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江苏徐州市2026届高三模拟预测数学试题
一、单选题
1．在复平面内，复数所对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则“”是“数据a，，，，的极差为4”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在中，若，则（ ）
A． B．
C． D．
5．若函数（）是奇函数，则（ ）
A． B．1 C．3 D．9
6．已知椭圆（）的左顶点为，上顶点为，直线与交于第一象限内的点．若四边形的面积是的面积的3倍，则的方程不可能为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在正方形中，E，F是的两个三等分点，将该正方形折成一个正三棱柱（与重合），则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，集合．若对任意，都有，则t的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数（，）和的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C．是函数的一条对称轴 D．当时，
10．若数列的前n项和为，且，从其前项中任取两项，记这两项都是正数的概率为，则（ ）
A． B． C． D．
11．在正四棱台中，，O为和的交点，平面内的点P到平面与平面的距离之积为，则（ ）
A．该棱台的侧面积为 B．直线与所成的角为
C．该棱台的外接球的体积为 D．的最小值为
三、填空题
12．的展开式中含项的系数为______．
13．将某数学博主1—4月份的粉丝量y整理成如下表格，根据表中数据求出z关于x的经验回归方程为，则预测该数学博主6月末的粉丝量约为______．
月份x 1 2 3 4
粉丝量y
14．若存在4条不同的直线既是曲线的切线，也是圆的切线，则半径r的取值范围是______．
四、解答题
15．记的内角的对边分别为．已知，，的平分线交于点D．
(1)求b的值；
(2)从下列条件中选择一个作为已知，使存在，并求的长．
条件①：边上的高为；条件②：的面积为．
16．箱内有3个除编号外都相同的小球，编号为1，2，3．游戏规则如下：从箱中取出一个小球，记下编号并放回，重复这个过程，直至某次取到小球的编号小于或等于上一次取到小球的编号时，游戏停止．记游戏停止时，取球次数为X．
(1)求第一次取到2号球的条件下，第二次取球后游戏停止的概率；
(2)求X的分布列和数学期望．
17．已知函数，．
(1)若，
（i）求的极值点；
（ii）证明：当时，；
(2)若，，求的取值范围．
18．已知数列共有m（，）项，且各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为．
(1)若数列为求T；
(2)若是等比数列，且， ．
（i）求；
（ii）令（），若，求m的最大值．
19．已知抛物线的焦点为F，过F的直线交C于点A，B（A在x轴上方），交y轴于点P，M为的中点，C上的点D满足．
(1)证明：
（i）直线与C相切；
（ii）直线过定点；
(2)若直线的斜率为，直线交x轴于点N，将坐标平面沿x轴折起，设二面角的大小为（），平面与直线交于点Q，求三棱锥的体积的最大值．
参考答案
1．B
【详解】由题,在复平面内对应的点为,在第二象限,
故选:B
2．B
【详解】已知 ，，所以一元二次方程 的两个根就是 和.
设一元二次方程的两根为 ，则： ，，
所以，即，因此
3．A
【详解】若，数据为1,2,3,4,5，极差为，所以“”是“数据，，，，的极差为4” 的充分条件；
数据，，，，的极差为4，则，解得，所以“”是“数据，，，，的极差为4”的不必要条件；
因此“”是“数据，，，，的极差为4”的充分不必要条件.
4．A
【详解】因为，所以，即，
所以三点共线，，即，因此，即A正确.
5．D
【详解】由题知，，定义域为，
由是奇函数得（负根舍去），
则，，符合题意．
故.
6．C
【详解】将代入椭圆方程，
得 ，因在第一象限，故坐标为：
已知 ，
而 ，
因此得，
，
中在轴上，高为的横坐标，故，
代入面积关系化简得：，约去得，
将代入 ，约去平方得： ，
A： ，，满足；
B： ，，满足；
C：化为标准形式， ， ，不满足；
D：化为标准形式， ，，满足；
因此椭圆方程不可能为.
7．D
【详解】如图1所示，沿着，两条折痕将正方形折叠成正三棱柱，
如图2所示，E，F是的两个三等分点，折叠后，分别为的三等分点，设，所以，，，
如图3所示，作，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
作轴，因为，，所以，所以，，，
所以，，，
设平面的法向量，所以，不妨取，
所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，
所以，即直线与平面所成角的正弦值为
8．A
【详解】
由图象可知，在单调递减，在单调递增，单调递增，单调递减，
且，
且时，，，
如图①，当时，即，此时，
若对任意，都有，
此时，解得，
此时，
如图②，当时，即，此时，
若对任意，都有，
此时只需
故，
综上，，
故t的取值范围为.
9．BCD
【详解】由函数，得，
因为函数的最小值为，函数的最大值为，因此，故B正确；
又因为是函数的一个零点，所以，即，
所以，得，且，
所以，，，故A错误；
对于C，由，
所以是函数的一条对称轴，故C正确；
对于D，若时，，得，
所以D正确.
10．ACD
【详解】A选项， ，，，
，
所以，所以A选项正确；
B选项，，所以B选项错误；
C选项，前项中，一共有正数项个，负数项个，
此时，
前项中，一共有正数项个，负数项个，
此时，
因为，则，所以C选项正确；
D选项，前项中，一共有正数项个，负数项个，
此时，
所以，
则，所以D选项正确.
11．ABD
【详解】对于A项，记侧面斜高为，则，
则该棱台的侧面积为，故A正确；
对于B项，因为,所以为直线与所成的角，
在中，则，
故直线与所成的角为，故B正确；
对于C项，设上底面中心为，则 ,
外接球球心必在中轴线 所在直线上，设外接球球心为，
半径为，令，
则，
若球心在和之间（棱台内部），则
则，解得，故球心不可能在棱台内部，
若球心在点下方，则，
则，解得，满足条件，
则，得到，
所以该棱台的外接球的体积为，故C错误；
对于D项，因为在正四棱台中,为中点，所以,,
又因为平面，，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
同理可得平面平面；
所以平面内的点P到平面与平面的距离，分别为点到与的距离,设点到的距离为，设点P到的距离为，则
过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为,
则四边形为矩形，则，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为，故D正确.
12．
【详解】展开式的通项为，
由，得，
将代入系数得：，
因此含项的系数为.
13．
【详解】因为，所以当时，，
所以，解得.
故预测该数学博主6月末的粉丝量约为
14．
【详解】因为，所以，
设切点为，则，，
所以切线方程为，，
因为切线与圆相切，
所以圆心到切线的距离等于半径，
即，令，则，
，
令，
当且仅当，即时，等号成立，
又在上递减，在上递增，
当时，，当时，，
所以的最小值为4，
若使方程有两个不同的解，
则，即，
又，则，
故答案为：
15．(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）因为，所以，
又，由正弦定理可得：，
所以．
（2）

若选①：因为边上的高为，，，
根据正弦函数可知边上的高又等于，
所以这样的三角形不存在；
若选②：的面积，解得．
所以，所以为等腰三角形，
又为的平分线，所以，
即．
16．(1)
(2)
X 2 3 4
P
【详解】（1）记第一次取到2号球为事件A，第二次取球后游戏停止为事件B，
则，，
所以．
（2）X的可能取值为2，3，4
，，．
所以X的分布列为
X 2 3 4
P
17．(1)（i）极小值点为2，无极大值点；（ii）证明见解析.
(2)．
【详解】（1）（i）当时，，定义域为，
则，
令，解得，
当变化时，与的变化如下表所示：
2
－ 0 ＋
减 极小值 增
所以的极小值点为2，无极大值点；
（ii）令，
则，
当时，，所以为减函数，
所以，
从而当时，，即．
（2）令，
则．
因为，所以，
从而当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以的最小值为
因为，所以，即，从而，
故的取值范围为．
18．(1)
(2)（i）；（ii）7．
【详解】（1）因为数列为所以，
，，则．
（2）（i）设等比数列的公比为，由各项为正整数可得，
由题意可知， ，
即，解得或（舍去），
所以．
因为，所以集合T中元素最多为个，即．
对于数列，，，，，此时，
若存在，即，其中，，
故．
若，不妨设，则，而，，
故为偶数，为奇数，矛盾，故，，
故由，，，…，得到彼此互异，所以．
（ii）由（i）知，（）
所以（），
则
．
①当n为奇数时，，从而．
②当n为偶数时，．
令，则（），
当时，单调递增．
又因为 ， ，
所以m的最大值为7．
19．(1)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
(2)．
【详解】（1）（i）由题意，直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为（），令，得，即，
因此直线的方程为，
联立，得，
则，又，所以直线与C相切．
（ii）联立，解得，则，
联立，得，设，，
则，，所以，．
①当，即时，直线的斜率为，
所以直线方程为，
，故直线恒过定点；
②当时，即，此时直线方程为，恒过点．
综上可知，直线过定点．
（2）由（1）知，当时，，．
折起后，以C的顶点O为原点，为x轴正方向，为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为二面角的大小为，
则，，，，．
所以，，，．
因为Q，M，D，N四点共面，所以存在，使得
．
设
，
所以，，解得．
设，则
所以三角形的面积．
因为y轴的方向向量为，且，，所以y轴，
y轴，又，平面，，所以y轴平面．
故点A到平面的距离为，
故三棱锥的体积，
当且仅当，即时，取等号．
综上可知，三棱锥的体积的最大值为．

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