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第44课时　电场中功能关系及图像问题(思维进阶课)
[学习目标]　1．会分析处理电场中的功能关系。 2．理解电场中有关图像的斜率、面积表示的物理意义，并能结合图像分析电场、电势和电势能的变化。
电场中功能关系的应用
几种常见的功能关系：
(1)合外力做功等于动能的变化，即W合＝Ek2－Ek1＝ΔEk(动能定理)。
(2)重力做功等于物体重力势能的变化，即WG＝EpG1－EpG2＝－ΔEp。
(3)静电力做功等于电势能的变化，即W电＝Ep电1－Ep电2＝－ΔEp电。
(4)弹簧弹力做功等于弹性势能的变化，即W弹＝Ep1－Ep2＝－ΔEp弹。
(5)除了重力和弹簧弹力之外其他力做的总功等于物体机械能的变化，即W其他力＝E机2－E机1＝ΔE机。
[典例1]　(2025·四川卷)如图所示，由长为R的直管ab和半径为R的半圆形弯管bcd、def组成的绝缘光滑管道固定于水平面内，管道间平滑连接。bcd圆心O点处固定一电荷量为Q(Q>0)的带电小球。另一个电荷量为q(q>0且q Q)的带电小球以一定初速度从a点进入管道，沿管道运动后从f点离开。忽略空气阻力。则(　　)
A．小球在e点所受库仑力大于在b点所受库仑力
B．小球从c点到e点电势能先不变后减小
C．小球过f点的动能等于过d点的动能
D．小球过b点的速度大于a点的速度
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[典例2]　(多选)(2024·山东卷)如图所示，带电量为＋q的小球被绝缘棒固定在O点，右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面。质量为m、带电量为＋q的小滑块从斜面上A点由静止释放，滑到与小球等高的B点时加速度为0，滑到C点时速度为0。已知AC间的距离为s，重力加速度大小为g，静电力常量为k，下列说法正确的是(　　)
A．OB的距离l＝
B．OB的距离l＝
C．从A到C，静电力对小滑块做功W＝－mgs
D．AC之间的电势差UAC＝－
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归纳总结：(1)动能定理可以把不同力对物体做的功联系起来。
(2)能量守恒定律可以把系统中参与变化的所有能量联系起来。
若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变；若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。
电场中的图像问题
　电场中的E-x图像
1．E-x图像为静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系，若规定x轴正方向为电场强度E的正方向，则E>0，电场强度E沿x轴正方向；E<0，电场强度E沿x轴负方向。
2．E-x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示)，两点的电势高低根据电场方向判定。在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。
[典例3]　(多选)(2025·河北名校联盟一模)沿电场中某条电场线方向建立x轴，该电场线上各点电场强度E随x的变化规律如图所示，x轴正方向为电场强度E的正方向，坐标轴上的点O、x1、x2和x3分别与x轴上O、A、B、C四点相对应，相邻两点间距相等。一个带正电的粒子从O点由静止释放，运动到A点的动能为Ek，仅考虑静电力作用，则下列说法正确的是(　　)
A．从O点到C点，电势先升高后降低
B．从O点到C点，粒子做变加速运动
C．粒子运动到C点时动能大于3Ek
D．粒子在AB段电势能减少量小于BC段电势能减少量
　电场中的φ-x图像
1．电场强度的大小等于φ-x图线的切线斜率的绝对值。如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图1)。切线的斜率为0时沿x轴方向电场强度为0。
2．在φ-x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向。(如图2)
[典例4]　(2025·海南卷)某静电场电势φ在x轴上分布如图所示，图线关于φ轴对称，M、P、N是x轴上的三点，OM＝ON；有一电子从M点静止释放，仅受x轴方向的静电力作用，则下列说法正确的是(　　)
A．P点电场强度方向沿x轴负方向
B．M点的电场强度小于N点的电场强度
C．电子在P点的动能小于在N点的动能
D．电子在M点的电势能大于在P点的电势能
拓展思考　试画出下图中几种典型电场的φ-x图像(以无穷远处电势为0)。
(1)点电荷的φ-x图像；
(2)两等量异种点电荷连线上的φ-x图像；
(3)两个等量正点电荷的φ-x图像。
　Ep-x图像、Ek-x图像
1．Ep-x图像
由静电力做功与电势能变化关系F电x＝Ep1－Ep2＝－ΔEp知Ep-x图像的切线斜率k＝。
(1)其绝对值等于静电力大小。
(2)正负代表静电力的方向：若斜率为正，说明电势能增加，静电力沿x轴正方向做负功，静电力方向沿x轴负方向；若斜率为负，说明电势能减小，静电力沿x轴正方向做正功，静电力方向沿x轴正方向。
2．Ek-x图像
当只有静电力对带电体做功，由动能定理F电x＝Ek－Ek0＝ΔEk知Ek-x图像的切线斜率k＝，斜率表示静电力。
[典例5]　(多选)在甲、乙电场中，电场方向均与x轴平行，某试探电荷－q(q>0)具有的电势能Ep沿x方向的变化分别如图甲、乙所示，则下列说法正确的是(　　)
A．图甲中，试探电荷在O点受到的静电力为0
B．图甲中，电场强度沿x轴正方向
C．图乙中，x1处的电场强度小于x2处的电场强度
D．图乙中，x1处的电势高于x2处的电势
第44课时
进阶点1
典例1　B　[小球所受库仑力F＝k，由于re>rb，则小球在e点所受库仑力小于在b点所受库仑力，故A错误；带电小球从c点到d点所受库仑力为斥力，方向沿半径向外，与运动方向垂直，则从c到d库仑力不做功，电势能不变；从d点到e点带电小球受到的库仑力做正功，电势能减小，故B正确；由于rf>rd，φd>φf，由电势能公式Ep＝qφ知Epd>Epf，根据能量守恒知，小球过f点的动能大于过d点的动能，C错误；带电小球从a点到b点，库仑力做负功，小球的动能减少，即小球过b点的速度小于a点的速度，D错误。]
典例2　AD　[小滑块在B点处的加速度为0，则沿斜面方向有mgsin 30°＝cos 30°，解得l＝，A正确，B错误；小滑块从A到C的过程，由动能定理有W＋mgssin 30°＝0，解得静电力对小滑块做的功为W＝－，C错误；根据静电力做功与电势差的关系结合C项分析可知，AC之间的电势差UAC＝＝－，D正确。]
进阶点2
典例3　BC　[由O点到C点，电场方向不变，电势一直降低，故A错误；电场强度大小一直在变化，粒子做变加速运动，故B正确；根据E随x变化规律可知，由A到C电场强度平均值大于OA段电场强度平均值，粒子运动到A点的动能为Ek，则从O到A静电力做功为Ek，从A到C静电力做功大于2Ek，则粒子运动到C点时动能大于3Ek，故C正确；AB段平均电场强度大于BC段平均电场强度，则粒子在AB段平均静电力大于BC段平均静电力，则AB段静电力做的功大于BC段静电力做的功，所以在AB段电势能减少量大于BC段电势能减少量，故D错误。]
典例4　D　[由图可知在x正半轴沿＋x方向电势降低，则电场强度方向沿x正方向，故A错误；φ-x图像斜率表示电场强度，由图可知M、N点的电场强度大小相等，方向相反，故B错误；电子在电势低处电势能大，故电子在P点的电势能小于在N点的电势能，根据能量守恒可知，电子在P点的动能大于在N点的动能，故C错误；电子在电势低处电势能大，故电子在M点的电势能大于在P点的电势能，故D正确。故选D。]
拓展思考　(1)
(2)
(3)
典例5　BD　[根据Ep-x图像斜率的绝对值表示静电力的大小，题图甲中，试探电荷在O点受到的静电力不为0，A错误；沿x轴正方向，电势能增大，静电力做负功，又因试探电荷带负电，则电场强度沿x轴正方向，B正确；题图乙中x1处的斜率大于x2处的斜率，即Fx1>Fx2，故Ex1>Ex2，C错误；负电荷在电势越高处电势能越小，故题图乙中φx1>φx2，D正确。]
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第八章　静电场
第44课时　电场中功能关系及图像问题(思维进阶课)
[学习目标]　1．会分析处理电场中的功能关系。 2．理解电场中有关图像的斜率、面积表示的物理意义，并能结合图像分析电场、电势和电势能的变化。
进阶点1　电场中功能关系的应用
几种常见的功能关系：
(1)合外力做功等于动能的变化，即W合＝Ek2－Ek1＝ΔEk(动能定理)。
(2)重力做功等于物体重力势能的变化，即WG＝EpG1－EpG2＝－ΔEp。
(3)静电力做功等于电势能的变化，即W电＝Ep电1－Ep电2＝－ΔEp电。
(4)弹簧弹力做功等于弹性势能的变化，即W弹＝Ep1－Ep2＝－ΔEp弹。
(5)除了重力和弹簧弹力之外其他力做的总功等于物体机械能的变化，即W其他力＝E机2－E机1＝ΔE机。
[典例1]　(2025·四川卷)如图所示，由长为R的直管ab和半径为R的半圆形弯管bcd、def组成的绝缘光滑管道固定于水平面内，管道间平滑连接。bcd圆心O点处固定一电荷量为Q(Q>0)的带电小球。另一个电荷量为q(q>0且q Q)的带电小球以一定初速度从a点进入管道，沿管道运动后从f点离开。忽略空气阻力。则(　　)
A．小球在e点所受库仑力大于在b点所受库仑力
B．小球从c点到e点电势能先不变后减小
C．小球过f点的动能等于过d点的动能
D．小球过b点的速度大于a点的速度
√
B　[小球所受库仑力F＝k，由于re>rb，则小球在e点所受库仑力小于在b点所受库仑力，故A错误；带电小球从c点到d点所受库仑力为斥力，方向沿半径向外，与运动方向垂直，则从c到d库仑力不做功，电势能不变；从d点到e点带电小球受到的库仑力做正功，电势能减小，故B正确；由于rf>rd，φd>φf，由电势能公式Ep＝qφ知Epd>Epf，根据能量守恒知，小球过f点的动能大于过d点的动能，C错误；带电小球从a点到b点，库仑力做负功，小球的动能减少，即小球过b点的速度小于a点的速度，D错误。]
[典例2]　(多选)(2024·山东卷)如图所示，带电量为＋q的小球被绝缘棒固定在O点，右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面。质量为m、带电量为＋q的小滑块从斜面上A点由静止释放，滑到与小球等高的B点时加速度为0，滑到C点时速度为0。已知AC间的距离为s，重力加速度大小为g，静电力常量为k，下列说法正确的是(　　)
A．OB的距离l＝
B．OB的距离l＝
C．从A到C，静电力对小滑块做功W＝－mgs
D．AC之间的电势差UAC＝－
√
√
AD　[小滑块在B点处的加速度为0，则沿斜面方向有mgsin 30°＝cos 30°，解得l＝，A正确，B错误；小滑块从A到C的过程，由动能定理有W＋mgssin 30°＝0，解得静电力对小滑块做的功为W＝－，C错误；根据静电力做功与电势差的关系结合C项分析可知，AC之间的电势差UAC＝＝－，D正确。]
归纳总结：(1)动能定理可以把不同力对物体做的功联系起来。
(2)能量守恒定律可以把系统中参与变化的所有能量联系起来。
若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变；若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。
角度1　电场中的E-x图像
1．E-x图像为静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系，若规定x轴正方向为电场强度E的正方向，则E>0，电场强度E沿x轴正方向；E<0，电场强度E沿x轴负方向。
2．E-x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示)，两点的电势高低根据电场方向判定。在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、
电势能变化等情况。
进阶点2　电场中的图像问题
[典例3]　(多选)(2025·河北名校联盟一模)沿电场中某条电场线方向建立x轴，该电场线上各点电场强度E随x的变化规律如图所示，x轴正方向为电场强度E的正方向，坐标轴上的点O、x1、x2和x3分别与x轴上O、A、B、C四点相对应，相邻两点间距相等。一个带正电的粒子从O点由静止释放，运动到A点的动能为Ek，仅考虑静电力作用，则下列说法正确的是(　　)
A．从O点到C点，电势先升高后降低
B．从O点到C点，粒子做变加速运动
C．粒子运动到C点时动能大于3Ek
D．粒子在AB段电势能减少量小于BC段电势能减少量
√
√
BC　[由O点到C点，电场方向不变，电势一直降低，故A错误；电场强度大小一直在变化，粒子做变加速运动，故B正确；根据E随x变化规律可知，由A到C电场强度平均值大于OA段电场强度平均值，粒子运动到A点的动能为Ek，则从O到A静电力做功为Ek，从A到C静电力做功大于2Ek，则粒子运动到C点时动能大于3Ek，故C正确；AB段平均电场强度大于BC段平均电场强度，则粒子在AB段平均静电力大于BC段平均静电力，则AB段静电力做的功大于BC段静电力做的功，所以在AB段电势能减少量大于BC段电势能减少量，故D错误。]
角度2　电场中的φ-x图像
1．电场强度的大小等于φ-x图线的切线斜率的绝对值。如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图1)。切线的斜率为0时沿x轴方向电场强度为0。
2．在φ-x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向。(如图2)
[典例4]　(2025·海南卷)某静电场电势φ在x轴上分布如图所示，图线关于φ轴对称，M、P、N是x轴上的三点，OM＝ON；有一电子从M点静止释放，仅受x轴方向的静电力作用，则下列说法正确的是(　　)
A．P点电场强度方向沿x轴负方向
B．M点的电场强度小于N点的电场强度
C．电子在P点的动能小于在N点的动能
D．电子在M点的电势能大于在P点的电势能
√
D　[由图可知在x正半轴沿＋x方向电势降低，则电场强度方向沿x正方向，故A错误；φ-x图像斜率表示电场强度，由图可知M、N点的电场强度大小相等，方向相反，故B错误；电子在电势低处电势能大，故电子在P点的电势能小于在N点的电势能，根据能量守恒可知，电子在P点的动能大于在N点的动能，故C错误；电子在电势低处电势能大，故电子在M点的电势能大于在P点的电势能，故D正确。故选D。]
拓展思考　试画出下图中几种典型电场的φ-x图像(以无穷远处电势为0)。
(1)点电荷的φ-x图像；
(2)两等量异种点电荷连线上的φ-x图像；
(3)两个等量正点电荷的φ-x图像。
[答案]　(1)
(2)
(3)
角度3　Ep-x图像、Ek-x图像
1．Ep-x图像
由静电力做功与电势能变化关系F电x＝Ep1－Ep2＝－ΔEp知Ep-x图像的切线斜率k＝。
(1)其绝对值等于静电力大小。
(2)正负代表静电力的方向：若斜率为正，说明电势能增加，静电力沿x轴正方向做负功，静电力方向沿x轴负方向；若斜率为负，说明电势能减小，静电力沿x轴正方向做正功，静电力方向沿x轴正方向。
2．Ek-x图像
当只有静电力对带电体做功，由动能定理F电x＝Ek－Ek0＝ΔEk知Ek-x图像的切线斜率k＝，斜率表示静电力。
[典例5]　(多选)在甲、乙电场中，电场方向均与x轴平行，某试探电荷－q(q>0)具有的电势能Ep沿x方向的变化分别如图甲、乙所示，则下列说法正确的是(　　)
A．图甲中，试探电荷在O点受到的静电力为0
B．图甲中，电场强度沿x轴正方向
C．图乙中，x1处的电场强度小于x2处的电场强度
D．图乙中，x1处的电势高于x2处的电势
√
√
BD　[根据Ep-x图像斜率的绝对值表示静电力的大小，题图甲中，试探电荷在O点受到的静电力不为0，A错误；沿x轴正方向，电势能增大，静电力做负功，又因试探电荷带负电，则电场强度沿x轴正方向，B正确；题图乙中x1处的斜率大于x2处的斜率，即Fx1>Fx2，故Ex1>Ex2，C错误；负电荷在电势越高处电势能越小，故题图乙中φx1>φx2，D正确。]
课时作业(四十四)　电场中功能关系及图像问题(思维进阶课)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
1．A、B是某电场中一条电场线上的两点，一正电荷仅在静电力作用下，沿电场线从A点运动到B点，速度—时间图像如图所示。下列关于A、B两点电场强度E的大小和电势φ的高低的
判断正确的是(　　)
A．EA＝EB　 B．EAC．φA<φB　 D．φA>φB
√
C　[由图线斜率看出，电荷在A处的加速度大于在B处的加速度，根据qE＝ma可知EA>EB，故A、B错误；从图线看出，电荷从A到B速度减小，静电力做负功，说明静电力方向从B指向A，而电荷带正电，则电场线方向从B指向A，则φA<φB，故C正确，D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
2．一带负电的粒子只在静电力作用下沿x轴正向运动，其电势能Ep随位移x的变化如图所示，其中0～x2段是抛物线，x1处是顶点，x2～x3段是直线，且与抛物线相切。粒子在0～x3运动过程中，下列判断正确的是(　　)
A．x1处的电势最高
B．0～x1段粒子动能增大
C．x1～x2段粒子加速度增大
D．x2～x3段粒子做匀速直线运动
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
C　[x1处的电势能最大，而粒子带负电，所以此处电势最低，A错误；因为粒子只受到静电力，所以粒子的电势能与动能之和不变，因为0～x1段粒子电势能增大，所以动能减小，B错误；在Ep-x图中，图线斜率的绝对值代表静电力的大小，而x1～x2段斜率绝对值增大，粒子受到的静电力也增大，所以加速度增大，C正确；x2～x3段图线斜率不变，粒子受到的静电力不变，粒子做匀加速直线运动，D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
3．(多选)(2025·山东济南一模)静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系如图所示，x轴正向为电场强度正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，则点电荷(　　)
A．在x2和x4处电势能相等
B．由x1运动到x3的过程中电势能增大
C．由x1运动到x4的过程中静电力先增大后减小
D．由x1运动到x4的过程中静电力先减小后增大
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
BC　[由图像可知，在0～x1之间，电场强度E是正的，是沿x轴正方向的；在x1～x4之间，电场强度E是负的，是沿x轴负方向的，故由x2到x4是逆着电场线的方向，所以x4处的电势要高于x2处的电势，正电荷在x4处的电势能大于在x2处的电势能，A错误；由x1运动到x3的过程中，是逆着电场线方向的，所以电势能增大，B正确；由x1运动到x4的过程中，x3处的电场强度是最大的，故电荷在该点受到的静电力也应该是最大的，故静电力先增大后减小，C正确，D错误。]
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
4．(2024·重庆卷)沿空间某直线建立x轴，该直线上的静电场方向沿x轴，电势φ随位置x变化的图像如图所示，一电荷量的绝对值为e、带负电的试探电荷，经过x2点时动能为1.5 eV，速度沿x轴正方向，若该电荷仅受静电力，则其将(　　)
A．不能通过x3点
B．在x3点两侧往复运动
C．能通过x0点
D．在x1点两侧往复运动
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
B　[带负电的试探电荷在x2处动能为1.5 eV，电势能为－1 eV，总能量为0.5 eV，且试探电荷速度沿x轴正方向，在x2到x3区域试探电荷受到沿x轴正方向的静电力，做加速运动，在x3处速度最大，试探电荷继续运动到x3右侧，做减速运动，当速度为0时，电势能为0.5 eV，即运动到电势为－0.5 V处减速到0，开始向x轴负方向运动，后反向回到x2处动能仍为1.5 eV，继续向左运动，在电势为－0.5 V处减速到0又反向，不会运动到x0、x1处，即试探电荷在x3点两侧往复运动。故选B。]
题号
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
5．如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带电小球，以初速度v从M点竖直向上运动，通过N点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，则小球从M运动到N的过程(　　)
A．动能增加mv2
B．机械能增加2mv2
C．重力势能增加mv2
D．电势能增加2mv2
√
题号
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3
5
2
4
6
8
7
9
10
B　[小球动能的增加量为ΔEk＝m(2v)2－mv2＝mv2，A错误；小球在竖直方向上的分运动为匀减速直线运动，到N时竖直方向的速度为0，则M、N两点之间高度差为h＝，小球重力势能的增加量为ΔEp＝mgh＝mv2，C错误；静电力对小球做正功，则小球的电势能减少，由能量守恒定律可知，小球减小的电势能等于重力势能与动能的增加量之和，则电势能的减少量为ΔEp'＝mv2＋mv2＝2mv2，D错误；由功能关系可知，除重力外的其他力对小球所做的功在数值上等于小球机械能的增加量，即2mv2，B正确。]
题号
1
3
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8
7
9
10
6．在某电场中建立x坐标轴，一个质子沿x轴正方向运动，经过间距相等的A、B、C三点，该质子的电势能Ep随位置坐标x变化的关系如图所示，该质子只受静电力作用。下列说法正确的是(　　)
A．A点电势高于B点电势
B．A点的电场强度大于B点的电场强度
C．质子经过A点的速率小于经过B点的速率
D．C、B两点电势差UCB大于B、A两点电势差UBA
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
D　[质子电势能增大，则静电力做负功，静电力方向与质子运动方向相反，质子带正电，说明电场方向与质子运动方向相反，即电场方向沿x轴负方向，沿电场方向电势降低，则A点电势低于B点电势，A错误；由Ep-x图像斜率的绝对值表示静电力大小可知，FxAEkB，质子经过A点的速率大于经过B点的速率，C错误；根据U＝Ed定性分析，由A至C电场强度逐渐变大，A、B、C三点间距相等，则C、B两点电势差UCB大于B、A两点电势差UBA，D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
7．(多选)(2025·安徽合肥模拟)静电场的电场强度方向与x轴平行，x轴上各点电势φ随坐标x分布情况如图所示。现从x＝－3x0处由静止释放一电子(重力不计)，电子在(－3x0，3x0)间运动时的速度v、电势能Ep、动能Ek及静电力的功率P随坐标x变化的图像正确的是(　　)
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
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10
BC　[电子在(－3x0，－x0)间做匀加速直线运动，在(－x0，x0)间做匀减速直线运动，在(x0，3x0)间做匀加速直线运动，全程加速度大小均相等，但电子速度随位移并非线性变化，A错误；根据Ep＝qφ＝(－e)φ知，B正确；由动能定理得Ek＝qEx，C正确；电子在越过－x0前后静电力方向突变，其功率大小不变，由P＝Fvcos θ，可知其功率正负值突变，D错误。]
题号
1
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5
2
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8．如图所示，一带正电小球甲固定在光滑绝缘斜面上，另一带正电小球乙在斜面上由静止释放。以释放点为原点，沿斜面向下为正方向建立x轴。在乙沿x轴加速下滑过程中，其动能
Ek和机械能E随位置x变化的图像，
可能正确的是(　　)
√
题号
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D　[设两个带电小球间距为r，则F合＝mgsin θ－k，在乙沿x轴加速下滑过程中，两个带电小球的间距r逐渐减小，合外力沿斜面向下逐渐减小，Ek-x图像的斜率表示合外力，则斜率逐渐减小，故A、B不符合题意；E-x图像的斜率绝对值表示库仑力的大小，即|k斜|＝k，在乙沿x轴加速下滑过程中，库仑力逐渐增大，则E-x图像的斜率的绝对值逐渐增大，故C不符合题意，D符合题意。]
题号
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9．(多选)(2025·山西太原一模)如图甲所示，有一绝缘圆环位于竖直平面内，圆环上均匀分布着负电荷。一光滑绝缘细杆沿垂直圆环平面的轴线穿过圆环，细杆上套有一个质量m＝10 g的带负电的小球，小球所带电荷量q＝－1.0×10-4 C。小球从C点由静止释放，沿细杆由C向A点运动的v-t图像如图乙所示。小球运动到B点时，图线切线的斜率最大(图乙中标出了该切线)。下列说法正确的是(　　)
A．在圆环右侧的杆上，B点电场强度最大，电场强度大小为50 V/m
B．由C点到A点的过程中，小球的电
势能先减小后增大
C．由C点到A点电势先升高后降低
D．B、C两点间的电势差为12.5 V
√
√
题号
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AD　[根据对称性知O点电场强度为0，由题图乙可知，小球在B点的加速度最大，故所受的静电力最大，故B点的电场强度最大，a＝＝ m/s2＝0.5 m/s2，|q|E＝ma，联立解得E＝50 V/m，故A正确；从C到A小球的动能一直增大，说明静电力一直做正功，故电势能一直减小，由公式Ep＝φq可知，由于电荷带负电，则电势一直增加，故B、C错误；根据动能定理知qUCB＝m－0，解得UCB＝－12.5 V，故B、C两点间的电势差为12.5 V，故D正确。]
题号
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10．(2025·河北衡水12月联考)如图所示，带电粒子绕着带电荷量为＋Q(Q>0)的场源电荷做轨迹为椭圆的曲线运动，场源电荷固定在椭圆左焦点F上，带电粒子电荷量为－q(q>0，且q Q)；已知椭圆焦距为c，半长轴为a，场源电荷产生的电场中各点电势φ＝(k为静电力常量，r为到场源电荷的距离，取无穷远
处电势为0)。只考虑静电力的作用。求：
(1)带电粒子在A、A'两点的速度之比；
(2)从A运动到A'的过程中，静电力对带电粒子做的功。
题号
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[解析]　(1)类比开普勒第二定律可知vA＝v'A
解得＝。
(2)根据电势计算公式φ＝可得A点的电势φA＝
A'点的电势φ'A＝
根据静电力做功与电势能的关系可知，带电粒子从A点运动到A'点的过程中，静电力对带电粒子做的功W＝－q(φA－φ'A)
解得W＝。
[答案]　(1)　(2)
谢谢！课时作业(四十四)　电场中功能关系及图像问题(思维进阶课)
说明：单选题每小题4分；多选题每小题6分；本试卷共52分。
1．A、B是某电场中一条电场线上的两点，一正电荷仅在静电力作用下，沿电场线从A点运动到B点，速度—时间图像如图所示。下列关于A、B两点电场强度E的大小和电势φ的高低的判断正确的是(　　)
A．EA＝EB　 B．EAC．φA<φB　 D．φA>φB
2．一带负电的粒子只在静电力作用下沿x轴正向运动，其电势能Ep随位移x的变化如图所示，其中0～x2段是抛物线，x1处是顶点，x2～x3段是直线，且与抛物线相切。粒子在0～x3运动过程中，下列判断正确的是(　　)
A．x1处的电势最高
B．0～x1段粒子动能增大
C．x1～x2段粒子加速度增大
D．x2～x3段粒子做匀速直线运动
3．(多选)(2025·山东济南一模)静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系如图所示，x轴正向为电场强度正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，则点电荷(　　)
A．在x2和x4处电势能相等
B．由x1运动到x3的过程中电势能增大
C．由x1运动到x4的过程中静电力先增大后减小
D．由x1运动到x4的过程中静电力先减小后增大
4．(2024·重庆卷)沿空间某直线建立x轴，该直线上的静电场方向沿x轴，电势φ随位置x变化的图像如图所示，一电荷量的绝对值为e、带负电的试探电荷，经过x2点时动能为1.5 eV，速度沿x轴正方向，若该电荷仅受静电力，则其将(　　)
A．不能通过x3点
B．在x3点两侧往复运动
C．能通过x0点
D．在x1点两侧往复运动
5．如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带电小球，以初速度v从M点竖直向上运动，通过N点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，则小球从M运动到N的过程(　　)
A．动能增加mv2　 B．机械能增加2mv2
C．重力势能增加mv2　 D．电势能增加2mv2
6．在某电场中建立x坐标轴，一个质子沿x轴正方向运动，经过间距相等的A、B、C三点，该质子的电势能Ep随位置坐标x变化的关系如图所示，该质子只受静电力作用。下列说法正确的是(　　)
A．A点电势高于B点电势
B．A点的电场强度大于B点的电场强度
C．质子经过A点的速率小于经过B点的速率
D．C、B两点电势差UCB大于B、A两点电势差UBA
7．(多选)(2025·安徽合肥模拟)静电场的电场强度方向与x轴平行，x轴上各点电势φ随坐标x分布情况如图所示。现从x＝－3x0处由静止释放一电子(重力不计)，电子在(－3x0，3x0)间运动时的速度v、电势能Ep、动能Ek及静电力的功率P随坐标x变化的图像正确的是(　　)
　
A　　　　　　　　　　B
　
C　　　　　　　　　　D
8．如图所示，一带正电小球甲固定在光滑绝缘斜面上，另一带正电小球乙在斜面上由静止释放。以释放点为原点，沿斜面向下为正方向建立x轴。在乙沿x轴加速下滑过程中，其动能Ek和机械能E随位置x变化的图像，可能正确的是(　　)
A　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　D
9．(多选)(2025·山西太原一模)如图甲所示，有一绝缘圆环位于竖直平面内，圆环上均匀分布着负电荷。一光滑绝缘细杆沿垂直圆环平面的轴线穿过圆环，细杆上套有一个质量m＝10 g的带负电的小球，小球所带电荷量q＝－1.0×10-4 C。小球从C点由静止释放，沿细杆由C向A点运动的v-t图像如图乙所示。小球运动到B点时，图线切线的斜率最大(图乙中标出了该切线)。下列说法正确的是(　　)
A．在圆环右侧的杆上，B点电场强度最大，电场强度大小为50 V/m
B．由C点到A点的过程中，小球的电势能先减小后增大
C．由C点到A点电势先升高后降低
D．B、C两点间的电势差为12.5 V
10．(10分)(2025·河北衡水12月联考)如图所示，带电粒子绕着带电荷量为＋Q(Q>0)的场源电荷做轨迹为椭圆的曲线运动，场源电荷固定在椭圆左焦点F上，带电粒子电荷量为－q(q>0，且q Q)；已知椭圆焦距为c，半长轴为a，场源电荷产生的电场中各点电势φ＝(k为静电力常量，r为到场源电荷的距离，取无穷远处电势为0)。只考虑静电力的作用。求：
(1)带电粒子在A、A'两点的速度之比；
(2)从A运动到A'的过程中，静电力对带电粒子做的功。
课时作业(四十四)
1．C　[由图线斜率看出，电荷在A处的加速度大于在B处的加速度，根据qE＝ma可知EA>EB，故A、B错误；从图线看出，电荷从A到B速度减小，静电力做负功，说明静电力方向从B指向A，而电荷带正电，则电场线方向从B指向A，则φA<φB，故C正确，D错误。]
2．C　[x1处的电势能最大，而粒子带负电，所以此处电势最低，A错误；因为粒子只受到静电力，所以粒子的电势能与动能之和不变，因为0～x1段粒子电势能增大，所以动能减小，B错误；在Ep-x图中，图线斜率的绝对值代表静电力的大小，而x1～x2段斜率绝对值增大，粒子受到的静电力也增大，所以加速度增大，C正确；x2～x3段图线斜率不变，粒子受到的静电力不变，粒子做匀加速直线运动，D错误。]
3．BC　[由图像可知，在0～x1之间，电场强度E是正的，是沿x轴正方向的；在x1～x4之间，电场强度E是负的，是沿x轴负方向的，故由x2到x4是逆着电场线的方向，所以x4处的电势要高于x2处的电势，正电荷在x4处的电势能大于在x2处的电势能，A错误；由x1运动到x3的过程中，是逆着电场线方向的，所以电势能增大，B正确；由x1运动到x4的过程中，x3处的电场强度是最大的，故电荷在该点受到的静电力也应该是最大的，故静电力先增大后减小，C正确，D错误。]
4．B　[带负电的试探电荷在x2处动能为1.5 eV，电势能为－1 eV，总能量为0.5 eV，且试探电荷速度沿x轴正方向，在x2到x3区域试探电荷受到沿x轴正方向的静电力，做加速运动，在x3处速度最大，试探电荷继续运动到x3右侧，做减速运动，当速度为0时，电势能为0.5 eV，即运动到电势为－0.5 V处减速到0，开始向x轴负方向运动，后反向回到x2处动能仍为1.5 eV，继续向左运动，在电势为－0.5 V处减速到0又反向，不会运动到x0、x1处，即试探电荷在x3点两侧往复运动。故选B。]
5．B　[小球动能的增加量为ΔEk＝m(2v)2－mv2＝mv2，A错误；小球在竖直方向上的分运动为匀减速直线运动，到N时竖直方向的速度为0，则M、N两点之间高度差为h＝，小球重力势能的增加量为ΔEp＝mgh＝mv2，C错误；静电力对小球做正功，则小球的电势能减少，由能量守恒定律可知，小球减小的电势能等于重力势能与动能的增加量之和，则电势能的减少量为ΔEp'＝mv2＋mv2＝2mv2，D错误；由功能关系可知，除重力外的其他力对小球所做的功在数值上等于小球机械能的增加量，即2mv2，B正确。]
6．D　[质子电势能增大，则静电力做负功，静电力方向与质子运动方向相反，质子带正电，说明电场方向与质子运动方向相反，即电场方向沿x轴负方向，沿电场方向电势降低，则A点电势低于B点电势，A错误；由Ep-x图像斜率的绝对值表示静电力大小可知，FxAEkB，质子经过A点的速率大于经过B点的速率，C错误；根据U＝Ed定性分析，由A至C电场强度逐渐变大，A、B、C三点间距相等，则C、B两点电势差UCB大于B、A两点电势差UBA，D正确。]
7．BC　[电子在(－3x0，－x0)间做匀加速直线运动，在(－x0，x0)间做匀减速直线运动，在(x0，3x0)间做匀加速直线运动，全程加速度大小均相等，但电子速度随位移并非线性变化，A错误；根据Ep＝qφ＝(－e)φ知，B正确；由动能定理得Ek＝qEx，C正确；电子在越过－x0前后静电力方向突变，其功率大小不变，由P＝Fvcos θ，可知其功率正负值突变，D错误。]
8．D　[设两个带电小球间距为r，则F合＝mgsin θ－k，在乙沿x轴加速下滑过程中，两个带电小球的间距r逐渐减小，合外力沿斜面向下逐渐减小，Ek-x图像的斜率表示合外力，则斜率逐渐减小，故A、B不符合题意；E-x图像的斜率绝对值表示库仑力的大小，即|k斜|＝k，在乙沿x轴加速下滑过程中，库仑力逐渐增大，则E-x图像的斜率的绝对值逐渐增大，故C不符合题意，D符合题意。]
9．AD　[根据对称性知O点电场强度为0，由题图乙可知，小球在B点的加速度最大，故所受的静电力最大，故B点的电场强度最大，a＝＝ m/s2＝0.5 m/s2，|q|E＝ma，联立解得E＝50 V/m，故A正确；从C到A小球的动能一直增大，说明静电力一直做正功，故电势能一直减小，由公式Ep＝φq可知，由于电荷带负电，则电势一直增加，故B、C错误；根据动能定理知qUCB＝m－0，解得UCB＝－12.5 V，故B、C两点间的电势差为12.5 V，故D正确。]
10．解析：(1)类比开普勒第二定律可知vA＝v'A
解得＝。
(2)根据电势计算公式φ＝可得A点的电势φA＝
A'点的电势φ'A＝
根据静电力做功与电势能的关系可知，带电粒子从A点运动到A'点的过程中，静电力对带电粒子做的功W＝－q(φA－φ'A)
解得W＝。
答案：(1)　(2)
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