资源简介

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2026年中考数学押题预测
押题预测一 代数类计算题 1
押题预测二 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系 9
押题预测三 统计与概率 17
押题预测四 三角形、四边形的判定与性质 31
押题预测五 几何图形中的尺规作图综合 43
押题预测六 反比例函数的图象与性质 60
押题预测七 二次函数的图象与性质综合 78
押题预测八 二次函数中的倍角关系、面积关系 99
押题预测九 二次函数的实际应用 126
押题预测十 解直角三角形及其应用 137
押题预测十一 圆的切线判定与性质应用 155
押题预测十二 与圆有关的计算（弧长、扇形面积、圆锥面积） 168
押题预测十三 几何图形的平移、翻折、对称问题 180
押题预测十四 几何图形中的最值问题 190
押题预测十五 新情境类材料阅读与应用题 201
押题预测一 代数类计算题
试题前瞻·能力先查
限时：10min
【改编题】计算和化简
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据算术平方根、零指数幂、负整数指数幂的运算法则进行计算即可；
（2）根据算术平方根、零指数幂、负整数指数幂的运算法则，结合绝对值性质，进行计算即可；
（3）利用完全平方公式化简括号内的部分，再将除法转化为乘法，进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
考纲分析
从苏州近五年的中考情况来看，数与式侧重整式因式分解、分式化简求值、实数混合运算，常结合数轴、绝对值考查。方程板块必考一元二次方程求解与根的判别式应用，不等式聚焦解集求解、整数解判定。题型选择填空基础必考，解答题多结合实际应用题，考查列式求解与方案取舍，注重计算准确度与分类讨论思维。本考点难度不大，但所占基础分值较大，是学生必须掌握的内容。
终极预测·精练通关
1．（2026·江苏宿迁·一模）计算：．
【答案】6
【详解】解：
．
2．（2026·江苏泰州·一模）按要求完成下列计算：
(1)计算： ；
(2)解方程：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（）利用零指数幂、负整数指数幂、二次根式的性质及特殊角的三角函数值先化简，再进行加减运算即可；
（）根据解分式方程的步骤解答即可求解；
本题考查了实数的混合运算，解分式方程，正确计算是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：方程两边乘以，得，
解得，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
3．（2026·江苏徐州·一模）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)1；
(2)．
【分析】（）利用乘方、零指数幂、负整数指数幂的法则、立方根的性质分别求解，再进行加减运算即可；
（）先算括号内的分式加法，再算分式除法，最后约分即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
4．（25-26九年级下·江苏无锡·期中）化简、解不等式组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
所以原不等式组的解集为．
5．（2026·江苏宿迁·一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【详解】解：
．
当时，原式．
6．（2026·江苏南通·模拟预测）计算与化简求值：
(1)计算：
(2)化简：．
(3)先化简，再求值：，并从中选一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】(1)
(2)
(3)，当时，原式
【分析】（1）先计算算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，再计算加减即可；
（2）先对括号里的式子通分，对括号外的式子进行因式分解，然后把除法变成乘法运算，再化简求解即可；
（3）先根据分式的混合运算法则进行化简，再代入一个使分式有意义的值，计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
原式
；
（3）解：
，
∵当或时，原分式无意义，
∴，
当时，原式．
7．（2026·江苏常州·一模）解方程、解不等式组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)不等式组的解集为
【分析】（1）把方程化为，再进一步解方程即可；
（2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可．
【详解】（1）解：，
，
，即，
，
∴，；
（2）解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为．
8．（2026·江苏南京·模拟预测）解方程（组）
(1)解方程：；
(2)解方程组．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：
方程两边同时乘以得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，
检验：当时，，
∴是原方程的解；
（2）解：
得，
得，解得，
把代入②得，解得，
∴原方程组的解为．
9．（2026·江苏无锡·一模）计算和解不等式组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：，
解不等式得，
解不等式得，
则不等式组的解集为．
10．（2026·江苏南通·一模）计算：
(1)．
(2)已知关于x的方程的两根为，且满足．求的值．
(3)．
【答案】(1)6
(2)2
(3)
【分析】（1）先根据算术平方根，乘方，零次幂计算，再计算加减即可；
（2）先由一元二次方程根与系数的关系得到，，根据，求出，，由方程有两个根得到，即，因此．再将分式进行化简，代入a的值计算即可；
（3）先分别求出各个不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集．
【详解】（1）解：
．
（2）解：∵关于x的方程的两根为，
，
∵，即，
∴，
整理，得，
解得，，
∵关于x的方程的两根为，
∴，
∴，
∴．
∵
．
∴当时，原式．
（3）解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
押题预测二 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系
试题前瞻·能力先查
限时：20min
【改编题】已知：关于的方程．
(1)若方程有两个实数根，求的取值范围；
(2)若两实数根、满足，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的应用；
（1）利用一元二次方程有两个实数根时，判别式，列不等式求解的取值范围
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，用含的代数式表示两根之和与两根之积，结合已知等式列方程求解，再结合第一问中的取值范围舍去不符合题意的解．
【详解】（1）解： 对于方程，
其中，，
∵方程有两个实数根 ，
∴ ，即，
解得；
（2）解： ∵、是方程的两个实数根
∴，
∵
∴
整理得
因式分解得
解得或
又∵由（1）知
∴不符合题意，舍去
∴
考纲分析
从近几年的苏州中考数学卷来看，一元二次方程中的根的判别式、根与系数的关系是常考点，主要考查的是判根公式和两根和与积的关系，在考查学生计算能力的同时，加强学生对基础概念的应用和理解。
终极预测·精练通关
11．（2025·江苏盐城·一模）关于的方程有两个不等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键；
（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；
（2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可．
【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根．
，
解得：；
（2）解：∵，
∴
．
12．（2026·江苏苏州·二模）已知函数．
(1)求证：该函数的图象与轴总有公共点；
(2)当时，该函数图象与轴交于，两点，求线段长度的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，熟知二次函数与方程的关系是解题的关键．
（1）利用根的判别式即可判断；
（2）解方程求得，，则，，，根据即可求得线段长度的取值范围．
【详解】（1）证明：令，则，
△，
该函数的图象与轴总有公共点；
（2）解：由方程，
解得，，
，，
，
，
．
13．（2026·江苏南京·一模） 已知二次函数 （m是常数）．
(1)求证：不论m为何值，该函数图像与x轴总有两个公共点；
(2)求证： 当时，该函数图像与y轴的交点总在x轴的下方．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了二次函数与x轴，与y轴的交点问题，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根的判别式．
（1）令，即可把二次函数化为一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式进行求解即可；
（2）先求出二次函数与y轴的交点坐标为，则当时，，由此即可得到结论．
【详解】（1）解：令，则
∴
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）∵二次函数的解析式为，
∴二次函数与y轴的交点坐标为，
∵当时，，
∴当时，该函数图像与y轴的交点总在x轴的下方．
14．（2025·江苏扬州·二模）已知关于的方程：，其中是常数．
(1)求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若、是此方程的两个根，当时，求代数式的值．
【答案】(1)见解析
(2)2015
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解的定义，正确变形、灵活应用整体思想是解题关键；
（1）证明方程的判别式大于0即可；
（2）当时，原方程为，根据一元二次方程根与系数的关系和方程解的定义可得，然后把所求式子变形后再整体代入求解即可．
【详解】（1）证明：∵
，
∴不论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：当时，原方程为，
∵、是此方程的两个根，
∴，
∴
∴
．
15．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若是该方程的两个实数根，且，求的取值范围．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，也考查了根与系数的关系：．熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据根的判别式即可求出答案．
（2）根据根与系数的关系得，解不等式即可．
【详解】（1），
，
，
，
∴不论取何值，方程总有两个实数根．
（2）∵，且，
，
解得，
∴的取值范围为：．
16．（2026·江苏扬州·二模）已知关于x的一元二次方程
(1)求证：该方程总有两个实数根．
(2)若该方程两个实数根的差为3，求m的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)0或6
【分析】（1）由，可知，，，根据，证明即可；
（2）由，可得，，由该方程两个实数根的差为3，可得，即，，计算求解即可．
【详解】（1）证明：，
，，，
∴，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：∵，
∴，，
∵该方程两个实数根的差为3，
∴，
∵，
∴，
解得或，
∴m的值为0或6．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
17．（2026·安徽淮北·二模）已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)设，是方程的两个实数根，若，求实数的值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，再根据，并结合完全平方公式计算即可得出结果．
【详解】（1）解：方程有两个实数根，
，
即，
解得．
实数的取值范围是．
（2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得：，．
则
，
∵，
∴，即，
∴
或，
，
当时，．
18．（2026·四川南充·一模）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程必有两个不相等的实数根；
(2)已知实数m，n满足，，且，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）求出，根据判别式说明根的情况；
（2）得出m和是方程的两个根，且，根据根与系数关系得出结论．
【详解】（1）证明：由题意可得：，
，
，即．
∴方程必有两个不相等的实数根．
（2）解：由得，
由得，．
m和是方程的两个根，且．
由根与系数的关系得．
．
19．（2026·四川南充·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)若，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用．
（1）问根据方程有两个不相等的实数根，得到判别式，建立关于的不等式求解范围．
（2）问利用完全平方公式变形将转化为，结合根与系数的关系代入，得到关于的一元二次方程，再结合第(1)问得到的范围舍去不符合的解，得到的值．
【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得；
（2）解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得，，
，，
∴，
整理得，
解得，
由（1）得
舍去，
因此．
20．（2025·新疆省直辖县级单位·一模）已知关于的方程．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)若此方程的两个根分别为，，其中，若，求的值．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，整理得，再求出判别式的值，即可作答．
（2）运用根与系数的关系得，，又结合进行列式计算，得出，最后根据得出符合题意，即可作答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
则，
∴此方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵，
∴
∵此方程的两个根分别为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
则，
∴，
∴，
解得，
当时，，，符合，
当时，，，不符合，故舍去
∴．
押题预测三 统计与概率
试题前瞻·能力先查
限时：20min
2026年3月，全国两会在北京顺利召开，意义非凡．为了解学生对两会精神的知晓程度，某校从九年级，两个班中各随机抽查了名学生进行两会知识测试，分别对学生的测试成绩（满分为分）进行收集、整理和分析（测试成绩用表示，都为整数，结果分为四个类型：为不了解；为比较了解；为了解；为非常了解）．
【收集数据】抽取的班学生对于两会精神“了解”的测试成绩为，，，，，；
抽取的班学生的测试成绩为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
【整理数据】，两班的数据整理如下：
【分析数据】，两班的平均数、中位数、众数和方差如表所示；
平均数 中位数 众数 方差
班
班
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：____，_____，请补全条形统计图；
(2)假设这两个班共有学生人，请估计这两班在这次测试中成绩为“了解”的学生人数；
(3)从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，对，两个班成绩进行简要评价．
【答案】(1)，，图见解析
(2)人
(3)见解析
【分析】（1）根据中位数、众数定义求解即可；
（2）根据样本估计总体进行计算即可；
（3）根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行解答即可；
【详解】（1）解：班不了解人数为人，比较了解人数为人，了解共人，故非常了解共人，
将成绩按从小到大排序，可知中位数位于第、之间，
故，
由B班成绩，可得，
补全条形图如下：
（2）解：人，
故成绩为“了解”的学生人数约为人；
（3）解：从平均数看，，两班学生测试成绩的平均水平一样；
从中位数看，班学生测试成绩的中位数低于班学生测试成绩的中位数，说明班的整体水平好一些；
从众数看，班学生测试成绩的众数低于班学生测试成绩的众数，说明班学生测试成绩的高分集中趋势高一些；
从方差看，班学生测试成绩的方差低于班学生测试成绩的方差，说明班学生测试成绩的波动小一些．
为全面落实素质教育，某校积极开展校本课程建设．教务处需要对某天下午的三节校本课程进行安排，已知三节不同的课程分别是本土人物传记、丝绸制作和昆曲学习，每节课只安排一门课程且不重复，根据以上信息回答下列问题．
(1)第一节是昆曲学习课的概率为__________；（请直接写出结果）
(2)请用画树状图的方法，求第二节为丝绸制作课且第三节为本土人物传记课的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由概率公式直接求解即可；
（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵三节不同的课程分别是本土人物传记、丝绸制作和昆曲学习，每节课只安排一门课程且不重复，
∴第一节是昆曲学习课的概率为；
（2）解：设本土人物传记、丝绸制作和昆曲学习分别为A、B、C表示，
则画树状图为：
共6种情况，
其中第二节为丝绸制作课且第三节为本土人物传记课的只有1种情况，
故第二节为丝绸制作课且第三节为本土人物传记课的概率为．
考纲分析
从近五年的苏州中考数学卷来看，统计概率是中考的必考内容；统计里边主要是数据的集中趋势和离散程度，包括平均数、中位线、众数、方差等相关概念，概率则是学会用树状图法或列表法来求概率，虽然考查的难度不大，但要注意计算的准确性和审题的重要性；
终极预测·精练通关
21．（2026·江苏南京·一模）某汽车评测机构对我国市场上五款标称续航里程为520km的新能源汽车A，B，C，D，E进行了续航测试，数据如下表（单位：km）：
A B C D E
夏季续航里程 450 480 420 500 450
冬季续航里程 370 420 350 390 400
(1)这五款汽车夏季续航里程的平均数是_______km，冬季续航里程的中位数是______km；
(2)你认为哪一款车在续航方面表现最好？说明理由．
(3)推测我国新能源汽车用户占比较多的省份主要位于______地区．（填“南方”或“北方”）
【答案】(1)
460，390
(2)B，理由见解析
(3)
南方
【分析】（1）根据平均数、中位数的定义求解即可；
（2）根据夏、冬季续航里程数判断即可；
（3）根据各款汽车的夏季续航里程数均大于冬季续航里程数判断即可.
【详解】（1）解：这五款汽车夏季续航里程的平均数是，
冬季续航里程数从小到大排序为：350，370，390，400，420，
则中位数是；
（2）解：B款车续航方面最好，
理由：B款汽车夏季续航里程数在五款汽车中居第二位，冬季续航里程数在五款汽车中居第一位，
故B款车续航方面最好（答案不唯一，理由合理即可）；
（3）解：由表格数据可知，各款汽车的冬季续航里程均明显低于夏季续航里程，这说明低温环境对新能源汽车的续航能力影响较大。因为我国北方地区冬季寒冷，南方地区相对温暖，可以推测新能源汽车在南方地区的使用体验更好，因此用户占比较多的省份主要位于南方地区.
22．（2026·江苏泰州·一模）如图所示的电路图中有，，，四个开关，保持打开状态．
(1)“当随机闭合，，，中一个开关时，灯泡发光”是_____事件；（填“随机”、“必然”或“不可能”）
(2)用列表或画树状图的方法，求事件“随机闭合，，，中的两个开关时，灯泡发光”的概率．
【答案】(1)不可能
(2)
【分析】（1）只有同时闭合与；或与；或与，灯泡才会发光，据此解答即可；
（2）先画出树状图，则可得随机闭合两个开关的所有等可能的结果，再找出灯泡发光的结果，利用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：∵只有同时闭合与；或与；或与，灯泡才会发光，
∴当随机闭合，，，中一个开关时，灯泡不会发光，
∴“当随机闭合，，，中一个开关时，灯泡发光”是不可能事件．
（2）解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，随机闭合两个开关，共有12种等可能的结果，其中，灯泡发光的结果有6种，
则事件“随机闭合，，，中的两个开关时，灯泡发光”的概率为，
答：事件“随机闭合，，，中的两个开关时，灯泡发光”的概率为．
23．（2026·江苏泰州·一模）随着人工智能技术的飞速发展，其在科技、经济、社会等领域的应用日益广泛，已成为推动时代变革的核心驱动力之一．某中学为评估本校学生对人工智能基础知识的掌握程度，从八、九年级中各随机抽取10名学生进行“人工智能素养”测试，满分100分．对抽取的学生成绩进行整理、描述和分析，数据如下：
八年级10名学生的比赛成绩：85 86 88 89 90 92 95 95 98 100
九年级10名学生的比赛成绩：80 85 86 88 92 94 95 98 100 100
八九年级抽取的学生比赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
八年级 91.8 95
九年级 91.8 93
根据以上信息，解答下列问题．
(1)_____，_____．
(2)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生对人工智能的知识掌握得更好 请说明理由．
【答案】(1)91；100
(2)九年级，见解析
【分析】（1）中位数，众数的意义和计算方法进行求解即可；
（2）从中位数，众数和平均数的角度说明即可．
【详解】（1）解：八年级的比赛成绩最中间的两个数据为：90和92，故中位数，
九年级的比赛成绩出现最多的是100分，出现2次，故．
（2）解：九年级学生对“人工智能”的知识掌握得更好，理由如下：
两个年级成绩的平均数相等，而九年级的中位数和众数均高于八年级的中位数和众数，
所以，九年级学生对“人工智能”的知识掌握得更好些．
24．（2026·江苏无锡·二模）某班举行诗词朗诵大赛，每位参赛人员需要在：A．《将进酒》、B．《夜雨寄北》、C．《念奴娇·赤壁怀古》这三首古诗词中随机选择一首进行朗诵（A、B为唐诗，C为宋词）．该班的小明和小雪参加了此次大赛．
(1)小明选择C．《念奴娇·赤壁怀古》的概率是________；
(2)请用列表或画树状图的方法，求两人之间只有一人选择唐诗的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用概率公式，直接计算随机事件的概率即可；
（2）用画树状图列举出所有等可能的结果，数出符合“只有一人选择唐诗”的结果数，再利用概率公式计算即可；
【详解】（1）解：根据题意，共有3种等可能的选择结果，其中小明选择C．《念奴娇·赤壁怀古》的结果有1种，
因此小明选择C．《念奴娇·赤壁怀古》的概率是；
（2）解：根据题意画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两人之间只有一人选择唐诗的结果有4种，
因此两人之间只有一人选择唐诗的概率为．
25．（2026·江苏扬州·一模）中学生心理健康受到社会的广泛关注，为深入落实“健康第一”教育理念，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．
根据图中信息回答下列问题：
(1)接受问卷调查的学生共有________人，条形统计图中m的值________，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为________．
(2)若该校共有学生1000人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为________人．
(3)若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男生的概率．
【答案】(1)80，16，
(2)50
(3)恰好抽到2名男生的概率为．
【分析】（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数减去其他项的人数，求出“了解很少”的人数；用乘以扇形统计图中“非常了解”部分所占的百分比即可；
（2）用总人数1000乘以“不了解”的人数所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到2名男生的结果数，然后利用概率公式求解．
【详解】（1）解：接受问卷调查的学生共有（人），
（人），
扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为；
故答案为：80，16，；
（2）解：根据题意得：
（人），
答：估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为50人；
（3）解：由题意列树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到2名男生的结果有2种，
∴恰好抽到2名男生的概率为．
26．（2026·江苏无锡·一模）马年春节联欢晚会堪称一场“科技春晚”，多家国产企业的机器人集体亮相，展示了从“能演”到“能干”的进化．某校开展了一次“机器人知识”竞赛，满分100分．为了解本次竞赛的情况，从该校随机抽取部分学生的成绩作为样本，目前正在对收集到的数据进行整理，并绘制相应的统计图（尚未完成）．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查的样本容量为__________，并将条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据）
(2)该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩不低于80分的学生人数；
(3)根据上述统计分析情况，请对本次竞赛情况写出一条合理的评价．
【答案】(1)100，图见解析
(2)880
(3)本次竞赛多数学生成绩不低于80分，说明该校学生整体对机器人知识掌握较好，校内机器人知识的普及效果不错．
【分析】（1）用80分人数除以其所占比即可求出样本容量，再求出100分的人数补全条形统计图；
（2）用成绩不低于80分学生人数的百分比乘以1000即可；
（3）根据扇形图可得不低于80分的学生人数多．
【详解】（1）解：样本容量为 ；
100分的人数为：，
补全条形统计图如下：
（2）样本中成绩不低于80分的人数和为：，占比，
因此估计1000名学生中，成绩不低于80分的人数为：（人）．
答：该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩不低于80分的学生人数约为人．
（3）答：本次竞赛多数学生成绩不低于80分，说明该校学生整体对机器人知识掌握较好，校内机器人知识的普及效果不错．
27．（2026·江苏宿迁·二模）美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．某县城区近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）．
(1)根据图中所提供的信息，填空：2026年比2026年增加了__________公顷，在2026年，2026年，2025年这三年中，绿地面积增加最多的是__________年；
(2)为满足城市发展的需要，计划到2027年使绿地总面积达到公顷，试求这两年（）绿地面积的年平均增长率；
(3)根据发展计划，在图中画出年绿地变化折线图．
【答案】(1)3；2026
(2)
(3)见解析
【分析】（1）用2026年的绿地面积减去2026年的绿地面积可得第一空的答案；求出2026年和2025年这两年的绿地面积的增加量，比较即可得到第二空的答案；
（2）设这两年（）绿地面积的年平均增长率为x，再根据2025年和2027年这两年的绿地面积建立方程求解即可；
（3）根据（2）所求求出2026年的绿地面积，再画图即可．
【详解】（1）解：公顷，
∴2026年比2026年增加了3公顷；
∵公顷，公顷，且，
∴在2026年，2026年，2025年这三年中，绿地面积增加最多的是2026年；
（2）解：设这两年（）绿地面积的年平均增长率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：这两年（）绿地面积的年平均增长率为；
（3）解：公顷，
画图如下：
28．（2026·江苏南京·模拟预测）阅读涵养心灵．某区2025年9月就“初中生每天阅读时间”对七年级8000名学生进行了抽样调查（设每天阅读时间为，调查问卷设置了四个时间选项：A．；B．；C．；D．），并根据调查结果制作了如图（1）所示的条形统计图．2025年9月该区出台系列激励措施，力推学生阅读习惯养成．为了检测这些措施的效果，2025年12月该地区又对七年级学生进行了一次抽样调查，并根据调查结果制作了如图（2）所示的扇形统计图．
请根据提供的信息，解答下列问题．
(1)2025年9月份抽样调查的样本容量为______，该地区七年级学生“每天阅读时间不少于小时”的人数约为______人；
(2)关于这两次调查，下列说法正确的是（ ）
A．9月份阅读时间的众数是320人
B．12月份阅读时间的中位数落在C组
C．9月份和12月份阅读时间的平均数相同
D．12月份调查中阅读时间在B组的人数一定少于80人
(3)估算该地区2025年12月份“每天阅读时间不少于1小时”的七年级学生人数相对于9月份的增长率．（精确到）
【答案】(1)，
(2)B
(3)
【分析】（1）把条形统计图各组人数相加可得样本容量；用该地区七年级学生总人数乘以样本中“每天阅读时间不少于小时”的人数所占比例即可得出该地区七年级学生“每天阅读时间不少于小时”的人数；
（2）根据众数、中位数、平均数的定义逐项分析即可得出结果；
（3）先分别求出12月份和月份“每天阅读时间不少于1小时”的占比即可解答．
【详解】（1）解：2025年9月份抽样调查的样本容量为；
该地区七年级学生“每天阅读时间不少于小时”的人数约为（人）；
（2）解：A、众数是指出现次数最多的数据值，即时间段，不是人数，故A选项错误；
B、∵，，∴12月份阅读时间的中位数落在C组，故B选项正确；
C、月是具体人数，可以计算平均数，但月是百分比，无具体时间中点值，且未提供每组的时间中点，无法计算确切平均数，故C选项错误；
D、月调查样本容量未知，故无法确定12月份调查中阅读时间在B组的人数，故D选项错误；
（3）解：12月份“每天阅读时间不少于1小时”的占比为，
9月份“每天阅读时间不少于1小时”的占比为，
故该地区2025年12月份“每天阅读时间不少于1小时”的七年级学生人数相对于9月份的增长率为．
29．（2026·江苏无锡·一模）近年来，教育部多次强调将“健康第一”的理念落在实处，聚焦体育锻炼、心理健康、近视防控等领域．为了解九年级学生近视率，某校在九年级随机抽取了部分学生进行了视力调查，并将调查所得数据整理、绘制成两张如图所示的不完整的统计表和统计图，根据信息回答下列问题：
九年级部分学生视力频数分布表
分组 视力 频数
A
B
C
D
E
(1)本次调查的样本容量是______，B组视力在扇形统计图中对应的圆心角为______；
(2)此次抽样调查中，视力的中位数落在______组；
(3)自月日起实施的《儿童青少年裸眼视力和屈光状态评价规范》规定：裸眼视力大于为视力正常．已知该校九年级共有名学生，请根据样本情况估计全校九年级学生中视力正常的人数．
【答案】(1)；
(2)
(3)人
【分析】（1）利用组频数及所占百分比求样本容量；用频数除以样本容量再乘以即可求解；
（2）按照中位数的求法求解即可；
（3）利用样本估计总体即可.
【详解】（1）解：∵；，
∴样本容量是；组视力在扇形统计图中对应的圆心角为；
（2）解：∵，
由表格可知，数据由小到大频数分别是，第个数在组，
∴视力的中位数落在组；
（3）解：∵，
∴，
∴估计全校九年级学生中视力正常的人数为人.
30．（2026·江苏南京·模拟预测）快递业促进了社会发展，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．某平台经过了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此市场部收集了10个客户对两家公司的配送速度及服务质量的评分结果，进行整理、描述、分析，信息如下：
信息一：配送速度得分（满分10分）：
甲 6 6 5 9 8 7 9 9 10 7
乙 8 8 6 7 6 10 7 8 10 8
信息二：服务质量得分统计图（满分10分）：
信息三：配送速度和服务质量得分统计表
项目 配送速度得分 服务质量得分
统计量快递公司 平均数 中位数 众数 平均数 方差
甲 b 7
乙 a 8 7
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中的______， ______．
(2)综合上表中的统计量，你认为平台应选择哪家公司合作？请说明理由．
(3)为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息？（列出一条即可）
【答案】(1)8，9
(2)平台应选择甲公司，理由见解析
(3)还应收集甲、乙两家公司的收费情况（答案不唯一，言之有理即可）．
【分析】（1）根据中位数与众数的定义求解即可；
（2）根据方差的意义进行判断即可；
（3）根据题意求解即可（言之有理即可）．
【详解】（1）解：乙公司配送速度得分从小到大排列为： 6，6，7， 7，8，8，8，8，10，10
一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为8，8，
所以中位数，
甲公司配送速度得分9出现的次数最多，所以众数．
（2）解：平台应选择甲公司，理由如下：
从折线统计图中可以看出，甲的服务质量得分分布于，乙的服务质量得分分布于，从中可以看出甲的数据波动更小，数据更稳定，即；
又服务质量得分的平均分相同，平台应选择甲公司；
（3）解：还应收集甲、乙两家公司的收费情况（答案不唯一，言之有理即可）．
押题预测四 三角形、四边形的判定与性质
试题前瞻·能力先查
限时：20min
【改编题】如图，正方形中，，
(1)求证：①；②；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)①证明过程见解析；②证明过程见解析
(2)
【分析】（1）①由、、可证得；
②利用全等的性质证，利用直角三角形两个锐角互余证明，即可解决问题；
（2）利用全等的性质证，然后证，得，据此可得答案．
【详解】（1）证明：①四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
；
②，
，
，
，
，
；
（2），，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
考纲分析
结合苏州近几年的中考数学卷，一般在解答题的第四小题会考查三角形、四边形的判定与性质，常见的有全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等等，这里考查的难度并不大，但是要注意证明格式的书写问题，千万不能跳过关键步骤。
终极预测·精练通关
31．（2026·江苏泰州·一模）如图，中，是边上的点，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形的判定以及三角形的外角性质证明即可；
（2）过点作于点，由三线合一得到，然后对运用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵
∴，
∵
∴
∵
∴
∴；
（2）解：过点作于点，
∵
∴
∵，
∴，
∴，
∴
32．（2026·江苏常州·一模）如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、；
(1)求证：．
(2)若点、分别为线段、的中点，连接、，则______．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明，利用“边角边”即可证明；
（2）证明，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即，
在和中，
∵，，，
∴；
（2）解：如图，
∵，
∴，，
∵点、分别为线段、的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
33．（2026·江苏盐城·一模）如图，在中，．
(1)尺规作图：在上作一点P，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点P，则点P即为所求；由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角得到，由三角形外角的性质可得；
（2）设，则，由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由（1）可得，
设，则，
在中，由勾股定理得，且，
∴，
解得，
∴．
34．（2026·江苏无锡·一模）如图，在中，对角线相交于点O，于点E，于点F，且．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证明即可证明结论；
（2）根据平行四边形的性质结合（1）中结论即可证明．
【详解】（1）证明：∵，，
，
，，
，
；
（2）证明：由（1）知，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
∴四边形是矩形．
35．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，等腰直角三角形中，，，点D在线段上，将线段绕点A逆时针旋转90度得线段，连接．
(1)求证：
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出，线段绕点A逆时针旋转得到，根据旋转的性质得到，，得到，，得到；
（2）由勾股定理求出，过点作于点，则，求出，根据可求解．
【详解】（1）证明：∵在等腰直角三角形中，，，
∴，
由题意得：绕点A逆时针旋转90度得线段，则：，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
在等腰直角三角形中，，
过点作于点，则，
又，
∴，
∴，
∴，
∴．
36．（2026·江苏扬州·一模）如图，在矩形中，过对角线的中点O作，分别交、于点E、F．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】（1）先证四边形为平行四边形，然后根据平行四边形对角线垂直证得菱形；
（2）设，则，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解．
【详解】（1）证明：如图，

∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵O为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：设，
∵四边形是菱形，，，
∴，，
在中，
由勾股定理得，，
∴，
解得，
∴．
37．（2026·江苏扬州·一模）如图，在菱形中，点E、F分别在边上，且．连接，延长交的延长线于点G．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据菱形的性质，结合证明即可；
（2）先证明，进而即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵
∴；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴
∵，
∴，
∴
∴
∴．
38．（2026·江苏盐城·一模）如图，在中，，点是边的延长线上的一点．连接，过点作于点，交于点G，且．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)当点F是的中点，且时，求四边形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得平行四边形为菱形，再根据，，可以证明，从而得出，由此即可得出结论；
（2）连接、，根据于点，点为的中点得为线段的垂直平分线，则，再根据正方形对角线相等和菱形面积等于对角线乘积的一半求解即可．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，
平行四边形为菱形，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
菱形为正方形．
（2）解：连接、，如图所示：
于点，点为的中点，
为线段的垂直平分线，
，
四边形为正方形，
∴，
正方形的面积．
39．（2026·江苏常州·模拟预测）如图①，是矩形的边上的一点，于点，，，．
(1)证明，并计算点到直线的距离(结果保留根号)．
(2)在图①的基础上，延长线段交边于点，如图②，则的长为　　　．
【答案】(1)证明见解析，点到直线的距离为
(2)
【分析】（1）由四边形是矩形，得到，，，根据勾股定理得到，通过，得到，列方程即可得到结果；
（2）证明，得到，求出，由即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴点到直线的距离；
（2）∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
40．（2026·江苏苏州·一模）如图，菱形中，为对角线，是边延长线上一点，连接．
(1)在线段上求作点，使得（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的作图条件下，当时，求线段的长度．
【答案】(1)图见解析
(2)
【分析】（1）作，根据即可得到；
（2）过点作于点．先证明是等边三角形，得到，，再根据勾股定理求出，即可求出与的长，接着证明，得到，代入计算即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：过点作于点．
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
押题预测五 几何图形中的尺规作图综合
试题前瞻·能力先查
限时：30min
按要求完成下列问题．
(1)如图①，在中，，，垂足为．求证：．
(2)已知点在线段上．在图②中，用直尺和圆规作出一个，使得且是锐角．（保留作图痕迹，简述作图步骤）
(3)如图③，在中，，点在边上，，连接．若线段上存在点（包含端点），使得，则的取值范围是________．
【答案】(1)证明见解析
(2)图见解析
(3)
【分析】（1）利用两角对应相等证明两个直角三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例进行推导证明；
（2）以为直径作，若，则，可得，则点的运动轨迹为以为圆心，长为半径的圆，由为锐角，可知点在外部，据此作图即可；
（3）先通过两角对应相等证明三角形相似，推导出点的轨迹，再根据点的运动轨迹和在线段上的条件，找到临界位置计算出的最小值，从而确定其取值范围．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，即．
（2）解：如图为．
作的垂直平分线，交于点，以长为半径作；
过点作的垂线，交于点；
以点为圆心，长为半径作弧，在外部的弧上取一点为，连接，，即为所求．
（3）解：如图，作的外接圆，以点为圆心，长为半径作圆，两圆交点为，连接，，
，，
，
，
，
，为定值，则也为定值，
点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的圆，
，且点在上，
点的运动轨迹为，
当点与点重合时，取得最小值，此时，
，
设，，则，
，
，，
在中，，
，
，
故的取值范围为．
考纲分析
从近几年的苏州中考数学卷来看，几何图形中的尺规作图问题也是常考的题型之一，主要掌握尺规作图的几种方法，尤其是角平分线、垂直平分线、作垂线等等的做法，有时候此类题型还会和几何图形中的性质结合考查，计算线段的长度等等；一般考查难度不大，建议重点熟悉尺规作图的方法技巧；
终极预测·精练通关
41．（2026·江苏无锡·一模）学校劳动基地有一块形状为平行四边形的菜地（如图所示），为便于灌溉，需要沿线段修建一条水渠（为边上一点），将菜地分成面积为的两部分（水渠面积忽略不计）．
(1)尺规作图：在图中画出线段；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，，求水渠的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）作边的垂直平分线交于点E，即可；
（2）过点A作于点F，在中，，，由作法得：点E为的中点，可得，从而得到，再由勾股定理解答即可．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求；
理由：如图，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
由作法得：点E为的中点，
∴，
∴；
（2）解：过点A作于点F，
在中，，，
∴，，
由作法得：点E为的中点，
∵，
∴，
∴，
∴．
42．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知中，，．
(1)尺规作图：在和边上分别确定点D、E，使得，；（不写作法，保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，若的周长为16，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先以点为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，由等边对等角可得；再作线段的垂直平分线交于点，连接，由垂直平分线的性质可得，由等边对等角可得；
（2）由作图知，利用的周长为16，可得即可求解．
【详解】（1）解：如图所示为所求：
（2）解：由作图知，
∵的周长为16，
∴，
∵，
∴．
43．（2026·江苏无锡·一模）已知：在中，，．

(1)尺规作图：在内部求作一点，使得点到边、的距离相等，且（不写作法，但要保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，若，，则点与点之间的距离为_____．（若要借用图形计算，请用备用图）
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）点到边、的距离相等，由角平分线的判定定理可得点P在的角平分线上，先作的角平分线，再过点作的垂线，两线的交点即为点；
（2）延长交于点，过点作的垂线，垂足为，则，，利用勾股定理得出，再结合等面积法求出，则，证明，得，设，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：如图，点即为所求作；

（2）解：如图，延长交于点，过点作的垂线，垂足为，
，
，
平分，
，
，，，
，
，
，
,
在和中，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
即，
点与点之间的距离为．
44．（2026·江苏宿迁·一模）如图，已知矩形，，．
(1)点E在矩形内部，为等边三角形，请在图1中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点E；
(2)点P为线段上一点，若，请在图2中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点P；
(3)若符合（2）中要求的点P必定存在，则m的取值范围是______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）分别以点A，B为圆心，为半径画弧，两弧的交点即为点E；
（2）作等边三角形，，交于O，以O为圆心，为半径画圆，交于，点即为所求；
（3）找出两个临界位置，①当点分别与点重合时，此时点重合；②当点重合时，此时与相切，根据矩形的性质，然后解直角三角形进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，为等边三角形，点E即为所求；
（2）解：如图所示，点即为所求；
理由如下：在等边三角形，，矩形中，有
，
∴，
∴．
（3）解：①当点分别与点重合时，此时点重合，如图：
∵四边形是矩形，
∴，
由（2）知，
∴；
②当点重合时，此时与相切，连接并延长交于点，
∴，
∵矩形中，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴符合（2）中要求的点P必定存在，则m的取值范围是．
45．（2026·江苏扬州·一模）如图，在直角三角形中，．
(1)先作的平分线；设它交边于点，再以点为圆心，为半径作（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：与相切；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据要求作图即可；
（2）过作垂直于，根据角平分线的性质定理得到，即可证明．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）解：过作垂直于，
平分，，，
，
是的半径，
是的切线．
46．（2026·江苏无锡·模拟预测）如图，点P是的边上的一定点，
(1)请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．在图 1中作一个，使它满足以下条件：
①圆心O在上；②经过点P；③与边相切，切点为F；
(2)在（1）的条件下，若，，则所作的的劣弧与、所围成图形的周长_______．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】（1）过点作的垂线，交于点，在上取，作的角平分线，交于点，以为圆心，长为半径即可作，由作法可得，则，，满足条件；
（2）连接，由（1）可得是等腰直角三角形，得到，，设，利用勾股定理得出，进而求出，再利用弧长公式求出，即可求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求作；
（2）解：如图，连接，
由（1）可知，，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
设，则，
在中，，
，
，
，
，，
所作的的劣弧与、所围成图形的周长．
【点睛】本题考查了复杂作图——作垂线和角平分线，全等三角形的判定和性质，圆的切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式等知识，根据题意正确作图是解题关键．
47．（2025·江苏徐州·三模）如图，在三角形纸片中，，．
(1)将纸片折叠，使点A的对应点D落在边上，折痕为，点M、N分别在和上，且．请你使用无刻度的直尺和圆规，作出折痕（不写做法，保留作图痕迹）．
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，折叠的性质，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，等边对等角等等，熟知相关知识是解题的关键．
（1）作的角平分线交于D，作线段的垂直平分线分别交于M、N，则即为所求；
（2）设与交于点O．由平行线的性质得到，，；由折叠的性质得到，，证明，得到．过点M作于点E．解，得到，再解，得到，则．
【详解】（1）解：如图所示，作的角平分线交于D，作线段的垂直平分线分别交于M、N，则即为所求；
由平行线的性质可得，
由折叠的性质可得，垂直平分，
∴，
∴，即平分；
（2）解：设与交于点O．
，
，，；
为折痕，
垂直平分，
，，
，
．
过点M作于点E．
在中，，
在中，，
．
48．（2025·江苏无锡·二模）如图，已知．
(1)在图1中用无刻度的直尺和圆规在上找一点使得，再作出的内切圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）条件下，若，，则的半径为__________．
【答案】(1)作图见详解
(2)
【分析】（1）运用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线交于点，交于点，作的角平分线与线段交于点，以点为圆心，以为半径画圆即可；
（2）根据题意得到，如图所示，过点作，设圆的半径为，即，在中，，由此列式求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
根据角平分线的性质定理得到角平分线上的点到角两边的距离相等，结合内切圆的特点得到即为所求点位置；
（2）解：∵，是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点作，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
设圆的半径为，即，
在中，，即，
解得，，
∴的半径为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查用无刻度的直尺和圆规作垂直，角平分线，圆心的确定，角平分线的性质定理，勾股定理等知识的综合，掌握以上知识是关键．
49．（2025·江苏镇江·二模）如图，在中，，点D为边上一点．
(1)尺规作图：在边上作一点O，使得（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，以点O为圆心，为半径的圆与交于点E，若．
①求证：与相切；
②若的半径为3，，则 ．
【答案】(1)作图见解析；
(2)证明见解析；
【分析】（）连接，作线段的垂直平分线交与点，连接即可；
（）连接，，，由，，得，由，得，再根据，得，故有，再根据性质即可求解；
由得，则，根据，求出，得出，解直角三角形求出，过点O作于点F，根据垂径定理得出，证明，得出,求出，得出即可．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求，
根据垂直平分线的性质可知：，
∴，
∵，
∴；
（2）证明: 如图，连接，，，
∵，，
∴，
∴，即为半径，
∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为半径，
∴与相切；
由得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点O作于点F，如图所示：
则，，
∴，
∴，
∴，
∴,
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，切线的判定和解直角三角形，垂径定理，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
50．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，以为直径的交的斜边于点D，连接．点E在上，．
(1)求作满足条件的点要求尺规作图，保留作图痕迹）
(2)延长交的延长线于点，下列说法：①是的切线；②；③垂直平分；④是等边三角形．正确的序号是________；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)画图见解析
(2)①②③
(3)
【分析】（1）作线段的垂直平分线垂足为，连接，利用直角三角形斜边的中线性质可得点E即为所求；
（2）①正确，利用全等三角形的性质证明即可；②正确，利用三角形中位线定理证明；③正确，根据线段的垂直平分线的判定判断即可；④错误，根据等边三角形的定义判断即可；
（3）过点作于点．首先证明，求出，，，再利用相似三角形的性质求解．
【详解】（1）解：如图，点即为所求；
；
由作图可得：，
而为的直径，
∴，
∴．
（2）在和中，
，
∴，
∴，
∴是的切线，故①正确；
由作图可知，，
∴，故②正确；
∵，，
∴垂直平分线段，故③正确；
∵不一定是，
∴无法判断是等边三角形，故④错误．
故答案为：①②③；
（3）解：过点作于点．
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴．
【点睛】本题考查作垂线，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线性质、解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
押题预测六 反比例函数的图象与性质
试题前瞻·能力先查
限时：30min
如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于两点，其中点的坐标为．
(1)求的值；
(2)当时，自变量的取值范围为__________；
(3)将直线向上平移后，与反比例函数图象交于，两点，与两坐标轴分别相交于，两点．若，求直线的函数表达式．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了反比例函数的图象和性质，函数和不等式的关系，函数和三角形面积计算相结合等知识点．
（1）把点的横坐标代入正比例函数的表达式得到的值，进而将点的坐标代入反比例函数，得到的值．
（2）根据函数图象以及点的坐标，通过比较对应函数值的大小，即可得到对应的取值范围．
（3）连接，，根据点关于原点对称，得到，进而得到，通过计算面积的面积得到的值，进而得到直线的表达式．
【详解】（1）解：把代入得，，
，
点在反比例函数的图象上，
；
（2）解：由（1）可知，反比例函数表达式为，
正比例函数与反比例函数的交于点，点，
点关于原点对称，
点，
根据函数图象可知，当反比例函数在正比例函数的上方时，，
当时，的取值范围为：或；
（3）解：如图，连接，，
由（2）可知，点，点关于原点对称，
，
，
，
，即，
，
，
直线是由直线向上平移个单位得到的，
直线的表达式为．
考纲分析
从近几年的苏州中考数学卷来看，反比例函数的图象与性质是苏州中考数学的必考内容之一，一般会在解答题的23、24题中出现，难度中等，主要考查反比例函数的图象与性质、反比例函数的k值意义和反比例函数与三角形、四边形的综合；
终极预测·精练通关
51．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过点和点B，点B在点A的下方，平分，交x轴于点C．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(3)线段与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连接．求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）直接把点A的坐标代入求出k即可；
（2）利用尺规作出线段的垂直平分线m即可；
（3）证明，可得结论．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为y；
（2）解：如图，直线m即为所求．
；
（3）证明：∵平分，
∴，
∵直线m垂直平分线段，
∴，
∴，
∴，
∴．
52．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)分别求一次函数及反比例函数的表达式；
(2)在第三象限内的B点右侧的反比例函数图象上取一点P，连接，，且满足，求点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）把代入求出，即可求出反比例函数的表达式，把代入求出，把，代入即可求出一次函数的表达式；
（2）过点P作轴，交于点H，设，则，根据三角形面积公式列方程计算即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
解得：，
∴反比例函数的表达式为，
把代入得：，
，
把，代入，得，解得：，
一次函数的表达式为；
（2）解：如图，过点P作轴，交于点H，
设，则，
，
，
，即，
解得：（舍去），
点P的坐标为．
53．（2026·江苏扬州·一模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4．
(1)分别求出a和b的值；
(2)结合图象直接写出的取值范围；
(3)在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)点P的坐标为
【分析】（1）利用反比例函数的几何意义可以求出反比例函数解析式，再将和点的坐标代入即可求出的值；
（2）利用函数图像即可求出不等式的解集；
（3）作点A关于y轴的对称点，连接并延长，交轴于点P，连接，因为点关于轴的对称点，又，则直线与轴的交点即为所求的点，求出直线的关系式，再求其与x轴的交点坐标即可．
【详解】（1）解：∵的面积为4，
∴，
解得，或（不符合题意舍去），
∴反比例函数的关系式为，
把点和点代入得，
，．
（2）解：根据一次函数与反比例函数的图象可知，
不等式的解集为：
或；
（3）解：作点A关于y轴的对称点，连接并延长，交轴于点P，连接，如图所示：
根据轴对称可得：，
∴，
∴此时最大，
点关于轴的对称点，
设直线的关系式为，代入和得，
，
解得，
∴直线的关系式为，
令，，
∴直线与轴的交点坐标为，
即点P的坐标为．
54．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（）的图象交于、两点，点的横坐标为．
(1)求的值及点的坐标．
(2)点是线段上一点，点在直线上运动，当，求的最小值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式，即可得到的值；把一次函数与反比例函数的解析式联立，解方程组即可求出点的坐标；
（2）过点作，根据垂线段最短，可知当时，的值最小，根据，可知，根据点、的坐标可以求出、、的长度，根据等腰三角形的三线合一定理可知，根据三角形的面积公式可得：，解方程即可求出的值．
【详解】（1）解：当时，可得：，
点的坐标为，
把点的坐标代入，
可得：，
解得：，
反比例函数的解析式为，
解方程组，
整理可得：，
可得：，，
当时，可得：，
当时，可得：，
点的坐标为，
（2）解：如下图所示，过点作，根据垂线段最短，可知当时，的值最小，
，
，
，
点的坐标 为，点的坐标为，
，，，
，
，
，
，
，
．
55．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点，与反比例函数的图象交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)点是反比例函数图象在第一象限分支上的一点（不与点重合），过点作轴，交射线于，若，求点的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
(2)点的坐标为．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题，平行线分线段成比例定理，待定系数法求函数解析式等知识．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）作轴于点，交于点，利用平行线分线段成比例定理求得，求得点的纵坐标为4，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为，
∵点在直线上，
∴，解得，
∴点，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：作轴于点，交于点，
∵点，
∴，
∵轴，
∴，
∴，即，
∴，，
∴点的纵坐标为4，
∴，解得，
∴点的坐标为．
56．（2025·江苏连云港·二模）如图，已知点在直线上，双曲线经过点A．
(1)求双曲线的函数表达式；
(2)点分别在直线和双曲线上，当时，直接写出b的取值范围；
(3)点B在线段上（不与A点重合），将点A绕着点B顺时针旋转得到点C，当点C恰好落在双曲线上时，求点C的坐标．
【答案】(1)
(2)或；
(3)
【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数图象确定函数值的取值范围，全等三角形的判定和性质，交点坐标满足两个函数关系式是关键．
（1）把代入可得，即；把代入求得k的值即可解答；
（2）先求出两函数图象交点的纵坐标，然后根据函数图象即可解答；
（3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，，可得，则设点，，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出值，继而得到点坐标．
【详解】（1）解：把代入，得，解得，
把代入得，
双曲线的函数表达式为；
（2）直线与双曲线交于点，
∴ 另一个交点为，
∵ 点分别在直线和双曲线上，
观察图象，
当时，或；
（3）解：如图 ，过点作轴，过点作于点，过点作于点，
，
∵ 点绕点顺时针旋转，
，
，
，
，
设点，
∴ 点，
∵ 点在反比例函数图象上，
，
解得（舍去），
，
∴ 点．
57．（2025·江苏镇江·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，将点B先向左平移4个单位，再向上平移个单位得到点A，点A恰好落在反比例函数的图象上，过A，B两点的直线与x轴交于点C．
(1)求k，m的值及点C的坐标；
(2)在x轴上有一点，连接、，求的面积．
【答案】(1)， ，
(2)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合．
（1）把点代入求出，由题意可知点A横坐标为4，代入反比例函数解析式求出A的坐标，即可求出，设直线的解析式为，将代入求出，将代入计算即可求出点C的坐标；
（2）先求出，再根据割补法计算即可．
【详解】（1）解：把点代入中，，
∴反比例函数解析式为，
∵将点B向左平移4个单位，再向上平移m个单位得到点A，
∴，
当时，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∵，
，
，
，
当时，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
．
58．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与x轴，y轴分别交于C，D两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)将直线向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，当时，求a的值．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，一次函数的平移，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
（1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，然后求得，解方程组即可得到结论；
（2）将直线向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，求得直线的解析式为，解方程得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：将直线向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，
∴直线的解析式为，
当时，，当时，解得，
∴，，
∵，
∴，
解得或．
59．（2025·江苏泰州·三模）在平面直角坐标系中，如图，点A为函数图象上一动点，过点A作y轴的平行线交直线于点B，点P坐标为．当时，点P恰好落在的函数图象上．
(1)求函数的关系式；
(2)若是以为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；
(3)在点A运动过程中始终存在一点P，使恒成立，求a的值．
【答案】(1)
(2)点或
(3)
【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及等腰直角三角形的性质等，处理数据和利用绝对值是解题的关键．
（1）把点代入，得到，于是得到结论；
（2）设点，则点，根据，得到，解方程即可得到结论；
（3）设点，点，根据，得到方程，化简整理得到，因为上式恒成立，得到，于是得到结论．
【详解】（1）解：点在的函数图象上，
，
函数的关系式为；
（2）解：设点，则点，
，
则，
解得：或或（舍去），
即点或；
（3）解：设点，点，
，
则，
即，
因为上式恒成立，
则，
解得：．
60．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与反比例函数图象交于A、C两点，点C的横坐标为
(1)求B点坐标和反比例函数的表达式；
(2)当时，x的取值范围为______；
(3)点D为双曲线上一点，连接交x轴于点E，当时，求点D的坐标．
【答案】(1)；
(2)或
(3)或
【分析】（1）求出，求得点，得到，于是得到反比例函数的表达式为：；
（2）解方程组得到，由图象即可得到结论；
（3）设，如图，当点D在第二象限时，过A作轴于N，过D作于M，根据平行线分线段成比例定理得到，解方程得到；如图，当点D在第四象限时，过A作轴于M，过D作轴于N，由，
得到，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：当时，，
，
，
当时，，
即点，
则，
则反比例函数的表达式为：；
（2）联立：，解得或，
，
由图象可知，当时，x的取值范围是或
故答案为：或；
（3）设，
如图，当点D在第二象限时，过A作轴于N，过D作于M，
则，
，
，
；
；
如图，当点D在第四象限时，
过A作轴于M，过D作轴于N，
，
，
，，
，
，
，
，
综上所述，当时，点D的坐标为或
【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，分类讨论是解题的关键．
押题预测七 二次函数的图象与性质综合
试题前瞻·能力先查
限时：40min
已知抛物线：．
(1)当时，判断点是否在该抛物线上；
(2)抛物线的顶点随着m的变化而移动，当该抛物线顶点的纵坐标取得最大值时，求此时抛物线的顶点坐标；
(3)若一次函数，对于任意实数x，都有，求m的值．
【答案】(1)点不在该抛物线上
(2)
(3)
【分析】（1）将代入函数解析式求出y的值，进而判断即可；
（2）求出顶点的纵坐标，根据二次函数的性质得到m的值，进而将二次函数化为顶点式作答即可；
（3）由可知，进而根据二次函数的性质作答即可．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
∴点不在该抛物线上；
（2）解：顶点的纵坐标为，
∵，
∴当时，抛物线顶点的纵坐标取得最大值，此时，
∴顶点坐标为；
（3）解：，
∵对于任意实数，都有，
恒成立，
，
，
．
考纲分析
结合苏州中考数学卷来看，二次函数的图象与性质是中考的必考内容，也是压轴内容；一般考查的知识点有二次函数的图象与性质、二次函数的对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点等等；
终极预测·精练通关
61．（2026·江苏盐城·一模）已知抛物线（a，b，c是常数，）与x轴交于点，，且．
(1)当，，且时．
①求抛物线的表达式；
②当时，求此函数的最大值与最小值的和；
(2)若，，求证：．
【答案】(1)①；②
(2)见解析
【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式即可；②根据二次函数的增减性求出最大值和最小值即可；
（2）根据题意，得到、是一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系，求出，将其代入一元二次方程，求出，进而得到，即可.
【详解】（1）解：①当，，则抛物线经过点，，
且，则，解得：，
则抛物线的表达式为．
②∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴当时，y取最小值为，
当时，y取最大值为12，
则．
（2）证明：，且，
，
，
由题意，、是一元二次方程的两个根，
，
，
，
，
，
，
．
62．（2026·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)写出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
(2)若点，，抛物线与线段只有一个交点，求m的取值范围；
(3)，是抛物线上两点，若，直接写出m取值范围．
【答案】(1)直线
(2)或或
(3)
【分析】（1）利用对称轴公式进行求解；
（2）求出抛物线与轴的交点坐标，然后根据交点情况进行分析即可；
（3）根据函数解析式判定出的值最小，得出，然后利用二次函数的性质以及图象得出的取值范围即可．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线；
（2）解：∵，
∴抛物线与轴的交点坐标为和，
抛物线与轴的交点为和，点在线段上，要使抛物线与线段只有一个交点，则另一个交点需要在线段之外，或与重合，
当交点在线段之外时，或，
解得或；
当交点与重合时，，
解得；
∴或或；
（3）解：由（1）得，抛物线的对称轴为直线，且解析式，抛物线开口向上，
∴为抛物线的顶点坐标，
∴的值最小，
∵，，
∴，
∴由得，
，
整理得，
令，
当时，
解得或，
∴．
63．（2025·江苏淮安·二模）已知二次函数经过点（m是常数，且）．
(1)用m的代数式表示字母b，则______；
(2)当m=3时，求函数的顶点坐标；
(3)当时，函数y的值总小于等于9，求m的取值范围；
(4)如图，在矩形中，，，点C、D在y轴上，抛物线的一部分图象经过矩形的内部，若点，是矩形内部的抛物线上的两个点，且满足，，请直接写出满足条件的m的取值范围______．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与矩形的综合应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想求解问题．
（1）将点代入二次函数表达式即可求得答案；
（2）利用配方法或公式法即可求得顶点坐标；
（3）分三种情况：①时，②当时，③当时，分别运用二次函数的性质列不等式求解即可；
（4）设抛物线交y轴于M，交于N，则，，根据题意列不等式组求解即可．
【详解】（1）解：将点代入二次函数，得：，
化简得：，
故答案为：；
（2）解：当时，，
∴，
∴函数的顶点坐标为；
（3）解：∵，
∴该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
①时，，
解得：，
∴；
②当时，
由，得，
∴，
解得：，
∴；
由，得，
∴，
解得：，
∴；
∴当时，都成立；
③当时，当时函数取得最大值，
∴，
解得：，
∴都成立；
综上，m的取值范围为；
（4）解：∵，
∴，
如图，设抛物线交y轴于M，交于N，
则，，
∵点，是矩形内部的抛物线上的两个点，且满足，，
∴或，
解得：或；
故答案为：或．
64．（2025·江苏南京·三模）已知二次函数．
(1)求证：该函数的图象与轴有公共点．
(2)该函数的图象经过的定点的坐标是___________．
(3)已知点，，若该函数的图象与线段没有公共点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)或
【分析】本题考查了一次函数的解析式，一元二次方程的应用，判别式的应用，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合，整理，即可作答．
（2）结合，且函数的图象经过的定点，故整理，令，解得，再把代入进行计算，即可作答．
（3）先求出线段的解析式为，依题意，得，再分别把，代入，
得，，则或，再解得的取值范围，即可作答．
【详解】（1）解：∵，
∴
即该函数的图象与轴有公共点；
（2）解：
∵该函数的图象经过的定点
即
∴
∴把代入，
得
∴该函数的图象经过的定点为．
（3）解：设线段的解析式为，
把点，分别代入
得
解得
∴线段的解析式为，
∵该函数的图象与线段没有公共点，
∴
整理得
把代入，
得，
把代入，
得，
则或
解得，即；或解得，即
综上：或
65．（2025·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段 的最大值及此时点的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为；
(2)有最大值，此时；
(3)存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，点的坐标为或或或．
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，二次函数的最值问题，解方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）利用待定系数法即可求解；
（）求出解析式为，设，则，则，然后利用二次函数的性质即可求解；
（）设，则有，，，分当时，当时，当时三种情况，再通过解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，
设抛物线的表达式为，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图，
设解析式为且过，，
∴，解得：，
∴解析式为，
∵是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴，
∴设，则，
∴，
∴当时，有最大值，
此时；
（3）解：存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，理由，
如图，
∵抛物线的表达式为，
∴对称轴为直线，
∵点在对称轴上，
∴设，
∵，，
∴，，，
当时，
∴，
解得，
∴，
当时，
∴，
解得，
∴或；
当时，
∴，
解得，
∴；
综上：点的坐标为或或或．
66．（2025·江苏宿迁·三模）已知：二次函数的图象与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点，且．
(1)求二次函数表达式；
(2)若抛物线上有两点、，当时，求的取值范围；
(3)设是二次函数位于第一象限图象上一点，作于点，轴于点．当最大时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的综合、等腰三角形的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
（1）先求出，再根据待定系数法求解即可；
（2）根据题意得到，，然后结合列不等式求解即可；
（3）先求得，再求出直线解析式为，设，则，进而得到所以、；如图：过G作于I，再根据等腰三角形的性质、矩形的判定与性质可得，进而得到，最后根据二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵函数图象与轴交于两点（A在左侧），
∴，
将、代入可得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵抛物线上有两点、，
∴，
∵
∴
解得：；
（3）解：令，
解得：或，
∴．
设直线解析式为，把，代入得：
，解得：，
∴直线解析式为，
∵，，
∴，
∴，
如图：过P作轴于D，交于E．
∵，
∴，
∴，
设，则．
所以，则，
如图：过G作于I，
∵，
∴，，
∴，四边形是矩形，
∴，
令，
∴抛物线的对称轴为：，
∵抛物线开口方向向下，，
∴当时，取最大值，
∴点P的横坐标为，代入得，．
67．（2025·江苏南京·二模）已知二次函数（是常数）．
(1)求证：不论为何值，函数图像与轴总有公共点；
(2)求证：不论为何值，函数图像的顶点都在函数的图像上；
(3)是该二次函数图像上的点，当时，，则的取值范围是_____．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）将抛物线解析式化成一般式，再计算，即可能得出结论；
（2）将抛物线解析式化成顶点式，得出抛物线的顶点坐标为，再把代入，即可得出结论；
（3）将抛物线解析式化成顶点式，得出抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，再根据抛物线的增减性质，由，则点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离，列出不等式求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴不论为何值，函数图像与轴总有公共点．
（2）证明：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
把代入，
∴不论为何值，函数图像的顶点都在函数的图像上．
（3）解：∵，
∴抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，
∴，
当时，，
∴
当时，则
∴，
∴
当时，则
∴
综上，当时，，则的取值范围是或．
【点睛】本题考查抛物线与x轴交点问题，利用函数的对称性函数值大小，抛物线一般式化成顶点式，抛物线上点的坐标特征，抛物线的图象性质．熟练掌握抛物线与x轴交点和抛物线的图象性质是解题的关键．
68．（2025·江苏盐城·三模）已知二次函数的图像为C．
(1)用m表示图像C的顶点坐标；
(2)证明：当时，图像C与x轴有两个交点；
(3)记一次函数（m是常数，，）的图像为线段，若图像C与线段（包含端点A、B）恰有一个公共点，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)或或
【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质、二次函数的图像与性质，解决本题的关键是根据根据一次函数与二次函数的性质确定函数图像的交点．
（1）把二次函数的解析式化成顶点坐标式，即可得到图像的顶点坐标为；
（2）当时，可得：，利用一元二次方程根与系数的关系可证当时，图像与轴有两个交点；
（3）根据一次函数的解析式可知点的坐标为，点的坐标为，根据图像与线段恰有一个公共点，分或以及直线与二次函数联立有且只有一个交点三种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：整理，
可得：，
图像的顶点坐标为；
（2）解：当时，
可得：，
，
整理得：，
当时，，
方程有两个不相等的实数根，
图像与轴有两个交点；
（3）解：一次函数（是常数，，）的图像为线段，
当时，，当时，，
∴点的坐标为，点的坐标为．
①当时，
依题意，图像与线段恰有一个公共点，
如图，
当时，，
解得：或，
当时，，
解得：，
∴；
②当时，
，
解得：；
③当一次函数与二次函数联立方程，得，
一元二次方程有且只有两个相等实数根时：
整理得，
，
解得，此时，交点横坐标分别为或（不在x取值范围舍去）；
综上所述，或或时，图像与线段恰有一个公共点．
69．（2025·江苏连云港·二模）已知二次函数 (a是常数，a≠0)．
(1)若，求该函数图像顶点坐标．
(2)若该二次函数经过三个点中的一个点，求该二次函数的表达式．
(3)若，当时，的最大值记为m，最小值记为n，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)．
【分析】本题是主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，关键是根据题意用关于的式子表示出、．
（1）当时，二次函数，化成顶点式即可求出顶点坐标；
（2）先判断抛物线过点，代入解析式即可求得，从而求得抛物线的解析式；
（3）二次函数，由得出，抛物线开口向下，即可得出时，，时，，进而得出，根据求得最小值为．
【详解】（1）解：当时，二次函数，
顶点坐标为；
（2）解：
，
当时，，因此不过点，
当时，，因此不过点，
故抛物线过点，代入得，，
，
抛物线的关系式为；
（3）解：二次函数，
对称轴为直线，
，
，抛物线开口向下，
时，的最大值记为，最小值记为，
时，，时，，
，，
，
，
，
当时，有最小值，为．
70．（2025·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于、（点在点左侧），与轴交于．一次函数的图像经过、两点，点．
(1)求，的值；
(2)点在直线上，直线交轴于点，将点绕点逆时针旋转得到点，连接、，当和相似时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据一次函数求得，，代入待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据解析式求得点的坐标，进而得出，，得出，分情况讨论，①当时，，根据相似三角形的性质得出，进而根据旋转的性质，全等三角形的性质，求得点的坐标；②当时，，同法求得，进而求得的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数和一次函数的图像经过、两点，
当时，，当时，
∴，
将，代入，
解得：
∴解析式为
（2）解：由，
当时，，
解得：
∵，
∴
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
如图所示，过点作于点，连接，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴
设
∵将点绕点逆时针旋转得到点，
∴，
∴是等腰直角三角形，则
∴，
①当时，
∴，
又∵
∴，
∴
如图，过点作轴于点
∴
∴
∴
∵
∴，
设，则
∴
解得：
∴
如图，过点作轴交轴于点，过点作轴交的延长线于点
∴，
又∵
∴，
∴
∴
∵，，
∴
∴即
∴
②当时，，
∵
∴
又∵
∴
∴
又∵
∴，即
∴，
如图，过点作轴于点
∴
∴
∴
∵
∴，
设，则
∴
解得：
∴
当，如图，
同理可得，
综上所述，当和相似时，或．
押题预测八 二次函数中的倍角关系、面积关系
试题前瞻·能力先查
限时：40min
二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，且对称轴为直线．该抛物线与直线交于、两点（点在点的左侧）．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若与的面积相等时，求的值；
(3)当为何值时，在轴上存在唯一的点，使？（直接写出的值）
【答案】(1)
(2)
(3)的值为或或或．
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）先求出直线的表达式，得到与相交，过点作、过点作，作出图形，由与的面积相等得出，求证，进而得到点是线段的中点，求出点的坐标并代入直线求解即可；
（3）在轴上存在唯一的点，使，可以理解为以为直径的圆与轴相切，分四种情况，由圆心到轴的距离等于半径，列方程求解即可．
【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于点，
；
对称轴为直线，
，则；
将代入得，
二次函数的表达式为；
（2）解：由（1）知二次函数的表达式为，则点，
令，则，
解得或，
点，
设直线，
将、代入得，
解得，
直线，
直线，
与相交，
过点作、过点作，与相交于点，如图所示：
与的面积相等，
，
则，
在和中，
，
，
，即点是线段的中点，
、，
的坐标为，即，
将代入直线得，
解得；
（3）解：在轴上存在唯一的点，使，可以理解为以为直径的圆与轴相切，或与重合，或与重合，分四种情况：
当交点、均在轴上方时，，如图所示：
设抛物线与直线交点坐标、（点在点的左侧），
联立，
消去得，
，，
，
则以为直径的圆的圆心，
，
当与轴相切时，，
即，
，
解得或（负值舍去）；
当交点、均在轴下方时，，如图所示：
同理可知，
，
解得或（正值舍去）；
当点与点重合时，
将代入，得，
解得；
或点与点重合时，
将代入，得，
解得；
综上所述，的值为或或或．
考纲分析
结合苏州的中考数学卷来看，苏州中考数学压轴题大概率聚焦二次函数的倍角关系与面积关系综合探究。命题将以抛物线为载体，结合动点、动线，考查倍角转化（构造等角、相似或三角函数）、面积最值/比例（铅垂法、割补法），融合方程、分类讨论与数形结合思想，区分度高，需重点突破建模与几何转化能力。
终极预测·精练通关
71．（2025·江苏徐州·三模）如图，已知抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点C，且．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点Q是抛物线上的一动点，连接交于点P，过点P作，交于点E，
①求面积的最大值及此时点P的坐标；
②是否存在Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①面积的最大值为3，此时；②存在，
【分析】本题是一道函数综合题，主要考查了二次函数图象的性质，二元一次方程组的解法，相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数相关知识是解题的关键．
（1）根据A，B，C三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）①本题要通过求的面积与P点横坐标的函数关系式而后根据函数的性质来求的面积的最大值以及对应的P的坐标．的面积无法直接表示出，可用和的面积差来求，设出P点的坐标，即可表示出的长，可通过相似三角形和求出，然后根据二次函数最值即可求出所求的值；
②根据题意易得，然后根据相似比例求出的值，进而求出P的坐标和解析式，再与二次函数解析式联立求出Q的坐标．
【详解】（1）解：，
，
将代入，
解这个方程组，得，
∴此抛物线的解析式：；
（2）①设，则
，
，
，
，
∴当时，面积的最大值为3，此时；
②存在，．理由如下：
，
，
，
，
，
解析式为，
联立
解得（不合题意，舍去），，
．
72．（2025·江苏扬州·二模）已知，二次函数．
(1)如图，该二次函数图象交轴于点、，交轴于点，点是函数图象上一动点．
①求该二次函数表达式；
②当时，求点的坐标；
(2)定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”．在的范围内，若该二次函数的对称轴为直线，且图象上有且只有1个“三倍点”，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①；②或
(2)或
【分析】此题考查了一次函数和二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键．
（1）①由待定系数法即可求出答案；②当时，则直线的表达式为，联立解一元二次方程即可得到答案；
（2）由定义可知，求得，当与只有一个交点时，有两个相等的实数根，则，解得，当时，，则当函数过时满足题意，当时，，当函数过时满足题意，据此即可得到答案．
【详解】（1）解：①由题意可得，
，
解得，
∴该二次函数表达式为；
②当时，，
解得，
∴，
当时，则直线的表达式为，
和抛物线解析式联立得到，或，
解得（舍去）或或，
即点的坐标为或；
（2）由定义可知，
由题意可得， ，解得，
∴抛物线解析式为
当与只有一个交点时，
有两个相等的实数根，
∴，
解得，
当时，
当函数过时满足题意，
∴，解得，
当时，
当函数过时满足题意，
则，解得，
∴或
73．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点，该抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，点D为线段上的一动点．
(1)求a，b的值；
(2)如图①，连接，并延长交抛物线于点E，若垂直平分，求点E的坐标；
(3)如图②，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求P点的坐标，并求此时S的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)，S的最大值为
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）根据对称轴计算公式可得，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求可得抛物线解析式，则可求出，则，的中点坐标为，根据垂直平分，则直线经过的的中点，即直线经过点，据此求出直线解析式，再联立直线解析式与抛物线解析式求出点E坐标即可；
（3）求出直线的解析式为；过点P作轴交于F，连接，根据，可得，则；设，则，可得；则可求出，据此利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解；∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵二次函数的图象与x轴交于点，
∴，即，
∴；
（2）解：由（1）得抛物线解析式为，
在中，当时，，当时，解得或，
∴，
∴，的中点坐标为，
∵垂直平分，
∴，
∴直线经过的的中点，即直线经过点，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，解得或（不合题意，舍去），
∴点E的坐标为；
（3）解：设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
如图所示，过点P作轴交于F，连接，
∵，
∴，
∴；
设，则，
∴；
∴
，
，
∵，
∴当，即时，S有最大值，最大值为，
∴此时，
∴．
74．（2025·江苏淮安·二模）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式：
(2)如图1，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交线段于点M，点D是直线上方抛物线上一点．当时，求点N的坐标．
(3)如图2，点Q是抛物线上在第一象限的一个动点，中小学教育资源及组卷应用平台
2026年中考数学押题预测
押题预测一 代数类计算题 1
押题预测二 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系 9
押题预测三 统计与概率 17
押题预测四 三角形、四边形的判定与性质 31
押题预测五 几何图形中的尺规作图综合 43
押题预测六 反比例函数的图象与性质 60
押题预测七 二次函数的图象与性质综合 78
押题预测八 二次函数中的倍角关系、面积关系 99
押题预测九 二次函数的实际应用 126
押题预测十 解直角三角形及其应用 137
押题预测十一 圆的切线判定与性质应用 155
押题预测十二 与圆有关的计算（弧长、扇形面积、圆锥面积） 168
押题预测十三 几何图形的平移、翻折、对称问题 180
押题预测十四 几何图形中的最值问题 190
押题预测十五 新情境类材料阅读与应用题 201
押题预测一 代数类计算题
试题前瞻·能力先查
限时：10min
【改编题】计算和化简
(1)；
(2)；
(3)．
考纲分析
从苏州近五年的中考情况来看，数与式侧重整式因式分解、分式化简求值、实数混合运算，常结合数轴、绝对值考查。方程板块必考一元二次方程求解与根的判别式应用，不等式聚焦解集求解、整数解判定。题型选择填空基础必考，解答题多结合实际应用题，考查列式求解与方案取舍，注重计算准确度与分类讨论思维。本考点难度不大，但所占基础分值较大，是学生必须掌握的内容。
终极预测·精练通关
1．（2026·江苏宿迁·一模）计算：．
2．（2026·江苏泰州·一模）按要求完成下列计算：
(1)计算： ；
(2)解方程：．
3．（2026·江苏徐州·一模）计算：
(1)；
(2)．
4．（25-26九年级下·江苏无锡·期中）化简、解不等式组：
(1)
(2)
5．（2026·江苏宿迁·一模）先化简，再求值：，其中．
6．（2026·江苏南通·模拟预测）计算与化简求值：
(1)计算：
(2)化简：．
(3)先化简，再求值：，并从中选一个合适的数作为的值代入求值．
7．（2026·江苏常州·一模）解方程、解不等式组：
(1)；
(2)．
8．（2026·江苏南京·模拟预测）解方程（组）
(1)解方程：；
(2)解方程组．
9．（2026·江苏无锡·一模）计算和解不等式组：
(1)；
(2)．
10．（2026·江苏南通·一模）计算：
(1)．
(2)已知关于x的方程的两根为，且满足．求的值．
(3)．
押题预测二 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系
试题前瞻·能力先查
限时：20min
【改编题】已知：关于的方程．
(1)若方程有两个实数根，求的取值范围；
(2)若两实数根、满足，求的值．
考纲分析
从近几年的苏州中考数学卷来看，一元二次方程中的根的判别式、根与系数的关系是常考点，主要考查的是判根公式和两根和与积的关系，在考查学生计算能力的同时，加强学生对基础概念的应用和理解。
终极预测·精练通关
11．（2025·江苏盐城·一模）关于的方程有两个不等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)化简：．
12．（2026·江苏苏州·二模）已知函数．
(1)求证：该函数的图象与轴总有公共点；
(2)当时，该函数图象与轴交于，两点，求线段长度的取值范围．
13．（2026·江苏南京·一模） 已知二次函数 （m是常数）．
(1)求证：不论m为何值，该函数图像与x轴总有两个公共点；
(2)求证： 当时，该函数图像与y轴的交点总在x轴的下方．
14．（2025·江苏扬州·二模）已知关于的方程：，其中是常数．
(1)求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若、是此方程的两个根，当时，求代数式的值．
15．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若是该方程的两个实数根，且，求的取值范围．
16．（2026·江苏扬州·二模）已知关于x的一元二次方程
(1)求证：该方程总有两个实数根．
(2)若该方程两个实数根的差为3，求m的值．
17．（2026·安徽淮北·二模）已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)设，是方程的两个实数根，若，求实数的值．
18．（2026·四川南充·一模）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程必有两个不相等的实数根；
(2)已知实数m，n满足，，且，求的值．
19．（2026·四川南充·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)若，求实数的值．
20．（2025·新疆省直辖县级单位·一模）已知关于的方程．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)若此方程的两个根分别为，，其中，若，求的值．
押题预测三 统计与概率
试题前瞻·能力先查
限时：20min
2026年3月，全国两会在北京顺利召开，意义非凡．为了解学生对两会精神的知晓程度，某校从九年级，两个班中各随机抽查了名学生进行两会知识测试，分别对学生的测试成绩（满分为分）进行收集、整理和分析（测试成绩用表示，都为整数，结果分为四个类型：为不了解；为比较了解；为了解；为非常了解）．
【收集数据】抽取的班学生对于两会精神“了解”的测试成绩为，，，，，；
抽取的班学生的测试成绩为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
【整理数据】，两班的数据整理如下：
【分析数据】，两班的平均数、中位数、众数和方差如表所示；
平均数 中位数 众数 方差
班
班
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：____，_____，请补全条形统计图；
(2)假设这两个班共有学生人，请估计这两班在这次测试中成绩为“了解”的学生人数；
(3)从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，对，两个班成绩进行简要评价．
为全面落实素质教育，某校积极开展校本课程建设．教务处需要对某天下午的三节校本课程进行安排，已知三节不同的课程分别是本土人物传记、丝绸制作和昆曲学习，每节课只安排一门课程且不重复，根据以上信息回答下列问题．
(1)第一节是昆曲学习课的概率为__________；（请直接写出结果）
(2)请用画树状图的方法，求第二节为丝绸制作课且第三节为本土人物传记课的概率．
考纲分析
从近五年的苏州中考数学卷来看，统计概率是中考的必考内容；统计里边主要是数据的集中趋势和离散程度，包括平均数、中位线、众数、方差等相关概念，概率则是学会用树状图法或列表法来求概率，虽然考查的难度不大，但要注意计算的准确性和审题的重要性；
终极预测·精练通关
21．（2026·江苏南京·一模）某汽车评测机构对我国市场上五款标称续航里程为520km的新能源汽车A，B，C，D，E进行了续航测试，数据如下表（单位：km）：
A B C D E
夏季续航里程 450 480 420 500 450
冬季续航里程 370 420 350 390 400
(1)这五款汽车夏季续航里程的平均数是_______km，冬季续航里程的中位数是______km；
(2)你认为哪一款车在续航方面表现最好？说明理由．
(3)推测我国新能源汽车用户占比较多的省份主要位于______地区．（填“南方”或“北方”）
22．（2026·江苏泰州·一模）如图所示的电路图中有，，，四个开关，保持打开状态．
(1)“当随机闭合，，，中一个开关时，灯泡发光”是_____事件；（填“随机”、“必然”或“不可能”）
(2)用列表或画树状图的方法，求事件“随机闭合，，，中的两个开关时，灯泡发光”的概率．
23．（2026·江苏泰州·一模）随着人工智能技术的飞速发展，其在科技、经济、社会等领域的应用日益广泛，已成为推动时代变革的核心驱动力之一．某中学为评估本校学生对人工智能基础知识的掌握程度，从八、九年级中各随机抽取10名学生进行“人工智能素养”测试，满分100分．对抽取的学生成绩进行整理、描述和分析，数据如下：
八年级10名学生的比赛成绩：85 86 88 89 90 92 95 95 98 100
九年级10名学生的比赛成绩：80 85 86 88 92 94 95 98 100 100
八九年级抽取的学生比赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
八年级 91.8 95
九年级 91.8 93
根据以上信息，解答下列问题．
(1)_____，_____．
(2)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生对人工智能的知识掌握得更好 请说明理由．
24．（2026·江苏无锡·二模）某班举行诗词朗诵大赛，每位参赛人员需要在：A．《将进酒》、B．《夜雨寄北》、C．《念奴娇·赤壁怀古》这三首古诗词中随机选择一首进行朗诵（A、B为唐诗，C为宋词）．该班的小明和小雪参加了此次大赛．
(1)小明选择C．《念奴娇·赤壁怀古》的概率是________；
(2)请用列表或画树状图的方法，求两人之间只有一人选择唐诗的概率．
25．（2026·江苏扬州·一模）中学生心理健康受到社会的广泛关注，为深入落实“健康第一”教育理念，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．
根据图中信息回答下列问题：
(1)接受问卷调查的学生共有________人，条形统计图中m的值________，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为________．
(2)若该校共有学生1000人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为________人．
(3)若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男生的概率．
26．（2026·江苏无锡·一模）马年春节联欢晚会堪称一场“科技春晚”，多家国产企业的机器人集体亮相，展示了从“能演”到“能干”的进化．某校开展了一次“机器人知识”竞赛，满分100分．为了解本次竞赛的情况，从该校随机抽取部分学生的成绩作为样本，目前正在对收集到的数据进行整理，并绘制相应的统计图（尚未完成）．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查的样本容量为__________，并将条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据）
(2)该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩不低于80分的学生人数；
(3)根据上述统计分析情况，请对本次竞赛情况写出一条合理的评价．
27．（2026·江苏宿迁·二模）美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．某县城区近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）．
(1)根据图中所提供的信息，填空：2026年比2026年增加了__________公顷，在2026年，2026年，2025年这三年中，绿地面积增加最多的是__________年；
(2)为满足城市发展的需要，计划到2027年使绿地总面积达到公顷，试求这两年（）绿地面积的年平均增长率；
(3)根据发展计划，在图中画出年绿地变化折线图．
28．（2026·江苏南京·模拟预测）阅读涵养心灵．某区2025年9月就“初中生每天阅读时间”对七年级8000名学生进行了抽样调查（设每天阅读时间为，调查问卷设置了四个时间选项：A．；B．；C．；D．），并根据调查结果制作了如图（1）所示的条形统计图．2025年9月该区出台系列激励措施，力推学生阅读习惯养成．为了检测这些措施的效果，2025年12月该地区又对七年级学生进行了一次抽样调查，并根据调查结果制作了如图（2）所示的扇形统计图．
请根据提供的信息，解答下列问题．
(1)2025年9月份抽样调查的样本容量为______，该地区七年级学生“每天阅读时间不少于小时”的人数约为______人；
(2)关于这两次调查，下列说法正确的是（ ）
A．9月份阅读时间的众数是320人
B．12月份阅读时间的中位数落在C组
C．9月份和12月份阅读时间的平均数相同
D．12月份调查中阅读时间在B组的人数一定少于80人
(3)估算该地区2025年12月份“每天阅读时间不少于1小时”的七年级学生人数相对于9月份的增长率．（精确到）
29．（2026·江苏无锡·一模）近年来，教育部多次强调将“健康第一”的理念落在实处，聚焦体育锻炼、心理健康、近视防控等领域．为了解九年级学生近视率，某校在九年级随机抽取了部分学生进行了视力调查，并将调查所得数据整理、绘制成两张如图所示的不完整的统计表和统计图，根据信息回答下列问题：
九年级部分学生视力频数分布表
分组 视力 频数
A
B
C
D
E
(1)本次调查的样本容量是______，B组视力在扇形统计图中对应的圆心角为______；
(2)此次抽样调查中，视力的中位数落在______组；
(3)自月日起实施的《儿童青少年裸眼视力和屈光状态评价规范》规定：裸眼视力大于为视力正常．已知该校九年级共有名学生，请根据样本情况估计全校九年级学生中视力正常的人数．
30．（2026·江苏南京·模拟预测）快递业促进了社会发展，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．某平台经过了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此市场部收集了10个客户对两家公司的配送速度及服务质量的评分结果，进行整理、描述、分析，信息如下：
信息一：配送速度得分（满分10分）：
甲 6 6 5 9 8 7 9 9 10 7
乙 8 8 6 7 6 10 7 8 10 8
信息二：服务质量得分统计图（满分10分）：
信息三：配送速度和服务质量得分统计表
项目 配送速度得分 服务质量得分
统计量快递公司 平均数 中位数 众数 平均数 方差
甲 b 7
乙 a 8 7
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中的______， ______．
(2)综合上表中的统计量，你认为平台应选择哪家公司合作？请说明理由．
(3)为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息？（列出一条即可）
押题预测四 三角形、四边形的判定与性质
试题前瞻·能力先查
限时：20min
【改编题】如图，正方形中，，
(1)求证：①；②；
(2)若，，求的长．
考纲分析
结合苏州近几年的中考数学卷，一般在解答题的第四小题会考查三角形、四边形的判定与性质，常见的有全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等等，这里考查的难度并不大，但是要注意证明格式的书写问题，千万不能跳过关键步骤。
终极预测·精练通关
31．（2026·江苏泰州·一模）如图，中，是边上的点，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
32．（2026·江苏常州·一模）如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、；
(1)求证：．
(2)若点、分别为线段、的中点，连接、，则______．
33．（2026·江苏盐城·一模）如图，在中，．
(1)尺规作图：在上作一点P，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，求的长．
34．（2026·江苏无锡·一模）如图，在中，对角线相交于点O，于点E，于点F，且．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是矩形．
35．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，等腰直角三角形中，，，点D在线段上，将线段绕点A逆时针旋转90度得线段，连接．
(1)求证：
(2)若，求的长．
36．（2026·江苏扬州·一模）如图，在矩形中，过对角线的中点O作，分别交、于点E、F．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的长．
37．（2026·江苏扬州·一模）如图，在菱形中，点E、F分别在边上，且．连接，延长交的延长线于点G．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
38．（2026·江苏盐城·一模）如图，在中，，点是边的延长线上的一点．连接，过点作于点，交于点G，且．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)当点F是的中点，且时，求四边形的面积．
39．（2026·江苏常州·模拟预测）如图①，是矩形的边上的一点，于点，，，．
(1)证明，并计算点到直线的距离(结果保留根号)．
(2)在图①的基础上，延长线段交边于点，如图②，则的长为　　　．
40．（2026·江苏苏州·一模）如图，菱形中，为对角线，是边延长线上一点，连接．
(1)在线段上求作点，使得（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的作图条件下，当时，求线段的长度．
押题预测五 几何图形中的尺规作图综合
试题前瞻·能力先查
限时：30min
按要求完成下列问题．
(1)如图①，在中，，，垂足为．求证：．
(2)已知点在线段上．在图②中，用直尺和圆规作出一个，使得且是锐角．（保留作图痕迹，简述作图步骤）
(3)如图③，在中，，点在边上，，连接．若线段上存在点（包含端点），使得，则的取值范围是________．
考纲分析
从近几年的苏州中考数学卷来看，几何图形中的尺规作图问题也是常考的题型之一，主要掌握尺规作图的几种方法，尤其是角平分线、垂直平分线、作垂线等等的做法，有时候此类题型还会和几何图形中的性质结合考查，计算线段的长度等等；一般考查难度不大，建议重点熟悉尺规作图的方法技巧；
终极预测·精练通关
41．（2026·江苏无锡·一模）学校劳动基地有一块形状为平行四边形的菜地（如图所示），为便于灌溉，需要沿线段修建一条水渠（为边上一点），将菜地分成面积为的两部分（水渠面积忽略不计）．
(1)尺规作图：在图中画出线段；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，，求水渠的长度．
42．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知中，，．
(1)尺规作图：在和边上分别确定点D、E，使得，；（不写作法，保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，若的周长为16，求的长．
43．（2026·江苏无锡·一模）已知：在中，，．

(1)尺规作图：在内部求作一点，使得点到边、的距离相等，且（不写作法，但要保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，若，，则点与点之间的距离为_____．（若要借用图形计算，请用备用图）
44．（2026·江苏宿迁·一模）如图，已知矩形，，．
(1)点E在矩形内部，为等边三角形，请在图1中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点E；
(2)点P为线段上一点，若，请在图2中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点P；
(3)若符合（2）中要求的点P必定存在，则m的取值范围是______．
45．（2026·江苏扬州·一模）如图，在直角三角形中，．
(1)先作的平分线；设它交边于点，再以点为圆心，为半径作（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：与相切；
46．（2026·江苏无锡·模拟预测）如图，点P是的边上的一定点，
(1)请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．在图 1中作一个，使它满足以下条件：
①圆心O在上；②经过点P；③与边相切，切点为F；
(2)在（1）的条件下，若，，则所作的的劣弧与、所围成图形的周长_______．
47．（2025·江苏徐州·三模）如图，在三角形纸片中，，．
(1)将纸片折叠，使点A的对应点D落在边上，折痕为，点M、N分别在和上，且．请你使用无刻度的直尺和圆规，作出折痕（不写做法，保留作图痕迹）．
(2)若，求的长．
48．（2025·江苏无锡·二模）如图，已知．
(1)在图1中用无刻度的直尺和圆规在上找一点使得，再作出的内切圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）条件下，若，，则的半径为__________．
49．（2025·江苏镇江·二模）如图，在中，，点D为边上一点．
(1)尺规作图：在边上作一点O，使得（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，以点O为圆心，为半径的圆与交于点E，若．
①求证：与相切；
②若的半径为3，，则 ．
50．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，以为直径的交的斜边于点D，连接．点E在上，．
(1)求作满足条件的点要求尺规作图，保留作图痕迹）
(2)延长交的延长线于点，下列说法：①是的切线；②；③垂直平分；④是等边三角形．正确的序号是________；
(3)若，，求的长．
押题预测六 反比例函数的图象与性质
试题前瞻·能力先查
限时：30min
如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于两点，其中点的坐标为．
(1)求的值；
(2)当时，自变量的取值范围为__________；
(3)将直线向上平移后，与反比例函数图象交于，两点，与两坐标轴分别相交于，两点．若，求直线的函数表达式．
考纲分析
从近几年的苏州中考数学卷来看，反比例函数的图象与性质是苏州中考数学的必考内容之一，一般会在解答题的23、24题中出现，难度中等，主要考查反比例函数的图象与性质、反比例函数的k值意义和反比例函数与三角形、四边形的综合；
终极预测·精练通关
51．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过点和点B，点B在点A的下方，平分，交x轴于点C．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(3)线段与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连接．求证：．
52．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)分别求一次函数及反比例函数的表达式；
(2)在第三象限内的B点右侧的反比例函数图象上取一点P，连接，，且满足，求点P的坐标．
53．（2026·江苏扬州·一模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4．
(1)分别求出a和b的值；
(2)结合图象直接写出的取值范围；
(3)在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标．
54．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（）的图象交于、两点，点的横坐标为．
(1)求的值及点的坐标．
(2)点是线段上一点，点在直线上运动，当，求的最小值．
55．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点，与反比例函数的图象交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)点是反比例函数图象在第一象限分支上的一点（不与点重合），过点作轴，交射线于，若，求点的坐标．
56．（2025·江苏连云港·二模）如图，已知点在直线上，双曲线经过点A．
(1)求双曲线的函数表达式；
(2)点分别在直线和双曲线上，当时，直接写出b的取值范围；
(3)点B在线段上（不与A点重合），将点A绕着点B顺时针旋转得到点C，当点C恰好落在双曲线上时，求点C的坐标．
57．（2025·江苏镇江·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，将点B先向左平移4个单位，再向上平移个单位得到点A，点A恰好落在反比例函数的图象上，过A，B两点的直线与x轴交于点C．
(1)求k，m的值及点C的坐标；
(2)在x轴上有一点，连接、，求的面积．
58．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与x轴，y轴分别交于C，D两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)将直线向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，当时，求a的值．
59．（2025·江苏泰州·三模）在平面直角坐标系中，如图，点A为函数图象上一动点，过点A作y轴的平行线交直线于点B，点P坐标为．当时，点P恰好落在的函数图象上．
(1)求函数的关系式；
(2)若是以为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；
(3)在点A运动过程中始终存在一点P，使恒成立，求a的值．
60．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与反比例函数图象交于A、C两点，点C的横坐标为
(1)求B点坐标和反比例函数的表达式；
(2)当时，x的取值范围为______；
(3)点D为双曲线上一点，连接交x轴于点E，当时，求点D的坐标．
押题预测七 二次函数的图象与性质综合
试题前瞻·能力先查
限时：40min
已知抛物线：．
(1)当时，判断点是否在该抛物线上；
(2)抛物线的顶点随着m的变化而移动，当该抛物线顶点的纵坐标取得最大值时，求此时抛物线的顶点坐标；
(3)若一次函数，对于任意实数x，都有，求m的值．
考纲分析
结合苏州中考数学卷来看，二次函数的图象与性质是中考的必考内容，也是压轴内容；一般考查的知识点有二次函数的图象与性质、二次函数的对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点等等；
终极预测·精练通关
61．（2026·江苏盐城·一模）已知抛物线（a，b，c是常数，）与x轴交于点，，且．
(1)当，，且时．
①求抛物线的表达式；
②当时，求此函数的最大值与最小值的和；
(2)若，，求证：．
62．（2026·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)写出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
(2)若点，，抛物线与线段只有一个交点，求m的取值范围；
(3)，是抛物线上两点，若，直接写出m取值范围．
63．（2025·江苏淮安·二模）已知二次函数经过点（m是常数，且）．
(1)用m的代数式表示字母b，则______；
(2)当m=3时，求函数的顶点坐标；
(3)当时，函数y的值总小于等于9，求m的取值范围；
(4)如图，在矩形中，，，点C、D在y轴上，抛物线的一部分图象经过矩形的内部，若点，是矩形内部的抛物线上的两个点，且满足，，请直接写出满足条件的m的取值范围______．
64．（2025·江苏南京·三模）已知二次函数．
(1)求证：该函数的图象与轴有公共点．
(2)该函数的图象经过的定点的坐标是___________．
(3)已知点，，若该函数的图象与线段没有公共点，直接写出的取值范围．
65．（2025·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段 的最大值及此时点的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
66．（2025·江苏宿迁·三模）已知：二次函数的图象与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点，且．
(1)求二次函数表达式；
(2)若抛物线上有两点、，当时，求的取值范围；
(3)设是二次函数位于第一象限图象上一点，作于点，轴于点．当最大时，求点的坐标．
67．（2025·江苏南京·二模）已知二次函数（是常数）．
(1)求证：不论为何值，函数图像与轴总有公共点；
(2)求证：不论为何值，函数图像的顶点都在函数的图像上；
(3)是该二次函数图像上的点，当时，，则的取值范围是_____．
68．（2025·江苏盐城·三模）已知二次函数的图像为C．
(1)用m表示图像C的顶点坐标；
(2)证明：当时，图像C与x轴有两个交点；
(3)记一次函数（m是常数，，）的图像为线段，若图像C与线段（包含端点A、B）恰有一个公共点，直接写出m的取值范围．
69．（2025·江苏连云港·二模）已知二次函数 (a是常数，a≠0)．
(1)若，求该函数图像顶点坐标．
(2)若该二次函数经过三个点中的一个点，求该二次函数的表达式．
(3)若，当时，的最大值记为m，最小值记为n，求的最小值．
70．（2025·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于、（点在点左侧），与轴交于．一次函数的图像经过、两点，点．
(1)求，的值；
(2)点在直线上，直线交轴于点，将点绕点逆时针旋转得到点，连接、，当和相似时，求点的坐标．
押题预测八 二次函数中的倍角关系、面积关系
试题前瞻·能力先查
限时：40min
二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，且对称轴为直线．该抛物线与直线交于、两点（点在点的左侧）．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若与的面积相等时，求的值；
(3)当为何值时，在轴上存在唯一的点，使？（直接写出的值）
考纲分析
结合苏州的中考数学卷来看，苏州中考数学压轴题大概率聚焦二次函数的倍角关系与面积关系综合探究。命题将以抛物线为载体，结合动点、动线，考查倍角转化（构造等角、相似或三角函数）、面积最值/比例（铅垂法、割补法），融合方程、分类讨论与数形结合思想，区分度高，需重点突破建模与几何转化能力。
终极预测·精练通关
71．（2025·江苏徐州·三模）如图，已知抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点C，且．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点Q是抛物线上的一动点，连接交于点P，过点P作，交于点E，
①求面积的最大值及此时点P的坐标；
②是否存在Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
72．（2025·江苏扬州·二模）已知，二次函数．
(1)如图，该二次函数图象交轴于点、，交轴于点，点是函数图象上一动点．
①求该二次函数表达式；
②当时，求点的坐标；
(2)定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”．在的范围内，若该二次函数的对称轴为直线，且图象上有且只有1个“三倍点”，直接写出的取值范围．
73．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点，该抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，点D为线段上的一动点．
(1)求a，b的值；
(2)如图①，连接，并延长交抛物线于点E，若垂直平分，求点E的坐标；
(3)如图②，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求P点的坐标，并求此时S的最大值．
74．（2025·江苏淮安·二模）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式：
(2)如图1，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交线段于点M，点D是直线上方抛物线上一点．当时，求点N的坐标．
(3)如图2，点Q是抛物线上在第一象限的一个动点，连接，交线段于点E，交y轴于点F，令，求S的最大值．
75．（2025·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点，对称轴交x轴于点G．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，点P是第一象限中抛物线上一动点，连接，分别交对称轴于点E、F．
①在点P的运动过程中，这三条线段能否相等？若相等，求出点P的坐标；若不相等，请说明理由；
②如图2，连接与相交于点H，若的面积为的面积为，求的最大值．
76．（2025·江苏苏州·一模）已知二次函数（为常数）．该函数图像与x轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点．
(1)求线段的长度为；
(2)若二次函数图像对称轴为直线，点是直线上方二次函数的图像上的两个动点，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，连接．
①图中二次函数的表达式为______；
②已知点的横坐标比点的横坐标大2，的面积为，求的面积（用含的代数式表示）．
77．（2026·江苏盐城·三模）如图，抛物线与轴交于点A，与x轴交于点B、C，已知．
(1)求抛物线的表达式，并求出点C的坐标．
(2)点M是抛物线(第一象限内)上的一个动点，连接，当面积最大时，求M点的坐标．
(3)若点M坐标固定为，Q是抛物线上除M点之外的一个动点，当与的面积相等求出点Q的坐标．
78．（2025·江苏苏州·一模）如图，已知抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，连接．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标．
79．（2025·安徽·一模）如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，与x轴的另一个交点为C，且的面积为6．
(1)求b，c；
(2)若点M为二次函数的图象第二象限内一点，求四边形的面积S的最大值；
(3)如果点P在x轴上，且是等腰三角形，直接写出点P的坐标．
80．（2026·辽宁鞍山·一模）已知抛物线与轴交于、两点，点在点左边，点的坐标为，且抛物线的对称轴是直线，
(1)求此抛物线的表达式．
(2)在抛物线的对称轴右边的图象上，是否存在点M，使锐角三角形的面积等于3．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在（1）（2）条件下，若P点是抛物线上的一点，且，求的面积．
押题预测九 二次函数的实际应用
试题前瞻·能力先查
限时：40min
为了提升社区居民的健康水平和生活质量，市政府决定对社区内的健身设施进行全面升级计划，采购两种不同类型的健身器材共720台．经过市场调研，发现A种器材的价格y（百元/台）与采购数量x之间的函数关系如图所示，而B种器材的价格为固定值30百元/台．
(1)当时，求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
(2)假设A种器材采购数量不低于60台，且B种器材采购数量不低于A中器材采购数量的3倍．如何分配两种器材的采购数量才能使采购费用w（百元）最少？最少是多少？
考纲分析
苏州中考数学二次函数实际应用必考，多以销售利润、拱桥隧道、运动轨迹为背景。建立二次函数模型求解析式，考查最值求解、取值范围限制、实际意义取舍。常结合一元二次方程、不等式，渗透配方与数形结合，注重实际情境下自变量取值的隐含条件，是中档必考解答题型。
终极预测·精练通关
81．（2026·江苏南通·一模）2026年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）正如火如荼在省内各地开展．某体育用品商店购进一批南通特色文旅服装，现有线上和线下两种销售方式，售价均为x元/件（）．调查发现，线上的销售量为件；线下的销售量件与售价元/件满足一次函数关系，部分数据如下表：
（元/件） 120 130 140 150 160
（件） 1200 1100 1000 900 800
(1)求与的函数关系式；
(2)求当售价为多少元时，线上的销售量与线下的销售量相等；
(3)求当售价为多少元时，线上和线下销售量的和有最大值．
82．（2026·江苏扬州·一模）综合与实践
问题情境：如图，某生态景观园区为打造“滨水乐仪”主题片区，安装了音乐喷泉装置．喷泉的水柱从底座（水平面上）O点喷出，其距水面的竖直高度y（单位：）与距喷口点O的水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，测得的几组数据如下表：
0 10 20 30 40
0 7.5 10 7.5 0
问题解决：
(1)将表格中各组对应值作为点的坐标，在图1所示的平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象，并求出y与x的函数关系式．
(2)为提升音乐喷泉表演的观赏效果，现要在该抛物线形水柱正下方的水面铺设一条观赏灯带，灯带的每一个位置均处于抛物线形水柱的正下方，为使得观赏效果最佳，要求抛物线形水柱上的每一个点到灯带的距离不低于，求这条观赏灯带可铺设的最大长度（结果保留根号）．
(3)如图2，在一场主题活动中，调整了喷泉的喷射参数，使得水柱距水面的竖直高度y（单位：）与距喷水点O的水平距离x（单位：）近似满足关系式：．在距喷口点O水平距离处有一个互动装置点M，要求水柱能落在距互动装置点M的范围内（含），求t的取值范围．
根据表格中的数据可得，抛物线的顶点坐标为，
设与的函数关系式为，
∵当时，
∴
解得
83．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围成一个矩形场地，在和边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），小明共用铁栅栏40米，设矩形的边长为x米，矩形的面积为S平方米．
(1)写出S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
(2)当x取何值时，S有最大值？并求出最大值．
84．（2025·江苏苏州·模拟预测）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习．
【数学建模】
一条公路上有隧道，隧道的纵截面为抛物线形状，且该隧道为同向两车道设计，中间标有行车道分隔线，标线宽度忽略不计，车辆不能压线行驶建立如图所示的直角坐标系，画出了隧道截面图．
【解决问题】
已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面．过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为，才能保证车辆安全通过．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）问厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由．
【拓展应用】
该数学兴趣社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计两个问题：
（3）如图，在抛物线内作矩形，使顶点，落在抛物线上，顶点，落在轴上设矩形的周长为，求的最大值．
（4）在（3）的条件下，如图，在矩形周长最大时，将矩形绕点逆时针旋转，若以点，，为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出此时的旋转角的度数．
85．（2025·江苏南京·模拟预测）为了提升社区居民的健康水平和生活质量，市政府决定对社区内的健身设施进行全面升级计划，采购两种不同类型的健身器材共720台．经过市场调研，发现A种器材的价格y（百元/台）与采购数量x之间的函数关系如图所示，而B种器材的价格为固定值30百元/台．
(1)当时，求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
(2)假设A种器材采购数量不低于60台，且B种器材采购数量不低于A中器材采购数量的3倍．如何分配两种器材的采购数量才能使采购费用w（百元）最少？最少是多少？
86．（2025·江苏盐城·一模）如图 1 ，一个小球以的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．轨道初段绝对光滑；除段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，其速度与时间之间的关系如图2所示，其路程与时间之间的关系如图3所示（段是抛物线 的一部分）．
(1)轨道初段的总长为 ；小球在粗糙轨道（图中射线上）运动时，与之间的函数关系式为 ；
(2)若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为，如果直线与抛物线有且只有一个交点，则称线段与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段与抛物线是否光滑连接？
(3)在（2）的条件下，在射线上，是否存在一节长为的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由．
押题预测十 解直角三角形及其应用
试题前瞻·能力先查
限时：30min
缅怀革命先烈，传承红色基因．清明节期间，某数学兴趣小组前往苏州烈士陵园开展实践活动，对纪念碑的高度进行测量，相关测量数据记录如下：
活动主题 测量纪念碑的高度
实物图和测量示意图
测量步骤 如图，某同学在点处用测角仪测得纪念碑的最高点的仰角，另一名同学在他的正后方的点处用相同的测角仪测得点的仰角（测角仪的高度为，且图中所有的点都在同一平面内，，，垂足分别为．
测量数据 在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为．
参考数据
… …
根据以上信息，求该纪念碑的高度（结果精确到）．
考纲分析
苏州中考解直角三角形为必考解答题，常以测量高度、坡度坡角、航海方位角为命题背景。通过作垂线构造直角三角形，运用三角函数、勾股定理求解边长角度，多含双直角三角形组合模型。侧重方程思想与实际情境建模，注意坡度、仰俯角概念及结果精准取值。
终极预测·精练通关
87．（2026·江苏南京·一模）生活中，“曲柄滑块机构”（如图（1））广泛应用于压缩机、冲床等机械设备中，它由导轨，长度固定的曲柄和长度固定的连杆组成，图（2）是它的示意图．它能将点A的整周转动转换为点B在导轨上的往复移动，其中，点B离点O最远的位置称为“外止点”，记为M；点B离点O最近的位置称为“内止点”，记为N．已知点O，A，B，导轨在同一平面内．
当点B和点M重合时，点A开始逆时针旋转，记旋转角为θ°，当时，点A停止旋转．设，，点O到的距离为c，且．
(1)如图（3），当，即直线经过点O时，若，，则MN的长度是______．
(2)如图（4），当，即直线不经过点O时，求证：．
(3)在点A的旋转过程中，的长度m是θ的函数．
①如图（3），当时，m与θ之间的函数图像（不完整）如图（5），该图像上的点P的纵坐标是，写出点P的横坐标并补全函数图像．
②如图（4），当时，直接写出m的最大值（用含a，b，c的代数式表示），并写出求此时θ的值的思路．
88．（2026·江苏无锡·一模）某校数学研究性学习小组以“利用斜坡观测实物高度”为主题分组开展综合与实践活动．
【活动准备】查找资料，准备好卷尺、标杆等测量工具
【活动地点】图①是该校附近斜坡的横断面示意图．测得该斜坡坡度，段为水平路面，B点位置设有指示牌，它与地面垂直．
【活动过程】
活动1：如图①所示，学习小组测得斜坡长为39米．
(1)求斜坡的高度；
活动2：如图②所示，当学习小组的指导老师李老师驾驶一辆小轿车在斜坡上点D处，他的眼睛到斜坡的距离为1.2米．李老师平视前方（视线与斜坡平行），他刚巧能观测到指示路牌的牌杆顶端Q点．
(2)求指示牌牌杆的高度；
活动3：如图③，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为10米，长为3.2米．李老师利用大巴车停在该斜坡上的机会再次进行观测，此时大巴车的前下端点K与点B重合．李老师发现当他位于D点与大巴车车尾C点相距15米时，他透过点E刚巧能看到指示路牌的顶端P点．
(3)求指示牌的高度．
89．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在四边形中，，点E在上，，，垂足为F．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若平分，，求和的长．
90．（2026·江苏徐州·一模）如图，一副直角三角板满足，，，．
【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边交于点．
【探究】在旋转过程中，
(1)如图，当时，与满足数量关系是_______；
(2)如图，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由；
(3)若且，连，设的面积为，在旋转过程中， 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．
91．（2026·江苏南通·一模）平移是一种重要的图形变换，在平面几何中，广泛用于解决各种问题．
【尝试解决】
如图1，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，且．
(1)过点D作交边于点G，则，的数量关系是 ．
(2)在（1）的基础上，求证：．
(3)【类比应用】
如图2，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，直线交于点Q，且．若点P是的中点，，求的长．
(4)【拓展提升】
如图3，矩形中，点E，F分别在边，上，点P在射线上，直线交于点Q．若，，，，求的值．
92．（2026·江苏泰州·一模）拉筋板是一种常见的健身器材，通过站立于倾斜的踏板上，利用自身重力拉伸小腿后侧肌群，达到放松肌肉、改善柔韧性的效果．
图1是放置在水平地面上的拉筋板实物图，图2是其侧面示意图，由踏板，底座及支撑架组成，，支撑架可绕点A旋转，当D点卡在底座上的不同档位（为锐角）时，踏板可绕点B旋转以调节倾斜角度．当点D调至时，．
(1)求的长；
(2)该拉筋板的使用说明书提示：当踏板与水平地面的夹角超过时，人体重心偏高，易发生受伤风险．小明在进行拉伸时为避免受伤，对D点位置进行了调整（如图3），请求出的最小值．（结果保留根号）（参考数据：，，）
押题预测十一 圆的切线判定与性质应用
试题前瞻·能力先查
限时：30min
【改编题】如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的半径．
考纲分析
苏州中考圆的切线题型为高频必考解答题，常结合三角形、平行线综合考查。重点考查切线两种判定方法及切线垂直半径的性质，多以证明切线、求线段长、角度计算为主，常融入相似、勾股定理，注重辅助线构造与几何推理，题型稳定、分值固定。
终极预测·精练通关
93．（2026·江苏南京·一模）如图，是的弦，点C在过点B的切线上，且，交于点P．
(1)判断的形状并证明；
(2)若，和的面积比是，则的长度是______．
94．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，为的直径，为上一点，连接，，为延长线上一点，连接，且．
(1)求证：是的切线．
(2)过点作的垂线，交于点，交于点，连接．若，，求和直径的长．
95．（2025·江苏苏州·一模）如图，C，D为线段上两点，且，过点D作的垂线，与以为直径的交于点E，作射线．
(1)求证：为的切线；
(2)F为上一点，弦与直径交于点G，当F为中点时，求的长．
96．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与相切于点，与，分别相交于点，．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径及的长．
97．（2026·江苏常州·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，过点A作交的延长线于点E，，连接．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的长．
98．（2026·江苏泰州·一模）如图，内接于，的度数为，于点．
(1)在图1中，用圆规和没有刻度的直尺在上求作点，使；（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）
(2)如图2，在（1）的条件下，连结并延长交于．若，，求的长．
押题预测十二 与圆有关的计算（弧长、扇形面积、圆锥面积）
试题前瞻·能力先查
限时：30min
【改编题】如图，是的直径，，是上两点，且，的半径为4．过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接，，且与交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求阴影部分的面积．
考纲分析
苏州中考与圆有关的计算为常考题型，聚焦弧长、扇形面积及圆锥侧面积、全面积计算。常结合圆、正多边形、阴影图形割补求面积，考查公式灵活运用，圆锥重点把握母线、底面半径与圆心角关系，侧重公式识记和几何图形组合运算。
终极预测·精练通关
99．（2026·江苏徐州·一模）如图，点在上，为直径，为延长线上一点，，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积．（结果保留）
100．（2026·江苏宿迁·一模）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为6，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
101．（2026·江苏连云港·一模）如图，是的直径，，是上两点，且，的半径为4．过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接，，且与交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求阴影部分的面积．
102．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知在中，．
(1)请用圆规和直尺作出，使圆心在边上，且与，两边都相切；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
(2)若，切于点，求劣弧的长．
103．（2025·山东临沂·一模）如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积．
104．（2025·江苏无锡·一模）如图，、是的切线，A、B是切点，是的直径，连接，交于点D，交于点E．
(1)若E恰好是的中点，且四边形的面积是，求阴影部分的面积；
(2)若，且，求切线的长．
押题预测十三 几何图形的平移、翻折、对称问题
试题前瞻·能力先查
限时：30min
【改编题】如图，等腰中，，，点D为斜边上一点（不与A，B重合），，连接，将线段绕点C顺时针方向旋转至，连接、．若，，求________．
考纲分析
苏州中考几何变换是高频重难点，常考平移、翻折、轴对称综合题型。多结合三角形、四边形、抛物线背景出题，利用变换前后边长、角度全等不变的性质，结合勾股、相似求解线段与坐标。侧重分类讨论、数形结合，翻折落点问题更是压轴常考方向。
终极预测·精练通关
105．（2026·江苏常州·一模）在数学综合实践活动课上，老师对一张平行四边形纸片（）进行如下操作：
(1)如图1，折叠纸片，使边恰好落在边上，得到折痕；打开后再折叠该纸片，使边恰好落在边上，得到折痕，则四边形的形状是______；
(2)老师沿折痕将和剪下，摆放成如图2的位置，则四边形的形状是______；若的两边，，则四边形的面积为______；
(3)在（2）的条件下，固定，将沿着射线的方向平移，如图3，当四边形为矩形时，求平移的距离．
106．（2025·江苏南京·一模）实践与探究：
(1)如图甲，正方形纸片的边长为，沿对角线剪开，然后固定纸片把纸片沿剪痕方向平移得到，连接、、．
①在平移过程中，试判断四边形的形状，并说明理由；与不重合
②在平移过程中，求的最小值；
(2)如图乙，菱形纸片的边长为，，沿对角线剪开，然后固定纸片，把纸片沿剪痕方向平移得到，连接、、，在平移过程中，求的最小值．
107．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接．若分别为的中点，则线段长的最小值为___________．
108．（2026·江苏盐城·一模）如图，在扇形中，点P在上，连接，将沿折叠得到．若，且与所在的圆相切于点B．则______．
109．（2026·江苏盐城·一模）如图，在菱形中，点E为边上一点，将沿着翻折得到．点G为中点，连接，过点F作于点H．若，，则的最小值为________．
110．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图，平行四边形中，点E是的中点，连接，将沿折叠使点B落在点F处，连接和，延长交于点G，和相交于点H，若，，，则的长为_________．
押题预测十四 几何图形中的最值问题
试题前瞻·能力先查
限时：30min
如图，在正方形中，，点O是边的中点，若点E是直线上一动点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值为_______．
考纲分析
苏州中考几何最值为压轴高频考点，常以三角形、四边形、圆为载体。重点考查将军饮马、点到直线距离、圆上动点最值、翻折轨迹最值四类模型，结合勾股、相似、二次函数求解。侧重数形结合与轨迹分析，多需构造辅助线，常含分类讨论，区分度极强。
终极预测·精练通关
111．（2026·江苏连云港·一模）如图，已知以为直径的半圆，为弧上一点，，为弧上任意一点，交于，连接，若，则的最小值为___________．
112．（2026·江苏泰州·一模）如图，点A坐标为，点B是x轴正半轴上的动点，以为边在第一象限内作矩形．若矩形的面积是24，连接，则的最大值为_______．
113．（2025·江苏南京·一模）如图，在矩形中，，点M，N分别在边上，且．连接，过点N作，垂足为P，连接，则的长的最小值为 _____ ．
114．（2025·江苏南京·三模）如图，是的一条弦，点在内，，连接，若的半径是，则的长的最小值为__________．
115．（2025·江苏宿迁·三模）如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，连接，若以为边向右上侧作等边；点从点运动到点的过程中，连接，则线段的最小值是___________．
116．（2025·江苏·三模）如图，正方形边长为3，点P在边上运动，是直角三角形且，，则的最小值是________．
押题预测十五 新情境类材料阅读与应用题
试题前瞻·能力先查
限时：40min
【新情境】阅读与思考
下面是项目学习小组学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
实验室使用量筒量取液体时，读数要平视，如图，量筒内的液面近似地看成，读数时，视线垂直于量筒壁，与相切于点，点为所在圆的圆心．小东同学读数时，从点处俯视点（点在上），记录量筒上点处的高度为．小华同学记录量筒上点处的高度为．
完成下列任务：
(1)连接，求证：．
(2)若，求的长．
考纲分析
苏州中考新情境材料阅读题为必考热点，以生活、社会、科技为背景，给出陌生定义、规则或图表信息。考查学生提取信息、理解建模能力，常结合方程、不等式、函数、统计知识求解，注重阅读理解、迁移运用和实际问题转化，题型新颖灵活，侧重逻辑分析与数学建模素养。
终极预测·精练通关
117．（2026·江苏扬州·二模）【阅读材料】
教材习题 如图，、相交于点，是中点，，求证：是中点．
问题分析 由条件易证，从而得到，即点是的中点
方法提取 构造“平行字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法

请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题．
【基础应用】已知中，，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点．
(1)如图1，若，，求证：点是的中点；
(2)如图2，若，，探究与之间的数量关系；
【灵活应用】如图3，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，点运动的路径长为______，扫过的面积为______．
118．（2026·江苏盐城·一模）阅读材料，解决问题．
课题 图形翻折变换中圆的有关问题探究
素材 如图1，在中，，，，点E、F分别是边、上的动点，连接，，在同一平面内，将沿着翻折得，M为的中点，过点M作的垂线交于点O，以长为半径作．
变换1 如图2，点E为的中点，且点P恰好落在边上，与交于点H，连接．
变换2 如图3，平分，且．
(1)问题1：根据素材和变换1：
①请说明；
②与相切吗？请说明理由．
(2)问题2：根据素材和变换2：
①直接写出的半径的长为______．
②取图3中的四边形，请用无刻度的直尺与圆规在四边形中作出一个最大的半圆．（保留作图痕迹，不写作图过程，不需证明）
119．（2025·江苏泰州·一模）【阅读材料】
菱形是特殊的平行四边形，它可以通过平行四边形得到．如图1，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若将沿方向平行移动，则的边随之变化．当时，为菱形．除了平行四边形，我们也可以由矩形、正方形得到菱形．
①如图2，，，，分别是矩形各边的中点，则四边形为菱形；
②如图3，已知正方形，分别以点为圆心，小于长为半径画弧，交对角线于点，，则四边形为菱形；
【解决问题】
(1)请从①②中选择一个进行证明；
(2)如图4，在四边形中，，试用无刻度的直尺和圆规作菱形，使点，分别在，边上；（保留作图痕迹，不写作法）
(3)在（2）的条件下，若，，对角线长为，则菱形的周长为_____．
120．（2026·江苏苏州·模拟预测）苏州金鸡湖环湖步道是市民健身的热门场所．小苏和小州分别以步行和骑自行车的方式沿步道行进（视为直线），小苏步行速度为，小州骑自行车速度为．
(1)小苏提前0.5小时从起点出发步行，小州骑车从起点追赶，则小州出发后经过________小时首次追上小苏，此时两人距起点________千米．
(2)若小苏提前出发15分钟（即0.25小时），小州才从起点追赶，求小州出发后多少分钟首次追上小苏？
(3)由于景区调度，小州需在距起点6千米的李公堤站或距起点8千米的东方之门站接听电话（两站点均在路径上）．若小苏提前出发10分钟（即小时），小州需选择其中一站停车通话1分钟（即小时）后再继续追赶，小州应选择哪一站通话，才能确保通话后追上小苏所用时间最少？请通过计算说明理由．
121．（2026·江苏宿迁·一模）筝韵寄情——传统风筝中的数学探究
实践背景：风筝，古称“纸鸢”“鹞子”，是我国极具代表性的传统民间工艺，承载着千年民俗文化．从古代的军事通讯到如今的清明踏青，风筝不仅是娱乐器具，其对称优美的骨架结构更是数学几何的生动体现．初三数学某综合实践小组以经典风筝为原型，结合几何定义开展综合探究．
基础建模：在几何中，两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．如图1，四边形为筝形，则满足，；称对角线为筝形的中轴线，称对角线为筝形的横轴．
经综合实践小组研究发现，筝形有如下性质：
性质1．筝形是轴对称图形，对称轴为中轴线所在直线，且；
性质2．中轴线垂直平分横轴；
性质3．筝形的面积：．
请利用筝形的相关性质，解决以下问题：
(1)在图1中，若，，则______°；
(2)综合实践小组研究发现，筝形不具备稳定性，当筝形四条边的长度确定时，它的四个内角却不能完全确定，测量发现某筝形的各边长分别为：，，要使筝形受力面积最大，需将固定为．
①如图2，若用横轴将筝形固定，并使，求横轴的长度；
②经进一步研究发现，如图3，在取一点E，在边上取一点F，固定线段，也可以将固定为．若始终保持，求的最小值．
122．（2025·江苏宿迁·一模）阅读理解，并完成下列问题：
【阅读】如图，是的中线，点是上一点，连接交于点，若，求的值．
解：过点作，交于点F；
，
，
，
点是的中点，
是的中位线，
设，则，
，
．
【理解】某数学兴趣小组在研究上面问题时，发现如下结论：
（1）当时，则 ，；
（2）当时，则 ；
（3）当时，则 ，并说明理由．
【拓展】如图，在中，，动点从点出发，沿、以每秒1个单位长度的速度向终点匀速运动，连接交于点，设运动时间为的面积为．求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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