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2025年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试题
一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分）
1.若ln(e2x+3)=2x+ln3,则x=
2.已知数列{an}满足a1=2,n=2n+2
an-1,n≥2.那么
a2025=
∑4a
3.已知△ABC中，AB=CB=3,CA=4,点I是△ABC的内心.若
有=xAB+Ad,则巴=
4.已知复数之满足z=1,元是虚数单位，则z+42+z-32的最大值
为
5.正方体ABCD-A1B1CD1的棱长为2，则异面直线AC与B1D的距离
是
1
6.现有1,2,3·，9共9个数码，从中随机抽取三个互不相同的数码.则其样
本方差s2≤1的概率为
7.a,b,c,d R,a+6+c+d =20,ab+ac+ad+bc+bd+cd=150,
则abcd=
8.已知点M1,n)在椭圆二+兰=1上，点Ne2,2)在直线2x十y-8
3
0上，则2-x+2-1的最小值为
9.A=4cos55°c0s25°c0810°+sin40,则(4-1)10=_
sin80°
10.已知定义在Z上的函数f(x)满足：f(1)=-506,且对m∈Z,都
有fn+12)-f(m)≥6m+5,f(m+4-fm)≤2m+1).则f2025)=
289
2
二、解答题（共5小题，满分90分）
11.(15分)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2=ac.
(1)求∠B的取值范围；
(2)求
cos Atan C+sin A
的取值范围，
cos B tan C+sin B
12.(15分)在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，
且SA⊥面ABCD,DE⊥SC交SC于点E.
(1)求证：SC⊥BE:
(2)当三棱锥E-BCD的体积取到最大值时，求四棱锥S-ABCD.
13.(20分)在一次高二年级组织的联欢活动中，参加者要完成甲、乙、丙三个
项目.已知某选手完成甲、乙、丙三个项目的概率分别为
每个项目完成与
否相互独立.
(1)若该选手把甲、乙、丙三个项目各做一次，求该选手至少完成一个项目的概
率；
(2)若活动组织者要求项目甲、乙各做两次，项目丙做三次.如果两次项目甲做
完成，则进行项目乙，同时获得积分；两次项目乙都完成，则进行项目丙，并同
时获得积分3；三次项目丙只要两次完成成功，则选手闯关成功并获得积分6业：
己知积分不累计，用ξ表示该选手所获积分的数值，求￡的分布列和数学期望，
3

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