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2025-2026学年江苏省南京市玄武外国语学校等校九年级（下）期中数学模拟试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.|-2026|的相反数等于（　　）
A. B. 2026 C. ±2026 D. -2026
2.下列运算正确的是（　　）
A. （-x）8÷x2=-x6 B. 3x3+4x2=7x5
C. m3 m3=m6 D. （3xy2）2=6x2y4
3.如图，已知AB∥CD，且CD平分∠BCE，若∠A=40°，则∠B的度数为（　　）
A. 35°
B. 40°
C. 45°
D. 50°
4. ABCD的对角线AC，BD相交于点O，以下说法正确的是（　　）
A. 若AB⊥BC，则 ABCD是菱形 B. 若AO=BO，则 ABCD是矩形
C. 若AC⊥BD，则 ABCD是正方形 D. 若∠ABC=90°，则 ABCD是正方形
5.如图所示，小颖由点P处径直走到路灯正下方点O处，她在灯光照射下的影长y与行走路程x之间的变化关系用图象表示大致是（　　）
A. B. C. D.
6.某疾病由X病毒引起，在人群中的发病率（患病人数与总人数的比）为十万分之一，某检测X病毒的仪器的准确率为90%（即如果一个人患病，若使用该仪器诊断此人，则该仪器90%概率输出阳性，10%概率输出阴性；反之，如果他没患病，则该仪器90%概率输出阴性，10%概率输出阳性），若用该仪器对甲进行诊断，结果显示为阳性，甲确实患这种疾病的概率大约为（　　）
A. 十万分之一 B. 万分之一 C. 十分之一 D. 90%
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7.计算：=______．
8.2026年春节假期，江苏文旅消费迎来“开门红”.经综合测算，全省春节期间共接待游客约7580万人次，实现旅游总花费609.63亿元.将“7580”用科学记数法表示为 .
9.若分式有意义，则x应满足的条件是 .
10.不等式组的解集是 .
11.为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，过了一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再从鱼塘中捕捞鱼.通过多次捕捞实验后，发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在5%，据此可估计该鱼塘中鱼的条数为 .
12.如图，在 ABCD中，AB=8，BC=12，AC的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则△CDE的周长是 .
13.如图，正八边形ABCDEFGH和正六边形GHIJKL的边长均为3，以顶点H为圆心，HG的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 .（结果保留π）
14.如图，已知点C（4，0），点D（0，4），直线CD与反比例函数的图象交于A，B两点，若，则k= .
15.在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将长为4cm,宽为a cm（a＜4）的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，则该矩形卡纸的宽a= cm.
16.半径为r的⊙O经过四边形ABCD的顶点A，B，D.若C为⊙O外一点，AB=AD=3，∠A=45°，则的取值范围为 .
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.解方程：.
四、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
将线段AB绕点O旋转一定角度得到线段A′B′，A′、B′分别是A、B的对应点.如图，求作旋转中心O.（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
19.(本小题8分)
列方程或方程组解决问题：某校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为师生的午餐，这两种食品每包的营养成分表如下：
若要从这两种食品中摄入3000KJ热量和45g蛋白质，应选取A，B两种食品各多少包？
20.(本小题8分)
如图，点E为 ABCD的边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，CF=2CE.求证：四边形ABCD为菱形.
21.(本小题8分)
为了解A，B两款品质相近的无人机满电运行的最长时间，分别抽样调查了两款无人机各10架，记录它们运行的最长时间（单位：min），并进行数据整理.
平均数/min 中位数/min 众数/min 方差/min2
无人机A 70 69.5 b
无人机B 72 a 69
（1）填空：a=______，b=______，______（填写“＞、＜或=”）；
（2）根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势？请说明理由；
（3）如果A款无人机再实验1次，运行最长时间为70min,那么A款无人机最长运行时间的方差将______（填“变大”，“变小”或“不变”）.
22.(本小题8分)
甲、乙、丙3人间相互传球.假设他们相互间传球是等可能的，并且由甲开始传球.
（1）经过3次传球后，球在乙手中的概率是多少？请画树状图解决问题.
（2）猜想：经过n次传球后，球传到甲、乙、丙3人手中的概率之间的大小关系（直接写出结果）.
23.(本小题8分)
已知实数a、b、c满足a+b+c＜0，4a+c=2b,求证：b＜a.
24.(本小题8分)
在数学综合实践活动中，小思和小欣利用所学的数学知识测量学校花坛内一棵大树AB的高度，两人讨论后采用以下方法进行测量：如图，小思把镜子水平放在点E处，然后沿着直线BE后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，即∠CED=∠AEB，然后小思又在C处用测倾器测得树的顶端A处的仰角为26.6度；小欣用皮尺分别测量DE及小思目高（CD）的长.已知CD⊥BD于点D，AB⊥BD于点B，DE=2.0米，CD=1.5米，请你利用测得的数据求出这棵树（AB）的高度.（结果保留整数.参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.5）
25.(本小题8分)
如图，点A，B，C，D都在⊙O上，AC是⊙O的直径，DB是∠ADC的平分线，过点B作BP∥AC，与DC的延长线交于点P，连接AB，BC.
（1）求证：BP是⊙O的切线.
（2）若AD=5，sin∠ABD=，求⊙O的半径.
（3）在（2）的条件下，求的值.
26.(本小题8分)
已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a,b,c为常数）经过点A（-1，-2）和点B（2，1）.
（1）b=______，c=______；（用含a的代数式表示）
（2）当抛物线开口向下，且-1≤x≤3时，y有最大值1，求a的值；
（3）已知点M（-4，3），N（1，3），若该抛物线与线段MN只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.
27.(本小题8分)
扇文化有着深厚的文化底蕴，图（1）为某扇环的样式，可以看作扇形纸片OAD剪去扇形纸片OBC后剩余的部分，OB=18cm,AB=9cm.
记m×n表示两边长分别为m,n（m≤n,单位：cm）的矩形纸片的大小.
（1）①图（2），图（3）是可以剪出扇环纸片ABCD的矩形纸片，图（2）的顶点与点A，D重合，边AB，CD在邻边上；图（3）的一边与相切，点B，C在对边上，点A，D分别在另外两边上.图（2）中n=______，图（3）中m=______.
②若一张15×n的矩形纸片恰好可以剪出扇环纸片ABCD，求n的值.
（2）新款扇环圆心角的度数调整为120°（即∠AOD是120°），OB=18cm,AB=9cm.若一张21×n的矩形纸片可以剪出扇环纸片ABCD，写出求n的范围的思路（无需算出最终结果）.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】
8.【答案】7.58×103
9.【答案】x≠-3
10.【答案】．
11.【答案】1000
12.【答案】20．
13.【答案】
14.【答案】3
15.【答案】（6-2）
16.【答案】．
17.【答案】x=-1．
18.【答案】点O即为所求作．

19.【答案】选用A种食品3包，B种食品1包．
20.【答案】见解析．
21.【答案】71;72;＞ B款无人机更有优势，∵B款无人机运行时间的平均时间大于A款无人机，
∴B款无人机运行时间更有优势（答案不唯一，合理均可） 变小
22.【答案】 当n为奇数时，P（甲）＜P（乙）=P（丙）；当n为偶数时，P（甲）＞P（乙）=P（丙）
23.【答案】证明：∵4a+c=2b，
∴c=2b-4a．
把c=2b-4a代入a+b+c＜0，得a+b+2b-4a＜0，
∴3b-3a＜0，
∴b-a＜0．
∴b＜a．
24.【答案】8米．
25.【答案】证明见解析； ； ．
26.【答案】1-a;-1-2a 或或
27.【答案】27cm;（27-9）cm 如图，E为矩形纸片一边与的切点，OE为矩形纸片和扇环的对称轴．OE交PQ、BC、AD于点G、H、F．
根据轴对称的性质，OE⊥PQ，OE⊥BC，OE⊥AD，∠AOE==60°，
∴EH=OE-OH=OA-OH=OA-OB cos60°=18cm．
∵m=EG=21cm＞EH，AD≥PQ，
∴n=PQ≤AD=2AF=2OA sin60°=27cm，即m≤27cm．
∵m＜OA，
∴当扇环的A、B、D三点在矩形的边上且矩形纸片一边与相切时，n取最小值．
如图，过点K作AO的垂线，T为垂足，则∠KOT=180°-∠BOK=60°．
∵OG=OE-EG=27-21=6cm，BG=，
∴cos∠ABP=cos∠OBG=．
∵GK=，S△BOK=BK OG=BO KT．
∴（BG+GK） OG=BO KT=BO OK sin60°．
即：（12+） 6=18 OK ．
求出OK的长度，进而得出GK的长度，然后求出sin∠GOK的值，
∴PQ=OA cos∠ABP+OD sin∠GOK=OA （cos∠ABP+sin∠GOK）．
∴OA （cos∠ABP+sin∠GOK）≤n≤2OA sin60°
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