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平罗中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题
一、单选题
1．若，，则的坐标为（ ）.
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．若圆锥的母线长为 ，高为 ，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，角所对的边分别为，若，，，则（ ）
A．30°. B．60°. C．90°. D．30°或150°.
5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则是异面直线
D．若，则或是异面直线
6．如图所示，在中，是线段上的靠近的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与所成角的大小为（ ）
A． B．
C． D．
8．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数，，则（ ）
A．是纯虚数 B．在复平面内对应的点位于第三象限
C． D．
10．已知平面向量，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．若和的夹角为锐角，则
C．当时，在方向上的投影向量为
D．若，则和的夹角为
11．如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是的中点，是上异于的点，.则（ ）

A．平面
B．平面平面
C．当是的中点时，与所成的角为
D．与平面所成的角为定值
三、填空题
12．已知是两个不共线的向量，向量，，若，则__________．
13．如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救，信息中心立即把消息告知在其南偏西，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援.则的距离为__________．
14．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________．
四、解答题
15．已知向量，．
(1)求；
(2)若，求m的值．
16．如图所示，已知直角梯形，，，过点作于点，为的中点，建立恰当的坐标系用向量的方法证明：
(1)；
(2)三点共线．
17．如图所示，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，分别是棱的中点，是的中点．
(1)证明：；
(2)证明：平面平面；
18．在中，角所对的边分别为．满足
(1)求角的大小；
(2)设，已知是边的中点，求的最大值．
19．如图，在平行四边形中，，，为的中线，将沿折叠，使点到点的位置，连接，且.
(1)求证：平面.
(2)求直线与平面所成角的正切值.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B A D C C C ABC ABD
题号 11
答案 AD
1．C
由向量减法的坐标运算即可得解.
【详解】因为，，
所以.
故选：C.
2．B
根据题意结合复数的乘法运算求解即可.
【详解】因为，所以.
3．B
先由圆锥的母线和高的长求出底面半径，再由体积公式计算即得.
【详解】由题意，圆锥的母线，高，则底面半径 ，
故其体积 .
故选：B.
4．A
由正弦定理得到结果或 （ 舍掉，小边对小角）.
【详解】由正弦定理得：，
所以或，
因为，所以，所以.
故选：A.
5．D
【详解】对于A，若，则或相交或是异面直线，故A错误；
对于B，若，则或，故B错误；
对于C，若，当平面α与β相交时，m与n可能相交，故C错误；
对于D，若，则直线m, n无公共点，所以或是异面直线，故D正确。
6．C
由已知条件得出，利用平面向量的减法化简可得出关于、的表达式.
【详解】在中，是线段上的靠近的三等分点，则，
即，解得.
7．C
以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用已知条件得出相关点的坐标，进而得出的坐标，利用向量夹角的余弦公式求解．
【详解】在三棱锥中，两两互相垂直，以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系，
为的中点，且，则，，
，
，设所成的角为，
，
，，即直线与所成角的大小为．
故选：C．
8．C
利用正弦定理对已知式化简变形可求得，再利用正弦定理表示出，，从而可得，求出的取范围，可求得范围．
【详解】因为
所以由正弦定理得，，
所以，
因为，所以．
因为，所以，，
所以
．
因为，所以，．
故．
故选：C．
9．ABC
利用纯虚数定义可得A；借助复数运算法则可计算出，再利用几何意义即可得B；利用共轭复数定义可得C；利用模长公式计算可得D.
【详解】对A：，为纯虚数，故A正确；
对B：，由、，
故在复平面内对应的点位于第三象限，故B正确；
对C：由，则，故C正确；
对D：，故D错误.
10．ABD
由向量垂直的坐标表示可判断A，由向量夹角和数量积的符号关系可判断B，由投影向量计算公式可判断C，通过平方可判断D.
【详解】选项A，若 ，得 ，
解得 ，A正确，
选项B，由 与 夹角为锐角，
得：，
当两向量共线，得 ，
此时 ，为同向共线，夹角为（不是锐角），需排除 ，
因此 ，B正确，
选项C，当 时，，
在 方向上的投影向量为 ，
，
因此投影向量为 ，C错误，
选项D，对 ， 两边平方： ，
展开整理得：，代入， 得 ，
又 ，因此 ，，
设夹角为 ： ， 由 得 ，D正确.
11．AD
根据线面平行的判定、面面垂直的判定和性质、异面直线的夹角以及线面夹角的知识逐项计算即可.
【详解】对于A：
因为矩形，所以，
因为平面，而不在平面内，
所以平面，所以A正确；
对于B：
因为矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，两平面交线为，，
所以与半圆弧所在平面垂直，因为在半圆弧所在平面内，
所以，所以，所以，
假设平面平面，因为平面平面，
设过点作的垂线，记为，则平面，
因为平面，所以，又，所以点与重合，
即，所以.
由前面可知，所以假设不成立，
所以平面不垂直，所以B错误；
对于C：
取的中点为，连接，因为是的中点，
所以，
因为矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，两平面交线为，，
所以平面，又平面，
，所以为等腰直角三角形，
所以.
因为，所以所成的角为所成的角，即，所以C错误；
对于D：
因为矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，两平面交线为，，
所以与半圆弧所在平面垂直，所以与平面所成的角为.
因为在半圆弧所在平面内，所以，
所以在直角中，，所以为定值，所以D正确；
故选：AD.

12．
根据向量平行（共线）建立相应的关系式分析求解即可.
【详解】因为，，
所以存在实数，使得，即，
又是两个不共线的向量，所以，解得：.
13．
【详解】在中，，，
由余弦定理可得：，
即，所以的距离为海里.
14．144π
易知当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球O的半径为R，列方程求解即可.
【详解】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大，
设球O的半径为R，此时VO－ABC＝VC－AOB＝×R2×R＝R3＝36，
故R＝6，则球O的表面积为S＝4πR2＝144π.
故答案为144π.
15．(1)5
(2)
【详解】（1）∵，
∴；
（2）由，可得
即，即，解得．
16．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）
如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
已知，
则，，，，，，
，，
所以，即与共线，
又因为与无公共点，所以；
（2）由（1）得，，
所以，即与共线，
又因为与有公共点，所以三点共线．
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）根据等腰三角形性质以及线面垂直的性质可得线线垂直，利用线面垂直判定以及性质，可得答案；
（2）利用平行四边形的性质可得线线平行，根据线面平行的判定与面面平行的判定，可得答案.
【详解】（1）∵是棱的中点，，∵，∴为等腰三角形，
又∵是的中点，∴，∵平面，平面，
∴，又，平面，∴平面，
又∵平面，∴．
（2）∵是棱的中点，，
，且，四边形为平行四边形，则，
即，平面，平面，∴平面，
同理平面，又平面，
∴平面平面．
18．(1)
(2)
（1）利用三角恒等变换整理可得，即可得；
（2）利用余弦定理结合基本不等式可得，，根据平面向量的运算可得，即可得结果.
【详解】（1）因为，
且，则，可得，即，
又因为，所以.
（2）由余弦定理可得，即，
则，可得，当且仅当时，等号成立，
又因为是边的中点，则，
可得
，
即，所以的最大值为.
19．(1)证明见解析
(2).
（1）用勾股定理证明，再用等腰三角形中线得，进而再由折叠可得，再用线面垂直的判定定理可得；
（2）先证平面，从而可得平面，进而可得与平面所成的角为，在直角三角形计算可得.
【详解】（1）因为，且，所以，.
又为的中线，所以.
因为，所以，所以.
由题意知，为的中线，所以.
而是沿折叠到点的位置，所以
因为，，且，且平面，
所以平面.
（2）因为，，，所以平面.
又，所以平面，所以与平面所成的角为.
在中，，，所以.
所以直线与平面所成角的正切值.

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