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湖南省湘潭市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在等差数列中，，则（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
2．双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
3．已知变量之间具有线性相关关系，根据5对样本数据求得经验回归方程为，若，，则（　　）
A．18 B．3.6 C．2.4 D．1.2
4．若数列的满足，，则数列的前15项和为（ ）
A．105 B．119 C．135 D．152
5．若函数在处有极小值，则实数的值为（ ）
A． B． C．或 D．
6．在四棱锥中，侧面底面，侧面是正三角形，底面是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且各箱中的小球总个数之比为5：6：9，红球在1，2，3号箱中分别占．从3个箱中的所有球中随机取出一个球，若每个球被取出的概率相等，在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱中的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知当时，函数恒成立，求实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）
9．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知数列的前n项和为，且，，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．若，则为等差数列 D．
11．设函数，则下列说法正确的有（ ）
A． B．若方程有唯一的解，则
C． D．若，则
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．用，，，…，这个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为________．
13．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，记事件A为“这3个数中含1但不含5”，则________．
14．已知方程有且仅有四个不相等的正实数根，且其中两根之和等于另外两根之积，实数a、b满足，则实数a的取值范围是________．
四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积．
16．如图，在直三棱柱中，.
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
17．已知某险种首次参保的保费为2000元，保险期为1年.在总体中抽取1000单，统计其在一个保险期内的赔偿次数，得到表
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数 900 60 20 10 10
表1
用频率估计概率，解答下列问题.
已知下一个保险期的保费由上一个保险期的赔偿次数决定，记上一个保险期的保费为a元，下一个保险期的保费与上一个保险期的赔偿次数的关系如表2所示.
上一个保险期的赔偿次数 0 1 2 3 4
下一个保险期的保费
表2
已知甲2025年首次参保，此后计划每年都参保.
(1)估计甲2026年参保第二个保险期的保费为X元，求X的数学期望；
(2)求在甲2026年参保的保费大于2000元的前提下，甲2027年参保第三个保险期的保费少于2400元的概率.
18．对于函数，为的实数根，其中，若存在 ，使得或者，则称为“攀登函数”.
(1)分析函数是否为“攀登函数”；
(2)函数为“攀登函数”，
（i）求的取值范围；
（ii）当时，设函数，其中，表示中的较大者，分析是否存在，使得为“攀登函数”，若存在，求出的最大值，若不存在，说明理由.
19．如图，一块正方体木料，面上有一点，
(1)经过点在面上能否画一条直线，使其与垂直，若可以，该怎么画，在答题纸上作图，写出作图过程并加以证明；若不能，说明理由.
(2)若正方体棱长为2，为线段中点，求直线与面所成角的正弦值.
试卷第1页，共3页
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湖南省湘潭市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷
数学试题（参考答案）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B C A C A B AC ACD
题号 11
答案 AC
12．224
13．/0.3
14．
15．(1)
(2)
16．(1)（1）由题知平面，又平面，所以.
又，，平面，平面，所以平面.
又平面，所以.
因为，所以四边形是正方形，所以.
又，平面，平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
(2)
17．(1)1944
(2)
18．(1)是；
(2)（i）；（ii）存在；.
19．(1)可以，过点在面上能画一条直线，使其与垂直,
如图所示，连接，在平面上过点作直线,
则，
证明：在正方体中易得：面，
因为面，所以.
又因为,,且面，
所以面，
因为面，所以.
;
(2).
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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