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2025-2026学年山东省淄博市张店区九年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在，，，这四个数中，最小的无理数是（　　）
A. B. C. D.
2.米斗是我国古代官仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器.如图是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度）如图（2）所示，则其俯视图为（　　）
A. B. C. D.
3.2026年，农历丙午年，也是马年.中国邮政于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票1套2枚，邮票上的骏马，扬蹄奋起，呼啸前行，既展现出“一马当先”的开拓气概，也诠释了“万马奔腾”的团结力量.此次计划发行套票26680000套，将26680000用科学记数法表示应为（　　）
A. 2668×104
B. 2.668×107
C. 2.668×108
D. 0.2668×108
4.如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A'，D'对应.若∠1=∠2，则∠AEF的度数为（　　）
A. 55°
B. 60°
C. 65°
D. 70°
5.4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的读书时间，并进行了统计，根据调查结果制作了如图的统计图.则在本次调查的这组数据中，众数和中位数分别是（　　）
A. 8，8 B. 8，8.5 C. 9，8.5 D. 9，9
6.如图，四边形AOBC的顶点A，B，C在⊙O上，点E在BC的延长线上.若∠ACE=68°，则∠AOB的度数为（　　）
A. 112°
B. 126°
C. 136°
D. 158°
7.小颖同学早晨出门跑步时，离家的距离y（米）与时间x（分钟）之间大致的函数图象如图所示.若用点A表示小颖家的位置，则小颖跑步的路线有可能是（　　）
A.
B.
C.
D.
8.《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”.大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（　　）
A. B.
C. D.
9.爱思考的小明同学在学习了“反比例函数”与“二次函数”之后，利用数学绘图软件探究了函数（k,a,b是常数）的图象，小明在输入 k=5及a,b的一组值后得到如图所示的函数图象.则下列关于小明输入的a,b的值，判断正确的是（　　）
A. a＞0，b＞0
B. a＞0，b＜0
C. a＜0，b＜0
D. a＜0，b＞0
10.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=1与直线l2：x=2相交于点A，以点P（m,1）为圆心、m（m＞0）为半径的⊙P交直线l1于点B，C（点C在点B右边），连接OC，交⊙P于点D，在x轴上方的直线l2上取点Q，连接OQ，DQ.现有以下结论：
①OC2+AC2的最小值是3；
②DQ的最小值是；
③OQ+DQ的最小值是；
④当OQ+DQ取得最小值时，m的值恰好为.
则其中正确的结论有（　　）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.写出使分式有意义的x的一个值 .
12.因式分解：x2+2x+1= .
13.如图，已知点A（-3，2），B（1，-2），连接AB，将线段AB平移得到线段CD.若点B的对应点是D（5，0），则点A的对应点C的坐标是 .
14.如图，在△ABC中，∠ABC=105°，，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△FEC（点A的对应点是点F），连接AF，BE，并延长BE交AF于点D，则AD的长为 .
15.在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1-y2=2（x1-x2），则称点A和点B互为“和谐点”.已知C是以O为圆心1为半径的⊙O上的一点，若反比例函数的图象上存在点C的和谐点D，则k的取值范围是 .
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
先化简，再求值：，其中x=3.
17.(本小题10分)
如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，取边BC的中点E，连接DE并延长交AB的延长线于点F.
（1）求证：△CED≌△BEF；
（2）如图2，连结AE，当AE=3，DE=4，AD=5时，求四边形ABCD的面积.
18.(本小题10分)
已知二次函数y=x2+4x-6.
（1）利用配方法将y=x2+4x-6化成y=a（x-h）2+k的形式，并直接写出该二次函数的顶点坐标和对称轴；
（2）如果在该二次函数的图象上有两点A（m,y1），B（m+1，y2），其中y1+y2=5，求m的值.
19.(本小题10分)
为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，某校积极倡导人文体育观念，营造浓厚体育氛围，强健学生体魄，砥砺学生意志.该校对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：h）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组，A：0≤x＜3；B：3≤x＜6；C：6≤x＜9；D：9≤x≤12，并绘制了如图1、2两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：
（1）该校此次调查共抽取了______名学生，扇形统计图中“B”组对应的扇形圆心角的度数为______°，并补全条形统计图；
（2）若该校八年级共800名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数；
（3）若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2名参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率.
20.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y=（k＞0）的图象相交于A（2，m），B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC.
（1）求该反比例函数的表达式并直接写出点B的坐标；
（2）若点D在该反比例函数的图象上，当S△ACD=时，求点D的坐标；
（3）请直接写出关于x的不等式2x＞的解集.
21.(本小题12分)
如图1，是某地某河段上的斜拉桥.该地某校九年级一数学实践小组计划运用所学知识，测量该斜拉桥桥面上桥塔的高度，该数学实践小组在查阅了斜拉桥的相关知识后，制定了如下方案：
【数据采集】
如图2，EF是水平的斜拉桥桥面，点A是竖直桥塔顶部一点，AB即为桥塔的高度.无人机在桥塔上方点C处时，测得桥塔顶部A处的俯角∠DCA=37°，底部B处的俯角∠DCB=59°，无人机沿水平方向由点C向前飞行56米到达点D处，在D处测得A处的俯角∠CDA=45°，已知图中各点均在同一竖直平面内.
【数据应用】
请根据以上数据求桥塔AB的高度.（结果精确到1米）
参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75.
22.(本小题13分)
小强同学在学习了特殊平行四边形后，对菱形进行了深入探究.如图1，在菱形ABCD和等腰三角形CEF（CF=EF）中，∠ABC=2α，∠FCE=α，连接AE，取AE的中点M，并连接DM，FM.
【初步探究】
（1）小强发现：如图2，当α=45°时，将等腰三角形CEF绕点C逆时针旋转一周，线段DM与FM之间始终存在不变的数量关系和位置关系，请直接写出这个不变的数量关系和位置关系；
【再次探究】
（2）小强又发现：如图3，当α=30°时，将等腰三角形CEF绕点C逆时针旋转一周，线段DM与FM之间仍始终存在不变的数量关系和位置关系，请写出这个不变的数量关系和位置关系，并帮助小强给予证明；
【深入探究】
（3）小强进一步发现：在图1中，将等腰三角形CEF绕点C逆时针旋转一周，线段DM与FM之间仍始终存在不变的数量关系和位置关系，请直接写出这个不变的数量关系和位置关系.（其中的数量关系用含α的式子表示）
23.(本小题13分)
如图1，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过边长为4的等边三角形AOB的三个顶点，已知等边三角形AOB的边OB在x轴的正半轴上，P，Q分别是边OB，AB上的动点，且AQ=2OP，连接PQ.
（1）求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的表达式；
（2）如图2，C是x轴上方二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象上的一个动点，连接CP，CQ.问当OP=1时，△CPQ的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值，若不存在，请说明理由；
（3）如图3，在等边三角形AOB的边AO上取中点D，连接DP.问的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值，若不存在，请说明理由.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】5（不唯一，不是3的任意实数）．
12.【答案】(x+1)2
13.【答案】（1，4）．
14.【答案】．
15.【答案】或k＞0．
16.【答案】，2．
17.【答案】∵AB∥CD，
∴∠C=∠EBF，∠EDC=∠F，
∵点E是边BC的中点，
∴CE=BE，
在△CED和△BEF中，
，
∴△CED≌△BEF（AAS） 12
18.【答案】y=（x+2）2-10，顶点坐标为（-2，-10），对称轴为直线x=-2 1或-6
19.【答案】80；162； 约280人
20.【答案】；B（-2，-4） （-1，-8）或 x＞2或-2＜x＜0
21.【答案】桥塔AB的高度约为29米．
22.【答案】数量关系DM=FM，位置关系DM⊥FM ，FM⊥DN，证明：
延长DM至N，使MN=DM，连接NE并延长交直线CD于点G，连接NF、DF，
同理（1）可证△ADM≌△ENM（SAS），
∴AD=EN，∠ADM=∠ENM，
∴AD∥EN，
∴∠ADC=∠EGC，
∵四边形ABCD为菱形，α=30°，
∴AD=CD，∠ABC=2α=2×30°=60°，
∴EN=CD，∠ADC=∠ABC=60°，
∴∠EGC=60°，
∵CF=EF，
∴∠CFE=120°，
∴∠CFE+∠EGC=120°+60°=180°，
∴∠FCG+∠FEG=180°，
∵∠FEN+∠FEG=180°，
∴∠FEN=∠FCD，
在△ENF和△CDF中，
，
∴△ENF≌△CDF（SAS），
∴NF=DF，∠EFN=∠CFD，
∴FM⊥DM，∠EFN+∠EFD=∠CFD+∠EFD=∠CFE=120°，即∠DFN=120°，
∴△NFD是等腰三角形，
∴，
∵DM=MN，
∴FM⊥DM，
∴，
∴，
综上所述，，FM⊥DM 数量关系是FM=tanα DM，位置关系是FM⊥DN
23.【答案】二次函数的表达式为y=-x2+2x △CPQ的面积存在最大值为 的值存在最小值，这个最小值为
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