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2028 届高一年级数学学科阶段性练习 二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
一、单选题
uuur uuur uuur uuur uuur
1．下 A．若 ，则 AB = CD ，且 A、 B 、C 、D四点构成平行四边形uuur列四uuu个r 式uu子ur中可以uu化ur 简u为uur AB 的u是uur（ u u ur） uuur uuur AB = CD r r
① AC + CD - BD；② AC r- CB ；③ OA + OB ；④ OB - OA B r．若m 为非零实数，且 a = mb ，则非零向量 a 与b 共线
A．①④ B．①② C．②③ D．③④ uuur uuur uuurAB AC
2．已知a 是第一象限角，则下列一定为正值的是（ ） C．在VABC 中，若 AO = 3 uuur + uuur ÷，则点O一定在角 A的平分线上
cos2 sin a
a AB AC ÷
A． a B． C． cos D． tan
a
r r è
r 2 r 2 2 D
r r
．若向量 ，则 a 与b 的方向相同或相反
r r r r r r r r r a∥b
3．已知向量a ，b ，c满足 a = 3，b = 5，且a 与 c的夹角、b 与 c的夹角均为120o，则 a + b π π
r 10

．已知函数 f x = tan wx +j w > 0, j < ÷，x = 为 f x 的一个零点， f x 的图象关
在 c方向上的投影数量为（ ） è 2 6
A．-4 B．4 5π π 5π uuur uuur uuur C．-8 D．8 于点 ,012 ÷对称，且
f x 在 , ÷上单调递增，则（ ）
4．已知向量OA = k,-7 ,OB = 2,5 ,OC = 4,9 .若 A, B,C 三点共线，则 k = （ ） è è 6 12
A p．-4 uuur B．-3r uuur r uuur uuur uuur
C．uuu3r D．4 w = 2 j =uuur A． B． 6
5．如图，已知 AB = a, AC = b , BC = 4BD,CA = 3CE ，则DE =（ ） 5π
C
π
． f ÷ = 0 D． f x 在 - ,06 ÷上单调递增è 3 è
11．已知D，Euu，ur F r分别为VABC 的边BC ，CA， AB 的中点，且 AD ， BE ，CF 交于点uuur r
G ，令 AB=a ， AC = b ，S 表示相应图形的面积，则（ ）
uuur 1 r 1 r
A．FE = a - b
2 2
3 rb 1 ar 3 ar 1
r uuur
A． - B． - b AG 1
r 1 r
4 3 4 3 B． = a + b3 3
5 rb 3 ar 5 r 3
r
C． - D． a - b 1
12 4 r 12 4
C． S△DEG = S△ABC
r r r r r r r
12
6．若平面向量 a,b ,cr两两夹角相等，且 a =1, b = 2, c = 3，则 a + b + c =（ ） D． AD ， BE ， CF 可作为一个三角形的三边长
A． 3 B．36 C． 3或 6 D．3 或 36 三、填空r 题 r r r r r r r
7．如图，OD 是△OABuu的ur中线uu，ur G 为OD 的中点，过点 G 的直线分别与
OA,OB 交于点
uuur uuur 12．若 a = b = 1,a ^ b，且 2a + 3b ^ ka - b ，则 k = ______．
P,Q ，且OP = mOA，OQ = nOB ，其中m, n 0,1 ，则m + 4n 的最小值为（ ） r r r r r r r13．已知 a = 4, 2 , b = 1, 2 , c = x,1 ，若 a ^ c ，则 c在b 方向上的投影向量的坐标为
_________．
2
14．已知 f x = 2ax + 3bx -1为偶函数，若"x R ， f x ax + b恒成立，则实数 a的取值
范围________.
四、解答题
4 9 r r r r r r r r
A．4 B．9 C． D． 15．已知向量a ，b 满足 a = 5， b = 2， 3a + 2b × a - 3b = 86 .
9 4 r r
π 2π π (1)求a 与b 的夹角q ；
8 ．若函数 f x = sin wx + ÷ w > 0 的图象关于 x = 对称，且 f x 在区间 0, r r 2
è 6 3 è 3
÷上单调
(2)若 a - tb =19，求 t的值.
f x 2π 递增，则 + ＝（3 ÷ ）è
A． cos
x
B． sin
x 5π+ sin 2x 5π ÷ C

．
2 2 6
+ ÷ D．-cos 2x
è è 6
2028届高一年级数学学科阶段性练习--1
16．如图所示，某地夏天从8 ~ 14 时的用电量变化曲线近似满足函数 x
π 18．已知定义域为R 的函数 f (x)
3 -1
= x 是奇函数．y = Asin(wx +j) + b, 0 < j < ． 3 + b2 (1)求 b 的值与函数 f (x) 的解析式；
r r r r
(2)设 a = (m, 2),b = (m - 2,1)且m [0, 3] .判断函数 f (x) 在R 上的单调性，及求 f (a ×b) 的取值
2
范围.
(3)若$t [0,6]，使 f k - t
2 + f 2t 2 - 6t > 0成立，求实数 k 的取值范围.
(1)写出8 ~ 14 时的函数 y = Asin(wx +j) + b的解析式；
(2)若每日8 ~ 20 时的用量变化也满足图中曲线关系，当用电量大于等于 45 万 kW × h 会导致
供电设备供能紧张，求出每日供能紧张的时间段．
19．如图，在直角梯形OABC 中，OA//CB,OA ^ OC,OA = 2BC = 2OC, M 为 AB 上靠近 A的
三等分点，OM 交 AC 于 N , D为线段BC 上的一个动点．
r r r r mr r
17．设平面内两个非零向量m ， n的夹角为q ，定义一种运算“ ”：m n = n sinq ．试
求解下列问题：
r r r r r r(1)已知向量 a ，b 满足 a = 3, 2 b = 4 r uuur uuur uuuur， ， a ×b = 8，求ar b 的值； (1)用OA和OC 表示OM ；
uuur uuur
(2)在平面直角坐标系中，已知点 A -1, -2 ，B -4, -1 ，C -3,1 ，求 AB BC 的值； ON(2)求 ；
r 1 3 r 3 1 π r uMuurN uur uuur
(3)已知向量 a = - ,
r
cosa sina ÷
，b = , ，a 0, ，求 的最小值．sina cosa ÷ 2 ÷ a b (3)设OB = lCA + mOD ，求l × m 的取值范围．è è è
2028届高一年级数学学科阶段性练习--2
2028 届高一年级数学学科阶段性练习参考答案 32 -16k = 48 -12k ，求解得： k = -4 .故选：A.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5．C
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur 3 uuur 1 r 3 r
A D A A C C D A BC AC BCD 【详解】因为BC = 4BD，所以 AC - AB = 4AD - 4AB，则 AD = AC + AB = b + a ，4 4 4 4
1 A uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur r
． 2 2因为CA = 3CE ，所以-AC = 3AE - 3AC ，即 AE = AC = b ，则
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 3 3
【详解】依题意， AC + CD - BD = AD - BD = AD + DB = AB ，①正确； uuur uuur uuur 2 r 1 r 3 r 5 r
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r DE = AE - AD = b - b - a = b
3 r
- a .故选：C
假定 AC CB AB AC CB AC 3 4 4 12 4- = ，则 - = + CB ，即-CB = CB，因此CB = 0，
uuur r
② 6．C无法确保CB = 0，假设是错的， 错误； r r r
uuur uuur 【详解】因为平面向量a ，b ， c两两夹角相等，所以夹角有两种情况，
OA + OB 是OA,OB为一组邻边的平行四边形的以点O为起点的对角线所对应的向量，不等 r r r
uuur 即a ，b ， c两两夹角为0°或120°，
于 AB ，③错误； r r r r r r
uuur uuur uuur 当夹角为0°时， a + b + c = a + b + c =1+ 2 + 3 = 6 ；当夹角为120°时，
OB - OA = AB ，④正确. r r r r r r 3 r r r r r r 2 r r r r r r r ra ×b = -1,b ×c = -3,c ×a = - ，则 a + b + c = a + b r+ c = a2 + b 2 + c 2 + 2a ×b + 2a ×c + 2b ×c
故选：A 2
2 2 2 3 r r r2．D = 1 + 2 + 3 + 2 -1 + 2 -

÷ + 2 -3 = 3 ；综上所述： a + b + c = 6或
è 2
【详解】对于 A，由题 2a 终边可能在第一象限， y 轴正半轴，或第二象限，则 cos 2a 可能 ar
r
+ b + cr = 3 .
为正值，负值或 0，故 A 错误；
a a 7．D
对于 B， 终边可能在第一象限或第三象限，则 sin 可能为正值或负值，故 B 错误； uuur 1 uuur2 2 【详解】因为 G 为OD 的中点，所以OG = OD ，又OD 是△OAB的中线，即D为 AB 的中
a 2
对于 C，由 B 分析， cos 可能为正值或负值，故 C 错误； uuur 1 uuur uuur uuur 1 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur2 uuur uuur点，所以OD = OA + OB ，所以OG = OA + OB = OA + OB .由2 2 2 4 4 OP = mOA，a
对于 D，由 B 分析， tan 一定为正值，故 D 正确.
2 uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
OQ = nOB ，其中m, n 0,1 ，得OA 1= OP，OB 1 1 1= OQ，所以OG = OP + OQ .
m n 4m 4n
故选：D
因为G, P,Q
1 1
三点共线，所以 + =1，所以
3 4m 4n．A
r r r m 4n 1 1 m 4n 5 n m 5 n m 9 n m【详解】 a + b =在r r c方向上的投影数量为
+ = + + = + + + 2 × = ，当且仅当 ，即
è 4m 4n ÷ 4 m 4n 4 m 4n 4 m 4n
a + b r×c r r r r
r ar×c b ×c
r r 1 1 3 3 9= + r = a cos120o + b cos120o = 3 -
+ 5 - = -4 ． m = ,n = 时等号成立，所以m + 4n 的最小值为 .故选：D.
c c c è 2 ÷ 2 ÷ è 4 8 4
8．A
故选：A. 2π π π 2π
【详解】函数图像关于 x = 对称，说明wx + = kπ + 在 x = 时成立，解得：
4．A 3 6 2 3
uuur uuur uuur uuur uur 3k+1 π π
【详解】若 A， B ，C 三点共线，则向量 AB 与 AC 共线，因为 AB = OB - OA = (2 - k,12) ， w = k Z ，函数在 0, ÷上单调递增，说明wx + 在该区间内满足正弦函数的单调2 è 3 6
uuur uuur uur
AC = OC - OA = (4 - k,16)，由共线条件可得：16· 2 - k =12 × 4 - k ，化简可得：
2028届高一年级数学学科阶段性练习--3
递增条件，所以wx
π π , π w π π π π π π+ +
6 6 3 6 ÷
且 , w + 2kπ - , 2kπ + k Z ，则当 k = 0 G VABC
è è 6 3 6 ÷ 2 2 ÷
【详解】由题意可知 为 的重心，
è
π w π π 3k+1 1时 + ，解得：w 1，结合w > 0和w = ，得到w = ；
3 6 2 2 2
w 1将 = 代入原函数，得到 f x = sin 1 π
2
x + ，
è 2 6 ÷
2π 1 π 1
则 f x + ÷ = sin x + ÷ = cos x .
è 3 è 2 2 2
故选：A. uuur uuur uuur uuur r
∵ E, F AC, AB
1 1 1 1 r
分别为 中点，则FE = BC =
9 BC 2 2 AC - AB = b - a ，A 选项错误；． 2 2
uuur uuur uuur 2 uuur 2 1 uuur 1 uuur 1 r 1 r
【详解】对于 A，如果在线段 AD 上， B ，C 为线段 AD 的四等分点，满足 AB = CD，且 AG = AD = AB + AC = a + b ，B 选项正确；
uuur uuur 3 3 è 2 2
÷
3 3
AB = CD ，但 A、 B 、C 、D四点不能构成平行四边形，故 A 错误；
S 1△DEG = S
1 1 1 1 1 1
VBDE = SVBCE = SVBCA = S△ABC ，C 选项正确；
m r r r r
3 3 2 3 2 2 12
对于 B，设 为uu非ur 零实uu数ur，且 a = mb ，则非零向量
a 与b 共线，故 B 正确；uuur uuur uuur uuur uuur r 2 uuur 2 uuur 2 uuur r uuur uuur uuur r
AB AC AB AC ∵ GA + GB + GC = 0 ，∴ DA + EB + FC = 0uuur ，即3 3 3 DA + EB + FC = 0
，
uuur
对于 C，因为 uuur ， uuurAB AC 分别为向量 AB ， AC 方向上的单位向量，所以
uuur + uuur
AB AC 的方向 ∴ AD, BE, FC 可作为三角形三边，D 选项正确.故选：BCD.
与 BAC 3的角平分线重合， 12．
uuur uuur uuur
2
AB AC uuur r r r r r r r r
又 AO = 3 uuur + uuur ÷，可得向量 AO 所在直线与 BAC 的角平分线重合，所以点O一定在 【详解】因为 2a + 3b ^ ka - b ，所以 2a + 3b × ka - b = 0， AB AC ÷è r r r r r r2 2 r r 3即 2ka - 2a ×b + 3ka ×b - 3b = 0，因为 a × b = 0 ，所以 2k - 3 = 0, k = .
角 A的平分线上，故 C 2正确 3
r r r r r r 故答案为：
对于 D，若向量 a∥b ，则 a 与b 的方向相同或相反，或 a 与b 中至少有一个为零向量，故 D 2
3 3
错误.故选：BC 13． ,è10 5 ÷
10．AC r r【详解】因为 a ^ c ，所以 4x + 2
1
= 0 ，解得： x = - ,
π 5π 2
【详解】因为 f x = tan wx +j 的一个零点为 x = ， f x 的图象关于点 ,012 ÷对称，且6 è r r r r r r r
3
c·b b c·b r ur 3 3
f x π , 5π π T 2 5π π π
则 c在b 方向上的投影向量的坐标为 r · r = r 2 ·b =
2 ·b = , ÷
在 6 12 ÷上单调递增，所以
= = - = ，所以w = 2，A 正确； 5 10 5
è w è 12 6 ÷ 2
b b
b
è
π
由 f ÷ = tan
π
+j
= 0 j π π÷ 及 < 2 ，得j = - ，B 错误；所以
14． -8,0
è 6 è 3 3
2
f x = tan 2x π- 5π 10π π
【详解】因为 f x = 2ax + 3bx -1为偶函数，所以
÷ , f ÷ = tan -

÷ = tan 3π = 0
π
，C 正确；因为 x = - 时， f x 不
è 3 è 3 è 3 3 12 f x - f -x = 2ax2 + 3bx -1 - 2ax2 - 3bx -1 = 6bx = 0，即b = 0，又"x R ，
π π π π π
存在，因为- < - < 0，所以函数 f x 在 - , - , - ,0 上单调递增，故 D 错误．
6 12 è 6 12 ÷ è 12 ÷ f x ax + b，即 2ax2 - ax -1 0 恒成立，当 a = 0时，-1 0恒成立，满足题意；当 a 0时，
ìa < 0
11．BCD 由不等式恒成立可得 í 2 -8 a < 0Δ a 8a ，解得 ，综上实数
a的取值范围为-8 a 0 .
= + 0
2028届高一年级数学学科阶段性练习--4
r r r
故答案为： -8,0 cos ar,b a ×br 8 2 5则 = r = =
2π 3 a b 5 4 5
.
15．(1)q = ； (2) t = -1或 t = - ．
3 2 r r rr r r r r 2 r r r2 r r 又 a
r,b 0, π sin ar，所以 ,b = 1- cos2 ar,b 5= ，
【详解】（1）由已知 3a + 2b × a - 3b = 3a - 7a ×b - 6b = 3 25 - 7a ×b - 6 4 = 86， 5
r r r r r r r r r r r r 5
a ×b = -5，a ×b = -5 = a b cosq = 5 2cosq ， cosq
1
= - ，又q [0, π] q
2π
，所以 = ； 所以， a b = a b sin a,b = 5 4 = 4 .
2 3 5
r r 2 r r r r r r uuur uuur2 2 2 2 3（2） a - tb = (a - tb) = a - 2ta ×b + t b = 25 +10t + 4t2 = 19 ，解得 t = -1或 t = - ． （2）由已知可得， AB = -3,1 ，BC = 1,2 ，
2 uuur uuur uuur uuur
所以有 AB = 10 ， BC = 5 ， AB × BC = -3 1+1 2 = -1，
uuur uuur
uuur uuur AB × BC -1 2
16．(1) y =10sin
π x π +

÷ + 40, x [8,14] (2)12 ~ 16 则
cos AB, BC = uuur uuur = = -
时 10 .
è 6 6 AB × BC 10 5
uuur uuur
【详解】（1）由图象可知从8 ~ 14 时的图象是 y = Asin(wx +j) + b的半个周期的图象， 又0 AB, BC π，
1
\ A = (50 - 30) = 10, b 1= (50 + 30) = 40． uuur uuur uuur uuur 2
2 2 2 7 2所以 sin AB, BC = 1- cos2 AB, BC = 1- - ÷÷ = ，1 2π 10 10Q =14 è -8，
2 w uuur uuur uuur uuur uuur uuur
π π 所以， AB BC = AB BC sin AB, BC = 10 5
7 2
= 7 .
\w = ,\ y =10sin x +j

÷ + 40， 106 è 6 r r
（3）由已知可得 a b
1 3 3 1
× = - + = 0 ，
将 x = 8, y = 30代入上式，得30
π
=10sin 8 +j
cosa sina sina cosa
6 ÷
+ 40，
è r r r r π r r π所以， a ^ b，则 a, b = ， sin a,b = sin =1 .
4π 2 2
即 sin +j ÷ = -1，即 sin
π
+j

÷ =1
π π
3 ，又
Q0 < j < ,\j = ，
è 3 2 2 è 2 6 r ra b 1= = + 3 又 ，
π π \ è cosa
÷ ÷
è sina
所求解析式为 y =10sin x + ÷ + 40, x [8,14]．
è 6 6
所以，
（2）由题意得 y =10sin
π x π + ÷ + 40 45，即 sin
π x π 1 +

÷ ， r r r r r r 1 2 2è 6 6 è 6 6 2 a b = a b sin a,b = + 3 ÷
π è cosa è sina
÷

则 + 2kπ
π
x π 5π+ + 2kπ,k Z，解得12k x 4 +12k,k Z，
6 6 6 6 1 3 sin2 a + cos2 a 3 sin2 a + cos2 a
= 2 + 2 = 2 + 2
又Qx [8,20]， cos a sin a cos a sin a
sin2 a 3cos2 a 2 3
\x [12,16]，因此每日供能紧张的时间段为12 ~ 16 . = 2 + + 4 = tan a + + 4 .时 cos a sin2 a tan2 a
因为a

0,
π
2 ÷
，所以 tana > 0 .
è
17．(1)4 (2)7 (3) 4 + 2 3 3 3
r 2 2 令 t = tan
2 a > 0，则 t + + 4 2 t + 4 = 4 + 2 3 ，
【详解】（1）由已知可得， a = 3 + 2 = 5 . t t
r r r 3
又 b = 4， a ×b = 8， 当且仅当 t = ， t > 0，即 t = 3 时等号成立，t
2 3
所以， tan a + + 4的最小值为 ，
tan2 4 + 2 3a
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r
所以ar b 的最小值为 4 + 2 3 .
x uuuur uuur uuur 3
18．(1)b 1 3 -1 OM 5 OA 1 OC ON= f x = + = 6 é ù，且 = x 19．(1) ； (2) ； (3) ê0, ．3 +1 6 3 MN 4ú
r r
(2) f x 1 4 uuur 1 uuur uuuur 1 uuur函数 为单调递增 f (a ×b) [ , ]
2 5 【详解】（1）依题意CB = OA, AM = AB，2 3
0, + uuuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur(3) AM OB OA OC CB OA OC OA 1 uuur uuur uuur\ = - = + - = + - OA 1 OC 1= - OA，3 3 3 3 6 3 3 6
【详解】（1）因为函数 f x 是定义在R 上的奇函数，所以 f -x = - f x ， uuuur uuur uuuur uuur 1 uuur 1 uuur 5 uuur 1 uuur
1 \OM = OA + AM = OA + OC - OA÷ = OA + OC ；
-1 è 3 6 6 3x
3x 3 -1= - 1- 3
x 1- 3x x x uuur uuuur 5 uuur 1 uuur 5t uuur t uuur即 1 ，整理得 恒成立，即 ，b 3
x + b 1+ b ×3x
= x b ×3 +1 = b + 33 + b （2）因OM 交 AC 于 N ，由（1）知ON = tOM = t OA + OC = OA + OC ，
x +

è 6 3 ÷ 6 33
x 5t t
b 3x -1 = 3x -1 b 1 3 -1 由共起点的三向量终点共线的充要条件知， + = 1，则 t
6
= ，
所以 ，则 = ，且 f x = x ； uuur 6 3 73 +1
ON
（2）函数 f x uuur uuuur ON在R 上是增函数， 证明如下： 所以ON = 6NM ，所以 uuuur = 6，即 = 6；
x x MN MN
由（1）可得，函数 f x 3 -1 3 +1- 2 1 2= x = x = - x ， uuur uuur uuur uuur uuur3 +1 3 +1 3 +1 （3）由已知OB = OC + CB 1= OC + OA，
2
任取 x1, x2 R ， x1 < x2， uuur uuur 1
2 3x1 - 3x2 因D是线段BC 上动点，则令CD = xOA 0 x ， 2 2 2 2 è 2
÷
f x - f x =1- -1+ = - = 1 2 x x x x x x ， 3 1 3 1 3 1 3 1 uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur1 + 2 + 2 + 1 + 3 1 +1 3 2 +1 OB = lCA + mOD = l OA - OC + m OC + CD = l + mx OA + m - l OC ，
因为 x1 < x2，所以3x1 - 3x2 < 0，又3x1 +1 > 0 ，3x2 +1 > 0，所以 f x1 - f x2 < 0， uuur uuur ì m - l =1 ì l = m -1
又OC,OA不共线，则有 í ，得 ，
即 f x < f x ，所以函数 f x 在R 上是增函数； l + mx
1 ím 3= =
1 2 2 2 + 2x
2 2
（3）因为存在 t 0,6 ，使 f k - t + f 2t - 6t > 0成立， 0 1 3 3因为 x 1 x +1 1 m ，
2 2 2
又因为函数 f x 是定义在R 上的奇函数， 2 é
所以l × m m m 1 1= -1 = m - ÷ - 在m ê1,
3ù
2 2 ú 上递增，
所以不等式可转化为 f k - t > f -2t + 6t ， è 2 4 2
3
因为函数 f x 在R 上是增函数，故 k - t 2 > -2t 2 + 6t ， 所以m = 1,(l × m) 0, m 3min = = , (l
3
× m) é ù
2 max
= ，故l × m 的取值范围是 0, ．
4 ê 4 ú
所以$t [0,6]，使 k > -t 2 + 6t 成立，
因为-t 2 + 6t = - t - 3 2 + 9，
因为 t 0,6 ，所以-t 2 + 6t 有最小值 0，所以 k > 0 ，
故 k 的取值范围为 0, + .
2028届高一年级数学学科阶段性练习--6

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