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合肥八中2026届高三最后一卷
5.设函数f()=inox-√5coso(o>0,若点（行0为函数/(y)图象的一个对称中心，
数学试题
且f()在0，上的最大值为2.则0的最小值为()
A.4
B.5
C.7
D.10
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟
6.如图，正三棱台ABC-ABC的上、下底面边长分别为1和3，平面ABC将
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚，
棱台分成两部分，则三棱锥A-ABC和四棱锥A-BCCB的体积比是()
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题
卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡
A
B.
C.4
D.9
4
上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，.在试题卷、草稿纸上作答
无效。
7,双曲线E:
=1(a,b>O)的左、右焦点为F、F2,A、B为双曲线E右支上两点且满
足AF/BF,若AF⊥BF时，BF=3a,则双曲线E的离心率为()
4本卷命题范围：高考范围。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中
A.3W2
B.3
C.2W5
D.3
只有一项是符合题目要求的。
8.若实数x,y,z满足√x=2y=-log2z,则x,y,z的大小关系不可能是()
1.已知集合A={xx2-x-6≤0}，B={xy=V1-x,则AnB=()
A.[-1,1]
B.[-2,1]
C.(-1,1)
D.[0,1]
A.z>x>y
B.z>y>x C.y>x>z
D.y>z>x
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
2.已知复数21=2+i,在复平面内，复数z1与z2对应的点关于直线y=x对称，则互=()
目要求。
22
A.0
B.1.3
221
43
9.己知数列{an}是首项为1，公差为d的等差数列，数列b}是首项为2，公比为q的等比数列，
D.43
55
55
且a2=b2,as=b3+5,则()
3.两个粒子A,B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为S,=(4,3),
A.d=3,q=2
B.数列{an的前50项中，有7项在数列{bn}中
Sg=(-2,6),则S在S4-Sg上的投影向量的长度为()
C.数列(an+bn}的前n项和为3n2-m-4+2n+1
2
A.3f0
B.10V8
C.25
D.数列{anbn}的前5项和为650
D.2
2
17
10.在篮球训练课上，A,B两位同学进行“定点投篮比赛，规则为：比赛共进行5轮，在每轮
4.意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所
比赛中，两人各定点投篮一次，投中得1分，投不中得0分.已知A,B每次定点投篮投中的概
形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线
率分别为PA,PB,(P4,PB∈(O,1),若5轮比赛后A,B的总得分分别为X4,Xg,则下列结论
函数，其函数表达式为0hx+,相应的双曲正弦函数的表达式为h:,论
正确的是()
A.若E(XA)coh,若实数a满足不等式f(a+2)+f(-a)>0,则a的取值范围为()
函数f(x)=sinhx
B.若0A.（-1,2)
B.(-2,1)C.（-0,-1)(2,+0)D.（-0,-2)U(1+0)
C.P(XA XB =3)P(XA:XB =2:3)
D.若当且仅当k=2时，P(Xg=k)(k=0,12,34,5)取得最大值，则12026 届高三最后一卷
数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 6 ≤ 0}， = { | = 1 }，则 ∩ =( )
A. [ 1,1] B. [ 2,1] C. ( 1,1) D. [0,1]
【答案】B
解：集合 = { | 2 ≤ ≤ 3}， = { | = 1 } = |1 0 = | 1 ，
则 ∩ = [ 2,1]．
故选： ．
z
2.已知复数 1 = 2 + ，在复平面内，复数 11与 2对应的点关于直线 = 对称，则 =( )z2
1 3 i 4 3 4 3A.0 B. C. i D. i
2 2 5 5 5 5
【答案】D
解：在复平面内， 1 = 2 + 对应的点为(2,1)，
z 4 3
而(2,1)关于直线 = 对称的点为(1,2)，则 2 = 1 + 2 ，所以 1 = i．z2 5 5
故选： ．
3.两个粒子 ， 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为 = (4,3)， = (

2,6)，则 在 sA sB 上的投影向量的长度为( )
3 10 10 85
A. B. C. 2 5 D. 2
2 17
【答案】C

解：因为 sA sB =（6,-3）则 sB (sA sB )= 30，

所以 在 sA sB 上的投影向量长为 2 5
故选： ．
4．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所
1
形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线
x x x x
函数，其函数表达式为 cosh x
e e
，相应的双曲正弦函数的表达式为 sinh x e e ．设
2 2
sinh x 2
函数 f x ，若实数 a满足不等式 f a 2 f a 0，则 a的取值范围为( )
cosh x
A． 1, 2 B． 2,1
C． , 1 2, D． , 2 1,
【答案】A
ex e x
解：由题意可知： f (x)
ex
的定义域为R，
+e x
f ( e
x ex
因为 x) f (x)x x f (x)，所以函数 为奇函数，e +e
ex e x e2xf (x) = 1=1 2又因为 ，且 g(x)=
2
x x 2x 2x 2x 在R上为减函数，e +e e +1 e +1 e +1
2
由复合函数的单调性可知： f (x) 1 2x 在R上为增函数，e +1
因为 f a 2 f a2 0，所以 f a 2 f a2 f a2 ，
所以 a 2 a2，解得： 1 a 2，所以实数 a的取值范围为 ( 1,2)，
故选：A.
5．设函数 f x sin x 3cos x( π 0) ，若点 ,0 为函数 f x 图象的一个对称中心，
3
且 f x π 在 0, 上的最大值为 2，则 的最小值为( ) 6
A．4 B．5 C．7 D．10
【答案】C

解： f (x) sin x 3 cos x 2
1 sin x 3 cos x 2 2
2sin x ，
3

点 ,0 是 f (x)

的对称中心，因此 f 0 2sin
，代入得
3
0，
3 3 3
( 1)
即 k (k Z )，整理得 3k 1(k N , 0)；
3

当 x 0,

时， x ,

， 而根据解析式可知 f (x)最大值为 2， 6 3 3 6 3

说明区间必须包含 ，因此 ， 解得 5； 结合 3k 1且 5，
2 6 3 2
k 1时， 4 5，不满足； k 2时， 7 5，满足条件.因此 的最小值为7 .
故选： ．
2
6. 如图，正三棱台 ABC A1B1C1的上、下底面边长分别为1和3，平面 A1BC将
棱台分成两部分，则三棱锥 A1 ABC和四棱锥 A1 BCC1B1的体积比是( )
4 3 7 9
A． B． C． D．
3 2 4 4
【答案】D
解：由正三棱台上、下底面边长分别为1和3，知 S A B C : S 1:9 ,1 1 1 ABC
V 4又 A1 BCC B VA BC B VA BCC 4VA BC B 4VB A B C V ,1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 A1 ABC
VA1 ABC 9
所以 V 4 ,故选 D.A1 BCC1B1
x2 y27.双曲线 E : 1 (a,b 0)2 2 的左、右焦点为 F1、F2， A、B为双曲线 E右支上两点且满a b
足 AF1 / /BF2，若 AF2 BF2时，BF2=3a，则双曲线 E的离心率为( )
A．3 2 B． 13 C． 2 3 D．3
【答案】B
解：设 AF1交双曲线的左支于点D，由对称性知DF1=3a，则DF2=5a，
设 AF2=m，则 AF1=m 2a， AD=m a 2利用 AD AF 22 =DF
2
2 解得：
m=4a AF 2 AF 2 2 c，又 1 2 =F1F2 ，解得： 13a
8．若实数 x， y， z满足 x 2 y log2 z，则 x， y， z的大小
关系不可能是( )
A． z x y B． z y x C． y x z D． y z x
【答案】C
1 1 y
解：由 x 2 y log 2 z可得 x 2 log1 z t，
2 2
t log1 x 1与 t x 互为反函数，故其交点C在直线 t x上，且交点横坐2 2
标小于 1，
而 t x与 t x交点的横坐标等于 1，
t log x t 1从而 t x， 1 ， x 在同一直角坐标系中的大致图象如图所2 2
3
t 1示： 与 t x的图像交点为 B , t log1 xx 与 t x的图像交点为 A ,且 xB x x2 A C2
当直线 y m位于点 A的上方时，此时直线 y m与三个函数的交点横坐标满足 x z y，
当直线 y m位于点 B的上方， A的下方时，此时直线 y m与三个函数的交点横坐标满足
z x y，
当直线 y m位于C点的上方， B的下方时，此时直线 y m与三个函数的交点横坐标满足
z y x，
当直线 y m位于C点的下方时，此时直线 y m与三个函数的交点横坐标满足 y z x .
故选： ．
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列 是首项为 1，公差为 的等差数列，数列 是首项为 2,公比为 的等比数列，
且 2 = 2， 5 = 3 + 5，则( )
A. = 3, = 2
B. 数列 的前 50项中，有 7项在数列 中
2
C. 数列 + 3 4 的前 项和为 + 2 +12
D. 数列 的前 5项和为 650
【答案】ACD
1 + = 2
解：对于 ，设 = 2 的公比为 ，由于 2 = 2， 5 = 3 + 5，则 1 + 4 = 2 2 + 5，解得 = 3，
所以 A正确；
对于 ，可知 = 1 + 3( 1) = 3 2, = 2 ，令 = ，即 3 2 = 2 ，存在 =
2，6，22，使得 = ，所以 B错误；
对于 ， + = (3 2) + 2 ，设数列 + 的前 项和为 .则 = 1+ 4 + 7 + +
(3 2) + 2 + 22 + + 2 = (1+3 2) 2 1 2
2
+ = 3 4 + 2 +1，所以 C正确;
2 1 2 2
对于 ， = 3 2, = 2 ，则 = (3 2) 2 ，故 = 1 × 2 + 4 × 22 + + (3
2) 2 , ∴ 2 = 1 × 22 + 4 × 23 + + (3 2) 2 +1，两式相减得： = 2 + 3 × 22 + 3 ×
+1
23 + + 3 × 2 (3 2)·2 +1 = 2 + 3 4 2 (3 2) 2 +1 = 10 (3 5) 2 +1，
1 2
故 = 10 + (3 5)2 +1，则 5 = 650，所以 D正确；
故选：
4
10.在篮球训练课上， ， 两位同学进行“定点投篮”比赛，规则为：比赛共进行 5轮，在每
轮比赛中，两人各定点投篮一次，投中得 1分，投不中得 0分.已知 ， 每次定点投篮投中
的概率分别为 ， ，( , ∈ (0,1))，若 5轮比赛后 ， 的总得分分别为 ， ，则下
列结论正确的是( )
A. 若 ( ) < ( )，则 <
B. 若 0 < <
1
< 2，则 ( ) < ( )
C. ( = = 3) ≠ ( : = 2: 3)
D. 若当且仅当 = 2 时， ( = )( = 0,1,2,3,4,5)
1 1
取得最大值，则3 < < 2
【答案】ABD
解：由题得，随机变量 ∽ (5, )， ∽ (5, ).
对于 ， ( ) = 5 ， ( ) = 5 ，若 ( ) < ( )，则 < ，故 A正确;
对于 ，由题意得，
( ) = 5 (1 )， ( ) = 5 (1 )，
所以 ( ) ( ) = 5( )[1 ( + )]，
若 0 < 1 < < 2，则 < 0，1 ( + ) > 0，
所以 ( ) ( ) < 0，即 ( ) < ( )，故 B正确;
对于 ，假设 ( = = 3) = ( : = 2: 3)，
则 35 3 (1 )2 3 3(1 )25 = 2 2 3 3 3 25 (1 ) 5 (1 ) ，
化简整理得 = 1 ，即 =
1
2，
1
所以当且仅当 = 2时， ( = = 3) = ( : = 2: 3)，故 C错误;
对于 ，由题意得，
( = ) = 5 (1 )5 ，若当且仅当 = 2 时， ( = )( = 0,1,2，3，4，5)取得
最大值，
2 25 (1 )3 > 1 1 45 (1 ) , 1则 2 2 3 3 3 2 解得 <
1
< ，故 D正确． 5 (1 ) > 3 25 (1 ) ,
故选 ABD．
11.三棱锥P ABC中， PB AB BC 2 , PBC PBA
, ABC 且 ,PB与平面 ABC所成角为 ,下列说法中
2 2
5
正确的有( )

A．当 时
4 3

B．当 时三棱锥P ABC的外接球半径为 3
4

C． 三棱锥 P ABC的外接球半径为 2时
6
D．三棱锥 P ABC 2 2的外接球半径最小时，三棱锥P ABC的体积为
3
【答案】AD

解：由题意，建系如图：则P( 2 cos , 2 cos , 2sin )，由 ABC ，可设三棱锥P ABC
2
的外接球球心为O(1,1,m)，则外接球球半径R满足
R2 ( 2 cos 1)2 ( 2 cos 1)2 (2sin m)2 2 m2，
所以 4 4 2 cos 4sin m 0 .

对选项 A：当 时 P(1,1, 2)，
4

BP (1,1, 2),BA (0, 2,0) ,COS BP,BA
1
,所以
2

BP,BA ，即选项 A正确；
3

对选项 B：当 时m 0，所以三棱锥 P ABC的外接球半径为 2，即选项 B错误；4
7
对选项 C：三棱锥 P ABC的外接球半径为 2时m 2，m 2解得 ，故舍12 2

去；m 2解得 ，即选项 C错误；12
对选项 D：三棱锥 P ABC的外接球半径最小时m 0，此时 P(1,1, 2)，所以三棱锥P ABC
2 2
的体积为 ，即选项 D正确.
3
故选：AD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 2圆C : x 1 y 1 2 9与直线 l : cos x sin y 2( R)交于 A、B两点，则弦长
AB的最小值为 ．
【答案】 2
cos sin 2
解：圆心到直线的距离 d 2 2，所以 AB 2 9 8 2 .
1
6
13.已知数列{ }，令 为 1， 2，…， 中的最大值( = 1,2, …, )，则称数列{ }为{ }的“控
制数列”，{ }中不同数的个数称为“控制数列”{ }的“阶数”，例如：{ }为 1，3，4，2，则
“控制数列”{ }为 1，3，4，4，其“阶数”为 3，若{ }由 1，2，3，4任意顺序构成，则使“控
制数列”{ }的“阶数”为 2的所有{ }的个数为 ．
【答案】11
解：当{ }由 1，4构成时，则 1 = 1， 2 = 4， 3， 4为 2，3的一个排列，故满足条件的
数列{ }有 22 = 2(个)；当{ }由 2，4构成时，则 1 = 2， 2 = 4， 3， 4为 1，3的一个
排列，或 21 = 2， 2 = 1， 3 = 4， 4 = 3，故满足条件的数列{ }有 2 + 1 = 3(个)；当{ }
由 3，4构成时，则 1 = 3， 2， 3， 4为 1，2，4的一个排列，故满足条件的数列{ }有
33 = 6 (个)，由分类加法计数原理可得满足条件的数列{ }共有 11个．
14.若函数 = ( )的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，
则称函数 = ( )具有 性质.若函数 ( ) = + sin2 + cos2 具有 性质，其中 ， ，
2 2
为实数，且满足 2 + 2 = 1，则实数 + + 的最大值是 ．
【答案】 2
2+ 2
解：由题意可得， ( ) = + sin(2 + )．
2
于是， '( ) = + 2 + 2cos(2 + ) = + cos(2 + )．
设切点分别为 1 1, 1 ， 2 2, 2 ，则由函数 = ( )具有 性质，可得 ' 1 ' 2 = 1，
即 + cos 2 1 + + cos 2 2 + = 1，
整理得 2 + cos 2 1 + + cos 2 2 + + cos 2 1 + cos 2 2 + + 1 = 0，
将上式视为关于 的方程，则其判别式：
= cos 2 21 + + cos 2 2 + 4 cos 2 1 + cos 2 2 + + 1 ≥ 0，
2
即Δ = cos 2 1 + cos 2 2 + 4 ≥ 0，注意到 1 ≤ cos 2 1 + ≤ 1，
1 ≤ cos 2 2 + ≤ 1，则 2 ≤ cos 2 1 + cos 2 2 + ≤ 2，
故 = cos 2 1 + cos 2 2 + 2 4 = 0，
cos 2
此时 1
+ = 1, cos 2 1 + = 1,
cos 2 2 + = 1
或 cos 2 2 + = 1.
,
代入方程可得 2 = 0，因此， = 0．
另一方面，由 2 + 2 = 1，可设 = cos ， = sin ，其中 ∈ ，
则| + | = cos + sin = 2sin + ≤ 2，即 2 ≤ + ≤ 2.
4
7
因此， + + ∈ 2, 2 ．实数 + + 的最大值是 2.
故答案为： 2．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 2 sin2 = sin sin + cos2 + cos2 ．
(1)求 ；
(2)若△ 为锐角三角形，且 = 4，求△ 面积的取值范围．
【答案】解：(1)因为 2 sin2 = sin sin + cos2 + cos2 ，
所以 2 sin2 = sin sin + (1 sin2 ) + (1 sin2 )，
即sin2 + sin2 sin2 = sin sin ，
2+ 2 2 2 + 2 2 = cos = = 1由正弦定理得 ，由余弦定理知， = ，
2 2 2

因为 ∈ (0, )，所以 = ．
3
(2) 2 由(1)知， = ，所以 + = ，
3 3
0 < <
△ 2 又 是锐角三角形，可得 2 ，解得 < < ，0 < < 6 2
3 2

由正弦定理知 = ，又 = 4，可得 = sin = 2 3，
sin sin sin sin
2
= 1 sin = 1 × 4 × 2 3 2
sin( 3 ) 6
△ × sin( ) = 4 3 × = + 2 3，2 2 sin 3 sin tan

因为 < < ，所以 tan > 3，所以 2 3 <
6 2 3 △
< 8 3，
故△ 面积的取值范围为(2 3, 8 3).
16.某中学举办校园文化节，设置了“数智达人”和“英语秀达人”两项特色活动，两项活动前 10
名得分统计如下：
数智达人前 10名分数 148，146，144，142，140，140，138，136，134，132
英语秀达人前 10名分数 144，143，142，141，140，140，139，138，137，136
(1)求出数智达人前 10名分数的平均数、标准差；
(2)经检查发现：有一名同学的数智达人与英语秀达人得分均在前 10名，但是老师却将其数
智达人与英语秀达人得分统计反了，已知正确的数智达人前 10名分数的平均分为 141，标
准差为 17．
①求该生正确的数智达人得分是多少？并说明理由；
8
②为了便于成绩分析，对数智达人前 10名的正确分数进行“ 分数”转换，要求如下：转化
前后名次不变，且 10个“ 分数”的平均分为 50、标准差为 10.请你给出一个满足要求的线
性转换公式： = + (其中， 表示数智达人分数， 表示数智达人分数对应的“ 分数”，
， 为常数)，并证明．
n n
2(xi x)2 x 2i nx
（参考公式： s i 1 i 1 )
n n
【答案】(1) 数智达人前 10名学生分数的平均数分别为 140;标准差分别为 2 6;
(2) ① 10 17 1410 17正确的英语秀达人前 10名分数的标准差为 11; ② = ， = 50 ，证
17 17
明见详解
解：(1)设数智达人前 10名学生分数的平均分为 1，，标准差分别为 1，
= 1则 1 (140 + 140 + 142 + 144 + 146 + 148 + 132 + 134 + 136 + 138) = 140，10
= 11 (0 + 0 + 4 + 16 + 36 + 64 + 64 + 36 + 16 + 4) = 24 = 2 6，10
(2)因为该同学数智达人得分与英语秀达人得分相差 10分，由题表知，可能是英语秀达人
132分与数智达人 142分统计反了;也可能是英语秀达人 134分与数智达人 144分统计反了．
若英语秀达人 132分与数智达人 142分统计反了，则 '1 =
1 (1 + 1 + 1 + 9 + 25 + 49 + 1 + 49 + 25 + 9) = 17;
10
若英语秀达人 134分、数智达人 144分，则 '1 =
1 (1 + 1 + 1 + 9 + 25 + 49 + 81 + 9 + 25 + 9) = 21;
10
所以是英语秀达人 132分与数智达人 142分统计反了．
所以正确的数智达人得分为 142分.
②设转换公式为 = + ，则 50 = 141 + ，
1 10
所以10=
10 (bxi a 50)
2 ,将 = 50 141 代入，
i=1
1 1010= b2 (x 141)2 17b2 , = 10 17 = 50 1410 17得 i 所以 ， ，10 17 17i=1
10 17 1410 17
即满足要求的线性转换公式为 = + 50 ，下面证明：因为“ 分数”转换之前
17 17
的 10个正确分数的平均分是 '1 = 141，标准差为 '1 = 17
10 17
，则转换后的平均分 = ×
17
9
141 + 50 1410 17 = 50. ( 50)2 = ( 10 17 + 50 1410 17因为 50)2 = 100 ( 141)2，
17 17 17 17
100 100
所以转换后的标准差 = '21 = × 17 = 10
10 17
，即转换公式 = + 50 1410 17
17 17 17 17
满足条件得证．
17.如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为直角梯形， ADC BCD 90 ，BC 4，
CD 15， AD 5，侧面 PAB为正三角形，且平面 PAB 平面 PBC .
(1)求三棱锥 P ABC的体积；
(2)求二面角 P DC A的正弦值；
2 19
【答案】（1）8；（2）
19
解：（1）记 PB的中点为H，连接 AH ,HC,AC，由题可得
AB 4, AH 2 3, AC 2 10且 AH PB，因为平面 PAB 平
面 PBC，由面面平行的性质定理知：AH 面PBC，所以 AH HC
2
所以HC=2 7 .在三角形HBC中由余弦定理可得 HBC= ，所3
以 S PBC 4 3 ,所以三棱锥P ABC的体积
VP ABC=V
1
A PBC 4 3 2 3 8；3
1 1
（2）由VP ABC=8 4 15 h解得四棱锥 P ABCD的高3 2
h 4 15 ，以D为原点建系如图，则 A(5,0,0),C(0, 15,0),B(4, 15,0),设 P(m,n, 4 15 )，由
5 5
PA PB 4 (m 5)2 n2
48 48
得 (m 4)2 (n 15)2 16 , m 3,n 2 15解得 或者
5 5 5
m 6,n 3 15
2
；由（1）中 PBC= 且 BC BP 4可得CP 4 3，经检验得：m 6,n 3 15 ，
5 3 5

即 P(6, 3 15 , 4 15 ) (6, 3 15 4 15，因为DP , )，DC 0, 15, 0 ，
5 5 5 5

设平面 PDC的法向量为n (x, y,z)，
n DP

0
6x
3 15 4 15
y z 0
则
n
，即 5 5 ，令 x 2，
DC 0 y 0

则 n (2,0, 15)；
10

设平面 ABCD的法向量为m (0,0,1)，设二面角P DC A= ，

故 cos | cos m n |
|
m n | 15 2 2 19，所以 sin
|m || n | 19 19 19
2 2
18. x y已知椭圆C : 1，直线 l0 : y kx m(k 0)与椭圆C有且仅有一个公共点P，过4 2
点 P且与 l y0垂直的直线 l分别交 x轴、 轴于 A(x, 0)，B(0, y)两点．当点 P运动时，记点Q(x, y)
的轨迹为曲线 E，
（1）求 k ,m之间的关系；
（2）求曲线 E的轨迹方程；
（3）若 P 3 2点在第一象限，直线 l和曲线E交于M、N ,且 MN ，求 P点坐标.
2
x2 y2
1
解：（1）联立方程 4 2 可得 1 2k 2 x2 4kmx 2m2 4 0，
y kx m
2 2 2 2
因为有且仅有一个公共点，则 16k m 4 1 2k 2m 4 0，
整理得m2 4k 2 2 (k 0)
2km m 4k 2
（2）由（1）可解得点 P坐标为 , ，即1 2k 2 1 2k 2
,
m m
，其中 k 0

于是，过点 P且与 l0垂直的直线 l为 y
2 1 4k
x 1 ，即直线 l : y x
2

m k m k m
A 2k ,0 ,B 0, 2 ,Q 2k , 2 2k 2可得 ，即 x , y ，
m m m m m m
4k 2 1 2 1 y2
则 x2 m2 2 1 1 y2，即 x2 1，其中 x, y 0，
m2 m2 m2 2 2
2
所以点Q(x, y) y的轨迹方程是 x2 1（ x, y 0）.
2
y 1 x 2 k m 1 4 4
(3) 2联立方程
y2
，可得 2 2 x x 2 0，设M x , y ,N x , yk km m2 1 1 2 2 利 x2 1
2
1 2 2 2
1 42 2
用韦达定理带入 MN 1 2 x x
3 2
，化简得 1 1 k m 3 21 2 2 1
，又
k 2 k 2 2
k 2
1 3 2
m2 2
1 4k 2
4k 2，带入整理得 1+ 2 2 2 3 4 ，进而求得：k ，m 4，由 P ,2k 1 2 m m
11
k 2点在第一象限知 ，m 2，且此时 P 2,1 .
2
n
19.记 ai a1a2 an ,已知函数 ( )和 ( )的定义域都为 ，若存在 1， 2， ， ∈ ，
i 1
m
使得 f (x) g(x) (x xi) 0 ，当且仅当 = ， = 1，2， ， 时等号成立，则称 ( )
i 1
和 ( )在 上“ 次缠绕”．
(1)判断 ( ) = 和 ( ) = 3在 上“几次缠绕”，并说明理由;
(2)设 ( ) = ln + 1 2，若 ( )和 ( )在(0, + ∞)上“3次缠绕”，求 的取值范围;
(3)记所有定义在区间( , )上的函数组成集合 ，证明：给定 ∈ ，对任意 ( ) ∈ ，都
存在 ( )， ( ) ∈ ，使得 ( ) = ( ) + ( )，且 ( )和 ( )在( , )上“ 次缠绕”．
【答案】解：(1)函数 ( ) = 和 ( ) = 3在 上“3次缠绕”，
理由如下：
( ) = ( ) ( ) = 3 = (1 )(1 + ), ( )的零点为 1，0，1.
3
令 P(x) (x xi )= ( 1) ( + 1)
i 1
[ ( ) ( )] ( ) = ( )2 ≤ 0,当且仅当 ( ) = 0，即 = ， = 1，2，3时等号成立.
所以函数 ( ) = 和 ( ) = 3在 上“3次缠绕”．
(2)设 ( ) = ( ) ( 1 ) = 2ln +
2
2 ，
因为 ( )和 ( 1 )在(0, + ∞)上“3次缠绕”，
3
所以存在互异的三个正数 1， 2， 3，使得G(x) (x xi ) 0，
i 1
当且仅当 = ， = 1，2，3时等号成立，所以 1， 2， 3是 ( )的三个零点．
注意到 (1) = 0，所以 1是 ( )的一个零点．
4
'( ) = 2(
2+ )
，
3
①当 ≤ 0时， '( ) ≥ 0， ( )在(0, + ∞)上递增，1是 ( )的唯一零点，不合题意；
② ≥ 1当 2时， '( ) ≤ 0， ( )在(0, + ∞)上递减，1是 ( )的唯一零点，不合题意；
③ 1当 0 < < 2时，令 '( ) = 0，即
4 2 + = 0，
可知方程 4 2 + = 0 存在两根 1， 2，且 0 < 1 < 1 < 2，
12
当 ∈ (0, 1)时， '( ) < 0， ( )递减;
当 ∈ ( 1, 2)时， '( ) > 0， ( )递增，
当 ∈ ( 2, + ∞)时， '( ) < 0， ( )递减，
所以 ( 1) < (1) = 0，
因为 ( ) = 2ln + 1 3 > 2ln +
1
，
设 ( ) = 2ln + 1 ，0 < < 1，
2
因为 '( ) = ( 1) 2 < 0，所以 ( )在(0,1)上递减，所以 ( ) > (1) = 0，即 ( ) > 0，
所以存在 1 ∈ (0,1)， ( 1) = 0，
又 ( 2) > (1) = 0
1
， ( ) = ( ) < 0，
所以存在 2 ∈ ( 2, + ∞)， ( 2) = 0，所以( 1)( 1)( 2)[ ( ) (
1
)] ≤ 0恒成立，
0 < < 1即 2时， ( )
1
和 ( )在(0, + ∞)上“3次缠绕”，
综上， 的取值范围是(0, 12 ).
(3)取 < 1 < 2 < < < ，
设 ( ) = ( 1)( 2) ( )，
( ) = 1 [ ( ) ( )] ( ) = 1令 2 ， 2 [ ( ) + ( )]， ∈ ( , )，

显然 ( ) = ( ) + ( )，且[ ( ) ( )] =1 (
2
) = =1 ( ) ≤ 0，
当且仅当 = ， = 1，2， ， 时，等号成立．
所以对任意 ( ) ∈ ，
存在 ( ) = 12 [ ( ) ( )]
1
， ( ) = 2 [ ( ) + ( )]， ∈ ( , )，
其中 ( ) = ( 1)( 2) ( )，
使得 ( ) = ( ) + ( )，且 ( )和 ( )在( , )上“ 次缠绕”．
13

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