资源简介

2027 届高二年级数学阶段性练习六 Sn 3n + 28．已知 Sn ,Tn分别为等差数列 an , bn 的前 n 项和， =T 4n + 5 ，设点 A是直线BC 外一点，n
uuur uuur uuur
一、单选题 a + a点 P BC AP = 2 6是直线 上一点，且 AB + l ACb ，则实数l 的值为（ ）1．已知数列 an 的前 4 项依次为 3, 5, 7,3，则 an 的一个通项公式为（ ） 3
8 9 2 21
A． an = 2n -1 B． an = 2n +1 C． an = 2n + 3 D． an = 4n -1 A． B．- C． D．-25 25 25 25
2．数列 an 中， a1 = 2， a2 = 3， an+1 = an - an-1 n 2 ，那么 a2025 =（ ） 二、多选题
A．-1 B．1 C．3 D．-3 9．设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，公差为 d ，已知 S14 < 0, a8 > 0，则下列选项正确的有
3．已知具有线性相关关系的变量 x ， y ，设其样本点为 Ai xi , yi （ i =1,2,3,L,8），经验回 （ ）
8 8 a > 0
归方程为 y = -2x + a ，若 xi = 40， yi = -64，则 a =（ ） A．d > 0 B． 7
i=1 i=1 C． Sn > 0时， n 的最小值为 15 D． Sn 最小时， n = 8
A．-2 B． 2 C．-4 D． 4 10．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生
4．由一组样本数据 x1, y 1 , x2 , y2 ,L, xn , yn 得到经验回归方程 y = bx + a ，那么下列说法 体育锻的经常性有影响，随机抽取了 300 名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，
正确的是（ ） 调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的 2 倍，绘制其等高堆积条形图，如图所示，则
A．若相关系数 r 越小，则两组变量的相关性越弱 （ ）
B．若 b 越大，则两组变量的相关性越强
2
C．经验回归方程 y = b x + a 至少经过样本数据 x1, y1 , x2 , y2 ,... , xn , yn 中的一个 2 n ad - bc 附： c = ，
D．在经验回归方程 y = b x + a 中，当解释变量 x 每增加 1 个单位时，相应的观测值 y 约 a + b c + d a + c b + d
2
增加 b 个单位 300 100 60 - 40 100
ì 1 2.679
- l ÷ n +1 n < 6 ，
140 160 200 100
5．已知数列 an 满足 a +n = íè 2 若对于任意的 n N 都有 an > an+1 ，则
n-5 a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
l n 6 ，
实数 l 的取值范围是 （ ） xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
0 1 1 7 1 7A ． ， B．2 ÷
， C． ，1 D． ，1
è è 2 12 ÷ 2 ÷ è è12 ÷ A．参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多
6．第七届数字中国建设峰会数字福建建设成果摄影展向社会进行作品征集，该摄影展从全 5B．从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为
新的视角呈现了数字福建近年来的建设成果，展现了数字福建蓬勃发展的朝气．某企业计划 7
从信息基础设施领域的 a幅作品和文化领域的 7 幅作品中随机选取若干幅作品参赛，若选取 C．依据a = 0.1的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错
7 误的概率不超过 0.1
2 幅作品，全是文化领域的概率为 ．若选取 3 幅作品，假设选取的文化领域的作品个数
15 D．假设调查人数为 600 人，经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变，统计得到的
为 X ，则E(X ) =（ ） 等高堆积条形图也不变，依据a = 0.05的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼
21 11 的经常性，该推断犯错误的概率不超过 0.05
A． B． C．2 D．3
10 5 11．下列说法正确的是（ ）
7．中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量x ~ B n, p ，则当 A．若样本数据3x1 + 2,3x2 + 2,L,3x20 + 2 的样本方差为 9，则数据 4x1 -1,4x2 -1,L, 4x20 -1
np > 5且 n 1- p > 5时，x 可以由服从正态分布的随机变量h 近似替代，且x 的期望与方差 的方差为 16
1 1
分别与h 的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子 2500 次，利用正态分布 B．若随机变量服从两点分布，且E(X ) = ，则D(X ) =
2 8
估算骰子向上的点数为偶数的次数少于 1300 的概率为（ ）
2 C．已知随机变量x ~ N (0,s
2 ) ，若P(-2 x 2) = 0.7 ，则P(x > 2) = 0.15
附：若：h ~ N m,s ，则P m -s P m - 3s A．0.0027 B．0.5 C．0.8414 D．0.9773 三、填空题
2027 届高二年级数学阶段性练习六--1
12．《张邱健算经》是公元 5 世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题： 标．为了解某型号某批次混凝土的抗压强度（单位：MPa ）随龄期（单位：天）的发展规
“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织 5 尺，一个月（按 30 天计）共织 律，质检部门在标准试验条件下记录了 10 组混凝土试件在龄期 xi i =1,2,L,10 分别为
了 440 尺，推算第 10 天该女子织了__________尺布.” 2,3,4,5,7,9,12,14,17,21时的抗压强度 yi 的值，并对数据作了初步处理，得到下面的散点图
a a2 a3 a13 n n．数列 n 满足 a1 + + +L + = 3 - 2 n N*, n 1 ，则 an = ________. 及一些统计量的值．2 3 n
14．已知等差数列 an
S a
的前 n 项和为 S 19n ，若 = 3
10 =
S ，则 a ___________．9 5
四、解答题
a
15．已知数列 an 满足： a1 =1 a n， n+1 = .若b
1
2a +1 n
=
n a
，
n
(1)求证： bn 为等差数列.
w
(2)求数列 a 的通项公式 x y i=1 2 i=1 2 i=1 i=1n xi - x wi - w xi - x yi - y wi - w yi - y
10 10 10 10
16 9. 29.．某校采用“翻转课堂”的教学模式，即学生先自学，然后老师再讲学生不会的内容．此地 4 7 2 366 5.5 439.2 55
教育部门为调查在此模式下学生的物理考试成绩是否及格（60 分及格）与每周学习物理的
i=1
时间是否足够 12 1小时的相关关系，随机抽取该校 49 名学生进行了解，其中每周学习物理的 表中wi = lnxi , w = wi ．
12 10时间不少于 小时的有 21 位学生．余下的人中，物理考试成绩不足 60 分的学生占余下人 10
5 (1)根据散点图判断 y = a + bx与 y = c + dlnx 哪一个适宜作为抗压强度 y 关于龄期 x 的回归方
数的 ，每周学习物理的时间不少于 12 小时但物理考试成绩不足 60 分的有 8 位学生．
7 程类型？选择其中的一个模型，并根据表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；
(1)请完成下面的 2×2 列联表，并判断能否依据小概率值a = 0.025的 c 2 独立性检验认为“物 (2)工程中常把龄期为 28 天的混凝土试件的抗压强度 f28 视作混凝土抗压强度标准值．已知
理考试成绩是否及格与每周学习物理的时间是否足够 12 小时有关”． 该型号混凝土设置的最低抗压强度标准值为 40MPa．
（i）试预测该批次混凝土是否达标？
60 （ii）由于抗压强度标准值需要较长时间才能评定，早期预测在工程质量控制中具有重要的大于等于 分 不足 60 分 合计
意义．经验表明，该型号混凝土第 7 天的抗压强度 f7 与第 28 天的抗压强度 f28 具有线性相
学时不少于 12 小时 8 21 关关系 f28 =1．2 f7 + 7，试估计在早期质量控制中，龄期为 7 天的试件需达到的抗压强度．
n
学时不足 12 小时 (xi - x )(yi - y)
i=1
合计 49 附：b
= n ,a = y - b x
(xi - x )2
i=1
(2)若将频率视为概率，从全校物理考试成绩大于等于 60 分的学生中随机抽取 20 人，求这 参考数据： ln2 0.69, ln7 1.95．
些人中每周学习物理的时间不少于 12 小时的人数的期望和方差． 18．如图，在四棱锥P - ABCD 中，平面PAB ^平面 ABCD，
2 n ad - bc
2
AB ^ AD ，AD∥BC ，PA = BC = 3，AB = AD = 2 ，PB = 13，E
附 c = ，其中 n = a + b + c + d ．
a + b c + d a + c b + d 为PD中点，点F 在PC 上，且 PF = 2FC ．
(1)求证： AB ^平面PAD ；
α 0.050 0.025 0.005 0.001 (2)求平面FAE 与平面 AED夹角的余弦值；
xa 3.841 5.024 7.879 10.828 (3)线段 AD 上是否存在点Q，使得CQ// 平面FAE ，说明理由？
2 2
19 x y 3．已知椭圆C1： 2 + 2 =1（ a > b > 0）的上顶点为 A，离心率为 .抛物线C2 ：y = -x
2 +1
17．混凝土具有原材料丰富、抗压强度高、耐久性好等特点，是目前使用量最大的土木建筑 a b 2
材料．抗压强度是混凝土质量控制的重要技术参数，也是实际工程对混凝土要求的基本指 截 x 轴所得的线段长为C1的长半轴长.
2027届高二年级数学阶段性练习六--2
(1)求椭圆C1的方程；
(2)过原点的直线 l 与C2 相交于 B，C 两点，直线 AB, AC 分别与C1相交于 P，Q 两点.
①证明：直线 AB 与直线 AC 的斜率之积为定值；
S1
② S记VABC 和△APQ 的面积分别是 S1， 2，求 S2 的最小值
2027届高二年级数学阶段性练习六--3
2027 届高二下学期第一次月考数学试卷答案 X 的可能取值为 0，1，2，3，
0 3 1 2 2 1
1．B【详解】因为 an
C7C3 1 C C4 3, 5, 7, 9 7 3
21 7 C7C3 63 21
的前 项依次为 ， 则P X = 0 = 3 = ，P X =1 = 3 = = ，P X = 2 = = = ，C10 120 C10 120 40 C310 120 40
所以 an 3 0的一个通项公式为 an = 2n +1．故选：B． P X C C 35 7= 3 = 7 3
C3
= = ，
10 120 24
2．B【详解】因为 an = an-1 - an-2 n 3 ，所以 an+1 = an - an-1 = an-1 - an-2 - an-1 = -an-2 ，
则随机变量 X 的分布列为：
所以 an+3 = -an ，所以 an+6 = -an+3 = an ，所以 an 是以 6 为周期的周期数列．
因为 2025 = 337 6 + 3，所以 a X 0 1 2 32025 = a3 = a2 - a1 =1．故选：B
1 8 1 8
3．B【详解】依题意， x = xi = 5， y = y = -8 1 7 21 7，8 ii=1 8 i=1 P 120 40 40 24
1 7 21 7 21
由经验回归方程为 y = -2x + a 经过点 (5,-8)，得 a = y + 2x = -8 + 2 5 = 2 .故选：B 则E(X ) = 0 +1 + 2 + 3 = ．
120 40 40 24 10
4．D【详解】对于 A，若相关系数 r 越小，则两组变量的相关性越弱，A 错误；
解法 2：同法 1，求得 a = 3后可用下列方法求解．
对于 B，若 r 越大，则两组变量的相关性越强， b 是回归直线的斜率， 3 7 21由题意可知 X 服从参数为 N =10，M = 7，n = 3的超几何分布，则E(X ) = = ．故选：
10 10
它不反应两变量的相关性强弱，B 错误；
A.
对于 C，经验回归方程 y = b x + a 不一定经过样本数据 x1, y1 , x2 , y2 ,... , xn , yn 中的一个，C 17 D ． 【详解】骰子向上的点数为偶数的概率 p = ，故x ~ B 2500,
1
，
2 2 ֏
错误；
显然 np = n 1- p = 2500 1 > 5，其中 np =1250， np 1- p = 625，故h : N 1250,252 ，
2
对于 D，在经验回归方程 y = b x + a 中，当解释变量 x 每增加 1 个单位时，
若b > 0，相应的观测值 y 约增加 b 个单位；若b < 0，相应的观测值 y 约增加- b
则m + 2s =1250 + 50 =1300 ，
个单位；
由正态分布的对称性可知，估算骰子向上的点数为偶数的次数少于 1300 的概率为
故当解释变量 x 每增加 1 个单位时，相应的观测值 y 约增加 b 个单位，正确，
0.5 1+ 0.9545 0.9773 .故选：D
2
故选：D Sn 3n + 2 nk8．D【详解】 = k 0 ，不妨设 Sn = 3n + 2 nk,T = n
4n + 5 nk ，
5．B【详解】要满足 an > an+1，则数列 an 是递减数列， Tn 4n + 5 nk
ì 1 a2 + a- l < 0 6 ， 因为P, B,C 三点共线，所以 + l =1b ，

2 3
则只需要满足 í0 < l <1，
1
解得： < l
7
< ，故选：B. a1 + a7
1 2 12 2a
7
4 l 1, a4 2a4 a1 + a7 2 5 S 5
7k 21+ 27 5 23
- l 5 +1 > l 6-5 , 所以 + = = = = = = = 2 ÷ b b 2b b + b b1 + b 3 3 3 1 5 5 5 7 T5 7 5k 20 + 5 7 25
，
è 2
6．A 2【详解】解法 1：由题意，共有a + 7幅作品，选取 2 幅作品有C 种方法， 2a4 l 46a+7 所以 + = + l =1,l
21
= - ，故选：D.
2 C
2 7 b3 25 25
其中全是文化领域的有C7 种方法，因此全是文化领域的概率为
7
2 = ，从而解得 a = 3．Ca+7 15
2027届高二下学期第一次月考数学试卷答案--1
S < 0 a1 + a14 14 a7 + a8 149．AC【详解】由 14 ，则 S14 = = = 7 a2 2 7 + a8 < 0， 经常锻炼 不经常锻炼 合计 则此时
2 n ad -bc
2 600 200 80-200 120 2
又 a8 > 0，则 a7 < 0，所以 d = a - a c = = 5.357>3.8418 7 > 0 ，故 A 正确，B 错误；
男 200 120 320 a+b c+d a+c b+d 400 320 200 280
对于 C，由上分析，当1 < n 7时， an < 0，当 n 8时， an > 0 ，
，
S a又 = 1 + a15 1515 =15a8 > 0，又 S14 < 0，所以 Sn > 0时， n 的最小值为 15，故 C 正确； 女 200 80 2802 故依据a = 0.05的独立性检验，认为性别因素影响
对于 D，当 Sn 最小时， n = 7，故 D 错误.故选：AC. 合计 400 200 600 学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超
10．ABD【详解】对于 A，由题意知经常锻炼人数是不经常锻炼人数的 2 倍， 过 0.05，D 正确，故选：ABD
故经常锻炼人数为 200 人，不经常锻炼人数为 100 人， 11．ACD【详解】对于 A，设样本数据 x1, x2 ,L, x20 为D，则9D = 9 ，解得D =1，
故男生中经常锻炼的人数为200 0.5 = 100人，不经常锻炼的人数为100 0.6 = 60人， 数据 4x1 -1,4x2 -1,L, 4x20 -1的方差为16D =16 ，A 正确；
1 1 2A B D(X ) 0 1 1 1
2 1
故男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多， 正确； 对于 ，由题意 =
2
-
2 ÷
+ - ÷ = ，B 错误；
è 2 è 2 4
对于 B，经常锻炼的女生人数为200 0.5 = 100人，不经常锻炼的人数为100 0.4 = 40 人，
100 5 对于 C，随机变量x ~ N (0,s
2 )，
故从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为 = ，
100 + 40 7 由P(-2 x 2) = 0.7，得P(x
1- 0.7
> 2) = = 0.15，C 正确；
2
B 正确；对于 C，由题意结合男女生中经常锻炼和不经常锻炼的人数，可得列联表：
对于 D，依题意，运动员击中次数h : B(0.7,11) k k k 11-k，击中 次的概率为C11 0.7 0.3 ，
ìCk 0.7k 0.311-k Ck +111 11 0.7
k +1 0.310-k
经常锻炼 不经常锻炼 合计 由 í ，解得7.4 k 8.4，
C
k 0.7k 0.311-k Ck -111 11 0.7
k -1 0.312-k
男 100 60 160 因此最有可能击中的次数是 8，D 正确．故选：ACD.
女 100 40 140 12．11【详解】由题得每天的织布数成等差数列，首项 a1 = 5，记公差为 d ，
30 29 2 2
由题得 S30 = 5 30 + d = 440，所以 d = .所以 a10 = 5 + 9 =11 .故答案为：112 3 3
合计 200 100 300 ì2n ×3n-1, n 2
13 a = í a
a2 a+ + 3 a+L + n = 3n
n ad - bc 2 300 100 60 - 40 100 2 ． n 【详解】因为1, n =1 1 - 2①，2 2 3 n则 c = = 2.679 < 2.706，
a + b c + d a + c b + d 140 160 200 100 n =1 a 1 a a a n-1当 时， 1 = 3 - 2 =1，当 n 2时， a 21 + + 3 +L+ n-1 = 3 - 2②，2 3 n -1
故依据a = 0.1的独立性检验，认为性别因素与学生体育锻炼的经常性无关，该推断犯错误 a
则① - ②得： n = 3n - 3n-1 = 2 ×3n-1，所以 an = 2n ×3
n-1 n 2 ，
n
的概率不超过 0.1，C 错误； ì2n ×3n-1, n 2
当 n =1时，an = 2n ×3
n-1
不成立，所以 an = í ．
对于 D，由题意可得： 1, n =1
ì2n ×3n-1, n 2
故答案为： an = í .
1, n =1
2027届高二下学期第一次月考数学试卷答案--2
27 1 8 a (2n -1)(a + a )14． / 【详解】等差数列 1 2n-1n 中， S2n-1 = = (2n -1)an ， 设从全校物理考试成绩大于等于 60 分的学生中随机抽取 20 人，19 19 2
S 13 19 = 3 19a10 3 a= 10 27= 27 这些人中每周学习物理的时间不少于 12 小时的人数为随机变量 Y，则Y ~ B 20, ÷，由 S ，得 9a ，所以 a 19 .故答案为： 219 5 5 19
è
1
15 (1) (2) a = 所以E
13 260 D Y 20 13 1 13 2080Y = 20 = ， = - = ．
． 证明见解析 ÷n 2n 1 21 21 21 è 21- 441
a an 1 2a +1 1= = n = 2 + 17．(1) y = c + dlnx1 适宜，
y = 9.7 +10lnx ．(2)（i）达标；（ii） 27.5MPa ．
【详解】（ ）因为 n+1 2a +1，所以 a a a ，n n+1 n n 【详解】（1）由散点图可以判断， y = c + dlnx 适宜作为抗压强度 y 关于龄期 x 的回归方程
1 1 1 1
即 - = 2，且因为bn = ，所以bn+1 - bn = 2a ，
b1 = =1， 类型．
n+1 an an a1
所以 b 令w = lnx，先建立 y 关于w的线性回归方程，n 是以1为首项， 2为公差的等差数列；
10
1 1 1 (w - w)(y - y)
（2）由(1)知bn =1+ 2(n -1) = 2n -1，又bn = a ，所以
an = =b 2n -1，
i i
i=1 55
n n 由于 d = 10 = =10
1 (w - w)2 5.5
c = y - dw = 29.7 -10 2 = 9.7
即数列 an 的通项公式为 a = . in 2n -1 i=1
16 (1) (2) E Y 260= D Y 2080= 所以 y 关于w的线性回归方程为 y = 9.7 +10w，因此 y 关于 x． 列联表见解析；有关 ， ． 的线性回归方程为
21 441
y = 9.7 +10lnx ．
【详解】（1）由题意得，每周学习物理的时间不足 12 小时的有 49 - 21 = 28（人），
5 （2）（i）由（1）知，当龄期为 28 天，即 x = 28时，
每周学习物理的时间不足 12 小时且物理成绩不足 60 分的有 28 = 20（人），
7 抗压强度 y 的预报值 y = 9.7 +10ln28 = 9.7 +10 2ln2 + ln7 43，
所以每周学习物理的时间不足 12 小时且物理成绩大于等于 60 分的有 28 - 20 = 8（人）， 因为 43 > 40，所以预测该批次混凝土达标．
补全的 2×2 列联表如下． （ii）令 f28 =1.2 f7 + 7 40 ，得 f7 27.5．
大于等于 60 分 不足 60 分 合计 所以估计龄期为 7 天的混凝土试件需达到的抗压强度为 27.5MPa ．
18 3 22．(1)证明见解析(2) (3)存在，理由见解析
学时不少于 12 小时 13 8 21 22
【详解】（1）∵ PA = 3， AB = 2 ， PB = 13
学时不足 12 小时 8 20 28
∴ PA2 + AB2 = PB2 ，
合计 21 28 49 ∴ PAB = 90°，即 AB ^ AP
零假设为H0：物理成绩是否及格与每周学习物理的时间是否足够 12 小时无关． 又∵ AB ^ AD ，且 AD I AP = A，且两直线在平面内，
2 49 13 20 -8 8
2
c 49= = 5.444 > 5.024， ∴ AB ^平面PAD .
21 28 21 28 9 （2）∵平面PAB ^平面 ABCD，平面PAB 平面 ABCD = AB
依据小概率值a = 0.025的 c 2 独立性检验，有充分证据推断H0不成立， AB ^ AD ， AD 平面 ABCD，
即可以认为“物理考试成绩是否及格与每周学习物理的时间是否足够 12 小时有关”． ∴ AD ^ 平面PAB ,又因为 AP 面PAB，
（2）由（1）知全校物理考试成绩大于等于 60 分的学生中每周学习物理的时间不少于 12 小
13 ∴ AD ^ AP .
时的概率是 ．
21 由（1）已证AB ^ AP ，且已知 AB ^ AD ，以A为原点，建立空间直角坐标系A - xyz 如图所示，
2027届高二下学期第一次月考数学试卷答案--3
则 A 0,0,0 ，B 0,2,0 ，D 2,0,0 ，C 3,2,0 ，P 0,0,3 ，
uuur uuur uuur uuur ①直线 l的斜率显然存在，设 l方程为 y = mx .
∴ AD = 2,0,0 ， AB = 0,2,0 ， AP = 0,0,3 ，CP = -3,-2,3 ìy = mx
uuur 1 uuur 1 uuur 3 由 í 2 ，整理得 x
2 + mx -1 = 0，
∵E 为 PD 的中点，∴ AE = AP + AD = 1,0, y = -x +1
2 2 2 ֏ 2 2
uuur uuur uuur 设B x1, y1 ，C x2 , y2 ，则 y1 = -x1 +1， y2 = -x2 +1， x1x2 = -1，1 2
又∵ PF = 2FC ，∴ AP = AP + AB = 0,0,1 + 2,
4 ,0 2, 4= ,1 2
3 3 3 ÷ ÷è è 3 A 0,1 AB, AC k y= 1 -1 -x1由已知 ，所以 的斜率分别为 AB = = -xx x 1，ì r uuur 1 1
r n × AE x
3
= + z = 0
2 y2 -1 -x
2
2
设平面 FAE 的法向量为 n = x, y, z ，则 í k = = = -x k × k = x x = -1r uuur ， AC 2
，故 AB AC 1 2 ，
x xn × AF 4= 2x + y + z = 0 2 2
3
r 所以直线 AB 与直线 AC 的斜率之积为定值；
令 x = -3，则 y = 3， z = 2 ，∴ n = -3,3,2 ìy = kx +1
②设直线 AB： y = kx +1，显然 k 0，由 íy = -x2 ，解得：
x = 0或 x = -k ，
1 +1由（ ）可知， AB ^平面PAD ，
uuur 2 2 4 2
∴平面PAD 的法向量为 AB = 0,2,0 , ∴ B -k,1- k ，则 AB = k + k = k 1+ k ，
uuur uuurr AB nrcos AB,n uuur × 6 3 22
1 2
∴ = r = = 由①知 AB ^ AC ，直线 AC ： y = - x +1 AC
1 1 1 1 1，则k = - + - ÷ = 1+
，
AB n 22 2 22 k è k k k 2
ìy = kx +13 22 2 2 8k∴平面FAE 与平面 AED夹角的余弦值为 ． 由 íx2 2 ，得 1+ 4k x + 8kx = 04y 4 ，解得 x = 0或 x = - ，22 + = 1+ 4k 2uuur 2 2
（3）线段 AD 上存在点Q，使得CQ// 平面FAE ，设Q a,0,0 ，则QC = 3- a, 2,0 P 8k 1- 4k- 8 k 1+ k
r uuur
1+ 4k 2
, 2 ÷，则1+ 4k AP =
，
è 1+ 4k 2
由（2）可知，平面FAE r的法向量 n = -3,3,2 ，则 n ×QC = 3a - 9 + 6 = 0，解得 a =1
2
é 1 1
∴当Q是 AD 中点时，则CQ// 平面FAE . 8 ê- ÷ 1+ -1 k k ÷
2 由①知，直线 AC ： y = - x +1 AQ = è
8 k 1
， 2 = 2 1+ 2 ，
19．(1) x 25+ y2 =1(2)①证明见解析；② k 1 k + 4 k
4 64 1+ 4 - k ֏
【详解】（1）已知抛物线C2 ： y = -x2 +1中，令 y = 0 ，解得 x = ±1，所以 a = 2， 1 2 1 1
e c 3
AC AB k 1+ k 1+ 2 1+ 4k 2 k 2 + 4
因为 = = ，所以 c = 3 ，从而b2 = a2 - c2 =1， S1 2 k k
a 2 则 = 1 = =S2 AP AQ 8 k 1 k
2 8 k 64k 2+ 1
∴ C x
2
+ y2 =1. 2 2
× 2 1+ 2
椭圆 1的方程为： 1+ 4k k + 4 k4 1 4 25
= (4k 2 + +17) ，
（2） 64 k 2 64
S 25
当且仅当 k = ±1
1
时等号成立，即 S 最小值为 .2 64
2027届高二下学期第一次月考数学试卷答案--4

展开更多......

收起↑