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几何探究类题型练习卷1
一．非动态问题
1．如图所示，四边形ABCD为正方形，在△ECH中，∠ECH＝90°，CE＝CH，HE的延长线与CD的延长线交于点F，点D、B、H在同一条直线上．
（1）求证：△CDE≌△CBH；
（2）当时，求的值；
（3）当HB＝3，HG＝4时，求sin∠CFE的值．
2．一次数学兴趣活动，小明提出这样三个问题，请你解决：
（1）把正方形ABCD与等腰Rt△PAQ如图（a）所示重叠在一起，其中∠PAQ=90°，点Q在边BC上，连接PD，求证：△ADP≌△ABQ．
（2）如图（b），O为正方形ABCD对角线的交点，将一直角三角板FPQ的直角顶点F与点O重合，转动三角板使两直角边始终与BC、AB相交于点M、N，求证：OM=ON．
（3）如图（c），将（2）的“正方形”改为“矩形”，其它条件不变，如果AB=4，AD=6，FM=x，FN=y，试求y与x之间的关系式．
3．如图，在等边△ABC中，点D在直线BC上，连接AD，作∠ADN=60°，直线DN交射线AB于点E，过点C作CF∥AB交直线DN于点F．
（1）当点D在线段BC上，∠NDB为锐角时，如图①，求证：CF+BE=CD；
（2）当点D在线段BC的延长线上，∠NDB为锐角时，如图②；当点D在线段CB的延长线上，∠NDB为钝角时，如图③，请分别写出线段CF，BE，CD之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（2）的条件下，若∠ADC=30°，S△ABC=4，则BE=　 　，CD=　 　．
二．平移问题
4．如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝12，BC＝6，AD⊥BD．以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD＝∠ABD，∠AED＝90°．点A′，E′，D′分别与点A，E，D重合．△A′E′D′以每秒3个单位长度的速度沿DC方向平移，当点D′与点C重合时停止移动，线段BD交边A′D′于点M，交边A′E′或D′E′于点N，设平移的时间为t（秒）．
（1）DM的长为 　 　（用含t的代数式表示）；
（2）当t＝2时，求证：△DMD′≌△BMA′；
（3）求点E′在△BDC区域内（包括边界）的时长；
（4）如图2，当△A′E′D′停止移动后得到△BE′C，将△BE′C绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，点B的对应点为点B1，点E′的对应点为点E1，设直线B1E1与直线BE′交于点P，与直线CB交于点Q，当△BPQ为等腰三角形时，α的值为 　 　．
5．如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝90°，F为直角边BC上一点，将纸片沿F点折叠后点B恰与BC中点D重合，得到折痕EF（E在AB边上），连接DE，再展开还原后沿DE剪开得到四边形ACDE，然后把四边形ACDE从E点开始沿射线EB平移，当A点与B点重合时停止．设平移时间为t秒（t＞0），移动速度为每秒1个单位长度，平移过程中四边形A1C1D1E1与△DEB重叠的面积为S．
（1）DE的长为 　 ；
（2）求S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）若四边形ACDE平移时，另有一动点P与四边形ACDE同时出发，以每秒个单位长度从点B出发沿折线BC﹣CA运动，当t＝ 时，△PE1E为等腰三角形．
6．如图（1），一副三角板如图放置，Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，∠DAB＝30°，∠BAC＝45°，AB＝10．O为AB边的中点，连接OC、OD、CD．OD与BC交于E，AD与BC交于F．过D作DM⊥AB于M．
（1）△OCD的形状是　 ．
（2）求证：AF＝2OE．
（3）如图2，将△ABF沿直线AB平移，平移后的三角形记为△PQH，若平移过程中保持边PH与Rt△ABC直角边相交（交点A、B除外），交点为T，平移的距离为x，△APT的面积记为y，试求y与x的函数关系式并求y的最大值．
三．旋转问题
7．如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，∠BDC＝60°，AB＝CD＝2，连接BD．将△ABD沿着射线DC的方向平移得到△EFG，继续平移使点G始终在DC边上，当点G到达点C后，△EFG立刻绕点C顺时针旋转，如图2，直到边EG与CD边共线时停止．
（1）求证：AD＝BC；
（2）从△EFG绕点C旋转开始到最终结束，求边FG扫过的面积？
（3）如图3，在△EFG绕点C旋转过程中，当GE，GF分别交线段BD于点P，Q时，设BQ＝x．
①当DP＝4﹣2时，∠PCB的度数＝ ；
②DP的长＝ （用含x的式子表示）．
8．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED＝90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，连接AE，求证：AF＝AE；
（3）如图3，将△CED绕点C继续逆时针旋转，当平行四边形ABFD为菱形，且△CED在△ABC的下方时，若AB＝4，CE＝4，线段AE的长为 　 ．
9．（1）如图1，直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上的一点，连接AD，将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACF，连接DF．若AD＝2，BD＝1，则CD＝　 　；
（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若四边形ABCD的面积是16，求AC的长；
（3）如图3，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝2，BD＝3，求四边形ABCD的面积．
折叠问题
10．如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．
（1）如图②，若M为AD边的中点，
①△AEM的周长＝　 　cm；
②求证：EP＝AE+DP；
（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），△PDM的周长是否发生变化？请说明理由．
11．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，∠B＝60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将 ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGH，点A的对应点为点H，点D的对应点为点G．
（1）则点E到CD的距离为 　 　．
（2）当点H与点C重合时，
①证明：CE＝CF；
②求BE和CF的长．
（3）当点H落在射线BC上，且CH＝时，请直接写出BE的长．
12．如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B′落在矩形ABCD所在平面内，B′C和AD相交于点E，连接B′D．
（1）在图1中，①B′D和AC的位置关系为　 　；
②将△AEC剪下后展开，得到的图形是　 　．
（2）若图1中的矩形变为平行四边形（AB≠BC），如图2所示，（1）中的结论①和结论②是否成立？若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；
学习类问题
13．阅读下列材料，然后解决问题：
截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．
（1）如图1，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是　 　；
（2）问题解决：
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC，边CD上的两点，且∠EAF＝∠BAD，求证：BE+DF＝EF．
（3）问题拓展：
如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC交CA延长线于点E，F是AC上一点，且DF＝DB．
求证：AC﹣AE＝AF．
14．【问题初探】数学课上，老师提出如下问题：
如图①，AD是△ABC的中线，M是AD的中点，BM的延长线交AC于N，求证：CN＝2AN．
经过思考，甲、乙两名同学分别给出如下解题思路：
甲同学的思路：如图②，过点D作DK∥AC，交BM于点K，利用全等将AN与CN的数量关系转化为DK与CN之间的关系；
乙同学的思路：如图③，过点A作BC的平行线交BM的延长线于点K，利用相似将AN与CN的数量关系转化为AK与BC之间的关系．
（1）请你选择一名同学的思路，写出证明过程；
（2）【类比分析】
老师发现两名同学都利用了转化思想．为了帮助同学更好地利用转化思想解决问题提出：
如图④，在△ABC中，AD是BC边上的中线，N，K是AC的三等分点，BN交AD于M，BK交AD于P，求MP：PD的值．
请你写出解答过程；
（3）【学以致用】
在△DEC中，ED＝EC．在直线CD上取点B，使BC＝2CD，连接BE，在线段BE上取点A，连接AC，直线AC交直线DE于F，当AB＝AC时，求AF：FC的值．
请你写出解答过程．
15．在一节数学探究课中，同学们遇到这样的几何问题：如图1，等腰直角三角形ABC和ADE共顶点A，且A、C、D三点共线，∠ACB＝∠ADE＝90°，连接BE，G是BE的中点，连接CG和DG，请思考CG与DG具有怎样的数量和位置关系？
【模型构建】小颖提出CG＝DG且CG⊥DG并给出了自己思考，以G是BE中点入手，如图2，通过延长CG与DE相交于点F，证明△BGC≌△EGF，得到BC＝EF，随后通过AD﹣BC＝DE﹣EF得AD﹣AC＝DE﹣EF，即CD＝DF，又CG＝FG，所以CG⊥DG且CG＝DG．
（1）请结合小颖的证明思路利用结论填空：当AD＝6，BC＝3时，CG＝　 　；BE＝　 　．
【类比探究】
（2）如图3，若将△ADE绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜45°），请分析此时上述结论是否成立？如果成立，请写出证明过程，如果不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）若将△ADE绕点A逆时针旋转β度（0＜β＜360°），当BG＝CG时，请求出旋转角β的度数．
答案
1．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠DCB＝90°，
∵∠ECH＝90°，
∴∠DCB﹣∠BCE＝∠ECH﹣∠BCE，
即∠DCE＝∠BCH，
在△CDE和△CBH中，
，
∴△CDE≌△CBH（SAS）；
（2）解：由（1）得：△CDE≌△CBH，
∴∠CDE＝∠CBH，DE＝BH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CDB＝∠DBC＝45°，
∴∠CDE＝∠CBH＝180°﹣45°＝135°，
∴∠EDH＝135°﹣45°＝90°，
∵BH：DH＝1：5，
∴设BH＝a，则DH＝5a，
∴DE＝BH＝a，
在Rt△HDE中，EH＝＝＝a，
过C作CM⊥EH于M，过D作DN⊥FH于N，如图1所示：
则DN∥CM，
∵△DEH的面积＝DN×EH＝DE×DH，
∴DN×a＝×a×5a，
解得：DN＝a，
∵CE＝CH，∠ECH＝90°，
∴CM＝EH＝a，
∵DN∥CM，
∴△FDN∽△FCM，
∴＝＝＝；
2．证明：（1）在正方形ABCD中，AB=AD，
在等腰Rt△PAQ中，AQ=AP，
又∵∠ABC=∠ADP，
∴△ADP≌△ABQ（HL）；
（2）在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∠AON=90°﹣∠NOB，
∠BOM=90°﹣∠NOB，
∴∠AON=∠BOM，
又∵∠OBM=∠OAN，OA=OB，
∴△OAN≌△OBM，
∴OM=ON；
（3）作FE⊥AB，FH⊥BC，
∵∠NFE=90°﹣∠EFM，
∠MFH=90°﹣∠EFM，
∴∠NFE=∠MFH．
又∵∠NEF=∠MHF，
∴△FEN∽△FHM．
故=，
即=，
整理得y=．
3．（1）证明：如图①，过点F作FM∥BC交射线AB于点M，
∵CF∥AB， ∴四边形BMFC是平行四边形，
∴BC=MF，CF=BM， ∴∠ABC=∠EMF，∠BDE=∠MFE，
∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°，BC=AC，
∴∠EMF=∠ACB，AC=MF，
∵∠ADN=60°，
∴∠BDE+∠ADC=120°，∠ADC+∠DAC=120°，
∴∠BDE=∠DAC， ∴∠MFE=∠DAC，
在△MEF与△CDA中，
，
∴△MEF≌△CDA（AAS），∴CD=ME=EB+BM，∴CD=BE+CF．
（2）如图②，CF+CD=BE，如图③，CF﹣CD=BE；
（3）∵△ABC是等边三角形，S△ABC=4，
∴易得AB=BC=AC=4，
如图②，
∵∠ADC=30°，∠ACB=60°， ∴CD=AC=4，
∵∠ADN=60°， ∴∠CDF=30°，
又∵CF∥AB， ∴∠BCF=∠ABC=60°，∴∠CFD=∠CDF=30°，
∴CD=CF，
由（2）知BE=CF+CD，∴BE=4+4=8．
如图③，∵∠ADC=30°，∠ABC=60°，∴∠BAD=∠ADC=30°，
∴BD=BA=4，∴CD=BD+BC=4+4=8，
∵∠ADN=60°，∠ADC=30°，∴∠BDE=90°，
又∵∠DBE=∠ABC=60°，∴∠DEB=30°，
在Rt△BDE中，∠DEB=30°，BD=4，
∴BE=2BD=8，综上，BE=8，CD=4或8．
4．解：（1） t；
（2）证明：∵t＝2时，DD′＝6＝CD，
∵D′M∥CB，
∴DM＝MB，
∵∠DMD′＝∠A′MB，∠MDD′＝∠A′BM，
∴△DMD′≌△BMA′（ASA）；
（3）如图2中，过2E作EJ∥AB交BC于点J，交BD于点K，交AD于点T．
∵ET∥AB，
∴∠DTE＝∠DAB＝60°，
∵∠DAE＝∠ABD＝30°，∠AED＝90°，
∴∠ADE＝60°，
∴∠DAE＝30°，△DET是等边三角形，
∴AD＝2DE，DT＝DE，
∴AT＝DT＝TE＝3，
∵AT∥BJ，TJ∥AB，
∴四边形ABJT是平行四边形，
∴TJ＝AB＝12，
∵TK∥AB，DT＝AT，
∴DK＝KB，
∴TK＝AB＝6，
∴KJ＝12﹣6＝6，
∴点E′在△BDC区域内（包括边界）的时长＝＝2（秒）；
（4）30°或75°或165．
5．解：（1）2．
（2）①如图1，
当0≤t≤2时，
EE1＝t，BE1＝E1Q＝2﹣t，
∴S＝
＝2﹣（2﹣t）×（2﹣t）÷2
＝4﹣（t2﹣2t+4）
＝﹣t2+2t
②如图2，
当2＜t≤4时，
S＝S△BDE＝2＝4．
③如图3，
当4＜t≤6时，
∵A1E＝AE﹣AA1＝8﹣2﹣t＝6﹣t，
∴DQ＝DE﹣QE＝DE﹣A1E＝2﹣（6﹣t）＝t﹣4，
∴S＝S△BDE﹣S△DPQ
＝2﹣（t﹣4）×（t﹣4）÷2
＝4﹣（t2﹣2t+8）
＝﹣t2+2t﹣4
④如图4，
当6＜t≤8时，
∵A1B＝AB﹣AA1＝8﹣t，
∴S＝S△A1BQ＝（8﹣t）×（8﹣t）÷2＝t2﹣4t+32
综上，可得
S＝
（3）①如图5，当PE1＝EE1时，
当点E移动到BE的中点时，点P和点F重合，
此时PE1＝EE1＝BE＝＝，
∴t＝．
②、或2
6．解：（1）等腰三角形；
（2）取AF的中点N，连接ON，
∵AC＝BC，点O是AB中点，
∴AO＝BO＝CO＝5，∠ABC＝∠BCO＝45°，CO⊥AB，
∵点O是AB中点，点N是AF中点，
∴AN＝NF，ON∥BC，
∴∠AON＝∠ABC＝45°，
∵∠ADB＝90°，点O是AB中点，
∴AO＝DO，
∴∠DAB＝∠ADO＝30°，
∴∠AOD＝120°，
∴∠COD＝30°＝∠DAO，且 AO＝CO，∠AON＝∠OCE，
∴△ANO≌△OEC（ASA）
∴AN＝OE，
∴AF＝2OE；
（3）如图（2）过点T作TG⊥AB于G，
∵∠TPB＝30°，∠ABC＝45°，TG⊥AB，
∴PG＝TG，GB＝TG，
∵BP＝PG+BG＝（+1）TG＝10﹣AP，
∴TG＝，
∵S△APT＝×AP×TG，
∴y＝（﹣1）×（10x﹣x2）＝（1﹣）（x﹣5）2+
∴当x＝5时，y有最大值为．
7．（1）证明：如图1，∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC．
（2）解：如图2，由平移得EG∥AD，EG＝AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC＝AD，
∴EG∥BC，EG＝BC，
∴当点E与点C重合时，则线段EG与线段BC重合，
∵∠BCD＝90°，∠BDC＝60°，AB＝CD＝2，
∴∠CBD＝90°﹣∠BDC＝30°，
∴BD＝2CD＝4，
由平移得FG＝BD＝4，
∵△EFG绕点C顺时针旋转到边EG与CD边共线时停止，且∠BCD＝90°，
∴旋转角等于90°，
∴边FG绕点C旋转90°，边FG扫过的图形是半径为4且圆心角为90°的扇形，
∴S＝＝4π，
∴边FG扫过的面积是4π．
（3）① 75°．② ，
8．（1）证明：∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AB＝DF．
在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED＝90°，
∵AB＝AC，
∴AC＝DF．
∵DE＝EC，
∴AE＝EF．
∴△AEF是等腰直角三角形；
（2）证明：连接EF，如图2，
∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠DGE＝∠ABC＝45°，
∴∠EGF＝180°﹣∠DGE＝135°，EG＝ED．
∵∠ADE＝180°﹣∠EDC＝180°﹣45°＝135°，
∴∠EGF＝∠ADE．
∵∠DGC＝∠C，
∴DG＝DC．
∵DF＝AB＝AC，
∴GF＝AD．
在△EGF和△EDA中，
，
∴△EGF≌△EDA（SAS），
∴EF＝EA，∠GEF＝∠AED，
∴∠FEA＝∠BED＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF＝AE；
（3）8．
9．解：（1）；
（2）如图2，延长CB至E，使BE＝CD，连接AE，
在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠ABC+∠D＝180°，
∵∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝∠D，
在△ABE和△ADC中，
，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴AE＝AC，∠BAE＝∠DAC，
∴∠CAE＝∠BAE+∠BAC＝∠DAC+∠BAC＝90°，
∴S△ACE＝AC2，
∵四边形ABCD的面积为16，
∴S△ABC+S△ACD＝S△ABC+S△AEB＝S△ACE＝16，
∴AC2＝16，
∴AC＝4；
（3）如图3，在CD外侧作等边△CDE，连接AE，过点A作AH⊥CD于H，
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°，
在CD外侧作等边△CDE，连接AE，
则∠ADE＝90°，DE＝DC，∠DCE＝60°，
∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，
在Rt△ADE中，DE2＝AE2﹣AD2＝BD2﹣AD2＝5，
∴DE＝，
∴CD＝，
∵AH⊥CD，∠ADC＝30°，
∴AH＝AD＝1，DH＝AH＝，
∴CH＝﹣，
∴AC2＝AH2+CH2，
∴AC2＝1+8﹣2＝9﹣2，
∵四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ADC＝AC2+×CD×AH＝﹣+×1×＝﹣．
10．解：（1）6；
②现证明EP＝AE+PD
延长EM交CD延长线于Q点．
∵∠A＝∠MDQ＝90°，AM＝DM，∠AME＝∠DMQ，
∴△AME≌△DMQ．
∴AE＝DQ，EM＝MQ．
又∵∠EMP＝∠B＝90°，
∴PM垂直平分EQ，有EP＝PQ．
∵PQ＝PD+DQ，
∴EP＝AE+PD．
（2）△PDM的周长保持不变．
设AM＝x，则MD＝4﹣x．
由折叠性质可知，EM＝4﹣AE，
在Rt△AEM中，AE2+AM2＝EM2，即AE2+x2＝（4﹣AE）2，
整理得：AE2+x2＝16﹣8AE+AE2，
∴AE＝（16﹣x2），
又∵∠EMP＝90°，∴∠AME+∠DMP＝90°．
∵∠AME+∠AEM＝90°，∴∠AEM＝∠DMP．
又∵∠A＝∠D，
∴△PDM∽△MAE．
∴
∴C△PDM＝C△MAE ＝（4+x） ＝8．
∴△PDM的周长保持不变．
11．（1）解：；
（2）①证明：如图1中，由折叠可知，∠AEF＝∠CEF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF；
②解：如图2中，过点E作EP⊥BC于P．
∵∠EPB＝90°，∠B＝60°，
∴BE＝2PB，设PB＝m，则BE＝2m，
∴EP＝BE sin60°＝2m ＝m，
∵AE＝CE，AB＝4，
∴CF＝AE＝CE＝4﹣2m，
在Rt△ECP中，EC2﹣PC2＝PE2，
∴（4﹣2m）2﹣（3﹣m）2＝（m）2，
∴m＝，
∴PB＝，BE＝，
∴CF＝CE＝4﹣2m＝；
（3）解：①如图3中，当点H在BC边上时，
设BE＝x，则PB＝x，PE＝x，PH＝BC﹣CH﹣PB＝3﹣﹣x＝﹣x，
∵AE＝EH＝4﹣x，
在Rt△EPH中，EH2＝EP2+PH2，
∴（4﹣x）2＝（x）2+（﹣x）2，
∴x＝，
∴BE＝；
如图4中，当点H在BC的延长线上时，
设BE＝x，
在Rt△EPH中，∠EPH＝90°，EH＝AE＝4﹣x，EP＝x，PH＝3+﹣x＝﹣x，
∴（4﹣x）2＝（x）2+（﹣x）2，
∴x＝，
∴BE＝．
∴当点H落在射线BC上，且CH＝时，BE的长为或．
12．解：（1）① BD′∥AC． ② 菱形；
（2）①a：选择②证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴∠ACB′＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠ACB′，
∴AE＝CE，
∴△AEC是等腰三角形；
∴将△AEC剪下后展开，得到的图形四边相等，
∴将△AEC剪下后展开，得到的图形四边是菱形．
b：选择①证明如下，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∵B′C＝BC，
∴B′C＝AD，
∴B′E＝DE，
∴∠CB′D＝∠ADB′，
∵∠AEC＝∠B′ED，∠ACB′＝∠CAD，
∴∠ADB′＝∠DAC，
∴B′D∥AC．
②当∠DFP＝90°时，如图：
∵∠DEA＝∠EDF＝∠EAF＝90°，
∴∠DFA＝90°，
∵∠DFP＝90°，
∴此时P与A重合，
∵P为点B关于DE的对称点，
∴BE＝PE＝AB＝3，
∵DE∥AC，
∴D为BC中点，
∴BD＝BC＝×6＝3；
③∠PDF不能为90°；
综上所述，BD的长为2或3．
13．解：（1）2＜AD＜10；
（2）证明：延长CB到G，使BG＝DF，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，
∴∠ADC＝∠ABG，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠GAB＝∠FAD，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠FAD+∠BAE＝∠GAB+∠BAE＝∠BAD，
∴∠GAE＝∠FAE，
在△AEG和△AEF中，
，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EF＝GE，
∴EF＝BE+BG＝BE+DF；
（3）证明：作DH⊥AB于H，在AB上截取BR＝AF，
∵∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC，
∵点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC，DH⊥AB，
∴DE＝DH，AH＝AE，
在Rt△DEF和Rt△DHB中，
∴Rt△DEF≌Rt△DHB（HL）
∴∠DFA＝∠DBA，
在△DAF和△DRB中，
，
∴△DAF≌△DRB（SAS）
∴DA＝DR，
∴AH＝HR＝AE＝AR，
∵AF＝BR＝AB﹣AR＝2AC﹣2AE
∴AC﹣AE＝AF．
14．（1）证明：利用甲同学的证明思路．
过D作DK∥AC交BN于K，如图，
∵DK∥AC，
∴，
∵M是AD的中点，
∴AM＝DM，
∴DK＝AN，
∵D是BC的中点，DK∥AC，
∴DK为△BNC的中位线，
∴DK＝CN，
∴AN＝CN．
∴CN＝2AN；
（2）解：连接DK，如图，
∵N，K是AC的三等分点，
∴AN＝NK＝KC．
∵BD＝DC，
∴DK为△CBN的中位线，
∴DK∥BN，DK＝BN，
设DK＝2a，则BN＝4a．
∵DK∥BN，AN＝NK，
∴MN＝DK＝a，
∴BM＝BN﹣MN＝3a．
∵DK∥BN，
∴；
（3）①连接AD，过点E作EK⊥CD于点K，过点C作CH⊥CD，交BE的延长线于点G，交DE的延长线于点H，如图，
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC．
∵EK⊥CD，
∴AD∥EK．
∴．
∵ED＝EC，EK⊥CD，
∴DK＝KC＝CD．
∵BC＝2CD，
∴BD＝DC．
∴BD＝2DK＝2KC，
∴．
∴．
∵EK⊥CD，CH⊥CD，
∴EK∥CH，
∵DK＝KC，
∴EK为△DCH的中位线，
∴DE＝EH，
∵AD⊥BC，CH⊥CD，
∴AD∥GH，
∴△ADE∽△GHE，
∴，
∴AD＝GH．
∵AD为△BCG的中位线，
∴AD＝CG，
∴CG＝2AD＝2GH，
∴CH＝3AD．
∵AD∥CH，
∴△AFD∽△CFH，
∴；
②过点A作AG⊥BC于点G，过点E作EH⊥CD于点H，延长EH交CF于点M，过点D作DN⊥CD，交CF于点N，如图，
∵AB＝AC，AG⊥BC，
∴BG＝GC，
∵BC＝2CD，
∴BG＝GC＝CD．
∵ED＝EC，EH⊥CD，
∴CH＝HD＝CD，
设CH＝HD＝k，则BG＝GC＝CD＝2k，
∴．
∵AG⊥BC，EH⊥CD，
∴AG∥EH，
∴．
∵AG⊥BC，DN⊥CD，
∴AG∥DN，
∴△AGC∽△NDC，
∴＝，
∴AG＝DN，AC＝CN．
∴．
∵EH⊥CD，DN⊥CD，
∴MH∥DN，
∵CH＝HD，
∴MH为△CDN的中位线，
∴DN＝2MH，CM＝MN＝CN．
∴，AC＝2CM＝2MN．
∵EM∥DN，
∴，
∴FN＝FM，
∴MN＝2FN．
设FN＝m，则MN＝2m，
∴CF＝CM+MN+FN＝5m，AC＝CN＝4m，
∴AF＝AC+CF＝9m，
∴AF：FC＝9m：5m＝9：5．
15．解：（1），．
（2）依然成立；
证明：如图2，延长CG至F，使CG＝FG，分别连接CD、DF、EF，过B作BM∥DE，交CG于M，交AD于N，BC与AD交于Q，
∴∠QNB＝∠ADE＝∠ACB＝90°，∠GBM＝∠DEG，
∴∠QBN+∠BQN＝90°，
∠CAD+∠AQC＝90°，
∵∠BQN＝∠AQC，
∴∠QBN＝∠CAD，
在△BCG和△EFG中，
，
∴△BCG≌△EFG（SAS），
∴∠CBG＝∠FEG，BC＝EF，
∴∠CBG﹣∠GBM＝∠FEG﹣∠DEG，
∴∠QBN＝∠DEF，
∴∠CAD＝∠DEF，
∵BC＝AC，
∴AC＝EF，
在△ACD和△EFD中，
，
∴△ACD≌△EFD（SAS），
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDA，
∴∠FDC＝∠EDA＝90°，
∵GC＝GF
∴CG⊥DG且CG＝DG．
（3）取AB的中点O，连接OG，则OG是△ABE的中位线，连接OC，
∴OG∥AE，OB＝OC
当GB＝GC时，且点G在BC的上方，如图3所示，
∴OG垂直平分BC，
∴AE⊥BC
∴β＝∠CAB＝45°
如图4所示，当G点在BC的下方时，此时E点在BC的下方，
∴β＝45°+180°＝225°，
综上所述，β＝45°或225°，
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