再增加什么条件，可使得△ABC是等边三角形？
典例精析，深化理解
解 ②需再增加条件：∠1=60° ，
或∠2=60°， 或∠A=60°， 或∠B=60°，
或AB =BC ，或AC =BC ，或∠A =∠B ，或∠ACB =∠B .
（2）如图，Rt△ABC和Rt△A′ B′ C′ 中，
∠ACB= ∠A′ C′ B′ =90° ，AB =A′ B′ ，AC =A′ C′ .
求证：Rt△ABC ≌ Rt△A′ B′ C′ .
B′
C′
A′
B
A
B
C
C′(C )
A′(A )
典例精析，深化理解
在△A′ B′ B中，
证明：∵∠A′ C′ B= ∠A′ C′ B′ =90°，
∴ ∠B′ C′ B = ∠A′ C′ B′ +∠A′ C′ B=180°，
即点B′ 、C′ 、B在同一条直线上 .
∵ A′ B′ =AB=A′ B，
（2）如图，Rt△ABC和Rt△A′ B′ C′ 中，
∠ACB= ∠A′ C′ B′ =90° ，AB =A′ B′ ，AC =A′ C′ .
求证：Rt△ABC ≌ Rt△A′ B′ C′ .
C′(C )
A′(A )
B′
B
典例精析，深化理解
∵∠B = ∠B′ ，∠ACB= ∠A′ C′ B′，AC =A′ C′ ，
证明：∴ ∠B = ∠B′ (等边对等角）.
在Rt△ABC和Rt△A′ B′ C′ 中，
∴ Rt△ABC ≌ Rt△A′ B′ C′（AAS) .
（2）如图，Rt△ABC和Rt△A′ B′ C′ 中，
∠ACB= ∠A′ C′ B′ =90° ，AB =A′ B′ ，AC =A′ C′ .
求证：Rt△ABC ≌ Rt△A′ B′ C′ .
C′(C )
A′(A )
B′
B
典例精析，深化理解
∵∠B = ∠B′ ，∠ACB= ∠A′ C′ B′，AC =A′ C′ ，
证明：∴ ∠B = ∠B′ (等边对等角）.
在Rt△ABC和Rt△A′ B′ C′ 中，
∴ Rt△ABC ≌ Rt△A′ B′ C′（AAS) .
（2） 如图，Rt△ABC和Rt△A′ B′ C′ 中，
∠ACB= ∠A′ C′ B′ =90° ，AB =A′ B′ ，AC =A′ C′ .
求证：Rt△ABC ≌ Rt△A′ B′ C′ .
这样，我们就证明了前面已给出的判定直角三角形全等的HL判定定理.
典例精析，深化理解
问题7 （1）如图，∠A =72° ，∠B =36° ， CD平分∠ACB .
试指出图中的哪些三角形是等腰三角形，并说明理由.
解：图中，△BAC、△DBC、△CAD均为等腰三角形. 理由如下:
由∠A=72°，∠B=36°，得∠BCA=72°=∠A
∴ BA=BC .
课堂训练，巩固提升
∵CD平分∠ACB，
∴ ∠DCB=∠ACB=36°=∠B，
∴ DB=DC .
问题7 （1）如图，∠A =72° ，∠B =36° ， CD平分∠ACB .
试指出图中的哪些三角形是等腰三角形，并说明理由.
解：图中，△BAC、△DBC、△CAD均为等腰三角形.理由如下:
又∵∠CDA=∠B+∠DCB=72°=∠A，
∴CD=CA .
课堂训练，巩固提升
（2）如图，已知点D为BC的中点，DE AB，DF AC，点E、F为垂足，且BE = CF，∠BDE = 30°. 求证：△ABC是等边三角形.
证明：∵点D为BC的中点，DE AB，DF AC，
∴ BD=BC ，∠BED= ∠CFD =90° ，
在Rt△BED 和Rt△CFD中,
∴Rt△BED≌ Rt△CFD(HL).
课堂训练，巩固提升
（2）如图，已知点D为BC的中点，DE AB，DF AC，点E、F为垂足，且BE = CF，∠BDE = 30°. 求证：△ABC是等边三角形.
证明：∴ ∠B = ∠C，
∴ AB=AC (等角对等边）.
∵∠BDE = 30°，DE AB，
∴ ∠B = 60° ，
∴ △ABC是等边三角形.
课堂训练，巩固提升
问题8 本节课你有什么收获？可以和大家一起分享：
（3）研究几何图形的基本思路和方法是什么？
（2）这节课我们如何探究等腰三角形的判定？
用到了哪些数学思想和方法？
（1）本节课我们主要学习了哪些内容？
课堂小结，思维升华
三个角都相等的三角形.
等腰三角形的判定
等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形.
（“等角对等边”）
等边三角形的判定
有一个角等于60°的等腰三角形.
特殊
课堂小结，思维升华
研究几何图形
方法：
思路：
定义
性质
判定
应用
操作
猜想
验证
证明
课堂小结，思维升华
类比
从一般到特殊
转化
基础类（必做）：教科书第99~100页习题12.3 A组第3、5题.
提高类（选做）：科书第100页习题12.3B组第6题、
第116页复习题B组第11题。
实践类：以学习小组的形式采访一名装修师傅或黎锦能手，
了解他们在实际生产中是如何判定等腰三角形的，并分析
他们的方法是否科学，形成文字报告。
分层作业，拓展延伸
谢谢观看
Thank you

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