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2028 届高一年级数学学科阶段性练习 6．在VABC 中，角 A、 B 、C 的对边分别为 a、b 、 c，且VABC 的面积 SVABC = 3 ，
3 uuur uuurS 2 2 2VABC = a + c - b ，则 AB × BC =（ ）4
一、单选题
1 A． 3 B．- 3 C． 2 D．-2
1 A = ì x-4 üíx | 2 B = x N | -2 x < 5 AI B = uuur uuur．已知集合 ，集合 ，则 （ ） uuur uuur
2 uAuBur AC
uuur
7．在VABC 中， + uuur ÷ × BC = 0 u
AuBur uAuCur 3，且 × = ，则 ABC = （ ）
A (3,5) B [3,5) C [-2,3] D {3,4} è | AB | | AC | | AB | | AC | 2． ． ． ．
a = log 3,b 1= ln ,c = 21.01, A．30° B． 45° C．60° D．75°2．若 2 则 a，b，c 之间的大小关系为（ ）2 p p
8．若 tan q - ÷ = 2，则 sin 2q + ÷ = （ ）
A．b > a > c B． c > a > b C． a > b > c D． a > c > b è 4 è 4
3．如图，在VABC中，点O是BC 的中点，过点O的直线分别交直线 AB ， AC 于不同的两 A 3 5 B 7 5
4
． ． C．- D 7 2．-
uuur uuuur uuur uuur 2 8 20 20 5 10
点M ， N ，若 AB = mAM，AC = nAN，m > 0，n > 0，则 + 的最小值为（m n ） 二、多选题
9．在VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c， A
π
= ， c = 3，且VABC 恰有一个解，
3
则 a的值可以是（ ）
A 3 3．1 B．2 C．3 D．
2
10．下列化简正确的是（ ）
π π 1
A． tan 25° + tan 35° + 3 tan 25° × tan 35° = 3 B． cos2 - sin2 =12 12 2
A．2 B．9 C．10 D．18 tan 22.5° 1
C 1 3． = D． - = 2
4 2．猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得 tan 45° - tan 22.5° 2 sin10° cos10°
名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如 11．函数 f x = 3 sin2 x - 3 cos2 x + 2sin x cos x，下列结论正确的有（ ）
图，计划在猫儿山的两个山顶M , N 间架设一条索道．为测量M , N 间的距离，工作人员在同 f x π A．函数 在 0, ÷上单调递增
一水平面选取三个观测点 A, B,C ，在 A处测得山顶M , N 4的仰角分别为60o和30o，测得两个 è
山顶的高分别为MC = 500 3m, NB = 250 2m，且测得 MAN = 45o，则M , N 间的距离为（ ） B．函数 f x 的图象关于直线 x
π
= 对称
6
x 2 f x m 0 é π , π ùC．若关于 的方程 - = 在 ê ú上有两个不相等的实数根，则m é 2 3,4ù 12 2
D．函数 h x = sin 2x - f x + 2sin x 7的最大值为 3
6
三、填空题
12 ar
r r r r r
．已知向量 ，b 的夹角为60°，a =1，b = 2，若 (ar + mb) r^ (2a + b) ，则m = _____________．
500m uuur uuur uuurA． B． 250 6m C．500 3m D．500 2m 13．已知 AB = 1,cosa ，BC = 2,0 ，CD = 2, 2sina ，若 A、 B 、D三点共线，则
π
5．已知 sina + 3cosa
1
= ，则 cos

2a -

÷ = （ ） tan 2a =3 ______.2 è
24 7 7 4 14．在平行四边形 ABCD 中，AB＝2，BC＝1，∠DAB＝60°，点 E 为边 AB 的中点，点 F 为
A． B．- C．- D． uuur uuur
25 9 8 5 边 BC 上的动点，则DE × DF 的最大值是______．
2028届高一年级数学学科阶段性练习--1
r四、解答题
r r r r 18．已知VABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，向量
m = a + b,sin C ，
15．已知向量 a = (2,-2),| b |= 4，且 (2ar + b) ×b = 32 ． r r r
r r n = b - c,sin B - sin A ，且m//n．(1)求向量 ar与b 的夹角； (1)求 A；
(2)求 | 2ar - b |的值； uuur uuur
r r (2)若BD = 3DC, AD =1，求VABC 面积的最大值；
(3) r r若向量 ka + b 与a - kb 互相垂直，求 k 的值． (3)若VABC 为锐角三角形，且 a = 3，求VABC 周长的取值范围．
16．在VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，且满足bcosC + ccos B = 2acos A .
(1)求角 A；
(2)已知 a = 7 ，b = 2 ，
（ⅰ）求VABC 的周长；
（ⅱ）点D在BC 上，满足BD : DC = 2 :1，连接 AD ，作DE ^ AB于E ，求线段DE 的长度.
19．已知函数 f x = log2x
2 - mlog 22x +1．
(1)设m = -1．
（i）求 f x 的最小值，并求出当 f x 取得最小值时 x 的值；
（ii）求 f x 的单调递减区间．
(2)对任意x1、 x2 1,16 ， f x1 - f x2 8恒成立，求m 的取值范围．
17．如图，在VABC 中，已知 AB = 2 ， AC = 5， BAC = 60°，BC ， AC 边上的两条中线
AM ，BN 相交于点 P．
(1)求中线 AM 的长；
(2)求 uuurMPNuu的uur余弦值．
(3)设 AP = t AM ，求 t 的值，并用向量方法证明．
2028届高一年级数学学科阶段性练习--2
2028 届高一年级数学学科阶段性练习参考答案 \auucur=u4uu，r
1 ì 1 ü \ AB × BC = ac cos π - B = -2．故选：D．1 D 2x-4 = 2-1 x - 4 -1 x 3 A = x | 2x-4．【详解】由 ，可得 ，解得 ，所以
2 í 2
= {x | x 3}； uuur uuur
AB AC uuur
7．D【详解】因为 uuur + uuur ÷ × BC = 0B BAC= x N | -2 x < 5 = {0,1,2,3,4} A B = {x | x 3} {0,1,2,3,4} = {3,4} ，所以 的角平分线与BC 垂直，所以 AB = AC ，又因为 ，所以 .故选：D. è | AB | | AC |
1 uuur uuur uuur uuur
2．B【详解】因为1 = log2 2 < log2 3 < log2 4 = 2，即1< a < 2， ln = - ln 2 < 0 ，即b < 0，2 因为 cos
AB × AC AB AC 3
BAC = uuur uuur = uuur × uuur = °， BAC 0 ,180° ,所以 BAC = 30° ，则
21.01 > 21 = 2，即 c > 2，所以 c > a > b .故选：B | AB || AC | | AB | | AC |
2
uuur 1 uuur uuur uuur uuuur uuur uuur3．B【详解】因为O是BC 的中点，所以 AO = AB + AC .因为 AB = mAM , AC = nAN ，所 ABC
1
= 180° - BAC = 75°．故选：D
2 2
uuur 1 uuuur uuur uuur uuuur uuur 以 AO = mAM + nAN .由于O, M , N 三点共线，所以 AO 可以表示为 AM , AN 的线性组合， 8．D【详解】由题意可得 tan q p tanq -1- ÷ = = 2，解得 tanq = -3，显然2 è 4 1+ tanq
uuur uuuur uuur 1 1 2sinq cosq 2 tanq -6 3
即 AO = k AM + 1- k AN , k R .所以 m + n =1，即m + n = 2 .因为m > 0, n > 0 ，所以 sin 2q = 2sinq cosq = 2 2 = = = -
2 2 cos q + sin q 1
，
+ tan2 q 1+ 9 5
cos2 q - sin22 8 1 q 1- tan
2 q 1- 9 4 p 2 7 2
+ = m + n 2 8+ 1 4m n 4 5 4m n 5 2 4m n= + + + = + + + = 9 . n 4m= cos 2q = 2 2 = 2 = = - ，于是 sin 2q + = (sin 2q + cos 2q ) = - . ÷ 当且仅当 m n cos q + sin q 1+ tan q 1+ 9 5 ÷m n 2 è m n n m n m n m è 4 2 10
2 4 9．CD【详解】在VABC 中，过点 B 作BD ^ AC 于点D，则BD为VABC 中 AC 边上的高，
时，即 n = 2m时等号成立.由于m + n = 2，所以解得m = , n = ，此时最小值为 9.故选：B.
3 3 记为
h .
4．D【详解】由题意，可得 MAC = 60o , NAB = 30o , MC = 500 3 m, NB = 250 2 m, MAN = 45o， \h = c sin A = 3sin π 3 3= .根据三角形解的个数判断法则，当 a = h时或者 a c时，VABC
MC 3 2
且 MCA = NBA = 90o ，在RtVACM 中，可得 AM = o =1000 m，在Rt△ABN 中，可sin60 3 3恰有一个解，即 a = 或 a 3，故选项 C 和选项 D 符合题意.
2
得 AN
NB
= o = 500 2 m ，在VAMN 中，由余弦定理得：sin30 tan 25° + tan 35°10．AC【详解】A 选项，由 tan 25° + 35° = = 3，得
é 2 2 ù 1- tan 25° × tan 35°MN 2 = AM 2 + AN 2 - 2AM × ANcos MAN = 5002 ê22 + 2 - 2 2 2 ú = 500000
2 tan 25° + tan 35° = 3 - 3 tan 25° × tan 35°，即 tan 25° + tan 35° + 3 tan 25° × tan 35° = 3 ，故 A
所以MN = 500 2 m．故选：D． 正确；
π 1 π 1 2 π 2 π π 3
5 C sina + 3cosa = 2cos a - = cos a - = B 选项， cos - sin = cos = ，故 B． 【详解】因为 ÷ ，所以 ÷ ，则 错误；
è 6 2 è 6 4 12 12 6 2
2 tan22.5° tan22.5° 1 1
π 2 π 1 7 C 选项， 2 = = tan 45° = ，故 C 正确；cos 2a - ÷ = 2cos a - ÷ -1 = 2 ÷ -1 = - . tan45° - tan 22.5° 1- tan
2 22.5° 2 2
è 3 è 6 è 4 8
2 1

1 cos10
3
° - sin10°
QV S 3 ac sin B D 1 3 cos10° - 3 sin10° è 2 2
÷
6 D ABC = = 选项， 2cos 60°+10° ． 【详解】解： 的面积 VABC ， - = = =2 sin10° cos10° sin10°cos10° sin10°cos10° 1 sin20°
2
\acsinB 2 3 S 3 a2 c2 3 1= ， = + - b2 ，则 a2 + c2 - b2 = acsinB， 4cos70° 4sin20°VABC 4 4 2 = = = 4，故 D 错误.sin20° sin20°
2 2 2
\ 3 a + c - b× = 3 cos B = sinB，
2ac 11．AD【详解】 f x = 3 sin
2 x - 3 cos2 x + 2sin x cos x = sin 2x - 3 cos 2x = 2sin 2x π -

÷，
è 3
tan B sin B\ = = 3 ，
cos B 对于 A，由 x 0,
π
÷，得 t 2x
π π π
= - - , ，而 y = 2sin t
π π
在 - ,

上单调递增，故函
4 3 3 6 ÷ 3 6 ÷
QB 0, π è è è ，

数 f x 在 0,
π
÷上单调递增，A 正确；
\B π= ， cos B
1
= ， sin B 3= ， è 4 3 2 2
2028届高一年级数学学科阶段性练习--3
π π π
对于 B， f ÷ = 2sin 2 - ÷ = 0 ±2，故函数 f x 的图象不关于直线 x π= π6 6 3 对称，B 错误；è è 6 15．(1) (2)4 (3)
-1+ 5 -1- 5
或
4 2 2
m é π π ù π é π 2π ù r r r r
对于 C，由 2 f x - m = 0，可得 f x = ，由 x ê , ú ，得 t = 2x - ê- ， ú ， 【详解】（1）由 a = (2,-2) 得， a = 2 2 ，设向量 a 与b 的夹角为q [0, π]，2 12 2 3 6 3 r r r r r
p p p 2p p p (2a + b) ×b = 2a
r
×b + b 2 = 2 2 2 4cosq +16 = 32 cosq 2，解得 = ，
因为 y = 2sin t 在 t - , ÷上单调递增，在 , ÷ 上单调递减，且当 t = - ，即 x = 2
è 6 2 è 2 3 6 12 r r π
所以向量 a 与b 的夹角q = ．
时， f
p = -1 t 2p p= x = f
p = 3 t p 5p
5p
÷ ，当 ，即 时， ÷ 当 = ，即 x = 时， f ÷ = 2， 4
è12 3 2 è 2 2 12 è 12 r r 2
2 | 2ar b | 2ar b 4ar r ré π π ù m （ ） - = - = 2 - 4ar ×b + b 2 = 32 2- 4 2 2 4 +16 = 4．
要使方程 2 f x - m = 0在 ê , 12 2 ú上有两个不相等的实数根，
3 < 2 ，故m é 2 3,42 ， 2r r r r r r r r
C （3）由向量 ka + b 与a - kb 互相垂直得， ka + b × a - kb = 0错误； ，
对于 D，因 h x = sin 2x - sin 2x - 3 cos 2x + 2sin x = 3 cos 2x + 2sin x r 2 r r r r r2 2 -1+ 5 -1- 5所以 ka - k a ×b + a ×b - kb = 0，即 k 2 + k -1 = 0，解得 k = 或 k = ．
2 2 2
= 3 1- 2sin2 x + 2sin x = -2 3 sin x 3 7 - ÷÷ + 3 ，因 x R ，则当 sin x
3
= 时，h x 取 π
6 6 6 16.(1) A = (2) ⅰ ⅱ
2 3
（ ） （ ）
3 a + b + c = 5 + 7 DE =è 3
7 3 D . 【详解】（1）根据正弦定理，将
bcosC + ccos B = 2acos A边化角可得：
得最大值 ，故 正确
6 sinBcosC + sinCcosB = 2sinAcosA，又因为 sin B+C = 2sinAcosA，又因为在VABC 中，
1 r r r
12．- / -0.5 ar【详解】因为向量 ，b 的夹角为60°， | a |= 1， | b |= 2， B + C = p - A，所以 sin B + C = sin A，即 sin A = 2sinAcosA，又因为 A (0,π)， sin A 0 ，
2
ar2 ar 2
r r 2 r 1 π
\ = =1,b 2 = b = 4,ar·b =1 2 cos 60° =1 . cos A = ，即 A = ；
r 2 3
Q(ar mb) (2ar
r
+ ^ + b)， a 7,b 2, A π 7 4 c2 4c 1= = = = + - 2
r r r r r r r r
（2）因为 ， ，整理得
3 c - 2c - 3 = 0
，解得 c = 3或 c = -1
2
\ a + mb × 2a + b = 2a2 + 1+ 2m a ×b + mb 2 = 2 + 1+ 2m + 4m = 0，解得m 1= - ．
2 （舍去），因此周长为 a + b + c = 7 + 2 + 3 = 5 + 7 ；已知BD : DC = 2 :1，BC = a = 7 ，故
1
- . 3故答案为：
2 BD 2= BC 2 7= ，由正弦定理 sinB bsinA
2 ×
2 3 ，因为DE ^ AB，VBDE 为直角
4 1 uuur uuur uuur uuur uuur 3 3 = = =
13．- / -1 【详解】BD = BC + CD = 4,2sina , a由于 A、B 、D三点共线，故 AB, BD 共 7 7
3 3
DE BD sinB DE 2 7 3 2 32 tana 4 三角形，故 = × ，可得 = × = .
线，因此 2sina = 4cosa ，故 tana = 2 ，则 tan 2a = 2 = - 3 7 31- tan a 3
3
14． /1.5【详解】解：因为在平行四边形 ABCD 中，AB＝2，BC＝1，
2 (1) 39 4 91
2
17． (2) (3) ，证明见解析
∠DAB＝60°，点 E 为边 AB 的中点，点 F 为边 BC 3上的动点， 2 91
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur
uuuur 1 uuur 1 uuur
所以设CF = lCB,l 0,1 ，则DE = DA + AE = DA + DC , 【详解】（1）因为M 为 BC 的中点，\ AM = AB + AC ，2 2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuuur uuur uuur
DF = DC + CF = DC 2+ lCB = DC + l DA， AM 1 (AB 1
uuur2 uuur uuur uuur2 1 39
\ = + AC)2 = AB + 2AB × AC + AC = 4 + 25 + 2 2 5 cos 60° = ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur

2 4 4 4 4
所以DE × DF
1= 1 l o l DA + DC ÷ × DC + l DA = l DA + DC + +1÷ 1 2 cos120 = +1
è 2 2 è 2 2
，
| AM | 39\ = .
l 0,1 l 3 +1 é1, ù uuur uuur 3 3
2
因为 ，所以 2 ê 2ú ，所以DE × DF 的最大值是 .故答案为： .
uuur 1 uuur uuur 2 2 （2）因为BN = AC - AB ，
2
2028届高一年级数学学科阶段性练习--4
uuur2 1 uuur uuur
2 uuur2 uuur uuur uuur2 ù
\BN = AC - AB
1
÷ = AC - AC × AB
1
+ AB = 25 2 5 21- cos 60° + 4 = , π B π 2π则 < + < ， sin
B π 3+ ,1 ，所以b + c = 6sin
B π+ 3 3,6ù
è 2 4 4 4
，
3 6 3 ֏ 6 2
ú
è è 6
÷

uuur
BN 21\ = ， 故VABC 周长的取值范围为 3 + 3 3,9ù .2
uuuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur 1uuuur uuur (AB + AC) × AC - AB 19．(1)（i） f x 最小值为0 ， x =

；（ii） 0,
1
÷
\cos MPN AM × BN= cos AM , BN = uuuur uuur 2 2 ÷è 4 91 2 è 2
AM BN = uuuur uuur
= .
AM BN 91 (2) é 4 - 2 2,2 2ù
2 uuur uuuur uuur uuur
2
1 1 uuur uuur 1 【详解】（1）（i）当m = -1时， f x = log2x + log x2 +1，
（3） t = 2，证明如下： AP = t AM = t AB + AC = t AB + AC t ，3 2 2 2 f x 0, + 2 2 2
uuur uuur uuur uuur uuur 的定义域为 ， f x = log2x + log2x +1 = log2x + 2log2x +1
因为 B, P, N 三点共线，所以 AP = l AB + 1- l AN ，又 AN 1= AC ，所以
2 令 t = log2x， t R ，则 y = t
2 + 2t +1 = t +1 2 ，
ì t 1
uuur uuur uuur = l 当 t = -1，即当
log2 x = -1时，即 x = 时， f x 取得最小值，最小值为0 .
AP l AB 1- l = + AC 2 2
2
，所以 í ，解得 t =2 t 1
.
- l 3 （ii） t = log2x在 0, + 上单调递增，=
2 2 y = t 2 + 2t +1 = t +1 2 在 - ,-1 上单调递减，令 log2x < -1，解得0
1
< x <
π ，
18 (1) A = (2) 4 3． (3) 3 + 3 3,9ù 23 9 f x 1 所以 的单调递减区间为 0, ÷ .
【详解】（1）由题意得 a + b sin B - sin A = b - c sin C ， è 2
由正弦定理得 a + b b - a = b - c c，即b2 + c2 - bc = a2 ， （2）当 x 1,16 时，令 t = log2 x 0,4 ，
b2 + c2 - a2 1 A 0, π π f x = log2x
2 - mlog x22 +1可化为 g t = t 2 - 2mt +1由余弦定理得 cosA = = ，因为 ．，所以 A = .
2bc 2 3 g t 0,4
uuur uuur uuur uuur 3 uuur uuur 3 uuur uuur 1 uuur uuur
记函数 在 上的最大值为M ，最小值为 N ，
3
（2）由题意得 AD = AB + BD = AB + BC = AB + AC - AB = AB + AC ， 由对任意x1、 x2 1,16 ， f x4 4 4 4 1 - f x2 8恒成立，得M - N 8恒成立．
uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur 2 2 2 t = m
则 AD
1
= AB 9+ AC 3+ AB × AC 1 c2 9 b2 3+ + bc =1 g t = t - 2mt +1 = t - m +1- m ，其图象开口向上且对称轴为直线 ．，得 ，
16 16 8 16 16 16 ①当m 0时， g t 在 0,4 上单调递增，
即 c2 + 9b2 + 3bc =16 2 c2 ×9b2 + 3bc = 9bc，
可得M = g 4 = 42 -8m +1 =17 -8m， N = g 0 = 02 +1 =1，
16 4 3
得bc ，等号成立时
9 c = 3b =
， 由M - N 8，得16 -8m 8，解得m 1，不符合题意；
3 ②当0 < m < 4时，函数 g t 在 0, m 上单调递减，在 m, 4 上单调递增，
VABC 1的面积为 bcsin π 3= bc 4 3 4 3 ，则VABC 的面积取得最大值 .
2 3 4 9 9 则 N = g m =1- m2 ，M = max g 0 , g 4 = max 1,17 -8m ì1,2 < m < 4= í
b c a 3 17 -8m,0 < m 2
，
= = =
（3）由正弦定理 sin B sin C sin A sin π
= 2 3 2
，得b = 2 3sin B， c = 2 3sinC ， 当0 < m 2时，由M - N 8，可得17 -8m -1+ m2 8，所以 m - 4 8，
3 解得 4 - 2 2 m 4 + 2 2 ，此时 4 - 2 2 m 2；
b c 2 3 é+ = sinB + sin 2π ù
3 1 2
- B 当 2 < m < 4时，由M - N 8，可得1-1+ m 8，解得-2 2 m 2 2 ，此时 2 < m 2 2 ；所以 ê ÷è 3 ú
= 2 3 sinB + cosB + sinB è 2 2
÷÷
③当m 4 2时，M = g 0 = 0 +1 =1, N = g 4 = 42 -8m +1 =17 -8m，
3 3 π 由M - N 82 3 sinB cosB 6sin B ，可得1-17 + 8m 8，解得m 3，不符合题意．= + ÷÷ = +

è 2 2
÷ ，
è 6 综上，m 的取值范围为 é 4 - 2 2,2 2ù .
π 2π π π π
因为VABC 为锐角三角形，所以0 < B < ,0 < - B < ，得 < B < ，
2 3 2 6 2
2028届高一年级数学学科阶段性练习--5

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