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【北师大版专用】八年级数学下册期末压轴填空题真题汇编 试卷分析
三、知识点分布
一、填空题
1 0.4 折叠问题；根据正方形的性质求线段长；正方形折叠问题；用勾股定理解三角形
2 0.4 一次函数与几何综合；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据旋转的性质求解；利用平行四边形的性质求解
3 0.4 全等三角形综合问题；根据正方形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
4 0.4 二次根式的应用；等腰三角形的性质和判定；因式分解法解一元二次方程；根据正方形的性质与判定求线段长
5 0.4 根据旋转的性质求解；相似三角形的判定与性质综合；用勾股定理解三角形
6 0.4 利用菱形的性质求线段长；根据等角对等边证明边相等；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形
7 0.4 含30度角的直角三角形；垂线段最短；用勾股定理解三角形；利用菱形的性质求线段长
8 0.4 一次函数与几何综合；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；求一次函数解析式；用勾股定理解三角形
9 0.4 折叠问题；含30度角的直角三角形；用勾股定理解三角形
10 0.4 含30度角的直角三角形；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形；利用菱形的性质求线段长
三、知识点分布
11 0.4 一次函数与几何综合；求一次函数解析式；线段问题(轴对称综合题)；用勾股定理解三角形
12 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据正方形的性质求面积
13 0.4 全等三角形综合问题；根据旋转的性质求解；用勾股定理解三角形
14 0.4 与三角形中位线有关的求解问题；全等的性质和SAS综合（SAS）；利用矩形的性质证明；用勾股定理解三角形
15 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；三角形三边关系的应用；根据旋转的性质求解；用勾股定理解三角形
16 0.4 解直角三角形的相关计算；公式法解一元二次方程；用勾股定理解三角形；利用菱形的性质求线段长
17 0.15 反比例函数与几何综合；相似三角形的判定与性质综合；根据矩形的性质求线段长；根据图形面积求比例系数（解析式）
18 0.4 利用菱形的性质求线段长；求一次函数解析式；利用平行四边形的性质求解；用勾股定理解三角形
19 0.4 证明四边形是菱形；证明四边形是正方形；中点四边形；证明四边形是平行四边形
20 0.4 最大利润问题(一次函数的实际应用)
三、知识点分布

21 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；通过对完全平方公式变形求值；用勾股定理解三角形
22 0.15 判断三角形外接圆的圆心位置；圆周角定理；利用平行四边形的性质求解
23 0.4 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质和判定；三角形内角和定理的应用；用勾股定理解三角形
24 0.4 全等三角形综合问题；一次函数与几何综合；利用菱形的性质求线段长；等边三角形的判定和性质
25 0.4 含30度角的直角三角形；根据旋转的性质求解；等边三角形的判定和性质
26 0.4 全等三角形综合问题；含30度角的直角三角形
27 0.15 两直线的交点与二元一次方程组的解；垂线段最短；一次函数图象与坐标轴的交点问题；已知两点坐标求两点距离
28 0.4 与三角形中位线有关的证明；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用矩形的性质证明；二次根式的加减运算
29 0.4 折叠问题；含30度角的直角三角形；等边三角形的性质；用勾股定理解三角形
30 0.4 斜边的中线等于斜边的一半；判断三边能否构成直角三角形；根据矩形的性质与判定求面积；根据旋转的性质求解
三、知识点分布

31 0.4 解直角三角形的相关计算；相似三角形的判定与性质综合；用勾股定理解三角形
32 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等腰三角形的性质和判定；根据正方形的性质证明；用勾股定理解三角形
33 0.4 以直角三角形三边为边长的图形面积；含30度角的直角三角形；根据正方形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
34 0.4 解一元二次方程——直接开平方法；根据正方形的性质求线段长；利用平行四边形的性质求解；用勾股定理解三角形
35 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；线段垂直平分线的性质；根据正方形的性质证明；用勾股定理解三角形
36 0.4 线段垂直平分线的性质；垂线段最短；三线合一；用勾股定理解三角形
37 0.4 线段垂直平分线的性质；根据正方形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
38 0.4 一次函数与几何综合；求一次函数解析式
39 0.4 与三角形中位线有关的求解问题；含30度角的直角三角形；用勾股定理解三角形【北师大版专用】八年级数学下册期末考试
压轴填空题真题汇编
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．（24-25八年级下·上海·期末）如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________．
2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，过点B，C作直线，交x轴于点D．
（1）点C的坐标为______；
（2）点为线段上一点，且横坐标为2，若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则点P的坐标为______．
3．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在边长为的正方形中，的顶点，分别在，边上，且，连接分别交，于点，其中，则 ______．
4．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，正方形中，，点是对角线上的一点，连接．过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）的值为_______；
（2）若恰为中点，连接交于点，则的长为______．
5．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）如图，四边形中，，与的平分线刚好交于线段上的点E处．将线段绕点E逆时针旋转，使点B落在线段上的点F处．若，，则四边形的面积＝_________ ．
6．（24-25八年级下·北京海淀·期末）如图，菱形的边，．
（1）菱形的高的长度是__________；
（2）P是上一点，，Q是边上一动点，将点A沿直线作对称，A的对应点为，当的长度最小时，的长为__________．
7．（24-25八年级下·河南许昌·期末）菱形在平面直角坐标系中的位置如图，点的坐标的为，，点是对角线上一个动点．的最小值是______；此时点的坐标为______．
8．（24-25八年级下·河南新乡·期末）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标为，直线与交于点，与轴交于点，且点的横坐标为．动点在线段上，动点在直线上．直线的函数解析式为________．若是以为直角顶点的等腰直角三角形，点在的上方，则的长为______．
9．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，，点E是边上一动点（足够长），将沿直线折叠得到，直线与直线相交于点M，当为直角时，的长为________．
10．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，在菱形中，，，连接，E、M分别在边、上，交于点F，交于点N，若点B关于的对称点与点D关于的对称点重合于点O处，则的长为________．
11．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图所示，点和点分别为轴与轴上一点，且，为直线上一点，作交轴于点．
（）若点的横坐标为，则 ______；
（）若为线段中点，连接，则的最小值为______．
12．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，将个边长都为1的正方形按如图所示的方法摆放，点分别是正方形对角线的交点，则2025个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为______．
13．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，过点B作直线点D在射线上（点D不与A，B重合），连接，将线段逆时针旋转得到线段，过点E作，垂足为F，当时，的长为______．
14．（24-25八年级下·北京门头沟·期末）如图，在四边形中，，点E在上，且，，取的中点P，连接，，，，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是________．
15．（24-25八年级下·北京·期末）如图，M是等腰直角三角形的边的中点，且，P是平面内一动点，且与点M之间的距离为1，连接，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，则的最小值为______．
16．（24-25八年级下·北京·期末）如图1，在中，，，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图2的菱形（不重叠、无缝隙），若，则的长为______．
17．（24-25八年级下·北京·期末）如图，，分别是反比例函数和在第一象限内的图象，点在上，线段交于点，作轴于点，交于点，延长交于点，作轴于点，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的是_____．（填序号）
18．（24-25八年级下·北京房山·期末）平面直角坐标系中，点，点B与点C在直线上．若四边形是平行四边形，则________；若四边形是菱形（），且面积为4，则点B的坐标为________．
19．（24-25八年级下·北京海淀·期末）如图，点A、B、C为平面内不在同一条直线上的三个点，点D为平面内一点，线段、、、的中点分别为M、N、P、Q，连接M、N、P、Q组成的凸四边形中，下列叙述正确的是：__________．
①存在无数个这样的凸四边形为平行四边形；
②这样的凸四边形不可能是菱形；
③仅存在一个这样的凸四边形是矩形；
④恰好存在两个这样的凸四边形是正方形．
20．（24-25八年级下·北京丰台·期末）某工厂安排80名工人在规定时段内全部参与加工三种零件．在该时段内，每名工人只能加工零件2件，或零件1件，或零件4件．工厂要求加工零件的总数至少8件，零件的总数至少11件，零件和零件的总数相等．若加工零件总数不超过20件时，每件获利360元，超过20件时，超过的部分每件少获利30元；加工零件每件获利700元；加工零件每件获利180元．
（1）当安排2名工人加工零件时，安排加工零件的工人人数为___________；
（2）当安排___________名工人加工零件时，在规定时段内工厂获利最大，最大利润为___________元．
21．（24-25八年级下·北京·期末）如图，已知，．直线l是过点A的一条动直线（不与直线重合），分别过点B，C作直线l的垂线，垂足为D，E、在直线l运动的过程中，的最大值为______．
22．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）如图，面积为4的平行四边形中，，过点B作边的垂线，垂足为点E，点E正好是的中点，点M、点N分别是、上的动点，的延长线交线段于点P，若点P是唯一使得的点，则线段长x的取值范围是_________．
23．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，．若，，则等于_____．
24．（24-25八年级下·广东阳江·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B为x轴上一点，菱形的边为长2，， 点D是边上一动点 （不与点 O， B重合）， 点E在边上， 且，下列结论：①； ②的大小随点D的运动而变化；③直线 的解析式为 ④的最小值为 其中错误的有__________．（填写序号）
25．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，是等边内一点，，，则的面积为_______．
26．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，点在以点A为圆心，半径长为8的半圆上运动，点在直线上运动，连接，．
有以下结论：
①当，时，能得到形状唯一的．
②当，时，不能得到形状唯一的．
③当，时，不能得到形状唯一的．
④当，时，能得到形状唯一的．
其中正确结论的序号是__________．
27．（24-25八年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，直线上的两点的横坐标和纵坐标的对应值如下表：
2
下列结论：①方程的解为；②若，则．③若对于任意，总有，则；④过点作，垂足为，则的最大值为．其中正确的结论有___________．（填写所有正确结论的序号）
28．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，矩形中，，E为线段延长线上一点，且，对角线，相交于点O，过O点作于点G，连接交于点F，连接．则下列结论：①；②；③当时，；④当时，是等腰三角形．其中正确的结论有 ________ ．（填写所有正确结论的序号）
29．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在边长为6的等边三角形中，是的中点，是边上一动点，将沿翻折得到，延长交线段于点．若，则的长为_____．
30．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，将绕边的中点逆时针旋转得到，顶点落在边，边交边于点，连接，则的面积为______．
31．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，是边上的一点，是延长线上的一点，为的中点，连接．若，则的长为______．
32．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，已知四边形为正方形，点为对角线上一动点，连接，过点作，交的延长线于点，连接，下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号有______．
33．（24-25八年级下·广东珠海·期末）如图，在中，，分别以的三边为边向外构造正方形，，，分别记正方形的面积为．若，则的值为_____．
34．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，点E是边上的一动点，以为边，在的右侧作正方形请完成下列探究：
（1）若平分，则______；
（2）连接，若，则的面积为______．
35．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，在边长为8的正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，．
（1）_______．
（2）的最小值是________．
36．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，已知，，的垂直平分线分别交、于点D、E，点F和点G分别是线段和边上的动点，则的最小值为________．
37．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，已知正方形边长为4，点为边的中点，连接，取的中点，过点作的垂线，交于点，则的长为_______．
38．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，经过点A的一束光线照射到平面镜（x轴）上的点B处，反射后的光线交y轴于点，若反射光线的函数关系式为，则入射光线的函数关系式为__________．
39．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，点，的坐标分别为，，为坐标平面内一点，，点是线段的中点，连接，当取最大值时，点的坐标为________．
参考答案
1．
本题考查翻折的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
连接，则，过点F作于点H，易证，进而得到、，设，则，根据四边形的面积为6，列方程得到关于的表达式，在中，利用勾股定理求出的值，最后利用三角形面积公式计算即可．
解：连接，则，过点F作于点H，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
、，
设，则，
四边形的面积为6，
，
即，
解得，
，
，
由翻折的性质得：，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得，
的面积为：．
2． 或或
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、求一次函数解析式、一次函数与几何的综合、平行四边形的性质等知识点掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）先求得，即，；如图：过点C作轴于M，再证明可得、，即可确定点C的坐标；
（2）先求得直线的解析式为，易得；设时，以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，然后分为平行四边形的一边和对角线两种情况分别运用平行四边形的性质求解即可．
解：（1）当时，；当时，；
∴，
∴，，
如图：过点C作轴于M，
∵将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，即，
设时，以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，
如图：当为平行四边形的一边且点P在x轴上方时，根据平行四边形的对角线相互平分可得：
，解得：，即；
如图：当为平行四边形的一边且点P在x轴下方时，根据平行四边形的对角线相互平分可得：
，解得：，即；
如图：当为平行四边形的对角线时，根据平行四边形的对角线相互平分可得：
，解得：，即．
综上，点P的坐标为或或．
故答案为：或或．
3．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．
过点作交的延长线于点，过点作交于点，连接，可知，，根据正方形的性质得到，，，进而得到，证明，，，，根据勾股定理求出，设，由勾股定理求出即可．
解：过点作交的延长线于点，过点作交于点，连接，如图所示：
，，
在正方形中，，，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
在中，，
由勾股定理得：，
设，则，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
．
故答案为：．
4．
（1）如图，作于，于．证明，易证矩形是正方形，再证明，可得即可解决问题；
（2）如图，作于，作于K，求出，间的关系，利用勾股定理即可解决问题．
解：（1）如图，作于，于．
四边形是正方形，
，
于，于，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形，
，
∵，，
，
在和中，
，
，
由勾股定理得，，
；
（2）如图，作于H，作于K，
四边形是正方形，
，，
是中点，
，
，
∵，
∴，
设，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，即，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：或（舍去），
∴．
故答案为：，．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
5．
本题考查了角平分线性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形相似，梯形的面积，解直角三角形，方程的思想的知识点，先证明，进而得到为中点，由想到三线合一，过作，垂足为，证得，设利用建立方程解出再利用，求出，最后求．
解：∵四边形中，，
∴，
∴，
∵与的平分线刚好交于线段上的点E处,
∴，，
∴，
∴，
取中点，连接，过E作，垂足为G，过F作，垂足为H，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴E为中点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
设，则
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：．
6． 7
（1）作于，根据菱形的性质可判断为等边三角形，三线合一结合勾股定理求出的长即可；
（2）勾股定理求出的长，根据，得到在线段上时，的值最小，推出即可．
解：（1）作于，如图，
菱形的边，，
∴，，
为等边三角形，
∴，
；
即：菱形的高的长度是；
故答案为：；
（2）由（1）知：，，
，
，
在中，
．
将点A沿直线作对称，A的对应点为，
∴，
∴，
当点在上时，的值最小，此时，
∵，
，
，
；
故答案为7．
本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解决本题的关键是确定点在上时，的值最小．
7．
作点关于轴的垂线，可推出垂线的长度即为，则要使取最小值，点、、应在一条直线上，再结合含直角三角形特征、勾股定理即可得解．
解：作轴，
菱形中，，
，
中，，
则要使取最小值，点、、应在一条直线上，
作轴，
此时即为最小值，
点的坐标为，
，
则菱形中，，
，
，
，，
最小值为，
，
，
又，
，
．
故答案为：①②．
本题考查的知识点是菱形的性质、含直角三角形特征、垂线段最短、勾股定理，解题关键是结合含直角三角形特征找出的最小值．
8．
根据矩形的性质可知直线上的两点D与E的坐标，然后用待定系数法求得k与b的值，从而可得到直线的解析式．
过点作轴，可证，则，设点然后用t的代数式分别表示出线段等，利用求得t的值，则可确定的值，最后利用勾股定理可求得．
∵直线与AB交于点D，点D在矩形的边上，点B的坐标为，且点D的横坐标为，
∴点D的坐标为，同时在直线上，
又∵直线与y轴交于点，
∴，解得，
故直线的函数解析式为．
如图，过点作轴，交轴于点，交直线于点．则，
∴，即，
因是以N为直角顶点的等腰直角三角形，则，，
∴，
∴，又，，
∴，则．
因点N在直线上，设点且在第二象限，
，
点Q与点B的横坐标相同，为；点A与点B纵坐标相同，为3，则，
，解得
由勾股定理，得．
故答案为：；．
本题考查了一次函数解析式的求解、矩形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用．
解题的关键是：首先，根据矩形的性质及点的坐标特征确定直线上点的坐标，利用待定系数法求出直线的函数解析式；其次，通过构造辅助线（过点N作轴），将等腰直角三角形的条件转化为全等三角形的判定条件（），进而建立方程求解点N的坐标，最后运用勾股定理计算出线段AN的长度．整个解题过程体现了数形结合思想与方程思想的综合运用，需要较强的几何直观和逻辑推理能力．
9．或
本题考查了折叠性质，勾股定理，30度角的直角三角形，熟练运用数形结合和分类讨论思想是解题的关键．先理解题意，进行分类讨论，点在的上方时或点在的下方时，结合作图，先运用30度角的直角三角形的性质得，再运用勾股定理得，根据折叠性质得，，分别列式计算，即可作答．
解： 点在的上方时，如图所示：
∵，，为直角，
∴，
在中，，
∵将沿直线折叠得到，
∴，，
∴，
设，
即，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
解得；
点在的下方时，如图所示：
∵，，为直角，
∴，
在中，，
∵将沿直线折叠得到，
∴，，
∴，
设，
即，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
解得；
综上：当为直角时，的长为或，
故答案为：或．
10．4
连接交于点，连接、、、，不妨设交于点，交于点，取的中点，连接，结合菱形的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质，求得，根据题意 ，，结合交于点F，交于点N，，得到，，，，接着证明，那么有，同理可证，那么有，从而求得答案．
解：连接交于点，连接、、、，不妨设交于点，交于点，如图所示：
在菱形中，，
，，，
，
，
，
取的中点，连接，如图所示：
，
，
为等边三角形，
，
，
，
点B关于的对称点与点D关于的对称点重合于点O处，
，，
交于点F，交于点N，，
，，
，，
，，，
，
，
同理可证，
．
故答案为：4．
本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，30度所对的直角边等于斜边的一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
11．
（）先根据题意得出、两点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，再由交轴于点得出直线的解析式，故可得出点坐标，据此得出的长；
（）根据点和点分别为轴与轴上一点，得出、两点的坐标，再由为线段中点得出点坐标，作轴于点，轴于点，由定理可得出，故可得出，作点关于直线的对称点，连接则的长即为所求，再利用两点间的距离公式即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称最短路线问题，熟知一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
解：（）∵点和点分别为轴与轴上一点，，
，，
为直线上一点，点的横坐标为，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
交轴于点，
设直线的解析式为，
，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
，
故答案为：；
（）由（）知，，，
为线段中点，
，
作轴于点，轴于点，
点在直线上，，
，
，，
，
在与中，
，
（），
，
作点关于直线的对称点，连接则的长即为所求，
，
，
故答案为：．
12．506
本题主要考查了正方形部分重叠问题．熟练掌握正方形性质，全等三角形的判定与性质，割补法求图形面积，是解决本题的关键．
正方形的中心为，、分别与所在的正方形交于点E、F，连接，，证明，可得，求出每个阴影部分的面积都是，根据2025个正方形照这样重叠有2024个阴影部分求解即可．
解：如图，正方形的中心为，、分别与所在的正方形交于点E、F，连接，，
在正方形中，，，，
又∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
同理可得每个阴影部分的面积都是，
∵2025个正方形照这样重叠，每两个正方形的重叠面积都是，共2024个，
∴2025个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为．
故答案为：506．
13．或
本题考查旋转的性质及全等三角形的判定与性质，勾股定理，能根据所给运动方式得出点的运动轨迹，并对点的位置进行正确的分类讨论是解题的关键．
可证明，得到，故，则点在与夹角为的直线上运动，当点在上方时，，而是等腰直角三角形，由勾股定理得，由得，在中，由勾股定理得，故；当点在下方时，同理可得，故．
解：连接，
由旋转可知，
，，
，
．
在和中，
，
，
．
，，
，
，
，
则点在与夹角为的直线上运动．
当点在上方时，
，，
．
∵，，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得：
又，
．
在中，
，
．
当点在下方时，
同理可得，，
，
．
．
故答案为：或．
14．③
①根据已知条件可依据“”判定和全等得，在中，根据得，由此即可对结论①进行判断；
②过点A作于点F，过点P作于点H，证明四边形是矩形得，在中，根据得，由此即可对结论②进行判断；
③过点A作于点F，延长交的延长线于点，取的中点，连接，证明，得到，，推出是的中位线，那么，，得到，结合，进而得到，在中，由勾股定理得：，进而得，由此即可对结论③进行判断，综上所述即可得出结论．
解：①在和中，
，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故结论①不正确；
②过点A作于点F，延长交的延长线于点，取的中点，连接，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故结论②不正确；
③过点A作于点F，延长交的延长线于点，取的中点，连接，如图所示：
，
，
，，
，
，，
，
是的中位线，
，，
，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
故结论③正确，
综上所述：正确结论的序号是③．
故答案为：③．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形中位线，平行的性质，勾股定理是解决问题的关键．
15．3
连接，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，，由旋转性质可推导，是等腰直角三角形，则，，根据等腰直角三角形的性质及勾股定理求得值，根据三角形三边关系，得，可知当M、Q、H共线时，最小，最小值为，即可求解．
解：连接，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，，
由旋转性质得，，，即，
∴，是等腰直角三角形，
∴，，
∵点M是等腰直角三角形边的中点，，
∴，，
∴，
，
∴，
根据三角形三边关系，，即
∴当M、Q、H共线时，最小，最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：3．
本题考查旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键．
16．
根据题意，，，菱形，，设，，，，，由，得即，根据勾股定理，故，，过点作于点，根据题意，得，设，，则，，故，解答即可．
解：根据题意，，，菱形，，
设，，
，，，
由，得即，
根据勾股定理，得，
故，
解得，（舍去），故，
过点作于点，
根据题意，得，
设，，
则，，
故，
解得，，
故，（舍去），
故，
故答案为：．
本题考查了勾股定理，菱形的性质，解方程，三角函数的应用，拼图的几何意义，熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键．
17．①②③⑤
通过设点坐标，利用反比例函数性质、相似三角形判定与性质，结合矩形判定及性质，分别对各结论进行推导验证。先根据反比例函数的几何意义判断四边形；再通过相似三角形得出线段比例关系和角的关系，判断；接着确定直线解析式，联立方程求出点坐标，结合矩形性质判断；最后利用相似三角形和线段关系验证 。
解：点，点在反比例函数的图象上，
，
；故③正确；
如图，过点作于，延长交轴于，
∵
，
，
，
，
同理可证：，
，
又，
，，故④错误，
，故①正确；
设点坐标为（因为在上），直线的解析式为（），
把代入，可得，即，
∴直线解析式为．
联立，
∴，即，
∵在第一象限，
∴，，即．
在上（轴，横坐标为，所以横坐标为），
把代入，得，
∴．
由，设直线解析式为，把代入得，即，
∴直线解析式为．
是与的交点，联立，
∴，即，
∵在第一象限，
∴，则，即．
∴轴，
∵轴，轴轴，
∴四边形是矩形，
∴
∴，故②正确，
设点，则点，点，
，，
，
，
，
，
，
，故⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
本题主要考查反比例函数的性质、矩形的判定及性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握利用参数表示线段长，结合反比例函数与相似三角形知识推导结论是解题的关键。
18． 1
题目主要考查平行四边形和菱形的性质，一次函数的应用，理解意义，结合图形确定直线函数解析式是解题关键．
根据平行四边形的性质即可确定；过点B作，取中点S，y轴坐标R，连接，过点H作轴，根据题意得出，再由等腰直角三角形确定，结合图形确定直线经过点，得出直线的解析式为，设点B的坐标为，再由两点之间的距离公式求解即可．
解：∵，四边形是平行四边形，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∵点B与点C在直线，
∴；
根据题意，作图如下：过点B作，取中点S，y轴坐标R，连接，过点H作轴，
∵四边形是菱形（），且面积为4，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线经过点，
∴直线的解析式为，
设点B的坐标为，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）或
∴，
∴点B的坐标为，
故答案为： ．
19．①②④
本题考查中点四边形，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识．
连接、，根据三角形中位线定理得到，，，，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
解：连接、，
，，，的中点分别为，，，，
，，，，，，
，，，，
①当与不平行时，如图1，
，，
中点四边形是平行四边形，
故存在无数个中点四边形是平行四边形，故符合题意；
②当且与不平行时，如图2，
，，，
，
中点四边形是菱形；故存在无数个中点四边形是菱形，故①符合题意；
③当，不重合）时，如图3，
，，，
，
中点四边形是矩形；
故存在无数个中点四边形是矩形，故③不符合题意；
④当，时，如图4，
，，，
，
，，
中点四边形是正方形；
故存在两个中点四边形是正方形；故④符合题意．
综上：正确的有①②④．
故答案为：①②④．
20． 74 5 56300
本题考查了一次函数的应用．设加工C零件的工人为人，则加工A零件的工人为人，则加工B零件的人数为人，设利润为P，根据题意列出一次函数，利用一次函数的性质求解即可．
解：设加工C零件的工人为人，则C零件总数为件，A零件总数也为件，则加工A零件的工人为人，则加工B零件的人数为人，
（1）当时，人，
此时B零件总数，符合条件，
∴当安排2名工人加工C零件时，加工B零件的有74人；
（2）利润分段计算：当 (即)时，A零件利润为；
当时，A零件利润为：；
设利润为P，则
当时，，
∵，
∴为增函数，最大值在时取得，；
当时，
，
∵，
∴为减函数，最大值在时取得，元；
综上所述，当，即安排5名工人生产C零件时，利润最大，最大利润为56300元．
故答案为：74；5；56300．
21．
题目主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系及完全平方公式的应用，正确得出的值最大时，直线在外部，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
根据全等三角形的判定和性质得出，得出当直线在内部时，，当直线在外部时，，可得的值最大时，直线在外部，根据勾股定理，利用完全平方公式得出，结合三角形三边关系即可的答案．
解：∵，
∴，
∵过点B，C作直线l的垂线，垂足为D，E，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，当直线在内部时，，
当直线在外部时，，
∴的值最大时，直线在外部，
设，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值为，
故答案为：
22．或
本题主要考查了平行四边形的性质，圆周角定理，三角形外接圆的相关性质等知识，由平行四边形的面积得出，点P是唯一使得的点，则可看成弦所对的圆周角，由圆周角定理得出，为等腰直角三角形，，然后分三种情况画出图形求解即可．
解：∵平行四边形的面积为4，，，
∴，
∵点P是唯一使得的点，
则可看成弦所对的圆周角，
设外接圆的圆心为O，
则，为等腰直角三角形，
∴
∵与之间的距离为1，
(1)当经过点D时，即点P在点D处时，
∵与之间的距离为1，
∴，半径，，
∴，
解得，
显然与线段只有一个交点，符合题意．
（2）要让与线段有且只有一个点，D点应该在外接圆外，E点应该在外接圆上，
于是①，
②，
解不等式①②可得出，
（3）当圆与相切时，如下图：
，
解得，
综上所述：线段长x的取值范围是或，
故答案为：或
23．
本题考查了垂直平分线的性质、三角形的内角和定理、等角对等边、勾股定理．
根据垂直平分线性质，得到，再根据三角形的内角和定理，得出，再根据角之间数量关系，得出，再根据等角对等边，得出，再根据垂直平分线的性质，得出，进而得出，再根据勾股定理，得出，设，则，再根据垂直平分线的性质，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，再根据勾股定理，列方程求解即可得到答案．
解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵是的垂直平分线，，
∴，
∴，
在中，
，
设，则，
又∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，
∵，
∴，
解得：，
．
故答案为：．
24．②
根据菱形的边长为，，可得为等边三角形，又，可证；由，可以证出为等边三角形，所以大小不变；求出，的坐标可以求出直线的解析式为；根据垂线段最短，当时有最小值．
解：∵菱形的边长为，，
∴，为等边三角形，
∴，，，
在和中
，
∴；（故①正确）
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴的大小随点的运动而是不变化的；（故②不正确）
如图，过点作轴于，
∴，
∵四边形是菱形，且边长为，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；（故③正确）
根据垂线段最短，
∴当时，有最小值，
∵，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
即的最小值为．（故④正确）．
故答案为：②．
本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，待定系数法确定一次函数的解析式，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短．解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
25．
将绕着C点顺时针旋转至，连接，则可得是等边三角形，则可得，进而可得，，由此得，进而可得，求出的面积即可知的面积．
本题主要考查等边三角形的判定和性质，旋转构造法，三角形的面积计算．通过旋转构造全等三角形是解题的关键．
解：∵是等边三角形，
∴，，
如图，将绕着C点顺时针旋转至，连接，
则，，，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵又，
∴，
作于F点，
则，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
26．①②④
本题主要考查全等三角形的判定方法、直角三角形的性质等知识点，关键是确定以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线的交点个数是解题的关键．
分别在以上四种情况下以P为圆心，的长度为半径画弧，观察弧与直线的交点即为Q点，作出进行判断即可．
解：如图，当，时，由垂线段最短可知：以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有一个交点，作出，故唯一，故①正确，符合题意；
如图，当，时，以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，故不唯一，故②正确，符合题意；
如图，当，时，以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，故形状相同，故唯一，故③错误，不符合题意；
如图，当，时，以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，故唯一，故④正确，符合题意；
综上所述，结论正确的是①②④．
故答案为①②④．
27．①③④
本题主要考查了一次函数与方程的关系、求一次函数解析式、一次函数与不等式的关系、两点间距离公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
由表格结合直线的表达式即可判断①；先用a表示出m、n，然后判断的正负即可；③根据一次函数解析式判断③即可；先求得直线L过定点，然后根据两点之间垂线段最短以及两点间距离求解即可判定④．
解：由表格以及函数解析式可得：当时，，所以方程的解为，故①正确；
由题意可得：，解得：，
∵，
∴，不一定大于零，
∴不一定成立，即②错误；
若对于任意，总有，即的图象始终在的图象上方，
∴这两条直线平行，
∴，
∴，解得：，
∴，即③正确；
∵，
∴两式相加可得：，
∴，，
∴，
令，解得：，
∴直线l过定点，
根据垂线段最短，的最大值为原点O到定点的距离，即
，
∴的最大值为．
28．①③④
①证明是的中位线得，，进而得，进而可判定和全等，由此可对结论①进行判断；②根据和全等，得，由此可对结论②不正确；③当时，则，再根据得是线段的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质即可对，结论③进行判断；④当时，根据，由勾股定理得，则，进而得，再由勾股定理得求出得，进而得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
解：①在矩形中，，，，
∵，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，故结论①正确；
②∵，，
∴，故结论②不正确；
③当时，则，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，故结论③正确；
④当时，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，故结论④正确，
综上所述：正确的结论有①③④，
故答案为：①③④．
此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，化为最简二次根式，三角形的中位线的性质，理解矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理是解决问题的关键．
29．/
先由垂线可得若干直角三角形，即，，，，，利用特殊角，以及勾股定理可求解每个直角三角形中的边长，再设出未知数，在中使用勾股定理建立等式即可求解．
解：连接，过点D作于点O，过点G作于点K，过点G作于点H，如图：
因为是等边三角形，边长为6，D是中点，
所以，，
在中，，，
∴
所以，，
在中，，，
所以同理，，
在中，，，
由勾股定理可得，
又因为沿翻折得到，
所以，，，
在中，，，
在中，，，
由勾股定理可得，
所以，
设，
则有，
则，
在中，，，，
由勾股定理可知，，即，
整理得，
即，解得，
即．
故答案为：．
本题考查了等边三角形的性质、图形的翻折以及勾股定理，需注意图形在翻折的过程中，边的长度与角的大小折叠前后都不变，通过作辅助线得到若干直角三角形，再根据勾股定理将各边长计算出来，设出未知数在直角三角形中建立等式是解决本题的关键．
30．
本题考查了勾股定理逆定理，旋转的性质，矩形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合，合理作出辅助线是关键．
根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，，根据旋转的性质，矩形的判定得到平行四边形是矩形，根据，，由即可求解．
解：∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∵点是中点，
∴
∵旋转，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴点是中点，
∴，
如图所示，连接，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是矩形，
∴，，即，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为： ．
31．
本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定及性质，勾股定理，由已知可得，，过点作，交于，可得，，过点作，交于，则，得到，即得，可得，设，，得到，，进而得到，即得，即得到，最后根据勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
解：∵，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
过点作，交于，
则，，
过点作，交于，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴可设，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
32．①③④
本题考查正方形性质及判定，等腰三角形判定及性质，全等三角形判定及性质，勾股定理，矩形判定及性质等．根据题意逐一对序号进行分析即可得到本题答案．
解：∵四边形为正方形，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
故结论①正确，
连接交于，
，
∵四边形为正方形，
∴，
∵点为对角线上一动点，
∴当点与点重合时，点与点重合，此时，
∴，
故结论②不正确，
过点作于点，于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴③正确，
∵矩形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故结论④正确，
故答案为：①③④．
33．/
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、二次根式的混合运算等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键．
如图：作交的延长线于点Q，则，设，则，根据一线三垂直模型证明可得-、，再运用勾股定理可得，即，再代入计算即可解答．
解：如图：作交的延长线于点Q，则，
设，则，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：．
34．
（1）如图，过作于，在上取点，使，证明，，设，则，，可得，再进一步求解即可；
（2）如图，连接，过作于，过作于，求解，，，设，可得，求解，证明，可得，进一步求解即可.
解：（1）如图，过作于，在上取点，使，
∵在中，，，，
∴，，，
∴，
∵正方形，平分，
∴，
∴，，，
∴，
设，则，，
∴，
解得：（负根舍去），
∴，
∴；
故答案为：；
（2）如图，连接，过作于，过作于，
由（1）得：，
∴，而，
∴，，
∴，
∵，正方形，
∴设，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为，
故答案为：
本题考查的是平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，一元二次方程的解法，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
35．
本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键．
（1）先证明，得到，再利用和三角形的外角知识推出；
（2）延长至点N，使得，连接，，先利用直角三角形的性质和垂直平分线的性质推出，
再利用勾股定理求线段长，综合可得结果．
（1）在边长为8的正方形中，
，，
又由题知，
，
，
又，
，
．
（2）延长至点N，使得，连接，，如下图所示：
由（1）知，又点M是的中点，
，
，
，
又，
垂直平分，
，
，
正方形的边长为8，，
，，，
在中，由勾股定理得，
，
的最小值是．
故答案为：；．
36．8
本题考查线段垂直平分线的性质，垂线段最短，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键，由垂直平分，得，则，当点三点共线，且时，有最小值，最后由勾股定理即可求解．
解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∴当点三点共线，且时，有最小值，
如图，
∵，，
∴，，
由勾股定理得：，
∴有最小值，
故答案为：8．
37．
本题考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．连接、，由题意可知垂直平分，则，设，利用勾股定理列方程求解即可．
解：如图，连接、，
正方形边长为4，
，，
点为中点，
，
点为中点，，
垂直平分，
，
设，则，
在中，，
在中，，
，
解得：．
故答案为：．
38．
本题考查一次函数的应用，掌握光的反射定律及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．将坐标代入，求出b，从而求得反射光线的函数关系式，当时，求出对应x的值，从而求得点B的坐标；求出点C关于x轴的对称点的坐标，由光的反射定律可知，点在入射光线上，进而利用待定系数法求出入射光线的函数关系式即可．
解：将坐标代入，得，解得，
反射光线的函数关系式为，
当时，，
解得，
，
根据光的反射定律，点关于x轴的对称点在入射光线上，
设入射光线的函数关系式为（m、n为常数，且），
将坐标和分别代入，
得，
解得，
入射光线的函数关系式为．
39．
本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，确定为最大值时点的位置是解题的关键．
作点B关于点的对称点，根据中位线的性质得到，，得出点在以为圆心，4为半径的上运动，可知当经过圆心A时，最大，即点在图中位置，根据勾股定理及含30度直角三角形的性质得出，，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可．
解：如图，作点B关于点的对称点，
则点是的中点，
又点是的中点，
是的中位线，
，，
当最大时，最大，
点为坐标平面内的一点，且，
点在以为圆心，4为半径的上运动，
当经过圆心A时，最大，即点在图中位置，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
，
∵，
∴，
过点D作轴，如图所示：
∴，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．

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